2019届高三数学上册期中调研检测试题2
扬州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题(含答案)
（2）假设直线 l： =y kx + m 与椭圆 C 交于 A，B 两点．①若 A 为椭圆的上顶点，M 为线段
AB 中点，连接 OM 并延长交椭圆 C 于 N，并且 ON =
6
OM
，求
OB
的长；②若原点
O
到直线
l
2
的距离为
1，并且
OA
⋅
OB
= λ ，当
4
≤
λ
2
…14 分
17．解：∵直线 x − 3y −10 = 0 与圆 O : x2 + y2 = r2 (r > 0) 相切
∴圆心 O 到直线 x − 3y −10 = 0 的距离= 为 r = |10 | 10 ． 1+ 9
…2 分
（1）记圆心到直线 l 的距离为 d ，所以 d= 10 − 6= 2 ．
扬州市 2018—2019 学年度第一学期期中调研测试试题
高三数学
2018．11
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 z = 1+ i ，则复数 z＝
．
1− 2i
2．函数=y 4 − 2x 的定义域为
+ 4y
−10 = 0
…6 分
综上，直线 l 的方程为 x = 2 或 3x + 4 y −10 = 0 ．
7
…7 分
（2）设 P(x0 , y0 ) ．∵直线 y = 3 与圆 O 交于 A 、 B 两点，不妨取 A(1,3), B(−1,3) ，
∴直线 PA 、 PB 的方程分别为= y − 3 y0 − 3 (x −1) ，= y − 3 y0 − 3 (x + 1)
江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题 Word版含解析
苏州市2019届上学期高三期中调研试卷2018.11.12数学（正题）一、填空题(请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置上) 1.设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U A =ð__________. 【答案】{}1,2 【解析】 【分析】利用补集定义直接求解即可．【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{}12U A =，ð， 故答案为{}1,2．【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________. 【答案】2210x R x x ∀∈-+<， 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题：2210x R x x ∀∈-+<，， 故答案为：2210x R x x ∀∈-+<，．【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3.已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出 220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值． 【详解】∵a b ⊥，∴ 220a b m ⋅=-=； ∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于基础题.4.函数()lg(2)f x x =-+__________. 【答案】[)2,2- 【解析】 【分析】由偶次根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【详解】由2020x x ->⎧⎨+≥⎩，得22x -≤<．∴函数()lg(2)f x x =-+[)2,2-． 故答案为[)2,2-．【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.5.已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π 【解析】 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=，故答案为6π．【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和公式，由424S S =可得23q =，通过化简可得884411S q S q-=-，代入2q 的值即可得结果. 【详解】∵424S S =，∴424S S =，显然1q ≠， ∴()()241111411a q a q qq--=--，∴214q +=，∴23q =，∴()()818484441111 110111a q S q q q S qa q q---===+=---，故答案为10． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．7.设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，且0,0,0A ωϕ>><<π）的部分图象如图所示， 则ϕ的值是________.【答案】3π 【解析】【分析】先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．【详解】根据函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ为常数，且A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得34•2πω=712π+6π，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×（﹣6π）+φ=0，∴φ=3π，故答案为：3π．【点睛】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法求出φ的值，属于基础题．8.已知二次函数2()23f x x x =-++，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6(规定：闭区间[],a b 的长度为b a -)，则实数m 的值是_______.【答案】5- 【解析】 【分析】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，分析可得x a =和x b =是方程2230x x m -+-=的两根，将二次函数根与系数的关系与6b a -=相结合，可得m 的值． 【详解】根据题意223x x m -++≥的解集为[],a b ，则x a =和x b =是方程223x x m -++=即2230x x m -+-=的两根， 则2a b +=，3ab m =-，不等式()f x m ≥的解集的区间长度为6，即6b a -=， 则有()()2444336a b ab m +-=--=，解可得5m =-， 故答案为5-．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．9.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为34800m ，深度为3m .如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______m . 【答案】160 【解析】 【分析】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x，由题意可得水池总造价()f x ，然后利用基本不等式求最值，可得水池总造价最低时的水池底部的周长． 【详解】设水池底面一边的长度为xm ，则另一边的长度为48003m x， 由题意可得水池总造价()48004800150120232333f x x x ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭()16002400007200x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，则()1600720240000720240000f x x x ⎛⎫=++≥⨯ ⎪⎝⎭ 720240240000297600=⨯⨯+=，， 当且仅当1600x x=，即40x =时，()f x 有最小值297600， 此时另一边的长度为4800403m x=， 因此，当水池的底面周长为160m 时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元， 故答案为160．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求最值，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．10.在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 最大值是______.【答案】6π 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得3sin cos cos sin 0B C B C +=，即3t a n t a nB C =-，可得B 为锐角，C 为钝角，()tan tan A B C =-+展开代入利用基本不等式的性质即可得出tan A 的最大值，结合A 的范围即可得解． 【详解】∵sin 2sin cos 0A B C +=， ∴()sin 2sin cos 0B C B C ++=， ∴3sin cos cos sin 0B C B C +=， ∵cos 0C ≠，cos 0B ≠，∴3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角． ∴()()2tan 3tan tan tan tan tan 1tan tan 13tan B B B C A B C B C B --+=-+=-=-+213tan tan B B=≤=+，当且仅当tan B =时取等号， ∴tan A∵A 为锐角，∴A 的最大值是6π，故答案为6π． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()13x f x 的取值范围是______. 【答案】21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求得1x ≥时()f x 的导数，可得单调性和极值，画出()y f x =的图象，可得112e x e--<<，再由二次函数的单调性，可得所求范围． 【详解】由ln x y x =的导数为21ln xy x-'=， 当x e ≥，函数递减；当1x e ≤<时，可得函数递增， 即有x e =处函数取得极大值1e， 作出函数()2,1ln ,1x x ef x x x x⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的图象，可得112e x e --<<，由()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，可得()()2213111112211x f x x f x x x x e e e ⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，且在21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭递减，即有11x e =-时，()1321x f x e =-；12x e =-时，()130x f x =，可得()13x f x 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用：求范围，考查导数的运用：求单调性和极值，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12.已知数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列{}n b 的通项公式为2n b n =，若将数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ，则6c 的值为_______.【答案】256 【解析】 【分析】利用数列的通项公式列举数列的项，进一步利用共性求出结果． 【详解】数列{}n a 的通项公式为51n a n =+，数列的数据符合平方的数有：16，36，81，121，169，256．数列{}n b 的通项公式为2n b n =，当4n =，6，9，11，13，16时符合上面各个数．数列{}n a ，{}n b 中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}n c ， 则6c 的值为256，故答案为256.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，列举法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，CB CD ==若点M 为边BC 上的动点，则AM DM uuu r uuu u r⋅的最小值为_______.【答案】214【解析】 【分析】如图所示，以B 为原点，以BA 所在直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，求出A ，D ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，CB CD ==∴()00B ，，()20A ，，(0,C ，(D ，设()0,M a ，则()2,AM a =-，( 3,DM a =-，故(22121 6244AM DM a a a ⎛⎫=+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⋅，故答案为214． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．14.函数()xf x e x a =-在(1,2)-上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】-1a ≤或3a ≥ 【解析】 【分析】首先根据单调性及最值可得()1,2a ∉-，分为1a ≤-和2a ≥两种情形，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出取并集即可. 【详解】由题意得()()110a f x f e-->-=≥，()()01,2f a a =⇒∉-，①1a ≤-时，()()xf x ex a =-，()()10x f x e x a -+'=≥即()1,2x ∀∈-，()()10100g x x a g a a =-+≥⇒-=-≥⇒≤， 因此1a ≤-； ②2a ≥时，()()xf x ea x =-，()()10x f x e a x --'=≥即()1,2x ∀∈-，()()102303h x x a h a a =-+-≥⇒=-≥⇔≥ 因此3a ≥，综上可得(][),13,a ∈-∞-⋃+∞， 故答案为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，分类讨论的数学思想，是一道综合题．二、解答题：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知(2cos23,2sin2)αα=+m ，(sin ,cos )ββ=n . （1）若6πβ=，且()f α=⋅m n ，求()f α在[0,]2π上的取值范围； （2）若//m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上，求tan()tan αβα+的值. 【答案】（1）()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）5-【解析】 【分析】（1）首先利用向量的数量积，对三角函数关系式进行变换，进一步利用函数的定义域求出值域；（2）利用向量的共线，建立等量关系，再利用角的恒等变换求出结果．【详解】（1）已知() 2cos232sin 2ααm =+，，() sin ,cos βn β=，由于6πβ=， ()()2cos23sin 2sin 2cos f αm n αβαβ=⋅=++⋅3cos 222αα=++32262πsin α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以2]766[6πππα+∈，，故()17,22f α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）若 //m n ，且αβ+、α的终边不在y 轴上， 故()2cos23cos 2sin 2sin 0αβαβ+⋅-⋅=， 即()2cos 23cos 0αββ++=，整理得()][()2cos 3cos []0αβααβα++++-=，化简为()5tan tan 0αβα++=，即()tan tan 5αβα+=-．