【优化方案】高中数学 第2章2.1知能优化训练 苏教版选修2-1

1．动点M 到定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .
答案：椭圆
2．到定点F (6,0)和定直线x ＝－6的距离相等的点的轨迹是________．
解析：根据抛物线的定义判断，要注意定点不在定直线上．
答案：抛物线
3．已知A (－1,0)，B (1,0)，P 为动点，且|PA |＋|PB |＝4，则点P 的轨迹为________． 解析：∵|PA |＋|PB |＝4>|AB |＝2，
∴P 的轨迹为椭圆．
答案：以A ，B 为焦点的椭圆
4．已知直线l ：x ＋2y －3＝0，点F (2,1)，P 为平面上一动点，过P 作PE ⊥l 于E ，|PE |＝|PF |.则点P 的轨迹为________．
解析：∵点F (2,1)不在直线l 上，且|PE |＝|PF |，
∴点P 的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
一、填空题
1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应是一条射线．
答案：一条射线
2．若点P 到点(1,1)的距离和到直线2x ＋3y －5＝0的距离相等，则点P 的轨迹是________．
解析：由于点(1,1)满足等式2x ＋3y －5＝0，即点(1,1)在直线2x ＋3y －5＝0上，故不满足抛物线的定义，而是过点(1,1)且垂直于直线2x ＋3y －5＝0的直线．
答案：直线
3．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案：线段
4．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则该动点的轨迹是________．
解析：由题意可知，动点到点(3,0)的距离等于它到直线x ＝－3的距离，由抛物线的定义知动点的轨迹是抛物线．
答案：抛物线
5．若点M 到定点F 和到定直线l 的距离相等，则下列说法正确的是________．
①点M 的轨迹是抛物线；
②点M 的轨迹是一条与x 轴垂直的直线；
③点M 的轨迹是抛物线或一条直线．
解析：当点F 不在直线l 上时，点M 的轨迹是以F 为焦点、l 为准线的抛物线；而当点F 在直线l 上时，点M 的轨迹是一条过点F ，且与l 垂直的一条直线．
答案：③
6．动圆过点(0,1)且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹为________．
答案：抛物线
7．已知两定点F 1(－5,0)、F 2(5,0)，动点P 满足PF 1－PF 2＝2a ，则当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别是________．
解析：平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|的正数)的点的轨
迹是双曲线．当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)；当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．故填双曲线的一支和一条射线．
答案：双曲线的一支和一条射线
8．下列各曲线是圆锥曲线的是________．
①到两定点F1，F2的距离之和等于常数2a(a>0)的点的轨迹；
②到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点的轨迹；
③到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹．
解析：本题考查的是圆锥曲线的定义．对于①，缺少条件2a>|F1F2|，当满足该条件时，动点的轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹不存在，所以①不正确．对于②，缺少条件0<2a<|F1F2|，当满足该条件时，动点的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是直线F1F2上的两条以F1，F2为端点的射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在，所以②不正确．对于③，缺少条件F不在直线l上，当满足该条件时，动点的轨迹是抛物线；当点F在直线l上时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的一条直线，所以③不正确，故填④.
答案：④
二、解答题
9．已知F1，F2是平面α内的定点，并且|F1F2|＝2c(c>0)，M是α内的动点，且|MF1|＋|MF2|＝2a(a>0)，试判断动点M的轨迹．
解：当2a>2c，即a>c时，动点M到两定点的距离之和大于两定点之间的距离，由椭圆的定义知，动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；当2a＝2c，即a＝c时，动点M到两定点F1，F2的距离之和等于线段F1F2的长，所以点M是线段F1F2上的点，即动点M的轨迹是线段F1F2；当0<a<c时，动点M无轨迹．综上所述，当a>c时，动点M的轨迹是椭圆；当a＝c 时，动点M的轨迹是线段；当0<a<c时，动点M无轨迹．
10．求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．
(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)；
(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；
(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
解：设动圆M的半径为r.(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，
∴|MC|＝r－ 2.
∴|MA|＝r，∴|MA|－|MC|＝2，
且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支．
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.∴|MC2|－|MC1|＝1，且1<2.
∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支．
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，
∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.∵|MC1|－|MC2|＝4，且4<6，∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．
11．已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证点P的轨迹为抛物线．
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形
∴|PA|＝|PN|.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。