高考专题复习第一部分专题七第1讲排列、组合和二项式定理专题训练

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(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习专题七概率与统计7.1排列、组合与二项式定理课件

路径条数为6×3=18,故选B.
专题七
7.1 排列、组合与二项式定理
考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练
-11-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
排列与组合问题
【例2】在某次国际合作高峰论坛中,组委会要从6个国内媒体团
和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中
-10-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
即时巩固1如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一
起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以
选择的最短路径条数为( B )
A.24
B.18
C.12
D.9
解析:由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再
从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短
专题七
7.1 排列、组合与二项式定理
考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练
-8-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
若将该题中的“四棱锥”换为三棱锥呢?
解:因为三棱锥的各个面都是三角形,所以不存在可以同色的两个点.
故三棱锥的四个顶点不同的染色方案为A45 =120种.
专题七
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7.1 排列、组合与二项式定理
种; 若使用 4 种颜色,则先从 A,C 与 B,D 中选出一组,作为一个整体,不
同的染色方法为C21A45=240 种; 若使用 3 种颜色,则将 A,C 作为一个整体,B,D 作为一个整体,则不
同的染色方法为A35=60 种.

高考数学一轮复习排列、组合、二项式定理专题训练

排列、组合、二项式定理一、基础知识要记牢(1)分类计数原理：完成一件事情有n类方法，只需用其中一种就能完成这件事．(2)分步计数原理：完成一件事情共分n个步骤，必须经过这n个步骤才能完成．缺少任何一步不能完成这件事．二、经典例题领悟好[例1] (2013·山东高考)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252C．261 D．279[解析] 0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．[答案] B解决此类问题的关键(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．三、预测押题不能少1．一个盒子里有3个分别标有号码1,2,3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A．12种 B．15种C．17种 D．19种解析：选D 取3次球，共有3×3×3＝27种取法，其中最大值不是3的取法有2×2×2＝8种，故有27－8＝19种取法．一、基础知识要记牢区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·陕西宝鸡)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28(2)(2013·浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[解析] (1)因为丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C39＝84种，甲、乙都没入选相当于从7人中选3人，共有选法C37＝35种，所以满足条件的选法种数是84－35＝49.(2)①当C在第一或第六位时，有A55＝120(种)排法；②当C在第二或第五位时，有A24A33＝72(种)排法；③当C 在第三或第四位时，有A 22A 33＋A 23A 33＝48(种)排法．所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． [答案] (1)C (2)480解排列组合综合应用题的解题流程三、预测押题不能少2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．48种解析：选C 将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有A 22·A 22种排法．而后将丙、丁进行插空，有3个空，有A 23种排法，故共有A 22·A 22·A 23＝24种排法．(2)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方式的种数为________(用数字作答)．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C 12C 23A 22＝12种不同的参赛方式；当甲和另1人一组时，共有C 13A 12A 22＝12种不同的参赛方式，所以共有24种不同的参赛方式．答案：24一、基础知识要记牢 (1)通项与二项式系数：T r ＋1＝C r n a n －r b r(r ＝0,1,2，…，n )，其中C r n 叫做二项式系数． (2)各二项式系数之和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . ②C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1. 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·全国新课标Ⅱ)已知(1＋ɑx )·(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)(2013·大同调研)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 210的展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(3)(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.[解析] (1)(1＋x )5中含有x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1. (2)∵T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r ＝C r 10(－2)r x 1052r-，∴10－5r 2＝0，∴r ＝2，∴常数项为C 210(－2)2＝180.(3)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12.[答案] (1)D (2)B (3)12解决此类问题关键要掌握的五个方面(1)T r ＋1表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项； (3)公式中a ，b 的指数和为n ，a ，b 不能颠倒位置； (4)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(5)对二项式(a －b )n展开式的通项公式要特别注意符号问题．三、预测押题不能少3．(1)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3解析：选A 令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9；令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9.所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x n 的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x 2的系数为________．解析：依题意得3n＝729，n ＝6.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋13x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝C r 6·26－r·x 6－4r 3.令6－4r 3＝2，得r ＝3.因此，在该二项式的展开式中x 2的系数是C 36·26－3＝160.答案：160二项式定理是高考热点内容，主要考查二项式的通项公式、二项式系数、二项式指定项(特定项)等知识，近年与函数、不等式、数列等知识交汇，让二项式定理问题在命题中有了“生机”．一、经典例题领悟好[例] (2013·陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，∴当x >0时，f (x )＝－x <0，∴f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6.∴展开式中常数项为C 36(x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－C 36＝－20.[答案] A以分段函数和复合函数的形式出现考查二项式定理的应用，凸显函数的主导作用，以复合函数的复合过程为切入点，再次使用不同区间上的表达式，再使问题化为二项展开式的问题，体现转化化归和特殊化思想在知识交汇处的具体应用. 二、预测押题不能少(1)已知f (x )＝(ax ＋2)6，f ′(x )是f (x )的导数，若f ′(x )的展开式中x 的系数大于f (x )的展开式中x 的系数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞解析：选 A f (x )的展开式中x 的系数是C 5625a 6－5＝192a .f ′(x )＝6(ax ＋2)5(ax ＋2)′＝6a (ax ＋2)5，f ′(x )的展开式中x 的系数是6a C 4524a 5－4＝480a 2.依题意得480a 2>192a ，解得a >25或a <0.(2)已知a ＝20π⎰(sin 2x 2－12)d x ，则⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9的展开式中，关于x 的一次项的系数为( ) A ．－6316B.6316C ．－638D.638解析：选A a ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 2－12d x ＝20π⎰1－cos x 2－12d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2d x ＝－12.此时二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 9－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－r (－1)r x 9－2r.令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49⎝ ⎛⎭⎪⎫－129－4·(－1)4＝－6316.1．(2013·河南开封模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( ) A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种解析：选B 分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C 24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C 14＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．2．(2013·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 由二项式定理得，T r ＋1＝C rn(3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r x52n r－，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小．3．(2013·四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看a b不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．4．(2013·成都模拟)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45 D ．360解析：选A 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10·x 552r －，令5－52r ＝0，则r ＝2，T 3＝4C 210＝180.5．(2013·深圳市调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个解析：选B 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031；由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计：3＋6＋3＋3＝15个．6．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项解析：选C T r ＋1＝C r24·()x 24－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 24·x 5126r－，且0≤r ≤24，r ∈N ，所以当r ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数是整数．7．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有不同的放法( ) A ．15种 B ．18种 C ．19种 D ．21种解析：选B 对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A 33＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A 33＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A 33＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种.8．(2013·天津河西模拟)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45解析：选B 因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有( ) A ．288种 B ．144种 C ．72种 D ．36种解析：选B 首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C 34种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C 24种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A 33种．由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有C 34C 24A 33＝144(种)． 10．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1；令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0.∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.11．(2013·张家界模拟)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种解析：选C 本题是一个分步计数问题．由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A 排列，有A 12＝2种结果．∵程序B 和C 在实施时必须相邻，∴把B 和C 看作一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有A 44A 22＝48种结果．根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果．12．(2013·全国新课标Ⅰ)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( ) A ．5 B ．6 C.7 D.8解析：选B 根据二项式系数的性质知：(x ＋y )2m 的二项式系数最大有一项，C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m＋1的二项式系数最大有两项，C m 2m ＋1＝C m ＋12m ＋1＝b .又13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．13．已知集合A ＝{x |x ＝a 0＋a 1×3＋a 2×32＋a 3×33}，其中a k ∈{0,1,2}(k ＝0,1,2,3)，且a 3≠0，则A 中所有元素之和等于( ) A ．3 240 B ．3 120 C ．2 997 D ．2 889解析：选D 可利用排除法，若a 3也可以取0，则a 0，a 1，a 2，a 3都可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3×3＝81(个)，显然0,1,2这3个数字每个数字要重复27次，故这些元素的和为27×(3＋3×3＋3×32＋3×33)＝27×120＝3 240；当a 3＝0时，a 0，a 1，a 2可取0,1,2，根据分步乘法计数原理，可知这样的数共有3×3×3＝27(个)，而0,1,2这3个数字每个数字要重复9次，故这些元素的和为9×(3＋3×3＋3×32)＝9×39＝351.所以集合A 中所有元素的和为3 240－351＝2 889.14．(2013·郑州预测)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.16B.14C.13D.512解析：选D 注意到二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C rn ·(x )n －r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫12·4x r ＝C rn·2－r·x234n r-.依题意有C 0n ＋C 2n ·2－2＝2C 1n ·2－1＝n ，即n 2－9n ＋8＝0，(n －1)(n －8)＝0(n ≥2)，因此n ＝8 .∵二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12·4x 8的展开式的通项是T r ＋1＝C r8·2－r ·x 344r －，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于A 66·A 37A 99＝512.15．(2013·长春模拟)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为________．解析：A 22·C 12·A 22＝8个．答案：816．(2013·长沙模拟)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22的展开式中常数项是________．解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2－22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，∴T r ＋1＝C r 4x4－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 4(－1)r x 4－2r ，令4－2r ＝0，解得r ＝2，∴常数项为C 24(－1)2＝6. 答案：6 17．(2013·湖北八校联考)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为________．解析：先将2艘驱逐舰和2艘护卫舰平均分成两组，再排，有C 12A 22A 22A 22种方法，然后排2艘攻击型核潜艇，有A 22种方法，故舰艇分配方案的方法数为C 12A 22A 22A 22A 22＝32. 答案：3218．(2013·浙江名校联考)二项式(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析：∵(4x －2－x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 62(12－3r )x，若T r ＋1为常数项，则r ＝4，T 5＝15. 答案：1519．(2013·银川模拟)若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝________.解析：原等式两边求导得5(2x －3)4·(2x －3)′＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令上式中x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10. 答案：1020.(2013·滨州模拟)如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步A 区域有5种颜色可选；第二步B 区域有4种颜色可选；第三步C 区域有3种颜色可选；第四步由于D 区域可以重复使用区域A 中已有过的颜色，故也有3种颜色可选．由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180(种)涂色方法．答案：180。

