2.3幂函数
新人教版必修一2.3幂函数课件
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数;
K<0
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
0 1
思考：如何借 助幂函数在第 一象限的图像 做出完整的函 数图像？
0
四、例题研究
1、求下列幂函数的定义域,并画出其草图：
（1）y=x （3）y=x
奇函数
（-∞，0）和； （0，+∞）↘
y x 1
三、幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式 中α 的不同而各异. 思考:通过以上特例，你能归纳出幂函数的一般性质 吗？ １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数;
2 5
3 4
（ 2 ） y =x
1 3
（4）y=x-2
2、已知幂函数 y f ( x )的图象过点 ( 2, 2 ), 试求出这个函数的解析 式.
3、如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m 2 2 m 3
是幂函数，
且在区间（ 0 ， +∞ ）内是减函数，求满足条件
形的边长 a S
1 2
y x
1 2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x 1
以上问题中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底 的幂； （2）指数为常数； （3）自变量前的系数为1;
必修1教案2.3幂函数
2.3 幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程然后再在多面体屏幕上弹出）.师板演．几个函数表达式有什么共同特征？（引入新课，书写课题）师：请同学们举出几个具体的.研究幂函数的图像x-1律，；找出原因吗？）吗？）..备选例题例1 已知221(22)23m y m m xn -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m .【小结】做本题时，常常忽视m 2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.例2 比例下列各组数的大小. （1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.【解析】（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在(0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y = x –0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1； 53)9.1(-＜0， ∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数
上是增函数， 解： y = x 在 (0, +∞) 上是增函数，
2 3
1 1 1 1 ∵ > ，∴ ( ) > ( ) . 2 5 2 5
2 3
2 3
1 x y = ( ) 在R上是减函数， 上是减函数， 上是减函数 2
1 1 2 1 ∵ > ，∴ ( ) < ( ) . 3 3 2 2
1 1 1 所以 ( ) < ( ) < ( ) . 5 2 2
α
幂函数图象的画法 函数图象的画法是：列表、描点、 函数图象的画法是：列表、描点、 连线，那么幂函数也用此法。 连线，那么幂函数也用此法。
4
3
2
1
(1,1)
2 4 6
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
x -3 -2 -1 0 1 2 y=x2 9 4 1 0 1 4
3 9
3 2
4
y=x
定义域： 定义域： 值 域：
R R
奇偶性： 奇偶性： 在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数 单调性：
定义域： 定义域： [0,+∞) 值 域： [0,+∞) 奇偶性： 奇偶性： 非奇非偶函数 在 是 函 单调性： [0,+∞)上 增 数 单调性：
定义域：{x x ≠ 0} 定义域： 值 域：{y 奇偶性： 奇偶性：
例 3 利用单调性判断下列各值的大小 （1） 5.2 与5.3 ； 0.2 与0.3
0.8 0.8 0.3 0.3
（2） 2.5 与2.7
2 3
−
2 5
−
2 5
1 1 1 （3） ） （ ，（ ）与（ ） 2 2 5
第二章 2.3 幂函数
∴a＋1>3－2a>0 或 0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a. 2 3 2 3 解得 <a< 或 a<－1， 即 a 的取值范围为( ，)∪(－∞， －1)． 3 2 3 2
[一点通]
由f(x1)<f(x2)得x1与x2的大小关系时，
如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对
x1，x2的范围进行讨论.这时可借助函数y＝f(x)的图
α 自变量，
是常数．
[例1]
2＋m－3 2 m 函数f(x)＝(m －m－1)x 是幂函
数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的 解析式．
[思路点拨] 首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据
性质确定m的值，进而得解．
[一点通]
幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系
数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂
提示：y＝x，y＝x3，y＝x 1是奇函数；y＝x2是偶函
－
数；y＝x2是非奇非偶函数．
1
返回
函数 性质 定义域 值域 奇偶性
y＝x
R R
y＝x2
R
y＝x3
R
y＝x
x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶
{x|x≠0} {y|y≠0}
{y|y≥0} R
奇
偶
奇
奇
返回
函数 性质
y＝ x
7 8 5 2 5 2
5 2
函数 y＝x 在(0，＋∞)上为增函数，
7 7 7 1 1 1 7 1 1 又 > ，故( ) 8 >( ) 8 ，从而－8 8 <－( ) 8 . 8 9 8 9 9
第2章2.3幂函数
(4)[0，+∞)， [0，+∞)
(6)(0，+∞)， (0，+∞)
(5)(-∞，0)∪(0，+∞)，(0，+∞)
必修一：第二章→幂函数
题型探究
【巩固训练】求下列函数的定义域、值域． (1)
4 y＝x 5；
(2) y＝x ；
1 5
(3) y＝x
-
1 4
.
