信赖域方法
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
09-2信赖域法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------09-2信赖域法一、算法理论信赖域方法与线搜索技术一样, 也是优化算法中的一种保证全局收敛的重要技术. 它们的功能都是在优化算法中求出每次迭代的位移, 从而确定新的迭代点. 所不同的是: 线搜索技术是先产生位移方向(亦称为搜索方向) , 然后确定位移的长度(亦称为搜索步长) 。
而信赖域技术则是直接确定位移, 产生新的迭代点。
信赖域方法的基本思想是: 首先给定一个所谓的信赖域半径作为位移长度的上界，并以当前迭代点为中心以此上界为半径确定一个称之为信赖域的闭球区域。
然后, 通过求解这个区域内的信赖域子问题 (目标函数的二次近似模型) 的最优点来确定候选位移。
若候选位移能使目标函数值有充分的下降量, 则接受该候选位移作为新的位移, 并保持或扩大信赖域半径, 继续新的迭代。
否则, 说明二次模型与目标函数的近似度不够理想, 需要缩小信赖域半径，再通过求解新的信赖域内的子问题得到新的候选位移。
如此重复下去，直到满足迭代终止条件。
信赖域方法解决无约束线性规划 minx Rf(x) 的基本算法结构。
设kx 是第 k 次迭代点，记kkff(x )=，kkgf(x )= ，k B 是1 / 10Hesse阵2kf(x )的第 k 次近似，则第 k 次迭代步的信赖域子问题具有如下形式：Tk1min(d)g2Tkkqdd B d=+，. .ks td ∆其中k∆是信赖域半径，是任一种向量范数，通常取 2 -范数或 -范数。
定义kf∆为 f 在第 k 步的实际下降量：-kkkkff f(xd )=+，定义kq∆对应的预测下降量：( )()0 -kkkkqqqd∆=. 定义他们的比值为：kkkfrq∆=∆一般的，我们有0kq∆。
【课件】运筹学与最优化方法(华南理工)第3章(07-4)
的最优解S(k)和最优值
(k +1) (k ) (k )
q(S(k) )
(k + 1) (k )
) f (X = X + S 若 f (X (3)令 X 取 X * = X (k+1) ,停止,否则转(4) (4)计算 f = f (X (k) ) f (X (k+1) ), q = f (X (k) ) q(S(k) ) 1/ 2k ..若 f < 0.1q 令
第三章
无约束非线性规划
3.4 信赖域法, Matlab解无约束非线性规划
一.信赖域法: 1.思想: 1) 前两节方法的结构原理为用二次模型产生下降方 向,在下降方向上确定可接受的步长,得到新迭代点. 若二次模型不近似原目标函数,则在搜索方向上无 法找到满意的下降迭代点. 能否先指定步长的界,再用二次模型确定方向和步 长? *注:保证在下近似,可使f(x)与 二次模
y(1) = x +α(x xmax )
2 扩展:给定扩展系数 >1,计算.(加速) 扩展:给定扩展系数γ 计算.(加速) 计算.(加速
y(2) = x +γ ( y(1) x)
3.5 直接算法
一, 2,改进单纯形法: (续) ,改进单纯形法: (1)若f(y(1))<f(x min), 则 若 那么y 取代x 否则, 取代x 若f(y(1))> f(y(2)), 那么 (2)取代 max; 否则, y(1)取代 max (2)若max{f(x(i))| x(i) ≠x max } ≥ f(y(1)) ≥ f(x min), y(1)取代 max . 取代x 若 3° 收缩:若f(x max )> f(y(1)) > f(x(i)), x(i) ≠x max ,计算 ° 收缩: 计算
信赖域算法matlab程序求解问题
信赖域算法matlab程序求解问题信赖域算法（Trust Region Algorithm）是一种用于求解无约束优化问题的数值优化算法。
它通过在当前解的局部区域内构建一个信赖域来逼近目标函数的局部性质，然后在该信赖域内求解近似问题，以寻找更优的解。
在MATLAB中，可以使用fminunc函数来实现信赖域算法。
该函数可以求解多元无约束优化问题的最小值。
其调用形式如下：```[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options) ```其中，`fun`是目标函数的句柄，`x0`是初始解向量，`options`是优化选项的结构体。
返回值`x`是最优解向量，`fval`是最优解的目标函数值，`exitflag`是退出标志，`output`是优化过程的输出信息。
