垂径定理(导学案)
垂径定理 （共21张PPT）学案
3.3.2垂径定理导学案一、教材79页想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，⌒AC=⌒BC师生共同归纳定理1： . 探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，⌒AC=⌒BC 求证：CD⊥AB归纳出：定理2：。
二、教材79页例题例3、赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为 37.02 m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m, 求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).1．下列命题中，正确的是( )A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )A．8 B．2 C．10 D．53．已知⊙O的半径为2 cm，弦AB长2√3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为( )A． 1 cm B．2 cm C.√2cm D.√3 cm【方法宝典】利用垂径定理推论进行解答即可。
1.如图所示，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm2.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm23.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D ，E ，量出半径OC=5cm ，弦DE=8cm ，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm4.如图所示，将一个半径为5cm 的半圆O 折叠，使经过点O ，则折痕AF 的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm5.如图所示，在⊙O 中，AB ，AC 是互相垂直的两条弦，OD⊥AB 于点D ，OE⊥AC 于点E ，且AB=8cm ，AC=6cm ，那么⊙O 的半径OA 长为 ．6.如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m ，拱高PD=18m.(1)求圆弧所在的圆的半径r 的长.(2)当洪水泛滥到跨度只有30m 时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4m ，即PE=4m 时，是否要采取紧急措施？参考答案： 当堂检测：1．C 2.A 3.C 4.C5．5cm6．(1)如答图所示，连结OA.由题意得AD=21AB=30(m)，OD=(r-18)(m).在Rt△ADO 中，由勾股定理得r 2=302+(r-18)2，解得r=34.∴圆弧所在的圆的半径r 的长为34m.。
圆第2课垂径定理导学案
圆第2课垂径定理导学案第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径［学习目标］1．理解圆的轴对称性；2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明.知识链接一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容）1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。
3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。
]1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD(图1) (图2) (图3) （图4）2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．83．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）二、合作探究1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为（A. 10B. 8C. 6D.4A （图6）（图7）（图8）（图9）2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论：，， .3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长为．4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ．第 1 页共 1 页）5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F【课堂检测】1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.图2-1 图2-22、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，则OM＝ .3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .4．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。
导学案 垂径定理
B ACD O M ）课前导学学习目标在明确圆的有关概念的基础上，学习垂径定理，并能初步应用垂径定理解决实际问题。
学习要求自己制作学具：准备一个圆形纸片，通过操作理解垂径定理，不理解的用“？”标记。
学习重点垂径定理及其运用。
学习难点探索垂径定理及利用垂径定理解决一些简单的实际问题。
学法指导 阅读法 探究法 讨论法 练习法学习用具 圆规、三角尺、圆形纸片知识回顾与准备复习：1、说出圆、弦、直径、弧（优弧、劣弧）、等圆、等弧的定义。
2、“弦是直径”这句话正确吗？为什么？。
指导自学自主学习（自学教材P 81----P 82）1.仔细阅读，完成81页探究。
2.结合81页探究，试完成讲学稿检测预习与助学.3．试归纳垂径定理。
4、试完成当堂检测。
检测预习与课堂助学一、动动手：阅读课本81页探究。
