第十九章 比例风险模型——Cox回归
Cox比例风险模型
Cox比例风险模型——Hazard model（一）方法简介1概念界定COX回归模型，全称Cox 比例风险回归模型(Cox’s proportional hazards regression model)，简称Cox 回归模型。
是由英国统计学家D.R.Cox(1972)年提出的一种半参数回归模型。
该模型以生存结局和生存时间为因变量，可同时分析众多因素对生存期的影响，能分析带有截尾生存时间的资料，且不要求估计资料的生存分布类型。
由于上述优良性质，该模型自问世以来，在医学随访研究中得到广泛的应用，是迄今生存分析中应用最多的多因素分析方法。
（绕绍奇，徐天和，2013）与参数模型相比，该模型不能给出各时点的风险率，但对生存时间分布无要求，可估计出各研究因素对风险率的影响，因而应用范围更广。
2 方法创始人：Cox (1972) proportional （成比例的）hazard regression model.详细介绍了该方法的具体推演过程以及相关的实例。
参考文献：Cox, D. R. (1992). Regression models and life-tables. Journal of the Royal Statistical Society, 34(2), 187-220.3 基础知识h(X,t)由两部分组成：h0(t)不要求特定的形式，具有非参数方法的特点，而exp(…) 部分的自变量效应具有参数模型的形式，所以Cox 回归属于半参数模型。
等比例风险假设是最为关键的适用条件，类似于线性回归模型中的线性相关假设。
比例风险( PH) 假定的检验方法目前，检验Cox 回归模型PH 假定的方法主要有图示法和假设检验法［6］两种。
图示法包括: ( 1)Cox ＆K-M 比较法，( 2 ) 累积风险函数法，( 3 )Schoenfeld 残差图法; 假设检验法包括: ( 1) 时协变量法，( 2) 线性相关检验法，( 3) 加权残差Score 法; ( 4) Omnibus 检验法。
卫生统计学课件--第十九章 Cox比例风险模型
第二节 回归系数及其假设检验
1. 实例与SAS程序 2. 回归系数及其解释 3. 回归模型及回归系数的假设检验 4. 模型的筛选及有关问题
1. 实例与SAS程序
例19-1 某医师对一所医院1988
年收治的16例鼻腔淋巴瘤患者随访了13年， 数据见表19-1，试作Cox模型分析。
表 19-1 鼻 腔 淋巴 瘤 随 访 资料
10 0 45 2 1 0 1
11 0 4 5 3 1 0 1
12 1 57 2 1 1 0
ห้องสมุดไป่ตู้
13 0 57 2 2 0 1
14 1 49 2 2 1 1
15 1 33 2 1 0 1
16 0 51 2 2 1 0
观察记录
开始日期 终止日期
88-1-17 88-1-21 88-2-1 88-2-2 88-3-15 88-4-28 88-5-6 88-6-24 88-7-4 88-7-25 88-8-2 88-9-1 88-10-12 88-10-15 88-11-5 88-12-1
作生存曲线；用logrank检验或Breslow检验比较两组或几组生存率差异有
无统计学意义（SAS的LifeTest过程步） 。
3、半参数法：Cox 比例风险模型（SAS的PHReg 过程步）
第一节 模型结构与参数估计
一．模型结构：
设有n名病人（i＝1，2，…,n），第i名病人的生存时 间为ti，同时该病人具有一组伴随变量xi1 ,xi2 , xi3, …, xip。 则模型为：
89-8-17 92-4-17 90-8-27 00-12-31 99-6-16 91-9-25 00-6-26 98-9-30 99-5-5 95-8-18 98-5-13 96-9-17 94-1-25 97-7-25 98-4-18 95-5-22
python中cox回归模型的模型公式
Cox回归模型（也称为比例风险模型）在Python中可以使用`lifelines` 库实现。
以下是其基本的数学公式：H(t) = h0(t) * exp(βX)其中：* H(t) 是个体在时间 t 发生事件的概率* h0(t) 是基准风险函数，通常假设为 Weibull 分布* exp(βX) 是由协变量 X 引起的风险比例变化* β 是模型的参数，表示协变量对风险函数的影响Cox回归模型是一种生存分析方法，用于研究一个或多个协变量对特定事件发生时间的影响。
在这个模型中，我们并不直接估计事件的发生率或风险，而是估计相对于基准风险函数的风险比例。
因此，它通常用于处理具有删失数据的情况。
如果你需要用Python进行Cox回归，你可能需要查看`lifelines` 或者 `statsmodels` 等库的使用方法。
这里有一个`lifelines` 的简单例子：```pythonfrom lifelines import CoxPHFitterfrom lifelines.utils import ConfounderMatricesimport pandas as pdimport numpy as np# 假设你有一个DataFrame df，其中 'time' 是生存时间，'event' 是事件发生（1）或未发生（0），其他列是协变量df = pd.DataFrame({'time': [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],'event': [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0],'var1': [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10],'var2': [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11],})# 使用CoxPHFitter拟合数据cph = CoxPHFitter()cph.fit(df, duration_col='time', event_col='event') # 输出模型摘要信息print(cph.summary)```。
