高中数学圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义圆锥曲线的统一定义：1. 什么是圆锥曲线：圆锥曲线是指满足特定条件的曲线，它利用三角函数与立体几何图形结合生成。
简言之，当一条曲线贯穿一个圆孤和一个平面，并在圆上和平面上满足有关关系时，它就是圆锥曲线。
2. 圆锥曲线的数学特征：圆锥曲线是一种曲线，它满足特定的约束关系，可以由方程组表示：r=z/cosθ或r=1/sinθ。
其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离，z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离，θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
3. 圆锥曲线的物理应用：圆锥曲线是多方面用途，在工程应用中有着重要地位，主要是因为圆锥曲线可用来表示周向和纵向的形变，它们也经常用于航空、船舶和汽车的设计。
例如，它可以用来表示飞机机翼的形状。
4. 圆锥曲线的构成：圆锥曲线由一个圆锥和一个平面构成，所以它也常被称为圆锥-平面曲线，是指当一条曲线贯穿一个圆锥和一个平面，并在圆锥上和平面上满足有关关系（且这两个关系上的函数要满足l次可积方程）时，它就称为圆锥曲线。
5. 相关几何定义：圆锥曲线通过以下几何定义确定：它可以由一个圆柱体和一个平面构成，其中圆柱体由一条等流线和一条垂直于它的矢量组成，平面由它的法线矢量和一条曲线组成。
该曲线（椭圆或双曲线）的一条切线扫描等流线，而另一条切线与平面的法线构成的平面垂直；这两条切线将圆柱体分成两个由圆盘和一段圆锥组成的元件。
6. 解析表达式：可以使用两个方程描述圆锥曲线：r=z/cosθ或r=1/sinθ，其中，r为曲线上任意点到圆锥的拱顶的距离；z为曲线上任意点到圆锥的中心的距离；θ为曲线上任意点到拱顶的夹角。
结合几何定义及数学特征，可以更容易地理解两个方程。
圆锥曲线知识简介
圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线。
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
第9讲：圆锥曲线的统一定义
第9讲：圆锥曲线的统一定义【知识整合】1. 圆锥曲线的统一定义圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
当10<<e 时，它表示椭圆； 当1>e 时，它表示双曲线； 当1=e 时，它表示抛物线。
其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点定直线l 是圆锥曲线的准线。
2. 椭圆的第二定义（1）焦点与准线的对应关系 对于方程)0(12222>>=+b a by ax ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为cax 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为cax 2=；对于方程)0(12222>>=+b a bx ay ，上焦点),0(1c F 对应的准线cay 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为cay 2-=。
（2）椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
3. 双曲线第二定义（1）焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程cax 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程cax 2=。
（2）双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：对于方程)0,0(12222>>=-b a by ax若),(11y x P 在左支上，1211,ex a PF ex a PF -=--=；若),(11y x P 在右支上，1211,ex a PF ex a PF +-=+=。
高中数学-圆锥曲线第四节(巧妙讲解)
2、 只适用于过焦点的弦长；勿跟第一般弦长公式混为一谈； 3、抛物线的 e 1 ,则 AB
2P ,利用该公式可以求过焦点的抛物线的最大弦长； sin 2
4
2、当 P ( x0 , y0 ) 在下支时,
PF1 ey0 a ; PF2 ey0 a
★说明：双曲线的焦半径公式很多,抓住统一定义,根据题目需要,现场去推导,否则极容易出错；
3、抛物线定义
p 到焦点的距离与到相应准线的距离的比为离心率；
如图三： 有：
y
PF PM
如图二： 有：
F1 O F2
PF1 PM 1(e 1)
K1
图二
K2
1
圆锥曲线
设 P ( x0 , y0 ) ,点 P 在右支,则根据定义有：
同理可得： （1） 、焦点在 x 轴时,当 P ( x0 , y0 ) 在左支时, （2） 、焦点在 y 轴时,（ F1 为下焦点） ； 1、当 P ( x0 , y0 ) 在上支时,
e, (e 1) ; PF PM PF x0 p 2 p ; 2
M
P
设 P ( x0 , y0 ) ,则根据定义有
1 PF x0
O
F
x
同理可得：
p （1） 、焦点在 x 轴负半轴时； PF x0 ; 2 p （2） 、焦点在 y 轴正半轴时； PF y0 ; 2 p （3） 、焦点在 y 轴负半轴时； PF y 0 ; 2
圆锥曲线
第四节、圆锥曲线统一定义 【知识梳理】
一、圆锥曲线统一定义：
