江苏专版2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量第28讲平面向量基本定理及坐标运算理

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(江苏专版)19版高考数学大一轮复习第五章平面向量专题探究课二学案理

第五章平面向量专题探究课二高考导航从近几年的高考试题看，试卷交替考查三角函数、解三角形、向量与三角综合以及三角应用题.该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的恒等变形以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题；四是考查三角应用题.在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一三角函数的恒等变形和性质注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数恒等变形转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【1】 (2018·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求函数f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.解 (1)由题意知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z ).(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2；当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.探究提高此类题目的答题模板为：第一步：三角函数式的恒等变形，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步：由T ＝2π|ω|求最小正周期；第三步：确定f (x )的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【训练1】 (2018·江苏大联考)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x .(1)β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (β)的取值范围；(2)若tan α＝23，求f (α)的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (β)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β－π6－1.因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故f (β)的取值范围是[－2，1].(2)由题可得f (α)＝3sin 2α－2cos 2α ＝23sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan α－2tan 2α＋1，因为tan α＝23，所以f (α)＝23×23－24×3＋1＝1013.热点二解三角形与三角函数结合高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理在知识的交汇处命题.【例2】 (2018·苏州测试)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域；(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积. 解 (1)f (x )＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32. 因为f (x )的周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.又0≤x ≤π2，得π3≤2x ＋π3≤43π，－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤32＋1，即函数y ＝f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32.由A ∈(0，π)，知π3<A ＋π3<43π，解得A ＋π3＝23π，所以A ＝π3.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc . 所以16＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝5，所以bc ＝3. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝334.探究提高三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键. 【训练2】 (2018·苏北四市期中)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3. (1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长.解 (1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255，结合(1)可得sin C ＝31010.由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.热点三三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 (满分14分)(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 满分解答与评分标准本题第(1)问满分为6分，具体评分标准如下：法一因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ，………………………………………………2分于是tan x ＝－33.…………………………………………………………………2分又x ∈[0，π]，所以x ＝56π. ……………………………………………………2分法二因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ， ①……………………………………………………2分则23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝0，即23sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. …………………………2分所以x ＋π6＝π，即x ＝56π. ………………………………………………2分法三因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ，因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以sin 2x ＝14，即sin x ＝±12，所以x ＝π6或56π→会而不对，缺乏取舍意识本题第(2)问满分为8分，具体评分标准如下：法一 f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ……………………2分＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.…………………………………………………………………2分因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，则－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.………………2分……………2分法二 (本题第二问有考生采用了导数的方法求最值)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ，……………………2分则f ′(x )＝－3sin x －3cos x ，则f ′(x )＝0，tan x ＝－33. 因为x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.…………………………………………2分又f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝－23，f (π)＝－3.……………………………2分……………………………2分探究提高解决数学问题的第一步应该是审题，审题“审什么？”首先应该是题目的条件是什么？结论是什么？有没有隐含条件？由条件可以得出什么结论？要得出结论需要什么条件？本题的第二问：求函数的最大值和最小值以及对应的x 的值.不少考生就在这里出现了审题不清的问题：只顾求出了函数的最大值和最小值，没有求出对应的x 的值.根据评分标准：最大值及其对应的x 值都写对得2分，最小值及其对应的x 值都写对再得2分.这块原有4分的分值，若只求对了最大值和最小值，没有求出对应的x 的值，这4分将全部扣掉.【训练3】 (2018·苏北四市调研)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号.∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2.又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2].即a ＋c 的取值范围是(3，2]. 热点四三角函数应用题三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.【例4】如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.则以Ox 为始边，OB 为终边的角θ－π2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2(θ∈[0，＋∞)). (2)点A 在圆上转动的角速度是π30 rad/s ，故t s 转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞).到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30 s ，答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.探究提高三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式.【训练4】一半径为4 m 的水轮(如图)，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时.(1)将点P 距离水面的高度h (m)表示为时间t (s)的函数； (2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过4 m. 解 (1)建立如图所示的平面直角坐标系.依题意，如图|φ|＝π6，易知OP 在t s 内所转过的角为4×2π60 t ＝2π15t ，故角2π15t －π6是以Ox 为始边，OP 与终边的角，故P 点的纵坐标为4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6，故所求函数关系式为h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2(t ≥0)；(2)令4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6＋2>4，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π15t －π6>12，∴π6＋2k π<2π15t －π6<5π6＋2k π，k ∈Z . ∴2.5＋15k <t <7.5＋15k ，k ∈Z ， ∴时间为(7.5＋15k )－(2.5＋15k )＝5.答：在水轮转动的一圈内，有5 s 的时间点P 距水面的高度超过4 m.一、必做题1.(2018·苏北四市模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则 |2a －b |的最大值与最小值的和为________.解析由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝（2a －b ）2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0，4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 答案 42.(2018·苏州调研)已知m ＝(cos α，sin α)，n ＝(2，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若m ·n ＝1，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝________. 解析因为m ·n ＝2cos α＋sin α＝1，所以sin α＝1－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中，整理得5cos 2α－4cos α＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，解得cos α＝45或cos α＝0(舍去)，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋3π2＝－cos 2α＝1－2cos 2α＝－725.答案－7253.(2018·南京、盐城模拟)设a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<β<π2是平面上两个向量，若a·b ＝45，且tan β＝43，则tan α＝________.解析由a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝45，且0<α<β<π2，即α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴sin(α－β)＝－35，tan(α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝－34＝tan α－tan β1＋tan α·tan β，代入tan β＝43，得tan α＝724.答案7244.(2018·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________.解析由sin B ＝2sin C 结合正弦定理可得b ＝2c ，又a ＋2c ＝2b ，则a ＝2c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c2＝24. 答案245.(2018·南京调研)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法正确的有________(填序号). ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )； ④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝a 2b 2.解析 ②中，a ⊙b ＝mq －np ＝－(np －mq )＝－b ⊙a ，故②不正确；①③④逐个代入验证，皆成立，故填①③④. 答案 ①③④6.(2018·海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________ km.解析由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km).答案 3a7.(2018·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________.解析因为cos 2B 2＝a ＋c 2c，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝a c，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形.答案直角三角形8.(2018·如东中学月考)若函数f (x )＝sin(ωπx －π4)(ω>0)在区间(－1，0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是________.解析令ωπx －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则得x ＝4k ＋34ω(k ∈Z )， ∴当k ＝－1时，得y 轴左侧第1条对称轴为－14ω；当k ＝－2时，得y 轴左侧第2条对称轴为－54ω，因此－1<－14ω<0且－1≥－54ω，解得14<ω≤54，故ωmax ＝54. 答案 549.(2018·泰州中学月考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x .(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若f (x )＝－1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值. 解 (1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12，最小正周期有为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 10.(2018·泰州模拟)在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，向量m ＝(cos A ， sin B )，n ＝(cos B ，sin A ).(1)若a cos A ＝b cos B ，求证：m ∥n ；(2)若m ⊥n ，a >b ，求tan A －B 2的值.(1)证明因为a cos A ＝b cos B ，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以m ∥n .(2)解因为m ⊥n ，所以cos A cos B ＋sin A sin B ＝0，即cos(A －B )＝0，因为a >b ，所以A >B ，又A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(0，π)，则A －B ＝π2，所以tan A －B 2＝tan π4＝1. 二、选做题11.(2015·江苏卷)设向量a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0，1，2，…，12)，则∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)的值为________.解析 a k ·a k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6π＋cos （k ＋1）π6 ＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋⎝⎛⎭⎪⎫sin k π6＋cos k π6· ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin （k ＋1）π6＋cos （k ＋1）π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosk π6cos （k ＋1）π6＋sin k π6sin （k ＋1）π6＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫sink π6cos （k ＋1）π6＋cos k π6sin （k ＋1）π6＋ cos k π6cos （k ＋1）π6＝cos π6＋sin 2k π＋π6＋cos k π6cos （k ＋1）π6＝32＋sin 2k π＋π6＋32cos 2 k π6－12cos k π6sin k π6＝32＋sin 2k π＋π6＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos k π3－14sin k π3＝334＋sin 2k π＋π6＋12cos （2k ＋1）π6. 因为sin 2k π＋π6，12cos （2k ＋1）π6的周期皆为6，一个周期的和皆为零，因此∑11k ＝0 (a k ·a k ＋1)＝334×12＝9 3. 答案 9 312.如图，某大风车的半径为2 m ，每12 s 旋转一周，它的最低点O 离地面0.5 m.风车圆周上一点A 从最低点O 开始，运动t (s)后与地面的距离为h (m).(1)求函数h ＝f (t )的关系式；(2)画出函数h ＝f (t )(0≤t ≤12)的大致图象.解 (1)如图，以O 为原点，过点O 的圆的切线为x 轴，建立直角坐标系.设点A 的坐标为(x ，y )，则h ＝y ＋0.5.设∠OO 1A ＝θ，则cos θ＝2－y 2， y ＝－2cos θ＋2. 又θ＝2π12×t ，即θ＝π6t ，所以y ＝－2cos π6t ＋2， h ＝f (t )＝－2cos π6t ＋2.5(t ≥0). (2)函数h ＝－2cos π6t ＋2.5(0≤t ≤12)的大致图象如下.。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章平面向量5.1

