2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷(解析版)
2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝（﹣∞，1]，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝．2．（5分）设复数z＝a+i（其中i为虚数单位），若，则实数a的值为．3．（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n＝．4．（5分）从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，则该两位数是偶数的概率为．5．（5分）如图所示流程图中，若输入x的值为﹣4，则输出c的值为．6．（5分）若双曲线的离心率为2，则实数m的值为．7．（5分）已知y＝f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（﹣ln2）的值为．8．（5分）已知等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2＝2，S3＝7，则a5的值为．9．（5分）如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B﹣EFC的体积为．10．（5分）设A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，点P∈A，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，则r的值为．11．（5分）设函数，其中ω＞0．若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是．12．（5分）若正实数a，b，c满足ab＝a+2b，abc＝a+2b+c，则c的最大值为．13．（5分）设函数f（x）＝x3﹣a2x（a＞0，x≥0），O为坐标原点，A（3，﹣1），C（a，0）．若对此函数图象上的任意一点B，都满足成立，则a的值为．14．（5分）若数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝，其中n∈N*，且对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．（1）求角A的大小；（2）若c＝7，，求a的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，且A1F⊥B1C1．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）A1F∥平面ADE．17．（14分）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治．目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园．数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻．若在凌晨6点时刻，测得空气质量指数为29.6．（1）求实数m的值；（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．（参考数值：ln6＝1.8）18．（16分）已知椭圆的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k（x﹣m）（m∈R）与椭圆C相交于P、Q两点．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．①若m＝0，求k1k2的值；②若，求实数m的值．19．（16分）若函数y＝f（x）在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f（x）的极值点．设函数f（x）＝x3﹣tx2+1（t∈R）．（1）若函数f（x）在（0，1）上无极值点，求t的取值范围；（2）求证：对任意实数t，在函数f（x）的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当t＝3时，若函数f（x）的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，间；这样的平行切线共有几组？请说明理由．20．（16分）已知数列{a n}，其中n∈N*．（1）若{a n}满足．①当q＝2，且a1＝1时，求a4的值；②若存在互不相等的正整数r，s，t，满足2s＝r+t，且a r，a s，a t成等差数列，求q的值．（2）设数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项和为c n，c n＝b n+2﹣3，n∈N*，若a1＝1，a2＝2，且恒成立，求k的最小值．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）直线l：2x﹣y+3＝0经过矩阵M＝变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．以极点O为原点，极轴Ox 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被圆C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正实数x、y、z，满足x+y+z＝3xyz，求xy+yz+xz的最小值．[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AD＝1，，点E是棱PB的中点．（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣EC﹣D的余弦值．25．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有＝成立．（1）求a3的值；（2）证明：数列{a n}是等差数列．2019年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．【解答】解：因为：﹣1∈A，﹣1∈B，1∈A，1∈B，2∈B，2∉A，故A∩B＝，故答案为：{﹣1，1}．2．【解答】解：∵z＝a+i，，∴a2+1＝2，∴a2＝1，∴a＝±1．故答案为：±1．3．【解答】解：n×∴n＝80故答案是804．【解答】解：从1，2，3中任选两个数字构成一个两位数，有：12，13，23，21，31，32，共6个基本事件，其中满足条件的有2个，故两位数是偶数的概率为：5．【解答】解：模拟流程图的运行过程如下，输入x＝﹣4时，x＝﹣4+2＝﹣2，x＝﹣2+2＝0，x＝0+2＝2，c＝2×2＝4，则输出c＝4．故答案为：4．6．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，∴＝2，解得m＝6．故答案为：6．7．【解答】解；根据题意，当x＞0时，f（x）＝e x+1，则f（ln2）＝e ln2+1＝3；又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣ln2）＝﹣f（ln2）＝﹣3；故答案为：﹣3．8．【解答】解：∵等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，a2＝2，S3＝7，∴，解得a1＝1，q＝2，∴a5＝＝1×24＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，∴＝＝，F到平面ABC的距离d＝＝＝2，∴三棱锥B﹣EFC的体积为：V B﹣EFC＝V F﹣BCE＝＝＝．故选：．10．【解答】解：根据题意，设直线l为3x+4y＝7，圆（x+1）2+y2＝r2的圆心为M，则A＝{（x，y）|3x+4y≥7}，为直线3x+4y＝7的上方以及直线部分，过点P引圆（x+1）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线P A，PB，若∠APB的最大值为，必有MP的距离最小，此时P在直线3x+4y＝7上且MP与直线l垂直，此时|MP|＝＝2，∠APM＝×∠APB＝，则有r＝|MP|×sin∠APM＝2×＝1，即r的值为1；故答案为：1．11．【解答】解：根据题意，设在y轴右侧与x轴的第二个交点横坐标为α，第三个交点的横坐标为β，则有ω×α+＝2π，ω×β+＝3π，解可得α＝，β＝，若函数f（x）在[0，2π]上恰有2个零点，则≤2π＜，解可得：≤ω＜，即ω的取值范围为[，）；故答案为：[，）．12．【解答】解：∵ab＝a+2b，a＞0，b＞0，∴ab≥8，∴1＜，∵abc＝a+2b+c，∴（ab﹣1）c＝a+2b，∴c＝＝＝1+的最大值．故答案为：13．【解答】解：设B（x，x3﹣a2x），由向量的数量积运算有：则＝（3，﹣1），＝（x，x3﹣a2x），＝（a，0），＝（x﹣a，x3﹣a2x），因为•≤，所以•≤0，即3（x﹣a）﹣（x3﹣a2x）≤0，即（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，又a＞0，由韦达定理可得，方程x2+ax﹣3＝0有一正根，一负根，由高次不等式可得：不等式（x﹣a）（x2+ax﹣3）≥0，在x＞0时恒成立，则：x＝a为方程x2+ax﹣3＝0的正根，即2a2﹣3＝0，又a＞0，则a＝，故答案为：．14．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足a1＝0，a4n﹣1﹣a4n﹣2＝a4n﹣2﹣a4n﹣3＝3，＝＝；当n＝1时，有a3﹣a2＝a2﹣a1＝3，则a2＝3，a3＝6，a4＝3，a5＝，分析可得：在a4n﹣3、a4n﹣2、a4n﹣1、a4n中，最大为a4n﹣1，设b n＝a4n﹣1，则有b1＝a3＝6，且b n+1＝b n+6，变形可得：b n+1﹣8＝（b n﹣8），分析可得数列{b n﹣8}为首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则b n﹣8＝（﹣2）×（）n﹣1＝，则b n＝8﹣，则a4n﹣1＝8﹣，若对任意n∈N*都有a n＜m成立，则m≥8，即m的最小值为8；故答案为：8二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．【解答】解：（1）由，得bc sin A＝bc cos A，因为A∈（0，π），所以tan A＝1，可得：A＝．……（6分）（2）△ABC中，cos B＝，所以sin B＝，所以：sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，..（10分）由正弦定理，得＝，解得a＝5，…（14分）（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A＝”的，扣（1分）；第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）16．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，…（2分）因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1．…（6分）解：（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1，…（8分）因为A1F⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F，又因为A1F⊥B1C1，在平面BCC1B1中，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1，…（10分）在（1）中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD，又因为A1F⊄平面ADE，AD⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE．…（14分）17．【解答】解：（1）由题f（6）＝29.6，代入，解得m＝12，（+）（2）由已知函数求导得：f′（x）＝+600•＝（12﹣x）令f′（x）＝0得x＝12，所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．答：（1）实数m的值为12；（2）每天空气质量指数最高的时刻为12时．18．【解答】解：（1）椭圆C中，2c＝1，两准线间的距离为，得，所以，a ＝2，c＝1，所以，，因此，椭圆C的方程为；（2）①设点P（x0，y0），由于m＝0，则Q（﹣x0，﹣y0），由，得．所以，．②由①得A（﹣2，0）．方法一：设点P（x1，y1），设直线AP的方程为y＝k1（x+2），联立，消去y得，，由韦达定理可得，所以，，代入直线AP的方程得，所以，．由，得，整体代换得．设M（m，0），由P、Q、M三点共线得，即，化简得，所以，m＝1；方法二：设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），联立，消去y得（4k2+3）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，由韦达定理可得，，而＝＝，化简得，得m2k2+mk2﹣2k2＝0，显然k2≠0，所以，m2+m ﹣2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（舍去）．此时，△＞0，因此，m＝1．19．【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3﹣tx2+1，得f′（x）＝3x2﹣2tx，由f′（x）＝0，得x＝0，或x＝t，因函数f（x）在（0，1）上无极值点，所以t≤0或t≥1，解得t≤0或t≥．……………………………（4分）（2）方法一：令f′（x）＝3x2﹣2tx＝p，即3x2﹣2tx﹣p＝0，△＝4t2+12p，当p＞﹣时，△＞0，此时3x2﹣2tx﹣p＝0存在不同的两个解x1，x2．……………………………………………………………………（8分）（方法二：由（1）知f′（x）＝3x2﹣2tx，令f′（x）＝1，则3x2﹣2tx﹣1＝0，所以△＞0，即对任意实数t，f′（x）＝1总有两个不同的实数根x1，x2，所以不论t为何值，函数f（x）在两点x＝x1，x＝x2处的切线平行．…………………………………………………………………8分）设这两条切线方程为分别为y＝（3﹣2tx1）x﹣2+t+1和y＝（3﹣2tx2）x﹣2+t+1，若两切线重合，则﹣2+t+1＝﹣2+t+1，即2[﹣x1x2]＝t（x1+x2），而x1+x2＝，化简得x1x2＝，此时＝﹣4x1x2＝﹣＝0，与x1≠x2矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数t，函数f（x）的图象总存在两条切线相互平行…………………（10分）（3）当t＝3时，f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，由（2）知x1+x2＝2时，两切线平行．设A（x1，﹣3+1），B（x2，﹣3+1），不妨设x1＞x2，过点A的切线方程为：y＝（3﹣6x1）x﹣2+3+1…………………………………………………（11分）所以，两条平行线间的距离d＝，化简得＝1+9，…………………………………………（13分）令＝λ（λ≥0），则λ3﹣1＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2+λ+1）＝9（λ﹣1）2，即（λ﹣1）（λ2﹣8λ+10）＝0，显然λ＝1为一解，λ2﹣8λ+10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解，而＝λ（λ≥0），x1＞x2，x1+x2＝2，所以x1有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组………（16分）20．【解答】解：（1）①由{a n}满足，可得a4﹣a3＝4，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，累加可得a4＝8；②因，可得a n﹣a n﹣1＝q n﹣2，…，a2﹣a1＝1，q＝1时，a n＝n，满足题意；当q≠1时，累加得a n+1＝+a1，所以a n＝+a1，若存在r，s，t满足条件，化简得2q s＝q r+q t，即2＝q r﹣s+q t﹣s≥2＝2，此时q＝1（舍去），综上所述，符合条件q的值为1；（2）由c n＝b n+2﹣3，可知c n+1＝b n+3﹣3，两式作差可得：b n+3＝b n+2+b n+1，又由c1＝1，c2＝4，可知b3＝4，b4＝7，故b3＝b2+b1，所以b n+2＝b n+1+b n对一切的n∈N*恒成立，对b n+3＝b n+2+b n+1，b n+2＝b n+1+b n，两式进行作差可得a n+3＝a n+2+a n+1，又由b3＝4，b4＝7可知a3＝1，a4＝3，故a n+2＝a n+1+a n（n≥2），又由a n+22﹣a n+1a n+3＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2+a n+1）＝（a n+1+a n）2﹣a n+1（a n+2a n+1）＝﹣a n+12+a n a n+2，n≥2，所以|a n+22﹣a n＝1a n+3|＝|a n+12﹣a n a n+2|，所以当n≥2时|a n+12﹣a n a n+2|＝5，当n＝1时|a n+12﹣a n a n+2|＝3，故k的最小值为5．[选修4-2：矩阵与变换]21．【解答】解：设直线l上一点（x，y），经矩阵M变换后得到点（x′，y′），所以＝，即，因为变换后的直线还是直线l，将点（x′，y′）代入直线l的方程，于是2ax﹣（x+dy）+3＝0，即（2a﹣1）x﹣dy+3＝0，所以，解得a＝，d＝1，………………（6分）所以矩阵M的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣a）（λ﹣d）＝0，解得λ＝a，或λ＝d，所以矩阵的M的特征值为与1．…………………………………………………（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2+y2﹣2x＝0，所以圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C（1，0），半径r＝1，…………………………………………（3分）又，消去参数t，得直线l方程为：x+y﹣2＝0，…………………………………………（6分）所以圆心到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆C截得的弦长为：2＝．………………………………………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：因为x+y+z＝3xyz，所以＝3，………………………（5分）又xy+yz+xz＝∴由柯西不等式可得，（xy+yz+xz）（）≥（1+1+1）2＝9，所以xy+xz+yz≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，所以，xy+xz+yz的最小值为3．………………………（10分）[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）24．【解答】解：（1）∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，又∵AD＝1，，∴A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），∵E为棱PB的中点，∴E（，）．∴＝（，1，﹣），＝（0，1，﹣），∴cos＜＞＝，∴异面直线EC与PD所成角的余弦值为；（2）由（1）得＝（，1，﹣），，，设平面BEC的法向量为，由，令x1＝1，得平面BEC的一个法向量为，设平面DEC的法向量为，由，令，得平面DEC的一个法向量为，∴cos＜＞＝，由图可知二面角B﹣EC﹣D为钝角，∴二面角B﹣EC﹣D的余弦值为﹣．25．【解答】（1）解：在＝中，令n＝1，则a1C10+a2C11＝a3﹣1，由a1＝1，a2＝3，解得a3＝5，（2）证明：假设a1，a2，a3，…，a n是公差为2的等差数列，则a n＝2n﹣1，①当n＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝5，此时假设成立，②当n＝k时，若a1，a2，a3，…，a k是公差为2的等差数列，由a1C k﹣10+a2C k﹣11+a3C k﹣12+…+a k C k﹣1k﹣1＝（a k+1﹣1）2k﹣2，k≥2，对该式倒序相加，得（a1+a k）2k﹣1＝2（a k+1﹣1）2k﹣2，所以a k+1﹣a k＝a1+2＝1，所以a k+1＝2k+1＝2（k+1）﹣1根据①、②可知数列{a n}是等差数列．。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案
2019 届高三第一次模拟考试 数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟 )
一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 计 70 分． 1x
1. 已知集合 M ＝ { － 2，－ 1， 0} ， N＝ x 2 >2 ，则 M ∩ N＝ ________．
2. 已知 i 是虚数单位，且复数 z 满足 (1＋i)z ＝ 2，则 |z|＝ ________．
8
名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ________．
5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值 y 为 3，则输入值 x 为________．
6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字 1、 3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为 则 a 与 b 的积为奇数的概率为 ________．
________．
m 的取值范围为
12. 设 a， b 是非零实数，且满足
asinπ7＋
bcosπ 7 ＝
tan10
π，则
b＝
________．
acos7π－
bsinπ 7
21
a
13. 已知函数 f(x) ＝ a＋ 3＋4x－ |x＋ a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，
则实数 a 的值为 ________．
1 拿到试卷：熟悉试卷 刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道 题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效 措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2 答题顺序：从卷首依次开始 一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。所以，正确的做法是从卷首开始依次做 题，先易后难， 最后难， 但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先 做好有保证的题，才能尽量多得分。 3 答题策略 答题策略一共有三点： 1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、熟悉的题，再做综 合题、难题。 2. 先小后大。先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。 3. 先 局部后整体。把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就 能得到一步的分数。 4 学会分段得分 会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分。”不会做的题 目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对， 立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处。如”果题目 有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。 5 立足中下题目，力争高水平 考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中 要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些 题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 6 确保运算正确，立足一次性成功 在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。不 能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。试题做完后要认真做好 解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。 7 要学会“挤”分 考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把 要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做 几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。 8 检查后的涂改方式要讲究 发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。如果对现有的题 解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有的同学先把原来写的题解涂抹了，写 新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！不管 是大型考试还是平时的检测，或多或少会存在一些突发情况。遇到这些意外情况应该怎么办？ 为防患于未然，老师家长们应该在考前给孩子讲清楚应急措施，告诉孩子遇事不慌乱，沉重冷 静，必要时可以向监考老师寻求帮助。
2019年高考试题——数学(江苏卷)解析版
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{}0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____.【答案】{1,6}.【解析】【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可.【详解】由题知，{1,6}A B =I .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值.【详解】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++Q ，令20a -=得2a =.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_____.【答案】5.【解析】【分析】结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可. 【详解】执行第一次，1,1422x S S x =+==≥不成立，继续循环，12x x =+=； 执行第二次，3,2422x S S x =+==≥不成立，继续循环，13x x =+=； 执行第三次，3,342x S S x =+==≥不成立，继续循环，14x x =+=； 执行第四次，5,442x S S x =+==≥成立，输出 5.S = 【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4.函数y =_____.【答案】[1,7]-.【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____. 【答案】53. 【解析】【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可. 【详解】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=， 所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=. 【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】7 10.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C=种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C=种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C=种情况，所以所求的概率为617 1010 +=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线2221(0)yx bb-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y=.【解析】【分析】根据条件求b，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.【详解】由已知得222431b-=，解得b=b=，因为0b>，所以b=因为1a=，所以双曲线的渐近线方程为y=.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.8.