工程优化 信赖域方法
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
6.2无约束优化(信赖域)
LM trajectory
s N = −(G ( k ) ) −1 g ( k )
ˆC x (k ) + s
x ( k ) ( s = 0)
第 6 章 无约束优化：信赖域法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
近似求解信赖域子问题: 共轭梯度法
= min q (s) :
s ≤∆ 1 2
无约束优化：信赖域法
Trust Region Methods for Unconstrained Optimization
第 6 章 无约束优化：信赖域法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
信赖域法的动机
Taylor展式： 信赖域(trust region)：使得Taylor展式(模型)有效的区域 其中 是信赖域半径. 信赖域子问题： 设信赖域子问题的解为 s(k)，根据 f(k)- f (x(k) + s(k)) 和 的吻合程度调整半径 真实下降量： 预计下降量： 定义
第 6 章 无约束优化：信赖域法
来度量
逼近
数学规划基础
的程度
LHY-SMSS-BUAA
一个原型算法
解的刻画/精确算法 Cauchy点/近似算法 收敛性(了解即可)
第 6 章 无约束优化：信赖域法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
一个信赖域原型算法
模型函数是二阶Taylor展式 精确求解子问题 特定的信赖域半径更新方式
s ≤∆ k
1 2
s T B ( k ) s + g ( k )T s + f ( k )
第 6 章 无约束优化：信赖域法
数学规划基础
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
第五章Chapter5-信赖域方法
Lingfeng NIU, FEDS
Chapter V
11/63
Outline of the Trust-Region Approach
Define the ratio ρk =
Lingfeng NIU, FEDS
Chapter V
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Outline of the Trust-Region Approach
To obtain each step, we seek a solution of the subproblem 1 T minn mk (p) = fk + gk p + p T Bk p, p∈ 2 where ∆k > 0 is the trust-region radius. s.t. p ≤ ∆k , (3)
Lingfeng NIU, FEDS
Chapter V
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Outline of the Trust-Region Approach
The size of the trust region is critical to the effectiveness of each step. If the region is too small, the algorithm misses an opportunity to take a substantial step that will move it much closer to the minimizer of the objective function. If too large, the minimizer of the model may be far from the minimizer of the objective function in the region, so we may have to reduce the size of the region and try again.
第8讲信赖域方法
对于二次模型函数 ，定义其柯西点: 对于二次模型函数(2)，定义其柯西点 二次模型函数
s c = −τ k k ∆k gk , gk
其中, 其中
T 1, if g k Bk g k ≤ 0; gk 3 τk = min ∆ g T B g ,1 , or. k k k k
7
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step1. 给 出 初 始 点 x0 ， 信 赖 域 半 径 的 上 界 ∆ , ∆ 0 ∈ ( 0, ∆ ) , 0 ≤ ε ,
0 < η1 ≤ η 2 < 1, 0 < γ 1 ≤ 1 < γ 2 , k := 0 .
Step2. 如果 g k ≤ ε ,停止 停止. 停止 Step3. (近似 求解子问题 得到 sk . 近似)求解子问题 近似 求解子问题(2),得到 Step4. 计算 f ( xk + sk ) 和 rk .令 令
xk + sk , if rk ≥ η1 . xk +1 = or. xk ,
Step5.校正信赖域半径 令 校正信赖域半径.令 校正信赖域半径
∆ k +1 ∈ ∆ k , min {γ 2 ∆ k , ∆}
∆ k +1 ∈ ( 0, γ 1∆ k ] ∆ k +1 ∈ [γ 1∆ k , ∆ k ]
if rk < η1; if rk ∈ [η1 ,η2 ) ;
if rk ≥ η 2 .