§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.知识拓展1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋1n n A A －＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二教材改编2．[P72习题T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．3．[P72习题T9]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝，BC →＝ .(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的条件．答案充分不必要解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ . 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是．答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形，反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，∴AB →＝DC →；③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是．答案 3解析向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1 向量的线性运算典例 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝ . 答案 23b ＋13c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .(2)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为．答案 CE →＝29AB →－89AC →解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →，AE →＝13⎝⎛⎭⎫AB →＋13BA →＋13AC →， CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →＋89CA →， ∵89CA →＝－89AC →，∴CE →＝29AB →－89AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数典例 (1)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝，y ＝ . 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →， ∴x ＝12，y ＝－16.(2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析设CO →＝yBC →， ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝⎛⎭⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， ∴x ＝－y ，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练 (1)如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →用AB →和AD →可表示为．答案 EF →＝12AB →－23AD →解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →. (2)如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为．答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝⎛⎭⎫52AE →＋2AF → ＝52λAE →＋2λAF →， ∵E ，F ，K 三点共线，∴52λ＋2λ＝1，∴λ＝29.题型三共线向量定理的应用典例设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7. 故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练 (1)(2017·镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝ .答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22.(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线， ∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.容易忽视的零向量典例下列叙述错误的是．(填序号)①若非零向量a 与b 方向相同或相反，则a ＋b 与a ，b 之一的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB →＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b .现场纠错解析对于①，当a ＋b ＝0时，其方向任意，它与a ，b 的方向都不相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0或a ≠0但b ＝0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB →＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b . 故①②③④⑤均错．答案 ①②③④⑤纠错心得在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．1．给出以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关； ②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是．答案 2解析 ②④错误．2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是．(填序号) ①a 与λa 的方向相反； ②a 与λ2a 的方向相同； ③|－λa |≥|a |； ④|－λa |≥|λ|·a . 答案 ②解析对于①，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；②正确；对于③，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于④，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．3．(2017·南京十三中月考)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝ . 答案 2解析由平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.4．(2017·镇江实验中学调研)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA→＋λCB →，则λ＝ . 答案 23解析在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， ∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为．答案 2解析 ∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.6．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为．答案－1解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.7．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b . 答案 ②解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|a ＋b |与|a －b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b . 8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为．答案 ②③④解析 BC →＝a ，CA →＝b ， AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.所以正确命题的序号为②③④.9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝ .答案－2解析由BD ＝2DC ，得BC →＝－3CD →，其中BC →＝AC →－AB →，CD →＝AD →－AC →，那么BC →＝－3CD →可转化为 AC →－AB →＝－3(AD →－AC →)，可以得到－2AC →＝－3AD →＋AB →，即AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.10．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →， ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2，∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 11.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝⎛⎭⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝⎛⎭⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎨⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，所以AO →＝23AE →＝23⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC → ＝13()AB →＋AC →＝13(a ＋b )． 12．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明由已知得，AB →＝OB →－OA →＝3a ＋b －2a ＋b ＝a ＋2b ， BC →＝OC →－OB →＝a －3b －3a －b ＝－2a －4b ，故BC →＝－2AB →，又BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝3a －2b ，CD →＝2a －k b . 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →＝λCD →，即3a －2b ＝2λa －kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，2＝kλ，所以⎩⎨⎧λ＝32，k ＝43.综上，k 的值为43.13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝ . 答案 3解析由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3.14．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为．答案 4解析由AD →＝15AB →－45CA →，得5AD →＝AB →＋4AC →，所以AD →－AB →＝4(AC →－AD →)，即BD →＝4DC →. 所以点D 在边BC 上，且|BD →|＝4|DC →|，所以S △ABD ＝4S △ACD ＝4.15．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为．答案 60°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知，b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则B ＝60°.16．已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小值为．答案 3＋223 解析因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →) ＝23AB →＋13AC →. 因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD →＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫2λ＋1μ＝13⎝⎛⎭⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223.。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章平面向量5.2