已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.9.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10.【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】当直线22gR r 平移到与曲线4y x x =+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线22gR r的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线22gR r4=，故答案为：4． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.【答案】(e, 1).【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=， 当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1x y x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1e x x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．12.如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AC的值是_____.【答案】3.【解析】【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC⎛⎫=-+=-+=⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，得2213,22AB AC=u u u r u u u r即3,AB=u u u r u u r故3ABAC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.13.已知tan2π3tan4αα=-⎛⎫+⎪⎝⎭，则πsin24α⎛⎫+⎪⎝⎭的值是_____.【答案】22221:4AA A A C C CCv a r v v a v r ===. 【解析】【分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当(0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥ 又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(0,9]上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点（-2，0）的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心（1，0）到直线20kx y k -+=的距离为1，2211k k k +=+，得2k =函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点（1,1）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个实根的k 的取值范围为13⎡⎢⎣⎭. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5. 【解析】 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B=，得cos sin 2B Bb b =，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可. 【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3 (1,)2 E--.【解析】【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x轴，所以DF2=222211253()222DF F F-=-=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为22143x y+=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143x y+=，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=±4. 因为点A在x轴上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3 (1,)2 E--.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321.【解析】【分析】解：解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距离．解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P和点B的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长；（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 【详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =； （2）见解析； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值；（2）由题意首先确定a ,b ,c 的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M 的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【详解】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞+0 –0 +()f xZ 极大值] 极小值Z所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==． 列表如下：x1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞+–+所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】 【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{b n }是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定k b 的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m 的最大值． 【详解】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下： x(1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.【答案】（1）115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法运算法则计算2A 的值即可；(2)首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可. 【详解】（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【点睛】本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．22.在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l的距离. 【答案】（1 （2）2. 【解析】 【分析】(1)由题意，在OAB △中，利用余弦定理求解AB 的长度即可；(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B 的坐标结合几何性质可得点B 到直线l 的距离.【详解】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．23.设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -. 【答案】1{|1}3x x x <->或. 【解析】 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集.【详解】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 【答案】（1）5n =； （2）-32. 【解析】 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51的展开式，最后结合平方差公式即可确定223ab -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.25.在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈L 令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意首先确定X 可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列； (2)将原问题转化为对立事件的问题求解()P X n >的值，据此分类讨论①.b d =，②.0,1b d ==，③.0,2b d ==，④.1,2b d ==四种情况确定X 满足X n >的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定()P X n ≤的值.【详解】（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ③若02b d ==，，则AB ≤3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法． 综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．。