COX比例风险回归
COX⽐例风险回归不同于多重线性回归和Logistic回归（包括⼆分类和多分类），⽣存分析(Survival analysis)是分析结合终点事件出现与否和所经历时间的统计⽅法，如在疾病队列随访研究中，除了需考虑终点事件是否发⽣，还需考虑到达终点事件所经历的时间长短。
随访过程如图1。
COX⽐例风险回归模型(Proportional hazards model)常⽤于多因素⽣存分析，探索影响多因素对⽣存期的影响。
该模型是⼀种半参数回归模型，对数据分布要求较低，在临床⾮常常⽤。
1 相关概念我们先来了解相关概念，如下：•终点事件 (Outcome event) ：标志某种处理措施失败或失效的特征事件，如死亡、发病等。
•⽣存时间 (Survival time) ：指观察起点到某⼀特定终点事件出现经历的时间的长度。
•删失数据 (Censored value) ：感兴趣终点事件尚未发⽣，由于失访、退出等其他原因引起的，称为截尾(Censored)。
•⽣存率（ Survival rate ）：指观察对象经历t个时间段后存活的概率，⽣存率等于⽣存概率的乘积，记为S(t)。
如某恶性肿瘤，以⽣存时间为横轴，⽣存率为纵轴，连接各个时间点的⽣存率得到的曲线图形为⽣存曲线。
•风险函数（ Hazard function ）：表⽰t时刻存活的个体的瞬时死亡风险，记为h(t)。
它是速率⽽不是概率，如某恶性肿瘤，以⽣存时间为横轴，以风险函数为纵轴的曲线称为风险曲线，可以得知⽣存时间点恶性肿瘤的死亡风险值。
2 COX⽐例风险回归模型0 1模型的基本形式COX⽐例风险回归模型基本形式如下：其中，X1、X2、… Xp为⾃变量；β1、β2、…βp为⾃变量的偏回归系数；h0(t)为X1=X2=…= Xp=0时t时刻的风险函数，称为基线风险函数。
h(t)为具有⾃变量X1、X2、… Xp的个体在t时刻的风险函数。
COX模型对第⼀个因⼦h0(t)的内容不做作任何假定，第⼆个因⼦却有参数模型，所有COX模型实为半参数模型。
cox回归检验方法
Cox回归检验方法是一种常用的生存分析方法，它通过比较不同组的危险函数来研究多分类结局事件发生的危险因素。
以下是一种Cox回归的步骤：
1. 准备数据：Cox回归需要自变量（可能影响结果的因素）和因变量（感兴趣的结果）。
2. 构建模型：使用Cox比例风险模型，将自变量作为解释变量，因变量作为生存时间。
3. 检验模型假设：Cox回归假设生存时间是连续的，且具有相同的比例风险。
这些假设可以通过图形化方法和统计测试来检查。
4. 评估模型拟合：使用统计量（如AIC或BIC）来评估模型拟合优度。
5. 解释结果：解释Cox回归系数及其对应的HR和95%CI，以及它们对生存时间的影响。
以上步骤仅供参考，具体操作需根据实际情况进行调整。
[课件]Cox比例风险模型PPT
![[课件]Cox比例风险模型PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/46c2e05e27284b73f342500b.png)
变量xj暴露水平时的风险率与非暴 露水平时的风险率之比称为风险比hr (hazard ratio)：
hr= eβi
hr风险比相对危险度RR
6、
Cox模型的参数估计
Cox回归的参数估计同Logistic回 归分析一样采用最大似然估计法。其 基本思想是先建立偏似然函数和对数 偏似然函数，求偏似然函数或对数偏 似然函数达到极大时参数的取值，即 为参数的最大似然估计值。略
4、Cox比例风险回归模型
lnh(t)/ h0(t)=β1x1+β2x2+…+βpxp
参数β 1，β2…，βp称为偏回归系数 ， 由于h0(t)是未知的，所以COX模型称为 半参数模型。
COX比例风险函数的另一种形式： h(t)= h0(t)exp(β1x1+β2x2+…+βpxp)
5、 流行病学意义
2 进入统计模块 进行统计计算 点击 模型→数学模型→COX模型 解释变量 x1,x2,x3 反应变量： time 删失标记变量：CENSOR→确认 3 进入结果模块 查看结果 点击 结果
━━━━━━━━━━━━━━━━━ 参数名 估计值 标准误 u值 p值 ───────────────── X1 0.001 0.002 0.591 0.5543 X2 0.456 0.206 2.211 0.0270 X3 -1.885 0.376 5.008 0.0000 ━━━━━━━━━━━━━━━━━
表中“+”代表仍存活, X1代表白细胞 数（千个/mm3）， X2代表浸润淋巴 结程度，分为0、1、2三级, X3代表 是否有巩固治疗，1为有, 0为无。 试进行COX回归分析。
解步骤： 1 进入数据模块 此数据库已建立在
cox比例风险回归模型结果解读
COX比例风险回归模型是一种常用的生存分析方法，它能够对生存时间或事件发生时间进行建模，并且能够考虑到不同个体的观测时长不同这一特点。
