狂刷28 一元二次不等式及其解法-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(原卷版)

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狂刷29 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学理人教(解析版)

A． B．1
C． D．3
【答案】D
【名师点睛】线性规划问题有三类：①简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；③线性规划的实际应用．
21．（2017浙江）若，满足约束条件，则的取值范围是
所以 + =( + )( + )=1+ + +1≥2+2 =4,
当且仅当 = ,即a= ,b=1时取等号,故 + 的最小值为4.
16．若不等式组表示的平面区域与直线y＝a(x＋1)有公共点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
17．记集合A={(x,y)|x2+y2≤1},B={(x,y)| }构成的平面区域分别为M,N,现随机向M中抛一粒豆子(大小忽略不计),则该豆子落入N中的概率为.
C．(-∞,6]D．[0,6]
【答案】B
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.
13．若满足约束条件，且，则的最大值为
A．1B．4
C．7D．10
【答案】C
【解析】∵点满足约束条件，
∴ ，学科/网
画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：
14．设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，|OP|表示点O与可行域内的点之间的距离,数形结合可知,|OP|的最小值为点O到直线x+y=3的距离,即|OP|min= .
9．若变量x,y满足约束条件且有无穷多个点(x,y)使得目标函数z=λx+2y取得最大值,则实数λ的值为_________.

一元二次不等式及其解法(测)-2019年高考数学---- 精校解析Word版

2019年高考数学讲练测【江苏版】【测】第七章不等式第02节一元二次不等式及其解法一、填空题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于________ 解析： A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是________解析： ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)． 3.已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － a ＋1 ≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －3≤0，x 2＋4x － 1＋a ≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________解析：由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32. 7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a > 0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)9．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2]二、解答题10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a 6－a 3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.11．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝f x x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4. 因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞。

专题02一元二次不等式及其解法-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(八)Word版含解析

【目标要求】二次方程【核心知识点】1一元二次不等式是最常见的不等式，其解取决于它作为方程的两个根，因此首先要判断方程是否有根，也即是要判断其判别式的正负，实际在解不等式前还要把它化成二次项为正值的情况，在这种情况下写出的解集不易出错。

2、一元二次不等式的解题步骤：（1）先判断二次项系数的符号，若为负，化成正数，注意不等号方向要改变。

（2）判断对应的一元二次方程的判别式大于0，等于0或小于0，解方程。

（3）根据一元二次方程的根，结合变形后不等号的方向，写出不等式的解集，“大于（号）找两边，小于（号）找中间”。

3、与一元二次不等式有关的恒成立问题一般与二次函数的图象联系起来进行求解。

通常需要考虑的是：二次函数的开口方向，判别式与0的大小关系等，有区间限制的恒成立问题还需要考虑区间端点的取值与对称轴的取值等。

4、简单的一元高次不等式采用数轴标根法（或叫标区间法，穿轴法）求解，其一般步骤为：（1）将f （x ）的最高次项的系数化为正数；（2）将f （x ）分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（4）根据曲线显现出f （x ）值的符号变化规律，写出不等式的解集。

5．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。

6．简单的绝对值不等式绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。

高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。

解绝对值不等式的常用方法：①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|<a x2<a2－a<x<a(a>0)，|x|>a x2>a2x>a或x<－a(a>0)。

一般地有：|f(x)|<g(x)－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。

狂刷27 不等关系与不等式-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

【答案】B
【解析】由得到 .
当时，由不等式同向可乘性知，即；
当时，；
当时，，由不等式同向可乘性知，故，则 .
故选B.
10．设，，，，则的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】D
11．已知奇函数在上是增函数，若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【答案】乙
【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为，
乙购买产品的平均单价为，由条件得．
∵ ，∴ ，
即乙的购买方式更优惠．
故填乙.
14．（2017新课标全国Ⅰ理科）设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3y
C．3y<5z<2xD．3y<2x<5z
【答案】D
【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.
8．设，，则是成立的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则成立，所以充分条件成立；
若，则当时成立，不满足，所以必要性不成立，
所以是的充分不必要条件.所以选A.学科&网
9．若，则下列结论一定成立的是
A． B．
C． D．
1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20 000元，设木工请x人，瓦工请y人，则x，y应满足的关系式是

2019高中数学高考真题分类：考点28-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考点28 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2018·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 12C.1D.2 【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a. 【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时,z 取得最小值,而点A 的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=1,2,故选B. 2.（2018·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值. 【解析】选B.由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。