通过折叠，我发现： ．我是利用 方法解决圆的对称轴问题的．因此，我可以得到：圆是 图形，其对称轴是 ．二、探究进一步，还可得到：推论------平分弦（不是直径）的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．试一试：.填空：如上图，CD 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则AM= ，AC = .AD=思考：1、在上图中，已知⊙O 的半径与弦AB 的长度，且AB ⊥CD ，如何求出OM 的长度？2、根据垂径定理，利用尺规作图如何作出一个圆的圆心？如何作一条弧所在圆的圆心？三、实际应用：赵州桥主桥拱是圆弧形，他的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？助学：已知弦、拱高，所以做弦AB 的垂直平分线OC, D 为垂足，OC 与弧AB 相交于点C ，再任作一条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，即为圆心O思路导航：根据垂径定理，D 是AB 的 ，C 是 的中点，CD 就是拱高。
半径都相等，设OA=x 则OD= ，利用Rt △AOD 的三边关系求出半径。
写出解题过程：方法小结：当堂检测（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 （2）写出你发现的图中相等的线段、弧和角？ 相等的线段： 相等的弧： 相等的角： （3）结论 思路导航：∵直径CD 弦AB ，∴CD 平分 及 ． 这样，就得到下面的定理： 垂径定理---------垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧．。
3.3垂径定理导学案2
课题 3.3 垂径定理2 导学案时间：课型：新授【学习目标】1、巩固垂径定理.2、熟练运用垂径定理解决有关问题.【重点难点】重点：垂径定理及应用. 难点：垂径定理的应用.【导学流程】一、知识铺垫：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：a、垂直于弦 b、直径 c、平分弦 d、平分弦所对的优弧 e、平分弦所对的劣弧这5个，任意2个作为条件，可以推出其余3个结论.二、深入学习：例1、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．例2、如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE 和BF为什么相等吗？课海拾贝我的困惑：我们的困惑：三、迁移运用：1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径．2、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.3、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.4、一工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。
如图所示，AD＝2.3米，CD＝2米，现有一辆集装箱卡车要开进工厂，卡车高2.5米，宽1.6米，请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门？课后反思A BC DCODEF。
垂径定理推论 导学案
一、自学指导：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦。
综合：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；当中的任意两条，则可推出其它三条。
（知二得三）二、自学自测：1．已知⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O?到AB的距离为3cm，则⊙O的直径是_____cm．2．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是弦AB上任意一点，则OP?的取值范围是_______．3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=?___cm．4、如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD= 22，BD=3，求AB的长。
5、如图，在⊙O中，点O是∠BAC的平分线上的一点，求证：AB=AC三、当堂达标:1、下列命题中正确的个数是（）① 直径是圆中最长的弦；② 垂直于弦的直径平分弦及其所对的两弧；③ 平分弦的直径垂直于弦；④ 半圆是弧，但弧不是半圆；⑤ 等弧所对的弦相等，圆心角相等；⑥ 圆心角相等，所对的弦相等，弧也相等。
A、2个B、3个C、4个D、5个2、弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm,则⊙O的半径长为________。
3、如图,在半径为2cm的⊙O中有长为的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°AB4、如图为圆弧形拱桥，半径OA=10cm ，拱高为4cm，求拱桥跨度AB的长。
四、拓展：如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，（1）、求证：AC平分∠OAB。
（2）、过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P，若AB=2，∠AOE=30°，求PE 的长。
(完整版)新版北师大数学九年级下第三章3.垂径定理导学案
中学导学案 时间：第4题图第5题图学科 数学 课题 3.垂径定理 主备者 参备者 执教者 班级 九、二 学生姓名 学习目标： 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重、难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．学前准备1、等腰三角形是轴对称图形吗？2、如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3、如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？互 动 课 堂探索合作：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． 求证：AM =BM ；⌒AC =⌒BC ；⌒AD =⌒BD .垂径定理： 几何语言：∵ ∴注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦． 2、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理逆定理：例：达 标 检 测1、如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 _________ ．2、如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 4、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6、下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度ABD OBC A第3题图E BDOCA第2题第1题图。
