2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案49.doc

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2015届高考数学一轮总复习 9-4线面、面面平行的判定与性质

2015届高考数学一轮总复习9-4线面、面面平行的判定与性质基础巩固强化一、选择题1．(2013·吉安一中)已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[答案] C[解析]c与b可能相交，可能异面，但不可能平行．假若c∥b，∵c∥a，∴a∥b，则与a、b 异面矛盾．2．(文)已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β[答案] C[解析]如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.(理)(2013·浙江金华十校期末)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是()A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥mC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥nD．若l⊥m，l⊥n，则n∥m[答案] C[解析]m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，需要m与n相交才有l⊥α，A错误；若m⊂α，n⊥α，l⊥n，l与m可能平行、相交，也可能异面，B错误；若l⊥m，l⊥n，n与m可能平行、相交，也可能异面，D错误．3．(文)(2013·浙江嘉兴一模)已知α，β是空间中两个不同平面，m，n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β[答案] B[解析]选项B中不能判定m∥n，m与n的位置关系还有可能为异面．(理)已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n、m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个[答案] B[解析]垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；对于②，若平面α上的三点在平面β的异侧，则它们相交，故②错；根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，可知③正确．4．(2013·聊城东阿一中摸底)若直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中，正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案] D[解析]选项A中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有相交、平行、异面三种；选项B中，只有m，n相交时成立；选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D.5．(文)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β[答案] D[解析]对于选项D，可能会出现α∥β或α与β相交．故选项D错误．[点评]对于A，过b作平面δ∩α＝b1，则∵b∥α，∴b∥b1，∵a⊥α，∴a⊥b1，∴a⊥b；对于B，∵a⊥α，b∥a，∴b⊥α，∵b⊂β，∴α⊥β；对于C，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又∵b⊥β，∴a∥b.(理)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n[答案] D[解析]正三棱锥P－ABC的侧棱P A、PB与底面成角相等，但P A与PB相交应排除A；若m ∥α，n∥α，则m与n平行或相交，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．6．(2013·湖北天门一模)给出下列命题，其中正确的两个命题是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．A．①与②B．②与③C．③与④ D．②与④[答案] D[解析]直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．[答案]64cm2[解析]如图，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，易求S△ACE＝64cm2.8．在空间中，有如下命题：①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．[答案]②[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．9．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]命题①中，直线m、n不一定相交，即命题①不正确；命题②中，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以平行或相交，若相交，其交线必与第三个平面垂直，∴m⊥γ，又n⊂γ，∴m⊥n，即命题②正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n∥β或n⊂β，即命题③不正确；由线面平行的判定与性质定理可知命题④正确．则正确命题的序号为②④.三、解答题10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)．[分析] (1)欲证MN ∥平面A ′ACC ′，须在平面A ′ACC ′内找到一条直线与MN 平行，由于M 、N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点，B ′C ′与平面A ′ACC ′相交，又M 为直三棱柱侧面ABB ′A ′的对角线A ′B 的中点，从而M 为AB ′的中点，故MN 为△AB ′C ′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A ′－MNC 的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M 、N 为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A ′MC 为底面，则S △A ′MC ＝12S △A ′BC ，∴V A ′－MNC ＝12V N －A ′BC ，又V N －A ′BC ＝V A ′－NBC ，易知A ′N 为三棱锥A ′－NBC 的高，于是易得待求体积．[解析] (1)证明：连接AB ′，AC ′，由题意知，ABB ′A ′为平行四边形，所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)连接BN ，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，∴A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.[点评] 本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN ∥平面A ′ACC ′，其中P 为A ′B ′的中点)来证明；(2)还可利用割补法求解．(理)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．[解析] (1)证明：设AC 与BD 交于点G ，联结EG 、GH . 则G 为AC 中点，∵H 是BC 中点，∴GH 綊12AB ，又∵EF 綊12AB ，∴四边形EFHG 为平行四边形．∴FH ∥EG . 又EG ⊂平面EDB ，而FH ⊄平面EDB ， ∴FH ∥平面EDB .(2)证明：∵EF ∥AB ，EF ⊥FB .∴AB ⊥FB . 又四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又FB ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BFC . ∵FH ⊂平面BFC ，∴AB ⊥FH .又∵FB ＝FC ，H 是BC 中点，∴FH ⊥BC . 又AB ∩BC ＝B ，∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC . 又EG ∥FH ，∴EG ⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD ∩EG ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)∵EF ⊥BF ，BF ⊥FC 且EF ∩FC ＝F ，∴BF ⊥平面CDEF ，即BF ⊥平面DEF .∴BF 为四面体B —DEF 的高．又∵BC ＝AB ＝2，∴BF ＝FC ＝ 2.四边形CDEF 为直角梯形，且EF ＝1，CD ＝2. ∴S △DEF ＝12(1＋2)×2－12×2×2＝22∴V B —DEF ＝13×22×2＝13.能力拓展提升11.(2013·盐城模拟)如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l .(1)判断BC 与l 的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN 与平面P AD 的位置关系，并证明你的结论． [解析] (1)结论：BC ∥l ，因为AD ∥BC ，BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又因为BC ⊂平面PBC ，平面P AD ∩平面PBC ＝l ，所以BC ∥l .(2)结论：MN ∥平面P AD .设Q为CD的中点，如右图所示，连接NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD.又因为NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面P AD.又因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面P AD.[点评]本题(1)将线面平行的判定定理和性质定理交替使用，实现了线线平行的证明；本题(2)巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行，进而由面面平行的性质，得出结论的证明．12．(文)(2013·北京丰台期末)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1.[证明](1)连接BC1，∵点M，N分别为A1C1与A1B的中点，∴MN∥BC1.∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC.又∵AB⊥BC，AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.(理)(2013·北京四中期中)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝a.(1)求证：AD⊥B1D；(2)求证：A1C∥平面AB1D；(3)求三棱锥C－AB1D的体积．[解析](1)证明：∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥BB1.又∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.又∵BC∩BB1＝B，∴AD⊥平面B1BCC1.又∵B1D⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1D.(2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1＝E，连接DE.∵AA1＝AB，∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又∵D是BC的中点，∴DE∥A1C.∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A 1C ∥平面AB 1D .(3)解：VC －AB 1D ＝VB 1－ADC ＝13S △ADC ·|BB 1|＝324a 3.13．(文)(2013·长春三校调研)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC . [解析] (1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ， ∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连接DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连接GN ，则GN ∥MC ，∴GN ∥平面AMC ，又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ，又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC .(理)(2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .[解析] (1)解法一：取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .因此四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD ，因此CE ∥平面P AD . 解法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD .又CF ⊄平面P AD ，所以CF ∥平面P AD .因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD . (2)证明：因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A .又AB ⊥P A ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，因此AB ⊥平面EFG .又M 、N 分别为PD 、PC 的中点，所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 14．(文)(2013·徐州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解析]存在点E，且E为AB的中点．下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.(理)(2013·南昌一模)如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．[解析] (1)取线段A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，CO ，已知等边三角形ABC 的边长为4，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4，AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，∴四边形AA 1B 1B 是正方形，OE ⊥AB ，CO ⊥AB . ∵CO ∩OE ＝O ， ∴AB ⊥平面EOCC 1，又A 1B 1∥AB ，OC 1⊂平面EOCC 1，∴OC 1⊥A 1B 1. (2)设OE ∩AB 1＝D ，连接CD ，则点D 是AB 1的中点， ∴ED ∥AA 1，ED ＝12AA 1，又∵CC 1∥AA 1，CC 1＝12AA 1，∴四边形CC 1ED 是平行四边形， ∴CD ∥C 1E ，∴CD ∥平面A 1B 1C 1，即存在点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1，且点D 是AB 1的中点．考纲要求1．认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．补充说明1．探索性问题的一般分析步骤：第一步，假设结论成立．第二步，把结论当作条件与已知条件结合，经过推理论证探求应具备的条件．第三步，给出明确答案，并予以证明． 2．注意事项证明线面平行时，一定要指出直线在平面外；用判定定理证明二面平行时，一定要指出两直线相交；备选习题1．设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αl ∥β⇒α⊥β； ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl ⊥α⇒/ l ∥β，此时可能l ⊂β，⎭⎪⎬⎪⎫l ∥βα⊥β⇒/l ⊥α，此时l 与α还可能平行、斜交，故选C.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．不存在B ．有1条C ．有2条D ．有无数条 [答案] D[解析] 由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质3知必有过该点的公共直线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的直线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行，故选D.3．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案] ①③[解析] 如图①，∵MN ∥AD ，NP ∥AC ，∴平面MNP ∥平面ADBC ，∴AB ∥平面MNP . 如图②，假设AB ∥平面MNP ，设BD ∩MP ＝Q ，则NQ 为平面ABD 与平面MNP 的交线，∴AB ∥NQ ，∵N 为AD 的中点，∴Q 为BD 的中点，但由M 、P 分别为棱的中点知，Q 为BD 的14分点，矛盾，∴AB 平面MNP .如图③，∵BD 綊AC ，∴四边形ABDC 为平行四边形，∴AB ∥CD ，又∵M 、P 为棱的中点，∴MP ∥CD ，∴AB ∥MP ，从而可得AB ∥平面MNP . 如图④，假设AB ∥平面MNP ，并设直线AC ∩平面MNP ＝D ，则有AB ∥MD ，∵M 为BC 中点，∴D 为AC 中点，这样平面MND ∥平面AB ，显然与题设条件不符，∴AB 平面MNP .。