作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.3. （2018·陕西高考文科·Ｔ7）若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 ( ) A. －6B .－2C. 0D. 2【解题指南】画出直线围成的封闭区域，把求2x-y 最小值转化为求y=2x-z 所表示直线的截距的最大值，通过平移可求解.【解析】选A.2||==y x y 与的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 在封闭区域内平移直线y=2x ，在点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值.4. （2018·山东高考理科·Ｔ6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（） A.2 B.1 C.13-D. 12- 【解题指南】本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值. 【解析】选C. 作出可行域如图由图象可知当M 位于点D 处时，OM 的斜率最小.由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-. 5.（2018·北京高考理科·Ｔ8）设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是（） A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解题指南】作出平面区域，则区域的边界点中有一个在x 0－2y 0=2的上方，一个在下方。

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。

当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。

2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。

3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。

3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。

对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。

例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。

例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。

例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。

又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。

狂刷28 一元二次不等式及其解法-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

解得x＜1或x＞3．
故x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
11．已知集合，，若，则实数的值是
A．0B．-2
C．0或-2D．0或-1
【答案】C
12．不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
∴8﹣x2＞﹣2x，即x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．
∴不等式的解集是{x|﹣2＜x＜4}．故选A．
【答案】( ， )
【解析】由题意可得(x－a) (x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＜1，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，即4a2－4a－3＜0，
解得＜a＜．
故实数a的取值范围为( ， ).
19．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则
A． B．
C． D．
10．对任意a [－1，1]，函数f(x)＝－x2＋(4－a)x＋2a－4的值恒小于零，则x的取值范围为_______．
【答案】(－∞，1)∪(3，＋∞)
【解析】f(x)＝－x2＋(4－a)x＋2a－4＝－(x－2)a－(x2－4x＋4)，
令g(a)＝－(x －2)a－(x2－4x＋4)，
则当a [－1，1]时，g(a)＜0恒成立，所以，即，
，即，解得，
则实数的取值范围为 .故选B.学科&网
6．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，，
对任意的恒成立，
令，
则，即，
解得或 .故选D.
7．函数的定义域为__________.
【答案】[0,1]．

一元二次不等式及其解法-学易试题君之每日一题君2019年高考数学(文)一轮复习

1 10月3日一元二次不等式及其解法高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆解关于x 的不等式：()2230()x a a x a a -++>∈R .【参考答案】见试题解析.【试题解析】将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->.当a <0时，有a < a 2，所以不等式的解集为2{|}或x x a x a <>；当a =0时，a = a 2=0，所以不等式的解集为,{|}0且x x x ∈≠R ；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|}或x x a x a <>；当a =1时，a = a 2=1，所以不等式的解集为,{|}1且x x x ∈≠R；当a >1时，有a < a 2，所以不等式的解集为2{|}或x x a x a <>【解题必备】1．解答本题时，首先，不等式对应的一元二次方程可以因式分解，由此得出一元二次方程的根后分类讨论根的大小；其次，与不等式对应的方程的根的大小不确定时，必须讨论根的大小.2．求解一元二次不等式的步骤：（1）通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，且二次项系数为正；（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根；（4）根据一元二次方程根的情况，画出对应的二次函数的大致图象；（5）根据图象写出不等式的解集.3．解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.。