8
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step6. 产生 Bk +1 ，校正 q( k ) ，令 k := k + 1, 转 Step 2. 很成功迭代: 很成功迭代 成功迭代: 成功迭代 不成功迭代: 不成功迭代 算法参数选择建议: 算法参数选择建议
信赖域方法
由于最优曲线的确定需要计算矩阵 的所有 特征值和特征向量，相当费时．
折线法在于用低维空间内满足一定要求的 折线，记为 代替最优曲线．通过求解：
信赖域半径的选择
根据模型函数 对目标函数 来调整信赖域半径
的拟合程度
对于问题(1)的解 定义比值：
它衡量模型函数 程度．
与目标函数 的一致性
注：(1) 越接近于１，表明模型函数与目标
函数的一致性程度越好，可以增大 以扩大 信赖域．
(2)
不接近于１，可以保持 不变．
(3) 接近于零或取负值，表明模型函数与目标
例1：设
在当前点
试用双折线法求
解：
由于
计算 有：
由于
使得 得 所以
故取双折线步长为：
解二次方程 因此
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
以上方法只能保证算法的局部收敛性，为了建
立总体收敛性算法，我们采用了线搜索技术．虽然
这种策略是成功的，但它有一个缺点，即没有进一
步利用二次模型．
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
信赖域子问题折线法基本思想如果令信赖域的半径在区间内连续变化则问题1的解在空间中形成一条光滑的连续曲线记为此时问题1等价于在信赖域内在最优曲线上确定一点使二次函数取极小即
信赖域方法
信赖域方法是求解最优化问题的另一类有效 方法．其最初的设计思想可追溯至Levenberg Marq和uart对Gauss－Newton法的修 正．线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化 成一系列简单的一维寻优问题．信赖域方法是把 最优化问题转化为一系列相对简单的局部寻优 问题．
最优化方法信赖域方法
最优化方法信赖域方法Trusted Domain Method of Optimization Methods一、概述信赖域（Trusted Domain）法是一种针对多目标最优化问题的优化方法，属于启发式优化技术，又被称为受信域法（Credible Domain）法或者受信域增强法（Credible Domain Enhancement）。
它由A.K.Chentsov在1980年提出，目前已经在工业优化、控制优化、混合模糊优化等领域有广泛的应用。
信赖域法使多目标最优化问题中的搜索变得更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
二、原理信赖域方法优化的原理是：在解空间中划分子空间，在每个子空间中进行最优优化，同时进行领域大小的优化，以找到最优解。
（1）划分的子空间划分的子空间由一组不可分割的解空间，即称为“信赖域（Trusted Domain）”确定，有一种收敛性的在同一信赖域上的解空间集合，该信赖域中必须包含一个或多个最优解点。
（2）之分的子空间有效性在信赖域中，有一种收敛性的解空间，该解空间必须包含一个或多个最优解点，且此处解的收敛性可以满足要求。
由此可以看出，划分的子空间有效的充分利用解空间，能够使对最优解的搜索效率更高，更快地找到最优解。
（3）领域大小的优化在划分解空间时，信赖域方法重点考虑领域大小的优化，以缩小搜索空间大小，并引导搜索过程朝最优解的方向发展。
三、应用1.工业优化信赖域方法已经在工业优化领域得到应用，使多目标工业优化问题中的搜索更加有效和快捷，可以很好地处理多目标最优化问题中的非凸性和高维问题，使最优解更容易被获取。
2.控制优化由于信赖域方法能够有效地处理多目标非凸性和高维问题，因此已经在控制优化中得到应用，用于设计准确性好的控制系统。
3.混合模糊优化信赖域方法在混合模糊优化领域也有应用，可以用来解决特殊类型的模糊控制优化问题，来有效地提高优化中的效率和准确性。
信赖域方法实验报告
信赖域方法实验报告引言信赖域方法是一种用于数值优化问题的数值方法，其主要应用于非线性优化问题。
本实验旨在探究信赖域方法在解决优化问题中的适用性和效果，并通过实验结果分析其优缺点。
实验内容本实验使用Python编程语言实现了一个简单的信赖域方法算法，并使用一组标准测试问题来验证该算法的正确性和性能。
这些测试问题包括标准的最小化和最大化问题，涵盖了不同类型的非线性函数。
实验步骤1. 信赖域方法概述首先，我们先对信赖域方法进行了概述。
信赖域方法是一种迭代算法，其基本思想是在每一步迭代中，通过在局部区域内逼近目标函数的二次模型来求解更新方向，并在每次迭代中更新信赖域半径以控制步长。
2. 算法实现接下来，我们实现了信赖域方法的算法。
该算法的输入包括目标函数、初始点、信赖域半径等参数，输出为最优解。
具体实现过程中，我们使用了Python中的数值计算库来进行优化计算。
算法的核心步骤包括计算目标函数的一阶导数和二阶导数，以及利用这些导数计算二次模型的系数。
3. 标准测试问题的求解我们选择了一组标准测试问题来验证算法的正确性和性能。
这些测试问题包括无约束的最小化和最大化问题，以及带有约束的优化问题。
通过将这些问题输入我们实现的信赖域方法算法，我们得到了最优解，并计算了相应的函数值。
4. 实验结果分析最后，我们对实验结果进行了分析。
从结果可以看出，在大多数情况下，我们的信赖域方法算法能够得到最优解，且在较短的时间内收敛。
然而，对于某些问题，算法可能会陷入局部最优解，无法达到全局最优解。
此外，算法的收敛速度也可能受到信赖域半径的选择影响。
结论本实验通过实现信赖域方法算法，并使用一组标准测试问题进行了验证和分析。
实验结果表明，信赖域方法是一种有效的数值优化方法，能够在较短的时间内得到最优解。
然而，算法的表现仍受到问题的特性和信赖域半径的选择的影响。
因此，在实际应用中，需要根据问题的特点和要求合理选择信赖域半径以获得更好的优化结果。
信赖域方法行业相关
2Mrk .
