人教版A版高中数学必修3全套经典教案第一套
最新人教新课标A版高中数学必修三全册教案

12学过程及方法程序框图包含下面三种逻辑结构可以用如下程序框图表示:顺序结构条件结构循环结构探究(三):顺序结构任何一个算法各步骤之间都有明确的顺序性,在算法的程序框图中,由若干个依次执行的步骤组成的逻辑结构,称为顺序结构。
顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
【例3】已知一个三角形三条边的边长分别为a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法,并画出程序框图表示. 算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出p的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.算法步骤如下:第一步,输入三角形三条边的边长a,b,c.第二步,计算p=2cba++.第三步,计算S=))()((cpbpapp---.第四步,输出S.程序框图如下:点评:很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法用程序框图表示条件结构如下.图1 图2 条件结构:先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构(或分支结构),如图1所示.执行过程如下:条件成立,则执行A框;不成立,则执行B框.注:无论条件是否成立,只能执行A、B之一,不可能两个框都执行.A、B两个框中,可以有一个是空的,即不执行任何操作,如图2. 条件结构的两种形式的区别:一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤,符合条件就执行“步骤A”,否则执行“步骤B”;另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A,而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤,符合条件就执行“步骤A”,否则执行这个条件结构后的步骤【例4】任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在,并画出这个算法的程序框图.算法分析:判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.算法步骤如下:第一步,输入3个正实数a,b,c.第二步,判断a+b>c,b+c>a,c+a>b是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的三角形.程序框图如右图:教问题与情境及教师活动学生活动问题与情境及教师活动学生活动(2)在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体.显然,循环结构中一定包含条件结构。
人教版A版高中数学必修三教案新部编本 全册

例1:(课本第9页例3)
练习1:交换两个变量A和B的值,并输出交换前后的值.
解:算法如下:程序框图:
第一步:输入A,B的值.
第二步:把A的值赋给x.
第三步:把B的值赋给A.
第四步:把x的值赋给B.
第五步:输出A,B的值.
四、条件结构
根据条件判断,决定不同流向.
2.写出解方程 的一个算法.
3.利用二分法设计一个算法求 的近似值(精确度为0.005).
4.已知 , ,写出求直线AB斜率的一个算法.
5.已知函数 设计一个算法求函数的任一函数值
1.1.2程序框图(第2课时)
【课程标准】通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环.
四、知识应用
例5:(课本第3页例1)(难点是由质数的定义判断一个大于1的正整数 是否为质数的基本方法)
练习1:(课本第4页练习2)任意给定一个大于1的正整数 ,设计一个算法求出 的所有因数.
解:根据因数的定义,可设计出下面的一个算法:
第一步:输入大于1的正整数 .
第二步:判断 是否等于2,若 ,则 的因数为1, ;若 ,则执行第三步.
例2:(课本第10页例4)
练习2:有三个整数 , , ,由键盘输入,输出其中最大的数.
解:算法1
第一步:输入 , , ;
第二步:若 ,且 ;则输出 ;否则,执行第三步;
第三步:若 ,则输出 ;否则,输出 .
算法2
第一步:输入 , , ;
第二步:若 ,则 ;否则, ;
第三步:若 ,则输出 ;否则,输出 .