狂刷31 不等式的综合应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．函数2221xy x x x+=+---的定义域是 A ．[]2,1-- B ．[]2,1- C ．[)2,+∞ D ．()(),11,-∞+∞【答案】A2．已知0,0a b >>,且111,,2a b成等差数列,则9a b +的最小值为 A ．16 B ．9 C ．5D ．4【答案】A 【解析】∵111,,2a b 成等差数列,∴111a b+=. 所以()119991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当9b aa b=时等号成立.故选A ． 3．记函数()212f x x x =--的定义域为D ，在区间[]5,5-上随机取一个实数x ，则x D ∈的概率是105C ．110 D ．15【答案】A【解析】函数()212f x x x =--的定义域为22{|120}{|120}D x x x x x x =--≥=+-≤{|43}x x =-≤≤，学&科网则在区间[]5,5-上随机取一个实数x ，x D ∈的概率是()()3475510P --==--．故选A ． 4．若关于x 的方程()92340xxa +-+=有解，则实数a 的取值范围是 A ．()2,-+∞ B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．[)4,-+∞【答案】C5．若不等式对一切实数恒成立,则关于的不等式的解集为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为不等式对一切实数恒成立,所以,所以0<a<1,所以函数y=a x 是减函数,由可得,所以.6．已知x ,y 满足230,330,1,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩z =2x +y 的最大值为m ,若正数a ,b 满足a +b =m ,则1a +4b 的最小值为2C ．43D ．52【答案】B【解析】画出不等式组230,330,1x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示,学*科网7．设，则的大小关系为___________.【答案】【解析】因为e<3，所以，即，又>1，所以.8．已知0,0m n >>,若212m n =-,则327m n+的最小值为___________. 【答案】969．设x ,y 满足约束条件360,20,,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩若目标函数z =ax+by (a ,b >0)的最大值是12,则a 2+b 2的最小值是___________.【答案】3613【解析】作出不等式组360,20,,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示.目标函数z =ax+by (a ,b >0)在过点A 时,z 取得最大值12,由360,20,x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得4,6,x y =⎧⎨=⎩即A (4,6),故4a+6b =12,即2a+3b =6.a 2+b 2的最小值表示(a ,b )与(0,0)两点间距离的平方的最小值,所以(a 2+b 2)min =(22623+)2=3613.10．已知集合，，则集合()AB R ð中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】∵，∴{}|13A x x =-≤≤R ð，则()ABRð.故选C. 学科@网11．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则A ．f (4)＞f (0)＞f (1)B ．f (4)＞f (1)＞f (0)C ．f (0)＞f (1)＞f (4)D ．f (0)＞f (4)＞f (1)【答案】A12．在ABC △中，A ，B ，C 分别为边a ，b ，c 所对的角，且a ，b ，c 成等差数列，则角B 适合的条件是A ．04B π<≤ B ．03B π<≤C ．02B π<≤D ．2B π<<π 【答案】B【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，所以2222222222()323()16114cos 22884842()a c a c a c b a c ac a c ac B ac ac ac ac ac ++-+-+-+====-≥-=，当且仅当a b c ==时等号成立．又B 为三角形的内角，所以03B π<≤．故选B ． 13．已知在平面直角坐标系中,点P 是不等式组210,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内的动点,Q 是直线3x +y =0上任意一点,O 是坐标原点,则|OP -OQ |的最小值为A ．1010B ．31010C ．22D．3【答案】A【解析】作出不等式组210,10,330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示.14．若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是____________.【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴对任意恒成立，当时，不等式化为，不恒成立；当时，则440kk∆>=-≤⎧⎨⎩，解得，综上，实数的取值范围是．故答案为.15．设x>0,y>0,且(x-1y)2=16yx,则当x+1y取最小值时, x2+21y=.【答案】1216．已知整数x ,y 满足20,350,x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则z =4-x ·(12)y的最小值为 . 【答案】116【解析】z =4-x ·(12)y =2-2x ·2-y =2-2x -y . 设m =-2x -y ,要使z 最小,则只需m 最小. 作出不等式组20,350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由m =-2x -y 得y =-2x -m ,平移可知当直线y =-2x -m 经过点B 时,m 最小, 由解得即B (1,2),此时m =-2-2=-4,所以z =4-x·()y 的最小值为2-4=116.学科.网 17．直线20(0,0)mx ny m n -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为______________．【答案】9 2【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．。

狂刷29 基本不等式及其应用-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(文)人教版 (原卷版)

9．设a>0,b>0.若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围是______________．
10．若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是______________．
11．“a>0,b>0”是“ab<( )2”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
专题七不等式
狂刷29基本不等式及其应用
1．若函数在x＝a处取得最小值，则a＝
A． B．
C．3D．4
2．下列正确的是
A．若a,b∈R,则 + ≥2B．若x<0,则x+ ≥-2 =-4
C．若ab≠0,则 + ≥a+bD．若x<0,则2x+2-x>2
3．已知m>0,n>0,2m+n=1,则 + 的最小值为
A．4B．2
C． D．16
4．若，则的取值范围为
A． B．
C． D．
5．等差数列中,如果 ,且 ,那么的最大值为
A． B．
C． D．
6．已知 ,且 ,则的最小值为
A．8B．9
C．12D．16
7．已知 ,若 ,则的最小值为
A．4B．9
C．8D．10
8．已知函数，，则的最小值是______________．学科=网
12．下列函数中,最小值为4的是
A．y= B．y=sinx+ (0<x<π)
C．y=ex+4e-xD．y=log3x+4logx3
13．已知函数 , ,则的最小值等于
A． B．
C． D．
14．已知是内的一点,且 ,若和的面积分别为 ,则的最小值是

一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)(精品范文).doc

【最新整理，下载后即可编辑】一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ例1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法）解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ．例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（）A ．(x －3)(2－x)≥0 B．0＜x －2≤1C ．≥230--x xD ．(x －3)(2－x)≤0练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )．A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)答案 D2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3) 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组．解由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+- 解先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝．说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题．练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。

狂刷28 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学文人教版(解析版)