2015届高考数学一轮复习课时跟踪检测49 椭圆文湘教版

课时跟踪检测(四十九) 椭圆(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．42．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．53．(2013·石家庄模拟) 中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 4．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.535．若方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．6. (2013·辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．8. (2014·黄山模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1. (2014·长春调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点到直线x ＋y＋6＝0的距离为2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点M (0，－1)作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，且满足NA ＝－75NB ，求直线l 的方程．2．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝2PB .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．3．(2014·兰州模拟)已知椭圆方程为y 22＋x 2＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．选D 由题意可得，1m ＝12，所以m ＝4，选D. 2．选A 由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.3．选D 依题意，2c ＝4，c ＝2，又e ＝c a ＝22，则a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.4．选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝655c ＝2a ，∴e ＝c a ＝53. 5．解析：因为方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |－1＞a ＋3＞0，解得－3＜a ＜－2.答案： (－3，－2)6．解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：577．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0.x 20a 2＋y 2b2＝1.消去y 0并整理得x 2＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0得， (x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，故x 0＝－2a1＋k2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b ＋4.由(1)知a 2b ＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.8．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c 2＋b 2＝2c .整理得2(ca)2＋c a－1＝0.即2e 2＋e －1＝0，所以e ＝12或－1(舍)．(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y ＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c ＞0)，则|c ＋6|2＝23，c ＋6＝±26，c ＝6或c ＝－36(舍去)．又离心率c a ＝32，6a ＝32，故a ＝22，b ＝a 2－c 2＝2，故椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0,0)，因为NA ＝－75NB ，所以(x 1－x 0，y 1)＝－75(x 2－x 0，y 2)，y 1＝－75y 2.①易知当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，于是设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋4y 2＝8.消去x 得(4k 2＋1)y 2＋2y ＋1－8k 2＝0，② 因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y 1＋y 2＝－24k 2＋1，③ y 1y 2＝1－8k24k 2＋1， ④由①③得，y 2＝54k 2＋1，y 1＝－74k 2＋1，代入④整理得8k 4＋k 2－9＝0，k 2＝1，k ＝±1，所以直线l 的方程是y ＝x －1或y ＝－x －1.2．解：(1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m .则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0. 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k2，x 1x 2＝m 2－42＋k 2.又由AP ＝2PB ，即(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，得－x 1＝2x 2，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，可得m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不符合题意，所以k 2＝8－2m 29m 2－4＞0，解得49＜m 2＜4，此时Δ＞0，解不等式49＜m 2＜4得23＜m ＜2或－2＜m ＜－23，所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.3．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1，可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2.可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－k k 2＋2，2k 2＋2，由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2＋2k k 2＋2·k ＝－1，可得m ＝1k 2＋2，又k ≠0，所以0<m <12.(2)设椭圆的焦点为F ，则S △MPQ ＝12·|FM |·|x 1－x 2|＝2m－m3，所以△MPQ 的面积为 2m－m3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<m <12. 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )．可知f (m )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上递减．所以，当m ＝14时，f (m )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝27256. 即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616.。

高考数学第一轮复习教案

高考数学第一轮复习教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高三数学第一轮复习知识点总结

高三数学第一轮复习知识点总结高三数学第一轮复习知识点总结第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二：平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三：数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四：空间向量和立体几何。

在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五：概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六：解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七：押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章函数、导数及其应用第4节

[课堂练通考点]1．函数y ＝x |x |的图像经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >00，x ＝0－x 2，x <0为奇函数，奇函数图像关于原点对称．2．(2013·北京高考)函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图像，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.3．(2013·湖南高考)函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图像的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像有2个交点．4.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝logf (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝logf (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案：(2,8]5．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．函数f (x )＝2x 3的图像( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称解析：选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图像关于原点对称．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图像是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图像在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图像为B.3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解析：选A y ＝2x ―――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.故选A.4．(2013·四川高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.5.(创新题)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)，故选A.6．已知下图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故选④.答案：④7．函数f (x )＝x ＋1x图像的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x的图像向上平移1个单位，即得函数f (x )的图像．由y ＝1x的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图像的对称中心为(0,1)．答案：(0,1)8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 9．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y＝kx －2的图像恒过点(0，－2)，根据图像易知，两个函数图像有两个交点时，0<k <1或1<k <4. 答案：(0,1)∪(1,4)。