在使用fminunc函数时，需要定义一个目标函数。
目标函数是一个输入为解向量x，输出为目标函数值的函数。
例如，假设要求解的优化问题的目标函数为：```function f = objective(x)f = x(1)^2 + x(2)^2;end```然后，可以使用fminunc函数来求解最小值：```x0 = [0, 0]; % 初始解向量options = optimset('GradObj', 'on'); % 启用目标函数的梯度计算[x, fval, exitflag, output] = fminunc(@objective, x0, options);```在上述代码中，`optimset`函数用于设置优化选项，`'GradObj', 'on'`表示启用目标函数的梯度计算。
如果目标函数没有提供梯度计算，可以将该选项置为`'off'`。
信赖域算法在求解优化问题时，会自动进行迭代，不断更新解向量，直到满足收敛条件。
信赖域算法 参数解释
信赖域算法参数解释信赖域算法（Trust Region Method）是一种非线性优化算法，用于求解无约束非线性优化问题。
该算法通过构建一个信赖域模型来逐步逼近最优解。
下面我将对信赖域算法的参数进行逐一解释。
1. 信赖域半径（Trust Region Radius）: 信赖域半径是信赖域算法的一个关键参数，用来控制当前信赖域模型的有效范围。
信赖域算法通过在该信赖域内进行迭代计算来逐步逼近最优解。
信赖域半径通常用一个正数来表示，代表了当前信赖域的半径大小。
2. 模型准则函数（Model Objective Function）: 模型准则函数是信赖域算法中的一个重要参数，用于评价信赖域模型与原始优化问题之间的拟合程度。
常见的模型准则函数包括二次模型、三次模型等，其中二次模型是最常用的。
模型准则函数的选择会直接影响算法的收敛性和准确性。
3. 模型的预测质量（Model Prediction Quality）: 模型的预测质量是衡量当前信赖域模型在给定信赖域半径内的拟合程度和预测能力。
通常采用实际函数值和模型函数值之间的差异来评估。
4. 信赖域约束比率（Trust Region Constraint Ratio）: 信赖域约束比率是一个用于控制信赖域半径变化的参数。
当信赖域内的拟合程度较好时，可适当增大信赖域半径；当拟合程度较差时，应缩小信赖域半径。
信赖域约束比率通常取值在(0,1)之间。
5. 信赖域更新策略（Trust Region Update Strategy）: 信赖域更新策略用于根据不同的计算情况来更新信赖域半径。
常见的信赖域更新策略包括成功步长比例、信赖域半径调整因子等。
更新策略的选择会影响到算法的收敛性和稳定性。
6. 模型剪裁准则（Model Truncation Criterion）: 模型剪裁准则用于判断当前信赖域模型是否拟合程度足够好，是否需要继续进行迭代计算。
常见的剪裁准则有曲率条件和信赖域约束条件等。
界约束非线性方程组的信赖域法
信赖域法是一种迭代方法，用于求解非线性方程组。
它是以特定初值作为起点，沿着一个信赖域（trust-region）内的迭代，最终达到收敛的解或最小值的近似值的方法。
信赖域法的基本思想是，每次迭代都会得到一个新的解，然后检查该解是否与上一次迭代的解在某个信赖域内，如果超出信赖域，则修正步长；如果在信赖域内，则更新解，并改变信赖域的大小，使得信赖域大小逐渐增加，以达到收敛的效果。
信赖域法可以用于求解非线性方程组。
它可以确保每次迭代都能得到更优的解，并且可以在可控范围内调整步长，从而控制收敛的速率。
同时，它也可以确保迭代解处于可靠的区域，从而避免计算结果出现大的误差。
因此，信赖域法可以很好地应用于求解具有边界约束的非线性方程组。
它可以有效地控制迭代的步长，确保方程组的解处于可靠的范围，从而保证迭代的准确性。
第8讲信赖域方法
对于二次模型函数 ，定义其柯西点: 对于二次模型函数(2)，定义其柯西点 二次模型函数
s c = −τ k k ∆k gk , gk
其中, 其中
T 1, if g k Bk g k ≤ 0; gk 3 τk = min ∆ g T B g ,1 , or. k k k k
7
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step1. 给 出 初 始 点 x0 ， 信 赖 域 半 径 的 上 界 ∆ , ∆ 0 ∈ ( 0, ∆ ) , 0 ≤ ε ,
0 < η1 ≤ η 2 < 1, 0 < γ 1 ≤ 1 < γ 2 , k := 0 .