直线y＝a(x＋1)恒过点P(－1，0)，且斜率为a，
由斜率公式可知，，
若直线y＝a(x＋1)与图中阴影区域有公共点，结合图形可得 ≤a≤4．
A．元B．元
C．元D．元
【答案】B
由得，
平移直线，由图象知当直线经过点时，
直线的截距最大，此时最大，
由，得，即，
此时，
故选
7．已知点(1,2)和(1,1)在直线y－3x－m＝0的两侧,则m的取值范围是_________.
【答案】
【解析】把点，分别代入直线方程，得，即，得 .故的取值范围是 .
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
设，得，
平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最大．
此时z的最大值为，故选C.
4．设x，y满足约束条件，若目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是
A．（-6，-3）B．（-6,3）
C．（0,3）D．（-6,0]
13．若满足约束条件，且，则的最大值为
A．1B．4
C．7D．10
【答案】C
【解析】∵点满足约束条件，
∴ ，
画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：学科网
由得目标函数 .
作直线，并平移，
由图可知，当过点时，取得最大值，
由，解得 .
∴ 的最大值为 .
故选C．
14．设不等式组表示的平面区域为，若在区域上存在函数图象上的点，则实数的取值范围是
z=(x-1)2+y2表示点(x,y)与点P(1,0)间距离的平方.
易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大,因此zmax=(2-1)2+42=17.

狂刷08 函数与方程-学易试题君之小题狂刷2019年高考数学(理)人教版(解析版)