高中一轮复习教案数学

高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。

祝你取得优异的成绩！。

【高考复习方案】(全国卷地区专用)2015届高考数学第一轮总复习第2讲命题及其关系、充分条件与必

课时作业(二)[第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件](时间：30分钟分值：80分)1．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．④D．①②③2．[2013·某某卷]“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．[2013·某某卷] 设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“a＝1”是“复数a2－1＋(a＋1)i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．[2013·某某五校协作体一联] 命题“∃x0∈R，x20＋ax0－4a<0”为假命题，是“－16≤a≤0”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a，b，c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．4 B．2 C．1 D．07．已知a，b∈R，则“a＝b”是“a2＋b2≥－2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．[2013·乌鲁木齐三模] 设全集U＝R＋，集合A＝{x|log0.5x≥－1}，B＝{x||x|＞1}，则“x∈A”是“x∈∁U B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．“sinα≠sin β”是“α≠β”的________条件．10．已知命题p：若x>0，y>0，则xy>0，则p的否命题是________________________．11．在空间中，①“若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”；②“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．12．(13分)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使该方程有两个大于1的实数根的充要条件．13．(1)(6分)设x ＝a ＋2b 3，y ＝2a ＋b 3.条件p ：a ≠b ；条件q ：ab <xy ，则条件p 是条件q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(6分)若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则( )A ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件B ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D ．“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件课时作业(二)1．D 2.B 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B9．充分不必要 10．若x ，y 至少有一个小于或等于0，则xy ≤011．② 12．k <－2 13．(1)C (2)B。

高考数学一轮复习 1.1集合教案-人教版高三全册数学教案

课题第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。

过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。

教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n 个元素的集合的子集个数是2n ，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A ∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A ∩B=A ⇔A ⊆B.( )(5)A ∪B=A ⇔B ⊆A.( )(6) (A ∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A 是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B 是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C 是满足方程y=x2的实数x,y 的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n 个元素的集合的子集个数为2n 个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误．A ∩B= 时，只要集合A,B 没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A ⊆B 时，显然A ∩B=A ；当A ∩B=A 时，对任意x ∈A ，得x ∈A ∩B ，得x ∈B ，即x ∈A ⇒x ∈B ，故A ⊆B ．(5)正确．当B ⊆A 时，显然A ∪B=A ； ∅∅当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,2,3,4,5}, B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y ∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个．所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】当x=1时，y=1,2,3,4,5，同理当x=2,3,4,5时，y=1,2,3,4,5，所以集合B中含有5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x ∈N},则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .【思路点拨】(1)求出A,B 中的元素,由A ⊆C ⊆B,知集合C 的个数由B 中有A 中没有的元素个数决定.(2)A ∪B=A ∩B ⇔A=B ，得出关于a,b 的方程组，解出a,b ，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x ∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x ∈N}={1,2,3,4},由A ⊆C ⊆B,方法一:则C 中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C 的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.方法二:则C 可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4个(2)方法一：因为A ∪B=A ∩B,所以A=B ，所以{1,b}={a2,ab}，所以解得反代回A,B 集合知，只有适合，所以即实数a 的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M ∩N=N ，则实数a 的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D ．M ∩N=N ⇔N ⊆M ．当a=0时，N= ，符合要求，当a ≠0时，只要即a=±1即可． (2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B ，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B ，且0∈B ，故集合B 中的元素x2≠0,xy ≠0，故x ≠0,y ≠0，那么只能是集合A 中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}，答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N ⊆M (B)M ∪N=M (C)M ∩N=N (D)M ∩N={2}(2)(2012·辽宁高考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={0,1,3,5,8}，集合B={2,4,5,6,8}，则( A)∩( B)为( )(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M ，N 中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B ，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn 图解决．【规范解答】(1)选D.显然M ∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A ∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律 221ab,1a b ab b a =⎧⎧=⎨⎨==⎩⎩，或，∅1a a =，(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解49---推理与证明

高考数学一轮复习考点知识专题讲解推理与证明考点要求1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a＝n2.n2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n ＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，an＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴bnbn－1＝(－1)n(－1)n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72023的末两位数字为() A．01 B．43 C．07 D．49答案B解析∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末两位数字相同，故72023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C.思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．n n C．2n D．22n－2答案B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n－k＋a n＋k＝2a n(n>k)，借助类比，在等比数列{b n}中有________．答案b n－k b n＋k＝b2n(n>k)解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n－k＋a n＋k改写为b n－k b n＋k；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n改写为b2n，∴等比数列{b n}中有b n－k b n＋k＝b2n(n>k)．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B，C，D之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A，则孙和李之一选A，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二直接证明与间接证明命题点1综合法例4设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.命题点2分析法例5用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x . 证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立，即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立，即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立，即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0，所以原不等式成立．命题点3反证法例6已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根．证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎨⎧b 2－ac ＝0，①c 2－ab ＝0，②a 2－bc ＝0.③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0， ④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0. ⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾．因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明： (1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)22－7>10－3.解(1)方法一(综合法)因为a >0，b >0，所以a＋b2≥ab，所以lg a＋b2≥lg ab.因为lg ab＝12lg(ab)＝12(lg a＋lg b)，所以lg a＋b2≥lg a＋lg b2.方法二(分析法)要证lg a＋b2≥lg a＋lg b2，即证lg a＋b2≥12lg(ab)＝lg ab，即证a＋b2≥ab，由a>0，b>0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一(分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二(综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华(1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2(1)已知a>0，b>0，求证：a＋b2≥2aba＋b；(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.证明(1)∵a>0，b>0，要证a＋b2≥2aba＋b，只要证(a＋b)2≥4ab，只要证(a＋b)2－4ab≥0，即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，故a＋b2≥2aba＋b成立．(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a<0两种情况讨论，如果a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因为a＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是() A ．小前提不正确B ．大前提不正确 C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确答案B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是() A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0 B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0 C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0 D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0 答案C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于()A.37B.49C.38D.716 答案C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋nm，则3＋n m ＝3n m，等式两边平方得3＋n m ＝9nm，即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是() ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．②④ 答案C解析①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为() A．1B．2C．3D．4答案C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2023项是()A．61B．62C．63D．64答案D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n.由n(n＋1)2≤2023，得n≤63，且n∈N*，当n＝63时，共有63×642＝2016项，则第2017项至第2080项均为64，即第2023项是64.7．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝________.答案29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8．若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S＝12(a＋b＋c)r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.答案13R(S1＋S2＋S3＋S4)解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.证明(1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ac b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ，所以bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋xy <2与1＋yx<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋yx≥2同时成立．∵x >0且y >0， ∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2. 此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于()A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案B解析依题意1＋1x＝x，其中x为正数，即x2－x－1＝0，解得x＝1＋52(负根舍去)．12．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是() A．9 B．10 C．11 D．12答案B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3有m个奇数，则从底数是2到底数是m一共有2＋3＋4＋…＋m＝(2＋m)(m－1)2个奇数，又2n＋1＝103时，有n＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为(9＋2)(9－1)2＝44，(10＋2)(10－1)2＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2022个数是()A．3976 B．3978 C．3980 D．3982答案C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2个数，且第n次取的最后一个数为n2，当n＝63时，63×(63＋1)2＝2016，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3969，即第2016个数为3969，所以当n＝64时，依次取3970,3972,3974,3976,3978,3980，…，所以第2022个数是3980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A，C只能在每周前三天限行，又昨天B限行，E车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A，C限行，周三B限行，周四E限行，周五D限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a≥－2，则下列结论成立的是()A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案A 解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a<0，则－b a >0，－c a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a >0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9，只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9，① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α，因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9，即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4(sin 2α＋cos 2α)sin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4(sin2α＋cos2α)sin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。

