北师大版4.3向量平行的坐标表示

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北师大版高中必修44.3向量平行的坐标表示课程设计 (2)

北师大版高中必修44.3向量平行的坐标表示课程设计背景向量是线性代数的重要内容，在高中数学课程中也占有重要地位。

本课程设计主要围绕高中数学必修课程44.3向量平行的坐标表示展开，通过理论讲解和实践操作，帮助学生深入了解向量的平行概念和坐标表示方法，从而提高学生的向量知识运用能力和数学思维能力。

目标通过本课程设计，学生应该能够：•理解向量平行的概念，能够判断两个向量是否平行；•掌握向量的坐标表示方法，能够将向量的坐标表示出来；•通过实践操作，巩固和提高对向量平行和坐标表示的理解和应用。

设计教学资源•北师大版高中数学教材44.3向量平行的坐标表示篇章；•讲义、课件和习题集等辅助教材。

教学内容理论讲解•向量平行的概念：通过示意图、例题等方式引入向量平行的概念，让学生理解向量平行的定义和特点；•向量的坐标表示方法：通过示例演示和实践操作，让学生掌握向量的坐标表示方法和应用。

•运用向量平行的坐标表示方法解决实际问题：通过课堂练习、小组讨论等方式，让学生巩固和应用所学知识，提高数学思维和解决问题的能力。

教学过程第一步：引入向量平行的概念•通过幻灯片展示向量平行的定义和示意图等内容，引入向量平行的概念；•让学生通过思考、讨论等方式，探索向量平行的特点。

第二步：向量的坐标表示方法•通过幻灯片展示向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示方法；•让学生通过实践操作，演示和计算向量的坐标表示方法。

第三步：运用向量平行的坐标表示方法解决实际问题•通过示例演示，让学生理解向量坐标表示方法在实际问题中的应用；•分组，让学生进行小组讨论，解决实际问题，提高数学解决问题的能力。

教学评估本课程设计通过以下方式进行教学评估：课堂小测验在理论讲解和实践操作阶段，通过课堂小测验进行快速检测，帮助学生掌握所学知识。

在实践操作阶段，通过课堂练习进行个人和小组表现的评估，帮助学生巩固和应用所学知识。

作业评估通过作业的布置、批改及阶段性检查，对学生应用所学知识进行考核和评估。

§4.3向量平行的坐标表示高中数学必修4(北师大版)

§4.3向量平行的坐标表示
1.了解用坐标表示的平面向量平行条件的推导过程.
2.理解用坐标表示的平面向量平行的条件.
3.会根据坐标表示的平面向量平行的条件解决问题.
1.本课的重点是用坐标表示的平面向量平行的条件. 2.本课的难点是用平面向量平行的坐标表示解决问题.
平面向量平行的坐标表示前提条件 a=(x1,y1),b=(x2,y2)，其中a≠0，结论
2 4 3 4 1 2
答案：②
2.解题流程：
变形
转化 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在惟一实数 , 使ka+b= (a-3b),即(k-3,2k+2)= (10,-4),
④e1=(2,-3),e2=( 1 , 3 )
2 4
2.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【解析】1.对于①，因为e1是零向量，所以e1∥e2,
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.
对于②，因为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-1)〓7-5〓2=-17≠0，所以e1与e2不共线，所以
e1=(-1,2)与e2=(5,7)能作为平面内所有向量的基底.
对于③，因为3〓10-6〓5=0，所以e1∥e2,所以e1=(3,5)与 e2=(6,10)不能作为平面内所有向量的基底. 对于④，因为2〓 ( ) 〓(-3)=0，所以e1∥e2, 所以e1=(2,-3)与e2=( 1 , 3 )不能作为平面内所有向量的基底.

