2014年高考理科数学广东卷答案及解析(word精教版)

绝密★启用前 试卷类型：B
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座 位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型A 填涂在答题卡相应位置上．将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再 作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}-
D.{0,1}
2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z= A.34i - B.34i +
C.34i --
D.34i -+
3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪
+≤=+⎨⎪≥-⎩
且的最大值和最小值分别为m 和n ，则
m n -=
A.8
B.7
C.6
D.5
4．若实数k 满足09k <<，则曲线
22
1259x y k
-=-与曲线221259x y k -=-的
A.离心率相等
B.虚半轴长相等
C.实半轴长相等
D.焦距相等
5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是
A.（-1,1,0）
B.（1,-1,0）
C.（0,-1,1）
D.（-1,0,1）
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
图1 图2
A.200,20
B.100,20
C.200,10
D.100，10
7．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是
A.14l l ⊥
B.14//l l
C.14,l l 既不垂直也不平行
D.14,l l 的位置关系不确定
8．设集合(){}1
2
3
4
5
=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i
A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件
“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

10．曲线25+=-x
e y 在点)3,0(处的切线方程为 。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。

12．在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则
=b
a。

13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则
1220ln ln ln a a a +++= 。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2
sin
cos ρθθ=和
sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.
C E A
B
F
D
小学生
3500名 初中生 4500名 高中生 2000名 小学 初中 30 高中 10
年级 50 O 近视率/%
15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则
=∆∆的面积
的面积
AEF CDF
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4
sin()(π
，且2
3
)125(
=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=
-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4
3
(θπ-f 。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 (30,35 ] 5 0.20 (35,40 ] 8 0.32 (40,45 ] n 1 f 1 (45,50 ] n 2 f 2
（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，0
30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面 （2）求二面角D AF E --的余弦值。

A B C D E F P
19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2
*
1234,n n S na n n n N +=--∈，且
315S =，
(1)求123,,a a a 的值;
(2)求数列{}n a 的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为
53
， （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程。

21．（本小题满分14分） 设函数2
2
2
1
()(2)2(2)3
f x x x k x x k =
+++++-，其中2k <-，
（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；
（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
１－８：BACD BADD;
８、解：A 中元素为有序数组()12345,,,,x x x x x ，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为1±、
仅2个数为1±或仅3个数为1±，所以共有123
555222222130C C C ⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=个不同数组；
9、(,3)
(2,)-∞-+∞; 10、53y x =-+; 11、16
; 12、2; 13、50; 14、(1,1); 15、9;
11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，3363
3
10
16C C P C ⋅==； 16.解：（1）553()sin()121242
f A πππ=+=，
3322
A ∴⋅=，3A =；()f -θ()f θ
（2）3()()3sin()3sin()442
f f +-=++-+=ππθθθθ，
2233[(sin cos )(sin cos )]2
22
∴++
-+=θθθθ，
36cos 2
∴=θ，6
cos 4=
θ，又)2
,0(πθ∈， 210sin 1cos 4
∴=-=θθ，
)4
3
(θπ-f 303sin()3sin 4=-==πθθ．
17. 解：（1）127,2n n ==，120.28,0.08f f ==；
（2）样本频率分布直方图为
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为ξ，则~(4,0.2)B ξ，
4(1)1(0)1(10.2)10.40960.5904P P ξξ≥=-==--=-=，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904． 18.（１）PD ⊥平面ABCD ，
PD AD ∴⊥，又CD AD ⊥，PD CD D =， AD ∴⊥平面PCD ，
日加工零件数
频率 组距
0.016
0.024 0.04 0.056
0.064 25 30 35 40 45 50 0
AD PC ∴⊥，又AF PC ⊥，
PC ∴⊥平面ADF ，即CF ADF ⊥平面；
（２）设1AB =，则Rt PDC ∆中，1CD =，又0
30DPC ∠=，
2PC ∴=，3PD =，由（１）知CF DF ⊥
32
DF ∴=，2272
AF AD DF =
+=，
2212
CF AC AF ∴=-=，又//FE CD ，
14DE CF PD PC ∴==，34DE ∴=，同理3344
EF CD ==，
如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)A ， 3(,0,0)4E ，33(,,0)44
F ，(3,0,0)P ，(0,1,0)C ，
设(,,)m x y z =是平面AEF 的法向量，则m AE m EF ⎧⊥⎨⊥⎩，又3
(,0,0)
43(0,,0)
4
AE EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以304304
m AE x z m EF y ⎧
⋅=-=⎪⎨
⋅==⎪⎩
，令4x =，得3z =，(4,0,3)m =， 由（１）知平面ADF 的一个法向量(3,1,0)PC =-， 设二面角D AF E --的平面角为θ，可知θ为锐角，
||
cos |cos ,|||||
m PC m PC m PC ⋅=<>==⋅θ4325719192=⨯，即所求．
19.解：23420S a =-，3233520S S a a =+=-，又315S =，
37a ∴=，234208S a =-=，又212222(27)37S S a a a a =+=-+=-， 25a ∴=，112273a S a ==-=， 综上知13a =，25a =，37a =；
（２）由（１）猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明． ①当1n =时，结论显然成立；
②假设当n k =（1k ≥）时，21k a k =+， 则3(21)357(21)(2)2
k k S k k k k ++=++++=
⨯=+，又2
1234k k S ka k k +=--， 21(2)234k k k ka k k +∴+=--，解得1246k a k +=+， 12(1)1k a k +∴=++，即当1n k =+时，结论成立；
由①②知，*,21n n N a n ∀∈=+．
A
B
C
D E
F
P x
y
z
20.解：（１）可知5c =，又53
c a
=
，3a ∴=，2224b a c =-=，
椭圆C 的标准方程为22
194
x y +=； （２）设两切线为12,l l ，
①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±
②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k
-，
1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22
194
x y +
=， 得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，
因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，
2200364[()4]0k y kx ∴-+--=， 2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=
所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根， 同理1k
-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，
1()k k ∴⋅-=202
049
y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），
因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=．
21.解：（１）可知222
(2)2(2)30x x k x x k +++++->，
22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，
2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，
|1|2x k ∴+<--或|1|2x k +>-，
12k ∴----<12x k <-+--或12x k <---或12x k >-+-， 所以函数()f x 的定义域D 为
(,12)
k -∞--
-(12,k ----12)
k -+-
-(12,)k -+-+∞；
（２）
23
2
2
2
2(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3
x x k x x f x x x k x x k +++++=-
+++++-23
2
2
2
(21)(22)(2)2(2)3
x x k x x x k x x k ++++=-
+++++-，
由'()0f x >得2
(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)(1)(1)0x k x k x +++-+<，
1x k ∴<---或11x k -<<-+-，结合定义域知12x k <---或112x k -<<-+--，
所以函数()f x 的单调递增区间为(,12)k -∞---，(1,12)k --+--，
同理递减区间为(12,1)k -----，(12,)k -+-+∞；
（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，
2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，
(124)(124)(3)(1)0x k x k x x ∴++--+---⋅+-=， 124x k ∴=----或124x k =-+--或3x =-或1x =， 6k <-，1(1,12)k ∴∈--+--，3(12,1)k -∈-----，
12412k k ----<---，12412k k -+-->-+-， 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为
(124,12)
k k -------(12,3)
k -----(1,12)
k -+--
(12,124)k k -+--+--．。