【解析】
(1)定义域为R，值域为[0，＋∞)；
2 3
y
1 -1
(2) y= x (3) y=x
； ；
1 3 2 3
o
-1
1
(1) y=x3 2 (2) y= x 3 1 (3) y= x 3 2 3 x (4) y= x
(4) y=x
必修一：第二章→幂函数
知识导学
4.幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图像 都过点(1，1)． (2)α>0时，图像通过原点，并且在区间[0，+∞)上 是增函数． (3)α<0时，幂函数的图像在区间(0，+∞)上是减函 数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在 y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图像在x轴上 方无限地逼近x轴．
1 2
③ f ( x) x ⑤ f ( x) x
3 5
R
(- ∞,0) ∪(0,+ ∞) (- ∞,0) ∪(0,+ ∞)
[0,+ ∞)
3 2
2 5
(0,+ ∞)
2 5
⑥ f ( x) x
R
必修一：第二章→幂函数
2.3 幂函数
2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=． ③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． 当堂训练1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －12．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是 …( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．函数y ＝x 12的图象是( )4．给出以下结论：(1)当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； (2)幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；(3)若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； (4)幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为__________． 课堂巩固1．下列函数中，在R 上单调递增的是( ) A ．y ＝|x| B ．y ＝log 2xC ．y ＝x 13D ．y ＝0.5x2．图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．设α∈{－2，－1，－12，12，1,2,3}，已知幂函数f(x)＝x α是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则满足条件的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(1x)>f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．设全集U ＝{x|y ＝3x}，集合P ＝{x|y ＝log 3x}，Q ＝{x|y ＝x 12}，则∁U (P∩Q)等于( )A ．{0}B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]6．函数y ＝x 2与y ＝x 12在第一象限的图象关于直线__________对称．7．若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则这个函数是f(x)＝________.8．已知函数f(x)＝(a －1)·xa 2＋a －1.当a ＝______时，f(x)为正比例函数； 当a ＝______时，f(x)为反比例函数； 当a ＝______时，f(x)为二次函数； 当a ＝______时，f(x)为幂函数．9．若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，－12)在幂函数g(x)的图象上，问当x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．1．当x>1时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)3．若幂函数y ＝x n对于给定的有理数n ，其定义域和值域相同，则此幂函数( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．一定不是奇函数D ．一定不是偶函数4．T 1＝(12)23，T 2＝(15)23，T 3＝(12)13，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 35．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．6．函数f(x)＝x a，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在a∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，a 可以取值的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．47．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a≠0)和y ＝ax ＋a 的图象应是( )8．已知函数f(x)＝－x －x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值( )A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．正负都有可能9．已知函数y ＝xm 2－2m －3的图象过原点，则实数m 的取值范围是__________．10．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x≤0，x 12，x>0，若f(x)>1，则x 的取值范围是__________．11．如图，幂函数y ＝xm 2－2m －3(m∈Z )的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，求此函数的解析式．同步提升1、下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 231、解、选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2、如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122、解、选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3、以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错3、解、选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4、已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( )A ．16 B.116 C.12D ．24、解、选C.设f (x )＝x n ，则有2n＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12. 5、下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －345、解、选 D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x，x ≠0；D.y＝x －34＝14x 3，x ＞0.6、已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．36、解、选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B. 7、下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④7、解、选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．8、在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、解、选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．9、幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠19、解、选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1.10、函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．10、解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)11、幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．11、解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 1212、设x ∈(0,1)时，y ＝x p(p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．12、解、结合幂函数的图象性质可知p <1.答案：p<113、如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．13、解、依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 14＝1214α＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝116，α＝12.所以a a＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa .答案：a α＜αα＜a a ＜αa14、函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．14、解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.15、已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？15、解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.16、已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．16、解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3.