高二数学寒假作业专题13导数在研究函数中的应用一背

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导数在研究函数中的应用典例详解

《导数在研究函数中的应用》典例详解要点精讲用导数的方法研究函数的单调性，主要根据导数的正负来判断函数的增减情况；函数在是点的导数为0是函数取到极值的必要不充分条件，还需考察两边导数的符号才能确定是否在这点取到极值；函数在闭区间上的最大(小)值通过比较极值和区间端点的函数值来求得．典型题解析【例1】设函数是定义在[)(]-1001，，上的奇函数，当x ∈-[)10，时，f x ax x ()=+212（a 为实数）．（1）当x ∈(]01，时，求的解析式；（2）若a >-1，试判断在（0，1］上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a ，使得当x ∈(]01，时，有最大值．【解】（1）设x ∈(]01，，则-∈--=-+x f x ax x [)()10212，， f x ()为奇函数，∴()()f x f x -=- ∴ 21()2(01]f x ax x x =-∈，，（2）f x a x a x'()=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪222133 a x x a x >-∈≥+>101111033，，，，(] 即f x '()>0 ∴f x ()在(]01，上是单调递增的（3）当a >-1时，在(]01，单调递增∴max ()(1)6f x f == 解得：a =-52（不合题意）当a ≤-1，则f x x a'()==-013，如表可知f x f a ()max =-⎛⎝⎫⎭⎪=-163∴=-a 22, x =∈2201(]， ∴存在a =-22，使函数在（0，1）上有最大值. 【例2】求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值．【分析】本题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．解题突破口：本题是典型的用导数法求最大值及最小值问题,基本思路为：1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f ′(x)；（2）求方程f ′(x)=0的根；（3）检查f ′(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．【解】∵,2111)(x x x f -+=' 令,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少．所以412ln )1(-=f 为函数的极大值．又因为),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-== 所以0)0(=f 为函数在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数在[0，2]上的最大值．【例3】(2004年湖南卷文史类) 如图，已知曲线C 1：y=x 3(x ≥0)与曲线C 2:y=－2x 3+3x (x ≥0)交于O ，A,直线x =t(0<t<1)与曲线C 1,C 2分别交于B ，D.（Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.【解】（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,3233x x y xy 得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）. ),33(21||21|01|||21)(3t t BD BD S S t f OBD ABO +-==-⋅=+=∆∆ 即 ).10().(23)(3<<--=t t t t f（Ⅱ）.2329)(2+-='t t f 令0)(='t f 解得 .33=t 当,0)(,330>'<<t f t 时从而在区间)33,0(上是增函数；当,0)(,133<'<<t f t 时从而在区间)1,33(上是减函数. 所以当 33=t 时，有最大值为 .33)33(=f 【例4】已知,R a ∈求函数ax e x x f 2)(=的单调区间．【分析】与a 的取值有关，应正确应用分类讨论思想方法与解不等式的技能．利用⇔∈>'D x x f ,0)(在 D 内单调递增． ⇔∈<'D x x f ,0)(在 D 内单调递减解决此类问题．【解】.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0．所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<-<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2,由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2．所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数．【例5】设曲线x e y x (-=≥0）在点M （t,c －1）处的切线与x 轴y 轴所围成的三角表面积为S （t ）．（Ⅰ）求切线的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值．【分析】已知切点求切线，关键是求切线斜率，也就是求导．求三角形面积的最大值，首先必须建立面积的目标函数S(t)，然后利用导数方法研究其最大值．在前后两次求导中，都必须熟练掌握求导的有关公式．【解】（Ⅰ）因为,)()(x x e e x f ---='='所以切线的斜率为,x e -- 故切线的方程为).(t x e e y t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t ．（Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得)1(+=-t e y t所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t=t e t -+2)1(21从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='-∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0, 所以S(t)的最大值为S(1)=.2e规律总结解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解．。

导数在研究函数中的应用

桂洲中学高二数学（理）期末复习2 姓名学号导数在研究函数中的应用一、函数的单调性与导数的关系1．用导数求函数的单调区间: 解不等式()0f x '>可得函数()f x 的单调递区间;解不等式()0f x '<可得函数()f x 的单调递区间.注：若不等式的解集为{}b x a x x ><或，则相应的单调区间应写成2．知单调区间求参数的范围: 函数()f x 在区间I 上为增函数⇒ 在区间I 上恒成立; 函数()f x 在区间I 上为减函数⇒ 在区间I 上恒成立(且()0f x '≡/);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围. 参数分离法是解决这类问题的常见方法。