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =. 数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）()2323nn S n =⋅-+【解析】 【分析】（1）利用已知条件建立方程组，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）等差数列{}n a 的前n 项和为n A ，35a =，636A =，设数列的首项为1a ，公差为d ，则316125656362a a d A a d =+=⎧⎪⎨⨯=+⋅=⎪⎩， 解得11a =，2d =，故21n a n =-． 由于数列{}n b 前n 项和为n B ，且21n n B b =-．所以当2n ≥时，1121n n B b --=-， 整理得12n n b b -=，所以数列{}n b 是以11b =为首项，2为公比的等比数列． 故12n nb -=，首项符合通项，则12=n n b -．（2）由（1）得：()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，所以()0111232212n n S n -⋅+⋅+⋅⋯+-=①，()1221232212n n S n ⋅+⋅+⋯+⋅-=②，①-②得：()()1112222212n nn S n --+⋅+⋯+⋅-=⋅-，所以()22121221n nn S n ⎛--+---⎫=⋅ ⎪⎝⎭，整理得()2323nn S n =⋅-+．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17.某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （D 与,O C 不重合），其中,,AD BD CD 段建设架空木栈道，已知2AB km =，设建设的架空木栈道的总长为ykm .（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短. 【答案】（1）21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由2AB =，得1AO BO CO ===，可得1cos cos AO AD BD θθ===，进一步得到tan tan DO AO θθ==，1tan CD OC OD θ=-=-，则函数解析式可求；（2）求出原函数的导函数，得到函数的单调性，可得当6πθ=时，三段木栈道的总长度最短，由此得到观景台的位置．【详解】（1）由2AB =，则1AO BO CO ===， 由题意知：CO 为AB 的中垂线，可得1cos cos AO AD BD θθ===，tan tan DO AO θθ==， 则1tan CD OC OD θ=-=-，得21tan 0,cos 4πy θθθ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，； （2）22sin 10,cos 4θπy θθ-⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭，， ∴当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，21sin cos y θθ=+-单调递减， 当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0y '>，21sin cos y θθ=+-单调递增，∴当6πθ=时，即OD =时，三段木栈道的总长度最短． 【点睛】本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用导数求最值，是中档题．18.已知()x x af x e e=-是奇函数，其中a 为常数. （1）求实数a 的值；（2）求函数222()x xy e e f x λ-=+-在[0,)x ∈+∞上的值域；（3）令()()2g x f x x =-，求不等式32(1)(13)0g x g x ++-<的解集.【答案】（1）1；（2）见解析；（3）{|111x x x <<< 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()f x f x -=-，代入可求a ；（2）令1x xt e e =-，然后转化为二次函数的值域求解；（3）结合()g x 为奇函数，及单调性可求不等式的解集．【详解】（1）由题意可得()()f x f x -=-，1x xx xa ae e e e =--+， 整理可得，()110xxa e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴1a =； （2）令1xxt e e =-， ∵[)0x ∈+∞，，∴[)1xe ∈+∞，， ∴0t ≥， ∴2222212222xx x x x xy ee λf x e e λe t λt e --⎛⎫=+-=+--=-+ ⎪⎝⎭（），0t ≥（），对称轴t λ=， ①0λ<时，222y t λt =-+在[)0+∞，上单调递增，∴2y ≥，值域为[)2,+∞； ②0λ≥时，222y t λt =-+在[)0+∞，上先减后增，当x λ=时函数有最小值22λ-，值域为)22,λ⎡-+∞⎣；（3）∵()()()()22g x f x x f x x g x -=-+=-+=-，x ∈R ， ∴()g x 为奇函数， ∵()()321130g x g x++-<，∴()()()32211313g x g x g x +<--=-+，∵()120xx g x e e'+-≥=， ∴()g x 单调递增，∴32113x x +<-+， 即()()322321220x x x x x -+=---<，当1x >时，2220x x --<，解可得11x <<，当1x <时，2220x x -->，解可得1x <综上可得，不等式解集{|111x x x <-<<+．【点睛】本题主要综合考查了函数单调性，奇偶性等函数性质的综合应用，解题的关键是函数知识的熟练应用，属于中档题.19.已知数列{}n a 的首项为1，定义：若对任意的*n N ∈，数列{}n a 满足13n n a a +->，则称数列{}n a 为“M 数列”.（1）已知等差数列{}n a 为“M 数列”， 其前n 项和n S ，满足()2*S 22n n n n N <+∈，求数列{}n a 的公差d 的取值范围；（2）已知公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，记数列{}n b 满足34n n b a =，且数列{}n b 不为“M 数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）34d <≤；（2）15n n a -=，*n N ∈【解析】 【分析】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，由等差数列的求和公式，解不等式可得d 的范围；（2）首先通过11(1)3n n n a a q q -+-=->得到q 至少为大于等于2的正整数，接着判断数列1{}--n n a a 单调递增，即可得213a a ->，所以4q >，同理可得213b b -≤，即5q ≤，即5q =，即可得到所求通项．【详解】（1）设公差为d 的等差数列{}n a 为“M 数列”，可得3d >，()21122n S n n n d n n =++<+， 即有412d d n -<+恒成立，即为402d d -≤+，解得34d <≤； （2）设数列{}n a 的公比为q ，则111n n n a a q q --==，因为公比为正整数的等比数列{}n a 为“M 数列”，所以1111(1)(1)3n n n n a a a q q q q --+-=-=->，所以q 至少为大于等于2的正整数；又112n nn n a a q a a +--=-≥，所以数列1{}--n n a a 单调递增， 所以在数列1{}--n n a a 中，21a a -为最小项，由{}n a 为“M 数列”，可知只需213a a ->，即13q ->，所以4q > 同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， 因为{}n b 不是“M 数列”，所以存在13m m b b --≤，又“21b b -”为最小项，所以213b b -≤， 即1(1)4a q -≤，所以5q ≤因为*q N ∈，所以5q =，15n n a -=．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20.设函数()1ln f x ax x =--，其中a 为常数.（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若12,x x 为函数()f x 的两个零点，且12x x >. ①求实数a 的取值范围； ②比较12x x +与2a的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）①()0,1，②见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算()1f ，()1f '的值，求出切线方程即可；（2）①求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数确定a 的范围即可；②求出1212ln ln x x a x x -=-，得到()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）2a =时，()21ln f x x x =--，()21f xx '=-， 故()()111f f ='=，故切线方程是y x =. （2）①()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x <′恒成立，即()f x 单调递减，不可能有2个零点， 故0a ≤不合题意；当0a >时，令()0f x '=，解得：1x=，列表如下：故()1min f x f lna a ⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵()f x 有2个零点，∴ln 0a <，解得：01a <<， 故10a f e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，且 11e a <， 故存在211,x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，244212ln f a aa ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设()22a t =∈+∞，，则()()24212ln 2h t f t t t a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭， ()220h t t'=->，故()h t 在()2,+∞递增， 故()()232ln 20h t h >=->， ∵2 41a a >，故存在1214,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =， 综上，()01a ∈，；②∵()()120f x f x ==，故11221ln 1ln ax x ax x --=--， 即1212ln ln x x a x x -=-，()121211221221ln 2x x x x x f x x x x x -⎛⎫+⎛⎫'=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，设12 1x m x =>，则()()21ln 1m g m m m -=-+， 则()()()22101m g m m m -'=>+，故()g m 递增，()()10g m g >=，∵120x x ->，∴()1212021x x f g m x x +⎛⎫'=> ⎪-⎝⎭， 即1212x x a +>，故122x x a+>． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，属于难题． 21.如图，已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连结,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=︒，6BC =，求AD 的长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】（1）由已知得EAD DAC ∠=∠，DAC FBC ∠=∠，从而FBC FCB ∠=∠，由此能证明FB FC =；（2）由已知得90ACB ∠=︒，从而30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒，由此能求出AD ．【详解】证明：（1）因为AD 平分EAC ∠， 所以EAD DAC ∠=∠． 因为四边形AFBC 内接于圆，所以DAC FBC ∠=∠， 因为EAD FAB FCB ∠=∠=∠， 所以FBC FCB ∠=∠，所以FB FC =．（2）因为AB 是圆的直径，所以90ACB ∠=︒， 又120EAC ∠=︒，所以30ABC ∠=︒，1602DAC EAC ∠=∠=︒，因为6BC =，所以tan AC BC ABC =∠=所以)cos ACAD cm DAC==∠.【点睛】本题考查两线段长相等的证明，考查线段的求法，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用，是中档题． 22.已知可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值.【答案】14λ=24λ= 【解析】 【分析】由110•01A A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出5a =，3b =，从而13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，进而()281f λλλ=-+，由()0f λ=，能求出1A -的特征值． 【详解】∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴14172101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=，24λ=．【点睛】本题主要考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题． 23.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 【答案】（1）4cos ρθ=；（2）2cos ρθ= 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，代入（1）中的结论即可得结果.【详解】（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=， 转换为极坐标方程为：4cos ρθ=. （2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型24.[选修4—5：不等式选讲]已知函数()f x =()g x =x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取值范围.【答案】(),8-∞ 【解析】试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解. 试题解析：存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为，由柯西不等式：()()213121464x x ≤+++-=，所以()()8f x g x +=，当且仅当10x =时取“=”， 故常数a 的取值范围是(),8-∞．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.25.如图，在四棱锥P ABCD -中， BC PB ⊥，AB BC ⊥，AD BC ∕∕，3AD =，22PA BC AB ===，PB(1)求二面角P CD A --的余弦值；(2)若点E 在棱PA 上，且BE ∕∕平面PCD ，求线段BE 的长. 【答案】（1（2【解析】 【分析】（1）推导出PB AB ⊥，以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P CD A --的余弦值；（2）由点E 在PA 上，得 AE λAP =，]1[0λ∈，，求出()10BE BA AE λ+=-=，再由BE 平面PCD ，可得 0E m B ⋅=，求出λ，得到 BE 的坐标，则答案可求．