又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．17、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y =x 52；（2）y =x43-；（3）y =x－2.17、分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； ③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.17、解：（1）函数y =x 52，即y =52x ，其定义域为R ，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y =x43-，即y =431x，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减. （3）函数y =x －2，即y =21x，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.18、比较下列各组数的大小：（1）1.531，1.731，1；（2）（－22）32-，（－710）32，1.134-；（3）3.832-，3.952，（－1.8）53；（4）31.4，51.5.18、分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解：（1）∵所给的三个数之中1.531和1.731的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.531、1.731、1的大小就是比较1.531、1.731、131的大小，也就是比较函数y =x 31中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 31的单调性即可，又函数y =x 31在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.731＞1.531＞1.（2）（－22）32-=（22）32-，（－710）32=（107）32-，1.134-=［（1.1）2］32-=1.2132-.∵幂函数y =x32-在（0，+∞）上单调递减，且107＜22＜1.21，∴（107）32-＞（22）32-＞1.2132-，即（－710）32＞（－22）32-＞1.134-.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-＜1，3.952＞1，（－1.8）53＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4＜31.5＜51.5.小结：（1）当底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.（2）当底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较. 19、幂函数f （x ）=ax mm82-（m ∈Z ）的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .19、解、由幂函数，a =1，m =1，3，5，7.解、由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m .【小结】做本题时，常常忽视m 2+ 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件. 表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x xy ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.2．3 幂函数答案与解析课前预习1．C 根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数定义，所以C 不是幂函数．2．B 由幂函数的图象可知，y ＝x 2在(－∞，0)上y 随x 的增大而减少，为减函数．3．C 函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且过(0,0)、(1,1)点，在x∈(0,1)上，图象恒在直线y ＝x 的上方．4．(4) 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x|x≠0，x∈R }，故(1)不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故(2)不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故(3)不正确．故选(4)． 课前巩固1．C 作出各函数的图象或利用函数的性质作出判断．2．B 作直线x ＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．3．A 由已知条件α<0且为偶函数，只有α＝－2. 4．D ∵f(x)是R 上的减函数， ∴1x <1.结合函数y ＝1x的图象可知x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 5．D U ＝{x|x∈R }，P ＝{x|x>0}，Q ＝{x|x≥0}． 于是P∩Q＝{x|x>0}，∁U (P∩Q)＝{x|x≤0}．6．y ＝x 根据幂函数y ＝x 2与y ＝x 12在第一象限的图象可知它们的图象关于直线y ＝x对称．此外，也可根据互为反函数的两个函数图象关于直线y ＝x 对称去判断．7．y ＝x －1(或y ＝1x)8．－2 0或－1 －1±132 2 当f(x)为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f(x)为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，解得a ＝0或a ＝－1；当f(x)为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，解得a ＝－1±132；当f(x)为幂函数时，a －1＝1，解得a ＝2. 9．解：∵f(x)、g(x)都是幂函数，∴可设f(x)＝x α，g(x)＝x β.由题意，得(2)α＝2，得α＝2.(－2)β＝－12，得β＝－1.∴f(x)＝x 2，g(x)＝x －1.作出f(x)与g(x)的图象如图所示，从图中看出：(1)当x<0或x>1时，f(x)>g(x)；(2)当x=1时，f(x)=g(x)；(3)当0<x<1时，f(x)<g(x)．课后检测1．C 作出图可知，当0<α<1，α＝0，α<0时均成立．所以α的取值范围是(－∞，1)．2．D 设f(x)＝x α，由2α＝14，得α＝－2， 故f(x)＝x －2，其单调增区间是(－∞，0)．3．D 可使用排除法，如y ＝x 12满足题意，但既不是奇函数，又不是偶函数，所以A 、B 均不对．y ＝x 3满足题意，它是奇函数，所以C 不对．4．D 幂函数y ＝x 23在第一象限内为增函数，故T 2＜T 1；又指数函数y ＝(12)x 在(0，＋∞)上为减函数，故T 1＜T 3.综上，T 2＜T 1＜T 3.5．二、四 当α＝－1时，图象过第一、三象限；当α＝12时，图象过第一象限；当α＝1,3时，图象过一、三象限．综上，可知图象不过二、四象限．6．B 因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.要使f(x)＝x a >|x|，x a 在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，所以a ＝－1,1显然是不成立的．当a ＝0时，f(x)＝1>|x|；当a ＝2时，f(x)＝x 2＝|x|2<|x|；当a ＝－2时，f(x)＝x －2＝|x|－2>1>|x|.综上，a 的可能取值为0或－2，共2个．7．B 当a>0时，图象y ＝x a 过原点，直线y ＝ax ＋a 是上升的，且在y 轴上的截距大于零，故C ，D 不成立；当a<0时，直线y ＝ax ＋a 是下降的，故A 不成立．故选B.8．B ∵f(x)为R 上的减函数，且为奇函数，又∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.∴f(x 1)<f(－x 2)＝－f(x 2)，即f(x 1)＋f(x 2)<0.同理，f(x 2)＋f(x 3)<0，f(x 3)＋f(x 1)<0，故f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)<0.9．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 由幂函数的性质知m 2－2m －3>0，故m<－1或m>3.10．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 令2－x －1>1，即2－x >2.由－x>1，得x<－1，它满足x≤0；令x 12>1，得x>1，它满足x>0. 综上，x<－1或x>1.11．解：由题意，得m 2－2m －3<0.∴－1<m<3.∵m∈Z ，∴m＝0,1或2.∵幂函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3为偶数．∵当m＝0或2时，m2－2m－3为－3，当m＝1时，m2－2m－3为偶数－4，∴y＝x－4.点评：幂函数y＝xα的图象与幂指数α的正负有关．当α>0时，图象恒过(0,0)，(1,1)点；当α<0时，图象是双曲线型，与坐标轴无交点．。
专题2.3 幂函数重难点题型(举一反三)(解析版)
