04第二章 系统的数学模型1

解：设:L{y(t)}=Y(s)，方程两边取Laplace变换，有 1 2 s Y ( s) sy(0) y(0) 2[sY (s) y(0)] 3Y (s) s 1
利用初始条件，得到
2
1 s Y ( s) 1 2sY ( s) 3Y ( s) s 1
3 1 8 1 s2 Y (s) 4 8 ( s 1)( s 1)( s 3) s 1 s 1 s 3
若f(t)及各阶导数的初值均为0，即
f (0) f (0) f
n
( n 2)
(0) f
( n 1)
(0) 0
则
d n L[ n f (t )] s F ( s) dt
11
4. 积分定理：原函数f(t)的积分的 Laplace变换
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt ] s s
y (t ) L
1
Y s
1 4
e e e
3 8 t 1 8
t
3t
21
2.2基本概念
1 建立数学模型的意义
(1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能 之间的关系。
22
2 系统数学模型的形式
1
式中 f
F ( s) 初始条件为零时 L[ f (t )dt ] s 1 L[ f (t )dt ] n F (s) s
12
(0) f (t )dt
t 0
5. 位移定理
L[e
at
f (t )] F (s a)
6. 延迟定理
L[ f (t a) 1(t a)] e F (s)
36

i1R1 1 (i1 i 2)dt u1 C1 1 i dt 1 (i i )dt i2 R2 2 1 2 C2 C1 1 i dt u 2 C2 2
(4)消去中间变量
d 2u 2 du 2 R1C1R 2C 2 2 ( R1C1 R 2C 2 R1C 2) u 2 u1 dt dt
n 1
e
at
e
rt

r a s a s r
17
2.1.4 Laplace逆变换
Laplace逆变换公式为
f (t )
简写
2 j
1
1
a j
a j
F (s)e ds
st
f (t ) L [ F (s)]
直接通过积分求Laplace 逆变换通常很繁锁，对于 一般问题都可以避免这样的积分，利用Laplace 变 换表，查表求原函数。
n n
15
n
11. 卷积性质
L f t g t F s G s
如t<0时，f(t)=g(t)=0,则：
L f t g t f g t d
t 0
16
小结拉氏变换表
原函数f t 象函数F s 原函数f t
傅立叶变换建立了时域和频域的联系;
而拉氏变换建立了时域和复频域的联系.
2
2.1.1 Laplace 变换的定义 2.1.2 典型函数的Laplace变换 2.1.3 Laplace变换的的性质 2.1.4 Laplace逆变换 2.1.5 用Laplace变换求解常系数线性
微分方程
3
2.1.1 Laplace 变换的定义
设函数x(t)，满足 1) 2)

t 0 时 x(t ) 0 t 0 时 x(t )有界

0 其中x(t)为时间t的函数，在每个有限区间内连续或分段连 续，则x(t)的Laplace变换定义为

x(t )e dt
st
X ( s) L[( x(t )] x(t )e dt
L[ (t )]

0
L[ (t )] 1
1 st lim dt lim 1 e e 0 0 s 1
st
7
4. 正弦和余弦函数
L[sin t ] 2 2 s s L[cos t ] 2 2 s
8
2.1.3 Laplace变换的的性质

38
例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 u a 为电 枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， L 为折 M 合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用 u M 电枢控制的情况下， a 为给定输入， L 为干扰输入， 为输出。系统中ed为电动机旋转时电枢两端的反电 势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。 ia M
18
2.1.5 利用Laplace变换求解微分方程解的步骤
1) 对微分方程进行Laplace变换，并代入初始 条件； 2) 求解因变量Laplace变换的代数方程；
3) 求解因变量Laplace逆变换，得到所求的微 分方程的解。
19
20

例1
y 2 y 3 y e t y (0) 0, y(0) 1
第2章 控制系统的数学模型
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Laplace 变换及其性质 基本概念 系统的微分方程 系统的传递函数 系统的传递函数方框图及其简化 反馈控制系统的传递函数 相似原理
1
2.1 Laplace 变换及其性质
Laplace(拉普拉斯)变换是描述、分析连续、线性、 时不变系统的重要工具，可理解为广义单边傅立叶 变换。
原函数f(t)的导数的Laplace变换 d L[ f (t )] sF ( s) f (0) dt
f(t)的n阶导数的Laplace变换
dn L[ n f (t )] s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0) dt
13
as
7. 初值定理
若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且
lim sF (s) 存在，
s
则时间函数f(t)的初始值
lim f (t ) lim sF (s)
t 0 s
8.终值定理
若函数f(t)的Laplace变换为F(s)，且 lim 则原函数f(t)的稳态值
t s 0
e
at
at
L[e ] e e dt e
at st 0 0


( s a )t
Re(s a) 0
1 dt sa
6
3. 脉冲函数 (t)
0 t 0且t (t ) 1 lim t 0
28
二、典型元件的微分方程
29
1 dF v t k dt
30
F(t) F(t) c
c
F(t) c
c
c
31
32
i t C
du t dt
33
34
例1 图示为两个形式相同 的RC电路串联而成的 滤波网络，试写出以 输出电压和输入电压 为变量的滤波网络的 微分方程。 解：列写系统微分方程 (1)输入:电压 u1 输出:电压 u 2 中间变量 i1,i2 (2)简化 (3)根据克希荷夫定律，可写出下列原始方程式：
注意：线性及非线性这一特性并不随系统的 表示方法而改变，它是系统本身的固有特性。 线性系统与非线性系统的根本区别在于：线 性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满 足叠加原理。
26
叠加原理：总输出等于各个输入单独作 用而产生的输出之和。
线性化：为了分析研究非线性系统，在一定范 围内将一些非线性因素忽略，近似地用线性 数学模型来代替，这便是所谓数学模型的线 性化。 本质非线性系统：例如电气系统中某些元件 存在继电特性、饱和、死区和磁滞等现象， 只能采取非线性方法进行分析与设计。这方 面内容，本课程不作要求。
st 0

式中 s — 复变数，
s j
4
2.1.2 典型函数的Laplace变换
1. 单位阶跃函数1(t)
0 t 0 1(t ) 1 t 0
则

1 st L[1(t )] 1(t )e dt e 0 s
st

0
1 s
52Leabharlann 指数函数象函数F s
t
1 t
1
1/ s
n! sn 1 1 sa n!
sin t
cost
e at sin t e
at
s s2 2
2
2 2 s
t
n
s a
sa s2 2
2
e at t e
n at
cos t
s a
27
2.3系统的微分方程
一．用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法
(1)确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定 输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制 量则是输出量； (2)进行适当的简化，忽略次要因素； (3) 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据 各变量所遵循的物理定理，列写出在运动过程中的 各个环节的动态微分方程； (4)消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分 方程； (5)标准化。整理所得微分方程： 输出量降幂排列＝输入量降幂排列
1. 线性
L[ f1 (t )] F1 (s)
L[af1 (t )] aF1 ( s)
9
2. 叠加性
若