一类新型的信赖域算法
信赖域方法概论
信赖域方法概论非线性优化中的信赖域方法及其应用摘要信赖域方法是非线性优化的一类重要的数值计算方法它在近二十年来受到了非线性优化研究界非常的重视。
特别是最近几年，一直是非线性优化的研究热点。
目前，信赖域方法已经和传统的线收索方法并列为非线性规划的两类主要数值方法。
关键词：信赖域法非线性优化约束条件引言非线性最优化是20世纪50年代发展起来的，它讨论非线性决策问题的最佳选择之特性，构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际计算表现。
随着电子计算机的发展和应用，非线性最优化理论和方法有了很大发展。
目前，它已成为运筹学的一个重要分支，并且在自然科学，工程技术，经济管理，系统工程，特别是“优化设计”等诸多领域得到广泛的应用，成为一门十分活跃的学科。
非线性优化的传统方法几乎都是线搜索类型的方法，即每次迭代时产生一搜索方向，然后在搜索方向上进行精确的或不精确的一维搜索，以得到下一个迭代点。
信赖域方法是一类很新的方法，它和线搜索法并列为目前求解非线性规划的两类主要的数值方法。
信赖域方法思想新颖，算法可靠，具有很强的收敛性，它不仅能很快地解决良态问题,而且也能有效地求解病态(ill-conditioned)的优化问题。
因而对信赖域方法的研究是近20年来非线性规划领域的一个重要的研究方向，是当今寻求如何构造新的优化计算方法的主要途径。
信赖域方法的研究起源于Powell 1970 年的工作，他提出了一个求解无约束优化问题的算法，该算法在每次迭代时强制性地要求新的迭代点与当前的迭代点之间的距离不超过某一控制量。
引入控制步长是因为传统的线搜索方法常常由于步长过大而导致算法失败，特别是当问题是病态时尤为如此。
控制步长实质上等价于在以当前迭代点为中心的一个邻域内对一个近似于原问题的简单模型求极值。
这种技巧可理解为只在一个邻域内对近似模型信赖，所以此邻域被称为信赖域(trust region)。
利用这一技巧的方法也就被称为信赖域法。
信赖域算法matlab程序求解问题
信赖域算法matlab程序求解问题信赖域算法（Trust Region Algorithm）是一种用于求解无约束优化问题的数值优化算法。
它通过在当前解的局部区域内构建一个信赖域来逼近目标函数的局部性质，然后在该信赖域内求解近似问题，以寻找更优的解。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现信赖域算法。
该函数可以求解多元无约束优化问题的最小值。
其调用形式如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options) ```其中，`fun`是目标函数的句柄，`x0`是初始解向量，`options`是优化选项的结构体。
返回值`x`是最优解向量，`fval`是最优解的目标函数值，`exitflag`是退出标志，`output`是优化过程的输出信息。
在使用fminunc函数时，需要定义一个目标函数。
目标函数是一个输入为解向量x，输出为目标函数值的函数。
例如，假设要求解的优化问题的目标函数为：```function f = objective(x)f = x(1)^2 + x(2)^2;end```然后，可以使用fminunc函数来求解最小值：```x0 = [0, 0]; % 初始解向量options = optimset('GradObj', 'on'); % 启用目标函数的梯度计算[x, fval, exitflag, output] = fminunc(@objective, x0, options);```在上述代码中，`optimset`函数用于设置优化选项，`'GradObj', 'on'`表示启用目标函数的梯度计算。
如果目标函数没有提供梯度计算，可以将该选项置为`'off'`。
信赖域算法在求解优化问题时，会自动进行迭代，不断更新解向量，直到满足收敛条件。
一类改进的非单调的信赖域算法
一 (d 的 犷 (k ) 头( )- =了
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无约束优化的一类新的非单调信赖域算法
算法 １
步 １ 选初值 ， △ ＞０为信赖域半径上界 ， 取
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引理２ 假定存在 ｛ ，， 的无穷子列 Ⅳ ， １２ …｝ ０使 得对任意 后ＥⅣ ， ７ 则对所有的 ｋ量Ｎ 有 ０Ｐ ≥， ， ｌ ｏ
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２ １ ＳｉＴ ｃ． ｎｒ． ０ ２ ｃ ｅｈ Ｅ ｇｇ ．
数 学
无约束优化 的一类新 的非单调信赖域算法
王 剑 平 吕毅 斌 张 晓 鹏
（ 昆明理工大学理学 院， 昆明 ６ ００ ） ５ ５０
摘
要 当选取 的初始搜 索点处于峡谷 附近 时， 利用 现有 的信 赖域算 法将 搜 索到 的最优解 可能是局部 最优解。针对 此 问题
ｆ （ ＝ ５ 厶 』ｎｋ） Ｔ ｍｓ ｍ ｉ ＋