平面内的动点 P ( x, y ) 到一个定点 F (c,0) 或 F (0, c ) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之比是一个常数 e 0 ,动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F (c,0) 或 F (0, c ) 称为焦点, 定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率；当 0 e 1 时,轨迹为椭圆；当 e 1 时,轨迹为抛物线； 当 e 1 时,轨迹为双曲线,以下是三种曲线的详细表达. 1、椭圆的定义
圆锥曲线公式及知识点总结
圆锥曲线公式及知识点总结圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e的点的轨迹。
数学里有很多公式，为了帮助大家更好的学习数学，小编特地为大家整理了圆锥曲线公式及知识点总结，希望对大家的数学学习有帮助。
圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中a>b>0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)y²=2px(p>0)范围x∈[-a,a]x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)x∈[0,+∞)y∈[-b,b]y∈Ry∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0)(c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/cx=±a²/cx=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x—————离心率。
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
2 12丄2(X ∙ a)a y_ 2b2 2.22b丄 b2・・讨=X — Xa a圆锥曲线间的三个统一内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班 高卓玮 指导老师：薛红梅世界之美在于和谐，圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一，通过对圆锥曲 线图形和已知公式的变换，我们可以得出以下结论。
一、 四种圆锥曲线的统一定义动点P 到定点F 的距离到定直线L 的距离之比等于常数e,则当O ：：： e ：：： 1时， 动点P 的轨迹是椭圆：当e=1时，动点P 的轨迹是抛物线；当e 1时，动点P 的轨迹是双曲线；若e = O ,我们规定直线L 在无穷远处且P 与F 的距离为定值(非零)，则此时动点P 的轨迹是圆，同时我们称e 为圆锥曲线的离心率，F 为 焦点，L 为准线。
二、 四种圆锥曲线的统一方程从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们 把椭圆、双曲线进行平移，使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合，记它们2的半通径为P ,则P =L 。
a2 2如图1 ,将椭圆罕■笃=1(a b O)按向量(a,O )平移a b二椭圆的方程可写成 y 2 = 2 px ' (e 2 -1) χ2( O ：：: e ：：: 1 )2 2类似的，如图2，将双曲线 —--^2 -1(a - O, b - O)按向量(-a, O)平移得到a b得到2(X -a)2a2 2bb2…y = X ~ Xaa•••椭圆的半通径 b 2 IF I M I |= p =—，ab 2~ =1 —eT 双曲线的半通径IF 2M 2I = L , b y =e 2 一1a a∙°∙双曲线方程可写成y = 2 px ∙ (e? 一 1)χ2 (e . 1)对于抛物线y 2 =2px(x .0) P 为半通径，离心率e =1，它也可写成2 2 2y 2 px (e -1) X (e =1)对于圆心在(P ，0)，半径为P 的圆，其方程为(X- p)2 + y 2 = p2，它也可 写成『=2 px 亠(e T)x?(^= 0)于是在同一坐标下，四种圆锥曲线有统一的方程y 2 =2px (e 2 -1)x 2 ,其中P 是曲线的半通径长，当e=0，0 ::： e ::： 1， e =1,e . 1时分别表示圆、椭圆、 抛物线、双曲线。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义一、椭圆的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()01ce e a=<<时,这个点的轨迹是椭圆.一般称之为椭圆的第二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数e 是椭圆的离心率. 2.推导过程:例1 点()M x y ,与定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数()0ca c a>>,求点M 的轨迹.解:设d 是点M 到直线l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭. 由此得222()x c y c aa x c-+=-. 将上式两边平方,并化简,得22222222()()a c x a y a a c -+=-. 设222a cb -=,就可化成22221(0)x y a b a b+=>>.这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴长为2a ,短轴长为2b 的椭圆. 二、双曲线的第二定义及其推导过程1.定义:当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数()1ce e a=>时,这个点的轨迹是双曲线圆.一般称之为双曲线的第二定义,定点是双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数e 是双曲线的离心率. 