2015届高三理科数学第一轮复习计划(征求意见稿3)

普通高中课程标准理科数学2015届高考总复习第一轮复习计划书（征求意见稿）东莞市东华高级中学高三理科数学组（2014.8）一、背景分析最近3年广东高考数学命题很平稳，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用、运算和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现新课标的特色。

二. 教学指导原则1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。

在复习课中要认真落实双基，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养. 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

2、高中的“重点知识”复习中要保持较大的比重和必要的深度。

重点内容函数、三角、不等式、数列、立体几何，向量、概率及解析几何中的综合问题等。

在教学中，要避免重复及简单的操练。

总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。

3、重视“通性、通法”的落实。

要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。

4、渗透数学思想方法, 培养数学学科能力。

《考试说明》明确指出要考查数学思想方法, 要加强学科能力的考查。

我们在复习中要加强数学思想方法的复习, 如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 以及换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。

5、结合实际，了解学生，分类指导。

重点打造尖子生同时全力进行辅弱工作，对临界生进行辅导，根据学校的具体安排，作出全面的落实，三、教学参考进度：第一轮的复习要以基础知识、基本技能、基本方法为主，为以后的模拟考试做好准备。

2015届高考数学总复习简单的线性规划(公开课)

x
•由 x 4 y 3 0 。
x 1
求出B为（1，1)
zmin 2, zmax 29.
•若z=(x-3)2+(y-1)2,求z的最值.
x 4 y ≤ 3, 例1.已知x、y满足 3 x 5 y ≤ 25. x ≥ 1.
•解：画出可行域如图：
•(4)若 z
二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划
2015•高考考纲要求
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主. 新课改后，线性规划理科每年必有 1 题，只有文科 2012 年未考及。但为了避免很多同学解出交点带入的情况，以后高考估计会加大“形’的考察力度,故在线性规划的学习中，要注意加强含参线性规划、非线性目标函数处理方法。
•(6)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值
y
5
C
x-4y+3=0
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x
反思总结 1．利用平面区域求目标函数的最值步骤 (1)作出可行域； (2)找到目标函数对应的最优解对应点； (3)代入目标函数求最值． 2．常见的目标函数 (1)形如 z＝ax＋by 的截距型； y－a (2)形如 z＝的斜率型； x－b (3)形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． 3．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第3章三角函数、解三角形第2节

[课堂练通考点]1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2014·济南质检)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)的值为( )A ．－45 B.45 C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45，故选B.3．(2014·青岛高三教学评估)若△ABC 的内角A 满足sin 2A ＝23，则sin A ＋cos A ＝( )A.153 B ．－153 C.53D ．－53解析：选A ∵0<A <π，∴0<2A <2π. 又∵sin 2A ＝23，即2sin A cos A ＝23，∴0<A <π2. ∴(sin A ＋cos A )2＝53，∴sin A ＋cos A ＝153. 4．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2. 答案： 25．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2的值．解：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35， ∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2 ＝sin(π＋α)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝sin α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·皖北模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( )A ．－35 B.35 C.45D ．－45解析：选B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，故选B.2．(2013·辽宁五校第二次联考)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ解析：选A ∵1－2sin (π＋θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，故原式＝sin θ－cos θ.3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32，又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.4．(2013·石家庄模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355 B.377 C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.5．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值为( )A.12B ．－13C ．－12D.13解析：选C ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3 ＝－cos π3＝－12.6．(2014·成都一模)已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2557．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：0 8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α. 解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·周口一模)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12B ．2C ．－12D ．－2解析：选B 由cos α＋2sin α＝－5，可知cos α≠0，两边同除以cos α得，1＋2tan α＝－51cos α，两边平方得(1＋2tan α)2＝5cos 2α＝5(1＋tan 2α)，∴tan 2α－4tan α＋4＝0，解得tan α＝2.2．(2013·黄冈二模)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 013)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f(2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.即f(2 013)＝－3.。

高三数学第一轮复习教案

集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为
A A；
②空集是任何集合的子集，记为
A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 A B ，同时 B A ，那么 A = B. 如果 A B， B C，那么 A C .
[ 注 ] ：① Z= { 整数 } （√） Z ={ 全体整数 } （3）
②已知集合 S 中 A的补集是一个有限集，则集合则 CsA= {0} ）
命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式： p 或 q( 记作“ p∨ q” ) ； p 且 q( 记作“ p∧ q” ) ；非 p( 记
作“┑ q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断（ 1）“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反；（ 2）“ p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真，其他情况时为假；（ 3）“ p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真．
高考数学总复习教案及知识点
第一章 - 集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．
（ 1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之
.
（ 2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之
.
第三讲，简易逻辑及命题

2015届高考数学总复习几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识教学案(新人教A版选修4-1)

