用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题

基础题

知识点1一般图形的问题

1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B)

A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900

C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2

C．121 m2 D．144 m2

3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm．

4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m.

5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米．

(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？

(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．

解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有

x(28－x)＝180.

解得x1＝10(舍去)，x2＝18.

则28－x＝28－18＝10.

答：长为18厘米，宽为10厘米．

(2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有

y(28－y)＝200.

化简，得y2－28y＋200＝0.

∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0.

∴原方程无实数根．

故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．

知识点2边框与甬道问题

6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C)

A．(x＋1)(x＋2)＝18

B．x2－3x＋16＝0

C．(x－1)(x－2)＝18

D．x2＋3x＋16＝0

7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等

且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为(C) A．100×80－100x－80x＝7 644

B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644

C．(100－x)(80－x)＝7 644

D．100x＋80x＝356

8．如图所示，相框长为10 cm，宽为6 cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32 cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？

解：设相框的边缘宽为x cm，根据题意，得(10－2x)(6－2x)＝32. 整理，得x2－8x＋7＝0，

解得x1＝1，x2＝7.

当x＝7时，6－2×7＝－8＜0，不合题意，舍去．

答：相框的边缘宽为1 cm.

易错点忽视根的合理性，忘记验根

9．(大同一中期末)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊

圈的边长AB，BC各为多少米？

解：设AB＝x，则BC＝100－4x(BC≤25)．

根据题意，得x(100－4x)＝400，

解得x1＝5，x2＝20.

当x＝5时，100－4x＝80，不满足BC≤25，不合题意，舍去；

当x＝20时，100－4x＝20.

所以AB为20米，BC为20米．

中档题

10．(高平特力期中)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)

A．(32－2x)(20－x)＝570

B．32x＋2×20x＝32×20－570

C．(32－x)(20－x)＝32×20－570

D．32x＋2×20x－2x2＝570

11．(襄汾期末)如图，在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲

修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，

则路宽x 应满足的方程是(C)

A ．(40－x)(70－x)＝2 450

B ．(40－x)(70－x)＝350

C ．(40－2x)(70－3x)＝2 450

D ．(40－2x)(70－3x)＝350

12．在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为x 2＋40x －75＝0．

13．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶

1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2?

解：设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ．根据题意，得 (x －2)(2x －4)＝288.

解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.

所以2x＝2×14＝28.

答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.

综合题

14．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．

(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?

(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?

(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2说明理由．

解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意，得

x(5－x)＝4.

解得x1＝1，x2＝4.

∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去．

∴x＝1.

答：1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.