前面已经证明了lim k
rk
0，因此lim k
k
1.
另一方面，根据算法定义，当k
d12
d
2 2
s.t.d12
d
2 2
1
技术教学
15
5.例题讲解
得到子问题的K
T点，也是最优解d（1）
dd（ （1211） ）
0 1
函数值f（x（1） d（1）） 2，（1 d（1）） 2
实际下降量与预测下降量之比
1
f（x（1））- f（x（1） d（1））
f（x（1））-（1 d（1））
55-
2 2
3.信赖域算法
特点： 不要求目标函数的Hesse矩阵正定，在非正定的情况下也
能处理。 既有牛顿法的快速局部收敛性，也有理想的全局收敛性。 算法利用二次模型来修正步长，使得目标函数的下降比线
搜索方法更有效。 由于位移长度受到Taylor展开式有效的信赖域的限制，此
方法又称为有限步长法
技术教学
如果函数值实际下降量与预测下降量之比，即
k
f（x (k )）- f (x（k） d（k）)
f（x（k））- （k d（k））
太小，就认为逼近不成功，后继点仍取x（k），且信赖域半径rk1
1 2
rk；
若
比较大，则逼近成功，后
k
继点x（k
1）
x（k）
d（k），
且rk1 rk或rk1 2rk
技术教学
9
min：（k d）
f
(x(k)
)
f
(x(k)
)T
d
1 2
d T 2 f ( x（k)
)d
最优化方法信赖域方法例题
最优化方法信赖域方法例题信赖域方法是求解无约束优化问题的一种常用方法，其基本思想是在当前点附近构造一个局部模型，并利用这个模型来引导下一步搜索方向，以期望加速收敛。
以下是一个信赖域方法的例题：假设要求解如下无约束优化问题：minimize f(x) = 2x1^2 + x2^2 - 2x1x2 - 4x1其中x = (x1, x2)T为变量向量。
根据信赖域方法的思路，首先需要在当前点xk处构造一个局部二次模型来近似目标函数f(x)，即：m(k)(p)=f(xk)+g(k)Tp+0.5TpTB(k)T p其中p表示搜索方向，g(k)和B(k)分别表示目标函数在xk处的梯度和Hessian矩阵。
然后，需要找到信赖域半径δk，使得在搜索方向p的范数不超过δk的条件下，局部模型能够较好地近似目标函数。
具体来说，需要最小化如下子问题：minimize m(k)(p)subject to ||p||<=δk对于上述例题，可以通过以下步骤来求解：1. 初始点为x0 = (0, 0)T，初始信赖域半径为δ0 = 1。
2. 计算目标函数在x0处的梯度和Hessian矩阵：g(0) = (-4, 0)TB(0) = [[4, -2], [-2, 2]]3. 解信赖域子问题，得到搜索方向pk和对应的模型改进量mk： pk = argmin m(k)(p)subject to ||p||<=δkpk = (0.5, -0.5)Tmk = -0.254. 计算实际改进量rk和相应的系数ηk：rk = f(xk) - f(xk+pk)γk = rk/mkif γk < 0.25:δk+1 = 0.5δkelse if γk > 0.75:δk+1 = 2δkelse:δk+1 = δk5. 根据信赖域半径更新规则，计算下一次迭代的点xk+1和信赖域半径δk+1：if γk > 0:xk+1 = xk + pkelse:xk+1 = xkδk+1 = δk6. 重复步骤2-5，直到收敛。
非线性最优化的SQP方法和信赖域方法的开题报告
非线性最优化的SQP方法和信赖域方法的开题报告一、题目：非线性最优化的SQP方法和信赖域方法二、研究背景和意义：在工程、经济、金融等领域中，求解非线性最优化问题是一个十分重要的问题。
非线性最优化问题通常是指：目标函数是非线性函数，约束条件可能是非线性的等式或者不等式。
因此，对于这种问题，传统的线性规划技术不再适用。
因此，需要寻找一种有效的算法来解决这个问题。
在非线性最优化问题中，SQP（Sequential Quandratic Programming）方法是一种经典的求解方法。
该方法可以通过求解一个一系列近似的二次规划问题来逼近目标函数的最优解。
近年来，SQP方法在工业、经济和金融领域得到了广泛的应用，并且在实际问题中表现出了优异的效果。
与此同时，信赖域方法也是目前求解非线性最优化问题的热门算法之一。
信赖域方法主要是使用一个可以保证收敛性的迭代算法来解决问题。
信赖域方法的主要优点是它不需要求二阶导数，因此对于无法求二阶导数的问题也有良好的适应性。
因此，研究非线性最优化的SQP方法和信赖域方法对于提高非线性最优化算法的效率和实用性具有非常重要的意义。
三、研究内容和方法：本文将首先介绍非线性最优化问题的概念和定义，然后介绍SQP方法和信赖域方法的原理和实现方式。
其后，会进行两种方法的比较和分析，探讨它们的优缺点，以及在不同的问题中的适用性。
最后，通过数值实验和实际应用案例来验证两种算法的可行性和有效性。
具体的研究方法如下：1.阅读相关文献和资料，对非线性最优化、SQP方法和信赖域方法进行深入理解，掌握两种算法的理论原理和实现方式。
2.对两种算法进行实现，并进行性能测试和优化。
3.通过数值实验和实际应用案例，验证两种算法的可行性和有效性，并进行比较和分析。