1．函数1()ln1f x xx=--的零点的个数是A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解析】如图所示，易知y=ln x与11yx=-的图象有两个交点．2．函数的零点是A．或B．或C．D．或【答案】D3．已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，①当时，有两个零点，不成立；②当时，在上有零点，故不成立；③当时，在上有且只有一个零点；故在上没有零点；而当时，在上取得最小值，故.∴综上所述，实数的取值范围是.故选C.学%科网【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.4．函数21()ln1f xx x=+-的零点所在的大致区间是A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(1,2)与(2,3)【答案】B【规律总结】判断函数零点所在区间的方法：一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．5．已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是A．3 B．5C．7 D．9【答案】D6．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y =ln xB ．21y x =+C ．y =sin xD ．y =cos x【答案】D【解析】选项A ：x y ln =的定义域为(0，+∞)，故x y ln =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：12+=x y 是偶函数，但012=+=x y 无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：x y sin =是奇函数，故C 错；学*科网选项D ：x y cos =是偶函数，且0cos ==x y 2x k π⇒=+π，k ∈Z ，故D 项正确．7．已知函数()211log 2xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若0x 是方程()0f x =的根，则0x ∈A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3, 22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B8．函数223,0()=2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤⎨-+>⎩的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由20230x x x ≤⎧⎨+-=⎩得3x =-，又02ln 0x x >⎧⎨-+=⎩得x =e 2，∴f (x )的零点个数为2.9．函数的零点个数为__________．【答案】7 【解析】函数的零点个数，就是与图象交点个数，同一坐标系内作出与图象，如图，由图可知与图象有个交点，所以函数的零点个数为，故答案为6. 学科@网【名师点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.10．已知0x 为方程321()02x x --=的解，若0x 所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n 的值为_______________．【答案】111．函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数为_______________．【答案】2【解析】求函数()21log 22f x x x =-+的零点的个数，即求方程21log 202x x -+=的解的个数，也就是求函数2log y x =的图象与122y x =-的图象的交点个数．如图所示，可得()21log 22f x x x =-+的零点的个数为2．12．已知函数f (x )＝32x x ax x a⎧≤⎨>⎩,,，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是_______________．【答案】(−∞，0)∪(1，＋∞)13．已知12,x x 是函数()2sin cos f x x x m =+-在[]0,π内的两个零点，则()12sin x x +=A ．12 B ．35 C ．45D ．34【答案】C【解析】因为()2sin cos 5sin()f x x x m x m ϕ=+-=+-，其中21cos ,sin 55ϕϕ==，由函数()f x 在[]0,π内有两个零点，知方程5sin()0x m ϕ+-=在[]0,π内有两个根，即函数y m =与5sin()y x ϕ=+的图象在[]0,π内有两个交点，且12,x x 关于直线2x ϕπ=-对称，所以12x x +=2ϕπ-，所以124sin()sin(2)sin 22sin cos 5x x ϕϕϕϕ+=π-===，故选C ． 14．已知函数()||()ln 001xf x x a x a =-><<,的两个零点是12x x ,，则 A ．1201x x <【答案】A【解析】因为()|||ln ln 0|xxf x x a x a =-=⇔=，作出函数n ||l y x =，x y a =的图象如下图所示，不妨设12x x <，则1210x x <<<，从而1ln 0x <，2ln 0x >，因此111|ln |ln xx a x ==-，22|ln |x x a ==2ln x ．故211212ln ln ln 0x x x x x x a a =+=-<，所以1201x x <<．故选A ．15．已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为直线3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-．若函数()f x 在区间(1k -，k )(k ∈Z )上有零点，则k 的值为 A ．1或−8 B ．2或−8 C ．1或−7D ．2或−7【答案】D16．若函数()()20(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩，且函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,1]2-B ．1[,1)2-C ．1(,0)4-D ．1(,0]4-【答案】C【解析】函数()()g x f x m =-有3个不同的零点，等价于()y f x =与y m =的图象有3个不同的交点，作出函数()f x 的图象，如图，由二次函数的知识可知，当12x =时，2x x -取得最小值为14-，函数y m =的图象为平行于x 轴的直线，由图象可知当1(0)4m ∈-，时，两函数的图象有3个不同的交点，即函数()g x 有3个不同的零点，故选C ．学%科网17．已知函数()2x f x x =+，若关于x 的方程()2f x kx =有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤【答案】A【解题技巧】对于已知函数零点的个数求参数的取值范围的问题，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．对于此类问题的求解，一般是先分解为两个简单函数，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，依交点个数寻找关于参数的不等式，求解即可得结论． 18．若函数()f x 满足()11()1f x f x -=-，当x ∈[−1，0]时，()f x x =，若在区间[−1，1)上，()g x =()f x mx m -+有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．1[,1]2B ．1(0,)2C ．1(0,]2D ．11(,0)(0,)22-【答案】C19．若偶函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数()()lg g x f x x=-的零点个数为 A ．14 B ．16 C ．18D ．20【答案】C【解析】函数()()lg g x f x x =-的零点个数，即函数()y f x =的图象与lg y x =的图象的交点个数，由偶函数()f x 的图象关于1x =对称，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，作出函数()y f x =的图象与lg ||y x =的图象，如图所示，由图象可知，交点个数为18．故选C ．20．设函数()22,0,0x f x x bx c x >⎧=⎨++≤⎩，若4=)()(0f f -，()22f -=-，则关于x 的方程()=f x x 的解的个数为_______________．【答案】321．函数()()2()|ln |224cos cos 2sin 1f x x x x x =---+π的零点个数为_______________．【答案】2 【解析】因为()()()2()|ln 4cos cos 2sin 12|221cos sin 2sin f x x x x x x x x =---++⋅-π=-()|ln 1|x +()sin 2n 1||l x x =-+，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．学科&网22．若函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为_____________．【答案】221[1,1){1}e e--- 【解析】函数()ln f x x x mx =--在区间[1，2e ]内有唯一的零点等价于方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]内有唯一的实数解，又0x >，所以ln 1xm x=-，要使方程ln x x mx -=在区间[1，2e ]上有唯一的实数解，只需ln 1x m x =-有唯一的实数解．令()()ln 10xg x x x=->，则()g 'x =21l n xx -，由()0g 'x >得0e x <<，由()0g 'x <得e x >，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，2e ]上是减函数．又g (1)＝−1，g (e)＝1e −1，g (2e )＝221e -，故2211e m -≤<-或11em =-．23．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）【答案】C【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果. 学.科网24．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.25．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 26．（2017山东理）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y x m =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(][23)0,1,+∞B ．(][3,)01,+∞C ．(][23)0,2,+∞D ．(][3,)02,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，211,(1)y mx m≥=-在[]0,1x ∈上单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+在[]0,1x ∈上单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)m -≥13m m +⇒≥．故选B ．学科@网【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．27．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[23,2]- C ．[2,23]-D ．[23,23]-【答案】A【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解． 28．（2015天津理）已知函数()222(2)2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,,，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ．若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是A ．7(,)4+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(,2)4【答案】D29．（2016天津理）已知函数()()()24330log 110a x a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩,,(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程()||2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．72(,]43B ．23[,]34C ．123[,]{}334D ．123[,){}334【答案】C【解析】当0x <时，f (x )单调递减，必须满足432a --≥0，故0＜a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需31a ≥，即13a ≥，所以1334a ≤≤．结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2−x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2−x 只有一个实数解．因此，只需当x ＜0时，方程|f (x )|＝2−x 恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x ＜0时，f (x )＞0，即只需方程f (x )＝2−x 恰有一个实数解，即()24332x a x a x +-+=-，即()2221320x a x a +-+-=在(−∞，0)上恰有唯一的实数解，判别式()()()()()2242143244734143a a a a a a ∆=---=-+=--，因为1334a ≤≤，所以0∆≥．当3a −2＜0，即a ＜23时，方程()2221320x a x a +-+-=有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a −2＝0，即a ＝23时，方程()2221320x a x a +-+-=的一个根为0，一个根为23-，满足要求；当3a −2＞0，即23＜a ＜34时，因为− (2a −1)＜0，此时方程()2221320x a x a +-+-=有两个负实根，不满足要求；学科&网当a =34时，方程()2221320x a x a +-+-=有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a 的取值范围是123[,]{}334．故选C ．30．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 31．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (]()1,34,+∞【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；学.科网(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．32．（2018年天津理）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________. 【答案】()48，【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--，则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.33．（2015年湖北卷理）函数()()2()|ln |224coscos 2sin 1f x x x x x =---+π的零点个数为_________．【答案】2【解析】因为()()()2()|ln 4coscos 2sin 12|221cos sin 2sin f x x x x x x x x =---++⋅-π=- ()|ln 1|x +()sin 2n 1||l x x =-+，所以函数f (x )的零点个数为函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．34．（2017年江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________．【答案】8画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．学%科网【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 35．（2016年山东理）已知函数()224x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩,,，其中0m >．若存在实数b ，使得关于x的方程()f x b =有3个不同的根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】(3，＋∞)【解析】函数()f x 的大致图象如图所示，根据题意知只要24m m m >-即可，又m ＞0，解得m ＞3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．。