选修4－1 几何证明选讲第1课时相似三角形的进一步认识(对应学生用书(理)179～181页)1. 如图，△ABC 中， DE ∥BC, DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长．解：DE BC ＝AE AC 6BC ＝35BC ＝10，∴ BF ＝10－6＝4.2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD ＝4，DB ＝2，求DE 与BC 的长度比．解：因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AD AB ＝46＝23.3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD.且AB ＝2，AD ＝2，求AF 的长．解：设AF ＝x ，则由AD DB ＝AE EC ＝AF DF ，22－2＝x2－x，解得x ＝1.4. 如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB.连结BD 、EC ，若BD ∥EC ，求△BCD 和四边形ABCD 的面积．解：S △BCD ＝S △BDE ＝12·BE ·DF ＝12×1×3＝32，S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝12·AE ·DF ＝12×4×3＝6.5. 如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，△AEF 的面积为6，求△ADF 的面积．解：由题意可得△AEF ∽△CDF ，且相似比为1∶3，由△AEF 的面积为6，得△CDF 的面积为54.又S △ADF ∶S △CDF ＝1∶3，所以S △ADF ＝18.1. 平行截割定理(1) 平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而平行于底边的直线平分另一腰． (2) 平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例． ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形的边与原三角形的对应边成比例．(3) 三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． (4) 梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 2. 相似三角形(1) 相似三角形的判定 ①判定定理a. 两角对应相等的两个三角形相似．b. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c. 三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ③直角三角形相似的特殊判定．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2) 相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3) 直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．[备课札记]题型1平行线分线段成比例问题例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，E是AB边的中点，求证：ED＝EC.证明：如图，过E点作EF∥BC交DC于点F.在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点．∵∠ADC＝90°，∴∠DFE＝90°.∴EF是DC的垂直平分线，∴ED＝EC.备选变式（教师专享）如图，在△ABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N.求证：AD∶AB＝AE∶AC.证明：∵ AM ∥EN ，∴ AD ∶AB ＝NM ∶MB ，NM ∶MC ＝AE ∶AC. ∵ MB ＝MC ，∴ AD ∶AB ＝AE ∶AC. 题型2 三角形相似的证明与应用例2 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E.求证：(1) △ABC ≌△DCB ； (2) DE·DC ＝AE·BD.证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是等腰梯形，∴ AC ＝DB. ∵ AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴ △ABC ≌△BCD. (2) ∵ △ABC ≌△BCD ，∴ ∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC. ∵ ED ∥AC ，∴ ∠EDA ＝∠DAC ， ∴ ∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB. ∴ △ADE ∽△CBD.∴ DE ∶BD ＝AE ∶CD ， ∴ DE ·DC ＝AE·BD. 变式训练如图，在矩形ABCD 中，AB>12·AD ，E 为AD 的中点，连结EC ，作EF ⊥EC ，且EF交AB 于F ，连结FC.设ABBC＝k ，是否存在实数k ，使△AEF 、△ECF 、△DCE 与△BCF 都相似？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数k 的值，满足题设． ①先证明△AEF ∽△DCE ∽△ECF. 因为EF ⊥EC ，所以∠AEF ＝90°－∠DEC ＝∠DCE. 而∠A ＝∠D ＝90°，故△AEF ∽△DCE.故得CE EF ＝DE AF .又DE ＝EA ，所以CE EF ＝AE AF.又∠CEF ＝∠EAF ＝90°，所以△AEF ∽△ECF.②再证明可以取到实数k 的值，使△AEF ∽△BCF ，由于∠AFE ＋∠BFC ≠90°，故不可能有∠AFE ＝∠BFC ，因此要使△AEF ∽△BCF ，应有∠AFE ＝∠BFC ，此时，有AE AF ＝BC BF ，又AE ＝12BC ，故得AF ＝12BF ＝13AB.由△AEF ∽△DCE ，可知AE AF ＝CDDE ，因此，⎝⎛⎭⎫12BC 2＝13AB 2，所以AB 2BC 2＝34，求得k ＝AB BC ＝32.可以验证，当k ＝32时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．题型3 射影定理的应用例3 已知：如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F.求证：AE·BF·AB ＝CD 3.证明：∵ ∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴ CD 2＝AD ·BD ，故CD 4＝AD 2·BD 2. 又在Rt △ADC 中，DE ⊥AC ， Rt △BDC 中，DF ⊥BC ， ∴ AD 2＝AE·AC ，BD 2＝BF·BC. ∴ CD 4＝AE·BF·AC·BC. ∵ AC ·BC ＝AB·CD ， ∴ CD 4＝AE·BF·AB ·CD ，即AE·BF·AB ＝CD 3. 备选变式（教师专享）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，∠ABC ＝45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H.求证：FG 2＝AF·DF ＋BG·CG ＋AH·BH.证明：因为AC ⊥BD ，故△AED 、△BEC 都是直角三角形．又EF ⊥AD ，EG ⊥BC ，由射影定理可知AF·DF ＝EF 2， BG ·CG ＝EG 2.又FG 2＝(FE ＋EG)2＝FE 2＋EG 2＋2FE·EG ＝AF·DF ＋BG·CG ＋2FE·EG ，∠ABC ＝45°，如图，过点H 、A 分别作直线HM 、AN 与BC 垂直，易知，AH ＝2FE ，BH ＝2EG ，故AH·BH＝2EF·EG.所以FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.1. 如图，在ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，求BM－DN的值．解：∵ E、F为BD的三等分点，四边形为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，则P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6.2. 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA.因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7 cm，求BC的长．解：EF是梯形中位线，得EF∥AD∥BC，∴PEAD＝PE7＝BEAB＝12，PFBC＝FDCD＝12.∵PE∶PF＝1∶2,∴BC＝2PF＝14cm.4. 如图，已知A、B、C三点的坐标分别为(0，1)、(－1，0)、(1，0)，P是线段AC上一点，BP交AO于点D，设三角形ADP的面积为S，点P的坐标为(x，y)，求S关于x的函数表达式．解：如图，作PE ⊥y 轴于E ，PF ⊥x 轴于F ，则PE ＝x ，PF ＝y. ∵ OA ＝OB ＝OC ＝1，∴ ∠ACO ＝∠FPC ＝45°， ∴ PF ＝FC ＝y ，∴ OF ＝OC －FC ＝1－y ， ∴ x ＝1－y ，即y ＝1－x ， ∴ BF ＝2－y ＝1＋x.∵ OE ∥FP ，∴ △BOD ∽△BFP ， ∴OD PF ＝BO BF ，即OD y ＝11＋x， ∴ OD ＝y 1＋x ＝1－x 1＋x，∴ AD ＝1－OD ＝1－1－x 1＋x ＝2x1＋x ，S △ADP ＝12AD ·PE ＝12·2x 1＋x ×x ＝x 21＋x ，∴ S ＝x 21＋x(0<x ≤1)．1. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，求|PA|2＋|PB|2|PC|2.解：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC|＝|BC|＝4，则|AB|＝42，|CD|＝12|AB|＝22，|PC|＝|PD|＝12|CD|＝2，|PA|＝|PB|＝|AD|2＋|PD|2＝（22）2＋（2）2＝10，所以|PA|2＋|PB|2|PC|2＝10＋102＝10.2. 如图，在ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD.(1) 求证：△ABF ∽△CEB ；(2) 若△DEF 的面积为2，求ABCD 的面积． (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴ ∠ABF ＝∠CEB ，∴ △ABF ∽△CEB. (2) 24.3. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是AD 上一点，且AE ＝14AD ，N 是AB 的中点，NF ⊥CE 于F ，求证：FN 2＝EF·FC.证明：连结NC 、NE ，设正方形的边长为a ， ∵ AE ＝14a ，AN ＝12a ，∴ NE ＝54a.∵ BN ＝12a ，BC ＝a ，∴ NC ＝52a.∵ DE ＝34a ，DC ＝a ，∴ EC ＝54a.又NE 2＝516a 2，NC 2＝54a 2，EC 2＝2516a 2，且NE 2＋NC 2＝EC 2，∴ EN ⊥NC.∵ NF ⊥CE ，∴ FN 2＝EF·FC.4. 在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，EF ∥AD ，AE ∶EB ＝m ∶n.求证：(m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.你能由此推导出梯形的中位线公式吗？解：如图，连结AC ，交EF 于点G. ∵ AD ∥EF ∥BC ， ∴ DF FC ＝AE EB ＝m n， ∴AE AB ＝m m ＋n ，CF CD ＝n m ＋n. 又EG ∥BC ，FG ∥AD ， ∴AE AB ＝EG BC ＝m m ＋n ，CF CD ＝GF AD ＝n m ＋n， ∴ EG ＝m m ＋n ·BC ，GF ＝nm ＋n ·AD.又EF ＝EG ＋GF ，∴ (m ＋n)EF ＝mBC ＋nAD.∴ 当m ＝n ＝1时，EF ＝12(BC ＋AD)，即表示梯形的中位线．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a b ＝cd(或a ∶b ＝c ∶d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1) 在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成统一单位． (2) 当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(3) 比例线段是有顺序的，如果说a 是b ，c ，d 的第四比例项，那么应得比例式为：bc ＝d a.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法