§5.2 平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 知识拓展1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二教材改编2．[P79练习T6]已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5. 3．[P81习题T17]已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝ .答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝ . 答案 05．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝ . 答案 (－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ . 答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用1.如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD →＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为．答案 65解析因为BG →＝2GO →，BO 为AC 边上的中点，所以G 为△ABC 的重心，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13AB →＋13AC →.因为CD →∥AG →，所以设CD →＝mAG →，从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝⎛⎭⎫1＋m 3AC →＋m 3AB →. 因为AD →＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.2.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为．答案311解析 ∵AN →＝13NC →，∴AC →＝4AN →，∵AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，又P ，B ，N 三点共线，∴m ＋811＝1，即m ＝311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二平面向量的坐标运算典例 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝ . 答案 ⎝⎛⎭⎫－133，－43 解析由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝ .答案 4解析以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.引申探究在本例(2)中，试用a ，c 表示b .解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，设b ＝x a ＋y c ，则(6,2)＝x (－1,1)＋y (－1，－3)．即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝6，x －3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，故b ＝－4a －2c .思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．跟踪训练 (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为．答案 ⎝⎛⎭⎫2，72 解析设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72.(2)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝ .答案 (－1,2)解析 12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2 利用向量共线求参数典例已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝ . 答案 45°解析由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．跟踪训练 (1)已知向量a ＝(1,1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为．答案 (－3，－6)解析设B (x,2x )，则AB →＝(x －3,2x )． ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3， ∴B (－3，－6)．(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分) 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.[4分]设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[10分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，[12分] 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是．(填序号) ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 1＋2e 2； ③e 1＋e 2与e 1－e 2； ④e 1－2e 2与－e 1＋2e 2. 答案 ④2．(2017·东海中学质检)已知e 1，e 2是平面上两个不共线的向量，向量a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2，若a ∥b ，则实数m ＝ . 答案－6解析 ∵a ∥b ，∴b ＝λa . 又∵a ＝2e 1－e 2，b ＝m e 1＋3e 2， ∴m e 1＋3e 2＝2λe 1－λe 2，即(m －2λ)e 1＋(3＋λ)e 2＝0.又e 1，e 2是平面上两个不共线的向量， ∴m －2λ＝0，且3＋λ＝0，解得m ＝－6.3．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝ .答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.4．(2017·扬州中学质检)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是．答案494解析以A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，C (23，0)，B (3，3)．设P (x ，y )，∵|AP →|＝1，∴x 2＋y 2＝1， ∵PM →＝MC →，∴M 为PC 的中点，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋232，y 2，∴|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232－32＋⎝⎛⎭⎫y 2－32＝x 24＋y 24－3y ＋9＝14－3y ＋9＝374－3y ，又∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－1时，|BM →|2取得最大值，且最大值为494.5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是．答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)， OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n＝3. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝ . 答案 1解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.9．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝ .答案 2 2解析由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)知，点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD→＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝ .(用e 1，e 2表示) 答案－23e 1＋512e 2解析如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )． (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)． 12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． ∴3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13．(2017·江苏) 如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ .答案 3解析方法一因为tan α＝7，所以cos α＝210，sin α＝7210. 过点C 作CD ∥OB 交OA 的延长线于点D ，则OC →＝OD →＋DC →，∠OCD ＝45°. 又因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，所以|OD →|＝m ，|DC →|＝n . 在△COD 中，由正弦定理得|DC →|sin α＝|OD →|sin ∠OCD ＝|OC →|sin ∠ODC ，因为sin ∠ODC ＝sin(180°－α－∠OCD ) ＝sin(α＋∠OCD )＝45，即n 7210＝m 22＝245，所以n ＝74，m ＝54，所以m ＋n ＝3.方法二由tan α＝7可得cos α＝152，sin α＝752，则152＝OA →·OC →|OA →||OC →|＝m ＋nOA →·OB →2，由cos ∠BOC ＝22可得 22＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝mOA →·OB →＋n 2， cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝152×22－752×22＝－35，则OA →·OB →＝－35，则m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，则25m ＋25n ＝65，则m ＋n ＝3.14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为．答案102解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ. ∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102.15.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．16.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为．答案7＋434解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，D (0,4)，C (1,4)．又k BC ＝－43，故BC 所在的直线方程为 y ＝－43(x －4)．又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,4)，所以AP →＝(4m,4n )，故P (4m,4n )，又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4，即4⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝(3n ＋4m )·⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝7＋3n m ＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以⎝⎛⎭⎫1m ＋1n min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4，即m ＝4－23，n ＝83－123时取等号(因为m ，n 均为正实数)．。

(江苏专版)高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示实用课件文

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[解析] 如图，连结 BP，则―A→P ＝―A→C ＋―C→P ＝b ＋―P→R ，①
―A→P ＝―A→B ＋―B→P ＝a ＋―R→P －―R→B ，②
①＋②，得 2―A→P ＝a ＋b －―R→B ，③
又―R→B ＝12―Q→B ＝12(―A→B －―A→Q )＝12a－12―A→P ，④ 将④代入③，得 2―A→P ＝a ＋b －12a－12―A→P ，
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[方法技巧] 平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
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向量平行的坐标表示 [例 2] 已知 a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka －b 与 a ＋2b 共线； (2)若―A→B ＝2a ＋3b ，―B→C ＝a ＋mb ，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值．
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02 突破点(二) 平面向量的坐标(zuòbiāo) 表示第十六页，共33页。
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则： a ＋b ＝ (x1＋x2，y1＋y2)，a －b ＝(x1－x2，y1－y2)，λa ＝ (_λ_x_1_，__λ_y1_)，|a |＝___x_21＋__y_21_.
答案：(2,0)
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3.[考点二]已知向量―O→A ＝(k,12)，―O→B ＝(4,5)，―O→C ＝(－k,10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是________．解析：―A→B ＝―O→B －―O→A ＝(4－k，－7)，―A→C ＝―O→C －―O→A ＝ (－2k，－2)．∵A，B，C 三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得 k＝－23. 答案：－23

高考数学一轮复习讲义第五章平面向量概念及线性运算

向量的线性运算
例 2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB＝2GE，设A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 表示 A→D，A→G.
结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键．解 A→D＝12(A→B＋A→C)＝12a＋12b； A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E＝A→B＋13(B→A＋B→C) ＝23A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→B＋13A→C＝13a＋13b.
定义
法则(或几何意义)
运算律
求两个向量加法
和的运算
三角形平行四边形
(1)交换律： a＋b＝b＋a
(2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
要点梳理
忆一忆知识要点
求 a 与 b 的相
减法反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
一轮复习讲义
平面向量的概念及线性运算
要点梳理
忆一忆知识要点
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量
(或称为模)
长度为 0 的向量；其方向
零向量是任意的
记作 0
非零向量 a 的单位向量
单位向量长度等于1个单位的向量
为±|aa|
要点梳理
探究提高
(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (5)非零向量 a 与|aa|的关系是：|aa|是 a 方向上的单位向量．