2019年高考江苏卷数学高考试题及答案解析(word打印版)
2019年高考江苏卷数学高考试题及答案解析(word打印版)2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项：1.本试卷共4页，共20题，均为非选择题。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.请在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求，并将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，请用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等请加黑、加粗。
参考公式：1.样本数据x1,x2,…,xn的方差s=∑(xi-x)²，其中x=∑xi/n。
2.柱体的体积V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。
3.锥体的体积V=1/3Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合A={-1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则AB= {1,6}。
2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是-2.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是10.4.函数y=7+6x-x²的定义域是(-∞。
+∞)。
5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是2.5.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是0.6.7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/4-y²/9=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是y=3x/2-5/2.8.已知数列{an}(n∈N)是等差数列，Sn是其前n项和。
若a2+a5+a8=0，S9=27，则S8的值是12.9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是80.10.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+1/x的图像上的点，且x>0，则P的最小值是2.11.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1）(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是多少？解析：设点A的横坐标为a，则其纵坐标为lna。
2019年高考数学一模试卷含解析
2019年高考数学一模试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= ．2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk ，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC 面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b xx；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O 于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B={﹣1} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．（S△EFG【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，（S△EFG∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k都是等边三角形，则△A10B10A11+1的边长是512．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC 面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…又C∈（0，π），所以．…（2）因为，所以，所以，又，所以．…又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…=．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…则．…18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G 为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a ＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a ＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a ＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h （x ）=（x ﹣3）lnx ，h′（x ）=lnx ﹣+1，h″（x ）=+＞0恒成立，∴h′（x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴存在x 0，h′（x 0）=0，即lnx 0=﹣1+，h （x ）在（0，x 0）上单调递减，（x 0，+∞）上单调递增，∴h （x ）min =h （x 0）=﹣（x 0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x 0∈（1，2），∴h （x ）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h （x ）有解．20．若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．（1）若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当q=0时，求b xx ；②当q=1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差可得b xx =0×b xx =0，再由b xx =b xx +3，b xx =b xx +3即可；方法二：根据{b n }的首项、段长、段比、段差，⇒b 1=1，b 2=4，b 3=7，b 4=0×b 3=0，b 5=b 4+3=3，b 6=b 5+3=6，b 7=0×b 6=0，…⇒b n }是周期为3的周期数列即可； ②方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差，⇒b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，⇒{b 3n ﹣1}是等差数列，又∵b3n+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n ﹣2方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，b3n+1（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，当m∈N*时，b km+2则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b xx=0×b xx=0，∴b xx=b xx+3=3，∴b xx=b xx+3=6．…方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b xx=b6=6．…②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，+2}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，∴{b3n﹣1又∵b3n+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）﹣2+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…∵，∴，设，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…方法二：∵{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b 3n +1=b 3n ，∴b 3n +3﹣b 3n =b 3n +3﹣b 3n +1=2d=6，∴{b 3n }是首项为b 3=7、公差为6的等差数列， ∴，易知{b n }中删掉{b 3n }的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…以下同方法一．（2）方法一：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， 则等比数列{b n }的公比为，由等比数列的通项公式有，当m ∈N *时，b km +2﹣b km +1=d ，即bq km +1﹣bq km =bq km （q ﹣1）=d 恒成立，… ①若q=1，则d=0，b n =b ；②若q ≠1，则，则q km 为常数，则q=﹣1，k 为偶数，d=﹣2b ，； 经检验，满足条件的{b n }的通项公式为b n =b 或．