数学建模---非线性规划
数学建模竞赛用到优化的赛题
数学建模竞赛用到优化的赛题摘要：I.引言- 数学建模竞赛的简介- 数学建模竞赛中优化的赛题的重要性II.优化问题的类型- 线性规划- 非线性规划- 动态规划- 随机规划III.优化问题的应用- 供应链管理- 金融投资- 交通运输- 能源管理IV.优化问题的求解方法- 解析法- 数值法- 模拟法V.我国在数学建模竞赛中优化的赛题的表现- 我国队伍在数学建模竞赛中的获奖情况- 我国在优化的赛题方面的优势和劣势VI.结论- 数学建模竞赛中优化的赛题对我国科技发展的意义- 对未来我国在数学建模竞赛中优化的赛题的展望正文：数学建模竞赛是一个全球性的比赛，旨在通过对现实世界的问题进行建模和求解，培养学生的创新能力和团队合作精神。
在这些竞赛中，优化问题的赛题一直受到广泛关注。
本文将探讨数学建模竞赛中优化的赛题的类型、应用以及求解方法，并分析我国在这方面的表现。
优化问题可以分为线性规划、非线性规划、动态规划、随机规划等类型。
线性规划是最早被人们认识和应用的优化问题，主要研究在一定约束条件下线性目标函数的最优解。
非线性规划则涉及更复杂的函数形式，求解难度相对较大。
动态规划是一种分阶段决策的方法，适用于具有重复子问题的优化问题。
随机规划则是在不确定性因素下进行的优化决策。
优化问题在现实生活中有广泛的应用，如供应链管理、金融投资、交通运输、能源管理等。
在供应链管理中，优化问题可以帮助企业降低成本、提高效率。
在金融投资中，优化问题可以帮助投资者在风险和收益之间找到最佳平衡点。
在交通运输中，优化问题可以帮助管理者优化路线、提高运力。
在能源管理中，优化问题可以帮助实现能源的合理分配和利用。
针对优化问题的求解，有解析法、数值法、模拟法等方法。
解析法是通过分析问题结构，找到最优解的解析表达式。
数值法是通过迭代计算，逐步逼近最优解。
模拟法是借助计算机模拟，对问题进行求解。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的求解方法。
我国在数学建模竞赛中优化的赛题方面取得了一定的成绩。
数学建模常用的30个常用算法(python代码)
数学建模常用的30个常用算法(python代码) 数学建模中使用的算法涉及多个领域，包括优化、统计、机器学习等。
以下是一些在数学建模中常用的30个算法的简要说明和Python代码示例。
请注意，这只是一小部分，具体应用场景和需求可能需要使用其他算法。
1.线性规划（Linear Programming）:from scipy.optimize import linprog2.整数规划（Integer Programming）:from scipy.optimize import linprog3.非线性规划（Nonlinear Programming）:from scipy.optimize import minimize4.蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）:import numpy as np5.差分方程（Difference Equations）:import numpy as np6.梯度下降法（Gradient Descent）:import numpy as np7.贪心算法（Greedy Algorithm）:def greedy_algorithm(values, weights, capacity):n = len(values)ratio = [(values[i] / weights[i], i) for i in range(n)]ratio.sort(reverse=True)result = [0] * ntotal_value = 0current_weight = 0for _, i in ratio:if weights[i] + current_weight <= capacity: result[i] = 1current_weight += weights[i]total_value += values[i]return result, total_value8.动态规划（Dynamic Programming）:def dynamic_programming(weights, values, capacity): n = len(values)dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for w in range(capacity + 1):if weights[i - 1] <= w:dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], values[i - 1] + dp[i - 1][w - weights[i - 1]])else:dp[i][w] = dp[i - 1][w]return dp[n][capacity]9.遗传算法（Genetic Algorithm）:import numpy as np10.模拟退火算法（Simulated Annealing）:import numpy as np11.马尔可夫链（Markov Chains）:import numpy as np12.蒙特卡洛树搜索（Monte Carlo Tree Search）:import numpy as np13.K均值聚类（K-means Clustering）:from sklearn.cluster import KMeans14.主成分分析（Principal Component Analysis）:from sklearn.decomposition import PCA15.