Ｉ
～ （ １ ） ，
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ｔ ．
ｌ Ａ ｌ≤
次收敛性 。文献［ ］ ７ 在信赖域算法 中引入了非单调
线 搜索技术 。当试探 步不 成 功 时 ， 不 重 新 求解 子 并 问题 ， 而采 用非 甲调 线 搜 索 ， 得 到下 个 迭代 点 ， 这
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
一个新的解无约束优化问题的信赖域算法
Ｋｅ ｒ ｓ： ｎｃ ｎ ｔａｎ ｄ ｏ ｉ ｚ ｔｏ ｔ ｕ ｔｒ ｇｉｎ ａｇ ｒｔ ， ｌ ｂ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｙ ｗｏ ｄ ｕ ｏ ｓ ｒ ｉ ｅ ｐｔｍｉａ ｉ ｎ，ｒ ｓ —ｅ ｏ ｌｏ ｉｈｍ ｇ ｏ ａ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｃ
本 文考虑一 般 的无约束 极小 化 问题
摘 要 ： 了 减 少 求 解 信 赖 域 子 问 题 的 次 数 ， 过 对 当前 目标 函数 下 降 量 与 成 功 迭 代 的 目标 函数 下 降 量 最 小 值 的 为 通
比较 ， 出一 个 新 的 解 无 约束 优化 问题 的信 赖 域 算 法 ， 明 了该 算 法 的 全 局 收敛 性 ， 用 数 值 实 验 说 明新 算 法 是 提 证 并
ｍｉｆ（ ， ｎ ｚ）
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ｌ ｌ ｌ・ Ｉ 为欧 氏模 ， 为信赖域 半径 ， 称点 一 ＋ Ｓ
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其 中 ， ： Ｒ二次连 续可微 ． －尺 一 厂 信 赖 域方 法是 解 问题 （ ． ） ０ １ 的一类 有 效方 法 ， 它 包 括基 本信 赖域算 法 （ Ｔ ， 单调算 法 和过 滤 Ｂ Ｒ） 非 子 算法 ｌ ， 中非 单 调算 法 和过 滤 子算 法都 是 在 ３等 其 “
能性 值得探 讨． 当试验点
失 败时 ， 在文 献 ［ ，］中 ３４
利用过 滤 技 术 ， 文 献 ［ ，］中利 用 线 搜 索 ， 生下 在 ５６ 产
最优化方法信赖域方法
最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。
它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。
信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。
（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。
（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。
由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。
（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。
三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。
3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。
一种非单调自适应新锥模型信赖域算法
一种非单调自适应新锥模型信赖域算法近年来，统计推断和模式识别领域的研究人员发展了一些有效的算法来提取有用信息，这些算法大部分都建立在锥模型中。
在锥模型中，对对象进行抽样，并采用不同的模型表示在不同的空间中。
通过计算锥模型中的约束，可以获得两个或更多的对象的信息。
然而，由于子空间有可能交叉，锥模型在提取信息时存在两个主要问题：第一，多维空间中的子空间可能会发生重叠，这会影响模型的有效性；第二，子空间边界变化可能会导致模型精度降低。
因此，开发一种非单调自适应新锥模型信赖域算法（NDA-NCRM）是很有必要的。
NDA-NCRM是一种半抽象的算法，它可以通过在子空间中构造拉格朗日乘数，从而使模型的边界具有可变性，并使子空间不会发生重叠现象。
NDA-NCRM的另一个优点是，它可以支持任意数量的对象，这对锥模型的计算量有很大的影响。
NDA-NCRM算法的主要原理是，在子空间中构造一系列连续的拉格朗日乘数，以使模型的边界具有可变性，从而避免子空间发生重叠的情况，并且算法可以支持任意数量的对象。
NDA-NCRM的基本思想是，在锥模型中建立一个简单的有效的拉格朗日乘数，然后通过迭代对拉格朗日乘数进行修改，从而得到更好的目标函数值的结果。
NDA-NCRM的迭代过程中，需要计算原始锥模型中的约束，从而获取不同子空间中的信息。
在每一步迭代中，都要重新估计拉格朗日乘数，以确保所有变量可以有效地调节子空间的边界，从而保证模型的有效性。