… 方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， ①若k=2，则b 1=b ，b 2=b +d ，b 3=（b +d ）q ，b 4=（b +d ）q +d ， 由，得b +d=bq ；由，得（b +d ）q 2=（b +d ）q +d ， 联立两式，得或，则b n =b 或，经检验均合题意．… ②若k ≥3，则b 1=b ，b 2=b +d ，b 3=b +2d ，由，得（b +d ）2=b （b +2d ），得d=0，则b n =b ，经检验适合题意． 综上①②，满足条件的{b n }的通项公式为b n =b 或．…数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C ．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…又因为AB是半圆O的直径，故，…则在三角形PDB中有．…[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…解得m=0，λ=﹣4．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…则圆C的圆心到直线l的距离为，…所以．…[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（2）由题意得，．…所以X的概率分布表为：X012345P…所以，X的数学期望为．…26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n ﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…②==．…（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n ﹣1x=．…令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…xx2月1日24926 615E 慞# 35558 8AE6 諦36366 8E0E 踎26989 696D 業h40385 9DC1 鷁o39492 9A44 驄34218 85AA 薪32794 801A 耚31093 7975 祵。
2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)
江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是．3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B 在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈R，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x2+2x+m ＞0”，故答案为“∀x∈R，x2+2x+m＞0”3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，∴Z===i，∴Z的虚部为﹣．故答案为：﹣．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=，由此能求出摸到同色球的概率．【解答】解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到同色球包含的基本事件个数m=，∴摸到同色球的概率p==．故答案为：．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程x=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的右准线方程为x=．故答案为：x=．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函数的定义域是，∴当x＞时，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴实数a的值为．故答案为：．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=，==2+2，求得ω=，再根据五点法作图可得•2+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，可得函数的增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，故答案为：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．【考点】数列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f （6）=∴a≤故答案为：a≤13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c，求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4．（2）若tanA=2，∵tanB=tan=，∴tanC=﹣tan（A+B）===．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．【解答】解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B 在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，…∴AB=24sin，OH=12cos，OE=DE=AB=12sin，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=72（﹣1）…（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=24sin，OH=12cos，OE=AB=12cos，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=144[sin（θ+）﹣1]，…∵0＜θ＜，∴θ+=即θ=时，S max=144（﹣1），此时A在弧MN的四等分点处．…18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A 和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，又B（2，0）由得，∴，故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1”，化简S n+1=tS n+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由条件和（I）求出b n，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出S n，代入b n化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c n，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S n+1=tS n+a（t ≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，S n=tS n﹣1+a，∴（S n+1﹣S n）=t（S n﹣S n﹣1），则a n+1=ta n，又a1=a≠0，综上有，即{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则S n=2n，∴b n=S n+1=2n+1，则==，∴= [（）+（）+] =（）=，代入不等式k（++…+）≤b n，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴S n=，则b n=S n+1=1+=1+﹣，∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+（1+）n﹣（t+t2+…+t n）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{c n}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e x+x﹣1的导数为f′（x）=e x+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a （2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．【考点】弦切角．【分析】连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，，所以∠ODE=30°．在Rt△0DC中，∠DCO=30°，由DC=2，能求出BC的长．【解答】解：连接OD，则OD⊥DC在Rt△OED中，∵E是OB的中点，∴所以∠ODE=30°…在Rt△ODC中，∠DCO=30°…∵DC=2，∴，∴OC==所以BC=OC﹣OB=OC﹣OD==．…B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，即可求实数a、b的值．【解答】解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，所以，解得a=1，b=3．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=【解答】解：当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=所以．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．【考点】不等式的证明．