Step2. 如果 g k ≤ ε ,停止 停止. 停止 Step3. (近似 求解子问题 得到 sk . 近似)求解子问题 近似 求解子问题(2),得到 Step4. 计算 f ( xk + sk ) 和 rk .令 令
xk + sk , if rk ≥ η1 . xk +1 = or. xk ,
Step5.校正信赖域半径 令 校正信赖域半径.令 校正信赖域半径
∆ k +1 ∈ ∆ k , min {γ 2 ∆ k , ∆}
∆ k +1 ∈ ( 0, γ 1∆ k ] ∆ k +1 ∈ [γ 1∆ k , ∆ k ]
if rk < η1; if rk ∈ [η1 ,η2 ) ;
if rk ≥ η 2 .
8
5．信赖域算法 ．信赖域算法 Step6. 产生 Bk +1 ，校正 q( k ) ，令 k := k + 1, 转 Step 2. 很成功迭代: 很成功迭代 成功迭代: 成功迭代 不成功迭代: 不成功迭代 算法参数选择建议: 算法参数选择建议
信赖域方法
由于最优曲线的确定需要计算矩阵 的所有 特征值和特征向量，相当费时．
折线法在于用低维空间内满足一定要求的 折线，记为 代替最优曲线．通过求解：
信赖域半径的选择
根据模型函数 对目标函数 来调整信赖域半径
的拟合程度
对于问题(1)的解 定义比值：
它衡量模型函数 程度．
与目标函数 的一致性
注：(1) 越接近于１，表明模型函数与目标
函数的一致性程度越好，可以增大 以扩大 信赖域．
(2)
不接近于１，可以保持 不变．
(3) 接近于零或取负值，表明模型函数与目标
例1：设
在当前点
试用双折线法求
解：
由于
计算 有：
由于
使得 得 所以
故取双折线步长为：
解二次方程 因此
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
以上方法只能保证算法的局部收敛性，为了建
立总体收敛性算法，我们采用了线搜索技术．虽然
这种策略是成功的，但它有一个缺点，即没有进一
步利用二次模型．
基本思想
牛顿法的基本思想是在迭代点 附近用二次
函数逼近
并以 的
的极小点 修正 得到：
信赖域子问题折线法基本思想如果令信赖域的半径在区间内连续变化则问题1的解在空间中形成一条光滑的连续曲线记为此时问题1等价于在信赖域内在最优曲线上确定一点使二次函数取极小即
信赖域方法
信赖域方法是求解最优化问题的另一类有效 方法．其最初的设计思想可追溯至Levenberg Marq和uart对Gauss－Newton法的修 正．线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化 成一系列简单的一维寻优问题．信赖域方法是把 最优化问题转化为一系列相对简单的局部寻优 问题．
第六章 Levenberg-Marquardt方法
T
f ( xk )
(7)
T
从而:
x
k 1
x A x
A x
k 1
k
T
A x
T
k
k I
1
A xk f (xk ) .
由于 A x A x I 正定(适当调整 ), 从而(7)产生的方向
如果
A x
k T
A x k f ( x k ) hk ,则 k 0 ;否则 k 0 .