二、函数的极值与导数求函数极值的步骤：⑴确定函数的定义域；⑵求函数()f x 的导数)(x f '；⑶求方程0)(='x f 的根；⑷用方程0)(='x f 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；⑸检验()f x 在该方程的根的左、右两旁的单调性，即()f x '的，从而确定()f x 相应的极值。

注：①极值点与极值的关系； ②可导函数()f x 在点0x 处的导数0)(0='x f 是函数()f x 在该点0x 处取极值的条件。

因此由0)(='x f 求得0x x =后必须判定0x 处两侧导数的正负符号，才能确定函数极值的存在情形。

三、函数的最值与导数1．在区间[]b a ,上连续的函数()f x 在[]b a ,上必有最大值和最小值，求最值的步骤：⑴求函数()f x 在区间[]b a ,内的极值；⑵求函数在区间端点的值)(),(b f a f ；⑶将函数的与)(),(b f a f 比较大小，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

2．函数在某区间（可以是闭区间也可以是开区间）内若只有一个极值点，则极小值即最小值，极大值即最大值。

高二数学寒假作业专题13导数在研究函数中的应用一学

专题13 导数在研究函数中的应用〔一〕学一学------根底知识结论1.与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定．温馨提醒：如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件．2.时，与为增函数的关系：假设将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有，所以当时，是为增函数的充分必要条件．3.与为增函数的关系：为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。

当函数在某个区间内恒有，那么为常数，函数不具有单调性，所以是为增函数的必要不充分条件．4.单调区间的求解过程：可导函数〔1〕分析的定义域；〔2〕求导数〔3〕解不等式，解集在定义域内的局部为增区间〔4〕解不等式，解集在定义域内的局部为减区间调区间的合并：函数单调区间的合并主要根据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增．同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性一样，且在公共点处函数连续，那么二区间就可以合并为一个区间．，〔1〕假设恒成立，那么在上递增，∴对不等式恒成立;〔2〕假设恒成立，那么在上递减，∴对不等式恒成立．学一学------方法规律技巧1．判断函数的单调性利用导数处理可导函数的单调性问题是一种很常用也很有效的解题手段，其中一定要注意函数定义域的限制作用，以及最终的单调区间端点的开和闭也是解题的易错点．例1、函数()ln,2af x x a x a R=--∈，(I)求函数()f x的单调区间；(II)假设函数()f x有两个零点12,x x，(12x x<)，求证：2121x a x a<<<<．性求参数范围做题时一定要看清楚“在〔m,n〕上是减函数〞与“函数的单调减区间是〔a,b〕〞，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集．解题时常将在〔m,n〕上是减〔增〕函数问题，通过对函数求之后，转化为导函数在〔m,n〕上是小于0〔大于0〕恒成立问题．例2、函数()ln f x ax x =-，()e 3ax g x x =+，其中a ∈R ．〔1〕求()f x 的极值；〔2〕假设存在区间I ，使()f x 和()g x 在区间I 上具有一样的单调性，求a 的取值范围．。

高二数学寒假作业专题13 导数在研究函数中的应用(一)

专题13 导数在研究函数中的应用（一）学一学------基础知识结论1.与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定．温馨提醒：如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件．2.时，与为增函数的关系：若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有，所以当时，是为增函数的充分必要条件．3.与为增函数的关系：为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。

当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性，所以是为增函数的必要不充分条件．4.单调区间的求解过程：已知可导函数（1）分析的定义域；（2）求导数（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间5.函数单调区间的合并：函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增．同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间．6.已知，（1）若恒成立，则在上递增，对不等式恒成立;（2）若恒成立，则在上递减，∴对不等式恒成立．学一学------方法规律技巧1．判断函数的单调性利用导数处理可导函数的单调性问题是一种很常用也很有效的解题手段，其中一定要注意函数定义域的限制作用，以及最终的单调区间端点的开和闭也是解题的易错点．例1、已知函数()ln,2af x x a x a R=--∈，(I)求函数()f x的单调区间；(II)若函数()f x有两个零点12,x x，(12x x<)，求证：2121x a x a<<<<．2.已知函数单调性求参数范围做题时一定要看清楚“在（m,n ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集．解题时常将在（m,n ）上是减（增）函数问题，通过对函数求之后，转化为导函数在（m,n ）上是小于0（大于0）恒成立问题．例2、已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（1）求()f x 的极值；（2）若存在区间I ，使()f x 和()g x 在区间I 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．。