在研究中，COX比例风险回归模型通常被用来探究某种因素对于生存时间或事件发生时间的影响程度。
本文将以COX比例风险回归模型为主题，深入探讨其原理、应用、结果解读和个人理解。
一、COX比例风险回归模型原理COX比例风险回归模型是由David R. Cox于1972年提出的，它是一种半参数模型，既考虑了危险比的比例关系，又不需要对基本风险函数作出严格的假设。
模型的基本形式为：$$ h(t|x) =h_0(t)exp(\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_px_p) $$ 其中，h(t|x)为在给定协变量x情况下，观测到时间t的瞬时事件发生率；h0(t)为基础风险函数，与协变量无关；β1, β2,…, βp为协变量的回归系数；x1, x2,…, xp为对应的协变量。
二、COX比例风险回归模型应用COX比例风险回归模型主要适用于生存分析领域，例如医学、流行病学和生态学等研究中。
研究者可以利用COX比例风险回归模型来探究不同因素对于生存时间或事件发生时间的影响情况。
这种模型在临床试验中也得到了广泛的应用，可以用来评估治疗效果、预测疾病风险等。
三、COX比例风险回归模型结果解读在进行COX比例风险回归模型分析后，我们通常会得到各个协变量的回归系数、危险比和相应的置信区间。
这些结果对于理解不同因素对生存时间或事件发生时间的影响至关重要。
如果某个协变量的危险比为2.0，且置信区间不包含1.0，就说明该因素对事件发生的影响是显著的。
还需要考虑模型的比例风险假设是否成立，以及是否存在共线性等问题。
个人理解与观点：COX比例风险回归模型是一种非常有用的统计方法，它能够帮助研究者从更深层次理解不同因素对生存能力的影响程度。
然而，在进行模型分析时，我们还需要注意模型的适用性和准确性，避免结果的误导性。
【医学统计学PPT】 Cox比例风险回归模型
3. 参数解释
RR
hi (t) hj (t)
h0 (t) exp 1Xi1 h0 (t) exp 1X j1
2Xi2 2X j2
p X ip p X jp
• 在任何生存时间上，一组病人的危险度都是其
参照组危险度的倍数
• j 的流行病学含义：在其他协变量不变的情况
下，协变量Xj每改变一个测量单位时所引起的 相对危险度的自然对数的改变量。
• 基本Cox模型表达式为：
h(t, X)=h0(t) exp ( 1X1+ 2X2+...+p X p)
t：生存时间 X: 与生存时间有关的协变量 h(t,X)：具有协变量X的个体在时刻t时的风险函数 h0(t)：所有危险因素为0时的基础风险率，未知。 ：Cox模型的回归系数，需要根据实际数据估计。
某恶性肿瘤的影响因素及量化值
变量
X1 X2 X3 X4 X5 X6 time
status
意义
量化值
年龄
岁
性别
女0
男1
组织学类型 低分化0 高分化1
治疗方式
传统疗法0 新疗法1
淋巴结转移 否 0
是1
肿瘤浸润程度 未突破浆膜层0 突破浆膜层1
生存时间
月
结局
截尾0
死亡1
建立SPSS数据工作表
Analyze Survival Cox Regression
Cox Regression对话框
将生存时间变量time选入Time栏 ；将状态变量status 选入Status栏，并定义数值1表示完全数据；将预后
因素X1~X6选入Covariates栏；Method：选用 Forward：LR（似然比前进法）。
cox回归rcs阈值效应
cox回归rcs阈值效应1.引言1.1 概述概述Cox回归是一种广泛应用于生存分析的统计方法，用于研究与时间相关的事件发生率，如死亡、复发或失业等。
它是一种半参数模型，可同时考虑多个预测因素对事件发生率的影响。
相比于传统的回归模型，Cox回归具有更大的灵活性和适应性，因为它不需要对事件发生率的分布做出假设。
RCS（Restricted Cubic Splines）阈值效应是Cox回归中常用的一种建模技术，它允许我们对预测因素与事件发生率之间的关系进行非线性建模。
通过将连续预测因素转化为非线性的曲线形式，RCS阈值效应可以更好地捕捉预测因素与事件发生率之间的复杂关系，使得模型更加准确。
本文将重点讨论Cox回归和RCS阈值效应的应用。
首先，我们将介绍Cox回归的基本原理和建模方法。
然后，我们将详细解释RCS阈值效应的概念和使用方法。
最后，我们将总结Cox回归和RCS阈值效应的优势，并探讨其在生存分析中的研究意义。
通过本文的学习，读者将能够理解Cox回归和RCS阈值效应的基本概念和原理，并能够使用这些方法进行生存分析的建模和分析。
此外，读者还将了解到Cox回归和RCS阈值效应在实际研究中的应用场景和价值，从而为相关领域的研究提供理论基础和方法支持。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构如下：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 Cox回归2.2 RCS阈值效应3. 结论3.1 总结3.2 研究意义在文章结构部分，我们将简要介绍整篇文章的结构和组织方式，让读者对文章的内容有一个整体的了解。
在本文中，我们将首先在引言部分对文章的背景和目的进行概述，然后在正文部分分别介绍Cox回归和RCS阈值效应的概念和原理。
在Cox 回归部分，我们将讨论它的基本思想和应用领域。
在RCS阈值效应部分，我们将介绍其概念和与Cox回归的关系。
在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，回顾本文的主要内容和研究结果，并探讨其在实践中的意义和应用前景。