2019版高考数学理创新大一轮江苏专版文档：第五章平

第28讲平面向量基本定理及坐标运算考试要求 1.平面向量的基本定理及其意义(A 级要求)；2.平面向量的正交分解及其坐标表示(B 级要求)；3.用坐标表示平面向量的线性运算及平面向量共线的条件(B 级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(2017·苏州期末)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b ＝________. 解析 2a ＋b ＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9). 答案 (3，9)3.(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析由题意得⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案－34.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析由a ∥b 可得－1×6＝2λ，故λ＝－3. 答案－35.(必修4P82习题6改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.答案 (1，5)知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及运算的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.考点一平面向量基本定理【例1】 (1)(2018·南通调研)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.(2)(2017·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________. 解析 (1)设BP →＝kBN →，k ∈R .因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →) ＝AB →＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AC →－AB →＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.(2)如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边的中线，且AD ∩CE ＝O .在△AEO 中，由正弦定理得AE sin ∠AOE ＝EOsin ∠EAO.在△ACO 中，由正弦定理得AC sin ∠AOC ＝CO sin ∠CAO，两式相除得 AE AC ＝EO OC .因为AE ＝12AB ＝1，AC ＝3，所以EO OC ＝13.所以CO →＝3OE →，即AO →－AC →＝3(AE →－AO →)，即4AO →＝3AE →＋AC →，所以4AO →＝32AB →＋AC →，从而AO →＝38AB →＋14AC →.因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝38，y ＝14，于是x ＋y ＝58.答案 (1)311 (2)58规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)(2018·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.(2)如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.解析 (1)由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.(2)AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 (1)34 (2)14a ＋34b考点二平面向量的坐标运算与向量共线的坐标表示【例2】 (1)(2018·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，且a ＋2b ＝(5，－3)，则x ＋y ＝________.(2)(2018·南京学情调研)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，4)，且a ∥(2a ＋b )，则实数m 的值为________.解析 (1)由题意得a ＋2b ＝(x ＋4，1＋2y )＝(5，－3)，所以⎩⎨⎧x ＋4＝5，1＋2y ＝－3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2，所以x ＋y ＝－1. (2)由题意得a ＝(1，2)，2a ＋b ＝(2＋m ，8)，因为a ∥(2a ＋b )，所以1×8－(2＋m )×2＝0，故m ＝2.答案 (1)－1 (2)2规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________.(2)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.∴B (5，14).(2)由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8). 答案 (1)(5，14) (2)(－4，－8)考点三平面向量基本定理及向量共线定理的应用(多维探究) 命题角度1 求坐标【例3－1】若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________.解析由已知，AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54. 答案－54命题角度2 解析法【例3－2】 (2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.解析如图，以O 为原点，OA →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则由|OA →|＝1得A (1，0).由tan α＝7得sin α＝7102， cos α＝210.又|OC →|＝2，∴C (|OC →|cos α，|OC →|sin α)，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又∠BOC ＝45°，∴cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝210×22－7102×22＝－35，同理，sin ∠AOB ＝45，又|OB →|＝1，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由OC →＝mOA →＋nOB →得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35n ，75＝m ×0＋45n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，故m ＋n ＝3. 答案 3命题角度3 求范围(最值)【例3－3】 (1)(2018·常州一模)在△ABC 中，∠C ＝45°，O 是△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________.(2)(2017·常州期末)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________.解析(1)在△ABC 中，∠C ＝45°，所以∠AOB ＝90°(圆心角是同弧所对的圆周角的2倍).建立如图所示的平面直角坐标系，设A (r ，0)，B (0，r )，C (r cos α，r sin α)，其中r >0，90°<α<360°.(∵∠AOB ＝90°，∴点C 在优弧AB ︵上任一点一定有∠C ＝45°，满足题意.)由OC →＝mOA →＋nOB →，得m ＝cos α，n ＝sin α，所以m ＋n ＝cos α＋sin α＝2sin(α＋45°)∈[－2，1).(2)如图，建立平面直角坐标系，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线4x ＋3y ＝16.由(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)，所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434.当且仅当3n 2＝4m 2时取等号.答案 (1)[－2，1) (2)7＋434 规律方法 1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式. 2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.【训练3】 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________.(2)(必修4P82习题6)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且AP ＝32BP ，则点P 的坐标为________.(3) 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动.若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值为________.解析 (1)如图，取单位向量i ，j ，则a ＝i ＋2j ，b ＝2i －j ，c ＝3i ＋4j .∴c ＝x a ＋y b ＝x (i ＋2j )＋y (2i －j ) ＝(x ＋2y )i ＋(2x －y )j ， ∴⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝25，∴x ＋y ＝135.(2)设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15).(3)以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设∠AOC ＝α(α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3)，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2. 答案 (1)135 (2)(8，－15) (3)2一、必做题1.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析因为a ∥b ，所以由(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6. 答案－62.(2018·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x 的值是________.解析因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x ).又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4. 答案 43.(2017·无锡期末)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，则AC →＝________. 解析因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →＝(－1，12). 答案 (－1，12)4.(2015·全国Ⅰ卷改编)已知点A (0，1)，B (3，2)，AC →＝(－4，－3)，则BC →＝________. 解析根据题意得AB →＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，答案 (－7，－4)5.(2018·南通调研)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2 P A →，则x ＝________，y ＝________.解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案23 136.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝________(用AB →，AC →表示). 解析如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →. 答案 12AB →＋16AC →7.(2018·江苏押题卷)如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，M ∈AH ，AM ＝13AH ，若AM →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y 的值为________.建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，H (0，0)，C (c ，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 3，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13a ，AB →＝(b ，－a )，AC →＝(c ，－a )，故由AM →＝xAB →＋yAC →可得－13a ＝－ax ＋y (－a )，即x ＋y ＝13.答案 138.(2017·苏北四市期末)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个).解析由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6，反之亦成立，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件. 答案充要9.(2018·江苏大联考)A ，B ，C 为单位圆上三个不同的点，若∠ABC ＝π4，OB →＝mOA →＋nOC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 最小值为________.解析因为∠ABC ＝π4，所以∠AOC ＝π2(圆周角是同弧所对圆心角的一半)，不妨设A (1，0)，C (0，1)，B (cos θ，sin θ)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，则cos θ＝m ，sin θ＝n ⇒m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≥－2，当且仅当θ＝5π4时取等号.答案－ 210.(2018·扬州中学质检)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为________. 解析以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (5，0)，D (0，3)，设∠P AB ＝α，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52cos α，52sin α.因为AP →＝λAB →＋μAD →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫52cos α，52sin α＝λ(5，0)＋μ(0，3)，所以λ＝12cos α，μ＝156sin α，故5λ＋3μ＝52cos α＋52sin α＝ 102sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由已知得0<α<π2，所以π4<α＋π4<34π，所以22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以5λ＋3μ的最大值为102. 答案102二、选做题11.(2017·哈师大附中三模改编)已知AB ⊥AC ，AB ＝AC ，点M 满足AM →＝tAB →＋(1－t )AC →，若∠BAM ＝π3，则t 的值为________.解析由题意可得AM →＝tAB →＋AC →－tAC →，则AM →－AC →＝tAB →－tAC →，即CM →＝tCB →⇒t ＝|CM →||CB →|，其中CB AC ＝2，由正弦定理CM AC ＝sin 30°sin 105°，整理可得t 的值为3－12. 答案3－1212.(2017·全国Ⅲ卷改编)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为________. 解析如图所示，建立平面直角坐标系.设A (0，1)，B (0，0)，C (2，0)，D (2，1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45， AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2，0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →＝(2μ，－λ)，又∵点P 在圆C 上，∴P 点坐标可表示为x ＝2＋25cos θ＝2μ，y ＝25sin θ＝1－λ， ∴λ＋μ＝1－25sin θ＋1＋15cos θ＝2＋sin(α－θ)≤3(其中tan α＝－12). 答案 3。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章平面向量5.3