专题2.3幂函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 幂函数概念】形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.【知识点2 幂函数的图象及性质】 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．()y x R αα=∈()y x R αα=∈幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =． 4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【知识点3 初等函数图象变换】基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==（1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称 y =f (x )→1()y fx -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称【考点1 求幂函数解析式】【例1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ． 【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ，故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式1-1】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)mm f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式1-2】已知幂函数22(29)()(919)()mm f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3， ∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式1-3】（2018秋•鄂尔多斯期中）已知幂函数22()()kk f x x k N -++=∈满足f （2）f <（3），则()f x 的解析式为【分析】由已知可得幂函数f （x ）＝x ﹣k 2+k +2，（k ∈Z ）为增函数，由﹣k 2+k +2＞0求得k 的值，则幂函数解析式可求；【答案】解：（1）由f （2）＜f （3）， 可得幂函数f （x ）＝x﹣k 2+k +2，（k ∈Z ）为增函数，则﹣k 2+k +2＞0，解得：﹣1＜k ＜2， 又k ∈Z ，∴k ＝1或k ＝0， 则f （x ）＝x 2； 故答案为：f （x ）＝x 2．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查了幂函数的单调性． 【考点2 幂函数的定义域】【例2】（2019春•杭州校级期中）已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点11(,)24，则k α+= ；函数y =的定义域为 ．【分析】利用幂函数的定义求出k ，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x ﹣x 2≥0，解得即可．【答案】解：因为幂函数f （x ）＝k •x α（k ，α∈R ） 由幂函数的定义可知k ＝1，幂函数f （x ）＝k •x α（k ，α∈R ）的图象过点，∴＝（）α，解得α＝2，∴k +α＝3，∴f （x ）＝x 2， ∵，∴3﹣2x ﹣x 2≥0， 解得﹣3≤x ≤1， 所以函数的定义域为为[﹣3，1]． 故答案为：3；[﹣3，1]．【点睛】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知幂函数2()(5)m f x m m x =+-为定义域是R 的偶函数，则实数m = ．【分析】根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣5）x m 为定义域是R 的偶函数， ∴m 2+m ﹣5＝1， 即m 2+m ﹣6＝0， 解得m ＝﹣3或m ＝2．当m ＝﹣3时，幂函数为f （x ）＝x﹣3为奇函数，不满足条件．当m ＝2时，幂函数为f （x ）＝x 2为偶函数，满足条件． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义确定m 的值是解决本题的关键．【变式2-2】（2019秋•武侯区校级期末）幂函数221()(22)23m f x m m x n -=+-+-的定义域为R ，则m n += ．【分析】根据幂函数的定义，可得m2+2m﹣2＝1，且2n﹣3＝0，进而结合幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）+2n﹣3的定义域为R，对m的取值进行讨论，进而得到答案．【答案】解：∵函数f（x）＝（m2+2m﹣2）+2n﹣3为幂函数，故m2+2m﹣2＝1，且2n﹣3＝0，解得：m＝1，或m＝﹣3，n＝，当m＝1时，函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0}，不满足条件；当m＝﹣3时，函数f（x）＝x8的定义域为R，满足条件；综上所述：m＝﹣3，∴m+n＝﹣，故答案为：﹣【点睛】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质，是解答的关键．【变式2-3】若函数1224(43)(1)y mx x m x mx-=++++-+的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是．【分析】根据题意知mx2+4x+m+3＞0对任意实数x都成立，由此求出实数m的取值范围．【答案】解：函数y＝（mx2+4x+m+3）+（x2﹣mx+1）的定义域是全体实数，∴mx2+4x+m+3＞0对任意实数x都成立，∴，解得m＞1，∴实数m的取值范围是m＞1．故答案为：m＞1．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了负分数指数幂的应用问题，是基础题．【考点3 幂函数的值域】【例3】函数32y x-=的定义域是，值域是；奇偶性：，单调区间．【分析】把函数y化为根式的形式，求出它的定义域和值域；再根据定义判断函数y的奇偶性与单调性．【答案】解：∵函数y＝＝，∴x3＞0，解得x＞0，∴函数y的定义域是{x|x＞0}；又y＝＞0，∴函数y的值域是{y|y＞0}；又函数y的定义域不关于原点对称，∴函数y是非奇非偶的函数；又y＝f（x）＝，∴当x＞0时，f（x）是减函数，（0，+∞）是函数y的单调减区间．故答案为：{x|x＞0}；{y|y＞0}；非奇非偶；（0，+∞）．【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．【变式3-1】（2019秋•清浦区校级月考）已知幂函数()f x图象过点(8,4)，则()f x的值域为．【分析】利用已知条件求出幂函数的解析式，然后求解值域．【答案】解：幂函数f（x）＝x a，其图象过点（8，4），所以4＝8a，解得a＝，幂函数为：f（x）＝≥0，所以幂函数的值域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数的图象的应用，考查计算能力．【变式3-2】（2019秋•广陵区校级期中）幂函数()f x的图象过点3)，若函数()()1g x f x=+在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是．【分析】利用幂函数的定义可得f（x）＝x2，函数g（x）＝f（x）+1＝x2+1．再利用二次函数的单调性与值域即可得出．【答案】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）．∵幂函数f（x）的图象过点（，3），∴，解得α＝2．∴f（x）＝x2．∴函数g（x）＝f（x）+1＝x2+1．∴g（x）在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增．而f（0）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝5．又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]，∴﹣2≤m≤0．∴实数m的取值范围是﹣2≤m≤0．故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查了幂函数的定义、二次函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式3-3】（2019•吉安一模）若幂函数()f x的图象经过点，则函数()()g x f x=在1[2，3]上的值域为()A．[2B．[2C．(0D．[0，)+∞【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【答案】解：设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α＝，解得α＝﹣，∴f（x）＝；∴函数g（x）＝+f（x）＝+＝+，当x∈[，3]时，在x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝2，在x ＝3时，g （x ）取得最大值g （3）＝+＝，∴函数g （x ）在x ∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A ．【点睛】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目． 【考点4 幂函数图象的判断】【例4】（2019秋•监利县期末）如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象．已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为( )A ．112,,,222--B ．112,,2,22--C ．11,2,2,22--D ．112,,,222--【分析】由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．【答案】解：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象， 当n ＞0时，n 越大，递增速度越快， 故曲线c 1的n ＝2，曲线c 2的n ＝，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝，曲线c 4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选：A ．【点睛】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y ＝x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．【变式4-1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式4-2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ， 故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题．【变式4-3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①①①①①①①①．则函数y =的图象经过的部分是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论．【答案】解：∵y＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减，当x＞1时，函数y＝x a为增函数，则此时＞x﹣1，即函数y＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键．【考点5 利用幂函数的单调性比较大小】【例5】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a=，130.5b=，140.5c=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c>>B．a b c<<C．a c b<<D．a c b>>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f（x）＝0.5x，因为函数f（x）＝0.5x，为单调递减函数．