2.推导过程:例2 点()M x y ,到定点()0F c ，的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数()0cc a a>>,求点M 的轨迹. 解:设d 是点M 到直线l 的距离.根据题意,所求轨迹就是集合|MF c P M d a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭, 由此得222()x c y c aa x c-+=-,化简,得22222222()()c a x a y a c a --=-. 设222c a b -=,就可化为22221(00)x y a b a b-=>>,这是双曲线的标准方程,所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线(如图1).对于双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，,相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c =,根据双曲线的对称性,相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-,所以双曲线有两条准线.三、几点说明:1.圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离之比等于常数e 的点的轨迹:0<e <1时, 它表示椭圆；e >1时, 它表示双曲线；e =1时, 它表示抛物线,这里e 为离心率, F 为焦点,l 为准线2.第二定义中的定直线是任意直线,定点也是任意的(不在定直线上),这样得到的圆锥曲线方程不一定是标准形式.3.应用圆锥的第二定义要把握两个关键点:①必须是点到焦点的距离与点到相应准线的距离的比；②必须是焦点距与对应准线距的比.四、第二定义的典型应用 1、直接应用与求焦点弦长.例 1 (1)椭圆22110064x y +=上有一点P ,它到椭圆的左准线的距离等于10,则点P 到它的右焦点的距离为 ；(2)过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,A x y B x y ,,,若126x x +=,则AB 的长为 .解:(1) 解:∵2210064a b ==，,∴22100646c a b =-=-=.∴63105c e a ===. 依椭圆的第二定义,设P 点到椭圆左焦点的距离为x ,则3105x =.∴6x =. ∴点P 到椭圆右焦点距离为210614⨯-=.(2)设AB 的中点为E,点A 、E 、B 在抛物线准线l :1x -=上的射影分别为G 、H 、M.由第二定义知:8)1(2x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=. 2、求离心率及其取值范围.例2 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为1F ,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离,求椭圆的离心率.解:如图,AB 是过F 1垂直于x 轴的弦,|C F |1为F 1到准线l 1的距离,AD ⊥l 1于D,则|AD|=|F 1C|,由题意知|AB |21|AF |1=.由椭圆的第二定义知:21|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11==== 例3 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>,12F F ,分别是左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率e 的取值范围.解:设点P(00y x ，),则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=,0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. 因为21F PF ∆为直角三角形,所以2212221|F F ||PF ||PF |=+.即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++解得2222e a c 2x -=,由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤.2222a e a c 20<-≤∴,解得1e 22<≤. 3、求点的坐标例4 双曲线2213y x -=的右支上一点P ,到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2:1,求点P 的坐标.解:设点P(00y x ，)(0x 0>),双曲线的左准线为l 1:21x -=,右准线为l 2:21x =,则点P 到l 1、l 2的距离分别为21x d 21x d 0201-=+=，.所以,1221x 21x d d PF PF 002121=-+==,解得23x 0=. 将其代入原方程,得215y 0±=.因此,点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，. 4、求最值例5 已知点()23A -，,设点F 为椭圆2211612x y +=的右焦点,点M 为椭圆上一动点,求2MA MF +的最小值,并求此时点M 的坐标.解:如图,过点A 作右准线l 的垂线,垂足为N,与椭圆交于点M.∵椭圆的离心率21e =∴由第二定义得|MN ||MF |2= ∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长,且1082|AN |=+=∴|MF |2|AM |+的最小值为10,此时点M 的坐标为(32,3).巩固练习:1.椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是23b ,则该点到椭圆左焦点的距离为 .解:设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F ,该椭圆的离心率为3e =,由圆锥曲线的统一定义可知,23232332PF e b b b =⋅=⨯=所以,12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b .2.点P 在椭圆225x +29y =1上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的横坐标是_____.12253.椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则2PF 等于 .27解法一:(如下图)设椭圆的右焦点为F 1,左焦点为F 2,过F 1垂直于x 轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P .∵42x +y 2=1,∴a =2,b =1,c =3.∴F 1(3,0).设P (3,y P )代入42x +y 2=1,得y P =21,∴P (3,21),|PF 1|=21.又∵|PF 2|+|PF 1|=2a =4,∴|PF 2|=4－|PF 1|=4－21=27.解法二:椭圆的左准线方程为x =－c a 2=－334.∵|)334(3|||2--PF =e =23,∴|PF 2|=27. 解法三:由解法一得P (3,21),又F 2(－3,0),∴|PF 2|=22)021()]3(3[-+--=27.4.如果双曲线264x －236y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么P 到它的右准线距离是 .532解析:利用双曲线的第二定义知P 到右准线的距离为e 8=8×108=532. 5.点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1,则点M 的轨迹方程为 . 解:可知原条件⇔M 点到(4,0)F 和到4x =-距离相等,由抛物线的定义,点M 的轨迹是以(4,0)F 为焦点,4x =-为准线的抛物线.∴8=p ∴所求方程是x y 162=.6.已知P 为抛物线24y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),则PA d +的最小值为 .134-7.已知点()()3220A F ，,，,在双曲线2213y x -=上求一点P ,使12PA PF +的值最小.解:∵1a b ==，∴2c =,∴2e =.设点P 到与焦点(20)F ，相应的准线的距离为d ,则2PFd=, ∴12PF d =.∴12PA PF PA d +=+,该问题就转化为在双曲线上求点P ,使点P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小,即直线PA 垂直于准线时符合题意,∴23P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.8.定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动,设点M 为线段AB 的中点,求点M 到y 轴的最小距离. 解:抛物线焦点1(,0)4F ,准线l :14x =-, 设点A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ,设点00(,)M x y , 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+≥,又11111||(||||)||22MM AA BB AB =+≥, 又101|4MM x =+,||3AB =,∴01342x +≥,所以054x ≥,即0x 的最小值是54.∴点M 到y 轴的最小距离是54,当且仅当AB 过点F 是取得最小距离.9.已知双曲线22x a -22y b=1的离心率e >12+,左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ,能否在双曲线的左支上找一点P ,使得212PF PF d =⋅(其中d 是P 到l 的距离)?解:设在左支上存在P 点,使|PF 1|2=|PF 2|·d ,由双曲线的第二定义知d PF ||1=||||12PF PF =e ,即|PF 2|=e |PF 1|. ①再由双曲线的第一定义,得|PF 2|－|PF 1|=2a . ②由①②,解得|PF 1|=12-e a ,|PF 2|=12-e ae ,∵|PF 1|+|PF 2|≥|F 1F 2|,∴12-e a +12-e ae≥2c . ③ 利用e =ac,由③得e 2－2e －1≤0,解得1－2≤e ≤1+2.∵e >1, ∴1<e ≤1+2与已知e >1+2矛盾.∴在双曲线的左支上找不到点P ,使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项.10.已知点P 在双曲线221169x y -=上,并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰好是P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,求P 点的横坐标.M1M。
运用《几何画板》演示圆锥曲线的统一定义
的值记 为 ｂ ， 计算 的值 ， 过点 Ｆ作准线 ｚ 的垂线 ， 垂 足
为 Ｌ， 因为此时点 Ｆ为双 曲线 的右焦 点 ， 所 以要将 点 Ｌ
一
２
向左平移 个单位得 到点 ０， 将 ０标记为 原点建立新 的 坐标 系 ， 以 ０和 Ｋ 构造圆， 在 该 圆上 取 一 点 Ｐ， 度 量
离心率小 于 １时得 到椭 圆 ， 按下 动 画按 钮 ， 让 学 生观 察