§5.3 平面向量的数量积考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积定义：设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b . 3．平面向量数量积的性质设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 . 知识拓展1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (2)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (3)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(4)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (5)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二教材改编2．[P90习题T18]已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．[P90练习T19]设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为________．答案－32解析由已知得c ＝(1,2)＋k (1,1)＝(k ＋1，k ＋2)，因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，因此k ＋1＋k ＋2＝0，解得k ＝－32.题组三易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积是________．答案 52解析 a ＋2b ＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以a·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. 5．已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角的大小为________．答案2π3解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案－32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________. 答案 9解析 AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.2. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________．答案 18解析如图，由条件可知 BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·⎝⎛⎭⎫12AB →＋34AC → ＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝________. 答案34解析依题意得|a |＝2，a·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2 ＝18＋12＋4＝34.(2)(2017·江苏沛县中学质检)已知AD 是△ABC 的中线，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．答案 1解析 ∵AB →·AC →＝－2＝|AB →||AC →|cos A ，∠A ＝120°，∴|AB →||AC →|＝4， ∵|AD →|＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥14(2|AB →||AC →|－4)＝1，当且仅当AB ＝AC ＝2时取等号，∴|AD →|min ＝1. 命题点2 求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．答案2π3解析 ∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a·b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 答案 2解析因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b|c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.思维升华 (1)求解平面向量模的方法①把几何图形放到适当的坐标系中，写出有关向量的坐标，求向量的长度．如若向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当向量坐标无法表示时，利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a·b |a||b |，其中两个向量的夹角θ的取值范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．答案33解析由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2| ＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 题型三平面向量与三角函数典例 (2017·江苏三市调研)如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B ，P 在单位圆上，且B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S .(1)求cos α＋sin α；(2)求OA →·OQ →＋S 的最大值及此时θ的值θ0. 解 (1)∵B ⎝⎛⎭⎫－35，45，∠AOB ＝α， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴cos α＋sin α＝15.(2)由已知得，A (1,0)，P (cos θ，sin θ)， ∴OQ →＝(1＋cos θ，sin θ)， OA →·OQ →＝1＋cos θ，又S ＝sin θ，∴OA →·OQ →＋S ＝sin θ＋cos θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋1，又0<θ<π，∴π4<θ＋π4<5π4，∴－22<sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，则OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1，此时θ0＝π2－π4＝π4.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．跟踪训练在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.利用数量积求向量夹角典例已知直线y ＝2x 上一点P 的横坐标为a ，直线外有两个点A (－1,1)，B (3,3)．求使向量P A →与PB →夹角为钝角的充要条件．错解展示：现场纠错解错解中，cos θ<0包含了θ＝π，即P A →，PB →反向的情况，此时a ＝1，故P A →，PB →夹角为钝角的充要条件是0<a <2且a ≠1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况．1．(2017·江苏天星湖中学月考)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析由|a ＋b |＝10得a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，① 由|a －b |＝6得a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．答案2π3解析由a·(a －b )＝2，得a 2－a·b ＝2，即|a |2－|a||b |cos 〈a ，b 〉＝1－2cos 〈a ，b 〉＝2. 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )＝________.答案 1解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)， a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5， |2a －b |＝5，∴|2a －b |a·(a ＋b )＝55＝1.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 32解析在△ABC 中，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝9＋4－102×3×2＝14， ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝3×2×14＝32.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝________. 答案109解析由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为________三角形．答案等腰解析因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形．7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.8．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos 10°，sin 10°)，b ＝(cos 70°，sin 70°)，则|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________．答案 90°解析由2a ·(2a －b )＝b·(b －2a )，得4a 2＝b 2，由|a －2b |＝3|a |，得a 2－22a·b ＋2b 2＝9a 2，则a·b ＝0，即a ⊥b ， ∴a 与b 的夹角为90°.10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析 a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0且a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧3λ2＋4λ>0，2λ－6λ2≠0，解得λ<－43或0<λ<13或λ>13，所以λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(2017·江苏四校联考)已知平面向量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为________．答案 6解析令OA →＝a ，OB →＝b ，则b －a ＝OB →－OA →＝AB →，如图，∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°， ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理|OA →|sin ∠OBA ＝|OB →|sin ∠OAB 得，|b |＝|OB →|＝6·sin ∠OAB ≤6.14．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 的中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为________．答案7解析 ∵a ⊥(a －2b )，∴a·(a －2b )＝0，即a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝⎛⎭⎫12，32，b ＝(1,0)．设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)， c －b ＝(x －1，y )．又∵(c －2a )·(c －b )＝0， ∴(x －1)2＋y (y －3)＝0. 即(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝34， ∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32， ∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝2×12＋⎝⎛⎭⎫322＝7. 16．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为________．答案 ±4 3解析由P A →＋PC →＝0知，P 是AC 的中点，由QA →＋QB →＋QC →＝BC →，可得QA →＋QB →＝BC →－QC →，即QA →＋QB →＝BQ →，即QA →＝2BQ →， ∴Q 是AB 边靠近B 的三等分点， ∴S △APQ ＝23×12×S △ABC ＝13S △ABC ，∴S △ABC ＝3S △APQ ＝3×23＝2.∵S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝12×4×2×sin A ＝2，∴sin A ＝12，∴cos A ＝±32，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝±4 3.。

2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第五章平面向量5.4

§5.4 平面向量的综合应用考情考向分析主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题．1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．知识拓展1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(5)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二教材改编2．[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形．答案直角解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．3．[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形．答案等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →)． ∴△ABC 为等腰三角形．题组三易错自纠4．在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________．答案－23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________．答案 5解析依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6．(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________．解析设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.题型一向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．解析由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．答案内心解析由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形．解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC的平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 32解析取HF 中点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2 ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.题型二向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．答案 6解析由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →， ∴|OM →|＝2|OD →|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →|＝1.由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|k 2＋1，解得k ＝0.(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________．答案－2解析由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又12四边形PF QF S ＝212PF F S＝2×12×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)，所以当h ＝b ＝1时，12四边形PF QF S 取得最大值，此时|PF 1→|＝|PF 2→|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos 120° ＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2.题型三向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________．答案 3解析在Rt △ABC 中，由AB →·AC →＝9，得AB ·AC ·cos A ＝9，由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12，由以上两式解得tan A ＝43，所以sin A ＝45，cos A ＝35，所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4.又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →，故x 3＋y4＝1≥2x 3·y 4，即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．命题点2 向量在解三角形中的应用典例在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________．答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35.命题点3 向量在物理中的应用典例如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．答案 27解析如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．答案 3解析由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________．答案 4解析取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →24＝AM → 2－14≤⎣⎡⎦⎤22＋⎝⎛⎭⎫122－14＝4，当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．答案直角解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．2．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为________．答案 2解析由题意可得m·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2. 3．在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD ＝________.答案 13解析如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 4．(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________．答案 2解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(3，－1)， OB →＝(0,2)，∴AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，y ＋1＝2λ，x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2. 5．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________．答案 8,7解析由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.6．若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________. 答案 2解析因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x ＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2. 7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案－8解析设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________．答案2π3解析由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________．答案 1∶2解析如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →， ∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比．即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10．如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案－92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点， ∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →. ∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94，即(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC → ＝－2|PO →|·|PC →|≥－92，当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立．故最小值为－92.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6. 即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________．(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心； ②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心； ③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心； ④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．答案 ④解析由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．答案 6解析圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆外离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，因为PE →·PF →＝|PE →|·|PF →|·cos ∠EPF ，要使PE →·PF →最小，需|PE →|和|PF →|最小，且∠EPF 最大．则PE →·PF →的最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2 ＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，∴HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos ∠EHF ＝23×23×12＝6.∴PE →·PF →的最小值是6.15．(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 16．(2017·江苏泰州中学质检)已知△ABC 中，AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，边AB ，AC 的中点分别为D ，E . (1)判断△ABC 的形状；(2)若CD →·BE →＝0，求sin 2∠ABC 的值．解 (1)AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．(2)以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．∴D ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，E ⎝⎛⎭⎫a 2，0， BE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－b ，CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，b 2. ∵BE →·CD →＝0，∴a 24－b 22＝0. ∴a 2＝2b 2，∴a ＝2b ，∴AC ＝2BC ，AB ＝3BC ，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝63，cos ∠ABC ＝BC AB ＝33， ∴sin 2∠ABC ＝2sin ∠ABC cos ∠ABC ＝223.。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念、线性运算及平面向量的坐标表示课件