且，所以，即，所以a＜b＜c．故选：B．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键．【变式5-1】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是()A ． 3.3 4.50.990.99<B ．23log 0.8log π<C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式5-2】已知432a =，254b =，1325c =，则( )A．b a c<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【答案】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式5-3】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c===，则a、b、c的大小关系是()A．a b c<<B．c a b<<C．b c a<<D．b a c<<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a、b、c的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 【考点6 幂函数性质的综合应用】【例6】（2019秋•宁阳县校级期中）已知幂函数223()(22,)m m f x x m m Z --+=-<<∈满足：（1）在区间(0,)+∞上为增函数（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x --=求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[0x ∈，4]时，()f x 的值域．【分析】由题意利用幂函数的性质，先求得f （x ）的解析式，再利用单调性求出函数的值域． 【答案】解：因为函数在（0，+∞）递增，所以﹣m 2﹣2m +3＞0，解得：﹣3＜m ＜1， 因为﹣2＜m ＜2，m ∈Z ，所以，m ＝﹣1，或m ＝0． 又因为f （﹣x ）＝f （x ），所以，f （x ）是偶函数， 所以﹣m 2﹣2m +3为偶数．当m ＝﹣1时，﹣m 2﹣2m +3＝4满足题意； 当m ＝0时，﹣m 2﹣2m +3＝3不满足题意， 所以f （x ）＝x 4．所以，f （x ）在[0，4]上递增．所以，y min ＝f （0）＝0，y max ＝f （4）＝256，所以，函数的值域是[0，256]．【点睛】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．【变式6-1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-2】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． （1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m＞0，解不等式可得m的整数解，结合题意可得m，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，原不等式可化为a+1＜4﹣3a，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f（x）＝x9﹣3m（m∈N*）的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9﹣3m＞0，解得m＜3，m∈N*，可得m＝1，2，若m＝1，则f（x）＝x6的图象不关于原点对称，舍去；若m＝2，则f（x）＝x3的图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立．则f（x）＝x3；（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，f（a+1）+f（3a﹣4）＜0，可得f（a+1）＜﹣f（3a﹣4）＝f（4﹣3a），即为a+1＜4﹣3a，解得a＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式6-3】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x是幂函数，()f x在(,0)-∞上是减函数，且(8f f=（1）求函数()f x的解析式（2）判断函数()f x的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R-=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f（x）的解析式；（2）根据奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g（x）的解析式，讨论a的取值范围，利用g（x）在区间[1，2]上的最小值求出a的值．【答案】解：（1）设幂函数f（x）＝xα，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．【考点7 幂函数中存在性问题】【例7】（2018秋•赣州期中）已知幂函数()f x经过点(2,4)．（1）求1()2f-的值；（2）是否存在实数m与n，使得()f x在区间[m，]n上的值域为[68m-，68]n-，若存在，求出m与n的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，从而求出函数值即可；（2）根据函数的单调性得到关于m，n的方程组，解出即可．【答案】解：（1）设幂函数的解析式是：y＝xα，则2α＝4，解得：α＝2，故f （x ）＝x 2，f （﹣）＝…（4分）（2）∵f （x ）≥0，∴6m ﹣8≥0，m ≥，由函数f （x ）在（0，+∞）递增…（5分）∴函数f （x ）在（m ，n ）递增，…（6分）∴且m ＜n …（8分）解得：m ＝2，n ＝4，故存在m ＝2，n ＝4满足题意…（10分）【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道中档题．【变式7-1】（2019秋•天山区校级期中）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k Z -+=∈，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．（1）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1-，2]上的值域为[4-，17]8．若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由f （2）＜f （3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k ）（1+k ）＞0，解出k 即可．（2）写出g （x ）的解析式g （x ）＝﹣qx 2+（2q ﹣1）x +1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．【答案】解：（1）因为幂函数f （x ）＝x （2﹣k ）（1﹣k ） 在（0，+∞）上单调递增，所以（2﹣k ）（1+k ）＞0，故﹣1＜k ＜2．又因为k ∈Z ，故k ＝0，或k ＝1，所以f （x ）＝x 2．（2）由（1）知g （x ）＝﹣qx 2+（2q ﹣1）x +1，假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g （x ）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x ＝＝1﹣＜1，因而，函数g （x ）在[﹣1，2]上的最小值只能在x ＝﹣1或x ＝2处取得又g （2）＝﹣4q +4q ﹣2+1＝﹣1≠﹣4，从而必有g （﹣1）＝2﹣3q ＝﹣4解得q ＝2，此时，g （x ）＝﹣2x 2+3x +1，其对称轴x ＝∈[﹣1，2]∴g （x ）在[﹣1，2]上的最大值为g （）＝﹣2×（）2+3×+1＝符合题意．【点睛】本题考查幂函数的单调性、二次函数的值域问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．【变式7-2】（2019秋•金牛区校级期中）已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且f （3）f >（2）．（①）求m 的值，并确定()f x 的解析式； （①）若()log [()5](0a g x f x ax a =-+>，且1)a ≠，是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1，2]上为减函数．【分析】（Ⅰ）由题知，∴﹣m 2+2m +2＞0且﹣m 2+2m +2必为偶数，确定m 的值，求出f （x ）的解析式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知g （x ）＝log a [x 2﹣ax +5]（a ＞0，且a ≠1），由复合函数单调性，据a 的值 分类讨论使得g （x ）在区间[1，2]上为减函数时a 成立的条件．【答案】解：（Ⅰ）由函数，且f （3）＞f （2）．则函数在（0，+∞）上单调递增，∴﹣m2+2m+2＞0，即m2﹣2m﹣2＜0，∴1﹣＜m＜1+，又m∈Z，∴m＝0或1或2，当m＝0时，﹣m2+2m+2＝2；当m＝1时，﹣m2+2m+2＝3；当m＝2时，﹣m2+2m+2＝2；又函数为偶函数，﹣m2+2m+2必为偶数，∴当m＝0或2时，f（x）＝x2；故m＝0或2，f（x）的解析式为f（x）＝x2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）＝log a[x2﹣ax+5]（a＞0，且a≠1），设y＝log a u，u（x）＝x2﹣ax+5，x∈[1，2]当0＜a＜1时，y＝log a u为减函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为增函数时，且u（1）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．∴，∴0＜a＜1．当a＞1时，y＝log a u为增函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为减函数时，且u（2）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．∴，∴4≤a＜．综上，当0＜a ＜1或4≤a ＜时，g （x ）在区间[1，2]上为减函数．故存在实数a ∈（0，1）∪[4，），使得g （x ）在区间[1，2]上为减函数．【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．【变式7-3】（2018秋•南康区校级月考）已知幂函数2(2)(1)()(1)k k f x k k x -+=+-在(0,)+∞上单调递增．