2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题 教师版
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2005-2017年浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题
(教师版)
1、(2005年)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点12,F F 在x 轴上,长轴12A A 的长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线1l :x =m (|m |>1),P 为1l 上的动点,使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ,求点Q 的坐标(用m 表示).
解析:(Ⅰ)设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>,半焦距为c ,
则2111,a MA a A F a c c =-=- ,()2
222
224
a a a c c a a
b
c ⎧-=-⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得
2,1a b c ∴=== ,22
1.43
x y +=故椭圆方程为
(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >,当00y >时,120F PF ∠=; 当00y ≠时,22102
F PF PF M π
<∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可
设直线1PF 的斜率011y k m =
+,直线2PF 的斜率0
21
y k m =-,
021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠=
=≤=+-+
0||y =时,12F PF ∠
最大,(,,||1Q m m ∴>
2、(2006年)如图,椭圆b
y a x 222+=1(a >b >0)与过点A (2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ,
且椭圆的离心率e=
2
3。 (Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段AF 2的中点,求证:∠ATM=∠AF 1T 。
解析:(Ⅰ)过 A 、B 的直线方程为
12
x
y += 因为由题意得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==+1211
2222x y b y a x 有惟一解,
即0)4
1(22222
22
=-+-+
b a a x a x a b 有惟一解, 所以2222(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠故442
2
-+b a =0
又因为
e 2c =即222
34a b a -= , 所以22
4a b = 从而得2
2
12,,2a b == 故所求的椭圆方程为
2
2212
x y +=
(Ⅱ)由(Ⅰ)得2c =
, 所以
12(,0),(22F F -,从而M (1+4
6
,0) 由 ⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+1
211222
2x y y x ,解得 121,x x == 因此1
(1,)2T =
因为126
tan 1-=
∠T AF ,又21tan =∠TAM ,6
2tan =
∠2TMF ,得 12
6
6
1
121
62
tan -=
+
-=
∠ATM ,因此,T AF ATM 1∠=∠ 3、(2007年)如图,直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ,两点,记AOB △的面积为S . (I )求在0k =,01b <<的条件下,S 的最大值; (II )当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.
解析:(I )设点A 的坐标为1()x b ,,点B 的坐标为2()x b ,.
由2
214
x y +=
,解得1,2x =±
所以22121||2112S b x x b b =
-=≤+-=
,当且仅当2
b =时,.S 取到最大值1. (Ⅱ)解:由22
14
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(41)8440k x kbx b +++-= 2216(41)k b ∆=-+ ①
|AB
12|2x x -== ②
又因为O 到AB
的距离21||
S
d AB =
=
= 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理,得42
4410k k -+=,解得,2
213,22
k b =
=, 代入①式检验,△>0,故直线AB 的方程是
22y x =
+
或22
y x =-
或22y x =-+
或22y x =--. 4、(2008年)已知曲线C 是到点P (83,21-
)和到直线8
5
-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q (-1,0)的直线,M 是C 上(不在l 上)的动点;A 、B 在l 上,,MA l MB x ⊥⊥ 轴(如图)。
(Ⅰ)求曲线C 的方程; (Ⅱ)求出直线l 的方程,使得
QA
QB
2
为常数。
解析:(Ⅰ)设()N x y ,为C
上的点,则||NP =,
N 到直线58y =-的距离为5
8
y +.
58y =+.化简,得曲线C 的方程为21()2y x x =+.
(Ⅱ)解法一: