五年级数学奥数竞赛题-不定方程(含答案)

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小学奥数不定方程与不定方程组精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

小学奥数教程-不定方程与不定方程组 (含答案)

1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。

二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。

2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。

3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程 2x －3y ＝8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：例题精讲知识精讲教学目标不定方程与不定方程组342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。

小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题

小学五年级不定方程、流水行船问题奥数练习题1.小学五年级不定方程奥数练习题篇一1、六年级某班同学48人到公园里去划船，如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人，那么需要小船和大船各几只？（大船小船都有）答案：小船X大船y列方程：3x+5y=48x,y都是正整数解得：x=1,y=9x=6,y=6X=I1y=32、装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。

问需大、小盒子个多少个？答案：设大的X个，小的y个，有：7x+4y=41根据奇偶关系知道：X只能取奇数χ=1y=8.5舍去x=3,y=5满足x=5,y=1.5舍去2.小学五年级不定方程奥数练习题篇二一天，小强在家里做数学作业时，遇到了一题难题，这道题目是：有一次,小红问小军的生日，小军说：“把我的月份数乘以18,日期数乘以12的和只要等于108就行了。

试用最单的方法算出小军的生日是几月几日？解：设小军的生日月份为X,月份的日期y18x+12y=108在解决问题的时候，小强的心里想：在方程式里，怎么会出现一个式子里就有两个未知数呢？突然间小强明白了这道题的方法：原来这是一道不定方程。

小强问妈妈：什么是不定方程呢？妈妈说：在一个等式里未知数个数多于方程个数的方程叫做不定方程。

例如：刚才你思考的题目中所列出的方程，就是属于不定方程。

小强听了妈妈的讲解方法，终于解出了那道不定方程，他的解法是：将18x+12y=108,变形后得：y=（108T8x）÷12,即y=9T。

5x,因为x,y均为整数，且IWXWI2,1≤y≤31,根据该方程，2WxW4,当x=2时，y=6；当x=4时,y=3o3.小学五年级流水行船问题奥数练习题篇三1、船在静水中的速度为每小时15千米，水流的速度为每小时2千米，船从甲港顺流而下到达乙港用了13小时，从乙港返回甲港需要多少小时？分析：船速+水速=顺水速度，可知顺水速度为17千米/时。

顺水行驶时间为13小时，可以求出甲乙两港的路程。

五年级下册数学专项练习奥数第六讲不定方程解应用题_全国版(含解析)

五年级下册数学专项练习奥数第六讲不定方程解应用题_全国版(含解析）大伙儿已学过简单的列方程解应用题，一样差不多上未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代闻名的“鸡兔同笼”问题。

假如方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。

小学时期要紧是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。

例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，同时都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.如此反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。

n·S＝13＋15＋23=51。

由于n和S差不多上整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：x+y＋z＝17求整数解。

即x≥6.x可能值为6、7、8、9。

第一种情形，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而现在y+z最多为5+ 4.因此x≠6。

第二种情形，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.然而丙三次牌数字和为23，而23明显不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（能够重复的，下同）数之和。

第二种情形x=7亦被排除。

第三种情形，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情形有（7，2）；（6，3）；（5，4）。

而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。

第四种情形，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观看知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）综上所述，三张牌为3、5、9。

例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张1 00元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B 物几个？解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r张100元，s张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去10，得由于（3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8 y＋9r-9s=0，再在方程两边同时加上9s-9r，得：8y＝9（s-r）（5）由于y是大于0的整数，因此s-r也是整数＞0。

小学奥数五年级测试及答案(不定方程、方程法解行程问题)

第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
试题答案
第1题：
正确答案:D
答案解析
第2题：
正确答案:D
答案解析
第3题：
正确答案:D
答案解析
第4题：
正确答案:B
答案解析
第5题：
正确答案:C
答案解析
1、不定方程
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第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
试题答案
第1题：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ正确答案:C
答案解析
第2题：
正确答案:B
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第3题：
正确答案:D
答案解析
第4题：
正确答案:A
答案解析
第5题：
正确答案:D
答案解析
第6题：
正确答案:C
答案解析
2、方程法解行程问题

五年级奥数(不定方程)

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1、装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满,需要大、小盒子各多少个？2、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里,大盒子装12个，小盒子装7个.问:需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3、大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客,要使每位乘客都有座位且没有空位。

问：需大、小客车各几辆？4、某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元。

问：这两种钢笔共卖出多少支？5、小明花4.5元买了0.14元一支的铅笔和0。

67元一支的圆珠笔共17支，问:铅笔和圆珠笔各几支？6、小明把他的生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。

你知道小明的生日是几月几日吗？7、有一次在活动中,丁丁和东东到射击室打靶,回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。

“小博士"让丁丁把自己命中的次数乘以5，让东东把自己的命中的次数乘以4，再把两个数加起来告诉他,丁丁和东东算了一下是33，“小博士”正确的说出了他们命中的次数，丁丁和东东分别命中几次？8、甲乙两人植树,甲每天植树18棵，乙每天植树21棵,两人共植树135棵。

问:甲、乙两人各干了几天？9、有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油,44千克的油恰好装满这些油桶。