COX回归
P 0.049 0.002
(t) 0(t)exp(1.243group 4.105kigney)
根据Cox模型进行估计：
(t) 0(t)exp(1.243group 4.105kidney)
①肾功能正常者接受B治疗方案比接受A治疗方案在 某时刻死亡的相对危险度为：
RR (t | group 1, kidney 0) (t | group 0, kidney 0)
RR (t | group 1, kidney 1) (t | group 0, kidney 0)
= exp(1.243 4.105) =210.300
三．COX回归和 logistics回归的 区别：
一名有巩固治疗的病人（x3=1）和一名无巩固治疗的病人（x3=0）相比， 其相对危险度的计算是： hi(t)/ h0(t)=exp[b3(1-0)]=exp(-1.8870)=0.15(倍) x2（淋巴结浸润）每增加一个等级，其相对危险度变为： hi(t)/ h0(t)=exp（b2）=exp(0.4998)=1.65(倍)
在疾病的随访/预后研究中，应当关注： 1. 结局好坏，如疾病痊愈或死亡； 2. 出现这种结局所经历的时间长短。
例如：某医生比较新法与旧法对流行性出 血热的疗效，结果如下：
⑴ 整理方法一：
组别 新法治疗
治疗人数 治愈人数 治愈率（%）
120
116
96.7
传统疗法
120
114
95.0
合计
240
230
正确应用
• 生存分析用于对随访研究资料的处理，描述生存过程、 比较生存过程、对影响生存过程的因素进行分析。尤 其是可以充分利用失访资料所提供的不完全信息。但 一般控制失访率<20%。
第十九章 Cox比例风险模型
h(t ) lim0
P(在 (t ,t )瞬间死亡| 在t时刻尚存者)
（
二．回归系数的估计方法
英 国 生 物 统 计 学 家 D.R. Cox 于 1972 年 通 过 条 件 死 亡 概 率 建 立 偏 似 然 函 数 Lp ， 使 对 数 似 然 函 数 log L p 最 大 ， 通 过 最 大 似 然 法 的 Newton-Raphson 迭 代 得 到 参 数 1， 2， ， p 的 估 计 值 b1 , b2 ...，b p 。
为 回 归 系 数 (最 大 似 然 估 计 值 记 为 b)；
h0(t)为 基 准 （ baseline） 风 险 函 数 ， 是 与 时 间 有 关 的 任 意 函数，函数形式无任何限定。
1 X1 2 X 2
p X p 称 为 预 后 指 数 （ p r o g n o s t i c i n d e x ）
第一节
一．模型结构：
模型结构与参数估计
设有n名病人（i＝1，2， …,n），第 i名病人的生存时
间为ti，同时该病人具有一组伴随变量xi1 ,xi2 , xi3, …, xip。 则模型为：
ln h(t，X) ln h0 (t ) ( 1 X 1 2 X 2 h(t，X) h0 (t ) exp( 1 X 1 2 X 2 h(t，X) ln 1 X 1 2 X 2 h0 (t ) pX p
pX p) pX p)
（
h(t , X) h0 (t ) exp( 1 X 1 2 X 2
function)；
pX p)
h(t， X)为 在 时 间 t 处 与 X （协变量） 有 关 的 风 险 函 数 (hazard
cox回归系数 -回复
cox回归系数-回复什么是Cox回归系数？回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它用于研究因变量与自变量之间的关系。
而Cox回归系数是Cox比例风险模型中的重要指标，它能够帮助我们理解自变量对于风险发生的影响程度。
在本文中，我们将一步一步介绍Cox回归系数的含义、计算方法以及在实际应用中的意义。
作为一种半参数模型，Cox比例风险模型被广泛应用于生存分析领域。
在生存分析中，我们通常研究一组个体在某个时间段内发生某个事件（如死亡、疾病复发等）的概率。
而Cox比例风险模型则用于研究个体特征或治疗干预对事件发生概率的影响。
Cox回归系数反映了自变量对于风险发生率的影响程度，它可以表示为一个指数函数，其计算方法如下：Cox回归模型如下所示：h(t x) = h0(t) * exp(β1x1 + β2x2 + ... + βpxp)其中，h(t x)为在给定自变量值下，在时间t发生事件的风险函数（风险发生率）。
h0(t)为基准风险函数，表示在所有自变量均为0的情况下的风险函数。
β1, β2, ..., βp则为Cox回归系数，表示自变量x1, x2, ..., xp对于风险发生率的影响程度。
Cox回归系数的估计通常通过最大似然估计的方法进行。
具体而言，我们需要通过已知的个体资料，运用最大似然估计算法，估计Cox回归模型中的Cox回归系数。
在估计过程中，我们不需要事先对基准风险函数进行估计，因此可以更好地避免模型假设的局限性。
Cox回归系数的意义在于，通过它我们可以了解自变量对于风险发生的影响方向及程度。
当Cox回归系数为正数时，表示自变量的增加将增加风险发生的概率；而当Cox回归系数为负数时，表示自变量的增加将减少风险发生的概率。
此外，Cox回归系数的绝对值越大，表示自变量对于风险发生的影响越大。
通过对Cox回归系数的解释和分析，我们可以确定哪些因素对于风险发生具有重要影响，从而采取相应的措施来预防或干预。
比例风险模型——Cox回归
分布、weibull分布、指数分布、Gamma分布等，则可用特定的分布函数分 析，这称之为参数法（参见书第20章，SAS的LifeReg过程步）.