高二数学导数在研究函数中的应用

有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调
如果对于区间I内的任意两个值 x1 , x2 ，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说y = f (x) 在区间I上是单调减函数，I称为y = f (x) 的单调减区间
2
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
四、数学运用:
基础练习:求下列函数的单调区间
（ 1）
y xx
2
（ 2）
y xx
六、课后作业
P78习题3.3第1、2题
2
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
思考：能不能用其他方法解？
y
1 －1
o
1
x
四、数学运用:
例2：确定函数
f ( x) 2 x 6 x 7 ，
3 2
在哪些区间是增函数。
说明:当函数的单调增区间或减区间有多个时，单调区间之间不能用连接，只能分开写，或者可用“和”连接。
四、数学运用:
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1)求 y = f(x ) 的定义域D
(2)求导数 f ( x ).
(x) < 0 . (3)解不等式;f ¢ (x) > 0 或解不等式 f ¢
(4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
四、数学运用:
例2：确定函数变式1：求
f ( x) 2 x 6 x 7 ，
3 2
3 2

【高中数学】导数在研究函数中的应用

【高中数学】导数在研究函数中的应用知识回顾求导公式：1. 若c x f =)(（c 是常数），则='=')(x f y ；2. 若)()(*Q n x x f n ∈=，则='=')(x f y ；3. 若x x f sin )(=，则='=')(x f y ；4. 若x x f cos )(=，则='=')(x f y ；5. 若)0()(>=a a x f x，则='=')(x f y ；6. 若xe xf =)(，则='=')(x f y ；7. 若)1,0(log)(≠>=a a x x f a，则='=')(x f y ；8. 若x x f ln )(=，则='=')(x f y ；导数的运算法则：1. ='±])()([x g x f ；2. ='⋅])()([x g x f ；3. ='])([x cf （c 是常数）；4. ='])()([x g x f 0)(≠x g 。

1、求曲线4532)(23+-+=x x x x f 在点（1，4）处的切线方程。

2、判断函数332)(2+-=x x x f 的单调性，并求出单调区间。

提高训练1．下列求导正确的是（）A ．211)1(xx x +='+B ．2ln 1)(log2x x ='C ．3(3)3lo g x x e '=⋅D ．2(cos )2sin x x x x '=-2．质点做直线运动的方程是4s t =，则质点在t=3时的速度是（）（位移单位：m 时间单位：s ）A ．4143B ．3143C ．3123D ．431343．下列结论：①若y=cos x ，则'sin y x =-；②若1y x=-，则1'2y xx=；③若21y x=，则32'|27x y ==-中，正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知曲线2ln (0)4xy x x =->的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．3B ．2C ．1D ．125．下列结论中正确的个数为( )① y ＝ln2，则y ′＝12；② y ＝21x，则y ′|x =3＝－227；③ y ＝2x ，则y ′＝2x ln2；④ y ＝log 2x ，则y ′＝1ln 2xA ．0B ．1C ．2D ．36．函数4538y x x =+-的导数是（）A ．3543x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+-7．设曲线1(1)1x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A ．2B ．12C ．―12D ．―28．y ＝10x 在(1,10)处切线的斜率为________． 9．曲线y=sin x 在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为________。