此外，对NDA-NCRM算法进行改进，可以更好地提高模型的精度。
这种改进可以通过引入权重来实现，从而使调整参数更加精确。
此外，可以将NDA-NCRM算法和其他半抽象算法结合起来，比如聚类或分类等，从而更有效地提取有用信息。
总之，NDA-NCRM算法是一种有效的、非单调的锥模型信赖域算法，它可以提高模型的精度，同时可以有效地支持任意数量的对象。
此外，NDA-NCRM算法还可以实现通过调整参数更加精确地提取有用信息，并可以与其他半抽象算法结合起来，从而更有效地提取有用信息。
一类新的带线搜索的自适应非单调信赖域算法
其 中 ： ＝Ｂ ｎＳＢ ： ｛ 力 ， ｄ∈Ｒ Ｉ ｌ ｌ ｌ ｌ≤△ ｝ ｄ ， Ｓ＝｛ ｄ∈Ｒ ｌ １—６ｄＪ ０ ，０ —个 ０ — Ｊ ≥ ｝ 为 — １ 的正数 ， （ ）＝ （ ＋ｄ 厂 ）一 ）ｇ ， ＝ｇ ）为 （ ）在 处 的梯度 ， ｂ 和 分别是 ｎ 向量 和 ｎ× 维
（ ”
｛ ｝． １ … ， ｒ（） ＝ ， ｊ ｝＝ ， ｍ， ｋ ｅ
ｍａ ｛ ｋ一１ ｘ ｍ（ ）＋１２ Ｍｋ ， Ｍ 为非 负整 数 ， ，Ｍ， ｝Ｍ， 都
作者简介 ： 赵绚 （９ ３一） 女 ， １８ ， 硕士 ， 主要研究方 向为最优化理论及应 用。
第 ３ 卷第 １ ｌ 朝
第３ １卷
第 ｌ 期
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原
科
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学
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２１ ０ ０年 ２月
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｙ Ａ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｎ Ｅ Ｈ Ｏ Ｏ Ｙ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｔ Ｉ Ｕ Ｎ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｆ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ａ Ｄ Ｔ Ｃ Ｎ Ｌ Ｇ
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赵 绚， 一类新的带线搜索的自 等： 适应非单调信赖域算法
３ 算 法 的收 敛 性
引理 ｌ
求解一类变分不等式问题的内点信赖域方法
求解一类变分不等式问题的内点信赖域方
法
内点信赖域方法是一种求解一类变分不等式问题的方法。
它利用内点信赖域来求解最优化问题，从而解决变分不等式问题。
内点信赖域方法的思路很简单，就是对于一个满足约束条件的变分不等式，从内点信赖域中选取一组解，将其带入变分不等式中，通过求解变分不等式的最优解，最终得到近似最优解。
内点信赖域方法的主要思想是通过构造一个满足约束条件的内点信赖域，在此域内迭代求解变分不等式问题，以寻找最优解。
其中，内点信赖域是一个数学概念，指的是满足约束条件的内部点的集合，这些内部点的位置是可以通过多种方式确定的。
内点信赖域方法的优点是可以快速求解变分不等式问题的最优解，缺点是由于内点信赖域的构造方式非常复杂，容易出现误差，从而影响最终的结果。
因此，在使用内点信赖域方法求解变分不等式问题时，需要结合其他方法，如梯度下降法等，以避免误差的产生。
总之，内点信赖域方法是一种有效求解变分不等式问题的方法，其优点是可以快速求解变分不等式问题的最优解，缺点是由于内点信赖域的构造方式非常复杂，容易出现误差，因此，
在使用内点信赖域方法求解变分不等式问题时，需要结合其他方法，以避免求解结果的偏差。
最优化方法 信赖域算法
算法概述
二 三 四
信 赖 域 算 法
算法思想 算法流程 算法收敛性
五
子模型求解
一、方法概述
信赖域算法概述
线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简 单的一维寻优问题。方法的核心思想是先寻找“理想” 的下降方向，然后在确定的方向上确定长度。
信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局 部寻优问题。方法能够对局部的所有方向进行“搜索”， 进而同时确定“局部最好”的前进方向及长度。
k . sk ,
定义比值：
给定信赖域方法模型子问题的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数
qk s 与目标函数 f x 的一致性程度。
二、算法思想
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
三、算法流程
信赖域方法流程 步骤1: 给出
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
g k , 停止． 求解子问题得到 sk .
如果
T k
步骤2: 步骤3:
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
s.t
s k
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
四、算法流程
步骤5: 校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s )与目标函数 f ( x )
解决大规模信赖域子问题的一种新算法
Ａｂ ｔａｃ ． ｏｌ ｉ ｇ ｔ ｕｓ ｅ ｉ ｎ ｓ ｂ ｏ ｅ ｉ ｎ ｉ ｏｒａ ｏ ｓ ｒ ｔ Ｓ ｖ ｎ ｒ ｔｒ ｇ ｏ ｕ ｐｒ ｂｌｍ ｓ ａ ｍｐ ｔ ｎｔｃ ｍｐｏ ｎｔｏ ｈｅ ａｇｏ ｉｈ ｂａ ｅ ｎ ｔ ｕｓ ｅ ｎｅ ｆｔ ｌ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｏ ｒ ｔｒ －
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第１ ６卷
第 ５期
运 筹 与 管 理
０Ｐ ＥＲＡＴ１ ０ＮＳ ＲＥ ＡＲＣＨ ＳＥ ＡＮＤ Ｍ ＡＮＡＧＥＭ Ｅ ＮＴ ＣＩ ＮＣＥ Ｓ Ｅ
Ｖｏ ． ６ Ｎｏ ５ １１ ． ．
Ｏｃ ． ０ ７ ｔ２ ０
２０ ０ ７年 １ Ｏ月
ｏ ａ ｒｘ ｖｅ ｔ ｒ ｐ ｏｄ ｔ ． Ｆｉ ａ ｌ ｆｍ ｔ ｉ － ｃ ｏ ｒ ｕｃ ｓ ｎ ｌｙ，ｗｅ ｓ ｗ ｏ ｍｅ ｉａ ｅ ｕｌｓ ｗｉｈ ｃ ｍ ｐ ｒｓ ｎ． ｈｏ ｓ ｍｅ ｎｕ ｒｃ ｌｒ ｓ ｔ ｔ ｏ ａ ｉｏ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｏ ｉ ｅ ｒｏ ｉ ｉａ ｉ ｎ；ｔ ｕ ｔｒ ｇｉ ｎ ｓ ｂｐ ｏ ｅ ；ｓ ｑ ｎｔａ ｕｂ ｐ ｅ ｔ ｄ；ｇｌ ｂａ ｏ ｅ － ｄ ｎ ｎｌｎ ａ ｐｔｍ ｚ ｔｏ ｒ ｓ ｅ ｏ ｕ ｒ ｂｌ ｍ ｅ ｕｅ ｉ ｌｓ ｓ ａ ｅ ｍｅ ｈｏ ｏ ｌｃ ｎｖ ｒ
ｇｏ ｅｈ ｄ ｉ ｎ ｍ ｔ ｏ ，ｗｈ ｃ ａ ｅ ｎ ｓ ｏ Ｏ ｂ ｅ ｙ ｅ ｆ ｃ ｉ ｅｆ ｒｕ ｃ ｎ ｔ ａｎ ｄ ｏ ｔｍｉａ ｉ ｎ ｐ ｏ ｌｍ ｓ ｎ ｔ ｉ ｉｈ ｈ ｓｂ ｅ ｈ ｗｎ ｔ ｅｖ ｒ ｆｅ ｔ ｏ ｎ ｏ ｓ ｒ ｉ ｅ ｐ ｉ ｚ ｔ ｒ ｂ ｅ ．Ｉ ｈ ｓ ｖ ｏ
一类变分不等式问题的信赖域算法
本 文提 出 了求 解 强 单 调 的 ＶＩ Ｐ的 一 个 新 的 信 赖 域 算 法 ． 已有 的 处 理 ＶＩ 的信 赖 域 和 Ｐ 方 法 不 同 的是 ： 它在 每 步 迭 代 时 ， 必 求 解 带 信 赖 域 界 的 子 问 题 ， 解 一 线 性 方 程 组 不 仅
而 求 得 试 验 步 ． 样 ， 算 的 复 杂 性 一般 来 说 可 降 低 ． 通 常 的假 设 条 件 下 ， 中还 证 这 计 在 文
文献标识 码 ： Ａ
Ａ ＭＳ ２ ０ ） 题 分 类 ：０ ３ ； ５ ５ （０ ０ 主 ９ Ｃ ３ ６ Ｋ０
文 章 编 号 ： Ｏ １９ ４ （ ０ ２ ０ —０ ７０ １ Ｏ —８ ７ ２ ０ ）３０ ４ —６
变 分 不 等 式 问 题 （ Ｐ） 是 求 ｚ Ｅ ， 得 ： ＶＩ 就 Ｘ 使
ｚ∈ Ｘ
（ ） ２
其中 ｇ ｚ （ ）一 ｍａ ｛ Ｆ（ ） ｚ— ）１ ． 然 ｇ ｐ函 数 具 有 好 的 局 部 特 性 （ ［ ］ ， 一 般 ｘ（ ｚ ， Ｅ Ｘ） 虽 Ｙ ａ 见 ４ ）但 来说 ， 是 不 可 微 的 ， 为 了 保 证 ｇ ｚ 它 且 （ ）的 存 在 性 ， 要 求 ｘ 是 紧 的 ．为 此 ， ｕ ｕ ｈｍａ和 还 Ｆ ｋ ｓｉ Ｄ ｓ ａ ｈ（ Ｅ ３ ｕ ｓ ｕ 见 ５ ）提 出 了一 类 新 的价 值 函 数 ：
作 者 简 介 ： 宜 贵 （ ９ ５ ） 男 ， 南 大 学 数 理 系 副 教 授 ， 士 ， 读 博 士 ， 究 方 向 ： 优 化 算 法 欧 １６ 一． 海 硕 在 研 最
维普资讯
４ ８
应
用
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学
其 中 Ｇ是对称正 定阵 ， （ Ｈ ）一 Ｐ ｏ ｘＧ — Ｇ ） ｒｊ ，（ － Ｆ（ ）一 ｍｉ Ｙ一 （ — Ｇ ） Ｉ ｎｌ ｌ － Ｆ（ ）Ｉ Ｇ （ 于 投 影 算 子 Ｐ ｏ ｘｃ ）的 定 义 见 ｒ － ． 时 他 们 指 出 ： 一 定 条 件 下 ， Ｐ（ ） 转 化 为 下 关 ｒｊ ，（ －ｉ 同 ｓ） 在 ＶＩ １ 可
一个新的锥模型自适应信赖域算法
部， 因此并 增 大信 赖域 半径 ； 反之 ， 则 拒绝 Ｓ ， 同 时也 说 明更好 的点 应该 在信 赖 域 内部 ， 因此并 缩小 信赖 域半 径 ， 重解子问题（ ２ ） ， 直 至试 探 步 ｓ 被
接受 ． 即
ｆ ｚ — ｝ Ｉ Ｓ ， ≥ ；
ｚ ＋ １一 （ 【
ｍｉ ｎ ｑ ｋ （ ｓ ）一 ＋ ５ ＋－ ５ － ｓ Ｂ ｋ ｓ ． ｔ ．１ ｌ ｓ ｌ ｌ ≤ ，