（1）求实数k 的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在整数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-在[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）设函数1()()2()a h x f x ax f x x=+-++，若不等式0)(≥x h 对任意的(1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据幂函数的定义与性质求出k 的值，写出f （x ）的解析式；（2）写出g （x ）的解析式，讨论m 的取值情况，求出满足条件的m 值；（3）设t ＝x ﹣，把问题转化为关于t 的不等式恒成立问题，从而求得a 的取值范围． 【答案】解：（1）∵幂函数f （x ）＝（k 2+k ﹣1）x（2﹣k ）（1+k ）在（0，+∞）上单调递增，可得（2﹣k ）（1+k ）＞0，解得﹣1＜k ＜2，又k 2+k ﹣1＝1，可得k ＝﹣2或1， 即有k ＝1，幂函数f （x ）＝x 2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）由（1）可知：g （x ）＝﹣mx 2+（2m ﹣1）x +1，当m ＝0时，g （x ）＝1﹣x 在[0，1]递减，可得g （0）取得最大值，且为1，不成立；当m ＜0时，g （x ）图象开口向上，最大值在g （0）或g （1）处取得，而g（0）＝1，则g（1）＝5，即为m＝5，不成立；当m＞0，即﹣m＜0，g（x）＝﹣m（x﹣）2+；①当≤0，m＞0时，解得0＜m≤，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x＝0处取得最大值，而g（0）＝1≠5不符合要求，应舍去；②当≥1，m＞0时，解得m不存在；③当0＜＜1，m＞0时，解得m＞，则g（x）在x＝处取得最大值，在x＝0或1处取得最小值，而g（0）＝1不符合要求；由g（1）＝5，即m＝5，满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且m＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）由（1）知h（x）＝x2+﹣ax++2＝﹣a（x﹣）+4，x∈（1，3]，令t＝x﹣，x∈（1，3]，显然t＝x﹣在（1，3]递增，∴t∈（0，]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故原问题转化到不等式t2﹣at+4≥0对任意的t∈（0，]恒成立，即不等式a≤t+对任意的t∈（0，]恒成立；令u（t）＝t+，t∈（0，]，由双勾函数知u（t）在（0，2]递减，[2，]递增，∴u（t）min＝u（2）＝4，故a≤4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查了函数的图象与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．。
2.3幂函数
1．幂函数的定义 y＝xa(a∈R) 的函数叫 一般地，形如
做幂函数，其中x是自变量，a是常数．对 于幂函数，一般只讨论a＝1, 2, 3，，－1 时的情形．
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
2．幂函数的图象与性质
3.5
qx = x3
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： ①f(x)＝(m2－m－1)x2m－1是幂函数； ②当x>0时，f(x)是增函数． 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
1.设
1 α∈－1，1，2，3，则使函数
解析：代入验证． 答案：－1或2
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)<f(3x)， 则x的取值范围是________．
解析：由 2x－1< 1 ∴ x≥2．
2x－1≥0， 3x得：3x>0， 2x－1<3x，
必修1-第二章 基本初等函数-2.2.3幂函数
5．已知f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值 时，f(x)是： (1)正比例函数； 解：(1)若 f(x)为正比例函数，则 (2)反比例函数； m ＋m－1＝1， ⇒m＝1. m ＋2m≠0 (3)二次函数； (2)若 f(x)为反比例函数，则 m ＋m－1＝－1， ⇒m＝－1. (4)幂函数． m ＋2m≠0
2 2 2 2
(3)若 f(x)为二次函数，则
m2＋m－1＝2， 2 m ＋2m≠0
⇒m＝
－1± 13 2
人教A版(老课标)数学必修1- 第二章 基本初等函数-2.3 幂函数
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
性质，并会应用
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
问题导学 预习课本 P77－79，思考以下问题： (1)幂函数的定义是什么？ (2)幂函数的解析式有什么特点？ (3)幂函数的图象有什么特点？ (4)幂函数的性质有哪些？
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
1．幂函数的概念 函数 y＝__x_α_叫做幂函数，其中__x__是自变量，__α__是常数．
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
若幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，则 f13＝________． 解析：因为幂函数 f(x)＝xα 的图象经过点2，14，所以 2α＝14， 则 α＝－2，所以 f(x)＝x－2，所以 f13＝13－2＝9. 答案：9
＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数
为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
(2)若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，
则 m 的值为( )
A．1
B．－3
C．－1
D．3
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.3 幂函数 Word版含解析
2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。
2.3幂函数
结
2、与指数函数的区别：看未知数x是指数还是底数
若x是指数，则它是指数函数，如y= 2x 若x是底数，则它是幂函数，如y=x2
3、幂函数定义的应用
①判断哪些函数是幂函数 ②根据幂函数的定义求参数的值 ③用待定系数法求幂函数的解析式
4、幂函数图象(在第一象限）
y 1 o 1 x
y
1
o 1
指数函数
幂函数
判一判
判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 1 ( 2) y 2 x (3) y= -xe
(5) y=2x2 (6) y=x3+2 ( 7 ) y= (x-1)2
1 (8 ) y x
(4) y x
1 2
幂函数性质的探究：
1 对于幂函数，我们只讨论α=1，2，3, ，–1情形。 2
(-∞,+∞)↑
yx
yx
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
R
x
[0，+∞） 偶函数
(-∞,0)↓
(0,+∞)↑ (-∞,+∞)↑
y
yx
yx
3
1
-1
-1
O
y 1
1
x
R
R
奇函数
1 2
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,+∞) (0,+∞)
0.13
0 0
0 .5
0.13
1 1
1 .5
3.38
-1
2.3幂函数
判一判
判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 是 (4) y x 是 1 ( 2) y 2 是 (5) y=2x2 不 x 是 (3) y= -x2 不是 (6) y=x3+2 不
2.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3, 27 )
1 2
是
则f(2)＝＿＿＿＿
公共点
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α＞０，则幂函数图象过原点，并且 在区间[0,+∞)上是增函数； (3) 如果α＜０，则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向 于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当 x趋向于+∞时，图象在y轴上方无限地逼近x轴； (4) 当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶 数时，幂函数为偶函数．
除了作差，还 有没有其它方
法呢？
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ),即幂函数f ( x) x在[0,)上是增函数 .
小结
(1) 幂函数的定义；
(2) 幂函数的性质； (3) 利
函数 性质
y=x
探索发现
yx
yx
2
yx
3
1 2
你能发现这几个函 数解析式有什么共 同点吗?
y x
x
1 1 y x x
他们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
y=x2
2.3 幂函数
幂函数
我们先看几个具体问题: 1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克，她需要付的 钱数为y（元），试将y表示成x的函数. y x 2.如果正方形的边长为x，面积为y，试将y表示成x的函 y x2 数. 3.如果立方体的边长为x，体积为y，试将y表示成x的函
数. y x3 4.如果一个正方形场地的面积为x，正方形的边长为y， 1 试将y表示成x的函数. y x 2 5.如果某人x秒内骑车行进了1km，他骑车的平均速度为y， 试将y表示成x的函数. y x -1
yx
yx
2
yx
1 y x
3
y x
观察图象，说一说它们有什么共同特征？
4
列表
x
3
2
1
1
1
0 0 0 0
0
1 1 1 1
2
2 4
8
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3
y x 3 2
y x2 9
4
9 27
y x 3 27 8
1
/
yx
1
1 2
/
3
/
1 2
练习2: 如果函数 f (x ) (m m 1)x 间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合.