【分析】由a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，运用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性质，即可得证．【解答】证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，所以=，（当且仅当时等号成立）所以．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．【解答】解：（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6．所以P（X=4）=P（X=5）=P（X=6）=属于X的分布列为：P 4 5 6X属于X的数学期望为：5分（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A则∴6次取球后恰好被停止的概率为．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到•的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．【解答】解：（1）设2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)∵焦点F（0，1）∴∵∴，∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3（定值）（2）抛物线方程为y=x∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=∴=0 （定值）第1页（共27页）。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
[数学]2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷带答案解析
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-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。
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2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是．3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【考点】并集及其运算．【分析】A∪B={x|x∈A或x∈B}．【解答】解：A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．命题：“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是∀x∈R，x2+2x+m＞0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是“∀x∈R，x2+2x+m＞0”，故答案为“∀x∈R，x2+2x+m＞0”3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，∴Z===i，∴Z的虚部为﹣．故答案为：﹣．4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出25人．【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出2500×=25人．故答案为：25．5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+ (2)值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出摸到同色球包含的基本事件个数m=，由此能求出摸到同色球的概率．【解答】解：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n==10，摸到同色球包含的基本事件个数m=，∴摸到同色球的概率p==．故答案为：．7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程x=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程，算出它的焦点为F（2，0），即为双曲线的右焦点，由此建立关于a的等式并解出a值，进而可得此双曲线的右准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴2p=8，可得抛物线的焦点为F（2，0）．∵抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，∴双曲线的右焦点为（2，0），可得c==2，解得a2=1，因此双曲线的右准线方程为x=．故答案为：x=．8．已知函数的定义域是，则实数a的值为．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．【解答】解：∵函数的定义域是，∴当x＞时，1﹣＞0；即＜1，∴a＜2x，∴x＞log2a；令log2a=，得a==；∴实数a的值为．故答案为：．9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的单调增区间．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=，==2+2，求得ω=，再根据五点法作图可得•2+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得16k﹣6≤x≤16k+2，可得函数的增区间为[16k﹣6，16k+2]，k∈Z，故答案为：[16k﹣6，16k+2]，k∈Z．10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12] ．【考点】数列的求和．【分析】由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可【解答】解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2﹣4n≥tn2，所以t≤﹣8﹣对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]11．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则•等于0．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量加法的三角形法则得出=+，再利用向量数量积的运算性质求出结果．【解答】解：等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，且=2，∴=+=+（﹣）=+，∴•=（+）•=•+=×6×6×cos120°+×62=0．故答案为：0．12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a （x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是a．【考点】函数恒成立问题；基本不等式．【分析】由基本不等式可得，x+y+3=xy≤，从而可求x+y的范围，然后由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0得a恒成立，则只要a ≤即可【解答】解：∵x＞0，y＞0∴x+y+3=xy≤∴x+y≥6由（x+y）2﹣a（x+y）+1≥0可得a恒成立令x+y=t，f（t）=t+在[6，+∞）上单调递增，则当t=6时f（t）min=f （6）=∴a≤故答案为：a≤13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为（﹣1，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，当x＜0时，f′（x）=3x2+1，因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，所以x1＞0，x2＜0 （否则根据导数相等得出A、B两点重合），所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1所以3﹣1=3+1，即，（x1＞x2，x2＜0）表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B=（1）若a=2，b=2，求c的值；（2）若tanA=2，求tanC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）△ABC中，由条件利用余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos，由此求得c的值．（2）由tanA=2，tanB=tan=，再根据tanC=﹣tan（A+B）=，计算求得结果．【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，b=2，∠B=，由余弦定理可得b2=12=4+c2﹣4c•cos=4+c2﹣2c，求得c=4，或c=﹣2（舍去），即c=4．（2）若tanA=2，∵tanB=tan=，∴tanC=﹣tan（A+B）===．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．【解答】解：（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1∴EF∥平面BC1A1．（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B由（1）知，EF∥A1B∴EF⊥B1C．17．