轴 的交点标 签 为 Ｚ， 度 量 Ｚ Ｏ Ｐ 的值 ， 因为 椭 圆 的参
动点到定点和定直线 的距离 的 比有何 变化． 调 节离 心率 等于 １ 时得 到 抛物 线 ， 调 节 离心 率 大 于 １时得 到 双 曲 线． 通 过 以上 的演 示 ， 加 深学生 对 圆锥 曲线统一 定 义 的
２
． ２
点 Ｊ， 度量点 Ｊ的纵坐标 ｙ ， 计算 的值 ， 以 的值为横
坐标 ， 为纵坐标绘制点 Ｍ ， 选择点 Ｍ 、 Ｊ构造轨迹便 可 得到抛物线． 生成 点 Ｊ的动 画并设 置 按钮 ， 标签 该按 钮 为“ 抛物线动 画” ． 度量点 Ｍ、 Ｆ间的距离及点 Ｍ 到准线 ｌ
．
条定直线 的距离 的比是常数 ｅ 的点 的轨 迹 ， 当Ｏ ＜ｅ ＜ 从 以上定义 可知 ， 只要 给 出一个 定 点 、 一 条 定直 线
１时是椭 圆 ， 当ｅ 一１时是抛物线 ， 当Ｐ ＞１时是双 曲线． 和离心率 的值 ， 就可 以确定 相应 的圆锥 曲线． 那么， 怎 么 由一个 定点 、 一 条定直线 和离心率 ｅ 的值画 出圆锥 曲
线并 能方便地演 示 给学 生看 呢？利 用《 几何 画板 》 这 个 工具就 能很好地 实现这 个 目的 ， 现介绍如下． 打开几何 画板 ５ ． ０ ３迷 你增 强 版 ， 点 击编 辑 按钮 一 点参数选 项一 选 择 角 度为 弧 度 ， 精确 度 调 为 十万 分 之 一； 画一 直线标 签为 “ 定直 线 （ 准线 ） ” ， 在直线 右 方取 一 点 Ｆ并标签为“ 定点 （ 焦点 ） ” ．
曲线与方程
曲线与方程【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)cc a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上） 的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线． 其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：曲线与方程概念的理解一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解； （2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线. 要点诠释：（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）. （3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．要点三：关于坐标法与解析几何1.解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.2.解析几何的两个基本问题：①根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； ②通过方程，研究平面曲线的性质.3.根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法. 定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.要点四：求曲线方程①建系：建立适当的直角坐标系； ②设点：设动点坐标P(x,y)；③列式：写出动点P 满足的几何条件，把条件坐标化，得方程F(x, y)=0；④化简：化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解； ⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线是。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义学习目标：1.了解圆锥曲线的共同性质并能够解决简单问题.2.能够熟练运用直接法和定义法求曲线方程.课前预学阅读教材P55-56页内容，完成以下问题：问题1:我们通常把 、 、 统称为圆锥曲线.问题2: 圆锥曲线的统一定义椭圆:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个椭圆,定点F 是椭圆的 ,定直线l 是椭圆的一条准线,比值常数是椭圆的离心率.双曲线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比是一个 的常数时,动点P 的轨迹是一个双曲线,定点F 是双曲线的 ,定直线l 是双曲线的一条准线,比值常数是双曲线的离心率.抛物线:动点P 到定点F 的距离与到定直线l (不经过定点F )的距离之比 时,动点P 的轨迹是一个抛物线,定点F 是抛物线的 ,定直线l 是抛物线的 ,比值常数是抛物线的离心率.问题3:圆锥曲线的共同性质圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当 时,圆锥曲线是椭圆;当 时,圆锥曲线是双曲线;当 时, 圆锥曲线是抛物线.我的疑惑：预学检测1.动点M (x ,y )到定点F (5,0)的距离和它到定直线l :x=错误！未找到引用源。
的距离的比是错误！未找到引用源。
,则动点M 的轨迹形状是 .2.直线y=kx-k+1与椭圆14922=+y x 的位置关系是 . 3.若双曲线的一个焦点为F (0,2),相应准线方程是y=1,则双曲线方程是 .4.已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离相等,求曲线方程. 课堂探究【问题1】已知曲线上的点M (x ,y )到定点F (2,0)的距离和它到定直线l :x=8的距离的比是错误！未找到引用源。
, 求曲线方程.变式1：若双曲线错误！未找到引用源。
的一条渐近线和一条准线的交点是(1,错误！未找到引用源。
高考数学25个必考点专题22圆锥曲线的统一定义省公开课一等奖百校联赛赛课微课获奖课件
yA
P
则只需|PF1|+|PA|最小即可, 即P, F1 , A三点共线.