狂刷28 一元二次不等式及其解法 (解析版)

专题七不等式狂刷28 一元二次不等式及其解法1．不等式2230x x +-≥的解集为 A ．{x|x ≤−3或x ≥1} B ．{x |−1≤x ≤3} C ．{x|x ≤−1或x ≥3} D ．{x |−3≤x ≤1}【答案】A【解析】因为x 2+2x −3=0的两根为−3,1，不等式可化为(x +3)(x −1)≥0，所以不等式x 2+2x −3≥0的解集为{x| x ≤−3或x ≥1}. 故选A ． 2．不等式103xx -≤-的解集是 A ．{x |1x ≤或x ＞3} B ．{x |1x ≤或3x ≥} C ．{x |1≤x ＜3} D ．{x |1≤x ≤3}【答案】A 【解析】由103x x -≤-得103x x -≥-,则(3)(1)03x x x --≥≠⎧⎨⎩，解得1x ≤或x ＞3. 故选A.3．若关于x 的方程x 2−(m −1)x +(2−m )=0的两根为正实数，则实数m 的取值范围是A ．1m ≤--1m ≥-+B ．1<m <2C ．m ≥ 2√2−1D ．-1+2√2≤m ＜2【答案】D【解析】若关于的方程x 2−(m −1)x +(2−m )=0的两根为正实数，则{(m −1)2−4(2−m)≥0m −1＞02−m ＞0解得-1+2√2≤m ＜2．故选D ．4．如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x|1<x <3}，那么b a 等于 A ．-81 B ．81 C ．-64D ．64【答案】B【解析】不等式x 2<ax +b 可化为x 2−ax −b <0，其解集是{x|1<x <3}，那么，由根与系数的关系得{1+3=a 1×3=−b，解得a =4,b =−3， ∴b a =(−3)4=81，故选B ．5．若关于x 的不等式x 2−2ax −8a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2−x 1=15，则a ＝ A ．56- B ．52- C ．154-D ．152-【答案】B【解析】∵关于x 的不等式x 2−2ax −8a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)， ∴x 1,x 2是一元二次方程x 2−2ax −8a 2=0(a <0)的实数根， ∴Δ=4a 2+32a 2>0,x 1+x 2=2a,x 1x 2=−8a 2, ∵x 2−x 1=15,∴152=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4a 2+32a 2, 又a <0，解得a =−52. 故选B ．6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是A ．(−∞,−2)∪(1,+∞)B ．(−1,1)C ．(−2,1)D ．(−1,2)【答案】C【解析】∵()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩， ∴函数f (x )是奇函数，且在R 上单调递增， ∴f(2−a 2)>f(a)等价于2−a 2>a ，即a 2+a −2<0，解得−2<a <1，∴实数a 的取值范围是(−2,1). 故选C.7．若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是 A ．2{|1}3x x -< C ．2{|1}3x x -<< D ．2{|3x x <-或1}x > 【答案】C【解析】由题意可知，1和2是关于x 的方程210ax bx +-=的两实数根，由根与系数的关系可得12112b a a +=-⋅=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1232a b ⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，所以不等式210bx ax +-<，即为2311022x x --<，即2320x x --<，解得213x -<<. 故选C.8．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是 A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k【答案】A【解析】当0k =时，不等式为80≥恒成立，符合题意；当0k >时，若不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则2364(8)0k k k ∆=-+≤，解得01k <≤；当0k <时，不等式2680kx kx k -++≥不能对任意x ∈R 恒成立. 综上，k 的取值范围是01k ≤≤. 故选A.9．已知函数f(x)=x 2+(2m −1)x +1−m ，若对任意m ∈[−1,0]，都有f(x)>0成立，则实数x 的取值范围为A ．(−1,2)B ．(1,2)C ．(−∞,−1)∪(2,+∞)D ．(−∞,1)∪(2,+∞)【答案】D【解析】∵f(x)>0，∴x 2+(2m −1)x +1−m >0， ∴(2x −1)m +x 2−x +1>0对任意的m ∈[−1,0]恒成立，令g(m)=(2x −1)m +x 2−x +1，则()()1000g g ->>⎧⎪⎨⎪⎩，即22121010x x x x x ⎧-+-+>⎪⎨-+>⎪⎩，解得x <1或x >2. 故选D.10．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是A ．2030x ≤≤B ．2045x ≤≤C ．1530x ≤≤D ．1545x ≤≤【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则2(1602)(50030)2130500y x x x x x =-⋅-+=-+-(080)x <<，根据题意知，221305001300x x -+-≥，解得2045x ≤≤，所以当2045x ≤≤时，每天获得的利润不少于1300元. 故选B ．11．函数y =√x −x 2的定义域为__________.【答案】[0,1]【解析】要使函数有意义，则x −x 2≥0，即x 2−x ≤0，解得0≤x ≤1，即所求函数的定义域为[0，1]．故答案为[0，1]． 12221xx 的解集是__________. 【答案】1{|}01x x x 或【解析】通过移项、整理，原不等式可变为10xx ，即1)10x x ，即(1)(01)x x x .利用“穿针引线法”，结合下图，可得原不等式的解集是1{|}01x x x 或.13．若函数f (x )＝2log (x 2－2ax －a )的定义域为R ，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(－1，0)【解析】由已知可得x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立，所以Δ＝(－2a )2＋4a ＜0，解得－1＜a ＜0．故实数a 的取值范围为(－1，0)．14．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．【答案】()2,1--【解析】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．15．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 . 【答案】【解析】根据题意得222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m =+-<+=+++-<⎧⎪⎨⎪⎩解得02m -<<．故答案为.16．设集合{}2A x x x =≤，11B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = A ．