【详解】（1）∵在四棱锥P ABCD -中，由22PA AB ==，PB = 得222PB AB PA +=，则PB AB ⊥， 又BC PB ⊥，AB BC ⊥，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()000B ，，，()100A ，，，()020C ，，，()130D ，，，(00P ， () 010CD =，，，(02PC =，，， 由图可知，平面ABCD 的一个法向量为() 001n =，，， 设平面PCD 的法向量为(),,x y z m =，则020m CD x y m PC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取2z =，得()3,m =-， 设二面角P CD A --的平面角为α，则cos cos ,3||n m n mαn m ⋅===+=⋅，∴二面角P CD A -- （2）∵点E 在棱PA 上，∴ AE λAP =，]1[0λ∈，，∵(10AP =-，∴() 0AE λ=-，()10BE BA AE λ+=-=， 又∵BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的法向量，∴ 0E m B ⋅=，即)1=0λ-+，解得13λ=，∴2,0,33 BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则73BE BE ==．【点睛】本题主要考查利用空间向量求解二面角的大小，训练了利用空间向量证明线面平行，是中档题．26.已知函数0cos ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，*n N ∈. (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意*n N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=都成立. 【答案】（1）0；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：()0cos f x x x =，然后两边求导后，根据条件两边再求导得：()()122cos x x f xf x +=-，把2x π=代入式子求值；（2）由（1）得，()()01sin f x xf x x +=-和()()122cos x x f xf x +=-，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后把4x π=代入所给的式子求解验证．【详解】（1）∵0cos ()xf x x=，∴()0cos f x x x =， 则两边求导，()()0[]cos xf x x '='， ∵()n f x 为()1n f x -的导数，*n N ∈， ∴()()01sin f x xf x x +=-，两边再同时求导得，()()122cos x x f xf x +=-， 将2x π=代入上式得，1222202f f πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎝⎭+=⎭； （2）证明：由（1）得，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+⎪⎝⎭， 恒成立两边再同时求导得，()()()122sin cos 2πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，再对上式两边同时求导得()()()2333sin cos 2πf x xf x x πx ⎛⎫+=-+=+⎪⎝⎭， 同理可得，两边再同时求导得，()()()3434sin cos 22πf x xf x x x π⎛⎫+=-+=+ ⎪⎝⎭，猜想得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立：当1n =时，()()01sin cos 2πf x xf x x x ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭成立，则上式成立；假设*1n k k k N =>∈（且）时等式成立， 即()()1cos 2k k k πkf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭， ∵()()()()()11[]k k k k k kf x xf x kf x f x xf x --+'='++'()()()11k k k f x xf x +=++又()[1cos sin cos 2]22k πk πk πx x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+'=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴那么1n k =+（1k >且*k N ∈）时．等式()()()()111cos 2k k k πk f xf x x x ++⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭也成立，由①②得，()()1cos 2n n n πnf x xf x x -⎛⎫+=+⎪⎝⎭对任意*n N ∈恒成立．令4x π=代入上式得，1444424cos sin n n n ππππn ππf f -⎛⎫+==±⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪= ⎭⎝⎭⎪⎭⎝⎝所以，对于任意*n N ∈，等式1πππ()()4442n n nf f -+=都成立． 【点睛】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．。
2019届高三第2次调研数学参考答案及评分建议
2019届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合{13}=A a ，，，{45}=B ，．若A B =I {4}，则实数a 的值为▲．【答案】42．复数2i2i z =+（i 为虚数单位）的实部为▲．【答案】253．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为▲．【答案】354.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为▲．【答案】235．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为▲．【答案】306.函数y =的定义域为▲．【答案】[2)+∞，7.将函数2sin 3y x =的图象向左平移π12个单位长度得到()y f x =的图象，则()π3f 的值为▲．【答案】i ←1S ←2Whilei <7S ←S ×i i ←i +2End While Print S（第5题）8.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的，则b 的值为▲．【答案】29．在△ABC 中，已知C = 120°，sin B = 2sin A ，且△ABC 的面积为，则AB 的长为▲．【答案】10．设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2m ，PB = 3m ，PC = 4m ，则球O 的表面积为▲m 2．【答案】29π11．定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区间[)24，上，223()434x x f x x x -<⎧=⎨-<⎩≤≤，，，，则函数5()log y f x x =-| |的零点的个数为▲．【答案】512．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则25c a b++的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 在圆224x y +=上，且AB =，点P （3， 1），()16PO PA PB ⋅+=uuu r uur uur，设AB 的中点M 的横坐标为x 0，则x 0的所有值为▲．【答案】115，14．已知集合{|21}{|88}N N A x x k k B x x k k **==-∈==-∈，，，，从集合A 中取出m 个不同元素，其和记为S ；从集合B 中取出n 个不同元素，其和记为T ．若967S T +≤，则n m 2+的最大值为▲．【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =(cos sin )αα，，b = ()ππsin(cos()66αα++，，其中π02α<<．（1）若a ∥b ，求α的值；（2）若1tan 27α=-，求⋅a b 的值．【解】（1）因为a ∥b ，所以ππcos cos()sin sin()066αααα+-+=，……………………………………………2分所以πcos(2)06α+=．…………………………………………………………………4分因为π02α<<，所以ππ7π2666α<+<．于是ππ262α+=，解得π6α=．………………………………………………………6分（2）因为π02α<<，所以02πα<<，又1tan 207α=-<，故π2π2α<<．因为sin 21tan 2cos 27ααα==-，所以cos 27sin 20αα=-<，又22sin 2cos 21αα+=，解得sin 2cos 2αα==．……………………………………………………10分因此，⋅a b πππcos sin()+sin cos()sin(2)666ααααα=++=+…………………………12分ππsin 2cos cos 2sin 66αα=+(12=⋅=……………………………………14分16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1为正方形，A 1B 1⊥B 1C 1．设A 1C 与AC 1交于点D ，B 1C 与BC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面ABB 1A 1；（2）BC 1⊥平面A 1B 1C ．【证明】（1）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以侧面ACC 1A 1为平行四边形．又A 1C 与AC 1交于点D ，所以D 为AC 1的中点，同理，E 为BC 1的中点．所以DE ∥AB ．………………3分又AB ⊂平面ABB 1A 1，DE ⊄平面ABB 1A 1，所以DE ∥平面ABB 1A 1．………………………………………………………………6分（2）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1．又因为A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以BB 1⊥A 1B 1．………………………………………8分又A 1B 1⊥B 1C 1，BB 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，BB 1∩B 1C 1= B 1，所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1．……………………………………………………………10分又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1B 1⊥BC 1．………………………………………12分又因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以BC 1⊥B 1C ．又A 1B 1∩B 1C =B 1，A 1B 1，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．………………………………………………………………14分ABCA 1B 1C 1ED（第16题）17.(本小题满分14分)图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5m ，BC = 10m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θπ(0)4θ<<．（1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k ．现欲造一栋上、下总高度为6m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？【解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ，又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ．…………2分在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=，所以5cos FM θ=．……………………………………4分因此△FBC 的面积为1525102cos cos θθ⨯⨯=．从而屋顶面积22=+V 梯形FBC ABFE S S S 252516022 2.2cos cos cos θθθ=⨯+⨯⨯=．所以S 关于θ的函数关系式为160cos S θ=(π04θ<<)．………………………………6分①（第17题）②ABCDE F HMθABCDE F HMθ（2）在Rt △FHM 中，5tan =FH θ，所以主体高度为65tan =-h θ．……………8分所以别墅总造价为16=⋅+⋅y S k h k160(65tan )16cos =⋅+-⋅k k θθ16080sin 96cos cos =-+k k k θθθ()2sin 8096cos -=⋅+k k θθ…………………………………………10分记2sin ()cos -=f θθθ，π04θ<<，所以2sin 1()cos f θθθ-'=2，令()0'=f θ，得1sin 2=θ，又π04θ<<，所以π6=θ．………………………………12分列表：所以当π6=θ时，()f θ有最小值．答：当θ为π6时该别墅总造价最低．…………………………………………………14分18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 11，离心率相同．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；②过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b =，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x +=．……………3分（2）①1°当直线OP斜率不存在时，1PA =，1PB =，则3PA PB=-．…………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=，所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x =，从而||||3||||PA P A PB P A x x x x PA PB x x x x --===--+3PA PB =-…8分②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-，记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=，因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=V ，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=，……………12分同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-…14分又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值．………………………16分PAB（第18题）xyO19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．【解】（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =．………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-．………………4分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立．…………………………………8分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x =．