支持向量机（Support Vector Machine）:from sklearn.svm import SVC16.朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes Classifier）:from sklearn.naive_bayes import GaussianNB17.决策树（Decision Tree）:from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier18.随机森林（Random Forest）:from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier19.K最近邻算法（K-Nearest Neighbors）:from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier20.多层感知器（Multilayer Perceptron）:from sklearn.neural_network import MLPClassifier21.梯度提升机（Gradient Boosting）:from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier22.高斯混合模型（Gaussian Mixture Model）:from sklearn.mixture import GaussianMixture23.时间序列分析（Time Series Analysis）:import statsmodels.api as sm24.马尔科夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo）:import pymc3 as pm25.局部最小二乘回归（Local Polynomial Regression）:from statsmodels.nonparametric.kernel_regression import KernelReg26.逻辑回归（Logistic Regression）:from sklearn.linear_model import LogisticRegression27.拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）:from scipy.interpolate import lagrange28.最小二乘法（Least Squares Method）:import numpy as np29.牛顿法（Newton's Method）:def newton_method(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100):x = x0for i in range(max_iter):x = x - f(x) / df(x)if abs(f(x)) < tol:breakreturn x30.梯度下降法（Gradient Descent）:def gradient_descent(f, df, x0, learning_rate=0.01, tol=1e-6, max_iter=100):x = x0for i in range(max_iter):x = x - learning_rate * df(x)if abs(df(x)) < tol:breakreturn x以上代码只是简单示例，实际应用中可能需要根据具体问题进行调整和扩展。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
数学建模中的非线性规划问题
数学建模中的非线性规划问题在数学建模领域中，非线性规划问题是一类重要且常见的问题，它在实际应用中具有广泛的意义和价值。
非线性规划问题的研究和解决，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
非线性规划问题可以简单地理解为在约束条件下寻找一个或多个使目标函数最优化的变量取值。
与线性规划问题不同，非线性规划问题在目标函数和约束条件中可能存在非线性项，因此其求解难度较大。
不同于线性规划问题的凸性、单调性等属性，非线性规划问题涉及到更多的数学工具和分析方法。
在实际应用中，非线性规划问题的出现非常普遍。
例如，在生产中，企业需要在有限的资源条件下使利润最大化，这就需要解决一个非线性规划问题。
除此之外，非线性规划问题还广泛应用于交通、能源、金融等领域。
不仅如此，非线性规划问题还可以用于统计数据拟合、函数逼近等问题的求解。
因此，研究和解决非线性规划问题具有非常重要的实际意义。
在解决非线性规划问题时，常用的方法主要包括精确解法和近似解法。
精确解法主要包括拉格朗日乘子法、KKT条件等，通过求解一系列方程和方程组来确定最优解。
这类方法通常适用于问题结构相对简单、目标函数和约束条件有良好性质的情况。
然而，对于问题结构复杂、目标函数和约束条件非常复杂的情况，精确解法往往效率较低，难以求解。
因此，在实际应用中，近似解法更为常见。
近似解法主要包括梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
这些方法通常基于局部优化思想，通过不断迭代和优化，逐步靠近最优解。
这类方法适用于一般性的非线性规划问题，具有较强的鲁棒性和适应性。
但是，这些方法也有其局限性，如收敛速度慢、易陷入局部最优等。
除了上述方法外，还有一些新的研究方法和算法被提出，如混合整数非线性规划、次梯度法、粒子群优化等。
这些方法在某些特定问题中表现出较好的运用效果，并有望在未来的研究中得到更广泛的应用。