(]0,1B ．[]0,1 C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞【答案】A【解析】求解不等式2x x ≤可得：{}|01A x x =≤≤，求解不等式11x≥可得{|01}B x x =<≤，结合交集的定义可知A B =(]0,1.故选A ． 17．不等式282133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是A ．{|24}x x -<-【答案】A 【解析】由2821()33xx -->，得28233x x -->，∴8﹣x 2＞﹣2x ，即x 2﹣2x ﹣8＜0，解得﹣2＜x ＜4． ∴不等式2821()33x x --＞的解集是{x |﹣2＜x ＜4}．故选A ．18．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集是{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象是A B C D【答案】B【解析】因为不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集是{x ｜－2＜x ＜1}，所以a ＜0且－2，1是方程ax 2－x －c ＝0的两个根，所以121a -+=，21c a-⨯=-，解得a ＝－1，c ＝－2，所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2，令f (－x )＝0，则－x 2＋x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 故选B ．19．已知函数f(x)=(ax −1)(x +b)，如果不等式f(x)>0的解集为(−1,3)，那么不等式f(−2x)<0的解集为A ．(−∞,−32)∪(12,+∞) B ．(−32,12) C ．(−∞,−12)∪(32,+∞)D ．(−12,32)【答案】A【解析】由f(x)=(ax −1)(x +b)>0的解集是(−1,3)，得0a <，且1a =−1,−b =3，即a =−1,b =−3，∴f(x)=−x 2+2x +3，∴f(−2x)=−4x 2−4x +3，由−4x 2−4x +3<0，解得x >12或x <−32，故不等式f(−2x)<0的解集是(−∞,−32)∪(12,+∞). 故选A ．20．设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则22(1)(1)a b -+-的最小值是A ．494- B ．18 C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，所以由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，所以()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且3m ≥或2m ≤-，由二次函数的性质知，当3m =时，函数2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最小值为8，即22(1)(1)a b -+-的最小值为8. 故选C ．21．已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ．[1,+∞)B ．[−1,4)C ．[−1,+∞)D ．[−1,6]【答案】C【解析】不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立，等价于22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立，令yt x=，则13t ≤≤，22a t t ∴≥-在[]1,3上恒成立， 22112248y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，1t ∴=时，max 1,1y a =-∴≥-，即a 的取值范围是[)1,-+∞. 故选C ．22．若m <0，则不等式35x 2−2mx <m 2的解集为_________.【答案】,57m m ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】∵35x 2−2mx <m 2(m <0)，∴35x 2−2mx −m 2=(5x −m )(7x +m )<0(m <0)，解得57m m x <<-， ∴所求不等式的解集为,57m m ⎛⎫-⎪⎝⎭． 2323)(01)2x x x 的解集是_________.12}3x x 或【解析】不等式2(3)(01)2x x x 即2(3)(1)(20)20x x x x ≠，由穿针引线法得322x xx 或1≠，即原不等式的解集是12{|}3x x x 或.24．若集合{x|y =√x 2+2(a +1)x +a 2−5}=R ，则实数a 的取值范围是______________.【答案】a ≤−3【解析】因为集合{x|y =√x 2+2(a +1)x +a 2−5}=R ，所以x 2+2(a +1)x +a 2−5≥0恒成立，即4(a +1)2−4(a 2−5)≤0，解得a ≤−3.25．要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．【答案】−2<a <1【解析】由题意，设f (x )=x 2+(a 2−1)x +a −2，要使得关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足f (1)<0，即a 2+a −2<0，即(a −1)(a +2)<0，解得−2<a <1，故实数a 的取值范围是−2<a <1.26．在R 上定义运算◊：x ◊y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )◊(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】(12-，32) 【解析】由题意可得(x －a )◊(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，即4a 2－4a －3＜0，解得12-＜a ＜32．故实数a 的取值范围为(12-，32). 27．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则MN =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}MN x x =-<<．故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 28．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞．故选A ．【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．29．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -< D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥【答案】B【解析】解不等式x 2−x −2>0得x <−1或x >2，所以A ={x|x <−1或x >2}，所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R，故选B ．30．（2016江苏）函数y的定义域是 .【答案】[3,1]-【解析】要使函数式有意义，必有2320x x --≥，即2230x x +-≤，解得31x -≤≤．故答案为[3,1]-.。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题26一元二次不等式及其解法(教学案)含解析

