河南省南阳市 九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A. −7B. 3mC. 1+x2D. 2x2.下列方程是一元二次方程的是（ ）A. x2=−1B. x2+1x=1=0C. x2+y+1=0D. x3−2x2=13.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，ADAB=37，则EC的长是（ ）A. 4.5B. 8C. 10.5D. 144.若−ab=a⋅−b成立，则（ ）A. a≥0，b≥0B. a≥0，b≤0C. ab≥0D. ab≤05.下面是小刚同学在一次测试中解答的部分填空题，其中解答正确的个数是（ ）①已知实数a，b满足a=b−3+3−b+3，即ab=3；②若x2=9，则x=3；③有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A. B.C. D.7.二次三项式x2-4x+3配方的结果是（ ）A. (x−2)2+7B. (x−2)2−1C. (x+2)2+7D. (x+2)2−18.某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得（ ）A. (8−x)(10−x)=8×10−40B. (8−x)(10−x)=8×10+40C. (8+x)(10+x)=8×10−40D. (8+x)(10+x)=8×10+409.如图所示，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB．正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌B的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，正方形边长为3米，DE=4米，则此时电线杆的高度约是（ ）A. 8米B. 7米C. 6米D. 7.9米二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.若代数式m+1m−1有意义，则m的取值范围是______．12.已知等腰三角形的两边长恰好是方程x2-9x+18=0的解，则此等腰三角形的三边长是______．13.已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是______．14.如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE=23AD，连结BE，交AC于点F，AC=15，则AF为______．15.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点C落在边AB上，记为点C’，折痕为EF，已知AB=AC=4，BC=5，若以点B，F，C'为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）16.计算或解方程：（1）18−92−3+63+(3−2)0+(1−2)2．（2）2（t+1）2-t=1．（3）1-x=3x2（用配方法解）．四、解答题（本大题共7小题，共63.0分）17.先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷（1b-1a），其中a=2103，b=-5452．18.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A（-1，2）、B（2，1）、C（4，5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．19.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．20.如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？21.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？22.如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，t为何值时，DP⊥AC．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m=n，点E在线段AC上，则DEDF=______；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF=______（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC=5，BC=25，DF=42，请直接写出CE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故错误；B、是三次根式，故错误；C、x2+1＞0一定成立，被开方数是非负数，故正确；D、当x=-1时，二次根式无意义，故错误．故选：C．根据二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．2.【答案】A【解析】解：x2=-1是一元二次方程，故选：A．利用一元二次方程的定义判断即可．此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴==，解得：EC=8．故选：B．利用相似三角形的判定与性质得出=，求出EC即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．4.【答案】B【解析】解：∵成立，∴a≥0，b≤0．故选：B．直接利用二次根式的性质分析得出答案．此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握二次根式的性质是解题关键．5.【答案】B【解析】解：①已知实数a，b满足a=++3，即=3；正确．因为a=b=3，所以=3；②若x2=9，则x=3；错误，x=±3；③有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似，正确．故选：B．①根据二次根式有意义的条件求出a，b的值即可判断；②根据平方根的意义，即可解决问题；③根据相似三角形的判定方法即可判断；本题考查二次根式、平方根、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，所以中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选：B．设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．7.【答案】B【解析】解：x2-4x+3=x2-4x+4-1=（x-2）2-1．故选：B．在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数-4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和-1，然后再按完全平方公式进行计算．在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．8.【答案】D【解析】解：设增加了x行或列，根据题意得（8+x）（10+x）=8×10+40．故选：D．设增加了x行或列，根据体操队伍人数不变列出方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．9.【答案】D【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，故①正确；∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形；故③正确；∴∠ABD=∠A=36°，∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=36°，即BD是∠ABC的平分线；故②正确；∴∠BDC=180°-∠CBD-∠C=72°，即∠BDC=∠C，∵∠C=∠ABC，∴△CBDD∽△CAB；故④正确．故选：D．由AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，可得AD=BD，∠A=∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=∠C=72°，即△ABD与△BCD是等腰三角形，可得△CBDD∽△CAB；此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10.【答案】D【解析】解：过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，根据题意，四边形BQGP是矩形，∴BP=GQ=3米，△APG∽△FDE，∴=，∴AP=4.875，∴AB=4.875+3=7.875≈7.9（米），故选：D．过点G作GQ⊥BE于点Q，GP⊥AB于点P，可得四边形BQGP是矩形，然后且△APG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AP的长度，再加上CH即可．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.【答案】m≥-1，且m≠1【解析】解：由题意得：m+1≥0，且m-1≠0，解得：m≥-1，且m≠1，故答案为：m≥-1，且m≠1．根据二次根式有意义的条件可得m+1≥0，根据分式有意义的条件可得m-1≠0，再解即可．此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】3，6，6【解析】解：x2-9x+18=0，（x-3）（x-6）=0，所以x1=3，x2=6，因为3+3=6，所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，故答案为：3，6，6．