F
O
F1 x
4 | F1 A | 4 9 16 9.
第7页
例4. 若点A 坐标为（3,2）,F 为抛物线 y2=2x 焦点，点P 在抛物线上移动时， 求|PA|+|PF |最小值，并求这时P 坐标.解析y l来自dPNA
高考数学25个必考点—
解析 几何
—专题复习策略指导
圆锥曲线统一定义
第1页
例1.已知椭圆
x2 25
y2 16
1上一点B到右准线距离为10,
求B点到左焦点距离.
解析
法二
d1
10
F1
第2页
解析
解得:
∴b2＝a2－c2 ＝12-3＝9 ∴所求椭圆标准方程为:
BF1 =ed1
a b
6c0°
第3页
例2.已知A（-1,1),B（1,0),点P在椭圆上运动，x2 y2 1求|PA|+2|PB|最小值. 43
第一定义：PF1+PF2=2a.
统一定义： PF=ed.
解析
AF=3ed.
d
2d C 3dd’
第6页
例3.已知F是双曲线
x2 4
y2 12
1
左焦点,
A(1,
4),
P是双曲线右支上
动点，则|PF|+|PA|最小值为
9.
解析 F1(4, 0), |PF|-|PF1|=4. ∴|PF|+|PA|= 4+|PF1|+|PA|.
1 2
o
F
x
第8页
变1.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点F距离为5，
高中三年级数学 圆锥曲线的统一定义及其应用
问题2 刘洋同学身高1.7 m, 若在这次跳投中，球在 头顶上方0.25 m处出手， 问：球出手时，他跳离 地面的高度是多少？
3.5m 2.5m
4m
3.05 m
三 归纳小结
1、圆锥曲线的统一定义 2、利用统一定义解决求轨迹，求最值等问题 3、圆锥曲线在生活中的作用
一 创设情境 问题1:圆锥曲线形成的方法： 问题2：抛物线的定义是什么？ 问题3：当距离不相等，动点的轨迹又是什么呢？
一 创设情境
问题3：根据这个常数的变化，你能总结出椭圆、 双曲线、抛物线与这个常数有什么关系？
问题4：你能根据椭圆、双曲线、抛物线的联系给它们 下一个统一的定义吗？ 圆锥曲线的统一定义：
A y 8x2( x 0) B y2 8x( x 0) C x2 8 y( x 0) D x 8 y2( x 0)
练习一
1.动点P到点F（2，0）的距离比到x=-3的距离小1， 则点P的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.双曲线的一支
2.动点P(x,y)满足 ( x 1)2 ( y ， 2则)2点P1的
如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管OP=1 m,水从 喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下,若最 高点距水面2m,P距抛物线对称轴1m,则在水池直径 的下列可选值中,最合适的是( )
A 2.5m B 4m
C 5m
D 6m
P O
练习三
如图，有一次,我班刘洋同学在距篮下4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水 平距离2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确 落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
平面上到一个定点F的距离和它到定直线L的距 离之比是一个常数e的点的轨迹是圆锥曲线。
圆锥曲线知识点
高中数学选修圆锥曲线知识点圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。
当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a} 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数) 范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0), (-a,0) (0,0)【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby ax .椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即22y a x b K AB-=。
圆锥曲线与方程知识总结
高二数学圆锥曲线与方程单元复习与巩固知识网络知识要点梳理知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。
平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。
定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。
知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。
(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率：.知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。
(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。
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师：那么，怎样建系来研究P点的轨迹呢？ 生：以过点F且垂直于定直线的直线为x轴，取O点，使 点F的坐标为，建立直角坐标系（如图），点P的坐标设 为，常数为.