（ ２）
收稿 Ｅ １ 期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ３ — ２ ６ ． 基金项 目： 国 家 自然 科 学 基 金项 目（ １ １ ０ ６ １ ０ １ １ ） ； 广 西 自然 科 学 基 金 项 目 （ ２ ０ １ １ Ｇ ｘ Ｎｓ Ｆ Ａ Ｏ １ ８ １ ３ ８ ） ； 重 庆 文 理 学 院 校 级 科 研 项 目（ Ｙ２ Ｏ １ ３ Ｓ Ｃ４ ２ ） ．
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — １ １ ９ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ７ ４ ３ — ０ ６
一
个新 的锥模 型 自适 应信赖 域算法
冯 琳 ¨ ，段 复 建
（ １ ． 重 庆 文 理 学 院 数 学 与 财 经 学 院 ，重庆 ４ ０ ２ １ ６ ０ ；
２ ． 桂 林 电 子科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ，广 西 桂 林 ５ ４ １ ０ ０ ４ ）
Ｃ Ａｋ ｒ ｋ＜ １
信 赖域 算 法 的基 本 思 想 是 ： 每次 迭 代 ， 求 解 信
赖 域子 问题
１
△ ＋ １＝ ＝ ｃ ２ △ ， ｒ ＞ 叩 ２ ；
（ ３ ）
ｌ ， ７ １≤ ｒ ｋ≤ ，
其中， ０≤ ＇ ７ ＜ ｚ ＜１ ， ０＜ Ｃ ｌ ＜ １ ＜ｆ 。 是 常数 ． （ ３ ）中对 信 赖域 半径 的修正 是根 据 ｒ 将 初 始信 赖域 半径 常数 倍放 大 或缩 小 的 ， 没有利用 ｇ ，
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法（Trust Region Policy Optimization，TRPO）是一种用于优化策略的算法，广泛应用于深度强化学习中。
TRPO算法的目标是最大化策略在长期奖励上的期望值。
与传统的策略梯度方法不同，TRPO算法通过引入一个信赖域来限制优化的步长，以保证策略改进的稳定性，防止策略更新过大导致性能恶化。
TRPO算法的核心思想是，在每次迭代中，优化一个近似的目标函数。
具体来说，算法通过线性化策略在当前策略参数点附近并计算策略的优势函数，得到一个最优的步长，使得策略在信赖域内取得显著的改进。
然后，新的策略参数通过此最优步长进行更新，并通过线搜索来找到使目标函数达到最大化的步长大小。
TRPO算法的优点是可以保证每次策略更新都会带来性能的提升，并且相对于其他策略优化算法，比如策略梯度方法，更具稳定性。
然而，TRPO算法的计算复杂度较高，对于大规模问题存在一定的挑战。
近年来，TRPO算法的改进版本也相继提出，如Proximal Policy Optimization（PPO）。
这些改进算法对TRPO进行了一些改动，以提高计算效率和收敛性能。
总的来说，TRPO算法是一种信赖域策略优化算法，通过限制策略更新的步长来确保性能的改进稳定性。
该算法在深度强化学习中有着广泛的应用。
一个新的带线性搜索的信赖域算法
３ 收敛性
为了证明算法的全局收敛性 ， 我们假设 ：
假设 １ ｖ ） Ｌ ｓ ｉ 连续 的， 是 ｉｅ ｔ ｐ ｈｚ 即存在 Ｌ＞ 使得 Ｉｖ （ ） ｆ ｙ Ｉ≤ＬＩ 一Ｙ ０ ｌ ｆ ｘ 一Ｖ （ ）Ｉ ｌ
ｐｅｅ ｔｄ． ｈ ｇ ｒｈ ｃｍｂｎ ｓｔｅｌ ｅｍｏ ｅ ｗ ｔ ｅｌ ｅｓａｃ ，ｔｗ ｕｄ ｒｄ ｃ ｅｃｍｐ ｔｔ ｎ ｒｓ ｎｅ Ｔ ｅａｏ ｉ ｍ ｏ ｉｅ ｉ ｄ ｌ ｈ ｔ ｎ ｅｒｈ ｉ ｏ ｌ ｅ ｕ ｅｔ ｌ ｔ ｈ ｎ ｉ ｈ ｉ ｈ ｏ ｕａｉ ． ｏ
避免了传统信赖域方法 中有时要解若干次信赖域子问题 的缺陷。但［ ］ ３ 中的信赖算法产生 的
方向不一定是下降方向， 因此线探索是不一定成功的。本文采取将［ ］ １ 中提 出的信赖域线性模
型和线性探索相结合的方法 ， 从而提高 了算法的效率 ， 最后证明了该算法的全局收敛性质 。
本 文采用 如下 的记号 ： ＝ ）ｇ ＝ （ ） ，
Ｇ ｏ ａ ｃ ｒ ｅｇ ｎ ｅｒｅ ｅ ｓｏ ｔｉ ｅ ｕ ｄ ｒｓ ｏ ｄｔ ｎ ． ｌ ｖ ｄ ｏ ｉ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｔ ｕ ｔ ｅ ｉｎ ｍｅ ｏ Ｌｎ ａ ｄ ｌ Ｌ ｎ ｅ ｒ ｈ ｙ ｒｓ ｒｓ ｇｏ ｔ ｄ ｒ ｈ ｉｅ ｒｍｏ ｅ ｉ ｅ ｓａ ｃ
３，
０＜￡《 ｌ， ：＝０。
ｓ ｐ１ 计算 ，Ｉ ｔ ｅ ｇ。如果 ｌ Ｉ ， ｌ Ｉ ≤ｅ停止。
ｓ ｐ２ 求解 子 问题 （） ３得 ： ｔ ｅ ２ 一（）
一 ｇ＾
ｒ
计算 ：
一
＋ｄ ） ＾
Ｐ — ＿＝
ｓｐ 如果 ≥ ｔ ３ ｅ 转 ｓｐ ； ｔ ４否则取 为｛，，２…｝ 满足下式的最大数： ｅ １ Ｊ， 中 ８
.信赖域算法
.信赖域算法：信赖域算法是一种迭代算法，用于寻找目标函数的近似最优解。
该算法的基本思想是在每一次迭代中，先在信赖域的范围内进行搜索，然后根据搜索结果来更新信赖域的半径。