先利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=6，然后根据三角形三边的关系确定腰和底．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．13.【答案】有两个不相等的实数根【解析】解：∵点P（a，c）在第二象限，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0∴b2-4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．根据题意确定a、c的符号，根据一元二次方程根的判别式判断即可．本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14.【答案】6【解析】解：在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∵E为AD的三等分点，∴AE=AD=BC，∵AD∥BC，∴==，∵AC=15，∴AF=×15=6．故答案为6．根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，然后求出AE=AD=BC，再根据平行线分线段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．15.【答案】209或52【解析】解：设CF=x，则BF=5-x，∵△ABC沿EF折叠，使点C落在边AB上，记为点C’，∴FC′=FC=x，∵∠C′BF=∠ABC，∴当∠BFC′=∠C时，△C′BF∽△ABC，∴=，即=，解得x=；当∠BC′F=∠C时，△FC′B∽△ABC，∴=，即=，解得x=，综上所述，CF的长为或．故答案为或．设CF=x，则BF=5-x，利用折叠的性质得到FC′=FC=x，根据相似三角形的判定，由于∠C′BF=∠ABC，则当∠BFC′=∠C时，△C′BF∽△ABC；当∠BC′F=∠C时，△FC′B∽△ABC，然后利用相似比分别计算对应的x的值即可．本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行几何计算．也考查了折叠的性质和分类讨论思想的运用．16.【答案】解：（1）原式=32-322-1-2+1+2-1=32-322-1=322-1；（2）2（t+1）2-t=1，2（t+1）2-（t+1）=0．（t+1）（2t+2-1）=0，∴t+1=0或2t+1=0，∴t1=-1，t2=-12；（3）整理得，3x2+x=1，x2+13x=13，（x+16）2=1336，∴x1=−1+136，x2=−1−136．【解析】此题考查了解一元二次方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）直接利用零指数幂和二次根式的性质化简进而得出答案；（2）变形后，提取公因式，利用因式分解法即可；（3）利用配方法解答即可．17.【答案】解：原式=(a−b)22(a−b)÷a−bab=(a−b)22(a−b)×aba−b=ab2当a=2103，b=-5452时，∴原式=12×2×103×（-5）×452=-5×103×452=-5×5×15=-253【解析】先化简原式，然后将a与b代入即可求出答案．本题考查分式的化简，解题的关键是运用分式的运算法则，以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．18.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求三角形（2）如图所示，△A2B2C2就是所求三角形如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A（-1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，∴A2（-2，4），B2（4，2），C2（8，10），∴S△A2B2C2=8×10-12×6×2-12×4×8-12×6×10=28．【解析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；本题考查作图-位似变换，作图轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．19.【答案】（1）证明：△=（2k+1）2-4×4（k-12）=4k2+4k+1-16k+8，=4k2-12k+9=（2k-3）2，∵（2k-3）2≥0，即△≥0，∴无论k取何值，这个方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（2k-3）2=0，解得k=32，方程化为x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4（2k+1）+4（k-12）=0，解得k=52，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，所以△ABC的周长=4+4+2=10．【解析】（1）先计算判别式的值得到△=4k2-12k+9，配方得到△=（2k-3）2，根据非负数的性质易得△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；（2）分类讨论：当b=c时，则△=（2k-3）2=0，解得k=，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符号条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k=，则方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，所以a=b=4，c=2或a=c=4，b=2，然后计算△ABC的周长．本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．20.【答案】解：设t秒时，则BP=8-2t，BQ=4t，当△ABC∽△PBQ时，则ABPB=BCQB，即88−2t=164t，解得：t=2，当△ABC∽△QBP时，则ABQB=BCBP，即84t=168−2t，解得：t=0.8，综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似．【解析】分别利用当△ABC∽△PBQ时以及当△ABC∽△QBP时，分别得出符合题意的答案．此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用分类讨论得出是解题关键．21.【答案】（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60-x-40）（100+x2×20）=2240．…4分化简，得x2-10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60-6=54（元），设按原售价的m折出售，则有：60×m10=54，解得m=9答：该店应按原售价的九折出售．【解析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，∴△APQ∽△CDQ；（2）解：当t=5时，DP⊥AC；∵∠ADC=90°，DP⊥AC，∴∠AQD=∠AQP=∠ADC=90°，∵∠DAQ=∠CAD，∴△ADQ∽△ACD，∴ADAC=AQAD，AC=102+202=105，则AQ=AD2AC=102105=25，∵∠AQP=∠ABC=90°，∠QAP=∠BAC，∴△AQP∽△ABC，∴AQAP=ABAC，则25t=20105，解得：t=5，即当t=5时，DP⊥AC．【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ=∠QAP，∠PDC=∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；（2）首先证明△ADQ∽△ACD，根据相似三角形的性质可得=，然后计算出AC长，进而可得AQ长，再证明△AQP∽△ABC，可得=，则=，再解即可得到t的值．23.【答案】1 nm【解析】解：（1）当m=n时，即：BC=AC，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴=1，∴=1（2）①∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵=，∴=，∴CF=2AE，在Rt△DEF中，DE=2，DF=4，∴EF=2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC-CE）=2（-CE），EF=2，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2（-CE）]2=40∴CE=2，或CE=-（舍）而AC=＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（+CE），EF=2，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2（+CE）]2=40，∴CE=，或CE=-2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF=2AE=2（CE-AC）=2（CE-），EF=2，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+[2（CE-）]2=40，∴CE=2，或CE=-（舍）即：CE=2或CE=．（1）先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可；（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．此题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解本题的关键，求CE是本题的难点。