高考第一轮复习数学排列、组合和二项式定理(附答案).doc

素质能力检测（4）一、填空题（每小题5分，共30分）1.（2004年东北三校模拟题）已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P 到Q 接通的情况有A.30种B.10种C.24种D.16种解析：五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通.所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.答案：D2.（2004年湖北八校模拟题）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种解析：我们可以这样排，首先将乙、丙绑定为一个位置，排法有A 55A 22种，然后将甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有A 44·A 22种，则符合条件的站法有A 55·A 22－A 44·A 22=192种，选B.答案：B3.（理）在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2004的展开式中x 3的系数等于 A.C 42004B.C 42005C.2C 32004D.2C 32005解析：含x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 32004=C 42005.故选B.答案：B （文）在（2x －x 2）5的展开式中x 1的系数等于 A.10B.－10C.20D.－20解析：本题考查二项式定理，（a +b ）n 中第r +1项T 1+r =C r n ·a r ·bn －r，则T 1+r =C r5（2x ）r ·（x2-）5－r =C r 5·2－r ·（－2）5－r ·x 2r －5. 由题知2r －5=－1，则r =2，则x 1的系数为C 25·2－2·（－2）5－2=C 25×41×（－8）=－20，故选D.答案：D4.如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有A.8种B.12种C.16种D.20种解法一：桥梁的建设有两大类：（1）A 、B 、C 、D 四岛之间依次建桥，如AB 、BC 、CD 一种方案，AC 、CD 、DB 一种方案等.其建造方案共有m 1=2A 44=12（种）.（2）四岛中的某一岛与其他三岛之间建桥，如AB 、AC 、AD 等其建造方案共有m 2=C 14=4（种）. 由分类计数原理可知N =m 1+m 2=16（种）.解法二：把四个岛看成三棱锥的四个顶点，四棱锥有6条棱，从中选3条把A 、B 、C 、D 连起来，有C 36种方法，其中共面时不合题意，则共有C 36－4=16（种）.答案：C5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30B.60C.120D.240解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有222224A C C .再将余下的6人中分成两组有C 36·C 33.故有21C 24·C 36=60（种）. 答案：B6.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有A.90个B.99个C.100个D.112个解析：由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. 答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）7.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）解析：能被5整除的四位数的个位数只能是5或0， ∴必须从1，3，5中选取5或从0，2，4，6中选取0.（1）选取0不选取5，能被5整除的四位数有C 13·C 22·A 33=36（个）；（2）选取5不选取0，能被5整除的四位数有C 12C 23·A 33=36（个）.（3）同时选取0和5，能被5整除的四位数有C13C12（A33+A12A22）=60（个）.∴其中能被5整除的四位数共有132个.答案：1328.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能.（用数字作答）解法一：A不是第一名有A44种.A不是第一名，B不是第三名有A33种.符合要求的有A44－A33=18种.解法二：第一名有3种，第二名有3种，第三名有1种，第四名有2种，第五名有1种，则完成这件事有3×3×1×2×1=18种.答案：189.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=_____________.（用数字作答）解析：在（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004中令x=1，得a0+a1+a2+…+a2004=（1－2）2004=1，又a0=1，∴a1+a2+…+a2004=0.∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004.答案：200410.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答）解析：分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有C810种放法.第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得C810=45.答案：45三、解答题（本大题共4小题，共54分）11.（12分）中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法有多少种?分析：显然，相对位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（Ⅱ，Ⅳ）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的标准.解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·1=24种；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另两区域不同色，则有2C 14×3×2=48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C 24· A 22=12种.故共有24+48+12=84种.解法二：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84种方法.12.（14分）（理）某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解：由于张数不限，2张2，3张A 可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类. 出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有A 55种方法；（2）2张2一起出，3张A 一起出，有A 25种方法；（3）2张2一起出，3张A 分开出，有A 45种方法；（4）2张2一起出，3张A 两次出，有C 23A 35种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有A 35种方法；（6）2张2分开出，3张A 分两次出，有C 23A 45种方法.因此，共有不同的出牌方法A 55+A 25+A 45+C 23A 35+ A 35+C 23A 45=860种.（文）抛物线方程y =ax 2+bx +c 的各项系数a 、b 、c ∈{－2，－1，0，1，2，3，4}，且a 、b 、c 两两不等.（1）过原点的抛物线有多少条?（2）过原点且顶点在第一象限的抛物线有多少条? 解：（1）抛物线过原点，则c =0.从－2，－1，1，2，3，4中任取2个数作为a 、b ，有A 26=30条.（2）∵顶点在第一象限，∴.00.0444,0222><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=->-b a a b ab ac ab且 ∴C 13·C 13·C 11=9.∴过原点且顶点在第一象限的抛物线有9条.13.（14分）7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同排法? （1）甲、乙必须排在一起；（2）甲不在排头，乙不在排尾；（3）甲、乙、丙互不相邻；（4）甲、乙之间必须隔一人.解：（1）（整体排列法）先将甲、乙看作一个人，有A 66种排法，然后甲、乙换位，所以不同的排法有A 22·A 66=1440种.（2）（间接法）甲在排头或乙在排尾的排法共2A 66种，其中都包含甲在排头且乙在排尾的情形，故有不同的排法A 77－2A 66+A 55=3720种.（3）（插空法）把甲、乙、丙插入其余4个元素产生的5个空，有A 44·A 35=1440种.（4）先从其余5人中选1人有5种选法，放在甲、乙之间，将三人看作一个有A 55种，然后甲、乙换位有A 22种，共有5A 55A 22=1200种方法.评述：解决“相邻”问题一般用整体法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.14.（14分）已知（1+3x ）n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.解：末三项的二项式系数分别为C 2-n n 、C 1-n n 、C nn ，由题设，得C 2-n n +C 1-n n +C n n =121，即C 2n +C 1n +1=121，∴n 2+n －240=0.∴n =15（n =－16舍去）.∵T 1+r =C r 15（3x ）r =C r 15·3r x r ，设T 1+r 项与T r 项的系数分别为t 1+r 与t r ，则t 1+r =C r153r ，t r =C 115-r ·31-r ，令rr t t 1+>1，即1115153C 3C --⋅⋅r r r r =rr )115(3+-⨯ >1，解得r <12.也就是说，当r 取小于12的自然数时，都有t r <t 1+r ，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r =12时，t 1+r =t r ，即t 13=t 12，∴展开式中系数最大的项是T 12=C 1115·311·x 11，T 13=C 1215·312·x 12，当n=15时，二项式系数最大的是第8、9项，分别为C715·37·x7与C715·38·x8.评述：本题考查二项式系数的性质、二项式定理、二项式系数与项的系数以及运算能力.注意二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者由指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关，一般地，项的系数不具备二项式系数的性质，不能混用.在（a+b）n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a、b的系数不是1时，最大系数值的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定.。