2、非参数法：用Kaplan-meier法、或寿命表法求生存率，
作生存曲线；用logrank检验或Breslow检验比较两组或几组生存率差异有
n
i1
exp(1X i1 p X ip )
exp(1X j1
p
X
jp
)
jRi
其中i＝10
第i个体死亡 第i个体删失
对数偏似然函数[ l()＝lnLp ]
对数偏似然函数 l( ) ln Lp
d
(1xi1 i 1
p xip )
d
ln
(1x j1
i1
jRi
令 dl( ) 0,求解回归参数。 d
2
0 36 2 2 0 1
3
1 57 2 2 1 0
4
0 45 2 0 1 0
5
0 42 2 0 1 1
6
0 39 2 1 0 1
7
1 38 2 1 1 1
8
1 45 2 2 1 0
9
1 30 2 0 1 0
10 0 45 2 1 0 1
11 0 4 5 3 1 0 1
12 1 57 2 1 1 0
The SAS System 16:31 Saturday, December 4, 2005 6 The PHREG Procedure
Analysis of Maximum Likelihood Estimates
Parameter Standard
cox 标准化回归系数 -回复
cox 标准化回归系数-回复什么是cox 标准化回归系数(cox standardised regression coefficient)？Cox 标准化回归系数被广泛应用于生存分析中，特别是Cox比例风险模型。
Cox比例风险模型是一种经典的统计方法，用于研究特定因素对于生存时间的影响。
Cox 标准化回归系数是Cox模型中的系数，用于量化每个因素对于生存时间的影响强度，而不受不同特征尺度的限制。
本文将深入探讨什么是Cox 标准化回归系数以及它的计算方法和应用。
首先，我们来了解一下Cox比例风险模型。
它是一种半参数模型，用于分析生存数据，并考虑多个协变量对生存时间的影响。
在Cox模型中，基本假设是各因素对于风险的影响是乘法效应，即风险的比例在时间上是恒定的。
这种假设使得Cox模型具有良好的灵活性，并且适用于各种生存分析领域。
在Cox比例风险模型中，每个协变量的回归系数表示在其他变量保持不变的情况下，该因素对于生存时间的影响。
然而，由于不同变量的单位和尺度可能不同，直接比较回归系数可能会导致不准确的结果。
为了解决这个问题，Cox 标准化回归系数被引入。
Cox 标准化回归系数是将每个因素的回归系数除以该因素的标准差得到的。
这样做的目的是消除尺度差异，使得回归系数之间可以进行比较。
通过标准化，我们可以准确地评估每个因素对于生存时间的影响程度。
计算Cox 标准化回归系数的步骤如下：1. 使用Cox比例风险模型估计各个因素的回归系数。
这可以通过最大似然估计或其他适当的方法来实现。
2. 计算每个因素的标准差。
标准差反映了因素的离散程度，可以通过样本标准差或其他方法来计算。
3. 将每个因素的回归系数除以其标准差，得到该因素的Cox 标准化回归系数。
Cox 标准化回归系数的应用非常广泛。
首先，它可以用来确定各个因素对生存时间的重要性。
系数的绝对值越大，说明该因素对生存时间的影响越强。
其次，Cox 标准化回归系数可以比较不同变量之间的影响。
cox比例风险回归模型的主要用途
cox比例风险回归模型的主要用途今天咱们来聊一个很有趣的东西，它叫cox比例风险回归模型。
这名字听起来是不是有点怪呀？没关系，等我给你们讲一讲，你们就会明白它的用处啦。
想象一下，我们在学校里有一场跑步比赛。
每个小朋友跑步的速度不一样，有的快，有的慢。
而且呀，在跑步的过程中，还会有各种各样的情况影响大家能不能一直顺利地跑下去，就像有的小朋友可能不小心扭到脚啦，或者突然觉得肚子疼啦。
这就有点像cox比例风险回归模型研究的事情哦。
这个模型可以用来看看哪些因素会影响一件事情发生的风险。
比如说在我们的跑步比赛里，我们想知道哪些因素会让小朋友有更大的风险不能跑完全程。
可能是鞋子不合脚这个因素，穿了不合脚鞋子的小朋友，相比那些穿着舒服鞋子的小朋友，不能跑完全程的风险就可能更大。
再举个例子，就像种小树苗。
我们种了好多小树苗在院子里。
有的小树苗长得快，有的长得慢，还有的小树苗可能长着长着就枯萎了。
那我们就可以用这个cox比例风险回归模型来看看哪些因素会让小树苗有更大的风险长不好或者枯萎。
是浇水浇得太多或者太少呢？还是阳光照射的时间不够呢？就像有的小树苗在大树的阴影下，阳光很少，那它长不好的风险可能就更大。
在医院里，医生们也会用到这个模型呢。
比如说有很多病人得了同一种病，医生想知道哪些因素会让病人的病情变得更严重或者恢复得更慢。
是病人的年龄呢？还是病人有没有其他的小毛病呢？就像有些年纪大的病人，和年轻的病人比起来，他们身体恢复得慢的风险可能就更高。
或者是那些平时还患有其他疾病，像有心脏病的病人在得了感冒之后，和没有心脏病的病人相比，感冒变得更严重的风险就更大。