总之，非线性规划问题在数学建模中占据重要地位，对于优化问题的求解和实际应用具有重要的指导作用。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模---非线性规划模型
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1优化模型1.1数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题（MST）、旅行商问题（TSP）、图的着色问题。
1.4概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5组合优化经典问题多维背包问题（MKP）背包问题：n个物品，对物品i，体积为W i，背包容量为W。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n个物品，对物品i，价值为P i，体积为W i，背包容量为W。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP难问题。
二维指派问题（QAP）工作指派问题：n个工作可以由n个工人分别完成。
工人i完成工作j的时间为d j。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n台机器要布置在n个地方，机器i 与k之间的物流量为f ik，位置j与l之间的距离为d jl，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
旅行商问题（TSP）旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d ij，找一条经过n个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
车辆路径问题（VRP）车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
车间作业调度问题（JSP）车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模中的最优化算法
数学建模中的最优化算法数学建模是一项综合性强、难度较大的学科，涉及到数学和实际问题的结合。
在数学建模中，最常见的问题是优化问题，即在给定的约束条件下，求出最优解。
最优化算法是解决优化问题的重要手段，包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
这些算法在不同的问题中有不同的应用，下面我们将分别介绍。
一、线性规划线性规划是一种数学工具，它可以在一系列线性约束条件下最大化或最小化具有线性关系的目标函数。
在数学建模中，线性规划被广泛应用于资源分配问题、制造流程优化等方面。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、对偶理论、内点法等。
其中单纯形法是最常用的方法之一，它通过迭代搜索寻找最优解。
但是对于规模较大的问题，单纯形法的效率会降低，因此近年来对于线性规划的求解，研究者们也开始关注内点法这种算法。
内点法通过可行路径寻找最优解，因此在理论和实际的问题中都有广泛的应用。
二、非线性规划非线性规划主要是解决一些非线性问题，这种问题在实际问题中很常见。
与线性规划不同的是，非线性规划的目标函数往往是非线性的。
非线性规划的求解方法主要有牛顿法、梯度法、共轭梯度法等。
其中，牛顿法是一种迭代法，通过利用函数的一、二阶导数进行求解。
梯度法则是利用函数的一阶导数进行搜索最优解。
共轭梯度法是一种联合使用前两种方法的算法，比前两种算法更加高效。
三、动态规划动态规划是一个将一个问题分解为相互重叠的子问题的技巧，并将子问题的解决方法组合成原问题的解决方法。
动态规划的优势在于能够处理具有重叠子问题和最优子结构等性质的问题。
在数学建模中，动态规划通常被用来处理具有最优子结构的优化问题。
动态规划的求解方法主要有记忆化搜索、状态转移方程等。
其中，记忆化搜索是一种保存结果以便后续使用的技术。
状态转移方程则是一种寻找题目的最优子结构的方法，它通过减小问题规模寻找最优解。
总之，数学建模中的最优化算法是解决现实问题的有效手段。
通过学习和掌握这些算法，我们可以更加深入地理解和解决实际问题。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模常用算法
数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数学建模算法。
1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。
-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等，用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。
- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等，用于发现数据集中的关联规则。
以上只是数学建模中常用的一些算法，实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中，具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
数学建模常用模型及算法
数学建模常用模型及算法数学建模主要是通过现实世界的数据，利用一定的数学方法和算法，借助计算机，使用一定的软件工具，结合相应的算法去建立一定的数学模型，从而对实际问题进行研究和解决，称之为数学建模。