师：很好，定直线的方程应该是什么呢？ （学生思考，并尝试计算） 生：P可以取特殊点（比如右顶点），可以求出定直线的方程为.
师：太棒了，有时研究特殊情形，会有意想不到的效果。
2.对教材的思考
新课程理念倡导教师，学生在课堂上一起生成发展的教学模式，
体现“用教材教而不是教教材”的思想，注重师生间的互动。因此，用
教材而不是教教材，要求教师能利用教材进行重新组合。课本的思考题
和例一比较突然，不够自然。本节课通过（1）探求；
（2）剖析；（3）引申；（4）回归本质；这几个环节，让引入更自然. 这样的处理有别于传统教学的传授方法，更能增强学习的探究意识， 也与新课程的教学理念相吻合。
六、教学反思：
1.核心观点
培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，让学生经历思想
方法的形成过程，这是基本而重要的。在这节课的教学中，要特别注意
引导学生学会运用类比、归纳、猜想等方法，突出培养学生的探究能
力，让学生了解探究问题的一般过程： 提出问题 试一试 大胆猜测 小心求证 应用 总结提升 从而，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
大显身手 布置课外作业：课本习题2.5第１题（填在课本上）
课本习题2.5第2题． 设计意图：回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容. 强化基 本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质，发现和弥补教学 中的遗漏和不足。
五、板书设计：
课题：§1.2.3 诱导公式
PPT投影区 例题板演区 认识公式区 推导方程 画图区 统一定义
动手试一试 师：（打开几何画板）当常数不等于1时，我们来看看它们的图像.
师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像. （学生有点想法了） 师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化（一分钟） （学生的想法越来越清晰）
设计意图：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验 探索的问题情境，让学生观察，为猜想的形成提供足够的感性认识基础.
通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感 受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：
教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程（准线方程） 教学手段：多媒体辅助教学 教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导
四．过程实录：
温故而知新 师：我们知道，平面内到一个定点的距离和到一条定直线不在上的 距离的比等于常数1的动点的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）. d P F
常数1
根据此定义，适当改变条件，你能提出哪些有意义的问题？ （等待1分钟）
设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步 解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作) 1. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？ 2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么
呢？ 3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什
， 将其变形为，原来，“到定点距离与到定直线距离之比为定值”早就蕴 涵在其中。
再进一步
师：如果我们将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又 发生如何变化呢？
学生思考，并很快类比得到 结论2：当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个 点的轨迹是双曲线，方程为（其中），这个常数就是双曲线的离心率． 设计意图：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而为引导学生建
中。这个常数就是椭圆的离心率．
师：我们来一起进一步认识一下（*）式： （1）将（*）式变形，，说明，求椭圆上的点到焦点的距离，可以 先转化为求此点到定直线的距离；又由，求椭圆上的点到定直线的距 离，可以转化为求此点到焦点的距离； 进一步：（*）式可变形为：，从而，椭圆上的点到焦点的距离可 由此点的横坐标求出； （2）在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子：
回味余香
师：这节课你有什么收获？
（留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。） 生：回顾、总结，互相补充 师：通过本节课的学习，圆锥曲线在多方面达到和谐统一：方程 (二次)、图形(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、离心 率、对称性等)、研究方法(内容、工具思想). 设计意图：圆锥曲线在多方面达到统一，对思想的提升，需要老师 点出。
3. 现代化教学手段的运用 以多媒体为主的现代教育手段，可以有效的突破课堂教学时空的局 限，弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课用电脑呈现随着离心率 的连续变化，曲线的演变过程，大大激发学生的学习兴趣，有利于学生 在教学重点难点上的突破，提高学生知识的吸收率。
好本课内容的信心。 饕餮美食
3．已知 椭圆上一点P到左焦点的距离为， （1）求P点到右准线的距离. （2）求P点的坐标。 生：尝试解决，并提出了两种解法 师：总结这两种解法，强调转化思想和对应性 设计意图：1、2两题是与准线方程有关的问题，巩固重点；2、3两 题以椭圆作为背景，这是因为江苏高考对椭圆的要求较高，对双曲线、 抛物线的要求较低。
师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么 样的关联？
生：可以看到当这个常数在（0,1）之间时，轨迹像椭圆，当这个 常数大于1时，轨迹像双曲线。
师：一边肯定学生的回答一边板书. 合作探究
师：那么，当这个常数在（0，1）之间时，轨迹是不是椭圆，当这 个常数大于1时，轨迹是不是双曲线呢？我们先研究这个常数在（0， 1）之间时的情况.