高二文科数学寒假作业导数在研究函数中的应用

寒假作业（25）导数在研究函数中的应用1、定义在R 上的函数()f x 的导函数为(),f'x ,若对任意实数x 有()(),f x f'x >且函数()2019y f x =+为奇函数,则不等式()2019e 0x f x +>的解集是( )A.(,0)-∞B.(0)+∞，C.1(,)e-∞D.1()e+∞， 2、若函数331y x bx =-+在区间[1,2]内是减函数,R b ∈,则（） A.4b ≤B.1b ≤C.4b ≥D. 1b ≥3、已知函数()()231f x ax a x =+-+在区间[)1,-+∞上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.[3,0)-B.(,3]-∞-C.[]2,0-D.[]3,0-4、若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则k 的取值范围是（） A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞5、设函数()()x x f x x e e -=+，则()f x （） A.是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数 B.是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 C.是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D.是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数6、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( ) A. 1B. 2C. -2D. -17、若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为( ) A.34a >-B.53a <-C. 5334a -<<-D. 5334a -≤≤-8、已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2e x f x ax +>-,在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(,2]-∞ B.[2,)+∞C.(,0]-∞D.[0,2]9、已知函数2()35f x x x =-+,()ln g x ax x =-,若对(0,e)x ∀∈,12,(0,e)x x ∃∈且12x x ≠,使得i ()()(i 1,2)f x g x ==,则实数的取值范围是（）A ．16(,)e eB ． 746[,e )eC ．741[,e )eD ．7416(0,][,e )e e⋃10、已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()0f x '=无解，且()20172017xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，()sin cosg x x x kx =--在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性相同，则实数k 的取值范围是（）A.(]1-∞-,B.(-∞C.⎡-⎣D.)+∞11、若函数2()2ln f x x x =-在定义域内的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数,则实数k 的取值范围是_________. 12、函数()22ln f x x x =-+在()0,+∞上的极大值为___________．13、已知函数2()38,[1,5]f x x kx x =--∈,若函数()f x 在定义域内具有单调性,则实数k 的取值范围为___________.14、设函数()()e 220()x f x g x ax a a ==+，＞.若R x ∀∈，曲线()f x 始终在曲线()g x 上方，则a 的取值范围是_______________________________ 15、已知函数()e ln 1xf x a x =--．(1).设2x =是()f x 的极值点．求，并求()f x 的单调区间； (2).证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：令()()=e xf xg x ，则()()()0,e xf'x f x g'x -=<则函数()g x 在R 上时减函数，又()2019y f x =+为奇函数，则(0)20190,(0)2019,f f +==- 不等式()()2019e 0e x x f x f x +>⇔>0(0)2019()(0)0,e f g x g x -=⇔>⇒< 故不等式的解集为(,0)-∞.2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：D 解析：4答案及解析：答案：D 解析：5答案及解析：答案：A解析：由已知可知，()()()x x f x x e e --=-+()()x xx e e f x -=-+=-，故()f x 为奇函数.()()x x x x f x e e x e e --'=++-，当0x >时，x x e e ->，所以()0x x e e x -->，又0x x e e -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞,上是增函数故选A.6答案及解析：答案：B解析：，，函数在处有极值10，，解得，，，。

导数在研究函数中应用(含简答)