高中数学《总体分布的估计》教案1(1) 新人教A版必修3

总体分布的估计(1)用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标:知识与技能(1)正确理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据的标准差。
(2)能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并做出合理的解释。
(3)会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
(4)形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想【创设情境】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下﹕甲运动员﹕7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙运动员﹕9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗?为了从整体上更好地把握总体的规律,我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本的数字特征估计总体的数字特征(板出课题)。
【探究新知】<一>、众数、中位数、平均数〖探究〗:P62(1)怎样将各个样本数据汇总为一个数值,并使它成为样本数据的“中心点”?(2)能否用一个数值来描写样本数据的离散程度?(让学生回忆初中所学的一些统计知识,思考后展开讨论)初中我们曾经学过众数,中位数,平均数等各种数字特征,应当说,这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中,从这些样本数据的频率分布直方图可以看出,月均用水量的众数是2.25t(最高的矩形的中点)(图略见课本第62页)它告诉我们,该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多,但它并没有告诉我们到底多多少。
高中数学算法案例-进位制(公开课)教案 新人教A版必修3

必修3第一章1.3算法案例:案例3进位制[教学目标]:(1)了解各种进位制与十进制之间转换的规律,会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
(2)学习各种进位制转换成十进制的计算方法,研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法,并理解其中的数学规律。
[教学重点]各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换[教学难点]除k取余法的理解[情感态度价值观] 学生通过合作完成任务,领悟十进制,二进制的特点,了解计算机与二进制的联系,进一步认识到计算机与数学的联系,培养他们的合作精神和严谨的态度。
[教学方法] 讲解法、尝试法、归纳法、讨论法、[教学用具]多媒体电脑[学法] 学习各种进位制特点的同时探讨进位制表示数与十进制表示数的区别与联系,熟悉各种进位制表示数的方法,从而理解十进制转换为各种进位制的除k取余法。
[教学过程]一、创设情景,揭示课题辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的算法,秦九韶算法是求多项式的值的算法,将这些算法转化为程序,就可以由计算机来完成相关运算。
人们为了计数和运算方便,约定了各种进位制,本节课我们来共同学习《进位制》你都了解那些进位制?比如说?在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进位制,据说这与古人曾以手指计数有关;由于计算机的计算与记忆元件特点,计算机上通用的是二进位制;一周七天是七进位;一年十二个月〔生肖、一打〕是十二进制;旧式的称是十六进制;〔老称一斤为16两,故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕一小时六十分、角度的单位是六十进位制。
二进制是有德国数学家莱布尼兹发明的。
第一台计算机ENIAC〔埃尼阿克〕用的就是十进制。
计算机之父冯·诺伊曼研究后,提出改进意见,用二进制替代十进制。
主要原因①二进制只有0和1两个数字,要得到两种不同稳定状态的电子器件很容易,而且制造简单,可靠性高;②各种计数法中,二进制运算规那么简单。
如:十进 制乘法叫九九表,二进制只有4句。
新人教A版数学必修3全套教案

新人教A版数学必修3全套教案教案一:平面向量教学目标:1.理解平面向量的概念及基本性质。
2.掌握平面向量的加法、减法、数量乘法及向量的线性运算。
3.利用向量的性质解决实际问题。
教学重点:1.向量的基本概念和性质。
2.向量的加法和减法。
3.向量的数量乘法和线性运算。
教学难点:1.向量的线性运算和应用。
2.解决实际问题的向量运算方法。
教学步骤:一、引入新知识(20分钟)教师通过引入平面向量的概念和基本性质,以及向量的几何表示和坐标表示,引发学生对向量的兴趣。
二、向量的加法和减法(30分钟)1.向量的几何表示和坐标表示。
2.向量加法和减法的定义和性质。
3.通过例题讲解向量加法和减法的具体运算方法。
三、向量的数量乘法和线性运算(30分钟)1.向量数量乘法的定义和性质。
2.讲解向量的数乘和向量的线性运算。
3.通过例题加深学生对向量数量乘法和线性运算的理解。
四、应用实例(30分钟)1.结合实际问题讲解向量运算在解决实际问题中的应用。
2.利用向量运算解决实际问题的步骤和方法。
五、巩固练习(20分钟)教师布置一些巩固练习,让学生运用所学知识解决一些相关问题。
教学反思:通过本节课的教学,学生对平面向量的概念和基本性质有了初步的了解,并且掌握了向量的加法、减法、数量乘法及向量的线性运算。
通过实际应用例题的解析,学生对向量运算在解决实际问题中的应用有了更深入的理解。
整个教学过程中,教师注重启发式教学,通过提问和引导,激发学生的思维和创造力,培养学生的问题解决能力。
同时,教师还通过巩固练习,对学生所学知识进行巩固和拓展,帮助学生更好地掌握和应用向量的相关知识。
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2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想.