高三数学(理)一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理 Word版含解析

山东省届高三数学理一轮复习专题突破训练排列组合二项式定理一、二项式定理、（年山东省高考）若（）的展开式中的系数是—，则实数.、（年山东省高考）若的展开式中项的系数为，则的最小值为。

、（泰安市届高三二模）在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和为. . . .、（德州市届高三二模）在（）（）…（）（∈，≥）的展开式中，的系数为，则的系数为（）．．．．、（威海市届高三二模）在二项式（﹣）的展开式中，偶数项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为．、（潍坊市届高三二模）（）（﹣）的展开式中，的系数为．、（德州市届高三上学期期末）已知，则．．．．、（济南市届高三上学期期末）二项式的展开式中的系数为，则、（胶州市届高三上学期期末）则的展开式的常数项为.、（临沂市届高三上学期期末）若多项式，则.、（威海市届高三上学期期末）若展开式中含的项的系数为，则的值为.、（潍坊市届高三上学期期末）的二项展开式中的系数为（用数字表示）.、（青岛市高三月模拟）在二项式的展开式中，常数项等于（用数字作答）；、（日照市高三月模拟）的展开式中，含次数最高的项的系数是（用数字作答）.、（泰安市高三月模拟）设二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则▲.、（烟台市高三月模拟）已知，则二项式的展开式中的系数为、（淄博市高三月模拟）二项式的展开式中的系数为，则.、（济南市高三月模拟）二项式展开式中的常数项为.二、排列组合、（年山东省高考）观察下列各式：……照此规律，当时，… .、（东营市、潍坊市届高三下学期第三次模拟）在一次抽奖活动中，张奖券中有一、二、三等奖各张，其余张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中随机抽取张，则不同的获奖情况有（）。

高考数学复习排列、组合和二项式定理专题训练试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高考数学复习排列、组合和二项式定理专题训练一、选择题1．C 110+r +C r-1710的不同值有〔〕个A1B2 C3D42．假设n 为奇数，那么7n+C 1n ·71-n +C 2n ·72-n +…+C 1-n n ·7被9除，所得余数是〔〕A0B2 C7D83．()111-x 的展开式中含x 偶数次幂的项的系数和是〔〕A1024B-1024 C-1023D-20484．两个三口之家〔一共四个大人2个小孩〕乘“富康〞、“桑塔纳〞两辆小车出外交游，每辆车最多只能坐4人，其中两小孩不能独坐一辆，那么不同的乘车方法种数是〔〕A40B48 C60D685．为宣传HY 的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目中原有4个节目，假设保持这些节目的相对顺序不变，拟再添加2个小品节目。

那么不同的排列方法有〔〕A20种B25种C30种D32种6．6名旅客，安排在3个客房里，每个客房至少安排一名旅客，那么不同的安排方法有〔〕A.360B.240C.540D.2107．从集合{}12310，，，，中选出5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，那么这样的子集一共有〔〕个。

A.10B.16C.20D.328．编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，那么至多有两个号码一致的坐法种数为〔〕A.120B.119C.110D.1099．以1，2，3，…，9这九个数字中任取两个，其中一个作底数，另一个作真数，那么可以得到不同的对数值的个数为〔〕A 、64B 、56C 、53D 、5110．直线ax+by+1=0中的a,，b 是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2}中的2个不同的元素，并且直线的倾斜角大于60°，那么符合这些直线的条数一共有〔〕 A 、8条B 、11条C 、13条D 、16条11.用长度分别为2，3，4，5，6〔单位：cm 〕的5根细木条围成一个三角形〔允许连接，但不允许折断〕，能得到的三角形的最大面积为〔B 〕12.在1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的一共有〔〕 1名志愿者分别到三所支教，要求每所至少有1名志愿者，那么不同的分配方法一共有〔〕14.高三〔一〕班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和一个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排。

2019高考数学复习专题排列、组合、二项式定理增分强化练理

第2讲排列、组合、二项式定理一、选择题1．(2018·河南八市质检)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( )A ．15B ．20C ．30D ．42解析：四个篮球中两个分到一组有C 24种分法，三组篮球进行全排列有A 33种，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A 33种分法，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30种分法，故选C. 答案：C2．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种解析：A 22A 44＝48. 答案：B3．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 答案：D4．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5解析：T r ＋1＝C r4·(ax 6)4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 4a 4－r b r x 24－7r ，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5. 答案：D5．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为 ( )A.15B.25C.35D.45解析：构成的两位数共有A 25＝20(个)，其中大于40的两位数有C 12C 14＝8(个)，所以所求概率为820＝25，故选B.答案：B6．在(x 2－12x )6的展开式中，常数项是( )A ．－54B.54 C ．－1516D.1516解析：T r ＋1＝C r6(x 2)6－r(－12x )r ＝(－12)r C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4. ∴常数项为(－12)4C 46＝1516.故选D.答案：D7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( )A ．216B ．420C ．720D ．1 080解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有C 26C 24A 22种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有C 26C 24A 22×A 44＝ 1 080种不同的分配方案．答案：D8．(2018·漳州模拟)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为 ( )A．－20 B．0C．1 D．20解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C910×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.答案：D9．在(1＋x＋1x2 015)10的展开式中，含x2项的系数为 ( ) A．10 B．30C．45 D．120解析：因为(1＋x＋1x2 015)10＝[(1＋x)＋1x2 015]10＝(1＋x)10＋C110(1＋x)91x2 015＋…＋C1010(1x2 015)10，所以x2项只能在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为C210x2，系数为C210＝45.答案：C10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A．232 B．252C．472 D．484解析：由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C24·C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24·C112＝560－16－72＝472种，选C.答案：C11．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )A．45 B．60C．120 D．210解析：在(1＋x)6的展开式中，x m的系数为C m6，在(1＋y)4的展开式中，y n的系数为C n4，故f(m，n)＝C m6·C n4.从而f(3，0)＝C36＝20，f(2，1)＝C26·C14＝60，f(1，2)＝C16·C24＝36，f(0，3)＝C34＝4，故f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120.答案：C12．(2018·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C 12×C 12＝24种，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6种，综上可得不同的涂色方案的种数是30. 答案：C 二、填空题13．(2018·高考浙江卷)从`1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 23A 44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 13C 13A 33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1 260. 答案：1 26014．(2018·高考天津卷)在(x －12x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：(x －12x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r(－12x )r ＝C r 5x(－12)r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25(－12)2＝52.答案：5215．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.解析：a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.答案：16 416．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)解析：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 080。

【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分专题七第1讲排列、组合和二项式定理

(3)(2010·江西高考将5位志愿者分成组，其中两组各人，江西高考)将位志愿者分成位志愿者分成3组其中两组各2人江西高考另一组1人分赴世博会的三个不同场馆服务，另一组人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答．方案有种用数字作答)．用数字作答
2．排列与组合． (1)排列数公式排列数公式
－ … －＋ Am＝ n(n－1)…(n－m＋1)＝ n
(2)组合数公式 (2)组合数公式 Am n Cm＝ m＝ n Am (3)组合数的性质组合数的性质 ①Cm＝ n ；②Cm＋Cm－1＝ n n
.
＝
.
3．二项式定理． (1)二项式定理二项式定理 ①定理
[思路点拨 (1)分两步利用乘法原理思路点拨] 思路点拨分两步利用乘法原理 (2)分两类利用加法原理．分两类利用加法原理．分两类利用加法原理
[自主解答 (1)第一步，从 3 个信封中挑选 1 个信封放置标号为自主解答] 第一步，自主解答第一步
1 1,2 的卡片，有 C3种不同的方法；第二步，将标号为 3,4,5,6 的的卡片，种不同的方法；第二步，
解析：依题意知，每位同学都各有5种不同的选择，由乘法种不同的选择，解析：依题意知，每位同学都各有种不同的选择原理得知，满足题意的选法总数为原理得知，满足题意的选法总数为56种．答案：答案：A
2．(2010·全国卷Ⅰ)某校开设类选修课门，B类选修课门，．全国卷Ⅰ 某校开设A类选修课类选修课4门全国卷某校开设类选修课3门类选修课一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，一位同学从中共选门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 A．30种．种 C．42种．种 B．35种．种 D．48种．种 ( )