24.1.2-垂径定理(学案1)
永宁中学九年级数学（上）导学案备课组长：教研组长：教科室：课题垂径定理第 1 课时共3 课时设计人唐伟文学习目标：1、探究垂径定理及推论； 2、会用符号语言描述垂径定理。
学习重点：探究垂径定理及推论、学习过程：一、知识点回顾（知识准备）：圆的对称性：二、探究新知：如图：AB是圆形纸片的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。
沿CD对折纸片，发现：①这个图形是对称图形吗②图中有哪些相等的线段和弧请说明理由。
③你能用一句话概括这些结论吗垂直于弦的直径______________________________(垂径定理)④你能用符号语言表达这个结论吗符号语言：∵CD为⊙O的直径，且CD⊥AB于E∴_____________，__________________，________________⑤由对折以上纸片我们还进一步发现：平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并_________弦所对的两条弧(垂径定理推论)符号语言：∵CD为⊙O的直径，且AE = BE∴_____________，__________________，_______________三、教师引导：垂径定理的题设和结论关系较复杂，从以上探究我们可进一步将其并归结为：一条直线（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足条件（1）、（2）而推出其他结论；推论是满足条件（1）、（3）而推出其他结论。
四、归纳小结：梳理本节所学知识点五、检测与反馈：1、判断下列图形，是否能使用垂径定理(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E2、如图，AB为⊙O的直径，且AB⊥CD于E。
请用符号语言描述垂径定理及其推论。
A OBCDEO BA CEODCBAEODCBAEOBA E1。
垂径定理1导学案
24.1.2 垂直于弦的直径（垂径定理第一课时）【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【导学过程】一．自主学习（一）回顾复习：（独立完成下列各题）1.如图：AB是⊙O______；CD是⊙O______；⊙O中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
（二）自主探究（一）自主探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）自主探究二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
二、合作交流（一）你还能用其他的方法给出证明吗？垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD是⊙O_____，AB是⊙O______，且CD__AB于M∴____=_____，_____=______，_____=______。
(二)合作探究二：用垂径定理解决问题已知：⊙O的直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，求：弦AB的长。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距（圆心到弦的距离），构造Rt△.弦（a）半径（r）弦心距（d），三个量关系为。
简“半径半弦弦心距”。
（三）巩固练习1．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，则BC =____，AC =____ ；CE=______2.已知：AB为⊙O的弦，AB=24cm, 圆心O到AB的距离为5cm, 求⊙O的直径3.已知：⊙O的直径AB=20cm，∠B=30°,求：弦BC的长三、展示提升：（1）如图，两圆都以点O为圆心，求证:AC=BD（2）圆中有两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离四、盘点收获OBCA。
24.1.2 垂径定理导学案
班级： 姓名:编号： 课题24.1.2垂直于弦的直径 课型新授 主备 审核 目标导航 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理； 2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算问题；3.了解弓形高、弦心距等概念.【温故知新】1.轴对称图形,轴对称图形的性质。
2.勾股定理求线段长；3.弦、直径、等弧的概念。
【自主学习】活动1:剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你得出什么结论？【合作探究】活动2:请继续利用手中的圆形纸片，画一画:(1) 在圆上任意画一条弦AB ；(2) 过圆心O 作弦AB 的垂线，垂足为E.交⊙O 于C ，D 两点。
观察思考：图中有哪些相等关系？如何证明你的猜想？相等的线段： ；相等的弧： .【初步应用】例1：如图(1)，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.则⊙O 的半径为 cm 。
变式1：如图，已知⊙O 的半径是5cm,弦AB=8 cm ， 则圆心O 到AB 的距离是 cm 。
变式2： 已知⊙O 的半径是5cm ，圆心到弦的距离是3 cm ，则弦AB 的长为 cm 。
变式3：如图(2)，OD ⊥AB 于点E,与⊙O 交于点D,已知AB=8,DE=2，圆是 图形， 是圆的对称轴. 垂径定理：图1 图2则⊙O的半径是。
【方法归纳】例2：如图3，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.【能力提升】1、如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是_____．2、如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_____ 。
垂径定理导学案