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念.
难点:难点是属于关系与包含关系的区别.
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程 的所有实数根;
(8)不等式 的所有解;
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义.
(六)承上启下,留下悬念
1.课后书面作业:第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表示?请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标:
l.知识与技能
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;
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教学过程第1课时案例1 辗转相除法与更相减损术导入新课思路1(情境导入)大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如8 251与6 105),使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.思路2(直接导入)前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想.推进新课新知探究提出问题(1)怎样用短除法求最大公约数?(2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数?(3)怎样用辗转相除法求最大公约数?(4)怎样用更相减损术求最大公约数?讨论结果:(1)短除法求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.(2)穷举法(也叫枚举法)穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数.(3)辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,求余数r:计算m除以n,将所得余数存放到变量r中.第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r.第四步,判断余数r是否为0.若余数为0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行.如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.(4)更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用2约简;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.应用示例例1 用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序.解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105×1+2 146.由此可得,6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数,反过来,8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数,所以它们的最大公约数相等.对6 105与2 146重复上述步骤:6 105=2 146×2+1 813.同理,2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤:2 146=1 813×1+333,1 813=333×5+148,333=148×2+37,148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数,也就是8 251与6 105的最大公约数.这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数.算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下:第一步,给定两个正整数m,n.第二步,计算m除以n所得的余数为r.第三步,m=n,n=r.第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步.程序框图如下图:程序:INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146,可以化为8 251-6 105×1=2 164,所以公约数能够整除等式两边的数,即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数.变式训练你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程序.解:当型循环结构的程序框图如下图:程序:INPUT m,nr=1WHILE r>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减,如下图所示.98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=763的最大公约数等于7.点评:更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者的算理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程.变式训练用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数.解:324=243×1+81,243=81×3+0,则324与243的最大公约数为81.又135=81×1+54,81=54×1+27,54=27×2+0,则81 与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243、135的最大公约数为27.另法:324-243=81,243-81=162,162-81=81,则324与243的最大公约数为81.135-81=54,81-54=27,54-27=27,则81与135的最大公约数为27.所以,三个数324、243.135的最大公约数为27.例3 (1)用辗转相除法求123和48的最大公约数.(2)用更相减损术求80和36的最大公约数.解:(1)辗转相除法求最大公约数的过程如下:123=2×48+27,48=1×27+21,27=1×21+6,21=3×6+3,6=2×3+0,最后6能被3整除,得123和48的最大公约数为3.(2)我们将80作为大数,36作为小数,因为80和36都是偶数,要除公因数2.80÷2=40,36÷2=18.40和18都是偶数,要除公因数2.40÷2=20,18÷2=9.下面来求20与9的最大公约数,20-9=11,11-9=2,9-2=7,7-2=5,5-2=3,3-2=1,2-1=1,可得80和36的最大公约数为22×1=4.点评:对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为0,更相减损术是到达减数和差相等.变式训练分别用辗转相除法和更相减损术求1 734,816的最大公约数.解:辗转相除法:1 734=816×2+102,816=102×8(余0),∴1 734与816的最大公约数是102.更相减损术:因为两数皆为偶数,首先除以2得到867,408,再求867与408的最大公约数.867-408=459,459-408=51,408-51=357,357-51=306,306-51=255,255-51=204,204-51=153,153-51=102,102-51=51.∴1 734与816的最大公约数是51×2=102.利用更相减损术可另解:1 734-816=918,918-816=102,816-102=714,714-102=612,612-102=510,510-102=408,408-102=306,306-102=204,204-102=102.∴1 734与816的最大公约数是102.知能训练求319,377,116的最大公约数.解:377=319×1+58,319=58×5+29,58=29×2.∴377与319的最大公约数为29,再求29与116的最大公约数.116=29×4.∴29与116的最大公约数为29.∴377,319,116的最大公约数为29.拓展提升试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序.解:更相减损术程序:INPUT “m,n=”;m,nWHILE m<>nIF m>n THENm=m-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND课堂小结(1)用辗转相除法求最大公约数.(2)用更相减损术求最大公约数.思想方法:递归思想.作业分别用辗转相除法和更相减损术求261,319的最大公约数.