S ( x ) f ( x ) A ( x x ) A d f ( x ) k
k k k
k k T k k [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , k k
k k 其中： d x x 。
2 k
2 k
k k T k k 记 ( x ) [ A d f ( x ) ] [ A d f ( x ) ] , 则可 min ( x ) k k
非线性最小二乘法
• 1.改进的Gauss-Newton法 • 2.Levenberg-Marquardt方法 • 3.信赖域(Biblioteka -M)方法一、非线性最小二乘法
1.一般形式：
min S ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )
T 2
T 其中： f ( x ) ( f ( x ), f ( x ),..., f ( x )) 1 2 m T x ( x , x ,..., x ) 1 2 n ;
Step 2 : 若 S ( x z ) S ( x ), 则令 ： 并返回 Step 1 。
信赖域方法
信赖域方法信赖域方法，也称为可信赖域方法，是一种技术，可以检测网络应用程序中的安全漏洞，确保用户数据的安全可靠。
它通常用于识别网络系统存在的安全问题，以防止数据泄漏和防范未经授权的访问。
这种方法可以使网络更健全，使用户放心使用网络服务，从而增强用户的安全感。
首先要明确的是，信赖域方法是一种计算机安全概念，主要是为了改善网络安全。
它被主要应用于保护网络中的数据，保护网络的正确运行，和防止未授权的访问。
信赖域方法的核心是建立信赖区域，即一系列的软件程序所组成的计算机网络系统，为网络系统提供安全保证。
信赖区域在网络中形成一个安全的空间，让网络免遭故障和攻击，增强了网络的可靠性。
信赖域方法通常使用两类技术：域认证和域安全策略。
其中，域认证技术是通过验证网络用户的身份来建立信赖域。
它根据网络用户的特征，确定哪些人可以访问网络，防止不符合要求的人进入网络，从而提高网络安全性。
而域安全策略则主要用来规定网络中各种活动，如文件访问，数据传输和访问权限等，用来确保网络的安全性，防止恶意访问和攻击。
此外，信赖域方法还可用于网络的加密传输。
这种方法能够保证网络数据的安全性和隐私性，而不会受到黑客的攻击和窃取数据的侵害。
它涉及到应用加密协议的技术，以及数字证书等技术，确保通过网络传输的数据安全可靠。
除了上述技术，信赖域方法还可以应用于物联网技术，结合智能合约技术，为物联网设备提供安全支持。
物联网技术是指在物理世界中相互连接的智能系统，它可以实现数据采集、流通和处理。
信赖域方法可以提供强大的安全保障，以确保物联网设备的安全运行，以及数据传输的安全可靠。
总之，信赖域方法是实现网络安全的有效方法，它可以确保网络的可靠性，并使用户放心使用网络服务，从而增强用户的安全感。
它还可以为物联网技术提供安全支持，使物联网设备的安全运行得以实现。
因此，信赖域方法越来越受到重视，应用得越来越广泛。
信赖域算法.ppt
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机械最优化设计课程
THU DAE
数值实验
2 2 2 min f ( x ) 100 ( x x ) ( 1 x ) 2 1 1
选（ 1 .2 , 1 ）为初始点，与其他方 法做对比：
方法
信赖域 共轭方向 变尺度
迭代次数
8 16 32
函数值误差 最优点误差
1.2*e^(-13) 9.4*e^(-9) 9.4*e^(-9) 7.8*e^(-7) 1.5*e^(-5) 1.5*e^(-5)
THU DAE
信赖域半径的选择
（1）r k 越接近于1，表明接近程度越好，这时可以增大 k 以扩大信赖域； （2）r k >0但是不接近于1，保持 k 不变； （3）如果 r k 接近于0，减小 k ，缩小信赖域。 或者其他 k 的选择方法（后面介绍）。
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信赖域算法
Step1. 给出初始点 x 0 ，信赖域半径的上界 ， 0 （ 0 ， ）， 0 ， 0 1 , 0 1 , k 0 . 1 2 1 2 Step2. 计算 g k ，如果 gk ，停止；否则，计算B k 1 。 Step3. （近似）求解子问题（2），得到s k 。 Step4. 计算 f( ，令 x s 和 r k k) k
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对步长接收准则的讨论
单调 非单调
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基本思想
在每次迭代中给出一个信赖域，这个信赖域一般是当 前迭代点 的一个小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问 题，得到试探步长（trial step） ，接着用某一评价函数来决 定是否接受该试探步长以及决定下一次迭代的信赖域。 如果试探步长被接受，则： x x s k 1 k k， 否则， xk1 xk 。 新的信赖域的大小取决于试探步长的好坏，粗略地说，如 果试探步长较好，在下一步信赖域扩大或保持不变，否则 下一步减小信赖域。
最优化方法 信赖域算法
算法概述
二 三 四
信 赖 域 算 法
算法思想 算法流程 算法收敛性
五
子模型求解
一、方法概述
信赖域算法概述
线搜索方法是把一个复杂的最优化问题转化成一系列简 单的一维寻优问题。方法的核心思想是先寻找“理想” 的下降方向，然后在确定的方向上确定长度。
信赖域方法是把最优化问题转化为一系列相对简单的局 部寻优问题。方法能够对局部的所有方向进行“搜索”， 进而同时确定“局部最好”的前进方向及长度。
k . sk ,
定义比值：
给定信赖域方法模型子问题的解
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
它衡量模型函数
qk s 与目标函数 f x 的一致性程度。
二、算法思想
f xk f xk sk Ared k rk qk 0 qk sk Pred k
三、算法流程
信赖域方法流程 步骤1: 给出
x0 R n , 信赖域半径的上界 , 0 0, , 0, 0 1 2 1, 0 1 1 2 , k 0.