高中数学第1部分第二章§44-3向量平行的坐标表示课件北师大版必修

[一点通]
解决向量共线问题时，常常根据向量平
行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．
3．若向量a＝(1,2)，b＝(x，－1)，且(a＋2b)∥b，则 x＝________.
解析：a＋2b＝(1＋2x,0)，由(a＋2b)∥b， 1 可得－(1＋2x)＝0，解得 x＝－ . 2 1 答案：－ 2
1．向量平行的坐标表示是根据共线向量定理推出的， x1 y1 当向量 b＝(x2，y2)的坐标满足 x2y2≠0 时，才有＝成立． x2 y2 2．对于任意两个向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，有 a ∥b ⇔x1y2＝x2y1，简记为“纵横交错，积相等”．
[例 1] 已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB 与 CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解
决具有代数化的特点，程序化的特征．
向量平行的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当a∥b时，有 x1y2－x2y1＝0 . (2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝
x1 y1 ＝ x2 y2
成力 . 即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
理解教材新知第二章 §4
考点一Biblioteka 4.3把握热点考向
考点二考点三
应用创新演练
问题：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，试想若
a∥b，它们的坐标有何关系？
提示：由a∥b, 则b＝λa，用坐标可写为(x2，y2)＝λ(x1，y1)，

高中数学北师大版必修4第二章《4.3向量平行的坐标表示》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案

高中数学北师大版必修4第二章《4.3向量平行的坐标表示》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
(1)知识教学目标:
理解向量的坐标表示法与平面向量和一对有序实数的一一对应关系;
能准确表述平面向量的坐标运算的规律;
并掌握用平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法。

(2)能力训练目标:
培养学生观察、分析、比较、归纳的能力及创新能力;
培养学生运用数形结合的方法去分析和解决问题的能力。

(3)德育渗透目标:
通过学习平面向量的坐标运算,实现几何与代数的完全结合,让学生明白:知识与知识之间,
事物与事物之间的相互联系和相互转化;
通过讨论探究及加强练习的学习,培养学生的辩证思维能力,养成勤于动脑,明辨是非的学习作风。

2学情分析
本节的授课内容为高三数学总复习《平面向量的基本定理及坐标表示》的第二课时,总复习辅助教材为《与名师对话》第五章第二节,内容来自北京师范大学版教科书《数学》(必修) 4第二章第四节。

平面向量的坐标将平面向量和一对有序实数建立了一一对应关系;平面向量的坐标运算,则使向量的运算完全数量化,将数与形紧密地结合起来,为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

这样,用向量的方法解决几何问题更加方便,从而极大地提高了学生利用向量知识解决实际问题的能力。

同时,这节课的教学内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。

结合教参和本班学生的学习能力,将《平面向量的基本定理及坐标表示》安排了3课时。

本节为第二课时。

北师大版高中数学必修4向量平行的坐标表示

新知应用例4.已知：三点A(1,1),B(1,3),C(2,5)
求证：A、B、C三点共线分析：
若A, B,C三点共线，则线段AB// AC，若线段AB// AC则AB// AC
证明: 由已知得 AB (2,4), AC (3,6)
2634 0
AB // AC 直线AB// AC
新知应用
解：因为a 1, x与b x,2平行，所以
1 2 x x,
解得 x 2或x 2
又因为a与b方向相同，所以x 2。
新知应用
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是
A- 2,1，B 1,3，C3,4，求点D的坐标
解法1：设点D的坐标为x, y
B
yC D
由已知得BC (4,1), AD (x 2, y 1), A
o
AB (1,2),DC (3 x,4 y)
x
BC // AD, AB// DC
x 2 y 1
4
1

3 x 4 y
1
2
x2

y2
所以点D的坐标是 2，2。
5 15
2因为23 0 0 6 0
所以e与 f 不平行。
新知应用
例2. 如果向量 a 1, x与向量 b x,2平行且方向相同，求x
分析:
（1）
向量a与b平行12 x x,
易解得 x 2或x 2
（2）当a与b方向相同时，两向量对应坐标同号当a与b方向相同时，两向量对应坐标异号
新知应用
例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是
A- 2,1, B1,3,C3,4,求点D的坐标

