信赖域法示例浅析

信赖域法示例浅析
摘要：本文介绍了非单调信赖域算法的基本知识，包括非单调信赖域算法的理论、算法框图及数值运算实例，数值结果表明该算法在求解高维非线性规划问题时比一般算法更有效。

关键词：信赖域法信赖半径Hesse阵Bk
引言
信赖域方法是求解非线性规划问题的常用方法之一，因其具有良好的可靠性和强健的收敛性备受非线性优化领域专家们的关注[1]，信赖域方法与线搜索技术一样，也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术。

它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移，从而确定新的迭代点。

漂亮的收敛性和有效的计算性确定了信赖域算法是一类重要和实用的方法[2]。

因此研究约束优化问题的信赖域算法具有重要的意义。

1、算法的基本理论
与线搜索技术相比不同的是：线搜索技术是先产生位移方向（亦称为搜索方向），然后确定位移的长度（亦称为搜索步长）。

而信赖域技术则是直接确定位移，产生新的迭代点。

信赖域方法的基本思想是：首先给定一个所谓的“信赖域半径”作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此“上界”为半径确定一个称之为“信赖域”的闭球区域。

然后，通过求解这个区域内的“信赖域子问题”（目标函数的二次近似模型）的最优点来确定“候选位移”。

若候选位移能使目标函数值有充分的下降量，则接受该候选位移作为新的位移，并保持或扩大信赖域半径，继续新的迭代。

否则，说明二次模型与目标函数的近似度不够理想，需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。

如此重复下去，直到满足迭代终止条件。

2、信赖域方法解决无约束线性规划的基本算法结构
设■是第■次迭代点，记是Hesse阵■的第■次近似，则第■次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：
其中■是信赖域半径，■是任一种向量范数，通常取2-范数或∞-范数。

定义■为■在第■步的实际下降量：
定义■对应的预测下降量：
定义他们的比值为：。

一般的，我们有■。

因此，若■，则■，■不能作为下一个迭代点，需要缩小信赖半径重新求解问题。

若■比较接近于1，说明二次模型与目标函数在信赖与范围内有很好的相似，此时■可以作为新的迭代点，同时
下一次迭代时可以增大信赖半径，对于其他情况，信赖半径可以保持不变。

3、编程进行算法实现
例：用信赖域法求解，该问题的精确解为。

解：
（1）编译■
输入■
（2）编译■
输入■
（3）编译
输入
（4）运行主程序
输入■
■
（4）显示结果：
新算法不仅不需重解子问题，而且在每步迭代都满足拟牛顿方程同时保证目标函数的近似Hasse阵Bk的正定性。

在适当的条件下，证明了此算法的全局收敛性，数值结果表明该算法是具有全局有效性的。

参考文献：
[1]谢亚辉. 非线性规划的非单调信赖域算法.西安电子科技大学硕士论文集：2007（1）.
[2]简金宝. 非线性不等式约束最优化快速收敛的可行信赖域算法.计算数学：2002（8）.。