………………………………………………10分x ()01，1()12，2()2+∞，()f x '+0-0+()f x ↗极大值↘极小值↗法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x +≥x =时，等号成立），所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x =．……………………………10分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩，……………………12分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln 022x x x +-=．①令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t-'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．……………………………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为S n ，数列{}2n a 的前n 项和为T n ，且2340n n n S S T -+=，n *∈N ．（1）求12a a ，的值；（2）证明：数列{}n a 是等比数列；（3）若1()()0n n na na λλ+--<对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的所有值．【解】（1）因为2340n n n S S T -+=，*n ∈N ．令1n =，得22111340a a a -+=，因为10a ≠，所以11a =．令2n =，得()()()22222314110a a a +-+++=，即22220a a +=，因为20a ≠，所以212a =-．……………………………………………………………3分（2）因为2340n n n S S T -+=，①所以2111340n n n S S T +++-+=，②②-①得，()21111340n n n n n S S a a a +++++-+=，因为10n a +≠，所以()11340n n n S S a +++-+=，③…………………………………5分所以()1340(2)n n n S S a n -+-+=≥，④当2n ≥时，③-④得，()1130n n n n a a a a ++++-=，即112n n a a +=-，因为0n a ≠，所以112n n a a +=-．又由（1）知，11a =，212a =-，所以2112aa =-，所以数列{}n a 是以1为首项，12-为公比的等比数列．……………………………8分（3）由（2）知，()112n n a -=-．因为对任意的*n ∈N ，()()10n n na na λλ+--<恒成立，所以λ的值介于()112n n --和()12nn -之间．因为()()111022n nn n --⋅-<对任意的*n ∈N 恒成立，所以0λ=适合．……………10分若0λ>，当n 为奇数时，()()11122n n n n λ--<<-恒成立，从而有12n n λ-<恒成立．记2()(4)2n n p n n =≥，因为22211(1)21(1)()0222n n n n n n n p n p n +++-+++-=-=<，所以()(4)1p n p =≤，即212n n ≤，所以12n n n ≤（*），从而当25n n λ≥且≥时，有122n n n λ-≥≥，所以0λ>不符．………………………13分若0λ<，当n 为奇数时，()()11122nn n n λ--<<-恒成立，从而有2n n λ-<恒成立．由（*）式知，当15n n λ≥且≥-时，有12n n n λ-≥≥，所以0λ<不符．综上，实数λ的所有值为0．………………………………………………………………16分21．【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m ，n ∈R ，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M 及另一个特征值．【解】由题意得，3=，M αα即11132123m m n n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以2 1.m n ==，即矩阵1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦=M .…………………………………………………5分矩阵M 的特征多项式()212()14021f λλλλ--==--=--，解得矩阵M 的另一个特征值为1λ-=.…………………………………………………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1x t y t =+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为)(sin cos 2为参数，θθθ⎪⎩⎪⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】由题意得，直线l 的普通方程为10x y --=．①椭圆C 的普通方程为2212x y +=．②…………………………………………………4分由①②联立，解得A (01)，-，B ()4133，，……………………………………………8分所以AB ==10分22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，AB = 1，AP = AD = 2.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）若点M ，N 分别在AB ，PC 上，且⊥MN 平面PCD ，试确定点M ，N 的位置．【解】（1）由题意知，AB ，AD ，AP 两两垂直．以{}AB AD AP uuu r uuu r uuu r ，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(100)(120)(020)(002)B C D P ，，，，，，，，，，，.从而(102)(122)(022)PB PC PD =-=-=-，，，，，，，，.uur uuu r uuu r 设平面PCD 的法向量()x y z =n ，，，则00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu r uuu r，，即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，，不妨取1y =，则01x z ==，．所以平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，．………………………………………3分设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，所以sin cos PB PB PB θ⋅=〈〉==⋅n n nuuruuruur，即直线PB 与平面PCD ．……………………………………5分（2）设(00)M a ，，，则(00)MA a =-，，，uuu r设PN PC λ=，uuu r uuu r 则()22PN λλλ=，，-，uuu r 而(002)AP =，，，uuu r 所以(222)MN MA AP PN a λλλ=++=--uuur uuu r uuu r uuu r，，．……………………………………8分由（1）知，平面PCD 的一个法向量为(011)=n ，，，因为MN ⊥平面PCD ，所以MN uuur ∥n ．所以0222a λλλ-=⎧⎨=-⎩，，解得，1122a λ==，．所以M 为AB 的中点，N 为PC 的中点．…………………………………………10分（第22题）A BCD Pz x y23.（本小题满分10分）已知*12(4)n a a a n n ∈N ≥，，，，均为非负实数，且122n a a a +++= ．证明：（1）当4n =时，12233441+++1a a a a a a a a ≤；（2）对于任意的*4n n ∈N ≥，，122311++++1n n n a a a a a a a a -≤L ．证明：（1）当4n =时，因为1a ，2a ，…，4a 均为非负实数，且12342a a a a +++=，所以122334412134313124+++=(+)+(+)(+)(+)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =………………………2分23124(+)+(+)=12a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤．………………………………………………………………4分（2）①当4n =时，由（1）可知，命题成立；②假设当(4)n k k =≥时，命题成立，即对于任意的4k ≥，若1x ，2x ，…，k x 均为非负实数，且12+++2k x x x =L ，则122311++++1k k k x x x x x x x x -≤L ．则当+1n k =时，设12+1++++2k k a a a a =…，并不妨设{}+112+1max k k k a a a a a =，，…，，．令()1122311+k k k k x a a x a x a x a -+====，，，，则12+++2k x x x =…．由归纳假设，知122311++++1k k k x x x x x x x x - ≤．………………………………………8分因为123a a a ，，均为非负实数，且+11k a a ≥，所以121123112+()()k k x x x x a a a a a a +=+++23111312122311k k k a a a a a a a a a a a a a a +++=+++++≥．所以1212311223113411(+)+(++)()()k k k k k k x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+++++++ ≥≥，即1223+1+11++++1k k k a a a a a a a a ≤，也就是说，当+1n k =时命题也成立．所以，由①②可知，对于任意的4n ≥，122311++++1n n n a a a a a a a a -…≤．…………10分。
2019届高三数学上学期第二次调研考试试题理
19届高三第二次调研考试理科数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=212x x A ，{}(2)0B x x x =-<，则=B A （ ） A. ()2,1- B. ()2,1 C. ()2,0 D.()1,1- 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A.3y x = B.1ln||y x = C.||2x y = D.cos y x = 3.命题“01,0200<++∈∃x x R x ”的否定为（ ） A.01,0200≥++∈∃x x R x B. 01,0200≤++∈∃x x R x C. 01,2≥++∈∀x x R x D.01,2≥++∉∀x x R x 4. 函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ） A. ()2,1-- B. ()1,0- C. ()0,1 D.()1,2 5.已知314=a ，31log 41=b ，41log 3=c ，则（ ）A. c b a >>B. a c b >>C. a b c >>D.c a b >> 6. 函数2()ln f x x x =的最小值为（ ） A. 1e - B. 1e C. 12e - D.12e7.求sin xdx ππ-=⎰（ ）A. B. C. D.8.设为实数区间，10≠>a a 且，若“M a ∈”是“函数1log )(-=x x f a 在()1,0上单调递减”的一个充分不必要条件，则区间可以是（ ）A. ()∞+，1B. ()21，C. ()0,1D.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，9. ()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图像为（ ）10.定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<成立，则（ ）()()43ππ>()()64f ππ>()()63f ππ> D. (1)2()sin16f f π>11.设函数()(21),1xf x e x ax a a =--+<其中，若存在唯一的整数，使得0()0f x <，则的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.已知函数2ln(),0(),0x x x f x e ax e x -<⎧=⎨-+-≥⎩，若函数()f x 有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,+∞B. [)1,+∞C. ()2,e +∞ D.)2,e ⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 的定义域为.14.已知()f x 是定义在上周期为2的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则5()()log g x f x x=-的零点个数有个. 15.若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则的取值范围是.16. 定义在上的函数)(x f 满足0)()23(=++x f x f ，且函数)43(-=x f y 为奇函数，给出下列命题：①函数)(x f 不是周期函数;②函数)(x f y =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,43对称；③函数)(x f y = 的图像关于轴对称，其中真命题的序号为.三、解答题（本大题共6小题，70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.（10分）已知角的终边经过点)0()3,4(≠-a a a P ，，求αααtan ,cos ,sin 的值.18.（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为)(33为参数t ty tx ⎩⎨⎧=+=，曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于B A ,两点，点)0,3(P ，求PB PA +的值.19.（12分）已知函数314)(--+-=x x x f （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数1y ax =-的图象与)(x f 的图像有公共点，求的取值范围.20.（12分） 设函数xxx a x f ln ln 2)(+=. （1）若21-=a ，求)(x f 的极值； （2）若)(x f 在定义域上单调递增，求实数的取值范围 .21.（12分）水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放（04a <≤且a R ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度 (克/升）随着时间 (天)变化的函数关系式近似为()y af x =，其中⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)52(5)20(33)(x x x xxx f ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4(克/升)时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求的最小值.22.（12分）已知函数2)1(ln )(2--=x x x f .（1）求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）证明：当1>x 时，1)(-<x x f ；（3）确定实数的所有可能取值，使得存在10>x ，当），（01x x ∈时，恒有)1()(->x k x f ．高三第二次调研考试理科数学参考答案一、选择题。
精选2019届高三数学上学期第二次质量调研考试试题文