如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，…∴AB=24sin，OH=12cos，OE=DE=AB=12sin，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=72（﹣1）…（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），则AB=24sin，OH=12cos，OE=AB=12cos，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin），S=AB•EH=144（2sin cos﹣2sin2）=144[sin（θ+）﹣1]，…∵0＜θ＜，∴θ+=即θ=时，S max=144（﹣1），此时A在弧MN的四等分点处．…18．已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）因为直线过椭圆的左顶点与上顶点，故可解出直线与坐标轴的交点，即知椭圆的长半轴长与短半轴长，依定义写出椭圆的方程即可．（2）法一、引入直线AS的斜率k，用点斜式写出直线AS的方程，与l的方程联立求出点M的坐标，以及点S的坐标，又点B的坐标已知，故可解出直线SB的方程，亦用参数k表示的方程，使其与直线l联立，求出点N的坐标，故线段MN的长度可以表示成直线AS的斜率k的函数，根据其形式选择单调性法或者基本不等式法求最值，本题适合用基本不等式求最值．法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值．（3）在上一问的基础上求出参数k，则直线SB的方程已知，可求出线段AB的长度，若使面积为，只须点T到直线BS的距离为即可，由此问题转化为研究与直线SB平行且距离为的直线与椭圆的交点个数问题，下易证【解答】解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（﹣2，0），上顶点为D（0，1），∴a=2，b=1故椭圆C的方程为（2）依题意，直线AS的斜率k存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而，由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设S（x1，y1），则得，从而即，又B（2，0）由得，∴，故又k＞0，∴当且仅当，即时等号成立．∴时，线段MN的长度取最小值（2）另解：设S（x s，y S），依题意，A，S，M三点共线，且所在直线斜率存在，由k AM=k AS，可得同理可得：又所以，=不仿设y M＞0，y N＜0当且仅当y M=﹣y N时取等号，即时，线段MN的长度取最小值．（3）由（2）可知，当MN取最小值时，此时BS的方程为，∴要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只须T到直线BS 的距离等于，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0，则由，解得或．又因为T为直线l'与椭圆C的交点，所以经检验得，此时点T有两个满足条件．19．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为S n，且有S n+1=tS n+a （t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1，a=2时，若对任意n∈N*，都有k（++…+）≤b n，求k的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的所有数对（a，t）．【考点】等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）根据条件和“n=1时a1=S1、当n≥2时a n=S n﹣S n﹣1”，化简S n+1=tS n+a（t≠0），再由等比数列的定义判断出数列{a n}是等比数列，利用等比数列的通项公式求出a n；（Ⅱ）由条件和（I）求出b n，代入化简利用裂项相消法求出，代入已知的不等式化简后，利用函数的单调性求出对应函数的最小值，从而求出k的取值范围；（Ⅲ）利用条件和等比数列的前n项和公式求出S n，代入b n化简后，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出c n，化简后利用等比数列的通项公式特点列出方程组，求出方程组的解即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）由题意知，首项为a，且S n+1=tS n+a（t ≠0），当n=1时，则S2=tS1+a，解得a2=at，当n≥2时，S n=tS n﹣1+a，∴（S n+1﹣S n）=t（S n﹣S n﹣1），则a n+1=ta n，又a1=a≠0，综上有，即{a n}是首项为a，公比为t的等比数列，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=2，则S n=2n，∴b n=S n+1=2n+1，则==，∴= [（）+（）+] =（）=，代入不等式k（++…+）≤b n，化简得，k≤=3（4n+），∵函数y=在（，+∞）上单调递增，且n取正整数，∴当n=1时，函数y=取到最小值是15，∴k≤45；（Ⅲ）∵t≠1，∴S n=，则b n=S n+1=1+=1+﹣，∴c n=2+b1+b2+…+b n=2+（1+）n﹣（t+t2+…+t n）=2+（1+）n﹣×=++，由题设知{c n}为等比数列，所以有，解得，即满足条件的数对是（1，2）．20．已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e x+x﹣1的导数为f′（x）=e x+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=e x﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a （2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．数学Ⅱ（附加题）A．（几何证明选讲）21．如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．【考点】弦切角．【分析】连接OD，则OD⊥DC，在Rt△OED中，，所以∠ODE=30°．在Rt△0DC中，∠DCO=30°，由DC=2，能求出BC的长．【解答】解：连接OD，则OD⊥DC在Rt△OED中，∵E是OB的中点，∴所以∠ODE=30°…在Rt△ODC中，∠DCO=30°…∵DC=2，∴，∴OC==所以BC=OC﹣OB=OC﹣OD==．…B．（矩阵与变换）22．已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为，求实数a、b的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，即可求实数a、b的值．【解答】解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=b，所以，解得a=1，b=3．C．（极坐标与参数方程）23．将参数方程（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=【解答】解：当t=0时，y=0，x=cosθ，即y=0，且﹣1≤x≤1；当t≠0时，sinθ=，cosθ=所以．D．（不等式选讲）24．设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证： ++≥9．【考点】不等式的证明．【分析】由a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，运用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性质，即可得证．【解答】证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，所以=，（当且仅当时等号成立）所以．三.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．已知一口袋中共有4只白球和2只红球（1）从口袋中一次任取4只球，取到一只白球得1分，取到一只红球得2分，设得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）从口袋中每次取一球，取后放回，直到连续出现两次白球就停止取球，求6次取球后恰好被停止的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6，再分别求出其复数的概率，即可得到X的分布列，进而得到其数学期望．（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A，后面两次一定是白球，前面4次可以出现白球，只要保证出现的白球不连续出现2次并且与后面的白球也不连续即可．【解答】解：（1）根据题意可得：X的可能取值为4、5、6．所以P（X=4）=P（X=5）=P（X=6）=属于X的分布列为：P 4 5 6X属于X的数学期望为：5分（2）设“6次取球后恰好被停止”为事件A则∴6次取球后恰好被停止的概率为．26．在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x2=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．（1）求：•的值；（2）证明：为定值．【考点】平面向量数量积的运算；抛物线的简单性质．【分析】（1）先设出动点A、B的坐标，结合，消去λ求出A、B的坐标之间的关系，即可得到•的值；（2）先求出过A、B两点的切线方程，联立求出M的坐标，再代入整理即可得到答案．【解答】解：（1）设∵焦点F（0，1）∴∵∴，∴x1x2=﹣4∴y1y2==1∴=﹣3（定值）（2）抛物线方程为y=x∴过抛物线A、B两点的切线方程分别为y=即y=∴=0 （定值）第31页（共31页）。