2019届全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学文(解析版)

2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ） A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z = ) A ．5B ．5C ．10D ．103．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A. B. C. D.4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ）A.51 B. 103 C. 52 D. 545．函数()23sin 3sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A. 4πB. 2πC. πD.2π6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ） A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>>7． 若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩，则2z x y =-的最大值为( )A ．10B ．6C ．4D ．2-8． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，四点1(4,2)P ，2(2,0)P ，3(4,3)P -，4(4,3)P 中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A 5B ．52C 7D ．729． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A ．7B ．9C ．10D ．1110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. 25B. 5C.29 D. 611． ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) A 33 B 37C 39D 4112． 在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====，6AC =2BD (S = ) A ．4πB ．83πC ．43πD ．2π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式14． 已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．15．在ABC ∆中，角的对边分别为，AaB b B c cos cos cos 与是-的等差中项且，ABC ∆的面积为34，则的值为__________．16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线作垂线，垂足是，则四边形的周长为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∠BCD ＝150°，∠BAC ＝60°，AC ＝2，AB ＝3＋1．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求△ACD 的面积． （18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：使用年数 2 4 6 8 10 售价16139.5 74.5（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -n i ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝ 12AB ＝2，且平面P AD ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （20）（本小题满分12分）已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记ABCDP动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1，g (x )＝(x －1)e x －mx ，m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0，求m 的值；（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0，且 12ln (m ＋1)＜x 0＜m ．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2，0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B (ρ，θ＋π3)，|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；（Ⅱ）比较a a b b c d d c 与a b b a c c d d 的大小．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2． 【答案】C【解析】：(2)3i z i -=+，3213iz i i+∴=-=+，||z ∴=．故选：C ． 3．【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D. 4．【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为，该学生到达教室的时间总长度为 分钟，其中在进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率515010= ，故选A. 5．【答案】C【解析】 因为()21cos233sin 3sin cos 3sin222x f x x x x x -=+=+ 3333sin23sin 226x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以其最小正周期为222T w πππ===，故选C. 6．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 7．【答案】B ．【解析】：先根据实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩画出可行域如图，做出基准线02x y =-，由图知，当直线2z x y =-过点(3,0)A 时，z 最大值为：6．故选：B ．8． 【答案】C【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -，4(4,3)P 中在双曲线上， 则1(4,2)P 一定不在双曲线上，则2(2,0)P 在双曲线上， 2a ∴=，221691a b -=，解得23b =，2227c a b ∴=+=，7c ∴=，7c e a ∴==C ． 9． 【答案】B【解析】：模拟程序的运行，可得： 11,313i S lg lg ===->-，否；1313,51355i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1515,71577i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1717,91799i S lglg lg lg ==+==->-，否； 1919,11191111i S lg lg lg lg ==+==-<-，是，输出9i =， 故选：B ． 10．【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，则22222222425,345,23429PA PC PB =+==+==++, 29，故选C ． 11． 【答案】B ．【解析】ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =， 510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，53)，设点P 为(,)x y ，05x ，03y ，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-，∴3223x y λλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3(3)y x ∴=-，①直线BC 的方程为5x =，②， 联立①②，得523x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，此时||AP 最大，22||5(23)37AP ∴=+=． 故选：B ．12． 【答案】D 【解析】：如下图所示，1AB BC CD DA ====，2BD =，由勾股定理可得222AB AD BD +=，222BC CD BD +=，所以，90BAD BCD ∠=∠=︒，设BD 的中点为点O ，则1222OA OB OC OD BD =====， 则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且该球的半径为22R =， 因此，四面体ABCD 的表面积为22244()22S R πππ==⨯=．故选：D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】=102n a n -【解析】 由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<． 【解析】：()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<，故答案为：17a -<< 15．【答案】54. 【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-的等差中项，得AaB b B c cos cos cos 2+=- . 由正弦定理，得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,AB B A BC cos cos )sin(cos sin 2⋅+=- ，由C B A sin )sin(=+ 所以21cos -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC ，得16=bc . 由余弦定理，得16)(cos 22222-+=-+=c b A bc c b a ，即54=+c b ，故答案为54．16．【答案】.【解析】由题知， ，准线的方程是 . 设 ，由 ，消去， 得. 因为直线 经过焦点，所以. 由抛物线上的点的几何特征知 ，因为直线的倾斜角是，所以，所以四边形的周长是，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，则sin ∠ABC ＝22 ，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30° ，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1．（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i ＝220，^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx-y -n i ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则ABCDDE ∥BC ，且DE ＝BC ．故DE ＝ 12AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面P AD ．（Ⅱ）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ， 平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 由（Ⅰ）可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形， 所以BD ＝AB 2－AD 2＝23，于是 S △PBD ＝1 2PD •BD ＝23，S △BCD ＝ 12BC •CD •sin120°＝3， 易得PO ＝3，设C 到平面PBD 的距离为h ， 由V P-BCD ＝V C-PBD 得 1 3S △PBD •h ＝ 13S △BCD •PO ， 解得h ＝32．（20）（本小题满分12分）【答案】（1）y 2＝6x （Ⅱ）λ＝ 43【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C (2，0),半径r ＝3．设P (x ，y )，依题意可得 | x ＋1 |＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x ． 故曲线E 的方程为．（Ⅱ）设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y =－m (x －2)，可得Q (－1，3m )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0，那么y 1y 2＝－12， …8分则|AC |·|BC |＝(1＋m 2) | y 1y 2 |＝12(1＋m 2)，|QC |2＝9(1＋m 2)．即|AC |·|BC |＝ 4 3|QC |2，所以λ＝ 4 3．21.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）m ＝1（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由m ＞0得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f '(x )＝ 1 x －1＝1－x x，当x ＝1时，f '(x )＝0； 当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．故当x ＝1时，f (x )取得最大值0，则f (1)＝0，即ln m ＝0，故m ＝1． （Ⅱ）g '(x )＝x e x －m ，令h (x )＝x e x －m ，则h '(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＝－1时，h '(x )＝0；当x ＜－1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当x ＞－1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．故当x ＝－1时，h (x )取得最小值h (－1)＝－e －1－m ＜0．当x ＜－1时，h (x )＜0，h (x )无零点，注意到h (m )＝m e m －m ＞0，则h (x )仅有一个零点x 0，且在(－1，m )内．由（Ⅰ）知ln x ≤x －1，又m ＞0，则 1 2ln (m ＋1)∈(0， 1 2m )． 而h ( 1 2ln (m ＋1))＝h (ln m ＋1) ＝m ＋1ln m ＋1－m ＜m ＋1(m ＋1－1)－m＝1－m ＋1＜0，则x 0＞ 1 2ln (m ＋1)， 故h (x )仅有一个零点x 0，且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ． 即g (x )仅有一个极值点x 0，且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ． 22.（本小题满分10分）【答案】（Ⅰ）(x ＋1)2＋(y －3)2＝1（Ⅱ）[10－43，10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 1 2y ， 故B ( 1 2x －32y ，32x ＋ 1 2y )． 由|BM |2＝1得( 1 2x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1， 整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．（Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10， 所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．（Ⅱ）a a b b c d d c a b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c)c －d ， 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又 a b ＞1，所以( a b)a －b ＞( a b )c －d ， 即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc)c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。