教育统计学串讲(上)

假设检验的种类

参数检验(parametric test)：总体分布 形态已知，只对总体的未知参数 进行假设检验
非参数检验(non-parametric test)：总体 分布形态未知，对未知分布函数 的形式及其他特征进行假设检验

一、假设与假设检验
假设：用统计学术语对总体参数所做的假定性说 明种类： 零假设(Null hypothesis):根据样本信息期待拒 绝的假设，一般用H0表示，可直接检验 备择假设(Alternative hypothesis)：根据样本 信息期待证实的假设，用H1表示，不能直接 检验 两种假设相互对立，只能有一个正确 假设检验需要建立零假设和备择假设

t分布


是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分布， 也称学生氏分布 分布形态：左右对称，峰态比较高狭，分布形状随 样本容量n-1的变化而变化的一族分布
t

X s n 1
（公式6-9）

t分布与σ无关而与n-1（自由度）有关 自由度：指任何变量中可以自由变化的数目，用符 号df或ν表示 t分布的自由度df＝n-1



注意：
中数可能是数据中的一个，也可能根本不是原有的 数据

中数的优缺点与应用


优点：比较严密确定，简明易懂，计算方便 缺点：其大小不受制于全体数据
受抽样影响较大 反应不够灵敏 不能做进一步代数运算





适用情况：
1.一组数据中出现两个极端数值时 2.一组数据中有个别数据不清楚，不确切时 3.当需要快速估计一组数据的代表值时
1－ α
α= 0.025
α1
随机区间
α2
正确概率95％，错误5％
第八章

假设检验
统计推断：从样本出发来推断总体分布的 过程。 参数估计：已知数据分布类型，由样本统 计量估计总体参数的方法 假设检验：在统计学中，通过样本统计量 得出的差异作出一般性推论，判断总 体参数之间是否存在差异的推论过程
数是两列变量间相关程度的数字表现形式。作 为样本间相互关系程度的统计特征数 ,常用r表 示,作为总体参数,一般用ρ表示, 是应用比较 广泛的一个有代表性的统计量。

相关系数是就线形关系而言的
相关系数的取值


1 r 1
内在涵义：
1.取值范围：位于-1.00至+1.00之间，是一个比率， 常用小数形式表示 2.取值大小：表示双变量相关的强度 │r│→1，则相关越密切 │r│→0，相关越不密切 3.正负号：表示双变量相关的方向 是正相关（+）还是负相关（-） 4.代表值：r＝+1，表完全正相关 r＝-1，表完全负相关 r＝0，表无相关

2.比率：两个数的比成为比率。相关概念：比例 3.频率：又称相对次数，是对于总体而言的。计算方法：某一事件发生
的次数被总的事件数目除。


4.概率：又称机率，或然率，用P表示。指某一事件在无限的观测中所
能预测的相对出现的次数，通常用比例表示。

统计表：用来表达统计指标和被说明事物之间关系的表格
（二）正态分布的特征
1. 2.
3.
4.
图形以均数为中心左右对称，且M＝Md＝Mo， 此点y值最大（0.3989） 正态分布的中央点（即平均数点）最高，然后 逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然 后向外弯，拐点位于±1σ处但终不能与基线 相交 正态曲线下面积为1，以均数为中心，左右各 0.50 正态分布有两个重要参数μ＝0，σ＝1，写作 N(0，1)，根据Z分数的性质，很容易转换标准 正态分布，查附表1即可
计算公式严密确定 适合代数运算 受抽样变动影响小
二、标准分数

标准分数又称Z分数(Z-score), 是以标准差为单 位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位 置量数。离平均数有多远,即表示原始分数在平 均数以上或以下几个标准差的位置,从而明确该 分数在团体中的相对地位的量数。

X X 计算公式： Z S
2 x
s2
(X X )
2
x
2
(公式4 7)
N
(公式4 8)

（四）、标准差和方差的性质和意义 方差和标准差是表示一组数据离散程度的最好指 标，是描述统计与推断统计中最常用的差异量数。 在描述统计部分，只需要标准差就足以说明一组 数据的离中趋势。



优点： 反应灵敏 容易计算 简单明了
4.原始数据中,各个Z分数的标准差为1, 即sz=1 。 5.若原始分数呈正态分布 , 则转换得到的所有 Z 分数值的 均值为 0, 标准差为1的标准正态分布 (standard normal distribution)。
第五章 相关关系