专题排列组合二项式定理(学案)-高三数学二轮专题复习

排列组合二项式定理学习目标：1.独立说出两个计数原理的内容及异同，理清排列、组合、二项式定理与这两个计数原理的关系.2.通过明确概念、公式、定理的形成过程，能利用计数原理推导排列数公式和组合数公式； 3借助两个计数原理和排列、组合公式得到二项式定理，能用计数原理的知识解决一些实际的问题.考点一排列与组合(一)基本计数原理：分类计数原理：N =m 1+m 2+⋯+m n 种不同的方法．分步计数原理：N =m 1×m 2×⋯×m n 种不同的方法．(二)排列与组合1.排列：排列数公式：A n m =n(n −1)(n −2)⋯(n −m +1)，m ，n ∈N +，并且m ≤n ．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用n!表示．规定：0!=1．2.组合组合数公式：C n m =n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!，m,n ∈N +，并且m ≤n ．组合数的两个性质： ①C n m =C n n−m ；②C n+1m =C n m +C n m−1．（规定C n 0=1）(三)排列与组合解题的常用方法1.特殊元素、特殊位置优先法：元素优先法：位置优先法：2.分类分步法：3.排除法：4.捆绑法：5.插空法：6.插板法：7.分组、分配法：考点二二项式定理1.二项式定理：(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n−1b +C n 2a n−2b 2+...+C n n b n (n ∈N ∗)2.二项式系数、二项式的通项定义：C n 0a n +C n 1a n−1b +C n 2a n−2b 2+...+C n n b n 叫做(a +b )n 的二项展开式，其中的系数C n r (r =0,1,2,...,n )叫做二项式系数，式中的C n r a n−r b r 叫做二项展开式的通项．用T r+1表示，即通项为展开式的第r +1项：T r+1=C n r a n−r b r ．3.二项式展开式的各项幂指数：二项式(a +b )n 的展开式项数为n +1项4.二项式系数的性质1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中：当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n 2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数C n n−12, C n n+12相等，且最大．3）组合总数公式：C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n =2n 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于2n ．4）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即C n 0+C n 2+C n 4+⋯=C n 1+C n 3+C n 5+⋯=2n−1．探究点一：排列组合问题1（多选题）．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（）A ．从六位专家中选两位的不同选法共有20种B ．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种C ．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种D ．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种2．将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（）A ．22B ．25C ．20D ．483．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( ) A ．420 B ．210 C ．70 D ．354．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．A ．120B ．156C ．188D ．2405．10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．2263C AB ．2666C A C ．2266C AD ．2265C A 6．从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有走法．A ．12B ．8C ．70D ．667．地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有________种.8．十二生肖(鼠､牛､虎､兔､龙､蛇､马､羊､猴､鸡､狗､猪)，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应着一种生肖.现有十二生肖的吉祥物各1个，从中选出含牛吉祥物在内的5个吉祥物分给甲､乙､丙3个人，每人至少分得1个吉祥物，则不同的分法种数为___________.9．9．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．（选做）10．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序.探究点二：二项式定理11．(12)n x -的二项展开式中，奇数项的系数和为（）A ．2nB ．12n -C ．(1)32n n -+D ．(1)32n n -- 12．81x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式含42x y 的系数是________（用常数表示）． 13．（1）求()()10211x x x ++-的展开式中4x 的系数；（2）求()()()210111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中3x 的系数．14．已知在二项式()*22,N n n n x ⎫⋅≥∈⎪⎭的展开式中，前三项系数的和是97．求展开式中二项式系数最大的项；15．已知()31n x -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：系数绝对值最大的项 .16．在二项式2nx ⎫⎪⎭的展开式中，(1)若6n =，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为5:6，求：①二项展开式中的各项的二项式系数之和；②二项展开式中的各项的系数之和．17．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+． (1)求n 的值；(2)求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；(3)求0241n a a a a -+++⋅⋅⋅+的值．。

高考数学专题：排列、组合与二项式定理问题练习试题、答案

高考数学专题：排列、组合与二项式定理问题练习试题一．排列与组合问题1．某科技小组有四名男生两名女生，现从中选出三名同学参加比赛，其中至少一名女生入选的不同选法种数为（）A ．36CB ．1225C C C ．12212424C C C CD ．36A2．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有（）A ．56种B ．49种C ．42种D ．14种 3．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有（）A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种4．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（）A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种5．为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（）A ．412CB ．3111162223C C C C C C ．31116322C C C C D ．311112622232C C C C C A 6．A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（）A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种7．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（）A ．10B ．48C ．60D ．808．数列{}n a 共七项，其中五项为1，两项为2，则满足上述条件的数列{}n a 共有（）A ．21个B ．25个C ．32个D ．42个 9．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种 10．5个大小都不同的数按如图形式排列，设第一行中的最大数为a ，第二行中的最大数为b ，则满足a b <的所有排列的个数是（）A ．144B ．72C ．36D ．2411．有A ，B ，C ，D ，E ，F 共6个不同的油气罐准备用甲，乙，丙3台卡车运走，每台卡车运两个，但卡车甲不能运A 罐，卡车乙不能运B 罐，此外无其它限制. 要把这6个油气罐分配给这3台卡车，则不同的分配方案种数为（）A ．168B ．84C ．56D ．4212．若m 、2210{|1010}n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中(0,1,2){1,2,3,4,5,6}i a i =∈，并且606m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（）A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个 13．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有_______个．14．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是____________（用数字作答）．15．如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣．现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色．若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为_______（用数字作答）．二．二项式定理1．已知23132nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知622x x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知31nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于______，系数最大的项是第___________项．4．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为___________．（用数字作答） 5．6)21(x -展开式中所有项的系数之和为________；63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为__________．6．62)21(x x -展开式中5x 的系数为______________．7．已知n x )21(+的展开式中含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则n 等于__________．8．已知n+的二项展开式的第6项是常数项，那么n =_______． 9．62)2(x x+的展开式中的常数项是______________（用数字作答）． 10．在6(12)x -的展开式，含2x 项的系数为_________________；所有项的系数的和为_______________． 11．在n的展开式中，前三项的系数的绝对值依次组成一个等差数列，则n =______，展开式中第五项的二项式系数为_____（用数字作答）． 12．82)2(x +的展开式中12x 的系数等于______________（用数字作答）． 13．210(1)x -的展开式中2x 的系数是______________，如果展开式中第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r 等于____________． 14．若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160-，则常数a 的值为_________，展开式中各项系数之和为_________．答案一．1．C2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．A9．C10．B11．D12．D13．1014．10 2115．240二1．B2．C 3．9，5 4．－20 5．1，－132 6．－160 7．58．10 9．60 10．60，111．8，70 12．112 13．－10，2 14．1，1。