2015届高考数学一轮总复习 11-4数学归纳法基础巩固强化一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 2．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] ∵“若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则当n ＝k ＋1时，该命题也成立”，故若n ＝4时命题成立，则n ＝5时命题也应成立，现已知n ＝5时，命题不成立，故n ＝4时，命题也不成立．[点评] 可用逆否法判断．3．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( )A ．k 2B ．(k ＋1)2C ．k 2＋(k ＋1)2＋k 2D ．(k ＋1)2＋k 2[答案] D[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋…＋22＋12，∴选D.4．(2013·安徽黄山联考)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n ＋1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)[答案] B[解析] ∵n ＝k 为偶数，∴下一个偶数应为n ＝k ＋2，故选B.5．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2、a 3、a 4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－2 B．a n＝n2C．a n＝3n－1D．a n＝4n－3[答案] B[解析]a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.二、填空题6．如果不等式2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立，则n0的最小值为________．[答案] 5[解析]当n＝1时，2>2不成立，当n＝2时，4>5不成立．当n＝3时，8>10不成立当n＝4时，16>17不成立当n＝5时，32>26成立当n＝6时，64>37成立，由此猜测n0应取5.7．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝n(3n＋1)2(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时等式左边的差等于________．[答案]3k＋2[解析][(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[(k＋1)＋(k＋1)]－[(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(k＋k)]＝[(k＋1)＋k]＋[(k＋1)＋(k＋1)]－(k＋1)＝3k＋2.8．(2012·温州一模)已知n∈N*，设平面上的n个椭圆最多能把平面分成a n部分，则a1＝2，a2＝6，a3＝14，a4＝26，…，则a n＝________.[答案]2n2－2n＋2[解析]观察规律可知a n－a n－1＝(n－1)×4，利用累加法可得a n＝2n2－2n＋2.9．(2012·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n －2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点．[答案]n(n＋1)[解析]当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)，当n ＝2时，顶点共有4×5＝20(个)，当n ＝3时，顶点共有5×6＝30(个)，当n ＝4时，顶点共有6×7＝42(个)，故第n －2图形共有顶点(n －2＋2)(n －2＋3)＝n (n ＋1)个．三、解答题10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)．试比较11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由． [解析] ∵f ′(x )＝x 2－1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1.∵函数g (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x 在区间[－1，＋∞)上单调递增，于是由a 1≥1，及a 2≥(a 1＋1)2－1得，a 2≥22－1，进而得a 3≥(a 2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：a n ≥2n －1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n ＝1时，a 1≥21－1＝1，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时结论成立，即a k ≥2k －1，则当n ＝k ＋1时，由g (x )＝(x ＋1)2－1在区间[－1，＋∞)上单调递增知，a k ＋1≥(a k ＋1)2－1≥22k －1≥2k ＋1－1，即n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n ∈N *，都有a n ≥2n －1.即1＋a n ≥2n .∴11＋a n ≤12n . ∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a 3＋…＋11＋a n ≤12＋122＋123＋…＋12n ＝1－(12)n <1. 能力拓展提升11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．[解析] (1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为(13，13)． ∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．[解析] (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3，因为12(k ＋1)2－[12k 2－1(k ＋1)3]＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0，所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．13．(2013·南京一模)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，当n ∈N *时，a n ＋2＝a n ＋1＋a n .求证：数列{a n }的第4m ＋1项(m ∈N *)能被3整除．[证明] (1)当m ＝1时，a 4m ＋1＝a 5＝a 4＋a 3＝(a 3＋a 2)＋(a 2＋a 1)＝(a 2＋a 1)＋2a 2＋a 1＝3a 2＋2a 1＝3＋0＝3.即当m ＝1时，第4m ＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m ＝k 时，a 4k ＋1能被3整除，则当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1＝a 4k ＋5＝a 4k ＋4＋a 4k ＋3＝2a 4k ＋3＋a 4k ＋2＝2(a 4k ＋2＋a 4k ＋1)＋a 4k ＋2＝3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1.显然，3a 4k ＋2能被3整除，又由假设知a 4k ＋1能被3整除．∴3a 4k ＋2＋2a 4k ＋1能被3整除．即当m ＝k ＋1时，a 4(k ＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n ∈N *，数列{a n }中的第4m ＋1项能被3整除．14．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n (n ＋1)2. [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×(1＋1)2＝1， ∴原等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k －1k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k (k ＋1)(k ＋2)2， ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)得对任意n ∈N ＋有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2 ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.考纲要求1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．补充说明1．归纳法归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的，数学归纳法是一种完全归纳法．2．归纳、猜想与证明从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，即“归纳—猜想—证明”．这是我们归纳探究一些有规律性问题的一般步骤．3．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不能放缩过了头．备选习题1．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某人的证明过程如下：1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，即k2＋k<k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析]上述证明过程中，在由n＝k变化到n＝k＋1时，不等式的证明使用的是放缩法而没有使用归纳假设．故选D.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为()A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋(4n －3)]2＝2n 2－n .则前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.3．(2013·九江模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n >0(n ∈N *)．(1)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝1，证明：a n x ＋1＋a n y ＋1≤2(n ＋2).[解析] (1)分别令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＝a 21＋1，2(a 1＋a 2)＝a 22＋2，2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 23＋3.