3.要注意待定系数法和方程思想的运用.
1 1 OC = OD = OA , OB ,AD与BC相交于点M.设例1 如图所示,在△ABO中, 4 2 OA =a, OB =b.

(1)试用a和b表示向量 OM ;
OA , OE =λ (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设

解析 (1)设 = ma + nb , 则 = = ma + nb a =( m -1) a + nb , = AD OD AM OM OA OM
1 1 OA OA OB = - =-a+ b. 2 2

AD 共线. AM 与 ∵A、M、D三点共线,∴
对实数x,y,使a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对

(x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=

(x,y) ,其中

x 叫做a在x轴上的坐标,
y 叫做a在y轴上的坐标. 终点A 的坐标,即若 OA =(x,
设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 y),则A点坐标为 5.平面向量的坐标运算
解析
m 4n 3, (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以解得 2m n 2,
5 m , 9 n 8 . 9
(2)由题意知a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∵(a+kc)∥(2b-a),
16 . ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=13

(江苏专版)19版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用课件

2.已知非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要条件是⑤ x1x2+y1y2=0 .
三、中点公式
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M的坐标为
⑥
x1 x2 y1 y2 , 2 2
.
四、两点间的距离公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=⑦
解题导引先利用平面向量的数量积,求出函数f(x)的解析式,再利用三角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增区间;(2)由f(A)=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求
出c的值,最后利用余弦定理求a的值.

x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ⇔G (A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)). 3 3
方法技巧
方法平面向量与三角函数综合问题的解决方法
求解此类问题的关键:(1)巧妙“转化”——将以向量数量积、向量共线、向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系;(2) 活用“性质”——活用三角函数的性质,包括两域(定义域、值域)、四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)以及整体换元思想;(3)妙用“定理”——解三角形问题,应认真分析已知条件中的边角关系,再用正弦
由于0<A<π,所以2A+ = ,即A= .
3

5 6 6

内部文件，请勿外传
又因为S△ABC= bcsin A= 且b=1,
所以 c= ,解得c=2.
1 =3,所以a= 在△ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2×1×2×

苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第五章平面向量第二节平面向量的基本定理及坐标表示教案理解析版