专题七第1讲排列与组合、二项式定理高考领航二轮数学(理)复习

限时规范训练(十八)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(x－3)6的展开式中，二项式系数的最大值为()A．6B．15C．20 D．60解析：选C.依题意，(x－3)6的展开式中一共有7项，第4项的二项式系数最大，二项式系数为C r6(r＝0，1，2，3，4，5，6)，当r＝3时，二项式系数最大，为20，选C.2．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4解析：选A.二项式(x＋i)6展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r i r，则其展开式中含x4的项是当6－r＝4，即r＝2，则展开式中含x4的项为C26x4i2＝－15x4.3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．8种B．16种C．18种D．24种解析：选A.可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．4．(2018·陕西咸阳二模)在美丽新农村建设中，某镇最美油菜花节期间，5名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有() A．120种B．625种C ．240种D ．1 024种解析：选C.由于每个景点至少一人，故必有一个景点有2名游客，第一步，选出2名游客组成一组，共有C 25＝10种方法，第二步，将选出的2名游客看作一个整体，和剩余的3名游客进行排列，共有A 44＝24种方法，所以不同的游览方法有10×24＝240(种)．5．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．35解析：选C.因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C. 6．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对通解：选C.直接法：如图，在上底面中选B 1D 1，四个侧面中的对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60°的面对角线有12×96＝48(对)．优解：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48(对)．7．(2018·陕西西安二模)已知(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为() A．60 B．180C．520 D．540解析：选D.(x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有C25种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有C23·C11种选法；所以x5y2的系数为32C25·C23·2·C11＝540.8．5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端，则不同的排法种数为()A．24 B．32C．36 D．40解析：选C.甲、乙相邻有A22种情况，连同其他3个元素的不同排法种数为A22A44＝48，其中甲在两端且与乙相邻的排法种数为2A33＝12，故满足题意的排法种数为48－12＝36.故选C.9．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 019＋a能被13整除，则a等于()A．0 B．1C．11 D．12解析：选B.512 019＋a＝(52－1)2 019＋a＝522 019－C12 019·522 018＋C22 019·522 017－…＋C2 018·52－1＋a，它能被13整除，显然a－1＝0，得a＝1，故选B.2 01910．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数。

高考数学二轮专题复习第一部分专题突破方略专题七《第一讲排列、组合和二项式定理》专题针对训练理

（考前大通关）2013高考数学二轮专题复习第一部分专题突破方略专题七《第一讲排列、组合和二项式定理》专题针对训练理一、选择题1．若(x ＋1x)n展开式中的各二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120解析：选B.2n ＝64，∴n ＝6，常数项为C 36x 3(1x)3＝20.2．(2010年高考重庆卷)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排两人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( ) A ．30种 B ．36种 C ．42种 D ．48种解析：选C.若甲在16日值班，在除乙外的4人中任选1人在16日值班有C 14种选法，然后14日、15日有C 24C 22种安排方法，共有C 14C 24C 22＝24种安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有C 14C 13C 22种安排方法，共有12(种)；若甲、乙都在15日值班，则共有C 24C 22＝6种安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42种安排方法．3．(2011年高考天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154C ．－38 D.38解析：选C.该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r6⎝⎛⎭⎪⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－1)r C r 6·126－2r ·x 3－r.令3－r ＝2，得r ＝1.∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2，∴应选C.4．在(x ＋13x)24的展开式中，x 的幂的指数是正整数的项共有( )A ．5项B ．4项C ．3项D ．2项解析：选C.T k ＋1＝C k24(x )24－k(13x)k ＝C k24x 12－56k .由题意12－56k 为正整数且k ＝0,1,2,3，…，24，故k ＝0,6,12，∴x 的幂的指数是正整数的项只有3项．5．从8个不同的数中选出5个数构成函数f (x )(x ∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A 、B 两个数不能是x ＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为( )A ．C 28A 36B ．C 17A 47C ．C 16A 47 D ．无法确定解析：选C.自变量有5个，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A 、B 两个数不能是x ＝5对应的函数值，故先从余下6个数中选出与5对应的函数值，有C 16种选法，再从其他7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有C 16A 47种．二、填空题6．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是__________．(用数字作答)解析：3个人各站一级台阶有A 37＝210种站法；3个人中有2个人站在一级，另一人站在另一级，有C 23A 27＝126种站法，共有210＋126＝336种站法．答案：3367．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1＜a 3＜a 5，则不同的排列方法有__________种．(用数字作答) 解析：由题设知a 5必为6.第一类：当a 1＝2时，a 3可取4、5，∴共有2A 33＝12(种)；第二类：当a 1＝3时，a 3可取4、5，∴共有2A 33＝12(种)；第三类：当a 1＝4时，a 3必取5，∴有A 33＝6(种)． ∴共有12＋12＋6＝30(种)．答案：308．(2011年高考北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有______个．(用数字作答)解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C 14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C 24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C 34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．答案：14 三、解答题9．有同样大小的9个白球和6个红球．(1)从中取出5个球，使得红球比白球多的取法有多少种？(2)若规定取到一个红球记1分，取到一个白球记2分，则从中取出5个球，使得总分不小于8分的取法有多少种？解：(1)5个全是红球有C 56种取法，4个红球、1个白球有C 46C 19种取法，3个红球、2个白球有C 36C 29种取法，所以取出的红球比白球多的取法共有C 56＋C 46C 19＋C 36C 29＝861(种)．(2)要使总分不小于8分，至少需取3个白球2个红球，3白2红有C 39C 26种取法，4白1红有C 49C 16种取法，5个全是白球有C 59种取法，所以总分不小于8分的取法共有C 39C 26＋C 49C 16＋C 59＝2142(种)．10．已知(a ＋1)n 展开式中的各项系数之和等于(165x 2＋1x )5的展开式中的常数项，而(a ＋1)n展开式中的二项式系数最大的项等于54，求a 的值．解：(165x 2＋1x)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(165x 2)5－r (1x)r＝(165)5－r C r 5x 20－5r 2.令20－5r2＝0，得r ＝4，∴常数项为T 5＝C 45·165＝16.又因为(a ＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n. ∴2n＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a ＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项即第3项，T 3＝C 24a 2＝54，解得a ＝±3.11．北大附中的三男、两女站成一排照一张合影． (1)若两个女生相邻，则共有多少种不同的站法？ (2)若两个女生不相邻，则共有多少种不同的站法？(3)现要调换3人位置，其余2人位置不变，这样不同的调换方法有多少种？解：(1)可分成两步完成：第一步，因为两女生相邻，用捆绑法先把两女生看成一个整体，与三个男生排成一排有A 44种不同的站法；第二步，两个女生相邻有A 22种不同的站法．根据分步计数原理，共有A44A22＝48种不同的站法．(2)可分成两步完成：第一步，三个男生排成一排有A33种不同的站法；第二步，三个男生排好后就产生了四个空位，再将两个女生插入这4个空位中，有A24种不同的站法．根据分步计数原理，共有A33A24＝72种不同的站法．(3)任取2人不动有C25种方法，设调换的3人为A、B、C，则A不能站在原位，可以从B、C 中选1人站在A的位置，有2种情况，故共有2C25＝20种不同的调换方法．。