具体来说，信赖域算法从初始点开始，根据当前点的梯度和Hessian矩阵等信息，构造一个二次模型来近似目标函数。
然后在这个二次模型上寻找使目标函数下降的步长，并进行一次线搜索。
如果线搜索成功，说明当前点附近的函数值是下降的，因此可以扩大信赖域的半径；如果线搜索失败，说明当前点附近的函数值是上升的，因此需要缩小信赖域的半径。
通过反复迭代，信赖域算法可以在有限的步骤内找到一个近似最优解。
这种算法适用于非线性优化问题，并且对于一些难以处理的问题，如约束优化问题，也能取得较好的效果。
一类新的自适应信赖域算法
一类新的自适应信赖域算法摘要:对无约束优化问题提出一种类似带记忆的自适应信赖域算法,迭代过程中利用前面得到的迭代点的导数的信息自动产生一个信赖域半径。
在一定的条件下,证明了算法的收敛性,并通过数值实验验证了算法的有效性。
关键词:无约束优化;自适应信赖域算法;全局收敛性1引言考虑无约束优化问题:minf(x),其中f:R→Rn是二次连续可微函数。
传统的信赖域[1]是一种迭代的方法,每次迭代要求计算如下信赖域子问题:(1)其中gk=△f(xk),Bk是近似于Hessian阵△2f(xk) 的对称矩阵,△k是信赖域半径。
传统的信赖域算法都是根据实际下降量与预测下降量的比值比值来控制信赖域半径的变化[1],这样可能会增加算法的计算量。
基于此,许多自适应信赖域算法[1-6]被提出。
其中Sartenaer[2],张[3-4]都提出依赖于目标函数的一阶梯度及二阶Hessian矩阵(或其近似矩阵)的无记忆型信赖域半径选取机制。
这类无记忆信赖域迭代由于缺乏更全局的信息,可能会使收敛过程过早地陷入局部极小点。
本文基于这类记忆性的信赖域方法,提出一种全新的半径构造机制,提出了一种无约束问题的自适应信赖域算法。
2非单调自适应信赖域算法具体算法如下:算法2.1(非单调自适应信赖域算法)步1给定步2若||gk||≤ε则终止算法。
步3令计算信赖半径△k=λkθk||gk|| 求解子问题(1.2)得到试探步dk,计算。
步4若rk≥η,则xk+1=xk+dk;否则i=i+1转步2。
步5修正Bk,i=0,k:=k+1,转步2。
3算法的收敛性分析假设3.1(H1):对任意的k,存在有节有界闭集Ω使得xk、xk+1∈Ω。
(H2):对使得: 成立,且也成立。
引理3.2[1]引理3.3[1]引理3.3[5] 算法是适定的,即算法2.1中步2与步4间的循环是有限的。
定理3.4 若假设3.1成立且ε=0则算法有限终止于某个||gk||=0 或产生无穷点列使得:证明若结论不成立,即,则对任意k,存在ε0>0使得||gk||≥ε0。
一类新的自适应信赖域算法
一类新的自适应信赖域算法路云龙;李文钰【摘要】提出了一类新的自适应信赖域算法．该算法利用相邻迭代点的实际下降量与预测下降量的比值加权和来衡量二次模型的近似程度，同时信赖域半径迭代准则采用由以．函数给出的一类自适应迭代准则．在一定假设的条件下，算法具有传统信赖域算法的全局收敛性．数值实验表明，算法是稳健和有效的．%This paper presents a nwe class of adaptive trust region algorithm. Ratios about the actual reduction and the predicition reduction around adjacent iteration points are weighted. It measures the approximate extent of the quadratic model and the objective ruction at current iterate point by the weighted sum. The trust region update rules adpot the new self-adaptive update rules introduced by A-function. Under some suitable assumptions, the algorithm has global convergence of the traditional trust region algorithm. Numerical experiments show that the algorithm is robust and effective.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(013)001【总页数】4页(P37-40)【关键词】信赖域方法;自适应;全局收敛性【作者】路云龙;李文钰【作者单位】北华大学数学学院,吉林吉林132033;北华大学数学学院,吉林吉林132033【正文语种】中文【中图分类】O221.20 引言考虑无约束优化问题：f(x)，(1)其中： f(x)：n→二次连续可微.信赖域方法通过求解下列信赖域子问题来求解无约束优化问题(1)：(2)s.t.s2≤Δk，其中： fk表示f(x)在点xk处的函数值；gk=▽f(xk)表示f(x)在点xk处的梯度；Bk∈n×n表示f(x)在点xk处的海森矩阵▽2f(xk)的近似；Δk表示当前迭代点的信赖域半径.