2020新课程同步人教B版高中数学必修第三册新学案课时跟踪检测(十三)+已知三角函数值求角

课时跟踪检测（十三） 已知三角函数值求角
A 级——学考水平达标练
1．点P (cos θ，sin θ)是角α终边上的一点，则α的值等于( ) A.π
2
－θ B ．θ
C ．2k π＋θ(k ∈Z )
D ．k π＋θ(k ∈Z )
解析：选D 因为tan α＝tan θ，所以α＝k π＋θ(k ∈Z)． 2．已知cos x ＝2
2
，π<x <2π，则x 等于( ) A.3π4 B.5π4 C.4π3
D.7π4 解析：选D ∵x ∈(π， 2π)且cos x ＝22
， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴x ＝7π4. 3．若tan x ＝
3
3
，且－π<x <2π，则满足条件的x 的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
π6，7π6 B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫π3，4π3 C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5π6，π6，7π6
D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－2π3，π3，4π3 解析：选C ∵tan x ＝33，在单位圆中画出正切线AT ＝3
3
的角的终边为直线OT (如图)，
∴x ＝k π＋π
6
，k ∈Z ，
又∵－π<x <2π，∴x ＝－5π6，π6，7π
6.
4．若sin x ＝1
3，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则x 等于( ) A ．arcsin 1
3
B ．π－arcsin 1
3
C.π2＋arcsin 13
D ．－arcsin 1
3
解析：选B 由sin x ＝13得锐角x ＝arcsin 1
3.
∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x ＝π－arcsin 1
3
.
5．(多选题)下列叙述正确的是( ) A ．arctan y 表示一个⎝⎛⎭⎫－π2，π
2内的角 B ．若x ＝arcsin y ，|y |≤1，则sin x ＝y C ．若tan x
2＝y ，则x ＝2arctan y
D ．arcsin y ，arccos y 中的y ∈[－1,1]
解析：选ABD ∵tan x 2＝y ，∴x
2＝k π＋arctan y ，∴x ＝2k π＋2arctan y ，故C 错．其
余根据题意可知都正确．
6．函数y ＝arccos(sin x )⎝⎛⎭⎫－π3≤x ≤2π
3的值域为________． 解析：∵－π3≤x ≤2π3，∴－3
2≤sin x ≤1，
∴0≤arccos(sin x )≤5π6
. 答案：⎣
⎡⎦⎤0，5π6 7．若x ＝π
3
是方程2cos(x ＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.
解析：由条件可知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝12，∴α＋π3＝2k π±π3(k ∈Z )．∵α∈(0,2π)，∴α＝
4π
3
. 答案：
4π3
8．已知等腰三角形的顶角为arccos ⎝⎛⎭⎫－1
2，则底角的正切值是________． 解析：∵arccos ⎝⎛⎭⎫－12＝2π
3， ∴底角为π－
2π
32＝π6.∴tan π6＝3
3.
答案：
33
9．已知sin α2＝－3
2，且α是第二象限的角，求角α.
解：∵α是第二象限角，∴α
2是第一或第三象限的角．
又∵sin α2＝－3
2＜0，∴α2
是第三象限角．
又sin
4π3＝－32，∴α2＝2k π＋4π
3
(k ∈Z )， ∴α＝4k π＋8π
3
(k ∈Z )．
10．已知sin α＝3
5，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R .
解：(1)由于sin α＝3
5，且α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＝arcsin 3
5
.
(2)由于sin α＝35，且α∈R ，所以符合条件的所有角为α 1＝2k π＋arcsin 3
5(k ∈Z )，
α 2＝2k π＋π－arcsin 3
5(k ∈Z )，
即α＝n π＋(－1)n arcsin 3
5(n ∈Z )．
B 级——高考水平高分练
1．若0<x <2π，则满足5sin 2x －4＝0的x 值有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
解析：选D 由方程得sin 2x ＝45，∴sin x ＝±2
55，当sin x >0时，x 的值有两个，分别
在第一、二象限；当sin x <0时，x 的值也有两个，分别在第三、四象限．
2．若A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝1
5，则A 为( )
A ．arcsin 4
5
B ．arcsin ⎝⎛⎭⎫－15
C ．π－arcsin 4
5
D.π2＋arccos 4
5
解析：选C 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－3
5，故
A ＝π－arcsin 4
5
.
3．使得等式2cos x
2
＝1成立的x 的集合是( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪ x ＝4k π＋π
3，k ∈Z B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪ x ＝4k π＋π
6，k ∈Z
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪ x ＝4k π±2π
3，k ∈Z D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪ x ＝2k π＋π
6，k ∈Z 解析：选C ∵2cos x 2＝1，∴cos x 2＝12，
∴x 2＝±π3＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝±2π
3
＋4k π，k ∈Z . 4．已知函数y ＝sin 2x ＋12sin x ＋1，当y 取最大值时角x 为α，当y 取最小值时角x 为β，
其中α，β∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2，求sin(β－α)的值． 解：∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋142＋1516，－1≤sin x ≤1，∴当sin α＝1时，y max ＝52；当sin β＝－14时，y min ＝15
16
.
∵α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴α＝π2，cos β＝154. ∴sin(β－α)＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π2＝－cos β＝－15
4. 5．已知cos x ＝－1
3
.
(1)当x ∈[0，π]时，求x 的值； (2)当x ∈R 时，求x 的取值集合．
解：(1)∵cos x ＝－1
3且x ∈[0，π]，∴x ＝arccos ⎝⎛⎭⎫－13. (2)当x ∈R 时，先求出x 在[0,2π]上的解． ∵cos x ＝－1
3，故x 是第二或第三象限角．
由(1)知x ＝arccos ⎝⎛⎭
⎫－1
3是第二象限角， 又cos ⎣⎡⎦⎤2π－arccos ⎝⎛⎭⎫－13＝cos ⎣⎡⎦
⎤arccos ⎝⎛⎭⎫－13 ＝－1
3
，且2π－arccos ⎝⎛⎭⎫－13∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， ∴由余弦函数的周期性知，当x ＝arccos ⎝⎛⎭⎫－13＋2k π或x ＝2π－arccos ⎝⎛⎭⎫－1
3＋2k π，k ∈Z 时，
cos x ＝－1
3
，即所求x 的取值集合是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝2k π±arcco s ⎝⎛⎭⎫－1
3，k ∈Z .
6．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足sin(180°－A )＝2cos(B －90°)，3cos A ＝－2cos(180°＋B )，求角A ，B ，C 的大小． 解：∵sin(180°－A )＝2cos(B －90°)， ∴sin A ＝2sin
B ．①
又3cos A ＝－2cos(180°＋B )， ∴3cos A ＝2cos
B ．② ①2＋②2得cos 2A ＝12，即cos A ＝±2
2.
∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或3π
4
.
(1)当A ＝π4时，有cos B ＝3
2，又B ∈(0，π)，
∴B ＝π6，C ＝7π
12
.
(2)当A ＝3π4时，由②得cos B ＝3cos
3π
42
＝－3
2<0.
可知B 为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解． 综上可知，角A ，B ，C 的大小分别为π4，π6，7π
12.。