高考数学二轮专题训练：专题七第1讲排列、组合与二项式定理

第1讲排列、组合与二项式定理考情解读 1.高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.2.排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以选择、填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在选择题或填空题中，难度为易或中等．1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合(1)排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式是A m n ＝n (n－1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成A m n＝n ！(n －m )！. (2)组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数公式是 C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C mn ＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数的性质①C m n ＝C n －mn；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 3．二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n a 0b n (r ＝0,1,2，…，n )．(2)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数．(3)二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －kn ，….②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数2nnC 取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数12n nC-，12n nC+相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n；b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1n＋…＝12·2n ＝2n －1.热点一两个计数原理例1 (1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种(2)如果一个三位正整数“a 1a 2a 3”满足a 1<a 2且a 3<a 2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为( ) A ．240 B ．204 C ．729D ．920思维启迪 (1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类．答案 (1)A (2)A解析 (1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3＝6种结果，故选A.(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；当中间数为3时，有2×3＝6种；当中间数为4时，有3×4＝12种；当中间数为5时，有4×5＝20种；当中间数为6时，有5×6＝30种；当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；当中间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．(1)(2014·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为()A．8 B．9 C．26 D．27答案(1)C(2)B解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．(2)因为值域为{0,1,2}即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0，ln(x2＋1)＝1⇒x＝±e－1，ln(x2＋1)＝2⇒x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C11C12C12＝4，②当定义域中有4个元素时，C11C34＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．热点二排列与组合例2(1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168(2)数列{a n}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为()A．84 B．168C．76 D．152思维启迪(1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数．答案(1)B(2)A解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)∵|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C14×C27＝84.思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有() A．24种B．48种C．96种D．144种(2)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答)．答案(1)C(2)60解析(1)首先安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A33＝96(种)．(2)0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位的四位偶数有A34＝24(个)；二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A12A13A23＝36(个)，故共有四位偶数60个．热点三二项式定理例3(1)(3x－2x)8二项展开式中的常数项为()A．56 B．－56C．112 D．－112(2)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________．思维启迪(1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和．答案(1)C(2)－5解析(1)∵T r＋1＝C r8(3x)8－r(－2x)r＝C r8(－2)r83x－43r，∴令83－43r＝0，即r＝2，∴常数项为C 28(－2)2＝112，选C.(2)∵令x ＝1得(1＋x ＋x 2)(x －a )5的展开式中所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a )5＝0，∴a ＝1，∴(1＋x ＋x 2)(x －a )5＝(1＋x ＋x 2)(x －1)5＝(x 3－1)(x －1)4＝x 3(x －1)4－(x －1)4，其展开式中含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04(－1)0＝－5.思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．(1)(2014·湖北)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( )A ．2 B.54 C ．1D.24(2)(2014·浙江)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( ) A ．45 B ．60 C ．120 D ．210答案 (1)C (2)C解析 (1)二项式(2x ＋ax)7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. (2)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.1．排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． (3)排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C r n an －r b r 是第r ＋1项，而不是第r 项． (2)运用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 解题，一般都需先转化为方程(组)求出n 、r ，然后代入通项公式求解．(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求出所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案 60解析把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.2．(2014·山东)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 (ax 2＋bx)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2. 押题精练1．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 A解析由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C 24＝6(种)不同的涂法，故选A.2．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A ．8种B ．16种C ．18种D ．24种答案 A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A 12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A 12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A 22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A 12A 12A 22＝8(种)．故选A.3．(x ＋13x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为( )A ．120B ．252C ．210D ．45 答案 C解析根据二项式系数的性质，得2n ＝10，故二项式(x ＋13x)2n 的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )10－r·(13x)r＝C r 10523r rx--.根据题意令5－r 2－r3＝0，解得r ＝6，故所求的常数项等于C 610＝210.4．若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 答案 C解析因为(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014，令x ＝12，则(1－2×12)2 014＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014＝0.令x ＝0，可得a 0＝1. 所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014＝－1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对答案 C解析如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，D 1C ，DC 1，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)．又因为每对被计算了2次，因此成60°角的面对角线有12×96＝48(对)．2．在(x －2x)5的二项展开式中，x 2的系数为( ) A ．40 B ．－40 C ．80 D ．－80答案 A 解析 (x －2x)5的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5x5－r(－2x)r ＝(－2)r C r5352rx ，令5－3r 2＝2，得r ＝2，故展开式中x 2的系数是(－2)2C 25＝40，故选A.3．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A ．224 B ．112 C ．56 D ．28答案 B解析根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：C 28C 14＝112.4．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5的值为( ) A ．122 B ．123 C ．243 D ．244 答案 B解析在已知等式中分别取x ＝0、x ＝1与x ＝－1，得a 0＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，因此有2(a 1＋a 3＋a 5)＝35＋1＝244，a 1＋a 3＋a 5＝122，a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123，故选B.5．(2014·四川)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A ．A 44A 55B ．A 33A 44A 35 C ．C 13A 44A 55D ．A 22A 44A 55答案 D解析先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 55种．7．二项式(x －13x)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为( )A ．10B ．－10C ．20D ．－20答案 B解析由题意可知二项式(x －13x)n 的展开式的常数项为T 4＝C 3n (x )n －3(－13x)3＝(－1)3C 3n3156n x，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10，故选B.8．有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为( ) A ．6 B ．18 C ．20 D ．24答案 B解析由题意知，名次排列的种数为C 13A 33＝18.9．在二项式(x 2－1x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A ．32B ．－32C ．0D ．1答案 C解析依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5.因此，令x ＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0，故选C.10．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为( ) A ．60 B ．80 C ．120 D ．260答案 D解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C 25A 22＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C 35A 33＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C 35×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是C 45A 44＝120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260，故选D. 二、填空题11．“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注的五个焦点．小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________．答案 72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点选出3个，有C 34种不同的选法；在调查时，“雾霾治理”安排的调查顺序有A 13种可能情况，其余三个热点调查顺序有A 33种，故不同调查顺序的总数为C 34A 13A 33＝72.- 11 - 12．(x －1)(4x 2＋1x 2－4)3的展开式中的常数项为________．答案 160解析 (x －1)(4x 2＋1x 2－4)3＝(x －1)(2x －1x )6，其中(2x －1x)6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 6·26－r ·x 6－2r ，令r ＝3，可得T 4＝(－1)3C 36·23＝－160，所以二项式(x －1)(4x 2＋1x 2－4)3的展开式中常数项为(－1)×(－160)＝160. 13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．答案 36解析将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 22A 44种方法，将产品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 22A 33种方法．于是符合题意的排法共有A 22A 44－A 22A 33＝36(种)．14．(2014·课标全国Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)答案 12解析设通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．答案 36解析若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C 13×A 22×C 13＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×C 13×A 22＝18种．所以满足题意的分法共有18＋18＝36种．16．已知(x ＋a x )6(a >0)的展开式中常数项为240，则(x ＋a )(x －2a )2的展开式中x 2项的系数为________．答案－6解析 (x ＋a x)6的二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 6x6－r (a x )r ＝C r 6a 362r x ，令6－3r 2＝0，得r ＝4，则其常数项为C 46a 4＝15a 4＝240，则a 4＝16，由a >0，故a ＝2.又(x ＋a )(x －2a )2的展开式中，x 2项为－3ax 2.故x 2项的系数为(－3)×2＝－6.。