分析:本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据m=nq+r,反复执行,直到r=0为止;用更相减损术就是根据m-n=r,反复执行,直到n=r为止.解:辗转相除法:319=261×1+58,261=58×4+29,58=29×2.∴319与261的最大公约数是29.更相减损术:319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58=87,87-58=29,58-29=29,∴319与261的最大公约数是29.设计感想数学不仅是一门科学,也是一种文化,本节的引入从东、西方文化的不同开始,逐步向学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数,从思想方法方面,主要学习递归思想.本节设置精彩例题,不仅让学生学到知识,而且让学生进一步体会算法的思想,培养学生的爱国主义情操.第2课时案例2 秦九韶算法导入新课思路1(情境导入)大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法.思路2(直接导入)前面我们学习了辗转相除法与更相减损术,今天我们开始学习秦九韶算法.推进新课新知探究提出问题(1)求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法?比较它们的特点.(2)什么是秦九韶算法?(3)怎样评价一个算法的好坏?讨论结果:(1)怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2·x,(x2·x)·x,((x2·x)·x)·x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果.(2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202~1261)在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法:把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0改写成如下形式:f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+…+a1)x+ a0=((a n x n-2+a n-1x n-3+…+a2)x+a1)x+a0=…=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即v1=a n x+a n-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+a n-2,v3=v2x+a n-3,…v n=v n-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.(3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法.应用示例例1 已知一个5次多项式为f (x )=5x 5+2x 4+3.5x 3-2.6x 2+1.7x-0.8,用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8,按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:v 0=5;v 1=5×5+2=27;v 2=27×5+3.5=138.5;v 3=138.5×5-2.6=689.9;v 4=689.9×5+1.7=3 451.2;v 5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;所以,当x=5时,多项式的值等于17 255.2.算法分析:观察上述秦九韶算法中的n 个一次式,可见v k 的计算要用到v k-1的值,若令v 0=a n ,我们可以得到下面的公式:⎩⎨⎧=+==--).,,2,1(,10n k a x v v a v k n k kn Λ 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.算法步骤如下:第一步,输入多项式次数n 、最高次的系数a n 和x 的值.第二步,将v 的值初始化为a n ,将i 的值初始化为n-1.第三步,输入i 次项的系数a i .第四步,v=vx+a i ,i=i-1.第五步,判断i 是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.程序框图如下图:程序:INPUT “n=”;nINPUT “an=”;aINPUT “x=”;xv=ai=n-1WHILE i>=0PRINT “i=”;iINPUT “ai=”;av=v*x+ai=i-1WENDPRINT vEND点评:本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.变式训练请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图.解:设f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先,让我们以5次多项式一步步地进行改写:f(x)=(a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1)x+a0=((a5x3+a4x2+ a3x+a2)x+a1)x+a0=(((a5x2+a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0=((((a5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0.上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的括号,然后加上常数项即可.程序框图如下图:例2 已知n次多项式P n(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n,如果在一种算法中,计算k x(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,P k+1(x)=xP k(x)+a k+1(k=0,1,2,…,n -1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算P10(x0)的值共需要___________次运算.答案:65 20点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达2)1(nn,加法最多n次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n次.例3 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当x=5时的函数的值.解析:把多项式变形为:f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7.计算的过程可以列表表示为:最后的系数2 677即为所求的值.算法过程:v0=2;v1=2×5-5=5;v2=5×5-4=21;v3=21×5+3=108;v4=108×5-6=534;v5=534×5+7=2 677.点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为0的项补齐后再计算.知能训练当x=2时,用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值.解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6.按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.v0=3;v1=v0×2+8=3×2+8=14;v2=v1×2-3=14×2-3=25;v3=v2×2+5=25×2+5=55;v4=v3×2+12=55×2+12=122;v5=v4×2-6=122×2-6=238.∴当x=2时,多项式的值为238.解法二:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6,则f(2)=((((3×2+8)×2-3)×2+5)×2+12)×2-6=238.拓展提升用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值.解:f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7;v1=7×3+6=27;v2=27×3+5=86;v3=86×3+4=262;v4=262×3+3=789;v5=789×3+2=2 369;v6=2 369×3+1=7 108;v7=7 108×3+0=21 324.∴f(3)=21 324.课堂小结1.秦九韶算法的方法和步骤.2.秦九韶算法的计算机程序框图.作业已知函数f(x)=x3-2x2-5x+8,求f(9)的值.