１．平面向量基本定理如果e１，e２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ１，λ２，使a＝λ１e１＋λ２e２.其中，不共线的向量e１，e２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．２．平面向量的坐标运算（１）向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a＋b＝（x１＋x２，y１＋y２），a—b＝（x１—x２，y１—y２），λa＝（λx１，λy１），|a|＝错误!.（２）向量坐标的求法：１若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．２设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＝（x２—x１，y２—y１），|错误!|＝错误!.３．平面向量共线的坐标表示设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），其中b≠0，则a∥b⇔x１y２—x２y１＝0.[小题体验]１．已知M（３，—２），N（—５,２），且错误!＝错误!错误!，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），则错误!＝（x—３，y＋２），又错误!错误!＝错误!（—8,４）＝（—４,２），∴错误!解得错误!故点P的坐标为（—１,0）．答案：（—１,0）２．已知向量a＝（m,４），b＝（３，—２），且a∥b，则m＝________.解析：因为a∥b，所以—２m—４×３＝0，解得m＝—6．答案：—6３．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若错误!＝５e１，错误!＝３e２，则错误!＝________.（用e，e２表示）１解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（５e１＋３e２）＝错误!e１＋错误!e２.答案：错误!e１＋错误!e２１．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．２．若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件不能表示成错误!＝错误!，因为x２，y２有可能等于0，所以应表示为x１y２—x２y１＝0．[小题纠偏]１．已知平行四边形ABCD的顶点A（—１，—２），B（３，—１），C（５,6），则顶点D的坐标为________．解析：设D（x，y），则由错误!＝错误!，得（４,１）＝（５—x,6—y），即错误!解得错误!故顶点D 的坐标为（１,５）．答案：（１,５）２．已知向量m＝（λ—１,１），n＝（λ—２,２），若m∥n，则λ＝________，此时|n|＝________.解析：由m∥n可得２（λ—１）＝λ—２，解得λ＝0，此时|n|＝错误!＝２错误!.答案：0 ２错误!错误!错误![题组练透]１．如图，向量e１，e２，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e１，e２表示为________．解析：以e１的起点为坐标原点，e１所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由题图可得e１＝（１,0），e２＝（—１,１），a＝（—３，１），因为a＝x e１＋y e２＝x（１,0）＋y（—１,１）＝（x—y，y），则错误!解得错误!故a＝—２e１＋e２.答案：a＝—２e１＋e２２．如图，在△ABC中，错误!＝错误!错误!，P是BN上的一点，若错误!＝m错误!＋错误!错误!，则实数m的值为________．解析：设错误!＝k错误!，k∈R.因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋k错误!＝错误!＋k（错误!—错误!）＝错误!＋k错误!＝（１—k）错误!＋错误!错误!，又错误!＝m错误!＋错误!错误!，所以错误!解得k＝错误!，m＝错误!.答案：错误!３．（易错题）如图，以向量错误!＝a，错误!＝b为邻边作▱OADB，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!，用a，b表示错误!，错误!，错误!.解：因为错误!＝错误!—错误!＝a—b，错误!＝错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b.因为错误!＝a＋b，所以错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＝错误!a＋错误!b，所以错误!＝错误!—错误!＝错误!a＋错误!b—错误!a—错误!b＝错误!a—错误!b.综上，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a＋错误!b，错误!＝错误!a—错误!b.[谨记通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路（１）先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．（２）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．错误!错误![题组练透]１．已知向量a，b满足a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），则b＝________.解析：由a＋b＝（—１,５），a—b＝（５，—３），得２b＝（—１,５）—（５，—３）＝（—6,8），所以b＝错误!（—6,8）＝（—３,４）．答案：（—３,４）２．已知点M（５，—6）和向量a＝（１，—２），若错误!＝—３a，则点N的坐标为________．解析：错误!＝—３a＝—３（１，—２）＝（—３,6），设N（x，y），则错误!＝（x—５，y＋6）＝（—３,6），所以错误!即错误!故N（２,0）．答案：（２,0）３．已知A（—２,４），B（３，—１），C（—３，—４）．设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，且错误!＝３c，错误!＝—２b，（１）求３a＋b—３c；（２）求满足a＝m b＋n c的实数m，n；（３）求M，N的坐标及向量错误!的坐标．解：由已知得a＝（５，—５），b＝（—6，—３），c＝（１,8）．（１）３a＋b—３c＝３（５，—５）＋（—6，—３）—３（１,8）＝（１５—6—３，—１５—３—２４）＝（6，—４２）．（２）因为m b＋n c＝（—6m＋n，—３m＋8n），所以错误!解得错误!（３）设O为坐标原点，因为错误!＝错误!—错误!＝３c，所以错误!＝３c＋错误!＝（３,２４）＋（—３，—４）＝（0,２0）．所以M（0,２0）．又因为错误!＝错误!—错误!＝—２b，所以错误!＝—２b＋错误!＝（１２,6）＋（—３，—４）＝（9,２），所以N（9,２），所以错误!＝（9，—１8）．[谨记通法]平面向量坐标运算的技巧（１）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．（２）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．错误!错误![典例引领]已知O为坐标原点，向量错误!＝（３，—４），错误!＝（５，—３），错误!＝（４—m，m＋２）．（１）若D错误!，求证：对任意实数m，都有错误!∥错误!；（２）若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足什么条件？解：（１）证明：由题意，错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝错误!.因为２错误!—１·（m—４）＝0，所以错误!∥错误!.（２）错误!＝错误!—错误!＝（２,１），错误!＝错误!—错误!＝（１—m，m＋6）．若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线．当A，B，C三点共线时，存在λ使错误!＝λ错误!，即（２,１）＝λ（１—m，m＋6），得错误!解得m＝—错误!.所以当m≠—错误!时，点A，B，C能构成三角形．[由题悟法]１．平面向量共线的充要条件的２种形式（１）若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b的充要条件是x１y２—x２y１＝0．（２）若a∥b（b≠0），则a＝λb.２．共线问题解含参，列出方程求得解向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[即时应用]１．（２0１8·海安期末）若A（２,３），B（３,２），C错误!三点共线，则实数m的值为________．解析：∵A（２,３），B（３,２），C错误!，∴错误!＝（１，—１），错误!＝错误!，又∵A，B，C三点共线，∴错误!＝错误!，解得m＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州中学检测）已知向量m＝（λ＋１,１），n＝（λ＋２,２），若（m＋n）∥（m—n），则λ＝________.解析：因为m＋n＝（２λ＋３,３），m—n＝（—１，—１），又（m＋n）∥（m—n），所以（２λ＋３）×（—１）＝３×（—１），解得λ＝0．答案：0３．（２0１9·连云港调研）已知向量a＝（１,２），b＝（—２，x），若a∥b，则实数x＝________.解析：由向量a＝（１,２），b＝（—２，x），且a∥b，可得x＝—２×２＝—４．答案：—４一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·南通检测）已知点A（—１,２），B（２,8）．若错误!＝—错误!错误!，错误!＝错误!错误!，则错误!的坐标为________．解析：∵A（—１,２），B（２,8），∴错误!＝（—３，—6），则错误!＝—错误!错误!＝（１,２），错误!＝错误!错误!＝（２,４），∴错误!＝错误!—错误!＝（２,４）—（１,２）＝（１,２）．答案：（１,２）２．（２0１8·南京学情调研）设向量a＝（１，—４），b＝（—１，x），c＝a＋３b.若a∥c，则实数x的值是________．解析：因为a＝（１，—４），b＝（—１，x），所以c＝a＋３b＝（—２，—４＋３x）．又a∥c，所以—４＋３x—8＝0，解得x＝４．答案：４３．（２0１8·苏州中学测试）已知A（２,１），B（３,５），C（３,２），错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P（x，y），则由错误!＝错误!＋t错误!（t∈R），得（x—２，y—１）＝（１,４）＋t（１,１）＝（１＋t,４＋t），所以错误!解得错误!由点P在第二象限，得错误!所以—５＜t＜—３．答案：（—５，—３）４．（２0１8·苏州期末）已知向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），错误!＝（7,6），则m＋n的值为________．解析：∵向量错误!＝（m,５），错误!＝（４，n），∴错误!＝错误!—错误!＝（４—m，n—５），又错误!＝（7,6），∴错误!解得m＝—３，n＝１１，∴m＋n＝8．答案：8５．（２0１9·启东月考）已知向量a＝错误!，b＝（x,１），其中x＞0，若（a—２b）∥（２a＋b），则x的值为________．解析：a—２b＝错误!，２a＋b＝（１6＋x，x＋１），由（a—２b）∥（２a＋b），得（8—２x）（x＋１）＝错误!（１6＋x），解得x＝４（负值舍去）．答案：４6．（２0１8·泰州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且AB＝２，若点P（２，错误!），则|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是________．解析：因为AB＝２，所以AB的中点M在以原点为圆心，１为半径的圆上运动（如图所示），则|错误!