四、预期成果和意义：预计本文的研究成果包括：1.对非线性最优化问题、SQP方法和信赖域方法的理论和实践进行深入理解和探索。
2.实现并测试两种算法的性能，从而比较和分析两种算法的优缺点和适用性。
信赖域方法
信赖域方法信赖域方法，也称为可信赖域方法，是一种技术，可以检测网络应用程序中的安全漏洞，确保用户数据的安全可靠。
它通常用于识别网络系统存在的安全问题，以防止数据泄漏和防范未经授权的访问。
这种方法可以使网络更健全，使用户放心使用网络服务，从而增强用户的安全感。
首先要明确的是，信赖域方法是一种计算机安全概念，主要是为了改善网络安全。
它被主要应用于保护网络中的数据，保护网络的正确运行，和防止未授权的访问。
信赖域方法的核心是建立信赖区域，即一系列的软件程序所组成的计算机网络系统，为网络系统提供安全保证。
信赖区域在网络中形成一个安全的空间，让网络免遭故障和攻击，增强了网络的可靠性。
信赖域方法通常使用两类技术：域认证和域安全策略。
其中，域认证技术是通过验证网络用户的身份来建立信赖域。
它根据网络用户的特征，确定哪些人可以访问网络，防止不符合要求的人进入网络，从而提高网络安全性。
而域安全策略则主要用来规定网络中各种活动，如文件访问，数据传输和访问权限等，用来确保网络的安全性，防止恶意访问和攻击。
此外，信赖域方法还可用于网络的加密传输。
这种方法能够保证网络数据的安全性和隐私性，而不会受到黑客的攻击和窃取数据的侵害。
它涉及到应用加密协议的技术，以及数字证书等技术，确保通过网络传输的数据安全可靠。
除了上述技术，信赖域方法还可以应用于物联网技术，结合智能合约技术，为物联网设备提供安全支持。
物联网技术是指在物理世界中相互连接的智能系统，它可以实现数据采集、流通和处理。
信赖域方法可以提供强大的安全保障，以确保物联网设备的安全运行，以及数据传输的安全可靠。
总之，信赖域方法是实现网络安全的有效方法，它可以确保网络的可靠性，并使用户放心使用网络服务，从而增强用户的安全感。
它还可以为物联网技术提供安全支持，使物联网设备的安全运行得以实现。
因此，信赖域方法越来越受到重视，应用得越来越广泛。
信赖域算法.ppt
12
机械最优化设计课程
THU DAE
数值实验
2 2 2 min f ( x ) 100 ( x x ) ( 1 x ) 2 1 1
选（ 1 .2 , 1 ）为初始点，与其他方 法做对比：
方法
信赖域 共轭方向 变尺度
迭代次数
8 16 32
函数值误差 最优点误差
1.2*e^(-13) 9.4*e^(-9) 9.4*e^(-9) 7.8*e^(-7) 1.5*e^(-5) 1.5*e^(-5)
THU DAE
信赖域半径的选择
（1）r k 越接近于1，表明接近程度越好，这时可以增大 k 以扩大信赖域； （2）r k >0但是不接近于1，保持 k 不变； （3）如果 r k 接近于0，减小 k ，缩小信赖域。 或者其他 k 的选择方法（后面介绍）。
6
机械最优化设计课程
THU DAE
信赖域算法
Step1. 给出初始点 x 0 ，信赖域半径的上界 ， 0 （ 0 ， ）， 0 ， 0 1 , 0 1 , k 0 . 1 2 1 2 Step2. 计算 g k ，如果 gk ，停止；否则，计算B k 1 。 Step3. （近似）求解子问题（2），得到s k 。 Step4. 计算 f( ，令 x s 和 r k k) k
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机械最优化设计课程
THU DAE
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机械最优化设计课程
THU DAE
对步长接收准则的讨论
单调 非单调
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机械最优化设计课程
THU DAE
基本思想
在每次迭代中给出一个信赖域，这个信赖域一般是当 前迭代点 的一个小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问 题，得到试探步长（trial step） ，接着用某一评价函数来决 定是否接受该试探步长以及决定下一次迭代的信赖域。 如果试探步长被接受，则： x x s k 1 k k， 否则， xk1 xk 。 新的信赖域的大小取决于试探步长的好坏，粗略地说，如 果试探步长较好，在下一步信赖域扩大或保持不变，否则 下一步减小信赖域。
最优化方法——信赖域法
2012-2013（1）专业课程实践论文信赖域法董文峰，03，R数学08-1班伊广旭，03，R数学08-1班李超，04，R数学08-1班一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点.所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向), 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长)。
而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。