解:f(x)=x3-2x2-5x+8=(x2-2x-5)x+8=((x-2)x-5)x+8∴f(9)=((9-2)×9-5)×9+8=530.设计感想古老的算法散发浓郁的现代气息,这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法.通过对秦九韶算法的学习,对算法本身有哪些进一步的认识?教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点:(1)算法具有通用的特点,可以解决一类问题;(2)解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法;(3)算法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.第3课时案例3 进位制导入新课情境导入在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制.推进新课新知探究提出问题(1)你都了解哪些进位制?(2)举出常见的进位制.(3)思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.(4)思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果:(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就是六十进制等等.也就是说:“满几进一”就是几进制,几进制的基数(都是大于1的整数)就是几.(2)在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.(3)十进制使用0~9十个数字.计数时,几个数字排成一行,从右起,第一位是个位,个位上的数字是几,就表示几个一;第二位是十位,十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位、千位、万位……例如:十进制数3 721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一.于是,我们得到下面的式子:3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字,七进制用0~6七个数字.一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式a n a n-1…a1a0(k)(0<a n<k,0≤a n-1,…,a1,a0<k).其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式,如110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20,7 342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可:a n a n-1…a1a0(k)=a n×k n+a n-1×k n-1+…+a1×k+a0.第一步:从左到右依次取出k进制数a n a n-1…a1a0(k)各位上的数字,乘以相应的k的幂,k的幂从n开始取值,每次递减1,递减到0,即a n×k n,a n-1×k n-1,…,a1×k,a0×k0;第二步:把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数.(4)关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其他进制之间的转换.这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.1°十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了“除2取余法”,我们可以类比得到十进制数转换成k进制数的算法“除k取余法”.2°非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与16进制数据之间的互化的方法,也就是先由二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为16进制数.应用示例思路1例1 把二进制数110 011(2)化为十进制数.解:110 011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.点评:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果.变式训练设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b.算法分析:从例1的计算过程可以看出,计算k进制数a的右数第i位数字a i与k i-1的乘积a i·k i-1,再将其累加,这是一个重复操作的步骤.所以,可以用循环结构来构造算法.算法步骤如下:第一步,输入a,k和n的值.第二步,将b的值初始化为0,i的值初始化为1.第三步,b=b+a i·k i-1,i=i+1.第四步,判断i>n是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步.第五步,输出b的值.程序框图如下图:程序:INPUT “a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=a MOD 10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\\10t=a MOD 10i=i+1LOOP UNTIL i>nPRINT bEND例2 把89化为二进制数.解:根据二进制数“满二进一”的原则,可以用2连续去除89或所得商,然后取余数.具体计算方法如下:因为89=2×44+1,44=2×22+0,22=2×11+0,11=2×5+1,5=2×2+1,2=2×1+0,1=2×0+1,所以89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1=2×(2×(2×(2×(22+1)+1)+0)+0)+1=…=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1 011 001(2).这种算法叫做除2取余法,还可以用下面的除法算式表示:把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到89=1 011 001(2).上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.变式训练设计一个程序,实现“除k取余法”.算法分析:从例2的计算过程可以看出如下的规律:若十制数a除以k所得商是q0,余数是r0,即a=k·q0+r0,则r0是a的k进制数的右数第1位数.若q0除以k所得的商是q1,余数是r1,即q0=k·q1+r1,则r1是a的k进制数的左数第2位数.……若q n-1除以k所得的商是0,余数是r n,即q n-1=r n,则r n是a的k进制数的左数第1位数.这样,我们可以得到算法步骤如下:第一步,给定十进制正整数a和转化后的数的基数k.第二步,求出a除以k所得的商q,余数r.第三步,把得到的余数依次从右到左排列.第四步,若q≠0,则a=q,返回第二步;否则,输出全部余数r排列得到的k进制数.程序框图如下图:程序:INPUT “a,k=”;a,kb=0i=0DOq=a\\kr=a MOD kb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOP UNTIL q=0PRINT bEND思路2例1 将8进制数314 706(8)化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序.解:314 706(8)=3×85+1×84+4×83+7×82+0×81+6×80=104 902.所以,化为十进制数是104 902.点评:利用把k进制数转化为十进制数的一般方法就可以把8进制数314 706(8)化为十进制数.例2 把十进制数89化为三进制数,并写出程序语句.解:具体的计算方法如下:89=3×29+2,29=3×9+2,9=3×3+0,3=3×1+0,1=3×0+1,所以:89(10)=10 022(3).点评:根据三进制数满三进一的原则,可以用3连续去除89及其所得的商,然后按倒序的顺序取出余数组成数据即可.知能训练将十进制数34转化为二进制数.分析:把一个十进制数转换成二进制数,用2反复去除这个十进制数,直到商为0,所得余数(从下往上读)就是所求.解:即34(10)=100 010(2)拓展提升把1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数.解:1 234(5)=1×53+2×52+3×5+4=194.则1 234(5)=302(8)所以,1 234(5)=194=302(8)点评:本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化.