1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.1 单调性一、学习要求了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性二、学习重点与难点利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围三、学习过程1.导数与函数的单调性问题1 函数2()43f x x x =-+的单调增区间为[2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ；()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ ,由()0f x '<得x ∈(,2)-∞问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而(0)0f '=问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？（1）确定定义域，求导函数（2）令导数大于0，解得增区间令导数小于0，解得减区间（3）得结论，注意单调区间之间不可用并问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编例2 求函数32()267f x x x =-++的单调减区间(,0),(2,)-∞+∞例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间3(0,),(,2)22πππ3.拓展探究(1)求函数()x f x x e =-单调减区间(0,)+∞(2)求函数2ln y x x =-的单调增区间1(,)2+∞ (3)求函数1()f x x=的单调区间增区间(1,)+∞ 减区间(0,1)(4)求证：当1x >时，有13x>- (略)(5)判断函数()af x x x=+的单调性（略）(6)若3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间0a <,略(7)函数21y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是_____________(,0]-∞(8)若函数32()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.13a ≥四、巩固提高1.求函数()ln f x x x =的递增区间1(,)e+∞ 2.若函数225y x bx =+-在区间(2,3)上为减函数，求b 的取值范围(,3]-∞-3.设a 为实数，函数322()(1)f x x ax a x =-+-在(,0)-∞和(1,)+∞上都是增函数，求a 的取值范围(,[1,)2-∞-⋃+∞ 4.函数2145ln 24a y x ax x +=-+是定义域上的增函数，求a 的取值范围5[,5]4- 1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.2 极大值与极小值一、学习要求了解函数的极大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值二、学习重点与难点理解极值与导数符号的关系；明确求极值的方法步骤；会画多项式函数的简图；已知极值求参数三、学习过程 1.函数极值的定义问题1 课本上是怎样对极值进行描述的？问题2 请分别从图形和代数的角度描述你对极值的理解？问题3 极大值一定比极小值大吗？问题4 闭区间端点对应的函数值是极值吗？问题5 如果称取得极值的自变量的值为极值点，请，请说明极值与极值点含义？ 2.导数与函数的极值问题1 判定函数的极值本质是就是在研究函数的什么性质？而该性质与导数又有怎样的关系？问题2 由例1归纳出求函数极值的方法步骤是什么？问题3 函数在某处的导数为0是能在该处能取得极值的充要条件吗？3.例题改编例1 求2()4f x x x =-+的极值（略）例2 求311()433f x x x =-++的极值（请尝试在同一坐标系中画出该函数及其导函数的简图并思考之间的联系）（略） 4.拓展探究（1）函数2()365f x x x =++在(,1)-∞-上是单调递减的，在区间(1,)-+∞上是单调递增的，当x=1-时，()f x 取得极小值，其极小值为2 （2）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，则a=6（3）已知()f x '的图像如下图，则()f x 的单调增区间为(4,0)-、(5,)+∞，极小值点为1（4）求函数21x y x=+的极值2x =-时有极大值4-，0x =时有极小值0（5）求函数()2sin f x x x =+在区间(0,2)π内的极值23x π=时有极大值23π+43x π=时有极小值43π-（6）设3()f x ax x =+恰有两个不同的极值点，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 0a <，略（7）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处的极值10，求,a b 的值4,11a b ==-（8）试研究函数3211()32f x ax bx cx d =+++ (0)a >的单调性、极值、简图（略）四、巩固提高1.如果函数32()3f x x x c =-+的极小值是3，求c 的值及()f x 极大值7,72. 函数32()1f x x mx x =+++在R 上无极值点，求的取值范围[3. 三次多项式函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，求此函数的解析式3269y x x x =-+4.已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =点处有极小值1-，试确定,a b 的值，并求出的单调区间11,32a b ==增区间1(1,),(,)3+∞-∞- 减区间1(,1)3-.1.3 导数在研究函数中的应用导学案1.3.3 最大值与最小值一、学习要求会求在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值二、学习重点与难点会求函数在闭区间（开区间）上的最值；会画函数的简图；含参数函数最值的求解三、学习过程 1.最值的定义问题1 你对最值的理解是什么？问题2 最值与极值有怎样的关系？问题3 定义域为闭区间的连续函数一定有最值吗？问题4 最大值一定比最小值大吗？问题5 定义域为开区间的函数一定没有最值吗？ 2.导数与函数的最值问题1 由例1归纳出利用导数求最值的方法步骤是什么？问题2 利用导数求极值与求最值有怎样的关系？问题3 不管求极值还是求最值都是利用导数研究函数的什么性质？求解过程中列表本质上是什么？3.例题改编例1 求2()43f x x x =-++在区间[1,4]-上最大值和最小值（略）例2 求1()cos 2f x x x =+在区间[0,2]π上的最大值与最小值并尝试作出该函数的简图（略） 4.拓展探究（1）求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值0x =时有最大值4，2x =时有最小值43-（2）求函数1,[0,2]2x y x x -=∈+的值域（略）（3）求4282y x x =-+在[1,3]x ∈-上的最大值 11（4）已知函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，求此函数在[2,2]-上的最小值 37-（5）将正数a 分成两部分（均为正数），使其立方和为最小，求此时这两个部分的值,22a a （6）P 点是曲线2ln y x x =-上任意一点，求点P 到直线2y x =-的距离的最小值（7）已知函数ln ()xf x x=，求它在[,2](0)a a a >上的最小值02a <≤时，min ln ()()af x f a a == 2a >时，minln(2)()(2)2a f x f a a==（8）已知函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，当[1,3]x ∈时，()f x 的最最小值为4，求a 的值 2a =四、巩固提高 1.求函数1()2f x x x=+在区间(0,2]上的最值（略）2.已知函数2(),[1,3]xf x x e x -=∈-，求函数()f x 的最大值与最小值max ()(1)f x f e =-= min ()(0)0f x f ==3.已知函数32()39f x x x x a =-+++在区间[2,2]-上的最大值是20，求()f x 在该区间上的最小值 7-4.设23()252x f x x x =--+，当[1,2]x ∈-时，()f x m <恒成立，求实数m 的取值范围 (7,)+∞。

高二数学导数在研究函数中的应用

高二数学导数在研究函数中的应用课标要求：1．导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

2．生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

要点精讲1．单调性对于函数y = f(x)：如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的减函数．注意：（1）如果函数y＝f（x）在某个区间上是递增的，则在这个区间；如果函数y＝f（x）在某个区间上是递减的，则在这个区间上，。