g k , 停止． 求解子问题得到 sk .
如果
T k
步骤2: 步骤3:
1 T min qk s f k g s s Gk s 2
s.t
s k
步骤4:
计算
f xk sk 和 rk , 令：
xk sk xk rk 1 others
xk 1
四、算法流程
步骤5: 校正信赖域半径，令：
k 1 0, 1 k
rk 越接近于１， 表明模型函数 qk ( s )与目标函数 f ( x )
信赖域法的收敛速率
信赖域法的收敛速率
1. 局部收敛速率，在信赖域法的每次迭代中，它试图在当前估
计的最优解附近找到一个更好的解。
在这种情况下，收敛速率取决
于目标函数的光滑程度以及信赖域的大小。
如果目标函数在当前估
计的最优解附近很光滑，那么信赖域法通常会收敛得比较快；反之，如果目标函数在当前估计的最优解附近不太光滑，那么收敛速率就
会比较慢。
2. 全局收敛速率，在信赖域法的全局收敛速率方面，通常会考
虑算法是否能够在有限步数内收敛到全局最优解。
这取决于信赖域
法的具体实现方式，以及问题本身的性质。
一般来说，信赖域法通
常能够在有限步数内收敛到局部最优解，但要达到全局最优解可能
需要更多的迭代次数。
3. 收敛性分析，针对特定的信赖域方法，可以进行更具体的收
敛性分析。
这包括证明算法的收敛性、收敛速率以及收敛到最优解
的距离等方面的理论分析。
这些分析可以帮助我们更好地理解信赖
域方法的收敛性能。
总的来说，信赖域法的收敛速率是一个复杂的问题，受到多种
因素的影响。
理论分析和具体问题实例都可以帮助我们更好地理解信赖域法的收敛速率。
第六章 Levenberg-Marquardt方法
二、Levenberg-Marquadt方法
为了克服由雅可比矩阵奇异，导致线性搜索得不到进 一步下降方向. 只能得到极小点的一个差的估计. 改进策略： 采 用 信 赖 域 的 方 法 . ： 通 常 f ( x) 是 非 线 性 函 数 ， Gauss-Newton 法用线性化模型代替 f ( x ) ，得到线性最小 二乘问题. 这种线性化并不是对所有的 x x k 都成立，因此，考虑 约束线性化最小二乘问题.
d k H k1 S ( x k )
(5) (6)
所以
x k 1 x k H k1 S ( x k )
(6) 式称为Gauss Newton 公式，
（5）式称为Gauss Newton 方向。
S ( x k ) T 令 gk AT ( x k ) f ( x k ) Ak f ( x k )。 2
T T x k 1 x k d k x k ( Ak Ak )1 Ak f ( xk )
( 3)
则：(1)由迭代得到的x k 是收敛的;
性质：若 f（x）满足一定条件且 x 0充分接近 x *， ( 2)当 f ( x*) 0, 收敛阶至少是二阶的。
3. 改进的Gauss-Newton法：
（8）
其中， s x xk , gk 是目标函数 f ( x) 在当前迭代点 xk 处的梯
Gk I s g k
确定 sk 来表征,其中 是一个非负数.