临沂第十九中学高三年级第二次学情调研考试一、选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1．设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ）A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2．若复数的实部为，且||2z =，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．． 3.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则(())f f e =（ ）A.B ．C ．D.2ln(e 1)+4．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（ ）A ．1y x =B ．21y x =-+ C.x y e -=D ．lg ||y x =5.已知命题对于,x R ∈恒有222x x -+≥成立；命题奇函数()f x 的图像必过原点，则下列结论正确的是（ ） A ．p q ∧为真 B ．p q ⌝∨为真 C ．()p q ∧⌝为真 D ．为假6.在极坐标系中，点(2,)6A π与(2,)6A π-之间的距离为( ) A ．1B ．2 C ．3D ．4 7.已知)1(3)(2f x x x f '+=，则)2(f '为 （ ）A.1B.2C.4D.88.设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点 B.1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点 D.1x =-为()f x 的极小值点9.已知 1.20.2512,(),2log 22a b c -===，则,,a b c 的大小关系为() A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a10.若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为()A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11.函数()1323-+=x ax x f 存在唯一的零点，且00<x ，则实数的范围为（ ）A ．()2,-∞-B ．()2,∞-C ．()∞+，2D ．()∞+-，212.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，BC =AB AC ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．-1二、填空题13.已知向量()4,2a =，向量()2,1b k k =--，若a b a b +=-，则的值为________．14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n 的值是15.已知是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 16. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是三、解答题17.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．19.已知定义在上的函数x x e e x f --=)(（为自然 对数的底数）（1）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由。
2019届高三数学上学期期中试题 理 (2)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|2}M x x =<，{}2|0N x x x =-<，则下列关系中正确的是（ ） （A ）M N ⋃=R （B ）M C N ⋃=R R （C ）N C M ⋃=R R （D ）M N M =（2）若复数z 满足(3)(2i)5z --=，则z 的共轭复数为（ ）（A ）2i + （B ）2i - （C ）5i + （D ）5i - （3）()()()()=-︒+︒--︒︒-x x x x 140cos 70sin 50cos 20sin ( )（A ）12 （B）2 （C ）12- （D）2-（4）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）（A ）xxy 212-= （B ）x x y sin ⋅= （C ）()1lg +=x y （D ）||2x y -= （5）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数4cos(2)3y x π=-的图象（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（6）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“n S 的最大值是8S ”是“789710a a a a a ⎧⎨⎩++>0+<0”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，且2z x y =+的最小值为1，则实数k 的值为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）13（8）曲线y =x y -=2及x 轴所围成的图形的面积为( ) （A ）34 （B ）38 （C ）310 （D ）316（9）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20191()6n n f π==∑（ ） （A ）1- （B ） 12（C ） 0 （D ） 1（10）在边长为1的正方形ABCD 中，且BE AD μ=，CF AB μ=-，则A E A F ⋅=( ) （A ）1 （B ）1- （C ）12μ- （D ）21μ- （11）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7431n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是( )（A ）6 （B ）4 （C ） 3 （D ）2 （12） 若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数,,a b c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）（A ）1(1,1)e -- （B ）1(1,e 3)e -- （C ）1(1,)e-+∞ （D ）(e 3,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
江苏省扬州市2019届高三数学上学期期中调研考试试题(含解析)
江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析）2018—2019 学年度第一学期期中调研测试试题 高三数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分,共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足，则复数 z＝_______．【答案】【解析】 【分析】 利用复数的乘法运算即可得到结果.【详解】z＝＝1－ +2＝故答案为：3—i 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，属于基础题。
2。
函数 【答案】 【解析】 【分析】的定义域为_______．由二次根式有意义，得：，然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义，得：，即,因为 在 R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为： 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法,要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较 基础．3。
已知 x，y R，直线与直线垂直，则实数 a 的值为_______．【答案】【解析】 【分析】 利用直线与直线垂直的性质直接求解．-1-江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析） 【详解】∵x，y∈R,直线（a﹣1）x+y﹣1=0 与直线 x+ay+2=0 垂直, ∴（a﹣1)×1+1×a=0，解得 a= ，∴实数 a 的值为 ．故答案为： ．【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直:；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验。
4.已知函数 为偶函数,且 x＞0 时，，则 ＝_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f(1）的值，结合函数为偶函数可得 f（﹣1）=f（1），即可得答案． 【详解】根据题意，函数 f（x）满足 x＞0 时，f（x)=x3+x2，则 f(1)=1+1=2,又由函数 f（x)为偶函数，则 f(﹣1）=f（1）=2；故答案为：2．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题．5.已知向量 （1，a)， （ ， 【答案】1 【解析】 【分析】 利用向量共线定理即可得出．)，若 ∥ ，则实数 a＝_______．-2-江苏省扬州市 2019 届高三数学上学期期中调研考试试题（含解析）【详解】∵ ∥ ，∴ ﹣（3a+1）=0，解得 a=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.设△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若， ，cosB＝ ，那么角 A 的大小为_______．【答案】 【解析】 【分析】由题意可得 sinB= ，再结合正弦定理即可得到结果.【详解】cosB=﹣ ，∴B 为钝角,可得 sinB= ．由正弦定理可得： = ，可得 sinA= ．A 为锐角,可得：A= ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7。
2019学第一学期高三数学期中调研测试(正题)
2021—2021 学年第一学期高三期中调研试卷数学〔正题〕2021．11 考前须知：1．本试卷共 4 页．总分值160 分，考试时间120 分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题 (本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的．．．位置 )1．设全集U = 1,2,3,4,5，假设集合A 3,4,5 ，那么e U A ▲．2．命题“ x R, x2 2 x 1≥ 0 〞的否认是▲．3．向量a (2,m) ，b (1, 2) ，且a b，那么实数m的值是▲．4．函数f ( x) lg(2 x) 2 x 的定义域是▲．5．扇形的半径为 6 ，圆心角为，那么扇形的面积为▲．3．等比数列 a 的前n 项和为 S ，S4 4 ，那么S8 ▲．6 n n S2 S47.设函数f ( x) Asin( x ) 〔 A, , 为常数，且 A 0, 0,0 〕的局部图象如图所示，那么的值为▲．8．二次函数 f (x) x2 2 x 3 ,不等式 f ( x) m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间a,b 的长度为 b a )，那么实数m的值是▲．9．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800 m3，深度为 3 m．如果池底每 1 m2 的造价为 150 元，池壁每 1 m2的造价为120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为▲m ．10．在△ABC中，sin A 2sin B cosC 0 ，那么A的最大值是▲．x 21, , x11．函数 f xe ，假设f x1 f x2 f x3 x1 x2 x3 ，那么 x1 f x3 的取ln x, x ≥ 1,x值范围是▲．12．数列a n的通项公式为a n 5n 1 ，数列b n 的通项公式为 b n n2,假设将数列a n，b n中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列c n ，那么 c6的值为▲．13．如图，在平面四边形ABCD 中， AB BC ， AD CD ， BCD 60 ，CB CD 2 3 .假设点 M 为边 BC 上的动点，那么uuur uuuurC AM DM 的最小值为▲．MBA D14．函数f ( x) e x x a 在 ( 1,2) 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是▲．二、解答题 (本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15． (此题总分值14 分 )m(2cos23,2sin 2 ) ，n(sin ,cos) ．〔 1〕假设，且 f ( ) m n ，求 f ( )在[0, ] 上的取值范围；6 2〔 2〕假设m/ /n，且、的终边不在 y 轴上，求tan()tan 的值．16． (此题总分值14 分 )等差数列 a n 的前 n 项和为A n，a3 5 ，A6 36 ．数列b n的前n项和为 B n，且 B n 2b n 1 ．〔 1〕求数列{ a n}和b n的通项公式；〔 2〕设c n a n b n，求数列c n的前n项和S n．17． (此题总分值 14 分 )某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如下图，为了提升荷花池的欣赏性，现方案在池塘的中轴线 OC 上设计一个观景台D〔点 D 与点 O，C 不重合〕，其中 AD ，BD，CD 段建设架空木栈道，AB 2 km，设建设的架空木栈道的总长为ykm ．〔 1〕设DAO (rad) ，将y 表示成的函数关系式，并写出的取值范围；〔 2〕试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短． C荷花荷花D荷花荷花A O B18． (此题总分值16 分 )f (x) e x a x 是奇函数．e〔 1〕求实数a的值；〔 2〕求函数y e2 x e 2 x 2 f ( x) 在 x [0 , ) 上的值域；〔 3〕令g( x) f ( x) 2x ，求不等式g ( x31) g(1 3x2 )0 的解集．19． (此题总分值16 分 )数列 { a n } 的首项为 1，定义：假设对任意的n N*，数列{ a n}满足a n 1a n 3 ，那么称数列 { a n} 为“ M 数列〞．〔 1〕等差数列 { a n } 为“ M 数列〞，其前n项和S n满足S n2n2 2n n N*，求数列 { a n} 的公差 d 的取值范围；〔 2〕公比为正整数的等比数列{ a n } 为“ M 数列〞，记数列 { b n } 满足b n 3a n，且数4列 { b n } 不为“ M 数列，求数列{ a n } 的通项公式．20． (此题总分值16 分 )设函数 f ( x) ax 1ln x ，a为常数．〔 1〕当a 2 时，求 f ( x) 在点 (1,f (1))处的切线方程；〔 2〕假设 x1 , x2为函数 f (x) 的两个零点，x1x2．①求实数 a 的取值范围；②比拟 x1x2与2的大小关系，并说明理由．a2021—2021 学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加 )考前须知：1．本试卷共 2 页．总分值40 分，考试时间30 分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】此题包括A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．并在相应的答题区域内作答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、．．．．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A ．〔此题总分值10 分〕AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F ，连结 FB， FC .（1〕求证： FB FC ；〔 2〕假设 AB 是△ ABC 外接圆的直径，EAC 120 ， BC 6 ，求 AD 的长．B．〔此题总分值 10分〕可逆矩阵 A= a 2 的逆矩阵为 A 1b2 ，求 A 1的特征值．7 3 7 a C．〔此题总分值10 分〕在平面直角坐标系x 2 2cos ,为参数〕，以点 O 为xOy中，圆C的参数方程为〔y 2sin极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1〕求圆 C 的极坐标方程；（2〕过极点 O 作直线与圆 C 交于点 A，求 OA 的中点所在曲线的极坐标方程．D．〔此题总分值10 分〕函数 f ( x)3x 6 ， g( x)14 x ，假设存在实数x 使f ( x)g( x) a 成立，求实数 a 的取值范围．22．〔此题总分值 10 分〕如图，在四棱锥 P A B C D中， BC ⊥ PB ， AB BC ， AD / / BC ， AD 3 ，PA BC 2 AB 2 ，PB 3 ．(1)求二面角P CD A 的余弦值；(2)假设点E在棱PA上，且 BE / / 平面 PCD ，求线段BE的长．PEB CAD23．〔此题总分值 10 分〕函数 f0 ( x) cosx ( x 0) ，设f n( x)是f n 1( x)的导数，n N*．x(1)πππ求 2 f1 ( ) f2 ( ) 的值；2 2 2(2) 证明：对于任意n * πππ 2N ，等式 nf n 1 ( ) f n ( ) 都成立．4 4 4 2。