常用的数学建模模型有基于概率的模型、基于最优性的模型、非线性规划模型、组合优化模型、灰色系统模型、网络流模型、层次分析模型、模糊系统模型等等，而常用的数学建模算法可以分为局部搜索算法、精确算法、启发式算法等三大类。
一、基于概率的模型1. 最大熵模型：是一种最大化熵的统计学方法，应用熵来描述不确定度，并在要求最大熵原则的条件下确定参数，从而最大程度的推广模型中的统计分布，从而达到优化的目的。
2. 贝叶斯模型：贝叶斯模型是基于概率的统计模型，用于描述各种随机现象，主要是通过贝叶斯公式结合先验概率以及似然度来推测结果，求出客观事件发生的概率。
二、基于最优性的模型1. 模糊优化方法：模糊优化方法是以模糊集，而不是确定性集，对优化问题加以解决，是一种基于最优性的模型。
它将目标函数和约束条件分解成模糊函数，然后形成模糊优化模型，用模糊图的方法求得最优解，使问题的解决变得更加容易和有效率。
2. 模拟退火算法：模拟退火算法通过数值模拟来求解最优性模型，是一种模拟对象的能量计算的算法，其本质为元胞自动机和目标函数的计算，基于物理反应速率理论实现，利用“热量”的概念，从而模拟从温度较高到低温过程，求解最终最优解。
三、非线性规划模型1. 单约束模型：单约束模型旨在求解目标函数，给定一个约束条件，求解一个最优解。
2. 线性规划模型：线性规划模型利用线性函数来描述算法模型，尝试求得最大或最小的解。
四、组合优化模型1. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种组合优化模型，它能够模拟热力学反应，并利用物理反应速率理论来求解组合优化问题，从而使问题更加容易解决。
2. 遗传算法：遗传算法是一种基于自然进化规律的算法，通过模拟种群的变异和进化过程，来搜索出最优的解。
数学建模30种经典模型matlab
一、概述数学建模是数学与实际问题相结合的产物，通过建立数学模型来解决现实生活中的复杂问题。
Matlab作为一个强大的数学计算工具，在数学建模中具有重要的应用价值。
本文将介绍30种经典的数学建模模型，以及如何利用Matlab对这些模型进行建模和求解。
二、线性规划模型1. 线性规划是数学建模中常用的一种模型，用于寻找最优化的解决方案。
在Matlab中，可以使用linprog函数对线性规划模型进行建模和求解。
2. 举例：假设有一家工厂生产两种产品，分别为A和B，要求最大化利润。
产品A的利润为$5，产品B的利润为$8，而生产每单位产品A 和B分别需要8个单位的原料X和10个单位的原料Y。
此时，可以建立线性规划模型，使用Matlab求解最大化利润。
三、非线性规划模型3. 非线性规划是一类更加复杂的规划问题，其中目标函数或约束条件存在非线性关系。
在Matlab中，可以使用fmincon函数对非线性规划模型进行建模和求解。
4. 举例：考虑一个有约束条件的目标函数，可以使用fmincon函数在Matlab中进行建模和求解。
四、整数规划模型5. 整数规划是一种特殊的线性规划问题，其中决策变量被限制为整数。
在Matlab中，可以使用intlinprog函数对整数规划模型进行建模和求解。
6. 举例：假设有一家工厂需要决定购物哪种机器设备，以最大化利润。
设备的成本、维护费用和每台设备能生产的产品数量均为已知条件。
可以使用Matlab的intlinprog函数对该整数规划模型进行建模和求解。
五、动态规划模型7. 动态规划是一种数学优化方法，常用于多阶段决策问题。
在Matlab 中，可以使用dynamic programming toolbox对动态规划模型进行建模和求解。
8. 举例：考虑一个多阶段生产问题，在每个阶段都需要做出决策以最大化总利润。
可以使用Matlab的dynamic programming toolbox对该动态规划模型进行建模和求解。
数学数学建模中的优化问题
数学数学建模中的优化问题标题：数学建模中的优化问题引言：数学建模是一门综合性强的学科，它将数学与实际问题相结合，通过建立数学模型来解决实际问题。
在数学建模的过程中，优化问题是一类常见且重要的问题类型。
优化问题的求解可以帮助我们在各个领域中找到最优解答，提高效率和质量。
本教案将重点讨论数学建模中的优化问题。
一、优化问题的基本理论1. 优化问题的定义与分类：- 定义：优化问题是求函数在指定约束条件下的最大值或最小值。
- 分类：分为无约束优化问题和有约束优化问题。
2. 常见的优化方法：- 极值判定法：通过求导数确定函数的极值点。
- 线性规划方法：利用线性规划模型求解最优解。
- 非线性规划方法：利用数值方法求解非线性规划问题。
- 动态规划法：将问题划分为多个阶段，通过求解子问题的最优解来求解整体问题。
- 遗传算法：模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作搜索最优解。
二、数学建模中的优化问题1. 生产优化问题：- 问题描述：如何在生产过程中合理分配资源，使得产量最大或成本最低。
- 解决方法：建立生产模型，考虑资源限制和生产效率，通过优化方法求解最优解。
2. 路径规划问题：- 问题描述：如何在地图上找到最短路径或最快路径。
- 解决方法：建立路径规划模型，考虑道路状况和交通流量，通过优化方法求解最优路径。
3. 资源分配问题：- 问题描述：如何在有限资源下最优地分配给需求方。
- 解决方法：建立资源分配模型，考虑资源供需关系和约束条件，通过优化方法求解最优分配方案。
4. 调度优化问题：- 问题描述：如何安排任务的顺序和时间，最大程度地提高效率。
- 解决方法：建立调度模型，考虑任务时间限制和资源约束，通过优化方法求解最优调度方案。
5. 参数优化问题：- 问题描述：如何寻找函数参数的最优取值，使得函数拟合实际情况。
- 解决方法：建立参数优化模型，将问题转化为目标函数的最优化问题，通过优化方法求解最优参数。
三、教学设计与实施1. 知识导入：- 通过实际案例介绍优化问题的应用领域和意义。