∵a n >0，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3.猜想：a n ＝n .由2S n ＝a 2n ＋n .①可知，当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋(n －1)．②①－②，得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n ＝2a n ＋a 2n －1－1.(ⅰ)当n ＝2时，a 22＝2a 2＋12－1，∵a 2>0，∴a 2＝2.(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ＝k ，那么当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝2a k ＋1＋a 2k －1＝2a k ＋1＋k 2－1⇒[a k ＋1－(k ＋1)][a k ＋1＋(k －1)]＝0，∵a k ＋1>0，k ≥2，∴a k ＋1＋(k －1)>0，∴a k ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时也成立．∴a n ＝n (n ≥2)．显然n ＝1时，也成立，故对于一切n ∈N *，均有a n ＝n .(2)要证nx ＋1＋ny ＋1≤2(n ＋2)，只要证nx ＋1＋2(nx ＋1)(ny ＋1)＋ny ＋1≤2(n ＋2)．即n (x ＋y )＋2＋2n 2xy ＋n (x ＋y )＋1≤2(n ＋2)，将x ＋y ＝1代入，得2n 2xy ＋n ＋1≤n ＋2，即只要证4(n 2xy ＋n ＋1)≤(n ＋2)2，即4xy ≤1.∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴xy ≤x ＋y 2＝12，即xy ≤14，故4xy ≤1成立，所以原不等式成立． [失误与防范] 证明不等式时，不能利用x ＋y ＝1作代换，找不到思路是解答本题中常出现的失误．证题时要注意把题设条件(特别是隐含条件)都找出来，当证题思路打不通时，看看有没有没用上的条件．4．(2013·北京房山摸底)已知曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A n (x n ，y n )，…是曲线C 上的点，且满足0<x 1<x 2<…<x n <…，一列点B i (a i,0)(i ＝1,2，…)在x 轴上，且△B i －1A i B i (B 0是坐标原点)是以A i 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)求A 1，B 1的坐标；(2)求数列{y n }的通项公式；(3)令b i ＝1a i ，c i ＝(2)－y i 2，是否存在正整数N ，当n ≥N 时，都有∑i ＝1n b i <∑i ＋1n c i ，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵△B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形，∴直线B 0A 1的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y 2＝2x ，y >0，得x 1＝y 1＝2，即点A 1的坐标为(2,2)，进而得B 1(4,0)． (2)根据△B n －1A n B n 和△B n A n ＋1B n ＋1分别是以A n 和A n ＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝x n ＋y n ，a n ＝x n ＋1－y n ＋1，即x n ＋y n ＝x n ＋1－y n ＋1.(*)∵A n 和A n ＋1均在曲线C ：y 2＝2x (y ≥0)上，∴y 2n ＝2x n ，y 2n ＋1＝2x n ＋1.∴x n ＝y 2n 2，x n ＋1＝y 2n ＋12，代入(*)式得y 2n ＋1－y 2n ＝2(y n ＋1＋y n )． ∴y n ＋1－y n ＝2(n ∈N *)．∴数列{y n }是以y 1＝2为首项，2为公差的等差数列．∴其通项公式为y n ＝2n (n ∈N *)．(3)由(2)可知，x n ＝y 2n 2＝2n 2， ∴a n ＝x n ＋y n ＝2n (n ＋1)．∴b i ＝12i (i ＋1)，c i ＝(2)－y i 2＝12i ＋1， ∴∑i ＝1n b i ＝12(1×2)＋12(2×3)＋…＋12n (n ＋1) ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝12(1－1n ＋1)， ∑i ＝1n c i ＝122＋123＋…＋12n ＋1＝14(1－12n )1－12 ＝12(1－12n )． ∑i ＝1n b i －∑i ＝1n c i ＝12(1－1n ＋1)－12(1－12n )＝12(12n －1n ＋1)＝n ＋1－2n 2n ＋1(n ＋1). 当n ＝1时，b 1＝c 1不符合题意，当n ＝2时b 2<c 2符合题意，当n ＝3时，b 3<c 3，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i ，(*)观察知，欲证(*)式成立，只需证明n ≥2时，n ＋1≤2n .以下用数学归纳法证明，①当n ＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边；②假设n ＝k (k ≥2)时，k ＋1<2k ，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋1<2k ＋1<2k ＋2k ＝2k ＋1＝右边． ∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n ＋1<2n ，即∑i ＝1n b i <∑i ＝1nc i 成立．综上，满足题意的n 的最小值为2.5．已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1；(2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论． [解析] (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中a n >0，∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0，∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0<a n <1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12，由此猜想：a n <1n. 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N 时猜想正确．①当n ＝2时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N )时，有a k <1k ≤12成立．那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14<－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n <1n. 解法2：由a 2n ≤a n －a n ＋1，得0<a k ＋1≤a k －a 2k ＝a k (1－a k )，∵0<a k <1，∴1a k ＋1≥1a k (1－a k )＝1a k ＋11－a k， ∴1a k ＋1－1a k ≥11－a k >1. 令k ＝1,2,3，…，n －1得：1a 2－1a 1>1，1a 3－1a 2>1，…，1a n －1a n －1>1， ∴1a n >1a 1＋n －1>n ，∴a n <1n. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上． (1)求a 1、a 2、a 3的值，猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明；(2)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1)，(a 2，a 3)，(a 4，a 5，a 6)，(a 7，a 8，a 9，a 10)；(a 11)，(a 12，a 13)，(a 14，a 15，a 16)，(a 17，a 18，a 19，a 20)；(a 21)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }，求b 5＋b 100的值．[分析] (1)将点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 代入函数f (x )＝x ＋a n 2x中，通过整理得到S n 与a n 的关系，则a 1，a 2，a 3可求；(2)通过观察发现b 100是第25组中第4个括号内各数之和，各组第4个括号中各数之和构成首项为68、公差为80的等差数列，利用等差数列求和公式可求b 100.[解析] (1)∵点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在函数f (x )＝x ＋a n 2x的图象上， ∴S n n ＝n ＋a n 2n ，∴S n ＝n 2＋12a n .11 令n ＝1得，a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2；令n ＝2得，a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4；令n ＝3得，a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6. 由此猜想：a n ＝2n .用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k (k ≥1)时猜想成立，即a k ＝2k 成立，则当n ＝k ＋1时，注意到S n ＝n 2＋12a n (n ∈N *)，故S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，S k ＝k 2＋12a k . 两式相减得，a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k . 由归纳假设得，a k ＝2k ，故a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)．这说明n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立．(2)因为a n ＝2n (n ∈N *)，所以数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b 100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b 100＝68＋24×80＝1988，又b 5＝22，所以b 5＋b 100＝2010.[点评] 由已知求出数列的前几项，做出猜想，然后利用数学归纳法证明，是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法．证明的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1或S k 与S k ＋1间的关系，使命题得证．。