(9)
如果 Gk 正定,且牛顿修正 sk Gk1gk 满足 sk hk ,则即为上述问 题的解. (9)式中 0.
考虑如下的信赖域模型：
min f ( x k ) A( x k )( x x k ) k 2 s . t . x x hk
信赖域方法 matlab 代码
信赖域方法是一种在优化问题中常用的数值方法。
它是一种迭代算法，通常用于解决无约束非线性优化问题。
信赖域方法以牛顿方法为基础，通过限制每次迭代中自变量的变化范围来保证收敛性和稳定性。
在matlab中，可以使用信赖域方法来解决各种实际问题，例如最小二乘拟合、参数估计和非线性方程组求解等。
在使用matlab实现信赖域方法时，需注意以下几点：1. 定义优化目标函数。
在使用信赖域方法优化问题时，首先需要定义一个目标函数。
该函数应该是一个关于自变量的非线性函数，可以是一个标量函数，也可以是一个向量函数。
2. 定义目标函数的梯度和海森矩阵。
由于信赖域方法是基于牛顿方法的改进算法，因此需要定义目标函数的梯度和海森矩阵。
这两个定义通常是问题的难点，需要根据实际问题进行推导和计算。
3. 设置算法参数。
信赖域方法有许多参数可以调整，如信赖域半径、收敛容许度等。
在matlab中，需要根据实际问题设置这些参数，以保证算法能够顺利收敛。
4. 编写优化函数。
在matlab中，可以使用内置的`fminunc`函数来实现信赖域方法。
这个函数可以接受目标函数及其梯度和海森矩阵作为输入，然后自动进行优化计算。
以下是一个使用matlab实现信赖域方法的示例代码：```matlab定义目标函数function f = myfun(x)f = (x(1)-1)^2 + (x(2)-2.5)^2;end定义目标函数的梯度function g = mygrad(x)g = [2*(x(1)-1); 2*(x(2)-2.5)];end设置算法参数options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);编写优化函数x0 = [0,0];[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(myfun,x0,options); ```在这个示例代码中，首先定义了一个简单的目标函数`myfun`，然后定义了该函数的梯度`mygrad`。
第8讲信赖域方法
(defined at the current point x),
(2). how to choose and modify the trust region k ,
(3). how accurately to solve the trust-region sub-problem.
are based on trust-regions, a simple yet powerful concept in optimization.
The key questions in defining a specific trust-region approach to minimizing are :
从点 xk 到Cauchy点C.P. ,
到
x Nˆ k 1
的距离单调增加;
(2).
从Cauchy点C.P. ,
到 xNˆ k 1
模型函数值单调减少.
17
在产生Cauchy点C.P.和 Nˆ 点后,所求的新点 xk1由(9)式得出,选 择 ,使得:
skc skN skc
2 2.
2
k
如果所得到的 xk1 满足下降性要求:
算法的性态).