专题七-第1讲排列、组合、二项式定理

排列、组合、二项式定理1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查．2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1(1)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有(B)A．20种B．21种C．22种D．24种解析分类讨论．当广告牌没有蓝色时，有1种结果；当广告牌有1块蓝色时，有C16＝6(种)结果；当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C25＝10(种)结果；当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色，形成4个位置，插入3块蓝色，有C34＝4(种)结果；由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21(种)结果．故选B.(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A．24 B．18 C．12 D．9解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18(条)，故选B.思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(C)A．18种B．24种C．36种D．48种解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)，若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)，若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．(2)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是(A)A．24 B．32 C．48 D．84解析首先安排文科学生，文科两个班的学生有A23种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A12×A22种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A23×A12×A22＝24(种)．故选A.热点二排列与组合例2(1)某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(B) A．18种B．24种C．36种D．48种解析若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有C23·22＝12(种)方法，若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有C13·22＝12(种)，所以共有12＋12＝24(种)方法，故选B.(2)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有____1 080____个．(用数字作答)解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C 35·C 14·A 44＝960. ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A 45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．跟踪演练2 (1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有( D )A ．A 1818种B ．A 2020种C ．A 23A 318A 1010种D ．A 22A 1818种解析先排美、俄两国领导人，方法有A 22种，剩下18人任意排有A 1818种，故共有A 22·A 1818种不同的站法．(2)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( D )A ．25种B ．60种C ．90种D ．150种解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有C 15C 24A 22×A 33＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C 35×A 33＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D. 热点三二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第k ＋1项T k ＋1＝C k n a n －k b k (其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．例3 (1)(3－2x －x 4)·(2x －1)6的展开式中，含x 3项的系数为( C )A ．600B ．360C ．－600D ．－360解析依题意，由排列组合知识可知，展开式中x 3项的系数为3×C 3623(－1)3－2×C 4622(－1)4＝－600.故选C.(2)已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017等于( C )A ．2 017B ．4 034C ．－4 034D ．0解析因为(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x )2 016＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋2 016a 2 016(x －1)2 015＋2 017a 2 017(x －1)2 016 (x ∈R )，令x ＝0，则－2×2 017＝a 1－2a 2＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017 (x ∈R )＝－4 034，故选C. 思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n 与k 确定，该项就随之确定；②T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式(a －b )n 的展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( C ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35解析因为(1＋x )6的通项为C k 6x k ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30. (2)⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若A B＝32，则n 等于( A )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析令x ＝1，得各项系数之和为A ＝4n ，二项式系数之和为B ＝2n ，故A B ＝4n2n ＝32，解得n ＝5，故选A.1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有___36_____种．解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)． 2．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于___112_____．解析 2n ＝256，n ＝8，通项C k 8·83k x -·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 8(－2)k ·843k x -，令k ＝2，则常数项为C 28(－2)2＝112.3．已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.答案16 4解析a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16.a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.4．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有___660_____种不同的选法．(用数字作答)解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．押题预测1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有(A)A．8种B．16种C．18种D．24种解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A22种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有A12A12A22＝8(种)．故选A.2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为(D)A．60 B．120 C．240 D．360解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C12种，其余5名分成一人组和四人组有C45A22种，共C45A22C12＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有C35C12A22＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有C35C22A22C12＝40(种)，王教练分配到三人组有C25C23C12A22＝120(种)，王教练分配到两人组有C15C12C34A22＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有C15C12C24C22＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．3．设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a 5＋6a 6＋7a 7的值为( A )A ．－14B ．－7C ．7D ．14 解析对已知等式的两边求导，得－14(1－2x )6＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4＋6a 6x 5＋7a 7x 6，令x ＝1，有a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＝－14.故选A.4．(1＋2x )10的展开式中系数最大的项是____15 360x 7____．解析设第k ＋1项的系数最大，由通项公式T k ＋1＝C k 102k x k ，依题意知T k ＋1项的系数不小于T k 项及T k ＋2项的系数，即⎩⎪⎨⎪⎧ C k 102k ≥C k －1102k －1，C k 102k ≥C k ＋1102k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －k k ，k ＋－k 所以193≤k ≤223，即k ＝7. 故最大的项为T 8＝C 71027x 7＝15 360x 7.A 组专题通关1．在(x －2－1x )n 的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n 等于( B ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6 解析 T 3＋1＝C 3n ·(x )n －3·⎝⎛⎭⎫－x 23＝－18×C 3n ·32n x +，－18C 3n ＝－7，C 3n ＝56⇒n n －n －1×2×3＝56，解得n ＝8，故选B.2．5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是( C )A ．54B ．72C ．78D ．96解析由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A 44＝24(种)，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有A 33＝6(种)，故有6×3×3＝54(种)，所以一共有24＋54＝78(种)． 3．某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( A )A ．60B ．40C ．120D ．240解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有C 24C 22A 22＝3(种)不同的分法；再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A 25＝60(种)不同的安排方法，故选A.4．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学的排法有( B )A ．18种B ．20种C ．21种D ．22种解析当A ，C 之间为B 时，看成一个整体进行排列，共有A 22·A 33＝12(种)，当A ，C 之间不是B 时，先在A ，C 之间插入D ，E 中的任意一个，然后B 在A 之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C 12·A 22·A 22＝8(种)，所以共有20种不同的排法．5．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( C )A ．－80B ．－40C ．40D ．80解析因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C.6．若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|等于( D )A ．1B ．513C ．512D ．511解析令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.7．已知⎝⎛⎭⎫ax －1x 5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为( B ) A ．270x －1 B ．270x C ．405x 3 D ．243x 5解析令x ＝1 ，(a －1)5＝32，解得a ＝3，即⎝⎛⎭⎫3x －1x 5 中共有6项，其中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，所以比较奇数项的系数，奇数项分别为C 05(3x )5＝243x 5，C 25(3x )3⎝⎛⎭⎫－1x 2＝270x ，C 45(3x )⎝⎛⎭⎫－1x 4＝15x 3 ，所以系数最大的项为270x ，故选B.8．《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( A )A ．144种B ．288种C ．360种D ．720种解析《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A 44种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有A 44A 22种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A 24种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A 44A 22×A 24＝144(种)，故选A. 9．2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案有___65_____种．解析根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16(种)情况，故哈西站一定要有人去的游览方案有81－16＝65(种)．10．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为__－1__．解析令等式中的x ＝0，得a 0＝1；再令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－a 0＝－1. 11．若⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝__6__；展开式中的常数项是__240__．解析由二项式定理性质可知，二项式系数和为2n ＝64，所以n ＝6，则原式为⎝⎛⎭⎫2x －1x 26，根据二项展开式可知通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎫－1x 2k ＝C k 6(－1)k 26－k x 6－3k ，令k ＝2，则T 3＝C 2624＝240，所以展开式中的常数项为240.12．把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为__1 200 __．解析 (1＋2＋3＋4)A 55＝1 200(种)．B 组能力提高13.⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋2x 6的展开式中，x 6的系数为( C ) A ．240 B ．241 C ．－239D ．－240 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋2x 6＝x 6⎝⎛⎭⎫x ＋2x x －16，所以x 6的系数为C 66⎝⎛⎭⎫x ＋2x x 0×(－1)6＋C 16C 25x 3⎝⎛⎭⎫2x x 2(－1)1＝－239.故选C.14．为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为( B )A ．720B ．768C ．810D ．816解析由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有C 14A 44＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有C 14A 22A 33＝48(种)情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况； (2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C 34C 13A 44＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C 24C 23A 44＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.15．6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是___32___．(用数字作答)解析排成一行的6个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第二个球也有2种可能，…，第五个球也有2种可能，第六个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.16．若(1＋y 3)⎝⎛⎭⎫x －1x 2y n (n ∈N *)的展开式中存在常数项，则常数项为____－84____．解析 ⎝⎛⎭⎫x －1x 2y n 展开式的通项为C k n x n －k ⎝⎛⎭⎫－1x 2y k ＝C k n (－1)k x n －3k y －k ， (1＋y 3)⎝⎛⎭⎫x －1x 2y n 展开式的通项为C k n (－1)k x n －3k y －k 和y 3C k n (－1)k x n －3k y －k ＝C k n (－1)k x n －3k y 3－k ，若存在常数项则有⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，－k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ n －3k ＝0，3－k ＝0，解得k ＝3，n ＝9，常数项为C 39(－1)3＝－84.。