同求解无约束问题线性搜索方法相比较，当Bk不是正定时，信赖域方法是一个非常有效的选择.信赖域算法中定义实际下降量Δfk=fk-f(xk+sk)和预测下降量Δqk=qk(0)-qk(sk)，计算实际下降量和预测下降量两者的比率rk：从而根据rk的值来决定是否接受试探步sk以及如何调整信赖域半径Δk的大小.如果rk<0，试探步sk是不成功的，抛弃这个试探步，并且减小信赖域半径；如果rk≥0，试探步sk是成功的，接受这个试探步，并且扩大信赖域半径.一般的信赖域迭代准则归纳如下[1]：其中：正常数β1,β2,η1,η2满足0≤η1<η2<1和0<β1<1<β2.(4)利用信赖域方法求解优化问题时，通常选择信赖域迭代准则(3)和参数(4)的经验值[1-3]，很少有人更深入地研究如何选择rk和如何改进信赖域迭代准则(3).文献[4-5]研究了信赖域迭代准则(3)，通过引入一类函数的方法，提出了一种依赖比值rk 的连续变化而变化的自适应准则.文献[6]考虑在求解信赖域子问题时，很多情况下求得的试探步sk是不精确解.信赖域算法中信赖域半径的调整，不仅与当前迭代点处的比值rk有关，而且也与相邻近的迭代点处的比值ri(i<k)有关.本文的目的是设计一类新算法，算法中能够考虑相邻点处的比值rj(j≤k)且信赖域半径能够自动调节，同时保留传统信赖域算法的优良收敛性质.1 新的信赖域算法及收敛性本文提出新的信赖域算法，信赖域半径调整准则中的自适应函数采用文献[5]中给出的一类Λ-函数，比值采用文献[6]提出的公式：算法1步1 初始值x0∈n，B0∈n×n，0≤η1<1，0<β1<1≤β3<β2，Δ0>0；ε≥0；设k1.步2 如果gk≤ε，停止，否则解子问题(2)得sk.步3 选择ωki∈[0,1]，满足和计算rk：以及计算计算xk+1如下：更新信赖域半径(5)步4 计算gk+1和Bk+1；设kk+1，转步2.下面讨论算法1的收敛性.利用文献[5]中讨论的Λ-函数得到的信赖域半径迭代准则(5)是通常的信赖域迭代准则的一种特殊情况，所以迭代准则(5)满足文献[1]给出的收敛性准则.在一定的假设条件下，算法1具有传统信赖域算法的优良收敛性质.假定H)ⅰ)可微函数f(x)的梯率▽f(x)是一致Lipschitz连续的，Bk依范数一致有界；ⅱ)水平集S={f(x)≤f(x0)}有界；ⅲ)信赖域子问题(2)的解sk满足qk(0)-qk(sk)≥σgkmin，其中σ∈(0,1].结合文献[6]中全局收敛性证明，很容易得到算法1的全局收敛性.定理1 假定条件H)成立，序列{xk}是由算法1产生的.则或者gk=0成立或者gk2=0成立.2 数值实验我们选取18个给定初始点的测试问题[7]进行数值实验，并且和传统的BFGS信赖域算法进行比较.表1 测试问题Tab.1 Tested problemsNo．问题No．问题1Helicalvalleyfunction10Brownbadlyscaledfunction2BiggsEXP6function11B rownandDennisfunction3Gaussianfunction12Gulfresearchfunction4Powellb adlyscaledfunction13Trigonometricfunction5Boxthree⁃dimensionalfunction 14ExtendedRosenbrockfunction6Variablydimensionedfunction15Extended Powellsingularfunction7Watsonfunction16Bealefuction8PenaltyfunctionⅠ1 7Woodfunction9PenaltyfunctionⅡ18Chebyquadfunction本文的所有数值实验是在cpu 2.40 GHz，2.00GB RAM内存的PC机上利用matlab R2008a实现的.算法1中的参数选取如下：Δ0=g(x0)，B0=I，μ分别取0.9和0.6.算法的终止准则为g(xk)<10-8.求解信赖域子问题采用dogleg方法[8]，Bk的迭代采用BFGS公式[9-10].信赖域半径调节函数采用文献[5]给出的Λ-函数：其中：β1=0.5,β2=2,β3=1.01,η1=0.95.计算结果见表2,其中各列的意义为：Prob表示测试问题；Dim表示测试问题的维数；Iter表示迭代次数；TTR-BFGS表示求解无约束最优化问题的拟牛顿BFGS-传统信赖域算法；SATR-BFGS1(μ=0.9)，SATR-BF GS2(μ=0.6)表示求解无约束最优化问题的拟牛顿BFGS-自适应信赖域算法.表2 数值结果Tab.2 NumericalresultsProb/DimIterTTR⁃BFGSSATR⁃BFGS1SATR⁃BFGS2Prob/DimIterTTR⁃BF GSSATR⁃BFGS1SATR⁃BFGS21/337343710/2∗∗1121152/644404011/418213 51383/344412/35964724/222617815913/21818185/343496214/141171491 536/623226615/169688567/980749216/21515148/87329712717/47964154 9/9∗∗∗∗∗∗18/8303335**：表示迭代次数超过300次.