2015届高考数学总复习第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件精讲课件文

A．a>b－1 C．|a|>|b| B．a>b＋1 D．2a>2b
)
点评：在进行充分条件、必要条件的判断时，首先要明确
哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化
简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键．常用的判断方法有三种：直接法、集合法、等价法．利用集合法进
行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而刮题易
于求解．对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断．
解析：由a>b⇒a>b－1，但由a>b－1不能得出a>b， ∴ a>b － 1 是 a>b 成立的必要不充分条件；由 a>b ＋
1⇒a>b，但由a>b不能得出a>b＋1，∴a>b＋1是a>b成
－b2＝0.
点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由
“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：
一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅要会利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
变式探究 3．求方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负实数根的充要条件．解析：当a＝0时，x＝－，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0， ∴a≤1，当a＝1时，方程只有一负根x＝－1. 当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2 ＝或a＝1. <0，∴a<0.
这与“p2＋q2＝2”相矛盾，假设不成立，因此原命题成立．
点评：使用反证法的基本步骤是： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛盾．

2015届高考数学(理)一轮总复习课件 1.2命题及其关系

(1)根据否命题的定义改写．
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2 ≤2
a b
D．若 2 ≤2 ，则 a≤b
a
b
(2)利用逆否命题真假关系判定．
(2)(2012·高考浙江卷)设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数( )
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
C
a b
聚焦考点典例精讲类题通法变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b，则 2 ＞2 ”的否命题是( )
D ，命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”，其逆命题为______ 假 A ，________( 假真假)，其否命题为______ ______( 真假)， C 真其逆否命题为________ ，________( 真假)．
C
基础知识梳理
梳理二
四种命题及其关系
基础知识系统化2
3．四种命题的真假关系
条件．
C
聚焦考向透析
考向一
四种命题及其关系
审题视点典例精讲类题通法变式训练
例题精编
(1)(2014·潍坊市三模)命题“若 a＞b，则 2a＞2b”的否命题是( )
A．若 a＞b，则 2a≤2b B．若 2a＞2b，则 a＞b C．若 a≤b，则 2a≤2b D．若 2a≤2b，则 a≤b

高考数学一轮总复习重点知识点梳理

高考数学一轮总复习重点知识点梳理高考是人生的一次重要考验，对于学生来说，备考高考数学是一项重要任务。

为了帮助大家更好地备考数学，下面将对高考数学一轮总复习的重点知识点进行梳理。

本文将分为四个部分，分别是代数与函数、几何与向量、概率与统计以及解题方法与技巧。

一、代数与函数1. 四则运算与整式的基本操作2. 二次函数与一次函数的性质及其图像3. 幂函数与反比例函数的性质及其图像4. 复数的运算及其性质5. 等差数列与等比数列的性质及其应用6. 二项式与多项式的展开及其应用7. 三角函数的性质与应用二、几何与向量1. 平面几何基本概念与性质2. 相似三角形与勾股定理的应用3. 圆的基本性质与圆的应用4. 向量的定义、运算与性质5. 空间几何基本概念与性质6. 空间中直线与平面的位置关系及其应用7. 空间向量的定义及其应用三、概率与统计1. 随机事件与概率的基本概念2. 随机事件的运算及其概率性质3. 事件的独立性与计算4. 排列与组合的基本概念及其计算5. 随机变量与概率分布的基本概念6. 正态分布与二项分布的概念及其应用7. 抽样与统计的基本概念及其应用四、解题方法与技巧1. 解方程与解不等式的基本方法及应用2. 解析几何的基本方法及应用3. 函数的性质与应用4. 统计图的分析与应用5. 考点梳理与答题技巧通过对以上知识点的梳理，可以发现高考数学的重点主要集中在代数与函数、几何与向量、概率与统计以及解题方法与技巧等方面。

在备考过程中，同学们应该加强对这些知识点的理解与掌握，注重解题方法与技巧的培养，提高解题效率。

总的来说，高考数学一轮总复习的重点知识点梳理旨在帮助同学们合理安排学习时间，重点攻克难点知识，提高数学成绩。

希望同学们能够认真备考，保持良好的心态，相信自己的实力，顺利迎接高考的到来。

祝愿大家取得优异的成绩！。

2015届高考数学总复习第一章第一节集合的概念与运算精讲课件文

解析：m＝1时，x＝1；m＝3时，x＝3或35或36 ； m＝5时，x＝5或53或56；m＝6时，x＝6或63或65. 综上知集合B中有10个元素．故选D. 答案：D
变式探究
1．定义集合运算： A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A
＝，B＝，则集合A*B的所有元素之和为( A．0 B．2 C．3 ) D．6
Venn图的运用【例5】 ( ) (2012· 黄山质检)记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A
＝ {1,2,3,5} ， B ＝ {2,4,6} ，则图中阴影部分所表示的集合是
A．{2}
B．{7,8}
C．{4,6,7,8}
D．{1,2,3,4,5,6}
解析：阴影部分的集合是 ∁ U(A∪B) ．由题意得 A∪B ＝ {1,2,3，4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{7,8}．故选B. 答案：B 点评：元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达. 若题设条件比较抽象，也可以借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．
点评：解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，
要分清各集合的具体类型 ( 如数集、点集等 ) ，不允许有半点差错，否则将导致解题的失败．解析：集合A是用列举法表示，它只含有一个元素，即函数y＝x2＋2，集合B，C，E中的元素都是数，即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y ＝ x2 ＋ 2 的值域，集合 C 表示的是函数y＝x2＋2的定义域R，集合E表示的是不等式x－2≥0的解集 [2，＋∞)，集合D的元素则是平面上的点，此集合是函数 y＝x2＋2的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选D. 答案：D
变式探究 2．设集合A＝{x,y} | x2+y2=4}，B＝{(x，y) | y＝关系． }， 4 x2 C＝{x | y= 4 x2，D＝{y | y＝ 4 x2 }，试写出它们每两个集合之间的