2019届高三上第二次调研考试数学(理)试卷含答案
2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学（理）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A +4i 1•已知i 为虚数单位，则复数4i的虚部是2 —i11. 11.1111 A.i B. iC.—D.—5 3532.已知角:的终边经过点P(3, -4)，则 cos ：二4334A .B .C .—D .5 55 53.若sin 一仝，则—32 11 2 A .-B.-C.― D .3333x4.已知命题p :函数y =2的图象与函数y=log 2x 的图象关于直线 y =x 对称，命题q : 6.若函数f （x ）二sin x cos x 在［-m, m ］上是增函数，则 m 的最大值是3 二兀A . ■-B .C . 一D .-函数 3y =x 的图象与函数y - x 3的图象关于直线 y 二x 对称，则下列命题中为真命题的是A. p q B . (—p) (5)C .O qD.p (P5.函数f (x)二 cos 2 x 、、3 s 1 n in x ( x [0, 3])的最大值为A . 2B .3+ 1C .3 3 + — D .542 4414247.将函数f(x)—的图象向右平移-个单位长度，8. 9. 来的1，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为2y 二si n(2x -23) y =sin(2x - J)1 兀y 二s in (2X-3)y = sin(2x —斗)33 f (x)满足：对任意的实数 x 都有 f(x ，2) =-f(x)，且 f (1) = 一1, f (2) =-2 函数 则 f (1) f (2) f (3) HI f (2019)的值为B . -1如下图所示的程序框图输出的结果是 '开始一2018 是.否i 是奇数S=0,i=1 是wD .C . 2D . -2A . 2018B . -1010 10.函数f(x) =ln x2 2 -e A 的图象大致是1009A . 11.已知定义在R 上的偶函数 f (x)在0,= 是单调递增的，若不等式 f (ax - 4) _ f (x 5)对任意X ，1,2 1恒成立，则实数 ；_ 3 111B .」C .亠0(D ._-—3 IL 2,22 _2 ,2a 的取值范围为 A .2 1112若存在x • ［e,e ］，使得关于x 的不等式^，4X a 成立，则实数3的取值范围是D . 1一丄「1 4e第口卷(非选择题，共90 分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上 )13. 函数f(x) = log 1 (x 2 -5x 6)的单调递增区间为 _____________________ .22 m 2 4m 214. 已知幕函数f x 二m+1 x -丄在 0, •::上单调递减，则函数f (x)的解析式为 _______________ .5：：.15. 已知函数 f (x)二 cos(，x • J (「：•：： :■■ - 0,p : | )的最小正周期为 二，x 为 y =f (x)图2 12象的对称轴，则函数 f (x)在区间［0,二］上零点的个数为 _______________ .b16. 已知k 0 b 0且kx • b _ In x • 4 对任意的x • -4恒成立，则一的最小值k为 _______________ .三、解答题：(本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17. (本题10分)f 兀 )4 了兀兀)已知 sin x , x,- 16 丿5I 3 6丿1(1 )求5巾i 2x •—的值; I 6丿 (2)求tan x 的值.I 12丿B .18. (本题12分)已知函数 f(x) = x 3sin - cos- -cos 2 - 12 2 2 2 '(1) 求函数y = f(x)的单调递减区间；(2) 设y = g(x )图象与y = f (x)图象关于直线x 对称，求x [,0]时，y = g(x)的值域.4219.(本题12分)已知 f (x )=|x-1 + x-2 , g (x ) = ax (a ^R ). (1 )当a =1时，解不等式f x 广g x ；(2)若-x^O,壯辽时f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围.20. (本题12分)平面直角坐标系xOy 中，曲线G 过点P(1,1)，其参数方程为以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 「C O S v 4 C 03- . 0(“求曲线G 的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;21. (本题12分)2 2已知椭圆C:^^ =1 a b 0过点2,0 , P 1,0为C 内一点，过点P 的直线l 交椭圆Ca b(1)求椭圆C 的方程;C 2极坐标方程(t 为参数)，(2)已知曲线G 和曲线C 2交于A, B 两点，求1|PA|—的值.|PB|B 两点,AP 王 PBO 为坐标原点，当 AB OP =0 时，AB 「3 .AP = 'PB ,(2)求实数■的取值范围.22. (本题12分)x 2设函数f (x)二e 3x -ax 3 a R .(1)当a =1时,求函数f (x)的单调区间；(2)-x ：= (0, • ：：), f (x) _ 0恒成立，求最大的正整数a的值；(3)- x, y (0,2)且x y = 2，证明:e x(x-1) e y(y-1) x(x-3)(x-1)2 y(y-3)(y-1)2_ 0.22. 8 ；2018— 2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学试卷答案（选择题，共60 分）一•选择题 CCBAA,DDDCA,AB 第口卷（非选择题,共90分）二.填空题 14. f(X )=X15. 2 16.317. 解答题7 25 ；(1)18. (1) 每一个19. (1) 1(2) - -[2宀2 二，2k 第宀5 二],(k Z)；3 3 1(2) a —2x :: 1 或 x 3 ；20. (2)21. (1)(2) 1,3】1 ⑵[]]2二 3(1) (2) (3)（0,二）单调递增; （-二,0）单调递减， 易求 e 6，所以a 的最大正整数值为 证明略.22.8 ；。
扬州市2019届高三上学期期中调研测试数学试题模拟试卷
2019 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合 A { x|| x | 2} ，B { x |3x 2 1} ，则 A B = ▲．2．已知复数z满足iz 1 3i （i 为虚数单位），则z = ▲．3．命题“R,sin 1 ”的否定是▲．4．若1sin , [2 ,3 ]2 2，则▲．x y 2 05．设x，y 满足约束条件2x y 5 0 ，则z 3x 2y的最大值为▲．y 26．已知双曲线22 y 1x 的一条渐近线与直线x 2y 3 0平行，则实数 a ▲．a7．在ABC 中，若AB 1，BC 2，CA 5 ，则AB BC BC CA CA AB 的值是▲．8．已知函数 f (x)xe ( x 0)x 1 ( x 0)，则不等式 2f (x ) f (2 x) 的解集为▲．9．将函数 f (x) A s in( x )( A 0, 0, ) 图象上每一点的横坐标变为原2 2来的 2 倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移个单位，得到3 函数y 2sin x的图象，则 f ( ) ▲．10 ．已知直线x y 3 0 与圆 2 2 2O: x y r( r 0 相)交于M , N 两点，若OM ON 3 ，则圆的半径r ▲．11．若x轴是曲线f (x) ln x kx 3的一条切线，则k ▲．112．已知定点M ( 1,2) ，动点N 在单位圆 2 2 1x y 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形OMPN ，则点P 到直线3x 4y 10 0距离的取值范围是▲．13．ABC 中，tan 1A ，3 B ．若椭圆 E 以AB 为长轴，且过点 C ，则椭圆 E 的离4心率是▲．14．实数a 、b 、c满足2 2 2 5a b c ，则26ab 8bc 7c 的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14 分）设函数( ) sin( ) cosf x x x．4 6 4（1）求 f (x) 的单调增区间；（2）若x (0, 4) ，求y f (x) 的值域．16．（本小题满分14 分）C 在ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c，向量(cos ,sin )m C ，2 Cn (sin ,cos C) ，且m/ /n ．2（1）求角 C 的大小；（2）若 2 2 2 2a b c ，求tan A的值．17．（本小题满分14 分）22 2x y 1如图，已知椭圆: 1( 0)C a b．过原点的直线与椭圆 C 交，离心率为2 22 a b于A，B 两点（ A ，B 不是椭圆 C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ．（1）若椭圆 C 的右准线方程为：x 4 ，求椭圆 C 的方程；（2）设直线BD 、AB 的斜率分别为k 、1 k ，求2k1k2的值．yADO xB（17 题图）18．（本小题满分16 分）有一块三角形边角地，如图中ABC ，其中AB 8（百米），AC 6 （百米），A 60 ．某市为迎接2500 年城庆，欲利用这块地修一个三角形形状的草坪（图中AEF ）供市民休闲，其中点 E 在边AB 上，点 F 在边AC 上．规划部门要求AEF 的面积占ABC 面积的一半，记AEF 的周长为l （百米）．（1）如果要对草坪进行灌溉，需沿AEF 的三边安装水管，求水管总长度l 的最小值；（2）如果沿AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度l 的最大值，并确定此时 E 、F 的位置．AFECB（18 题图）19．（本小题满分16 分）3已知直线x 2y 2 0 与圆 2 2C : x y 4y m 0相交，截得的弦长为2 5 5．（1）求圆 C 的方程；（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线y x2 相交于M 、N 两点（异于原点）．证明：直线MN 与圆C 相切；（3）若抛物线 2y x 上任意三个不同的点P 、Q 、R，且满足直线PQ 和PR都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分16 分）已知函数 3 3f (x) | x 1| x ax (a R) ．（1）解关于字母a的不等式 2[ f ( 1)] f (2) ；（2）若a 0，求 f (x) 的最小值；（3）若函数 f (x) 有两个零点x1,x2 ，试判断 f (x1x2 ) 的符号，同时比较 f (x1x2 ) 与a 1的大小，并说明理由．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试数学试题Ⅱ4（全卷满分40分，考试时间30分钟）2015．11 21．（本小题满分10 分）已知矩阵A 1ba2，属于特征值 4 的一个特征向量为23，求 2A ．22．（本小题满分10 分）3 个女生，4 个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X 的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10 分）如图，已知直三棱柱A BC A B C中，AB AC ，AB 3，AC 4 ，B1C AC1．1 1 1（1）求A A 的长．1（2）在线段B B1 存在点P ，使得二面角P A1C A大小的余弦值为33，求BPBB1A1的值．B C1 1APBC（23 题图）24．（本小题满分10 分）已知nk kF ( x) [( 1) C f ( x)] （n n kk 0*n N ）．k（1）若f (x) x ，求F2015 (2) 的值；k（2）若( )f xkxx k（x {0 ，1，⋯，n} ），求证：F (x)nn!(x1)( x2) (x n)．2015-2016 学年度第一学期高三期中调研测试题Ⅰ参考答案数学试2015．115一、填空题7 1．[1,2] 2．2 3．R,sin 1 4．3145．9 6．7． 528．( 2,1) 9．0 10． 6 11．e 12．[2, 4] 13．6314．45二、解答题15．解：（1）3 3f ( x) sin( x ) cos x sin x cos x 3 s in( x )4 6 4 2 4 2 4 4 3⋯⋯4分∵ 2 2k x k ∴2 43 2 2 108k x 8k ，k Z 3 3∴f (x) 的单调增区间为：2 10[ 8k, 8k ]( k Z)⋯⋯7分3 3（2）∵x (0,4) ∴2x ∴3 4 3 33sin( x ) 12 4 3∴f (x) 的值域为：( 3 , 3]2 ⋯⋯14分16．解：（1）∵m/ /n ∴C2 2cos C sin 0 ⋯⋯3分2∴ 2 1 cos Ccos C 0 整理得：2122cos C cos C 1 0 ，解得：cosC 或cos C 12∵C (0, ) ∴ C ⋯⋯7分3（2）∵ C ∴32 2 2 2 cos 2 2c a b ab a b ab3∵ 2 2 2 2a b c ∴2 2 2 2 2a b a b ab ∵b 0 ∴a 3b ∴c 7b ⋯⋯10分∴cos A2 2 27b b 9b 122 7b 2 7∵A (0, ) ∴tan A 3 3 ⋯⋯14分17．解：（1）∵分e2acca412，解得：ac21∴ 2 3b ∴椭圆方程为：2 2x y4 31 ⋯⋯6（2）法（一）设A( x ,y ) ，D(x2 ,y2) ，则B( x1, y1) ，∵A ，D 在椭圆上1 1∴2 2x y1 12 2a b2 2x y2 22 2a b111 1∴ 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2(x x )(x x ) ( y y )( y y ) 0a b∴ 1 12 2a bk kAD BD0 e∵ca12∴22ba34∴1k34k AD⋯⋯11分63∵AD AB ∴k21kAD∴k4k 31 ADk21 4kAD⋯⋯14分法（二）设A(x , y )，D (x1, y1)，则B( x0 , y0)0 0则k kAD BD2 2x x2 1 2 0b (1 ) b (1 )2 2 2 2 2y y y y y y a a b1 0 1 0 1 02 2 2 2 2x x x x x x x x a1 0 1 0 1 0 1 0，下同法（一）18．解：（1）设A E x（百米）∵1S S ∴AEF ABC21 1 1AE AF sin A AB AC sin A2 2 224x∵0 x 8240 6x∵AB 8，AC 6 ∴∴4 x 8 ⋯⋯2分AF∵AEF 中，224 24 242 2 2 2EF x ( ) 2x cos60 x 242x x x∴224 242l x x 24, x [4,8]2x x⋯⋯5分224 242l x x2x x24 2 24 2 24 24 6 6 ，当且仅当x 2 6 时取“=”∴l⋯⋯8分min 6 6 （2）由（1）知：224 242l x x 24, x [4,8]2x x令24t x ,x[4,8]x∴t ' 1224 x 24 (x 2 6)( x 2 6)2 2 2x x x列表得：x (4,2 6) 2 6 (2 6,8)t ' 0t 极小值4 6且x 4时，t 10 ；x 8时，t 11，则t[4 6,11] ⋯⋯12 分2 72l t t 在[4 6,11]上单调增∴当t 11时，l max 18，此时AE 8, AF 3 答：水管总长度l 的最小值为6 6 百米；当点 E 在A 处，点F 在线段A C 的中点时，长廊度l 的最大值为18 百米．