2.4.3【教学设计】《向量平行的坐标表示》(北师大)

《§4.3向量平行的坐标表示》教材主要介绍向量线性运算的和、差、数乘运算以及运算性质。

在前一节课《向量的坐标表示》的学习之后，向量的运算用坐标表示已经顺其自然了。

【知识与能力目标】会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

【过程与方法目标】通过引导激发学生的学习兴趣并引发学生思考，充分调动学生的学习积极性。

【情感态度价值观目标】通过学习平面向量线性运算的坐标表示，使学生进一步了解数形结合的思想，认识事物之间的相互联系，培养学生的辩证思维能力。

【教学重点】理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

【教学难点】对平面向量坐标运算的熟练运用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、探究新知。

向量平行的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2(2)文字语言描述向量平行的坐标表示：①定理：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例。

②定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行。

巩固练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”)。

(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1 。

( )(2)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向。

( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2。

( )【解析】 (1)正确。

a ∥b ，则a ＝λb 可得x 1y 2＝x 2y 1。

(2)错误。

a ＝－3b ，a 与b 共线且反向。

(3)错误。

若y 1＝0，y 2＝0时表达式无意义。

【答案】 (1)√ (2)× (3)×探究1 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若向量a ，b 共线，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】这两个向量的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0，反之成立。

2019_2020学年高中数学第2章 4.3向量平行的坐标表示学案北师大版必修4

4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示1．平面向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x ，y )，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？[提示] 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．2．平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 (1)平面向量的坐标运算①已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么： (ⅰ)a ＋b ＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； (ⅱ)a －b ＝(x 1，y 1)－(x 2，y 2)＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； (ⅲ)λa ＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O (0,0)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．(2)向量平行的坐标表示①设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0. 若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2. ②文字语言描述向量平行的坐标表示(ⅰ)定理若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． (ⅱ)定理若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？ [提示] 能．将b 写成λa 的形式，当λ>0时，b 与a 同向，当λ<0时，b 与a 反向．1．若A (2，－1)，B (－1,3)，则AB →的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－1，－2) C ．(－3,4) D ．(3，－4)[答案] C2．若向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，则a －b 的坐标为( ) A ．(1,5) B ．(1,1) C ．(3,1) D ．(3,5)[答案] C3．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(3，λ)，且a ∥b ，则λ＝________. [答案] －924．已知A (1,2)，B (4,5)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标为________．(3,4) [设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x,5－y )，又AP →＝2PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x,5－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2(4－x )，y －2＝2(5－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，所以点P 的坐标为(3,4)．]【例1】轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．[解] 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)． BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．1．若已知A (1,2)，B (0，－1)，C (3，k )． (1)求AB →；(2)若已知12AB →－BC →＝(m ，－2)，试求k ，m .[解] (1)∵A (1,2)，B (0，－1)， ∴AB →＝(－1，－3)．(2)∵12AB →－BC →＝12(－1，－3)－(3，k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－52－k .由已知⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－52－k ＝(m ，－2)，∴m ＝－72，k ＝－12.【例2】平行？平行时它们是同向还是反向？[解] 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二：由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行， ∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.2．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.[探究问题1．平面向量的坐标与哪些因素有关？[提示] 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．2．向量的坐标与点的坐标有何区别？[提示] 符号(x ，y )在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P (x ，y )或者向量a ＝(x ，y )，注意前者没有等号，后者有等号．3．向量共线的条件如何应用？[提示] 遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用x 1y 2－x 2y 1＝0，而不选用x 1＝λx 2，y 1＝λy 2与x 1x 2＝y 1y 2(因为后者有b ≠0，需要讨论)．【例3】已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求λ为何值时．(1)点P 在第一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内．[思路探究] 先求AP →，AB →，AC →坐标后利用条件表示P 点坐标，再根据问题求解． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →＝(5,4)－(2,3)＝(3,1)， AC →＝(7,10)－(2,3)＝(5,7)．∴AB →＋λAC →＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.1．将例3中的条件变为“O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →”，试求当t 为何值时，P 在x 轴上、P 在y 轴上、P 在第三象限？[解] 由OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )，则P (1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t <0，所以t <－23.2．将例3的条件变为母题探究1的条件，试求四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值；若不能，说明理由．[解] 因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解．故四边形OABP 不可能是平行四边形．向量坐标运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.1．在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同．它们之间的对应关系：有序实数对(x ，y ) 一一对应向量OA →――――→ 一一对应点A (x ，y )．2．通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法．体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用．3．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0时，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1.( )(4)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)D [12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝(－1,2)．] 3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(x 2，x ＋2)，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．－1B ．2C ．1或－2D ．－1或2 D [由题意知，1·(x ＋2)－x 2·1＝0，即x 2－x －2＝0，解得x ＝－1或x ＝2.]4．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，求点C 的坐标．[解] 设点C (x ，y )．∵A 、B 、C 三点共线，∴AC →＝λAB →＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．∴(x ＋1，y ＋3)＝(2λ，4λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2λ－1，y ＝4λ－3，∴C (2λ－1,4λ－3)．把点C (2λ－1,4λ－3)代入x ＋y －5＝0得(2λ－1)＋(4λ－3)－5＝0，解得λ＝32. ∴C (2,3)．。