还有呀，在我们的学习生活中也能有点像这样的情况。
比如说考试的时候，我们想知道哪些因素会让我们考试成绩不理想的风险变大。
是前一天晚上没有睡好觉呢？还是考试的时候太紧张啦？那些前一天晚上熬夜的小朋友，可能在考试的时候发挥不好的风险就更大，就像在跑步比赛里穿了不合脚鞋子的小朋友一样。
cox比例风险回归模型及其R程序
SR(
t
exp
i)
1 X s1
2 X s2
m X sm
两边取自然对数
ln L(
)
n i 1
i
1 X i1
m X im
ln
SR(
ti
)
exp
m
j 1
j
X
sj
求关于 j j 1,2, ,m 的一阶偏导数，并求其等于 0
（即
ln L( j
)
0
）的解，得到
j
的最大似然估计值。
思想。
但是直接检验H0：=0 比较困难，有一个等价而简单的方法。
如果约束条件成立，在约束估计值处计算对数似然函数的导数应该近
似为零，如果该值显著异于零，则约束条件不成立，拒绝原假设。
对数似然函数的导数就是得分向量，因此，LM检验就是检验约束条件 下参数估计值的得分向量值是否显著异于零，因而，LM检验又称为得 分检验。
危险度（RR）：RRi =exp( ˆ i )
相对危险度 1 % 可信区间为：
exp[ ˆi u SE ˆi ]
标准正态离差
相应偏回归系数的标准误
(2)计算个体预后指数（prognosis index，PI），对个体 进行定性的预后评价。
定义第j个观察单位的预后指数为：
PI j b1' x1' j b2' x2' j bm' x1' m
3. 参数的假设检验
(1) 似然比检验（likelihood ratio test） (2) 得分检验（score test）（又称为拉格朗日 乘数法）
(3) Wald检验 是三种基于极大似然法大样本检验方法。
cox模型
若RR>1，则促进“死亡”的 发生，缩短生存时间，“不利因素” 占主导地位；
若RR<1，则抑制 “死亡”的发生，延长生存时间，“保护因素” 占主导地位；
若RR=1，则处于X*水平下的风险与X▲水平相等，处于平衡状态。
Cox比例风险模型
（2）对单因素进行评价：
对因素xj而言，当它由xj▲变化到xj*时，
半数生存期 (median survival time)：又称中数生存期， 记为T50，其定义为：
T50 ＝生存率为0.5时所对应的时间
T50
tk 1 2
，分组资料频数表法（ 折线图） (tk tk1 ) ，不分组资料直接法（
阶梯图）
它表示有并且只有50%的个体可活这么长 时间，它反映生存期的平均水平。
生存时间完全数据completedata在追踪观察中当观察到了某观察对象的明确结局时该观察对象所提供的关于生存时间的信息是完整的这种生存时间数据称为完全数据
Cox比例风险模型
一、基本概念 生存时间(survival time)：从某种起始事
件到达某终止事件所经历的时间跨度。
对于追踪研究，生存时间就是追踪观察持续的时间。生存时间 常用符号t表示。
ln
RRj
ˆ
j
(
x* j
xj )
RR eˆ
j
(
x*j
x
j
)
j
RR j eˆj x* x 1
若RRj >1，则xj 促进“死亡”的发生，缩短生
存时间，为“不利因素”；
若RRj <1，则xj 抑制“死亡”的发生，延长生 存时间，为“保护因素”。
若RRj =1，则xj 为非影响因素。
Cox比例风险模型
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第二节 描述生存时间分布规律的函数
• 一. 生存率(Survival Rate) • 又称为生存概率或生存函数,它表示一个 病人的生存时间长于时间t的概率,用S(t) 表 示： s(t)=P（Tt） • 如5年生存率： s(5)=P（T5） • 以时间t为横坐标,S(t)为纵坐标所作的曲 线称为生存率曲线, 它是一条下降的曲线,下 降的坡度越陡,表示生存率越低或生存时间越 短,其斜率表示死亡速率。
积限法的计算步骤为: 1.将n个生存数据ti,按小到大排列,当截尾数据与完全数据 (非截尾值)相同时,截尾数据排列在后,并写出每个生存数据的 状态Si(即死或活),见表22.1的1,2列 2.写出各个完全数据(即死亡状态)的期初人数ni和死亡人 数di,见表22.1的3,4列。 3.计算条件生存率的估计值,见表中第5列,^S(ti/ti1)=(ni-di)/ni 4.计算累积生存率,即时间ti的生存率估计值(见表中第6 列) ^S(ti)=^S(ti-1)^S(ti/ti-1) 5.计算S(ti)的标准误(见表中第9列) i SE(^Sti)=^S(ti)√{∑dj/[nj(nj-dj)]} j=1 表中已列出了积限法的全部结果,各个时间点的生存率和标 准误分别在6,9两列,例如二年生存率(即24个月)为 0.4040± 0.1657
