第六章 傅立叶展开

第六章 傅立叶展开
我们已经熟悉函数的幂级数展开，这种级数的每一 项都是幂的函数，即，采用了一系列幂函数作为展 开的基本函数族。幂级数没有周期性，所以周期函 数展开为幂级数以后，周期性就很难体现出来，因 此，在着重研究函数周期性的时候，需要采用其他 函数作为基本函数。
11
傅里叶(Fourier)生平
2k
sin
k
l
x,
我们自然联想到周期为2l的函数可以展开为
k
cos
x,
k
sin
x,
k 1,2,...
的线性迭加.
l
l
44
基本函数系（基本函数族）：
1,cos x,cos 2 x, cos k x, ,sin x,sin 2 x, sin k x,
l
l
l
l
l
l
构成周期函数的基本函数系。
l
l
x cos n
l
xdx
1 l m n
2
l
cos
l
m n
x cos l
x dx
1 l
m n
l
m n
l
2
m
n
sin
l
x m n sin
l
x 0 l
m n
l cos m x sin n xdx 0
l
l
l
奇函数对称区 间积分为零
l cos2 n xdx 1
l
l
2
l l
k t dt
k 1
uo
2
sin1 k t
1 k
sin1 k t
1 k
0
0
1
b1
0
uo
sin2 tdt
uo 2
1133
ut
uo
uo 2
sin t
2uo
k 1
1 1 4k2
cos 2kt
uo uo sint 2uo cos 2t 2uo cos 4t 2uo cos 6t .
1 dx
根据三角函数的正交性：
l l
f
xdx
a0
2l
ao
1 2l
l f x dx
l
或
ao
1 2l
l f d
l
展开式两边同时乘以 cos n x ，再积分：
l
l f xcos n xdx
l
l
l
n
l a0 cos l xdx
l k n
l k n
ak
cos
l
k 1
l
cos
0
l
狄里赫利条件：若周期函数，a、在每个周期中连续，或只 有有限个第一类间断点；b、在每个周期中只有有限个极值 （包括极大和极小），则傅立叶级数收敛。
f x
连续点
级数之和
f
x
0
f
x
0
在间断点.
2
1100
例1、半波整流电路输出电压的傅立叶展开.
在[ , ] 这个周期上，
ut
u
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
uo
完备性：基本函数系中不能多一些不必要的函数，也不能 少一些必要的函数。
77
周期函数展开式：f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin k
l
x
两边同时乘以1，再积分：
l
l
l
k
l k
f
l
x dx
l a0 1 dx
ak
cos
l
k 1
l
1 dx
bk
sin
l
k 1
l
sin
t
[ ,0]
[0, ]
uo － 2 － o
t
2
3
【解 】 T 2
l
u t a0 ak cos kt bk sin kt k 1
1
ao 2
0
u0
sin
tdt
u0 2
1
cos t
0
u0
1111
1
ak
0
uo
sin
t
cos
k
tdt
uo 2
0
sin 1
kt
sin 1
x cos 2n
l
x
dx
1 2
x
l
2n
sin 2n
l
l
x
l
l
m n
66
l m
n
sin x sin xdx
l
l
l
1 l m n
m n
2
l
cos
l
x cos
l
xdx 0,
(m n)
l sin2 n
l
l
xdx 1 2
l
l
1
cos
2n
l
x
dx
l
,
m n
正交性：基本函数系中任意两个不同的基本函数之积在周 期范围内积分为零，相同的基本函数之积在周期范围内积 分（模方）不为零。
l f sin k d ,
l
l
k 1,2,3,...
若f (x)是周期为2l的周期函数，且满足狄氏条件（后面叙 述），则可以展成傅立叶级数：
f
x a0
k 1
ak
cos
k
l
x
bk
sin
k
l
x
1
ak l k
l f cos k d
l
l
1
bk l
l f sin k d
l
l
其中
f
x a0
k 1
ak
cos
k
l
k
x bk sin l
x
展开的任务在于求系数a0、ak、bk.
正交性：
l 1 cos n xdx
l
n l
sin x
0,
n0
l
l
n
l l
l
n
1 sin xdx 0
l
l
奇函数对称区 间积分为零
55
l 12dx 2l, n 0 l
l m
cos
1768年生于法国 • 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数的级数表示”
• 1808年提出傅里叶热 传导定律
• 1822年发表“热的分 析理论”，首次提出 “任何非周期信号都 可用正弦函数的积分 表示”
22
第六章 傅立叶展开
1、无穷区间的傅里叶展开 2、有限区间的傅里叶展开 3、复数形式的展开 4、非周期函数的傅里叶展开——傅里叶变换 5、各种广义傅里叶展开 6、狄拉克函数
33
§6.1 以2l为周期的函数的傅立叶展开
若f (x+2l)=f (x)，x(-,)，则f (x)是以l为周期的周期函数。
例如三角函数：cos k
l
x,
sin k
l
x,
k 1,2,...
的周期均为2l.
cos
k
l
x
2l
cos
k
l
x 2k
cos k
l
x,
sin
k
l
x
2l
sin
k
l
x
k t dt
k 1
uo 2
cos1 k t 1 k
cos1 k t 1 k
0
0
uo 1 k2
1
k
1
2uo 1 k2
k＝奇 k＝偶
1122
1
a1
0
uo
sin t
cos tdt
0,
k 1
bk
1
0
uo
sin
t
sin
k
tdt
uo 2
0
cos1
kt
cos1
k
2 1
k =0 k 0
99
【讨论】
① 若f (x)为奇函数，显然a0=0，ak=0，则：
f
x
k
bk sin
k 1
l
xdx,
bk
2 l
l f sin k d
0
l
② 若f (x)为偶函数，显然bk=0，则：
f
x a0
ak
k 1
cos k
l
xdx,
2
ak l k
l f cos k d
l
xdx
bk
sin
l
k 1
l
cos
l
xdx
88
根据正交性，等号右边第一、三项积分为零，第二项只有 k=n时，积分不为零.
l l
f
xcos n
l
xdx
an
l
an
1 l
l f xcos n
l
l
xdx
写成：ak
1 l
l f cos k d ,
l
l
k 1,2,3,...
同理:
1 bk l