＋错误!＋错误!|＝|２错误!＋错误!|，当M点为射线OP与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最小值为7，当M点为射线OP的反向延长线与圆的交点时，|２错误!＋错误!|的最大值为１１，所以|错误!＋错误!＋错误!|的取值范围是[7,１１]．答案：[7,１１]二保高考，全练题型做到高考达标１．已知向量a＝（５,２），b＝（—４，—３），c＝（x，y），若３a—２b＋c＝0，则c＝________.解析：由题意可得３a—２b＋c＝（２３＋x,１２＋y）＝（0,0），所以错误!解得错误!所以c＝（—２３，—１２）．答案：（—２３，—１２）２．已知A（—３,0），B（0，错误!），O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝３0°，错误!＝λ错误!＋错误!，则实数λ的值为________．解析：由题意知错误!＝（—３,0），错误!＝（0，错误!），则错误!＝（—３λ，错误!），由∠AOC＝３0°，知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为１５0°，所以tan １５0°＝错误!，即—错误!＝—错误!，所以λ＝１．答案：１３．已知点A（２,３），B（４,５），C（7,１0），若错误!＝错误!＋λ错误!（λ∈R），且点P在直线x—２y＝0上，则λ＝________.解析：设P（x，y），则由错误!＝错误!＋λ错误!，得（x—２，y—３）＝（２,２）＋λ（５,7）＝（２＋５λ，２＋7λ），所以x＝５λ＋４，y＝7λ＋５．又点P在直线x—２y＝0上，故５λ＋４—２（7λ＋５）＝0，解得λ＝—错误!.答案：—错误!４．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝________（用a，b表示）．解析：如图，因为错误!＝a，错误!＝b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!a＋错误!b.因为E是OD的中点，所以错误!＝错误!，所以|DF|＝错误!|AB|.所以错误!＝错误!错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!×错误!＝错误!错误!—错误!错误!＝错误!a—错误!b，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!a—错误!b＝错误!a＋错误!b.答案：错误!a＋错误!b５．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，则向量c＝________.解析：设向量c＝（x，y），因为a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝（１,２），|c|＝２错误!，且a∥c，可得２x＝y，并且x２＋y２＝２0，解得x＝２，y＝４或x＝—２，y＝—４．所以c＝（２,４）或c＝（—２，—４）．答案：（２,４）或（—２，—４）6．（２0１8·白蒲中学高三期末）若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ（x，y∈R），则称（x，y）为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝（１，—１），q＝（２,１）下的坐标为（—２，２），则a在另一组基底m＝（—１,１），n＝（１,２）下的坐标为________．解析：因为a在基底p，q下的坐标为（—２,２），即a＝—２p＋２q＝（２,４），令a＝x m＋y n＝（—x＋y，x＋２y），所以错误!即错误!所以a在基底m，n下的坐标为（0,２）．答案：（0,２）7．（２0１8·溧水高级中学测试）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若错误!＝m错误!＋n错误!，则m＋n的取值范围是________．解析：由题意得，错误!＝k错误!（k＜0），又|k|＝错误!＜１，所以—１＜k＜0．又因为B，A，D 三点共线，所以错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，所以m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k（１—λ）错误!，所以m＝kλ，n＝k（１—λ），所以m＋n＝k，从而m＋n∈（—１,0）．答案：（—１,0）8．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则错误!＝________.解析：以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长为１），则A（１，—１），B（6,２），C（５，—１），所以a＝错误!＝（—１,１），b＝错误!＝（6,２），c＝错误!＝（—１，—３）．因为c＝λa＋μb，所以（—１，—３）＝λ（—１,１）＋μ（6,２），即—λ＋6μ＝—１，λ＋２μ＝—３，解得λ＝—２，μ＝—错误!，所以错误!＝４．答案：４9．（２0１9·淮安一模）已知a＝（１,0），b＝（２,１）．（１）当k为何值时，k a—b与a＋２b共线；（２）若错误!＝２a＋３b，错误!＝a＋m b，且A，B，C三点共线，求m的值．解：（１）k a—b＝k（１,0）—（２,１）＝（k—２，—１），a＋２b＝（１,0）＋２（２,１）＝（５,２）．∵k a—b与a＋２b共线，∴２（k—２）—（—１）×５＝0，解得k＝—错误!.（２）∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得错误!＝λ错误!，即２a＋３b＝λ（a＋m b）＝λa＋λm b，又a与b不共线，∴错误!解得m＝错误!.１0．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝（２,１），A（１,0），B（cos θ，t），a∥错误!.（１）若|错误!|＝错误!|错误!|，求向量错误!的坐标；（２）求y＝cos２θ—cos θ＋t２的最小值．解：（１）因为错误!＝（cos θ—１，t），又a∥错误!，所以２t—cos θ＋１＝0．所以cos θ＝２t＋１．１又因为|错误!|＝错误!|错误!|，所以（cos θ—１）２＋t２＝５．２由１２得，５t２＝５，所以t２＝１．所以t＝±１．当t＝１时，cos θ＝３（舍去），当t＝—１时，cos θ＝—１，所以B（—１，—１），所以错误!＝（—１，—１）．（２）由（１）可知t＝错误!，所以y＝cos２θ—cos θ＋错误!＝错误!cos２θ—错误!cos θ＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!２—错误!，所以，当cos θ＝错误!时，y min＝—错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知△ABC是边长为４的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!，则△APD的面积为________．解析：法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为４的正三角形，则AE⊥BC，错误!＝错误!（错误!＋错误!），又错误!＝错误!（错误!＋错误!），所以点D是AE的中点，AD＝错误!.取错误!＝错误!错误!，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!.而△APD是直角三角形，AF＝错误!，所以△APD的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!.法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形ABC的边长为４，所以B（—２，—２错误!），C（２，—２错误!），由题知错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误![（—２，—２错误!）＋（２，—２错误!）]＝（0，—错误!），错误!＝错误!＋错误!错误!＝（0，—错误!）＋错误!（４,0）＝错误!，所以△ADP的面积为S＝错误!|错误!|·|错误!|＝错误!×错误!×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·启东中学检测）在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!成立，此时称实数λ为“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”．若已知P１（３，１），P２（—１,３），P１，P２，P３三点共线且向量错误!与向量a＝（１，—１）共线，则“向量错误!关于错误!和错误!的终点共线分解系数”为________．解析：设错误!＝（x，y），则由错误!∥a，知x＋y＝0，于是错误!＝（x，—x），设错误!＝λ错误!＋（１—λ）错误!，则有（x，—x）＝λ（３,１）＋（１—λ）（—１,３）＝（４λ—１,３—２λ），即错误!于是４λ—１＋３—２λ＝0，解得λ＝—１．答案：—１３．已知三点A（a,0），B（0，b），C（２,２），其中a＞0，b＞0．（１）若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；（２）若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．解：（１）因为四边形OACB是平行四边形，所以错误!＝错误!，即（a,0）＝（２,２—b），错误!解得错误!故a＝２，b＝２．（２）因为错误!＝（—a，b），错误!＝（２,２—b），由A，B，C三点共线，得错误!∥错误!，所以—a（２—b）—２b＝0，即２（a＋b）＝ab，因为a＞0，b＞0，所以２（a＋b）＝ab≤错误!２，即（a＋b）２—8（a＋b）≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0．因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8．当且仅当a＝b＝４时，“＝”成立．。

高三数学一轮复习第五章平面向量5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算课件

【解析】由题意得
uur P1P
=
1 3
uuur P1P2
或
uur P1P
=
2 uuur 3 P1P2
,
uuur P1P2
=(3,-3).
设P(x,y),则
uur P1P
=(x-1,y-3),
当
uur P1P
=
1 uuur 3 P1P2时,(x-1,ຫໍສະໝຸດ -3)=1 (3,-3),
3
所以x=2,y=2,即P(2,2).
【解析】因为a∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6. 答案:6
2.(必修4P79练习T7改编)已知三个力F1=(-2,-1),F2= (-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4=________.
【解析】根据力的平衡原理有F1+F2+F3+F4=0,所以F4= -(F1+F2+F3)=(1,2). 答案:(1,2)
(2)基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (3)平面向量的正交分解. 向量正交分解是把一个向量分解为两个_互__相__垂__直__的向量.
2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示: 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成a=x i+y j,由于a与有序数对(x,y)是一一对应的,因此向量a的坐标是(x,y),记作 _a_=_(_x_,_y_)_.
2
2
于是得
1 2

1 2

1, 解得