数学建模问题类型
数学建模问题类型数学建模是将现实问题抽象为数学模型，并通过数学方法来解决问题的一种方法。
数学建模问题可以分为以下几类：1.优化问题：优化问题是指在一定的约束条件下，找到一个或一组目标函数的最优解。
常见的优化问题有线性规划、整数规划、非线性规划等。
例如，为了降低成本，物流公司需要确定最佳的配送路线；为了提高效益，企业需要确定最佳的生产计划等。
2.线性问题：线性问题是指目标函数和约束条件都是线性的数学模型。
线性问题可以用线性代数的方法求解，例如线性规划、线性回归等。
例如，确定各个变量之间的线性关系，进行趋势预测和预测，优化线性系统等。
3.非线性问题：非线性问题是指目标函数和约束条件为非线性的数学模型。
非线性问题具有复杂性和多样性，常见的有非线性规划、非线性回归等。
例如，以金融领域为例，股票价格预测和选择最佳投资组合等问题都涉及到非线性函数的建模和解决。
4.离散问题：离散问题是指问题中的变量是离散的，而不是连续的。
离散问题的建模常常使用图论、组合数学等方法。
例如旅行推销员问题、资源分配问题等都是离散问题。
5.动态问题：动态问题是指问题中的变量随时间的变化而变化，需要建立动态模型来描述其演化过程。
动态问题通常使用微分方程、差分方程等方法建模。
例如天气预测问题，经济增长预测问题等。
6.随机问题：随机问题是指问题中存在不确定性因素，需要使用概率和统计的方法进行建模和分析。
随机问题解决的方法包括蒙特卡洛模拟、马尔可夫链等。
例如，对于风险评估、投资选择、信用评级等问题，常常需要考虑不确定因素。
7.多目标问题：多目标问题是指问题中存在多个相互矛盾的目标函数，需要找到一个权衡各目标之间的最优解。
多目标问题的解决方法包括帕累托最优解法、权衡法等。
例如，在城市规划中，需要考虑交通、环境、人口等多个因素的影响。
总之，数学建模问题类型多种多样，涵盖了数学的各个分支领域，也与实际应用息息相关。
在实际应用中，常常需要对多种问题类型进行综合分析和解决。
数学建模 非线性规划
T
X
,
M
T
(
X
k
,
M
k
)
；
3、若存在 i 1 i m ，使 gi X k ，则取Mk>M(Mk1 M, 10)
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X * X k .
m
计算时也可将收敛性判别准则 gi X k 改为 M min0, gi X 2 0 .
返回(3）．
9
内点法的特点：
1．初始点必须为严格内点 2．不适于具有等式约束的数学模型 3．迭代过程中各个点均为可行设计方案 4．一般收敛较慢 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递减，递减率c有0<c<1 外点法的特点：
1．初始点可以任选，但应使各函数有定义 2．对等式约束和不等式约束均可适用 3．仅最优解为可行设计方案 4．一般收敛较快 5．初始罚因子要选择得当 6．罚因子为递增，递增率c’有c’>1
小点的向量关于向量与由这一点指向极即等值面上一点处的切函数梯度即为曲面法方处的法向量为该等值面在点21共轭方向法对于极小化问题法为共轭方向法是正定矩阵称下述算其中共轭方向取定一组确定点依次按照下式由任取初始点满足直到某个至多经过求解上述极小化问题可知利用共轭方向法由定理共轭梯度法如何选取一组共轭方向
2
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( En )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
D X | gi X 0,hj X 0,X En
问题(1)可简记为 min f X ． X D
定义2 对于问题(1)，设 X * D，若存在 0 ,使得对一切
数学建模非线性规划作业答案
ห้องสมุดไป่ตู้非线性规划
某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季度末 交 40 台， 第二季末交 60 台， 第三季末交 80 台。 工厂的最大生产能力为每季 100 2 台，每季的生产费用是 f ( x) 50 x 0.2 x （元） ，其中 x 为该季生产发动机的台 数，若工厂生产多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮 费，每台发动机每季的存贮费为 4 元。问该厂每季应生产多少台发动机，才能既 满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季度开始时发动机无存 货）？ 解：确定决策变量 设 xi 表示第 i 个季度的产量（i=1,2,3） 约束条件： （1）每季度的最大生产能力为 100： xi 100(i 1,2,3) （2）每季度交货数量的限制： 第一季度： x1 40 第二季度： ( x1 40) x2 60 第三季度： ( x1 40) x2 60 x3 90 目标函数： 三个季度花费的总费用为三个季度的生产费用和多余产品的储存 费用之和。 2 第一季度总费用： 50 x1 0.2 x1 4( x1 40) 第二季度总费用： 50 x2 0.2 x2 4( x1 x2 100) 第三季度的生产费用： 50 x3 0.2 x3
2
2
所以，该问题的数学模型为： 2 2 2 min z 50 x1 0.2 x1 4( x1 40) 50 x2 0.2 x2 4( x1 x2 100) 50 x3 0.2 x3
x1 40 ( x 40) x 60 2 s.t. 1 ( x 40 ) x 2 60 x3 90 1 0 xi 100(i 1,2,3) 用 Lingo 求解得到： 最优解为：X=（50,60,70） ’ ，最小费用为 11280.