信赖域方法的基本思想是:首先给定一个所谓的“信赖域半径”作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此“上界”为半径确定一个称之为“信赖域”的闭球区域。
然后,通过求解这个区域内的“信赖域子问题”(目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定“候选位移”。
若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移,并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。
否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想,需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。
如此重复下去，直到满足迭代终止条件。
信赖域方法解决无约束线性规划f(x)Rx ∈min的基本算法结构。
设k x 是第k 次迭代点，记)f(x f k k =，)f(x g k k ∇=，k B 是Hesse 阵)f(x k 2∇的第k 次近似，则第k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：,21g (d)min T kd B d d q k Tk += k d t s ∆≤..其中k∆是信赖域半径，•是任一种向量范数，通常取2-范数或∞-范数。
定义kf ∆为f 在第k 步的实际下降量：),d f(x f Δf k k k k +=-定义k q ∆对应的预测下降量：()().-0k k k k d q q q =∆定义他们的比值为：kkk q f r ∆∆=一般的，我们有0>∆k q 。
因此，若0<k r ，则0<∆k f ，k k d x +不能作为下一个迭代点，需要缩小信赖半径重新求解问题。
最优化方法 信赖域算法
算法概述
二 三 四
信 赖 域 算 法
算法思想 算法流程 算法收敛性
五
子模型求解
一、方法概述
信赖域算法概述
线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简 单的一维寻优问题。方法的核心思想是先寻找“理想” 的下降方向，然后在确定的方向上确定长度。
信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局 部寻优问题。方法能够对局部的所有方向进行“搜索”， 进而同时确定“局部最好”的前进方向及长度。
k . sk ,
定义比值：
给定信赖域方法模型子问题的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数
qk s 与目标函数 f x 的一致性程度。
二、算法思想
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
三、算法流程
信赖域方法流程 步骤1: 给出
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
g k , 停止． 求解子问题得到 sk .
如果
T k
步骤2: 步骤3:
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
s.t
s k
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
四、算法流程
步骤5: 校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s )与目标函数 f ( x )
信赖域方法
信赖域方法信赖域方法在当前搜索点附近具有一个区域，其中关于局部极小化的二次模型被"信赖"为正确的，并且步骤被选择留在该区域内. 在搜索的过程中，区域大小根据模型和实际函数计算的符合程度被修改.非常典型地，信赖域采取的是一个满足的椭圆. 是一个对角缩放（通常采用近似Hessian 的对角），而是信赖域半径，它在每个步骤被更新.当基于二次模型的步骤本身位于信赖域之内的时候，那么就认为函数值在变小，因而采用这一步骤. 因此，正如线搜索方法中一样，步控制不会干涉算法在二次模型表现良好的极小值附近的收敛效果. 当基于二次模型的步骤位于信赖域之外时，则采用一个只到边界位置的步骤，以使得该步骤成为二次模型在信赖域边界处的近似极小化步骤.一旦一个步骤被选择，该函数就在新的点被计算，而实际函数值与通过二次模型预测所得到的值互相对照. 真正计算的是实际与预测减少量的比率.如果接近1，那么该二次模型是一个相当不错的预测器，该区域的大小可以扩大. 另一方面，如果太小，则该区域的大小就要被降低. 当低于某一阈值时，该步骤被拒绝并重新计算.您可以使用方法选项"AcceptableStepRatio"->控制这一阈值. 通常情况下，是相当小的，以避免走向极小值的步骤也被拒绝. 然而，如果在一个点获取二次模型相当昂贵（例如，计算Hessian 需要花费相对较长的时间），一个较大值的将降低Hessian 计算的次数，但是它可能增加函数计算的次数.要开始信赖域算法，需要确定一个初始半径. 