从表2可以看出：对于求解大多数问题，方法SATR-BFGS1，SATR-BFGS2要优于方法TTR-BFGS.由此可见：对于中小规模的无约束最优化问题，算法1与传统的信赖域算法相比具有相当的竞争力，并且数值稳定性通常要好些.【相关文献】[1]A R Conn,N I M Gould，P L Toint.Trust Region Methods MPs/SIAM Series on Optimization 1[M].New York：Philadelphia SIAM，2000.[2]E D Dolan，J J Moré.Benchmarking Optimization Software with PerformanceProfiles[J].Math Prog,2002,91:201-213.[3]N I M Gould,D Orban,A Sartenaer,et al.Sensitivity of Trust-region to Their Paramenters[J].4OR,2005(3):227-241.[4]L Hei.A Self-adaptive Trust Region Algorithm[J].J Comput Math,2003,21(2):229-236.[5]J M B Walmag,E J M Delhez.A Note on Trust-region Radius Update[J].Siam J Optim，2005,16(2):548-562.[6]Y H Dai,D C Xu.A New Family of Trust Region Algorithms for Unconstrained Optimization[J].Journal of Computational Mathematics，2003,20(2):221-228.[7]J J Moré,B S Garbow,K E Hillstrom.Testing Unconstrained Optimization Software[J].ACM Transactions on Mathematical Software,1981,7:17-41.[8]M J D Powell.A New Algorithm for Unconstrained Optimization in:Nolinear Programming[M].New York：Academic Press,1970:31-36.[9]J Nocedal,S T Wight.Numerical Optimization[M].Berlin：Springer-Verlag，2000.[10]W Sun,Y Yuan.Optimization Theory and Methods Nonlinear Programming[M].New York：Springer，2006.。
信赖域法
（2）
其中，gk 是目标函数 f ( x) 在当前迭代点 xk 处的梯度，Bk R nn 对称， 是 f ( x) 在 xk 处Hessian阵的近似. k 为信赖域半径, s 为待求变量. 当 k 变化时, s 的解形成一条空间曲线, 称为最优曲线. Powell [1970 ]给出了求解(2) 的单折线法, 当 Bk 可逆时,用
rk 2 ,
k 1 k , 信赖域扩大;
rk 1 ,2 ;
rk ,
信赖赖域方法在每步迭代中求解下列形式的子问题:
1 T k T min q s f ( x ) g s s Bk s k k 2 , s.t. s k 2
信赖域方法 ( Trust-Region Methods)
1. 基本思想 2. 信赖域方法思想
3. 信赖域半径的选择
4. 信赖域算法 5. 解信赖域子问题
1
1． 基本思想 在每次迭代中给出一个信赖域， 这个信赖域一般是当前迭代 点 xk 的一个小邻域.然后在这个邻域内求解一个子问题，得到试 探步长(trial step) sk ，接着用某一评价函数来决定是否接受该 试探步以及确定下一次迭代的信赖域. 如果试探步长被接受，则：
Predk q
k
(3)
0 q k sk
(4)
定义比值:
rk
Ared k . Pred k
(5)
它衡量了二次模型与目标函数的逼近程度，rk 越接近于 1，表 明接近程度越好. 因此，我们也用这个量来确定下次迭代的信赖域半径.
4
4．信赖域半径的选择 (1). rk 越接近于1，表明接近程度越好.这时可以增大 k 以扩大信 赖域 ; (2). rk 0 但是不接近于1, 保持 k 不变 ; (3). 如果 rk 接近于0, 减小 k ,缩小信赖域 . 或者其它 k 的选择方法： Satenaer(1997)研究了初始信赖域半径 0 的选取对算法有效性 的影响, 给出了一个自动确定初始信赖域半径的ITRR算法, 其基本 思想是通过二次近似模型和目标函数沿负梯度方向的近似程度, 调 节初始信赖域半径. Zhang(2002)等同把这一思想应用到信赖域半径的自适应.