15
单折线法总结
(1)
skc 2 k 时,
sk
k gk gk 2
( K
1时的Cauchy点);
(2) skc 2 k 时, 再计算牛顿步skN :
2.1 如果 skN 2 k ,则 sk skN ;
2.2 如果 skN 2 k ,则 sk skc (skN skc ), 其中 为方程：
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（ 10.5.3）
求解信赖域子问题显然 是关键的
（k） ˆ ，使得 若d 是（ 10.5.3 ）的最优解，则存在乘 子 ˆ 2 （k） （k） （k） （k） f（x ）d f（x ） d 0 1 （k） （k） 2 （d d ） （k） （ || d || -rk） 0 T
（1）
1 T 2 （1） （1） T （1） min： （ d ） def f （ x ） f （ x ） d d f （ x ）d 1 2 s.t. || d || 1 即求解
2 2 min： （ d ） 5 4d d d 1 2 1 2 2 s.t.d1 d2 2 1
信赖域方法
15721546 马广庆
前言
上一节，学习了牛顿法 ，传统的牛顿法属于局 部收敛算法 （收敛性与初始点的选 取有关），为了得到全 局收敛算法，
（k） （k） 对它做了改进，即当 f（x ） 0， 2 f（x ）正定时， （k） - f（x ） 沿着搜索方向 d 2 作一维搜索， （k） f（x ） 从而得到一个缩短的步 长，这个就是阻尼牛顿 法， （k）
（2） （2） 2 s.t.d1 d2 2 4 （2） 0 （2） （2） 得到子问题的解 d ，算的f（x d ） 0 1 （2） （ d ） 1，实际下降量与预测下 降量之比， 2 2
5.例题讲解
2-0 2 2 -1
令x
（3）
x
（2）
d
（2）
0 ，r3 2r2 4 2
（3） .求解子问题 1 T 2 （k) min：（ f ( x ) f ( x ) d d f(x )d k d） 2 s.t. || d || rk
(k ) (k ) T
4.算法步骤
（k） 得到子问题的最优解 d ，令 （k） （k） f（x ( k )） - f (x d ) k （k） （k） f（x ） - （ d ） k （k 1） （k） （4） .如果 k ，令x x ；如果 k ， （k 1） （k） （k） 令x x d
3.信赖域算法
考虑无约束问题： min：f（x），x n
（k ） 将f（x）在给定点x 处展开，取二次近似
1 T （k ） （ k） T （k) f（x） f ( x ( k ) ) f ( x ( k ) ) （ x-x ） （x - x ） 2 f(x )(x - x (k) ) 2 （k） 取d （x - x ），得到二次模型
（ f ( x ) f ( x k d）
(k )
(k ) T
1 T 2 （k) ) d d f(x )d 2
3.信赖域算法
（k） （k） 为了在x 附近用（ d ）近似 f （ x d）， k
限定d的取值，令|| d || rk , 即 || x - x (k) || rk rk 就是前面提到的第 k步的信赖域半径 （由此可以看出，限定 d的取值实质是在当前迭 代点的某个邻域 内建立一个简单模型， 这个简单模型近似于原 问题并求极值） 这样，求函数 f（x）的极小点问题就归结 为解 一系列子问题 1 T 2 （k) (k ) (k ) T min：（ d ） f ( x ) f ( x ) d d f(x )d k 2 s.t . || d || rk （可以看出信赖域算法 是将复杂的最优问题转 化为 一些列相对简单的局部 寻优问题）
（3） （3）
0 经过第三次迭代。计算 得到f（x ） 1，f（x ） 0 （3） 0 x 是最优解 2
6.收敛性分析
（1） 定理：设f（x）是 n 上的实函数，x 是给定的初始点， （1） S {x | f（x） f（x ） }是有界闭集，
1 （5） .如果 k ，令rk 1 rk；如果 k 2 令rk 1 rk；如果 k ，令rk 1 2rk （6） .置k k 1，转步骤（ 2）
5.例题讲解
例题：无约束问题
4 2 min：f（x） x1 x1 x2 2 - 4x 2 5
6.收敛性分析
证明：
（k） （k） 为简便，记f k f（x ）， 2f k 2 f（x ） .
由于S是有界闭集， 2 f（x）在S上连续，因此存在正数 M，使得 对每个k有 || 2 f k || M.