默认情况下，Mathematica使用基于受比较宽松的相对步长限制的模型(1) 的步骤的大小. 然而，在某些情况下，这可能使您离开您原来感兴趣的区域，所以您可以使用选项指定一个初始半径. 该选项在它的名字中包含Scaled，因为信赖域半径使用了对角缩放，所以这不是一个绝对的步长.这里加载一个包含一些功用函数的程序包.In[1]:=这里显示在搜索一个与Rosenbrock函数类似的函数的局部极小值的过程中，所采用的步骤和计算，用的是了利用信赖域步控制的牛顿法.In[2]:=Out[2]=该图示看起来很糟糕，因为搜索在如此大的区域上延伸，以致函数的精细结构不能在这样的尺度上真正看到.这里显示了对同样函数的步骤和计算，但这里有一个限制了的初始信赖域半径. 这里，搜索更接近初始条件，并且沿着狭谷进行.In[3]:=Out[3]=我们还可以使用选项对信赖域半径设置一个整体上限，使得对任何步，.由于在函数计算中数值舍入的问题，信赖域方法也可能在不够光滑的函数上遇到困难. 当函数不足够平滑的时候，信赖域的半径将持续减少. 最终，它将达到一个实际上值为零的点.这里从Optimization`UnconstrainedProblems`程序包中以一种可以被FindMinimum求解的形式获得Freudenstein-Roth测试问题. （参见"测试问题".）In[4]:=Out[4]=这里使用默认方法对函数寻找一个局部极小值. 在这种情况下的默认方法是（信赖域）Levenberg-Marquardt 方法，因为函数是一个平方和的形式.In[5]:=Out[5]=出现的提示信息表明，相对于搜索点的大小，信赖域的大小实际上已经变为零，所以所采取的步骤将效果甚微. 注：在某些平台上，由于机器运算的微小差异，该信息可能不会显示. 这是因为产生该信息的原因与数值的不确定性有关，这在不同的平台上可能产生不同的变化.这里在最后找到的点沿着方向画出变差函数图.In[6]:=Out[6]=沿着一个方向的图使我们相当清楚为什么进一步的改进是不可能的. 在这种情况下Levenberg-Marquardt 方法陷入困境的部分原因是收敛相对缓慢，因为残差在极小值处非零. 使用牛顿方法，收敛速度更快，完整的二次模型可以更好地估计步长，因此FindMinimum可以对默认容差得到满足更有信心.In[52]:=Out[52]=下表总结了对于信赖域步骤控制的选项.选项名默认值"AcceptableStepRatio" 1/10000 阈值，使得当实际与预测减少量的比率时，搜索移动到已计算的步骤"MaxScaledStepSize" ∞值，使得对于所有步骤，信赖域大小"StartingScaledStepSize" Automatic 初始信赖域大小的方法选项.。
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法信赖域策略优化算法是一种用于求解非线性优化问题的方法，它在求解复杂的目标函数时表现出色。
本文将介绍信赖域策略优化算法的原理、应用场景以及一些常见的改进方法。
1. 原理信赖域策略优化算法是一种迭代方法，通过在每次迭代中更新当前的解向量来逐步逼近最优解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤1：选择初始点首先需要选择一个初始点作为起始解。
这个初始点可以根据问题的特性或者启发式方法来选取。
步骤2：计算搜索方向在每次迭代中，需要计算一个搜索方向，该方向指示了在当前位置附近寻找更好解的方向。
常见的搜索方向有梯度下降法和牛顿法等。
步骤3：确定步长确定一个合适的步长，即沿着搜索方向移动的距离。
步长可以通过线搜索等方法来确定。
步骤4：更新解向量根据步长和搜索方向，更新当前解向量。
这一步通常使用线性搜索或者二次插值等方法来找到使目标函数最小化的解。
步骤5：判断终止条件判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，否则返回步骤2。
2. 应用场景信赖域策略优化算法在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：优化问题信赖域策略优化算法可以用于求解各种类型的优化问题，例如非线性规划、参数拟合和机器学习中的模型训练等。
无约束问题对于没有约束条件的优化问题，信赖域策略优化算法可以有效地找到全局最优解。
凸优化问题对于凸优化问题，信赖域策略优化算法也能够找到全局最优解。
凸优化问题在机器学习和图像处理等领域中具有重要意义。
3. 改进方法虽然信赖域策略优化算法已经被广泛应用并取得了不错的效果，但仍然存在一些改进的空间。
以下是一些常见的改进方法：多项式插值方法多项式插值方法可以提高信赖域策略优化算法的性能。
通过使用更高阶的插值多项式，可以更准确地估计目标函数在搜索方向上的变化。
二次模型方法二次模型方法是信赖域策略优化算法的一种改进方法。
它使用一个二次模型来近似目标函数，从而更准确地确定步长和搜索方向。
改进的终止条件选择合适的终止条件也可以提高算法的性能。
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法