高一数学北师大版必修4课件2.4.3 向量平行的坐标表示

=- (10,-4)=- (a-3b),
∴ 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法二:由解法一知 ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一的实数 λ, 使 ka+b=λ(a-3b).由(k-3,2k+2)=λ(10,-4), ∴ ��-3 = 10��, 1 1 解得 k=- ,λ=- . 3 3 2�� + 2 = -4��, 当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 这时 ka+b=- a+b. ∵ λ=- <0,∴ - a+b 与 a-3b 反向.
探究一
探究二
探究三
探究四
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).∵ (ka+b)∥(a-3b), ∴ (k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得 k=- . 此时 ka+b= - -3,- + 2 = 1 3 1 3 2 3 10 4 , 3 3 1 3 1 3 1 3
3 2
=4+4=8≠0,
所以 a 与 b 不平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
点评满足 x1y2-x2y1=0 或��1 = ��2 或 a=λb 都可判断 a∥b.
1 2
��
��
探究一
Hale Waihona Puke 探究二探究三探究四

2018-2019学年高二数学北师大版必修4教案：2.4.3 向量平行的坐标表示

学情析
文二学生已经学习了有关向量平行的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，对于坐标表示下的平行不善于转化。
艺术学生已经学习了有关向量平行的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，对于坐标表示下的平行不善于转化。
三维目标
知识与能力
复习巩固平面向量坐标的概念，并且能用它解决向量平行关问题。
过程与方法
能利用两向量平行的的坐标表示解决有关社会问题。
情感态度与价值观
通过向量平行的坐标表示，体会数学中一题多解的思路.
教学重难点
教学重点平行向量充要条件的坐标表示，解决向量平行（共线）的有关问题
教学难点充要条件的推导，共线条件的判断
当堂检测
有效练习
1．已知平面向量，，且 ∥ ，则的坐标为．
2.已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1)求证：AB∥CD
作业布置
作业：P64练习8-6
《同步训练》P38、39
板书设计
4.3向量平行的坐标表示
1.向量平行的定义；例2、变式一、变式二
2.向量平行的表示
3.向量平行的坐标表示课堂练习
同时，在对课堂上学生回答问题的评价时，我们还是要多注意鼓励性评价，不要一味的说好，很好，要评价的具体得当，让学生理解到什么该改正，什么要保持。
备注
五、高考链接
⑴（08全国2）设向量 ,若向量，与向量共线，求值．⑵（10陕西11）已知向量，，，若( )∥ ，则m= .
五、小结：
1.向量平行的充要条件（坐标表示）
2．利用向量共线求未知数