参数法可求出一个方程表示生存函数S(t)和时间t的 关系，画出的生存曲线是光滑的下降曲线。 非参数法只能得到某几个时间点上的生存函数， 再用直线联起来，画出的生存曲线是呈梯型的。
t(Ä ) ê 0 1 2 3 4 5 6 7
s(t) 1 0.67 0.45 0.3 0.2 0.14 0.09 0.06
• §1.2 概率密度函数 • (Probability Density Function) • 简称为密度函数,记为f(t),其定义为: • f(t)=lim (一个病人在区间(t,t+△t)内死亡 概率/△t) • 它表示死亡速率的大小。如以t为横坐,f(t) 为纵坐标作出的曲线称为密度曲线,由曲线上可看 出不同时间的死亡速率及死亡高峰时间。纵坐标 越大,其死亡速率越高,如曲线呈现单调下降,则死 亡速率越来越小,如呈现峰值,则为死亡高峰。
───────────────────────────────────────────────────── 时间(年) 期初例数 死亡例数 失访例数 截尾例数 有效例数 条件生存率 累积生存率 di ∑di/ni(ni-di)累积生存 ti n'i di ui wi ni ^S(ti/ti-1) ^S(ti) ni(ni-di) 率标准误 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾=⑻√⑽ ───────────────────────────────────────────────────── 0126 47 4 15 116.5 0.5966 0.5966 5.805×10-3 5.805×10-3 0.0455 160 5 6 11 51.5 0.9029 0.5386 2.088×10-3 7.893×10-3 0.0479 238 2 0 15 30.5 0.9344 0.5033 2.301×10-3 0.0102 0.0508 321 2 2 7 16.5 0.8788 0.4423 8.359×10-3 0.0186 0.0602 410 0 0 6 7.0 1.0000 0.4423 0 0.0186 0.0602 54 0 0 4 2.0 1.0000 0.4423 0 0.0186 0.0602 ─────────────────────────────────────────────────────
第十八章 生存分析和COX回归
上海第二医科大学Biblioteka 生物统计教研室第一节
•
基本概念
在医学,生物学研究中,常用到生存 分析 (Survival Analysis)方法。例如 对于肿瘤等疾病的疗效及预后的考核,通 常不用治愈率，有效率等表示，而用将 来复发或死亡的时间长短表示,也即生存 期来表示。 • 所谓生存期（survival time）是指 从某个标准时刻(如发病,确诊,开始治疗 或进行手术的时间)算起至死亡或复发为 止的时间。
风险函数的不同情况：
常数， 如：死于飞机失事。
下降， 如：急性损伤。
上升， 如：持续接触危险因素。
澡盆样，如：人的一生。
生存分析目的： （1）估计生存函数。 （2）比较各组的生存函数。
（3）研究影响生存期长短的因素。
第三节 生存率的估计方法
• 生存率S(t)的估计方法有参数法和非参数 法。常用非参数法，非参数法主要有二个,即, 乘积极限法与寿命表法,前者主要用于观察例 数较少而未分组的生存资料,后者适用于观察 例数较多而分组的资料,不同的分组寿命表法 的计算结果亦会不同,当分组资料中每一个分 组区间中最多只有 1个观察值时,寿命表法的 计算结果与乘积极限法完全相同。
随访资料的记录：
•
• • • • •
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包括： (1)开始观察日期，终止观察日期---生存时间 (2)结局（最终的观察到的是死亡还是存活） 死于该病---完全数据 存活或死于其他原因---截尾数据 每个生存期数据要用2个变量表示：观察到的 生存时间和是否截尾（如：用1表示截尾，用0 表示死亡；4+ 用4，1表示；4用4，0表示）。 (3)协变量---各种影响生存期长短的因素。
寿命表法估计生存率步骤如下: 1.将观察例数按时间段(年)0-,1-,2-,划分,分别计数期初例数,死亡,失访, 截 尾例数列入表22.2的1-5列。事实上,从第二个时间段开始,期初人数ni 系由下式算 得: n'i=n'i-1-di-ui-wi 例如第二行,即时间段1-,有 n'2=126-47-4-15=60 2.计算各时间段期初实际观察例数,(亦称有效例数)ni ni=n'i-ui/2-wi/2 上式表明该时间段期初例数中的失访,及截尾例数只计其半时,即得有效例数。 如第一行,n1=126-4/2-15/2=116.5 3.分别用(22.5)(22.6)(22.7)式计算条件生存率^S(ti/ti-1),累积生存率s(ti) 及其标准误。 计算结果已列于表22.2中,第7,8,11列,表中9,10二列系用于第11列的计算。 例如时间段0--中 ^S(ti/ti-1)=(116.5-47)/116.5=0.5966 ^S(ti)=1×0.5966=0.5966 SE(S(ti))=0.5966×√5.805×10-3=0.0455 故一年生存率的估计为0.5966±0.0455 同样二年生存率的估计为0.5386±0.0479 由于寿命表法与积限法的累积生存率及其标准误的计算公式完全相同,所以,当 分组资料中每一个分组区间中最多只有1个观察值时,寿命表法就是积限法。