信赖域策略优化算法（Trust Region Policy Optimization，TRPO）是一种用于优化策略的算法，广泛应用于深度强化学习中。
TRPO算法的目标是最大化策略在长期奖励上的期望值。
与传统的策略梯度方法不同，TRPO算法通过引入一个信赖域来限制优化的步长，以保证策略改进的稳定性，防止策略更新过大导致性能恶化。
TRPO算法的核心思想是，在每次迭代中，优化一个近似的目标函数。
具体来说，算法通过线性化策略在当前策略参数点附近并计算策略的优势函数，得到一个最优的步长，使得策略在信赖域内取得显著的改进。
然后，新的策略参数通过此最优步长进行更新，并通过线搜索来找到使目标函数达到最大化的步长大小。
TRPO算法的优点是可以保证每次策略更新都会带来性能的提升，并且相对于其他策略优化算法，比如策略梯度方法，更具稳定性。
然而，TRPO算法的计算复杂度较高，对于大规模问题存在一定的挑战。
近年来，TRPO算法的改进版本也相继提出，如Proximal Policy Optimization（PPO）。
这些改进算法对TRPO进行了一些改动，以提高计算效率和收敛性能。
总的来说，TRPO算法是一种信赖域策略优化算法，通过限制策略更新的步长来确保性能的改进稳定性。
该算法在深度强化学习中有着广泛的应用。
信赖域方法实验报告
信赖域方法实验报告信赖域方法是一种常用的非线性优化算法，主要用于解决无约束优化问题。
在信赖域方法中，通过构建一个信赖域模型来逼近原始优化问题，然后在信赖域内进行求解，以实现优化目标。
实验中，我们通过使用信赖域方法来求解一个无约束的优化问题，比较其与其他优化算法的效果。
我们选择了多个经典的优化问题进行实验，包括Rosenbrock 函数、Ackley函数和Rastrigin函数。
首先，我们对Rosenbrock函数进行了实验。
Rosenbrock函数是一个经典的非凸函数，其具有一个全局最小值点，位于(1,1)处。
通过信赖域方法，我们成功地找到了该最小值点，并且得到了非常精确的结果。
与其他优化算法相比，信赖域方法在收敛速度和精度上表现出色。
接下来，我们对Ackley函数进行了实验。
Ackley函数是一个具有多个局部极小值点和一个全局最小值点的函数。
通过信赖域方法，我们成功地找到了该全局最小值点，并且收敛速度较快。
与其他优化算法相比，信赖域方法在避免陷入局部最小值点方面具有一定的优势。
最后，我们对Rastrigin函数进行了实验。
Rastrigin函数是一个具有多个局部极小值点和一个全局最小值点的函数。
通过信赖域方法，我们成功地找到了该全局最小值点，并且得到了较好的结果。
与其他优化算法相比，信赖域方法在处理具有多个局部极小值点的优化问题时具有一定的优势。
综上所述，信赖域方法是一种强大的优化算法，可以有效地解决无约束优化问题。
它在收敛速度和精度上表现出色，并且在处理具有多个局部极小值点的问题时具有一定的优势。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的优化算法，包括信赖域方法。
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min qk s s.t s op , s k
由于最优曲线的确定需要计算矩阵 和特征向量， 相当费时。
k
Bk
的所有特征值
折线法：用低维空间内满足一定要求的折线，记为
k ,
代替最优曲线。通过求解：
min qk s s.t s , s k
T k
1
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
步骤5:
校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
步骤6:
k 1 k , min 2 k , rk 2 产生 Bk 1 , 校正 qk (s), 令 k k 1, 转 步骤2
折线法基本思想
1 T min qk s f k g k s sT Gk s 2
1
s.t
s k
如果令信赖域的半径 k 在区间
0, 内连பைடு நூலகம்变化，
则问题(1)的解 sk 在空间 R n 中形成一条光滑的连续曲线， k 记为 op . 此时， 问题(1)等价于在信赖域内并且在最优曲线 k op 上确定一点使二次函数 qk s 取极小，即
称为双折线.(信赖域迭代中产生的点偏向牛顿方向,会改善 算法的性态).
在双折线情形下：
k xk g g k k ˆ c N c xk 1 xk sk sk sk 1 xk Gk g k
s k
c k
c k
s k , s k
c k
ˆ N k
s k , s k
ˆ N k
其中 一般取
s s , ,1,
ˆ N k N k
g G g g G g
T k k k T k 1 k k
gk
4
.
0.8 0.2 .
f x x x x 1 k 试用双折线法求 xk 1 . , 2 14 解： x 1, 1T , g 6, 2 T , G k k k T 3 N 1 sk Gk g k ,1 7
让信赖域迭代中产生的点偏向牛顿方向，
ˆ 于是把Cauchy点和牛顿方向上的 N
ˆ xN xk C.P. N k 1
点连接起来，
并将这条连线与信赖域边界的交点取为
xk 1.