2.4.3向量平行的坐标表示课件高中数学必修4(北师大版)

答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
2.4.3
即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，
x ＝λx ， 1 2 ∴ y1＝λy2，
本课时栏目开关
x1 ∵x2≠0.∴λ＝ . x2
的中点 P 的坐标.
本课时栏目开关
答如图所示，P 为 P1P2 的中点，
2.4.3
→ → ∴P P＝PP ，
1 2
∴ OP －OP1＝OP2－ OP ，
1 → → → ∴ OP ＝ (OP ＋ OP ) 2
1 2
→ → → →
本课时栏目开关
x ＋x 2 y1＋y2 1 ＝， 2 . 2
1 2
本课时栏目开关
时， P 为线段 P1P2 的中点；当 λ∈ (－∞，－1) 时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；当 λ∈(－1,0) 时， P 位于线段 P P 的反向延长线上.
1 2
2.4.3
探究点一
平面向量共线的坐标表示
本课时栏目开关
a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a＝λb.那么这个共线向量定理如何用坐标来表示？问题 1 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，如果 a∥b，那么 x1y2－x2y1＝0，请你写出证明过程.
x1 x1y2 将 λ＝代入 y1＝λy2 得 y1＝，即 x1y2－x2y1＝0. x2 x2
2.4.3
问题 2 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，如果 x1y2－ x2y1＝0，那么 a∥b.请你写出证明过程.

18版高中数学第二章平面向量4.3向量平行的坐标表示学案北师大版必修4

4．3 向量平行的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法．知识点向量平行已知下列几组向量：(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)；(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；(3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)；(4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1)．思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？梳理设a ，b 是非零向量，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有____________．(2)当a ∥b 且b 不平行于坐标轴，即x 2≠0，y 2≠0时，有________________．即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标________；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们________．类型一向量共线的判定与证明例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.类型二利用向量共线求参数例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？引申探究1．若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？2．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解．跟踪训练2 设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.类型三三点共线问题例3 已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－42．与a ＝(6,8)平行的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±35，±45 3．已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________．4．已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5)．求证：四边形ABCD 是梯形．5．已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0，a ＝λb .(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．答案精析问题导学知识点思考1 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－3a ，(4)中b ＝－a .思考2 共线．思考3 坐标不为0时成正比例．思考4 能．将b 写成λa 的形式，当λ>0时，b 与a 同向，当λ<0时，b 与a 反向．梳理 (1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1x 2＝y 1y 2成比例平行题型探究例1 (1)D(2)解 AB →＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD →＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0且(－2)×4<0，∴AB →与CD →共线且方向相反．方法二 ∵CD →＝－2AB →，∴AB →与CD →共线且方向相反．跟踪训练1 证明设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)，∴(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)．∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)．∵4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.例2 解方法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3，2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.方法二由方法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.引申探究1．解由例2知当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．2．解 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k ,2＋2k )，3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)．∵a ＋k b 与3a －b 平行，∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0，解得k ＝－13.跟踪训练2 2例3 解 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →，∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11.又AB →，AC →有公共点A ，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．跟踪训练3 证明 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →.又AB →，AC →有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．当堂训练1．D 2.C 3.64．证明 ∵A (3，－1)，B (1,2)，C (－1,1)，D (3，－5)，∴AB →＝(－2,3)，CD →＝(4，－6)．∴CD →＝－2AB →，即|AB →|＝12|CD →|，∴AB ∥CD ，且AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是梯形．5．解设点M 的坐标为(x ，y )．由|AM →|＝3|MB →|，得AM →＝3 MB →或AM →＝－3MB →. 由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )．当AM →＝3 MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－x ，y －5＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－－x ，y －5＝－－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝152，y ＝11.故点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.。