（k） 先证明|| f（x ） || 存在收敛到0的子列。反证法，假定
（k） （k） （k） x 后，先确定一个搜索方 向d ，然后沿着这个搜索方 向d
选择选择适当的步长 k，产生新的迭代点
（k 1） （k） （k） x x k d
先确定方向，再确定步长
1.信赖域方法与常规方法的区别
信赖域方法
（k） k {x R n | || x - x || rk }
该方法具有整体收敛性 。 但它没有进一步的使用 二次模型函数。 这一节，将介绍另一种 全局收敛算法- 信赖域算法
信赖域方法
1.信赖域方法与常规方法区别 2.信赖域基本思想 3.信赖域方法
4.算法步骤
5.例题分析 敛性分析
1.信赖域方法与常规方法的区别
常规方法
前面介绍的无约束最优 化方法，一般策略是在 给定点
4.算法步骤
步骤如下：
（1） （1 ） .给定可行点x ，信赖域半径 1，参数0 1
1 3 （一般 ， ）及精度要求 ，置k 1 4 4 （k） （k） （k） （2） .计算f（x ），f（x ） .若 || f（x ） || ，
（k） （k） 则停止计算，得到解 x ；否则，计算 2 f（x ）
3.信赖域方法
要从上海火车站去人民广场，有两种方法： ①可以先定一个方向，比如先向西走，走着走着发现方向 有点不对（人民广场应该是时尚地标啊，怎么越走感觉越 郊区了呢），就调整一下方向，变成向东南方向走，诸如 此类。 ②用信赖域算法，就比如，我先划一个圈，然后在这个圈 里面找离人民广场可能最接近的点，之后在这个点为中心 再画一个圈，在这个圈内找离人民 广场可能最近的点， 以此类推。
1 rk； 2
且rk 1 rk 或rk 1 2rk
3.信赖域算法
特点： 不要求目标函数的Hesse矩阵正定，在非正定的情况下也 能处理。 既有牛顿法的快速局部收敛性，也有理想的全局收敛性。 算法利用二次模型来修正步长，使得目标函数的下降比线 搜索方法更有效。
由于位移长度受到Taylor展开式有效的信赖域的限制，此 方法又称为有限步长法
5.例题讲解
（1） 0 d （1） 1 得到子问题的 K T点，也是最优解 d （1） d 2 1 （1） （1） （1） 函数值f（x d ） 2， （ d ） 2 1
实际下降量与预测下降 量之比
（1） （1） （1） f（x ） - f（x d ） 5-2 1 1 （1） （1） f（x ） - （ 5-2 1 d ）
' T
（ 10.5.8）
（ 10.5.9）
由于d是最速下降方向，因此 0 || f k ||4 || f k ||2 当 （0，rk）时，下降量 Q T 2M 2f k 2 f k f k 当 rk时，根据（ 10.5.9 ）式，即f k 2 f k f k rk || f k ||3
记：
ˆ
1 T （k） （k） 2
（d d ） （k） 得到d 为最优解的必要条件
（k） （k） （k） （k） 2 f（x ）d d -f（x ） （k） （ || d || -rk） 0 0 （k） || d || r k （k） （k） （k） -1 （k） 设 2 f（x ） I可逆，有（ 10.5.5 ）得到 || d |||| （ 2 f（x ） I） f（x ||
3.信赖域算法
（k） （k） （k） 求出信赖子问题 d 后，点x d 能否作为原问题的近似 解，
还要根据用（ k d）逼近f（x）是否成功来确定。 如果函数值实际下降量 与预测下降量之比，即
（k） （k） f（x ( k )） - f (x d ) k （k） （k） f（x ） - （ d ） k （k） 太小，就认为逼近不成 功，后继点仍取 x ，且信赖域半径 rk 1 （k 1） （k） （k） 若 k比较大，则逼近成功， 后继点x x d ，
逼近成功，令 x
（2）
x
（1）
d
（1）
0 ，r2 2r1 2 1
进行第二次迭代，经计 算得到 0 2 2 0 （2） f（x ） 2，f（x ） , f（x ） ，解子问题 2 0 2 2 min：（ 2 - 2d2 d1 d2 2 d） 2
取初点x
（1）
0 1 , 信赖域半径r1 1，取 ， 4 0
3 ，试用信赖域方法求最 优解 4
5.例题讲解
（1） 解：经计算得到函数值 f（x ） 5，目标函数的梯度
0 2 0 2 （1） f（x ） ，Hesse矩阵 f（x ） 4 0 2 解子问题
定义当前点的邻域 这里rk 是第k步的信赖半径 在这个信赖域内，优化 目标函数的二次逼近式
（k） （二次模型函数）得到 模型函数近似解 d （k 1） （k） （k） （k 1） （k） 产生新的迭代点 x x d ，或x x
相当于直接确定了位移
2.信赖域算法的基本思想
对于问题：min：f（x） 首先给出初始点，在初 始点附近构造一个近似 于原目标函数的 近似模型，信赖域子问 题就是在当前迭代点的 某个邻域内