五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数;五进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化.课堂小结(1)理解算法与进位制的关系.(2)熟练掌握各种进位制之间转化.作业习题1.3A组3、4.设计感想计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时,计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的,另外,进位制也是高考的重点,本节设置了多种题型供学生训练,所以这节课非常实用.第2课时导入新课思路1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.思路2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:气温/℃261813104-1杯数202434385064接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.推进新课新知探究提出问题(1)作散点图的步骤和方法?(2)正、负相关的概念?(3)什么是线性相关?(4)看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢?(5)什么叫做回归直线?(6)如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想?(7)利用计算机如何求回归直线的方程?(8)利用计算器如何求回归直线的方程?活动:学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果:(1)建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系)(2)如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.(4)大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.(5)如下图:从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.(6)从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行?(学生讨论:1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式。
人教版高中数学必修3全套教案

在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应
用和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.
本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从而提高自己数
学能力.因此应从三个方面把握本章:
重点难点
教学重点:算法的含义及应用.
教学难点:写出解决一类问题的算法.
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教学过程
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思路 1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤, 解决这一问题将要用到我们今天学习的内说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路 3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成 为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算 机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法?
第二章 统计...........................................................................................................................................................77 2.1 随机抽样..................................................................................................................................................78 2.1.1 简单随机抽样.......................................................................................................................................78 2.1.2 系统抽样...............................................................................................................................................83 2.1.3 分层抽样...............................................................................................................................................87 2.2 用样本估计总体......................................................................................................................................91 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布.......................................................................................................91 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征...........................................................................................99 2.3 变量间的相关关系................................................................................................................................110 2.3.1 变量之间的相关关系.........................................................................................................................110 2.3.2 两个变量的线性相关.........................................................................................................................110
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人教版A版高中数学必修3全套教案第一章算法初步一、课标要求:1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句,通过阅读中国古代教学中的算法案例,体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤,算法也是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的基础,利用计算机解决问需要算法,在日常生活中做任何事情也都有算法,当然我们更关心的是计算机的算法,计算机可以解决多类信息处理问题,但人们必须事先用计算机熟悉的语言,也就是计算能够理解的语言(即程序设计语言)来详细描述解决问题的步骤,即首先设计程序,对稍复杂一些的问题,直接写出解决该问题的程序是困难的,因此,我们要首先研究解决问题的算法,再把算法转化为程序,所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析(如二元一次方程组的求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想,了解算法的含义,通过模仿、操作、探索,经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中,理解三种基本逻辑结构,经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色:算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法,把握算法的基本思想,学会用自然语言来描述算法。