28.4垂径定理【教材分析】垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
【教学目标】1、经历探索垂径定理过程，掌握并学会运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题；2、经历探索过程，发展学生的合情推理能力，有条理的表达能力；3、在学生通过观察、操作、和探究的过程中培养学生运用数学的习惯和意识。
【重点】运用垂径定理解决一些有关计算、证明的问题； 【难点】垂径定理的探索和证明；复习案【学法指导】第一步：独立思考，自主完成，巩固基础知识。
第二步：同伴互查互阅，然后交流讨论，解决自己的困惑。
1、如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，（1）如果AB ＝CD ，那么___=___，___=___， ___=___； （2） 如果=，那么 ___=___， ___=___；（3）如果∠AOB ＝∠COD ，那么___=___， ___=___；2、如图，AB 是⊙O 的弦，C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD ，找出图中相等的线段，并说明理由。
探究案探究一：动手操作，观察发现：CD 是⊙O 的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD ，将⊙O 沿CD 所在的直线对折，比较图中的线段和弧，你有哪些发现？并说明理由。
【学法指导】第一步：自己动手操作，认真观察；第二步：归纳总结所得发现，小组成员之间交流、讨论、总结；第三步：完成证明过程，并做好展示；1、发现：2、完成证明过程：已知：CD是⊙O的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，求证：证明：3、用自己的语言归纳总结所得结论：4、跟踪练习：看下列图形，能使用垂径定理的是：探究二：【学法指导】第一步：独立思考，自主完成；第二步：灵活运用垂径定理，解决实际问题；第三步：小组成员之间交流、讨论、总结，做好展示；1、如图，已知CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，若AB=8厘米，圆心O到AB的距离为2厘米，求⊙O的半径。
初中数学垂径定理导学案
课题 3.3垂径定理（一）班级 组名 姓名航标一 理解等可能事件概率计算公式，并能求求简单等可能事件的概率。
一、预习新课：请先认真阅读课本76到77页的例1完成下面题目1. 如图，直径CD ⊥AB 于点E ，沿着直径CD 所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线段、弧互相重合， 相等的线段有 互相重合的弧有【归纳总结1】圆是 图形，对称轴是【归纳总结2】圆的垂径定理垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦 . 数学语言如图 ∵ CD 是直径, CD ⊥AB,∴AE=BE,航标二：掌握圆的性质，学会运用垂径定理解决平分弧问题。
1.如图，已知弧AB ，用直尺和圆规二等分这条弧。
航标三 学会运用垂径定理构造垂径三角形解决圆中简单计算请先认真阅读课本77页例2并完成下面两个题目。
2、（课本P78页作业题B5）一个底部呈球形的烧瓶,球的半径为5cm,瓶内液体的最大深度CD ＝2cm(如图).求截面圆中弦AB 的长.书中学道——学习程序：课前独立预习课本第44——50页，完成“书中学道”。
课内先组内群学，再进行概念重点小展示，由学生点评和打分，最后教师补充，时间5分钟。
做中习道——学习程序：课前通过预习独立完成“做中习到”。
课堂先组内群学，教师进行任务分配，小组代表展示。
由学生点评和打分，最后教师补充，时间30分钟。
OED C B AAB3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ），点O 是弧CD 的圆心，其中DC=600m ，点E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径。
4、（P78作业题6）已知:如图,在⊙O 中,弦AB ∥CD. 求证:AC BD ＝.1、课本P77页课内练习12、P78作业题33、P78页作业题74、P78作业题4课题 3.3垂径定理（二）省中悟道——学习程序：先独立完成，完成后交小组长，然后老师当堂或课后批阅，时间5分钟 OF DC E班级 组名 姓名航标一：说出定理的逆定理并能用数学语言叙述以上定理。
垂径定理 （共19张PPT）学案
3.3.1垂径定理导学案一、教材76页合作学习1.在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?总结：圆是图形，每一条都是对称轴。
2.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？点与点重合，与重合，，⌒AC＝⌒AD．你能将你的发现归纳成一般结论吗？。
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明已知CD是直径，CD⊥AB，求证：CD平分AB，CD平分⌒AD和⌒ADB总结：弧的中点：。
二、教材77页例1已知⌒AB,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.三、教材77页例2一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O 到水面的距离.总结：弦心距：。
1、下列说法正确的是（）A. 3cmB. 2√3cmC. 4√3cmD. 8√3cm3．如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E(如图)，那么下面结论中错误的是（）A. CE＝DEB.⌒BC＝⌒BD C. ∠BAC＝∠BAD D. AC＞AD【方法宝典】利用垂径定理的内容解答即可。
