三角函数主要题型梳理(教案用题)

例1. (2015·新课标全国Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A ．－32 B.32 C ．－12 D.12

练1. (2014·新课标全国Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )

A ．3α－β＝π2

B ．2α－β＝π2

C ．3α＋β＝π2

D ．2α＋β＝π2

例2. (2015·四川)sin 15°＋sin 75°的值是________．

练2. (2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．

练3. (2015·广东)已知tan α＝2.

(1)求tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求

sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1

的值．

例3. (2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．

练3.1若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＋2α＝( ) A ．－78 B ．－14 C.14 D.78

例4. (2014·四川)已知函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．

练4.(2015·新课标全国Ⅰ)

练5. 函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为

( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 练6. (2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )

A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2

B ．y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x

练7. (2014·山东)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )

练8. (2014·新课标全国Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④

C ．②④

D ．①③

例5. 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2 x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．

(1)求a ，θ的值．

(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＝－25，a ∈(π2，π)，求sin ⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋π3的值．

练9. 函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．

练10.1已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．

练10.2已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；

(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6

，2π3上的单调性．

练10.3已知函数f (x )＝12

sin 2x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；

(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得

到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤π2，π时，求g (x )的值域．

练10.4已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.

(1)若sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4＋α＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值； (2)当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．

例6. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点间的距离为2π.

(1)求f (x )的解析式；

(2)若α为锐角，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13，求sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2＋α的值．

练11. 要得到函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位

C ．向左平移π3个单位

D ．向右平移π3个单位