二. 寿命表法(Life Table Method)
• 适用于随访的病例数较多, 将资料按生存 期进行分组,在分组的基础上计算生存率 ,本 法也能用于不分组的资料,此时计算结果与积 限法相同。
某医院1946年1月1日到1951年12月31日收治的126例胃癌 病例,生存情况如表22.2,试用寿命表法估计生存率。 表22.2 126例胃癌患者寿命表法估计生存率
一. 乘积极限法(Product-Limit Method)
• 简称为积限法或PL法,它是由统计学家Kaplan和Meier 于1958年首先提出的, 因此又称为Kaplan-Meier法, 是利用条件概率及概率的乘法原理计算生存率及其标 准误的。 • 设S(t)表示t年的生存率,s(ti/ti-1)表示活过ti1年又活过 ti年的条件概率,例如s(1),s(2)分别表示 一年,二年的生存率,而s(2/1)表示活过一年者,再活一 年的条件概率,据概率的乘法定律有: • S(2)=S(1)S(2/1),一般地有 • S(ti)=S(ti-1)S(ti/ti-1)
生存期不同于一般指标的二个特点：
1.有截尾数据（censored data) 随访中未能知道病人的确切生存时间，只知 道病人的生存时间大于某时间。 （1）病人失访或因其他原因而死亡---失访 （2）到了研究的终止期病人尚未死亡---终访 截尾数据可记为t+,如： 4+ = 生存时间大于4年。
虽然截尾数据提供的信息是不完全的，但不 能删去，因为这不仅损失了资料，而且会造成偏 性。
• §1.3 风险函数(Hazard Function) • 用h(t)表示,其定义为: • h(t)=lim(在时间t生存的病人死于区间 (t,△t)的概率/△t) • 由于计算h(t)时,用到了生存到时间t,这 一条件,故上式极限式中分子部分是一个条件 概率。可将h(t)称为生存到时间t的病人在时 间t的瞬时死亡率或条件死亡速率或年龄别死 亡速率。当用t作横坐标,h(t)为纵坐标所绘的 曲线,如递增,则表示条件死亡速率随时间而增 加,如平行于横轴,则表示没有随时间而加速 (或减少)死亡的情况。
•
例22.1 用某中药加化疗(中药组)和化疗(对照组)两 种疗法治疗白血病后, 随访记录各患者的生存时间,不带 "+"号者表示已死亡,即完全数据,带"+" 号者表示尚存活, 即截尾数据,试作生存分析。时间单位为月。 • 中药组 10,2+,12+,13,18,6+,19+,26,9+,8+,6+,43+,9,4,31,24
第四节 生存率的比较
• 对照组 2+,13,7+,11+,6,1,11,3,17,7
资料中药组积限法计算生存率
───────────────────────────────────── 时间 状态 期初人数 死亡人数 条件生存率 累积生 di ∑di/ni(ni-di)累积生存 ti si ni di (ni-di)/ni 存率^S(ti)ni(ni-di) 率标准误 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨=⑥√⑧ ───────────────────────────────────── 2 活 4 死 15 1 0.9333 0.9333 0.004762 0.004762 0.0644 6 活 6 活 8 活 9 死 11 1 0.9090 0.8485 0.009091 0.013853 0.0999 9 活 10 死 9 1 0.8889 0.7542 0.013889 0.027742 0.1256 12 活 13 死 7 1 0.8571 0.6465 0.023810 0.051551 0.1468 18 死 6 1 0.8333 0.5387 0.033333 0.084885 0.1570 19 活 24 死 4 1 0.7500 0.4040 0.083333 0.168218 0.1657 26 死 3 1 0.6667 0.2694 0.166667 0.334885 0.1559 31 死 2 1 0.5000 0.1347 0.500000 0.834885 0.1231 43 活 ─────────────────────────────────────