2 m 2 2 m 3 是幂函数，且在区
答案:m=2(舍去m=-1) 练习3：比较下列各组数的大小.
(1)
(2)
答案: (1)
1
1.5
( 2)
3 5
1 2
1 2
1.7
( 3)
y
o
x
8
思考：根据上述五个函数的图象，你能 a 归纳出幂函数 y x 在第一象限的 图象特征吗？
第二章 2.3幂函数
§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．32y x =与64y x =定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知222(22)23m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值． 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 B解析 因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，则αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴23＝⎝⎛⎭⎫13β，13＝⎝⎛⎭⎫23α， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的应用 命题角度1 比较大小 例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >b >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ；()23f x x ＝∵在(0，＋∞)上为增函数，∴223322,35⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与25(0.3). 考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数，20.350.30.3.∴>②由①②知0.32520.3.5⎛⎫> ⎪⎝⎭命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足33(1)(32)m m a a <－－＋－的a 的取值范围．考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为1133(1)(32).a a <－－＋－因为13y x－＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．跟踪训练4 已知幂函数()21*()mmf x x m +∈N ＝．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式 解 (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数． 令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)2112222,mm+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ()12f x x ∴＝，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 考点 幂函数的概念 题点 由幂函数定义求参数值 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 考点 幂函数的定义域和值域 题点 幂函数的定义域 答案 A4．若a <0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a <0时，函数y ＝x a在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a . 5．先分析函数23y x ＝的性质，再画出其图象． 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质解 23y x ＝＝3x 2，定义域为R ，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x3D ．y ＝x ＋1考点 幂函数的概念 题点 判断函数是否为幂函数 答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3B ．2C ．－3或2D ．3考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，知m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3. 3．已知幂函数()223(22)n nf x n n x－＝＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 答案 C解析 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．5．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1bB ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1aD ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 C解析 因为函数()12f x x ＝在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a ，故选C. 6．设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，＝，＝，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a考点 比较幂值的大小 题点 利用单调性比较大小 答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，25y x ＝在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b ，所以a >c >b .7．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12考点 幂函数的图象 题点 幂指数大小关系问题 答案 B解析 令x ＝2，由图知C 1，C 2，C 3，C 4对应纵坐标依次减小，而1122222222->>>－，故选B.8．对于幂函数f (x )＝x 45，若0<x 1<x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f (x 1)＋f (x 2)2的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2 B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2 C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2 D ．无法确定 考点 幂函数的图象 题点 幂函数的图象与性质 答案 A解析 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1,0)，C (x 2,0)，其中0<x 1<x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |>12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，故选A. 二、填空题9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)考点 比较幂值的大小 题点 利用中间值比较大小 答案 >解析 ∵y ＝x －1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26， ∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2. 综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. 10．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．11．已知幂函数f (x )＝x 21m －(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________． 考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 三、解答题12．已知幂函数f (x )＝x 223m m －－(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 解 (1)由于幂函数f (x )＝x223m m －－在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4. (2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x ) ＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2， 因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)， 所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 是非奇非偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0＜x ≤100. ∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)． 四、探究与拓展14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y ＝x α(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．考点 求幂函数的解析式 题点 求幂函数的解析式后再求值 答案 9解析 依题意有2＝4α，∴α＝12.∴当y ＝3时，x 12＝3，得x ＝9.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≤0，3a －x 12，x >0(a >0，且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 考点 幂函数的性质 题点 幂函数的单调性 答案 ⎝⎛⎦⎤0，13 解析 当x ≤0时，由f (x )＝a x为减函数，知0<a <1；当x >0时，由f (x )＝3a －x 12为减函数，知a ∈R ，且要满足a 0≥3a ，解得a ≤13.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，13.。
2019A新高中数学必修第一册：2.3 幂函数
y=1 中,
哪几
个函数是幂函数?