1.如图所示，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是().A.6B.5C.4D.32.如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连结CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中，正确的是().A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD3.如图所示，⊙O的半径为5，若OP=3，则经过点P的弦长可能是().A.3B.6C.9D.124.如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为().A.8B.10C.16D.205.如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点P，且AB=CD=8，则OP的长为( ).A.3B.4C.32D.426.如图所示，⊙O 的半径是5，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P ，若CD=8，则△ACD 的面积是 ．7.如图所示，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(4，2)，点A 的坐标为(1，0)，以点P 为圆心，AP 长为半径作弧，与x 轴交于点B ，则点B 的坐标为 ．8.如图所示，已知在⊙O 中，AB ，CD 两弦互相垂直于点E ，AB 被分成4cm 和10cm 两段．(1)求圆心O 到CD 的距离．(2)若⊙O 半径为8cm ，求CD 的长是多少.参考答案： 当堂检测：1．B 2.D 3.C 4.D 5．C6．327. (7，0)8.(1)如答图所示，作OG⊥CD 于点G ，OF⊥AB 于点F.∵∠OGE＝∠GEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OGEF 是矩形.∴OG＝EF.∵OF⊥AB，∴AF＝21AB ＝21×(4＋10)＝7(cm).∴OG＝EF ＝AF －AE ＝3(cm).∴点O 到CD 的距离为3cm.(2)如答图所示，连结OD ，在Rt△ODG 中，OD ＝8cm ，OG ＝3cm ，∴GD＝22OG OD ＝。
垂径定理导学案
垂径定理【学习目标】1．理解圆的轴对称性；2．探索垂径定理及其逆定理，并能应用它解决有关问题；3．经历探索圆的对称性，发现定理的过程，培养抽象概括能力；识图、绘图能力；运算以及推理论证能力；发散思维能力；4．在探索活动中，主动参与小组合作，培养与同学合作交流的意识、思考与表达的条理性。
【学习重点】理解掌握垂径定理及其逆定理，并能应用解决有关问题。
【学习难点】理解掌握垂径定理及其逆定理。
【学法指导】通过探索圆的对称性，发现垂径定理以及逆定理，明确定理的条件和结论，并能准确用三种语言进行描述，在问题解决中逐步掌握定理的应用。
【学习过程】一、学前准备1．我们学过哪几种对称性？什么是轴对称图形？怎样判断一个图形是轴对称图形？轴对称图形有什么特征？2．叙述圆的定义。
3．圆的有关概念。
（2）弦：二、活动探究活动一：探究圆的对称性1．圆是否轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的？2．结论：_______________________，_____________________________。
活动二：探究垂径定理1．观察右图，并进行描述。
2．研究右图的对称性。
并说出在已知条件下，可以发现哪些等量关系？并说明理由。
3．垂径定理：________________________________，________________________________。
用符号语言表述：4．巩固练习：（1）在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是___________。
（2）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆的弦于C ．D 两点，你认为AC 与BD 的大小有何关系？说明理由。
活动三：探究垂径定理的逆定理1． 如右图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分弦的直径CD ，交AB 于点M 。
（1）和上面问题相比，右图中的条件发生了什么变化？此时右图还是不是轴对称图形？如果是，对称轴是什么？（2）在以上条件下，你能发现图中有哪些关系？说一说你的理由。
导学案第18个教案 23垂径定理.doc
第18个教案2. 3垂径定理【教学目标】知识与技能:1.掌握圆的两种对称性质。
2.理解垂径定理是圆的对称性的体现，掌握垂径定理。
过程与方法：在探圆的对称性以及直径垂直于弦的性质中，培养学生观察、比较、归纳、概括的能力。
情感态度价值观：通过对圆的进一步认识，加深学生对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情。
教学重点：利用圆的对称性引出两个定理。
教学难点：垂径定理证明的严谨性。
【导学过程】【知识回顾】通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？【情景导入】从图中找到哪些相等的线段和孤？为什么？【新知探究】探究一、圆的三种对称性(1)什么是相等的圆(等圆)？(2)圆有几种对称性？圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。
特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴?2.你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.因此，我们可以得到:圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线. 按下面要求完成下题：如图，AB是。
O的一条弦，作直径CD,使CD_LAB,垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)你能发现图中有哪些线段的等量关系？说一说你理由.我发现：(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.(2) AM=BM,即直径CD平分弦AB,这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分这条弦.| (用因为、所以的几何语言来表达)下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CDXAB垂足为M 求证：AM=BM.分析：要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可.证明：如图，连结OA、OB,贝ij OA=OB在RtAOAM 和RtAOBM 中OA = 0B' OM =OM:.RtAOAM^RtAOBM.♦.AM=BM进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦"［师］为什么上述条件要强调“弦不是直径” ？［生］因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的.［师］我们把上述结论称为垂径定SB勺一个逆定理.探究三、例1、如图，弦AB=8cm, CD是。