相关系数（ coefficient of correlation ）相关系


1.易受极端数据的影响
2.若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数
中数与众数


一、中数
中数，又称中点数，中位数，中值，它是按顺序排 列在一起的一组数据中居于中间位置的数值；即在这组 数据中，有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。 可见，中数是按从小到大（或从大到小）排列的一 组数据一分为二的数值 中数通常用符号Md或Mdn表示 中数是集中量数的一种，它能描述一组数据的典型 情况
量数
三、四分位差


四分位差也可视为百分位差的一种，通常用符号Q表示； 指在一个次数分配中，中间50％的次数的距离的一半，即 用依一定顺序排列的一组数据中间部位的50％频数距离的 一半作为差异量指标，即四分位差。
P25
0 25 Md 50
P75
75 100

其中：P25和P75分别为第1个百分位数和第3个百分位数
显著性水平(significance
level):指估计总
体参数落在某一区间时，可能犯错误 的概率；用符号α表示。
小概率事件：概率p≤0.05或p≤0.01的
事件为小概率事件，统计学上认为不 大可能发生 0.05(*)和0.01(**)是统计学中常用的两 个显著性水平
显著性水平α
正态分布下面积为1 α= 0.025


平均差:次数分布中所有原始数据与该组 数据的平均数离差的绝对值的算术平均 数，用符号A.D.或M.D.表示 方差与标准差


三、方差和标准差 方差也称变异数、均方，它是离均差平 方的算术平均数，用符号 s 或 表示 （一）计算公式：
2 2
N N 标准差是方差的平方根： s s2


相关量数主要描述双变量数据的分布特 征

算术平均数 中数和众数 众数是指在次数分布中出现次数最多的 那个数的数值，常用符号MO表示。
平均数的优缺点
Hale Waihona Puke
优点：具备一个良好的集中量数应具备的条件。 1.反应灵敏 2.计算严密 3.计算简单 4.简明易懂 5.适合于进一步用代数方法验算 6.较少手抽样变动的影响 缺点：
T分数（T scores）
T分数是从Z分数经过转化而来的一种正态化的标准 分数，心理与教育统计常用它来建立常模 公式：T＝10Z＋50 优点： 1.没有负数 2.取值范围比较符合百分制的计分习惯，易被人们接 受 3.理论上为正态分布的测验分数，由于抽样误差等偶 然因素导致原始分数偏态分布，那么，运用T分数 迫使其称为正态
第七章 参数估计
一般情况下，总体参数未知，此时可以由样本统计 量估计总体参数，包括参数估计和非参数估计 参数估计：已知数据分布类型，由样本统计量估计 总体参数的方法 种类：点估计和区间估计 推论依据：样本分布理论 非参数估计：数据分布类型不清时对总体参数的估 计

（二）置信区间与显著性水平
正态分布


正态分布（normal distribution） 是一种连续型随机变量的概率分布， 是一种应用极为广泛，及其重要的 概率分布。 在教育和心理的大量研究中，许多 现象一般都呈正态分布，如学生的 品德、学业成绩、身高、体重等。
正态分布的条件

频数分布以均数为中心
左右两侧基本对称 靠近均数两侧的频数较多 两侧距均数较远时，频数逐渐减少。
t分布图
（一）t分布的特点
1.平均数为0 2.以平均值0左右对称的分布，左侧t为负值， 右侧t为正值 3.变量取值在-∞-＋∞之间 4.当n-1→∞时，t分布为正态分布，σ＝1； 当n-1>30时，t分布接近正态分布，σ>1，随 n-1的增大渐趋于1 当n-1<30时，t分布与正态分布相差较大，随 n-1减少，离散程度越大，分布图的中间 变低但尾部变高
（公式4-16）
（一）标准分数的性质
X X Z S
1.Z分数无实际单位,是以平均数为参照点,以标准差为单位 的一个相对量。 2.由原始分数转换得到的Z分数可以是正值,也可以是负值。 小于平均数，Z为负值 等于平均数，Z为0 大于平均数，Z为正值
3.所有原始数据的Z分数之和为零，Z分数的平均数也为零。
第四章 差异量数

全距又称两极差，用符号R表示，它是说 明数据离散程度的最简单的统计量。
二、百分位差

（一）百分位数的概念
是位于依一定顺序排列的一组数据中 某一百分位置的数值。一般用 表示（我
们可以把大写的P看作是某一数值，而小写的p是 该数值的百分点，即百分等级。例如P70）。
Pp

百分位差：用P10和P90之间的距离作为差异


次数多边图
多边图以纵轴上的高度表示频数的多少。
描述统计
内 容 功 能 准确、完整 集中趋势 离中趋势 相对位置 相互关系 均数、中数、众数 方差、标准差 百分等级、标准分数 积差、等级、点二列 具体方法