1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

热点题型一一元二次不等式的解法例1、解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0。

【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。

(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系。

(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。

【举一反三】解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0。

【解析】原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0。

当a ＜1时，不等式等价于a ＜x ＜1，当a ＝1时，不等式解集为∅，当a ＞1时，不等式等价于1＜x ＜a 。

综上，a ＜1时，解集为{x |a ＜x ＜1}， a ＝1时解集为∅，a ＞1时解集为{x |1＜x ＜a }。

热点题型二一元二次不等式恒成立问题例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3。

(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围。

⎩⎪⎨⎪⎧a ≥47－3a ≥0，a 无解； ②当－a2≥2，即a ≤－4时，g (x )在[－2,2]上单调递减，g (x )在[－2,2]上的最小值为g (2)＝7＋a ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－47＋a ≥0，解得－7≤a ≤－4； ③－2＜－a 2＜2，即－4＜a ＜4时，g (x )在[－2,2]上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24－a ＋3，因此⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4－a 24－a ＋3≥0，解得－4＜a ≤2。

综上所述，实数a 的取值范围是－7≤a ≤2。

【提分秘籍】恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数。

22版：一元二次不等式及其解法（步步高）

§1.5一元二次不等式及其解法考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )(4)x －a x －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )题组二教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4) D ．(－2,4)答案 B解析由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝(1,3)．3．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.4．函数y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是____________________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三易错自纠5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案－14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于( ) A ．{－4,1} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 答案 D解析 ∵A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |(x ＋1)(x －4)<0}＝{x |－1<x <4}，B ＝{－4,1,3,5}， ∴A ∩B ＝{1,3}．(2)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案 B解析原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立；当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32解析设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．跟踪训练2 (1)若不等式ax 2－x ＋a >0对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．a <－12或a >12B ．a >12或a <0C ．a >12D ．－12<a <12答案 C解析当a ＝0时，－x >0不恒成立，故a ＝0不合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0. 解得a >12.(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，f (0)>0f (0)<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <0，f (0)<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >0，f (0)<0f (0)>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，a ·f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，a ·f (0)>0a ·f (0)<0表二：(两根与k 的大小比较)分布情况两根都小于k 即x 1<k ，x 2<k两根都大于k 即x 1>k ，x 2>k一个根小于k ，一个根大于k 即x 1<k <x 2大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0f (k )>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n 0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，f (n )>0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )>0，f (n )<0，f (p )<0，f (q )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0 大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )<0，f (n )<0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )>0，f (p )>0，f (q )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )·f (n )>0，m <－b 2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．解设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)，由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1.例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0 ⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12.。

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C． D．或
14．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集是{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的大致图象是
ABCD
15．已知不等式对于恒成立,则的取值范围是
A． B．
C． D．
16．若，则不等式的解集为_________.
17．不等式的解集是_________.
18．在R上定义运算：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为________.
19．（2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则的定义域是.
1．不等式的解集为
A． B．
C． D．
2．不等式的解集是
A．{x| 或x＞3}B．{x| 或 }
C．{x|1 x＜3}D．{x|1≤x≤3}
3．若关于的方程的两根为正实数，则实数的取值范围是
A．或 B．
C． D．
4．若关于的不等式的解集为(x1，x2)，且，则＝
A． B．
C． D．
5．若不等式的解集为，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．或
6．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x的取值范围为
A． B．
C． D．
7．函数的定义域为__________.
8．不等式的解集是__________.
9．若函数f(x)＝ (x2－2ax－a)的定义域为R，则实数a的取值范围为_______.
10．对任意a [－1，1]，函数f(x)＝－x2＋(4－a)x＋2a－4的值恒小于零，则x的取值范围为_______．
11．已知集合，，若，则实数的值是
A．0B．-2
C．0或-2D．0或-1
12．不等式的解集是
A． B．
C． D．
13．若关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是
A． B．或