答:
y
=
1 x2
=
x-2
和
y=1=x0
是幂函数.
一般地, 函数 y=xa 叫做幂函数, 其中 x 是自
变量, a 是常数.
2. 已知幂函数 y=f(x) 的图象过点(2, 这个函数的解析式.
解: 设幂函数为 y=xa,
其图象过点(2, 2),
则 2 = 2a ,
得
a
1
o1 x
y y=x-1
1 o1 x
y=x y=x2 定义域 (-∞, +∞) (-∞, +∞)
y=x3
(-∞, +∞)
值域 (-∞, +∞) [0, +∞) (-∞, +∞)
y
=
x1 2
[0, +∞)
[0, +∞)
y=x-1
(-∞, 0) ∪(0, +∞)
(-∞, 0) ∪(0, +∞)
单调性
(-∞, +∞) 增
④ 当 x>0 时, 幂函数的值为正. ④对.
【课时小结】
1. 幂函数
形如函数 y=xa 叫做幂函数, 其中 x 是
自变量, a 是常数.
即幂函数的底数是自变量, 指数是常数,
如: y = x-1,
y
=
x
1 2
,
y = x,
y = x2,
y = x3.
【课时小结】
2. 幂函数的图象与性质
y y=x y y=x2
解:
(3)
(2)中的表达式为
v
=
400 81
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应用举例. 例3.比较下列各组数的大小
5 2 5 2
1)3 和3.1
7 8
1 2) 8 和 ( ) 9 2 2 2 3 3 3 3)( ) 和( ) 31 4 1
7 8
0.93 和0.82 呢？
应用举例.
例4.如图，幂函数 y x (i 1,2,3,4,5) 在第一象限对应的图像分别是C1, C2 , C3 , C4 , C5 ，则 i 大小如何排列?
今日作业
1.书本P79 习题2.3 第1-3题 P82复习题 A组第10题
2.3幂函数
引例.
1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么 她需要支付p=w元，这里p是w的函数; 2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2, 这里s是a的函数; 3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3, 这里V是a函数; 4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方 形的边长 a=S1/2 这里S是a的函数; 5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均 速度v=t-1 km/s 这里v是t的函数. 以上问题中的函数具有什么共同特征？
新课讲解.
二.幂函数的图象及性质
在同一平面直角坐标系内作出 1 1 2 yx， 的图像
yx
y x， y x， y x3 ，
2
3
yx
yx
2
yx
1 2
yx
yx
1
观察上述图象，将你发现的结论写在P78的表格内
新课讲解.
定义域 值域 奇偶性 单调性 R R 奇 增
yx
二.幂函数的图象及性质1
i
应用举例. 选讲.1)当
取不同的有理数时，讨论
的定义域.
m2 2m3
幂函数
yx
(m N ) , 2)已知幂函数 y x 在区间(0,+∞)上是减函数,求函数的解析式 并讨论其单调性和奇偶性
课堂小结. 1.幂函数的定义
2.5类典型幂函数的图像及性质 3.幂函数的4点性质
4.利用幂函数图像比较数与数的大小 5.掌握幂函数中指数的变化对图像影响
yx yx
2
3
yx
2
yx
1
R
R R 奇 增
[0, ) x | x 0 [0, ) y | y 0
非奇非偶 增 奇
[0, ) [0, )
上增 偶
()
定点
上减 上减 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0） （0，0） （0，0）
新课讲解. 二.幂函数的图象及性质
幂函数性质：
1)所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过 点（1，1）； 2)当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且 在[0，+∞)上是增函数 (从左往右看，函数图象逐渐上升) 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数. (从左往右看，函数图象逐渐上升)
3)在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方 无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方 并无限逼近x轴的正半轴. 4)当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
应用举例. 例1.证明幂函数 y 增函数.
x 在定义域上是
例2.证明幂函数y=x3 在定义域上是增函数.
新课讲解.
一般地，函数 y x 叫做幂函数 是常数. （power function），其中x是自变量，
几点说明：
y x 1) 中 x 前面系数是1,并且后面也没有常数项；
一.幂函数的定义
2)要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数 确定下来; 3)幂函数和指数函数的异同：两者都具有幂的形式，但 指数函数的自变量位于指数上，幂函数的自变量是底数.