2、通过模仿、操作和探索,经历设计程序流程图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习,了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题1) 从熟知的问题出发,体会算法的程序化思想,而不是简单呈现一些算法。
2) 变量和赋值是算法学习的重点之一,因为设置恰当的变量,学习给变量赋值,是构造算法的关键,应作为学习的重点。
3) 不必刻意追求最优的算法,把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。
4) 本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排:1.1算法与程序框图 (约2课时)1.2基本算法语句(约3课时)1.3算法案例(约5课时)复习与小结(约2课时)四、评价建议1.重视对学生数学学习过程的评价关注学生在数学语言的学习过程中,是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣;在学习过程中,能否体会集合语言准确、简洁的特征;是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2.正确评价学生的数学基础知识和基本技能关注学生在本章(节)及今后学习中,让学生集中学习算法的初步知识,主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。
算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分,在其他相关部分还将进一步学习算法1.1.1算法的概念一、教学目标:1、知识与技能:(1)了解算法的含义,体会算法的思想。
(2)能够用自然语言叙述算法。
(3)掌握正确的算法应满足的要求。
(4)会写出解线性方程(组)的算法。
(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
(6)会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法:通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观:通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点:重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点:把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具:学法:1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:判断一个整数n(n>1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;……),并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。
教学用具:电脑,计算器,图形计算器四、教学设想:1、创设情境:算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。
如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。
因此,算法其实是重要的数学对象。
2、探索研究算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。
3、例题分析:例1 任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数1做出判定。
算法分析:根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤:第一步:判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n>2,则执行第二步。
第二步:依次从2至(n-1)检验是不是n的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2 用二分法设计一个求议程x2–2=0的近似根的算法。
算法分析:回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤:第一步:令f(x)=x2–2。
因为f(1)<0,f(2)>0,所以设x1=1,x2=2。
第二步:令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则,则m为所长;若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步:若f(x1)·f(m)>0,则令x1=m;否则,令x2=m。
第四步:判断|x1–x2|<0.005是否成立?若是,则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。
小结:算法具有以下特性:(1)有穷性;(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5)普遍性典例剖析:1、基本概念题x-2y=-1,①例3 写出解二元一次方程组的算法2x+y=1②解:第一步,②-①×2得5y=3;③第二步,解③得y=3/5;第三步,将y=3/5代入①,得x=1/5学生做一做:对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善? 老师评一评:本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组)0(002121222111≠-⎩⎨⎧=++=++A B B A C y B x A C y B x A 的解的算法: 第一步:②×A 1-①×A 2,得(A 1B 2-A 2B 1)y+A 1C 2-A 2C 1=0;③ 第二步:解③,得12212212B A B A C A C A y --=;第三步:将12212212B A B A C A C A y --=代入①,得12212112B A B A C B C B x -+-=。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒2的另一个算法: 第一步:取A 1=1,B 1=-2,C 1=1,A 2=2,B 2=1,C 2=-1; 第二步:计算12212112B A B A C B C B x -+-=与12212212B A B A C A C A y --=第三步:输出运算结果。
可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解:算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较,如果它大于此“最大值”,这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数,重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c 求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1 max=aS2 如果b>max, 则max=b. S3 如果C>max, 则max=c. S4 max 就是a,b,c 中的最大值。
综合应用题例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析:可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+…+n =2)1(+n n 进行,也可以根据加法运算律简化运算过程。
解:算法1:S1:计算1+2得到3;S2:将第一步中的运算结果3与3相加得到6;S3:将第二步中的运算结果6与4相加得到10;S4:将第三步中的运算结果10与5相加得到15;S5:将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2:S1:取n=6;S2:计算2)1(nn;S3:输出运算结果。
算法3:S1:将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7;S2:计算3×7;S3:输出运算结果。
小结:算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1+2+3+…+10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作。