二．目标分析：
鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课 的教学目标： （一）知识和技能：
通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的 标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。 （二）过程与方法
通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归 纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； （三）情感与价值观
立圆锥曲线的统一定义奠定基础. （教师引导学生共同来发现规律） 渐入佳境
师:结论1、结论2，联想到抛物线的定义，你有什么想法？ （学生讨论） 生：圆锥曲线可以统一定义为：（老师板书） 平面内到一个定点和到一条定直线（不在上）的距离的比等于常数 的点的轨迹． 当时，它表示椭圆； 当时，它表示双曲线； 当时，它表示抛物线． 师：是圆锥曲线的离心率，定点是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥 曲线的准线．
高中数学 圆锥曲线的统一定义
教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52） 江苏省泰州中学 宋健
1． 教材分析：
《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对 本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念, 了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭 圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认 识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识 的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问 题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到 圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系， 使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反 思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
师：如图，哪些线段的比是常数？ 生：. 生(补充)：还有. 师：(强调对应性)，左顶点对应左准线，右顶点对应右准线. 设计意图：对于焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程，由对称性，学 生在遇到这类问题时会很快解决问题，没有必要单独介绍。
师：今天我们一起学习了一些新知识，我有些迫不及待的想用这些 知识了。
小菜一碟
1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程 生：自主完成
师：巡视释疑，提醒学生注意将方程先变成标准形式，对于焦点在
y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程，可类比焦点在y轴上的曲线的焦点
坐标和准线方程。 设计意图：通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结
方法规律. 慢慢品尝
2．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 生：自主完成 师：巡视释疑，先定方程形式（焦点位置），再解出基本量. 设计意图：学生自主完成，有利于学生对基础知识的掌握和增强学
前面已经研究过椭圆，如果这个轨迹是椭圆的话，这个定点会是椭 圆的什么，这个常数又是椭圆的什么量？
生：定点是椭圆的焦点，常数应该是椭圆的离心率. 师：怎么说明轨迹是椭圆呢？ 生：一是回到定义，也可以看看满足条件的动点P的轨迹方程，如 果它是椭圆的标准方程，就可以证明猜想成立. 设计意图：一步步把学生思维从感性引向理性. d P F O
小试牛刀
师：下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨： （1）椭圆和双曲线有几条准线? （2）准线方程分别是什么？
生：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线有两条准线，对于中 心在原点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，与焦点对应的准线方程分别 为．
M y x d F2 F1 o
F2 F1
x
y
P Q A B C D
问题就变为：已知平面内点到定点的距离与它到定直线的距离的比
是常数，求点的轨迹．
（学生先在稿纸上尝试后回答，老师板书）
解：根据题意可得 化简得
（*）
令，上式可化为，这是椭圆的标准方程．
设计意图：让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。
小有成绩
结论1：当点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线的距离的比是 常数时，点的轨迹是以焦点为，长轴、短轴分别为的椭圆，方程为，其
么呢？ 4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相
等的点的轨迹会是什么呢？ 师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比
如，将条件中的“在平面内”去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同 学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果.