北师大数学必修四新素养同步练习：第二章 4243 向量平行的坐标表示含解析

[A 基础达标]1.设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7，6) C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)，所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8，1)D ．(8，1) 解析：选A.AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，所以12AB →＝12(－8，1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B(－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2解析：选D.a ＋b ＝(1，1)＋(2，x )＝(3，x ＋1)， 4b －2a ＝4(2，x )－2(1，1)＝(6，4x －2)，因为a ＋b 与4b －2a 平行，所以3(4x －2)－6(x ＋1)＝0. 即12x －6－6x －6＝0，解得x ＝2.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，若表示向量4a ，3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－4，6)D ．(4，－6)解析：选D.由题知4a ＝(4，－12)， 3b －2a ＝3(－2，4)－2(1，－3)＝(－8，18)， 4a ＋(3b －2a )＝－c ，所以(4，－12)＋(－8，18)＝－c ，所以c ＝(4，－6)．6.若向量a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．解析：因为a ＝(x ，1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则x ·x －1·4＝0，即x 2＝4，所以x ＝±2.当x ＝－2时，a 与b 方向相反．仅当x ＝2时，a 与b 共线且方向相同．答案：27.已知A (2，3)，B (5，4)，C(7，10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第一、三象限的角平分线上，则λ＝________．解析：因为AP →＝AB →＋λAC →，所以OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC → ＝OB →＋λAC →＝(5，4)＋λ(5，7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，由5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝12.答案：128.在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：因为Q 是AC 的中点，所以PQ →＝12P A →＋12PC →.所以PC →＝2PQ →－P A →＝2(1，5)－(4，3) ＝(－2，7)．又因为BP →＝2PC →，所以BC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)9.如图，已知点A (4，0)、B (4，4)、C (2，6)，求AC ，OB 的交点P 的坐标．解：法一：设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝(－2，6)．因为A 、P 、C 三点共线，所以6×(4λ－4)＋2×4λ＝0，解得λ＝34.所以OP →＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．法二：设P (x ，y )，OP →＝(x ，y )，OB →＝(4，4)，因为O 、P 、B 三点共线，所以4x －4y ＝0.①又因为AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且A 、P 、C 三点共线，所以6×(x －4)－(－2)y ＝0，即3x ＋y ＝12.②由①②，得x ＝3，y ＝3，所以P 点坐标为(3，3)．10.已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意知，AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →＝(4，－1)，AE →＝(x 1＋1，y 1)，BF →＝(x 2－3，y 2＋1)．又AE →＝13AC →＝⎝⎛⎭⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23， (x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1. 所以(x 1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫－13，23， (x 2，y 2)＝⎝⎛⎭⎫73，0.所以EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1) ＝⎝⎛⎭⎫73，0－⎝⎛⎭⎫－13，23 ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 因为4×⎝⎛⎭⎫－23－(－1)×83＝0，所以EF →∥AB →.[B 能力提升]11．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则向量a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( ) A ．(2，0) B ．(0，－2) C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.由题意，得a ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4)；设a ＝x m ＋y n ，即(2，4)＝x (－1，1)＋y (1，2)＝(－x ＋y ，x ＋2y )，则{－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得{x ＝0，y ＝2，故选D.12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为________．解析：法一：由题意知，四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，设D (x ，y )，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x ，y )，所以x ＝0，y ＝－2，即D (0，－2)．法二：由题意知，四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，即OB →－OA →＝OC →－OD →，所以OD →＝OA →＋OC →－OB →＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)．即D 点的坐标为(0，－2)．答案：(0，－2)13．已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，求P 点坐标．解：①当P 点在线段P 1P 2上时，如图．则有P 1P →＝23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.②当P 点在线段P 2P 1的延长线上时，如图．则有P 1P →＝－23PP 2→，设P 点坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x ），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故P 点坐标为(8，－9)．综上可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．14．(选做题)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图像上，试求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2，2)，故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)， AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图像上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。