（2）函数的单调区间一般指开区间。

2．极值极值是函数在一个小的区间的局部性质；函数的极大（小）值可能不止一个；某些极大值有时候可能比一些极小值还小。

注意：（1）不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。

（2）不要将极值点与驻点混为一谈，可导函数的极值点是驻点；而可导函数的驻点仅是可疑极值点。

3．最大值与最小值最值是函数的整体性质。

(1)求连续函数f(x)在闭区间[a, b]上最大（小）值的一般步骤是：①求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1, x2,。

x n,;②计算出函数值f(x1), f(x2),… f(x n);以及f(a)与f(b);③比较上述值的大小.(2)有关最大（小）值的应用问题，其关键是建立目标函数。

该函数的实际意义下的定义域称为约束集或可行域。

若f(x)在约束集内的驻点唯一，又根据问题的实际意义知f(x)的最大（小）值存在，则该驻点即为最大（小）值点，不必另行判定。

典例解析1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围。

导数在函数研究中的应用

导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。

如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。

2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。

通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。

3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。

如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。

4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。

例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。

5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。

例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。

6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。

例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。

7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。

总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。

由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。

下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。

首先，导数可以用来求函数的最值。

在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。

通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。

例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。

在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。

其次，导数可以用来求函数的图像特征。

函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。

通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。

我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。

例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。

进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。

此外，导数还可以用来进行近似计算。

在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。

然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。

也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。

这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。

例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。

最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。

函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。

通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。

例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。

总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。

通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。

(寒假总动员)2019年高二数学寒假作业专题13 导数在研究函数中的应用(一)(背)

（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业专题13 导数在研究函数中的应用
（一）（背）
一、导数与函数的单调性的关系
1.与为增函数的关系。

能推出为增函数，但反之不一定。

如函数在上单调递增，但
，∴是为增函数的充分不必要条件。

2.时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定
有。

∴当时，是为增函数的充分必要条件。

3.与为增函数的关系。

为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。

当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。

∴是
为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。

因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。

但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

4.单调区间的求解过程，已知
（1）分析的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
5.函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在
处连续，因此在单调递增。

同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。

6.已知
（1）若恒成立∴为上
∴对任意不等式恒成立
（2）若恒成立∴在上
∴对任意不等式恒成立。

导数在研究函数中的应用深刻复习收集word有答案解析重要中学用

第十一讲导数在研究函数中的应用知识要点1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，（1）如果恒()0f x '>，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数；（2）如果恒()0f x '<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数；（3）如果恒()0f x '=，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()y f x =的定义域；②求导数()f x '；③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式()0f x '<，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的x 值不构成区间)； (3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。

2. 求函数的极值：函数的极值的定义：设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <），则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。

求函数单调性步骤是：（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全部实根，12n x x x <<<，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()f x '和()f x 值的变化情况：（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。

导数在研究函数中的应用

2. 函数的最大值与最小值 (1)求函数 y ＝ f ( x )在区间( a ， b )内的极值； (2)将函数 y ＝ f ( x )的各极值与端点处的函数值 f ( a )， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[小题诊断] 1. 函数 f ( x )＝ x 2－2ln x 的单调递减区间是( A ) A. (0，1) B. (1，＋∞) C. (－∞，－1) D. (－1，0)∪(0，1)
导数在研究函数中的应用
[学习要求] 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次). 3.了解函数在某点取得极值的充要条件. 4.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 5.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
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f'( x )＝3 x 2＋2 ax ＋3.由题意知， x ＝－3是方程f'( x )＝0的根，所以3×(－ 3)2＋2 a ×(－3)＋3＝0，解得 a ＝5.经检验，当 a ＝5时， f ( x )在 x ＝－3 处取得极值.
2. (多选)如果函数 y ＝ f ( x )的导函数 y ＝f'( x )的图象如图所示，则以下关于函数 y ＝ f ( x )的判断正确的是( BD ) A. 在区间(2，4)内单调递减 B. 在区间(2，3)内单调点
3. (易错题)已知函数 f ( x )＝ x 3＋ ax 2＋3 x －9.若 x ＝－3是函数 f ( x )的一个极值点，则实数 a ＝ 5 .
2. 利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求 f '( x ) ；
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高二数学寒假作业专题13导数在研究函数中的应用一背

导数在研究函数中的应用典例详解

导数在研究函数中的应用

高二数学寒假作业专题13导数在研究函数中的应用一学

高二数学寒假作业 专题13 导数在研究函数中的应用(一)

高二数学导数在研究函数中的应用

【高中数学】导数在研究函数中的应用

高二文科数学寒假作业导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中应用(含简答)

高二数学导数在研究函数中的应用

导数在函数研究中的应用

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导数在研究函数中的应用

高二数学寒假作业专题13 导数在研究函数中的应用(一)

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