2019高考数学二轮复习专题七概率与统计第一讲排列与组合、二项式定理学案理

第一讲排列与组合、二项式定理考点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[对点训练]1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有( )A．12对 B．15对 C．18对 D．20对[解析] 依题意，当A，B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有C23＋C23＋2＝8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A 有三个元素时，有3对；当A，B均有两个元素时，有3对．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20对，选D.[答案] D2．(2018·河北唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是( ) A．18 B．16 C．12 D．9[解析] 根据题意，分3步进行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有3种情况，②在剩下的3个数位中任选1个，安排2，有3种情况，③在最后2个数位安排2个1，有1种情况，则可组成3×3＝9个不同的四位数，故选D.[答案] D3.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )A．120 B．140C．240 D．260[解析] 由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，最后涂C处，若C 处与A处所涂颜色相同，则C处有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.[答案] D[快速审题] 看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步乘法计数原理．两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．考点二排列、组合排列与组合的异同点[对点训练]1．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A．60种 B．20种 C．10种 D．8种[解析] 根据题意，可分两步完成：第一步，先安排四盏不亮的路灯，只有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有1×10＝10(种)，故选C.[答案] C2．(2018·山西四校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120 C．144 D．168[解析] 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.[答案] B[探究追问] (1)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“同类节目必须相邻”，则有多少种不同的排法？(2)若第2题中，“同类节目不相邻”改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”[解析] (1)(捆绑法)将歌舞类节目，2个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有A33种不同排法．又歌舞类节目有A33种排法，小品类节目有A22种排法，所以共有A33×A33×A22＝72(种)不同排法．(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A 13·A 24A 33＝216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有A 12·A 14·A 44＝192(种)排法．故共有216＋192＝408(种)不同的排法．[答案] (1)72种 (2)408种3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)[解析] 解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的情况有以下2种：①2女1男：有C 22C 14＝4种选法；②1女2男：有C 12C 24＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．解法二：从2位女生，4位男生中选3人有C 36＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有C 34＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．[答案] 164．(2018·北京西城一模)某种产品的加工需要A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中A 必须在D 的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有________种．(用数字作答)[解析] B 与C 必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有A 44种排法，而B 与C 的顺序有A 22种排法，又A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有A 44·A 22A 22＝24(种)．[答案] 24[快速审题] (1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． (2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． (3)看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法．解排列组合综合问题的4个角度考点三二项式定理1．通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k(k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫做二项式系数．2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn ； (2)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (3)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.[对点训练]1．(2018·山东枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C ．1D ．2 [解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1xr ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310；令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210，所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2.故选D.[答案] D2．(2018·河北邯郸二模)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405 [解析][答案] C3．(2018·福建漳州二模)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.[答案] D4．(2018·浙江卷)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是________．[解析][答案] 7[快速审题] (1)看到展开式中求二项式系数或项的系数，想到二项展开式的通项． (2)看到二项式的系数和问题，想到用赋值法．利用二项式定理求解的3种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的．1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种[解析] 第一步：将4项工作分成3组，共有C 24种分法．第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A 33种分配方法，故共有C 24·A 33＝36种安排方式，故选D.[答案] D2．(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·(2x －1)r ＝2r C r 5·x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为22×C 25＝40.故选C.[答案] C3．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40 D ．80[解析] (2x －y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r·(－y )r ＝(－1)r·25－r C r5·x5－r y r.其中x 2y 3项的系数为(－1)3·22·C 35＝－40，x 3y 2项的系数为(－1)2·23·C 25＝80.于是(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为－40＋80＝40.[答案] C4．(2018·浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)[解析] 含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 25C 13A 13A 33＝540个，不含有数字0的没有重复数字的四位数共有C 25C 23A 44＝720个，故一共可以组成540＋720＝1260个没有重复数字的四位数．[答案] 12605．(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)[解析] 有一个数字是偶数的四位数有C14C35A44＝960个．没有偶数的四位数有A45＝120个．故这样的四位数一共有960＋120＝1080个．[答案] 10801.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型．2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上．热点课题17 分类讨论思想在排列组合中的应用[感悟体验]1．(2018·济南二模)某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( ) A．330种 B．420种C．510种 D．600种[解析] 当甲、乙、丙三位同学都只选1门，不同的选法有A35＝60(种)；当甲、乙、丙三位同学有一位选1门，另外两位选2门，不同的选法有C13C15C24C22＝90(种)；当甲、乙、丙三位同学有两位选1门，另一位选2门，不同的选法有C13C25C13C12＝180(种)，共有60＋90＋180＝330(种)．[答案] A2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A．232 B．252 C．472 D．484[解析] 由题意，不考虑特殊情况，共有C316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C24·C112种取法，故所求的取法共有C316－4C34－C24·C112＝560－16－72＝472种，选C.[答案] C专题跟踪训练(二十八)一、选择题1．(2018·惠州市二调)旅游体验师小李受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18 C．16 D．10[解析] 分两种情况，第一种：若最后去甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：若不在最后去甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.[答案] D2．(2018·开封市定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A ．6B ．12C ．18D ．19[解析] 解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有C 13C 23＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有C 23C 13＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种，所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.解法二：从六科中选考三科的选法只有C 36种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法只有1种，因此学生甲的选考方法共有C 36－1＝19(种)，故选D.[答案] D3．(2018·广西贵港市联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为( )A ．－240B ．－60C ．60D ．240[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，得r ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 46＝240，故选D.[答案] D4．(2018·长郡中学实验班选拔考试)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2的项的系数为( )A ．560B ．－560C ．280D ．－280[解析] 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 7的展开式中的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560，故选A.[答案] A5．将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )A ．150种B ．180种C ．240种D ．540种[解析] 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 35＋C 15×C 24×C 222！＝25(种)分法；再将三组学生分到3所学校有A 33＝6(种)分法，故共有25×6＝150(种)不同的保送方法．故选A.[答案] A6．(2018·广州一模)(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项为( ) A ．54 B ．56 C ．58 D ．60[解析] (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项就是⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的常数项与x －1项的系数之和.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·26－r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0得r ＝4，所以常数项是(－1)4×22×C 46＝60，令12－3r ＝－1得r ＝133，不符合题意，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式的x －1项是不存在的，故选D. [答案] D7．(2018·广东肇庆三模)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1344x 2y 5 [解析] 设第r ＋1项的系数最大，又∵r ∈Z ，∴r ＝5.∴系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.[答案] C8．(2018·衡水一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )A ．24B ．28C ．36D ．48[解析] 按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究．(1)当红红之间有蓝时，则有A 22A 24＝24种情况；(2)当红红之间无蓝时，则有C12A22C12C13＝24种情况．因此这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有24＋24＝48种排法．故选D.[答案] D9．(2018·广东珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )A．480种 B．360种 C．240种 D．120种[解析] 根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C.[答案] C10．(2018·甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( ) A．18种 B．24种 C．36种 D．48种[解析] 若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)；若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A23＝12(种)；若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C23＝6(种)；若甲、乙抢到的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A23＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.[答案] C11.(2018·合肥市三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图所示．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )A．96 B．114 C．168 D．240[解析] 首先在a 中种植，有4种不同方法，其次在b 中种植，有3种不同方法，再次在c 中种植，若c 与b 同色，则d 有3种不同方法，若c 与b 不同色，c 有2种不同方法，d 有2种不同方法，最后在e 中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.[答案] C12．(2018·郑州市第二次质量预测)将数字“124467\”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A ．72B ．120C ．192D ．240[解析] 若将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，①若末位数字为2，因为含有2个4，所以偶数有5×4×3×2×12＝60(个)；②若末位数字为6，同理偶数有5×4×3×2×12＝60(个)；③若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以偶数有5×4×3×2×1＝120(个)．综上可知，不同的偶数共有60＋60＋120＝240(个)．[答案] D二、填空题13．(2018·海南省五校二模)从数字0,1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数，则组成的三位数中是3的倍数的有________个．[解析] 若取出的3个数字中包含0，则由数字0,1,2或0,2,4组成的三位数满足题意，共组成8个三位数；若取出的3个数字中不包含0，则由数字1,2,3或2,3,4组成的三位数满足题意，组成的三位数共有2A 33＝12(个)．综上可知，共有20个三位数满足题意．[答案] 2014．(2018·东北三省四市二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)[解析] 电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C 14种选法，将2张连号的票分给甲、乙，共有A 22种分法；其余3张票分给其他3个人，共有A 33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C 14A 22A 33＝48(种)分法．[答案] 4815．(2018·湖北黄冈期末)设(1－ax )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018，若a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018a (a ≠0)，则实数a ＝________.[解析] 已知(1－ax )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018，两边同时对x 求导，得2018(1－ax )2017(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2018a 2018x2017，令x ＝1得，－2018a (1－a )2017＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018a ，又a ≠0，所以(1－a )2017＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.[答案] 216．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动，质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有________种(用数字作答)．[解析] 解法一：在x轴上，标出A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(－1,0)，依题意知，跳动4次后，只有在B点或D点可跳到C点，画出树状图，可得结果为5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二：将向右跳一次记为＋1，向左跳一次记为－1，需要其和为＋3，那么应为4个＋1,1个－1，∴质点不同的运动方法共有C15＝5种．[答案] 5。

备战2023年高考数学二轮复习专题第一讲排列、组合与二项式定理

题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
[把脉考情]
考什 1.排列、组合的应用(均分或不均分问题，相邻或不相邻问题)．么 2．二项式定理问题(二项展开式的项或某项的系数). 1.多以实际生活为背景考查排列、组合的应用，在解答题中常与
新动概率、统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养．向 2．二项式定理主要考查运算求解能力，注意转化与化归思想的应用.
二轮·数学
则nnnn－－1166nn－－22>>nnnn－－2 11，n2－4 2n－3，
解得 5<n<7.又 n∈N，因此 n＝6.设(1＋x)6＝a0x6＋a1x5＋a2x4＋…＋a5x＋a6，
令 x＝1，则(1＋x)6 的系数和为 a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26＝64. 答案：64
11
3
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
2．(2020·全国卷Ⅰ)x＋yx2(x＋y)5 的展开式中 x3y3 的系数为( C )
A．5
B．10
C．15
D．20
4
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
解析：法一：∵x＋yx2(x＋y)5＝x＋yx2(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)， ∴x3y3 的系数为 10＋5＝15. 法二：当 x＋yx2中取 x 时，x3y3 的系数为 C35，当 x＋yx2中取yx2时，x3y3 的系数为 C15， ∴x3y3 的系数为 C35＋C15＝10＋5＝15.
A．60 种 C．240 种
B．120 种 D．480 种

高考专题复习第一部分 专题七 第1讲 排列、组合和二项式定理 专题训练

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