称为双折线．
ˆ 折线 xk C.P. xkN1 称为单折线, xk C.P. N xkN1
综上：
k xk gk skc k gk c N c c N xk 1 xk sk sk sk sk k , sk k xk Gk1 g k skc k , skN k
双折线法 (1979)
信赖域方法的模型子问题
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
T k
1
s.t
其中
s k
是Hesse阵 2 f x 的近似 k
s x xk , g k f xk , Gk k 0 为信赖域半径．
注：
(1) 这种方法既具有牛顿法的快速局部收敛性，又具有 理想的全局收敛性。 (2) 不要求目标函数的Hesse阵是正定的。 (3) 利用了二次模型来求修正步长，使得目标函数的下降比 线性搜索方法更有效。
(P1) 点
x 到 xk
(P2) 函数值
qk s
性质(P1)确保对任意给定的 k , 折线上的近似解惟一。 性质(P2)确保在折线上所确定的近似解 定理的条件。
sk
能满足收敛性
折线法算法原理(1970)
Cauchy点：由最速下降法产生的极小点，记为C.P. Newton点： 由牛顿法产生的极小点，记为
k 1 1 k , k
rk 1 rk [1 , 2 )
注： 参数建议取：
1 0.01,2 0.75 , 1 0.5, 2 2, 0 1
1 T qk s f k g s s Bk s 2
T k
信赖域子问题
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s)与目标函数 f ( x)的 rk 0 不接近于１， 可以保持 k 不变。
与目标函数 f ( x ) 的 rk 接近于零或取负值，表明 qk ( s)
一致性程度越好， 可以增大 k 以扩大信赖域。 (2) (3)
一致性程度不好， 可以减小
k 以缩小信赖域．
k 1 k k
Newton点为
x
N k 1
xk s xk Gk g k .
N k
1
g gk s T gk , g k Gk g kT gk gk c Caushy点为： xk 1 xk gk . T g k Gk g k
c Cauchy步为：k
T k
N Newton步为： k
0.867s
0,1
c k
2
2 k
ˆ N k
0.340 s 0.669
c k
[s,val,posdef,count,lambda] = TRUST(g(x),B,d) ;
(4) 由于步长受到使Taylor展开式有效的信赖域的限制，
故方法又称为有限步长法。
1 T min qk s f k g s s Gk s 2 s.t s k
T k
信赖域半径的选择
根据模型函数 qk s 与目标函数 f x 的拟合程度来调整
信赖域半径
k . sk ,
x
N k 1
连接Cauchy点(由最速下降法产生的极小点C.P.)和牛顿点(即 由牛顿法产生的极小点
取为 显然, 折线
xkN1）,
其连线与信赖域的边界的交点
xk 1.
xk 1 xk k .
xk C.P. xkN1
称为单折线．
折线法算法原理(1970)
连接Cauchy点(由最速下降法产生的极小点C.P.)和牛顿点(即
g Gk g k
.
T k
T gk gk xkc1 xk skc xk T gk . g k Gk g k
1 T qk s f k g s s Bk s 2
T k
Newton点：
d k Gk1 g k , k 1,
Newton步为：s
N k
k d G g ,
=qk xk g k f xk g k
令 '
2
1 2 T g k Gk g k 2
=0,
k
得 k
k
gk
T k
2
Cauchy步为：s c Caushy点为：
g gk k d k g k T gk . g k Gk g k
k , 计算 s , 有：
ˆ N k
40 2 T 0.684 T 1 g k Gk g k g k Gk g k 32 512 7 0.8 0.2 0.747 0.320 ˆ N N sk sk 0.747 ˆ N 由于 s 0.813 k , 故取双折线步长为： k
信赖域算法
步骤1:
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
给出
步骤2: 步骤3:
g k , 停止． 求解子问题(1)得到 sk .
如果
1 T min qk s f k g s s Gk s 2 s.t s k
在每次迭代中给出一个信赖域， 这个信赖域一般是当前迭代点
xk 的一个小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问题，得到 sk ，接
着用某一评价函数来决定是否接受该 sk 以及确定下一次迭代的信 赖域。
如果试探步长被接受，则：
xk 1 xk sk ，
否则，
xk 1 xk .
新的信赖域的大小取决于试探步的好坏，粗略地说，如果试探步 较好，下一步信赖域扩大或保持不变，否则减小信赖域。
定义比值：
给定问题(1)的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数 qk
s 与目标函数 f x
的一致性程度。
注： (1)
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
信赖域方法
信赖域方法是求解最优化问题的另一类有效方法。 其最初的设计思想可追溯至Levenberg和Marquart对 GaussNewton法的修正。 线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简单 的一维寻优问题。 信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局部 寻优问题。
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点
xkN1 由牛顿法产生的极小点
取为 显然,
）, 其连线与信赖域的边界的交点
xk 1.
xk 1 xk k .
xk 1 =？
Caushy点和 Newton点的表达 式？
Caushy点：
k
1 T qk s f k g s s Bk s 2
T k
d =-g k , 精确一维搜索求最佳步长 =qk (xk + d k )