⋯⋯16 分总长719．解：（1）∵C (0, 2) ∴圆心C 到直线x 2y 2 0 的距离为| 0 4 2 | 2d ，5 5∵截得的弦长为2 55∴r 22 2 5 2( ) ( ) 15 5∴圆C 的方程为： 2 ( 2)2 1x y ⋯⋯4分（2）设过原点的切线方程为：y kx ，即kx y 0 ∴|02|2k 11 ，解得：k 3∴过原点的切线方程为：y 3x，不妨设y 3x与抛物线的交点为M ，则y 3x2y x，解得：M ( 3,3) ，同理可求：N( 3,3) ∴直线MN : y 3 ⋯⋯7分∵圆心C (0, 2) 到直线MN 的距离为 1 且r 1 ∴直线MN 与圆C 相切；⋯⋯9分（3）直线QR 与圆C 相切．证明如下：设 2 2 2P(a, a ), Q(b, b ), R(c, c ) ，则直线PQ 、PR 、QR 的方程分别为：PQ ：(a b)x y ab 0，PR ：(a c)x y ac 0 ；QR ：(b c)x y bc 0∵PQ 是圆C 的切线∴| 2 ab|2(a b) 11 ，化简得：2 2 2(a 1)b 2ab 3 a 0 ①∵PR 是圆C 的切线，同理可得： 2 2 2(a 1)c 2ac 3 a 0 ②⋯⋯12分则b,c 为方程 2 2 2(a 1)x 2ax 3 a 0的两个实根∴22a 3 ab c ,bc2 2a 1 a 1∵圆心到直线QR 的距离为：23 a|2|2| 2 bc| a2 1 a 1 1d r2 2 4 2(b c) 1 4a a 2a 112 2(a 1)∴直线QR 与圆C 相切．⋯⋯16 分20．解：（1）∵ 2[ f ( 1)] f (2) ∴2(1 a) 15 2a，即 24 14 0a a ，解得：2 3 2 a 2 3 2 ．⋯⋯3分8（2）∵ 3 3f (x) | x 1| x ax 1 ax, x 132x ax 1,x 1∴f '(x)a, x 126x a, x 1a a 2设x ，若 6 a 0 ，则0 16x a 0 ，则，6 6∴当x 1时， f '(x) 0 ，当x 1时，f '( x) 0 ，∴f ( x) 在( ,1)上单调减，在(1, ) 上单调增，故函数 f (x) 有最小值f (1) a 1；⋯⋯ 6 分a若a 6，则1，∴当x 1时， f '(x )0，当16ax 时， f '(x) 0 ，当6a ax 时， f '(x ) 0，又 f (x) 是连续函数，∴ f (x) 在( , )6 6上单调减，在a ( , )6a 2a a af ( ) 1 6a 1；上单调增，故函数 f (x) 有最小值6 3 6 9a 1 ( 6 a 0)综上可得：f (x) amin9 6a 1 (a 6)⋯⋯9分（3）由（2）知，当a 0 时， f '( x) 0 ，函数 f (x) 在R上单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当 1 a 0 时，f (x) a 1 0 ，不可能有两个零点；⋯⋯11分min若a 1，∴ a 1，则f (0) 1 0, f (1) a 1 0, f ( a) a a 1 0，则f (x) 在(0,1) ，(1, a ) 分别有一个零点，不妨设x x ∴0 x1 1 ，1 2 1 x a ，2且1 ax 0132x ax 1 02 2∴ax11a32x12x2∴221 xx x ( )x1 2 2 3a 2x 12又2 3 2 2x 2x x 1 (x 1)(2x x 1)2 2 2 2 2 2x x 1 1 01 2 3 3 32x 1 2x 1 2x 12 2 2，∴x1 x1x2 1，又 f (x) 在(0,1) 上单调递减，∴ f (1) f (x x ) f (x ) ，即a 1 f (x1x2) 0 ．⋯⋯161 2 1分数学试题Ⅱ参考答案921．由条件，1 a 2 24b 2 3 3∴23a 82b 6 12，解得ab23⋯⋯ 5分∵1 2A ，∴3 22 7 6A ⋯⋯10分9 1022．X 的可能取值有0, 2,3P( X 0)4 3A A4 57A727；P( X 2)2 4 2A A A3 4 57A747；P( X 3)3 5A A3 57A717⋯⋯ 6分随机变量X 的概率分布为：X 0 2 32 4 17 7 7 P2 4 1 11 E( X ) 0 2 37 7 7 7答：数学期望为117 ．⋯⋯10 分23．（1）以AB, AC, AA1所在直线为x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设A A1 t ，则A(0,0,0) ，C1(0,4, t) ，B1(3,0, t) ，C (0,4,0) ∴AC1 (0,4, t) ，B1C ( 3,4, t)BC AC 1 1 AC BC ，即1 1 0216 t 0 ，解得t 4，即AA 的长为4 ．⋯⋯ 31分（2）设P(3,0, m) ，又A(0,0,0) ，C (0,4,0) ，A1 (0,0,4)A1C (0,4, 4) ，A P(3,0, m 4) ，且0 m 41设n(x, y, z) 为平面PAC 的法向量1n A1C,n A1P∴4y 4z 03x (m 4)z 0，取z 1，解得4 my 1,x ，3∴4 mn ( ,1,1) 为平面3PAC 的一个法向量．⋯⋯ 6分1又知AB (3,0,0) 为平面ACA 的一个法向量，则c os n, AB14 m4 m 3 1 1 ( )32∵二面角P AC A大小的余弦值为1 133，∴4 m 34 m3 1 1 ( )323 ，10解得：m 1 BPBB114⋯⋯10分24．（1）n nk k k k nF x C f x x C x ∴F2015 (2) 1 ⋯⋯3( ) [( 1) ( )] [( ) ] (1 )n n k nk 0 k 0分（2）①n 1时，左边 1x 1x 1 x 1右边②设n m时，对一切实数x(x 0, 1, , m) ，k mk k( 1) Cmx m!x k (x1)( x2) ( x m)有，⋯⋯ 5 分那么，当n m 1时，对一切实数x(x 0, 1, , (m 1)) ，有m 1 mx x xk k k k k 1 m 1( 1) C 1 ( 1) [C C ] ( 1)m 1 m mx k x k x mk 0 k 11m m 1 m mx x x x 1 x k kk k 1 k k k k( 1) C ( 1) C ( 1) C ( ( 1) C ) m m m m x k x k x k x 1 k x 1 k 0k 1 k 0 k 0m! m! x(x1)( x2) (x m) (x2)( x 3) (x 1 m) x 1m![( x m 1) x] (m 1)!(x 1)( x2) (x m)( x m 1) ( x 1)( x 2) ( x m 1)即n m 1时，等式成立．故对一切正整数n及一切实数x(x 0, 1, , n) ，有k nk k( 1) Cnx n!x k (x1)( x2) (x n)⋯⋯10 分...11...。
2019年高三数学上期中试题(附答案)
2019年高三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D 6．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-8．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，a=4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 14．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____．15．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．16．设0x >，则231x x x +++的最小值为______.17．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______ 18．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n 的最小值为__________. 19．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____三、解答题21．在ABCV中，5 cos13A=-，3cos5B=．(1)求sin C的值；(2)设5BC=，求ABCV的面积．22．已知数列{}n a是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a+成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）令12nn nb a-=-，数列{}n b的前n项和为n S,求满足0nS≥成立的n的最小值. 23．如图，在平面四边形ABCD中，42AB=，22BC=，4AC=.（1）求cos BAC∠；（2）若45D∠=︒，90BAD∠=︒，求CD.24．已知数列{}n a的前n项和为n S，且1，n a，n S成等差数列．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足12n n na b na=+，求数列{}n b的前n项和n T．25．已知数列{}n a满足111,221nnnaa aa+==+.（1）证明数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a的通项公式；（2）若数列{}n b满足12n nnba=g，求数列{}nb的前n项和nS.26．在ΔABC中,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,且222sin sin sin sin sinA CB A C+=-.(1)求B的大小;(2)设BAC∠的平分线AD交BC于,23,1D AD BD==,求sin BAC∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
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执信中学2018-2019学年度第一学期高三级文科数学期中考试试卷【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。
【题文】第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1.已知集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，则M N ⋂=（ ） A.(2,1)- B. (1,1)- C.(1,3) D.(2,3)- 【知识点】交集及其运算.A1【答案】【解析】B 解析：因为集合{|13}M x x =-<<，{}|21N x x =-<<，所以M N ⋂=(1,1)-，故选B.【思路点拨】利用交集的运算直接计算即可。
【题文】2.131ii+=-（ ） A.12i + B.12i -+ C.12i -D. 12i --【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】B 解析：因为131i i +=-()()()()1312412112i i ii i i ++-+==-+-+，故选B 。
【思路点拨】在原式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再计算即可。
【题文】3．若a R ∈，则0a =是()10a a -=的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要、充要条件的判断.A2【答案】【解析】A 解析：由0a =可推出()10a a -=，当()10a a -=时，可得0a =或1a =，所以0a =是()10a a -=的充分不必要条件，故选A 。
【思路点拨】对两个命题进行双向判断即可得到结果。
【题文】4．等比数列{}n a 中，44a =,则26a a 等于（ ） A.4 B.8 C.16D.32【知识点】等比数列的性质.D3【答案】【解析】C 解析：由等比数列的性质可得：26a a =2416a =，故选C 。
【思路点拨】由等比数列的性质可得结果。
【题文】5. 在△ABC 中，222a b c bc =+-，则A 的值为（ ） A ．30 B ．60 C ．30或150 D ．60或120【知识点】余弦定理.C8【答案】【解析】B 解析：在△ABC 中，222a b c bc =+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，则A =60，故选B 。
【思路点拨】直接使用余弦定理即可。
【题文】6．若向量(1,2)BA =，(4,5)CA =则BC =（ ） A.(5,7) B.(3,3) C.(3,3)-- D.(5,7)-- 【知识点】向量的坐标运算.F2【答案】【解析】C 解析：因为(4,5)CA =，所以()4,5AC =--,则()()()1,24,53,3BC BA AC =+=+--=--,故选C 。
【思路点拨】利用向量的坐标运算公式即可。
【题文】7.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为（ ）A.3B.32C.1【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积．G7【答案】【解析】C 解析：∵正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D为BC 中点，∴底面B 1DC 1的面积：122⨯=A 到底面的距离就是底面正三角形A ﹣B 1DC 1的体积为：113=．故选：C ．【思路点拨】由题意求出底面B 1DC 1的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积． 【题文】8．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =（ ） A. 2-B. 2C. 4-D. 4【知识点】等差数列的性质．D2【答案】【解析】B 解析：由题意，1234a a a a 20+++=，3456a a a a 36+++=， 作差可得8d 16=，即d=2．故选：B ．【思路点拨】由题意，1234a a a a 20+++=，3456a a a a 36+++=，作差可得结论．【题文】9．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点. 若△1ABF 的周长为C 的方程为（ ） A ． 22132x y += B ． 2213x y += C ． 221128x y += D ．221124x y += 【知识点】椭圆的标准方程．H5【答案】【解析】A 解析：∵椭圆离心率为3，∴c a =3，∴，又△F 1AB 周长为4a=4c=1，∴椭圆C 的标准方程为：22132x y +=；【思路点拨】，由△F 1AB 周长为a 值，进而求得b 值. 【题文】10. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f += （ ） A. 2- B. 1- C. 0 D. 1【知识点】函数的值；函数奇偶性的性质．B4【答案】【解析】D 解析：∵f （x+2）为偶函数，f （x ）是奇函数， ∴设g （x ）=f （x+2），则g （﹣x ）=g （x ），即f （﹣x+2）=f （x+2）， ∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x+2）=f （x+2）=﹣f （x ﹣2）， 即f （x+4）=﹣f （x ），f （x+8）=f （x+4+4）=﹣f （x+4）=f （x ）， 则f （8）=f （0）=0，f （9）=f （1）=1，∴f （8）+f （9）=0+1=1， 故选：D ．【思路点拨】根据函数的奇偶性的性质，得到f （x+8）=f （x ），即可得到结论．【题文】第二部分非选择题 (共 100 分) 【题文】二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．【题文】11.双曲线C 的两个焦点为(0)，,0)，一个顶点为(1,0)，则C 的方程为【知识点】双曲线的标准方程．H6【答案】【解析】221x y -= 解析：∵双曲线C的两个焦点为(,0)，,0)，一个顶点是(1,0)，∴a=1，∴b=1，∴C 的方程为221x y -=． 故答案为：221x y -=．【思路点拨】利用双曲线C的两个焦点为(0)，,0)，一个顶点是(1,0)，可得a=1，进而求出b ，即可得出双曲线的方程．【题文】12.曲线53x y e =-在点(0,2)处的切线方程为 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11【答案】【解析】520x y +-= 解析：∵53x y f x e ==（）﹣，∴5x f x e '=（），则0055f e '==（），即()f x 在点(0,2)处的切线斜率5k =，则对应的切线方程为250yx =﹣（﹣），即520x y +-=， 故答案为：520x y +-=．【思路点拨】求出函数导数，利用导数的几何意义即可求得切线方程．【题文】13.若实数x ，y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为【知识点】简单的线性规划.E5【答案】【解析】3 解析：画出线性约束条件满足的线性区域如下图：设z=x y +，由z 表示的几何意义可知：当直线经过A(2，1)时，有最大值，最大值为3，故答案为3.【思路点拨】先画出平面区域，再结合z 表示的几何意义可得结果。