4.3向量平行的坐标表示

练习2：已知 a=(2，3) ， b=(3，m) 若 a∥b ,试求m的值.
定理：已知 a=(x1， y1) ， b=(x2， y2),若 a∥b ，则x1y2-x2y1=0, 也可以简记为：两向量平行，坐标交叉相乘差为零,反之也成立.
2
应用提高
例1 已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥b，求y. 思路点拨：直接利用两向量平行坐标交叉相乘差为零求解
自主练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（）
A.6
B.5
C.7
D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）
A.-3 B.-1 C.1
D.3
3.若 a=i+2j，b =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴
正方向相同且为单位向量). a与b 共线，则x、y的值可能
又因为这两个向量有公共点A ∴A，B，C三点共线
归纳总结
1.两个向量平行的坐标表示
已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 若 a 与 b 平行，则 x1y2-x2y1=0；反之也成立. 2.向量平行的坐标表示的应用 (1)已知两个向量的坐标判定两向量平行. (2)已知两个向量平行,求参数的值.
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向量平行的坐标表示
凤翔中学周芳宁
i(axyjx, yx)i

yj
复习引入
01
平面向量的坐标表示
分别取与 x轴、y 轴方向相同的两个单位向量
i,j作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，

高中数学 2.4.3 向量平行的坐标表示课时作业北师大版

4．3 向量平行的坐标表示课时目标 1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a∥b 时，有__________________．(2)当a∥b 且y 1y 2≠0时，有__________________________．一、选择题1．已知三点A (－1,1)，B (0,2)，C (2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2B ．12C ．－2D ．－124．已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ．如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1 6．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13二、填空题7．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________．8．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________．9．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则x 的值为________．10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________．三、解答题11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？12．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，O (0,0)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．能力提升13．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R 且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为( )A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －2)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝014．已知点A (－1，－3)，B (1,1)，直线AB 与直线x ＋y －5＝0交于点C ，则点C 的坐标为________．1．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(1)当b ≠0，a ＝λb ．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0．(3)当y 1y 2≠0时，x 1y 1＝x 2y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．4．3 向量平行的坐标表示答案知识梳理(1)x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)x 1y 1＝x 2y 2作业设计1．C2．C [∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．]3．A [∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α．∴tan α＝2．故选A ．]4．D [由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ，∴(k －λ)a ＋(λ＋1)b ＝0．又a 与b 不共线，∴k －λ＝0，且λ＋1＝0．∴k ＝－1．此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ．故c 与d 反向，选D ．]5．B [∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12．故选B ．]6．C [C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)．∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9．]7．12解析由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12．8．(－4，－8)解析由a ∥b 得m ＝－4．∴2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．9．3解析 PA →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，∵P 、A 、B 三点共线，∴PA →与PB →共线．∴1×(－10)－(－5)×(x －1)＝0，解得x ＝3．10．2解析 λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)，∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2．11．解由已知得k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13．此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 12．解方法一由题意知P 、B 、O 三点共线，又OB →＝(4,4)．故可设OP →＝tOB →＝(4t,4t )，∴AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．又∵A 、C 、P 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(4t －4)＋8t ＝0，解得t ＝34， ∴OP →＝(3,3)，即点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)． ∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →，∴4x －4y ＝0．又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y )－(4,0)＝(x －4，y )，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →，∴6(x －4)＋2y ＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －4y ＝0，6x －4＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．13．D [设点C 的坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)＝(3m －n ，m ＋3n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ， ①y ＝m ＋3n ， ② ①＋2×②得，x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y －5＝0．∴点C 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0．]14．(2,3)解析设AC →＝λCB →，则得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ．把C 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－11＋λ，λ－31＋λ代入直线x ＋y －5＝0的方程，解得λ＝－3．∴C 点坐标为(2,3)．。