垂径定理
C《垂径定理》导学案一．复习引入：1.如图：AB 是⊙O______；CD 是⊙O______； ⊙O 中优弧有__________；劣弧有__________。
2.在___圆或____圆中，能够____________叫等弧。
二、新知导学探究一 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现 了什么？结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
探究二： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段：______________相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：文字叙述是：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于M ∴ ____=_____， _____=______， _____=______。
下列图形是否具备垂径定理的条件？如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm 。
探究三：用垂径定理解决问题O 的直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求：弦AB 的长三、巩固练习，拓展提高1．已知：AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ， 则弧BC =____，弧AC =____ ；CE=______ 的弦，AB=24cm, 圆心O 到AB 的距离 为5cm, 求⊙O 的直径3. 已知：⊙O 的直径AB=20cm ，∠B=30°, 求：弦BC 的长4.如图，两圆都以点O 为圆心， 求证:AC=BD5.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）半径（r ）弦心距（d ），三个量关系为。
垂径定理导学案
课堂检测1、如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A．AE=OE B．CE=DE C．OE=12CE D．∠AOC=60°2、已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（）A．4 B．14 C．4或14 D．6或1412、坐标网格中一段圆弧经过点A、B、C，其中点B的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（）A．（0，0）B．（2，-1）C．（0，1）D．（2，1）3、已知⊙O的直径20，OP长为8，则过P的弦中，弦长为整数的弦共有（）条．A．1 B．9 C．17 D．164、如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对5、圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm6如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．7、已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．8、如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC ⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___．9、10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝____cm.10、如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．11（选做题）、在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP ⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．。
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24.1垂径定理（导学案）
富源县后所镇中学 教师：龚达书 邮编：655505 国培中学数学班 学号：34
活动一：
动手做个圆，剪下来，研究下面的问题：
圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
活动二：
利用手中的圆做直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（3）如果直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ，那么AE=BE ，
这个命题试着用语言叙述下来，并判断是否为真命题。
你能完成证明吗？
活动三、以下三个图,是否有 AE=BE , AC=BC , AD=BD ?
活动四 例 1： 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径
(1).在⊙O 中,直径为 10 cm,弦 AB 的长为 8 cm, 求圆心O 到AB 的距离.
(2).在⊙O 中,直径为 10 cm,圆心O 到AB 的距离为 3 cm,
D
D
D
C
D
A
B
O
求弦AB 的长.
(3)圆的半径为R ,弦长为 a ,弦心距为d ,则 R 、a 、d 满足关系式＿＿＿＿＿＿＿＿＿
活动五、课本P7例题，课本P8随堂1
活动六、在练习1图形的基础上：
变式（1） 已知：如图1，若以O 为圆心作一个⊙O 的同心圆，交大圆的弦AB 于C ，D 两点。
求证：AC ＝BD 。
（图1） （图2）
变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式（4）隐去（图1）中的大圆，得（图4）连接OC ，OD ，设OC=OD ， 求证：AC ＝BD 。
选做题、1、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点， 则线段OM 的长的最小值为____.最大值为____________.
2．已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ， 求弦AB 与CD 之间的距离。
小测：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
A
B
_ O
_ A
Ｂ。