【题文】（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点(5,)3A π、2(8,)3B π，则||AB =【知识点】简单曲线的极坐标方程．N3 【答案】【解析】7 解析：∵∠AOB=3π，∴22258258cos 493AB π=+-⨯⨯=，∴AB=7．故答案为：7．【思路点拨】利用余弦定理即可得出．【题文】15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，若3OB =，5OC =，则CD =【知识点】与圆有关的比例线段．N1【答案】【解析】4 解析：∵AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，∴OB ⊥BC ．在Rt △OBC 中，4BC =． ∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC ，∠ADO=∠COD ． ∵∠A=∠ADO ，∴∠BOC=∠DOC ． 又∵OB=OD ，OC 为公共边．∴△BOC ≌△DOC ．∴CD=CB=4．【思路点拨】利用圆的切线的性质和勾股定理可得BC ，再利用平行线的性质和全等三角形的性质可得CD=CB ．即可得出．【题文】16．（本小题满分12分）设平面向量(cos ,sin )a x x =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+（1）求函数()f x 的值域和函数的单调递增区间； （2）当9()5f α=,且263ππα<<时，求2sin(2)3πα+的值. 【知识点】平面向量数量积的运算；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 F2【答案】【解析】（1）52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2）2425-解析：依题意1()cos sin 1sin 1223f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭........2分 （1） 函数()f x 的值域是[]0,2；..................4分 令22232k x k πππππ-≤+≤+，解得52266k x k ππππ-≤≤+.......7分 所以函数()f x 的单调增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k z ∈。
...8分 （2） 由()9sin 135fπαα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为263ππα<<，所以23ππαπ<+<，得3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭....10分 224sin 2sin 22sin cos 333325ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭...12分 【思路点拨】（1）根据数量积的坐标运算，求出函数f （x ）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f （x ）的值域和函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可．【题文】17. （本小题满分12分）在某次体检中，有6位同学的平均体重为65公斤，用n x 表示编号为（1,2，……，6）的同学的体重，且前5位同学的体重如下：（1）求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差s ；（2）从前5位同学中随机地选2位同学，求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率． 【知识点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．K2 K6【答案】【解析】（1）7s =;（2）25解析：（1）由题意得660+66+62+60+62+656x = ，故 680x = …… 2分 6位同学体重的标准差7s ==…… 4分所以第6位同学的体重680x =，这6位同学体重的标准差7s =…… 5分（2）从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66)，(60,62)，(60,60)，(60,62)，(66,62)，(66,60)，(66,62)，(62,60)，(62,62)，(60,62)，共10种…… 8分其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66)，(66,62)，(66,60)，(60,62)，共4种…… 10分所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42105P ==…… 12分 【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x 6和s ，然后由古典概型计算公式可算出所求概率．【题文】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ； （2）求证：1CF B E ⊥； （3）求三棱锥1C B FE V -的体积．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．G4 G7 【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1解析：（1）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则∵EF 为中位线…………2分1//EF D B ∴而1D B ⊂面11ABC D ，EF ⊄面11ABC D//EF ∴面11ABC D …………4分（2）等腰直角三角形BCD 中，F 为BD 中点BD CF ⊥∴①…………5分正方体1111ABCD A BC D -ABCD 1面⊥∴DD ，A BCD 面⊂CF CF DD ⊥∴1②…………7分综合①②，且1111,,B BDD BD DD D BD DD 面⊂=⋂11B BDD CF 面⊥∴，而111B E BDD B ⊂面，E B CF 1⊥∴…………………………………………………9分（3）由（2）可知11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 即CF 为高 ，CF BF ==10分112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=∴223211=⋅=∆F B EF S EF B …………12分11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=1222331=⋅⋅…………14分【思路点拨】（1）欲证EF ∥平面ABC 1D 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC 1D 1内一直线平行即可，连接BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，而D 1B ⊂平面ABC 1D 1，EF ⊄平面ABC 1D 1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF ⊥平面BB 1D 1D ，再由线面垂直的性质证明CF ⊥B 1E 即可；（3）由题意，可先证明出CF ⊥平面BDD 1B 1，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B 1EF 的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．【题文】19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.（3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<. 【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．D2 D3 D5 【答案】【解析】（1）4（2）2n a n =（3）见解析解析：（1）12122133a a =---， 24a = （2）2n ≥时， 32112233n n S na n n n +=---321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=-------21122(1)(331)(21)33n n n a na n a n n n +=----+---1(1)(1)n n n a na n n ++=-+111n n a a n n +-=+，21121a a-= 数列{}n a n是首项为111a=，公差为1的等差数列1(1)1n an n n=+-⨯= 2n a n = （3）法一：11714a =<， 2n ≥时，222212111111111111117171112322314244n a a a n n n n n +++=++++<++-++-<++-=-<- 法二：11714a =< 2n ≥时，22222212111111111112321311n a a a n n +++=++++<++++--- 111111111(1)2323211n n n n <+-+-+++-+---+1111711171(1)()2214214n n n n =+++--=-+<++【思路点拨】（1）利用已知a 1=1，2121233n n S a n n n +=---，n ∈N *．令n=1即可求出；（2）利用a n =S n ﹣S n ﹣1（n ≥2）即可得到1(1)(1)n n n a na n n ++=-+，可化为111n na a n n+-=+，再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法即可证明．【题文】20．（本小题满分14分）设抛物线C 的方程为24x y =，()00,M x y 为直线l ：(0)y m m =->上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ,B . （1）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线AB 恒过定点(0,)m ；【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．H4 H8 【答案】【解析】（1）此圆与直线:1l y =-相切；（2）见解析解析：(1)当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，代入24x y =，整理得2440x kx -+=，令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±，代入方程得2x =±，故得(2,1),(2,1)A B -， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 因为M 到AB 的中点(0,1)的距离为2，从而过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．易知此圆与直线:1l y =-相切. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）证法一：设切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ,过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为11()()y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=()211(4)440k kx y ∆=-⨯-=，又因为2114x y =，所以12x k =．．．．．．．．．．．．．．．．6分 从而过抛物线上点()11,A x y 的切线方程为111()2x y y x x -=-即21124x x y x =- 又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．8分同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-，又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② ．．．．10分 即20022x y x y =-．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分证法二：由已知得24x y =，求导得2xy =，切点分别为()11,A x y ,()22,B x y ，故过点()11,A x y 的切线斜率为12x k =，从而切线方程为111()()2xy y x x -=-即21124x x y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．7分又切线过点()00,M x y ，所以得2110024x x y x =- ① 即10012xy x y =-．．．．．．．．８分同理可得过点()22,B x y 的切线为22224x x y x =-， 又切线过点()00,M x y ，所以得2220024x x y x =- ② 即20022xy x y =-．．．．．．．．10分即点()11,A x y ，()22,B x y 均满足002xy x y =-即()002x x y y =+，故直线AB 的方程为()002x x y y =+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又()00,M x y 为直线:(0)l y m m =->上任意一点，故()02x x y m =-对任意0x 成立，所以0,x y m ==，从而直线AB 恒过定点(0,)m .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 【思路点拨】（1）设过M 点的切线方程，代入x 2=4y ，整理得x 2﹣4kx+4=0，令△=0，可得A ，B 的坐标，利用M 到AB 的中点（0，1）的距离为2，可得过M ，A ，B 三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l ：y=﹣1相切；（2）证法一：设切点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过抛物线上点A （x 1，y 1）的切线方程为111()2x y y x x -=-，代入x 2=4y ，消元，利用△=0，即可确定12x k =，利用切线过点M （x 0，y 0），所以可得10012x y x y =-，同理可得2220024x x y x =-，由此可得直线AB 的方程，从而可得结论；证法二：设过M （x 0，y 0）的抛物线的切线方程，代入x 2=4y ，消去y ，利用韦达定理，确定直线AB 的方程，从而可得结论；【题文】21. （本小题满分14分）已知1()ln xf x x ax-=+(a 为正实数). （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()f x 在1[,]e e上的最大值与最小值； （3）当1a =时，求证：对于大于1的任意正整数n ，都有111ln 23n n>+++【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案】【解析】（1）1a ≥（2）()f x 在1[,]e e上的最大值为1()2f e e=-与最小值为(1)0f =；（3）见解析解析：（1）由已知：()21()0ax f x a ax -'=> ，依题意得：210ax ax-≥对[1,)x ∈+∞恒成立.∴10ax -≥，[1,)x ∈+∞恒成立 ，又a 为正实数 ∴ 10a -≥，即：1a ≥。