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数学 建模
（3）编写主程序文件如下 [x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fu n2')
求得当 x1 值y
10.6511。
0.5522, x2
1.2033, x3
0.9478 时，最小
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其中 f ( x ) 是目标函数， A, b, Aeq , beq , lb, ub 是相应维数的 矩阵和向量， c( x ), ceq( x ) 是非线性向量函数。
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数学 建模
Matlab 中的命令是 [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlco n,options) x 的返回值是决策向量 x 的取值，fval 返回的是目标函 数的取值。fun 是用 M 文件定义的函数 f ( x ) ；x0 是 x 的初 始 值 ， 可 以 任 意 选 取 ； A,b,Aeq,beq 定 义 了 线 性 约 束 Ax b, Aeq x beq ， 如 果 没 有 线 性 约 束 ， 则 A=[],b=[],Aeq=[],beq=[]；lb 和 ub 是变量 x 的下界和上界， 如果上界和下界没有约束，即 x 无下界也无上界，则 lb=[]， ub=[]，也可以写成 lb 的各分量都为-inf，ub 的各分量都为 inf ； nonlcon 是 用 M 文 件 定 义 的 非 线 性 向 量 函 数 c( x ), ceq( x ) ；options 定义了优化参数，可以使用 Matlab 缺省的参数设置。
hj ( x ) gi ( x )
1,
0,
j
1, 1,
, q, , p.
1,
0, i
（3.1）
其中 x
[ x1 ,
, xn ]T 称为模型（3.1）的决策变量， f 称
, p)和 hj ( j 1,
为目标函数， gi ( i
gi ( x ) 数。 另外，
(j 1,
, q ) 称为约束函 0
0 (i
hj ( x ) , p )称为等式约束，
解 设投资决策变量为
xi
1,
n i 1
决定投资第i个项目
0， 决定不投资第i个项目
，i
1,
, n，
则投资总额为
ai xi ，投资总收益为
n i 1
bi xi 。
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因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投 资金额不能超过总资金 A ，故有限制条件
n
0
i 1
ai xi
A，
另外，由于 xi ( i
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全局最优解与局部最优解
a
c
d
e
b
• 注1：即使问题有最优解，最优解也未必唯一，也未 必是全局最优解. • 注2：现有非线性规划问题求解算法不能保证对所有 问题都能求到最优解.
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例 3.1 （投资决策问题）某企业有 n 个项目可供选 择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥 有总资金 A 元，投资第 i ( i 1, , n) 个项目需花资金 ai 元， 并预计可收益 bi 元。试选择最佳投资方案。
i 1 n
，
ai xi
i 1
n
s.t.
0
i 1
ai xi xi )
A, 0, i 1, , n.
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xi (1
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在一组等式或不等式的约束下， 求一个函数的最大 值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这 类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 min f ( x ) ， s.t.
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（3）寻求限制条件：由于所追求的目标一般都要 在一定的条件下取得极小化或极大化效果，因此还需 要寻找出问题的所有限制条件，这些条件通常用变量 之间的一些不等式或等式来表示。
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Hale Waihona Puke 3.1.2 非线性规划的Matlab解法
Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 min f ( x ) ， A x b, Aeq x beq , s.t. c( x ) 0, ceq( x ) 0, lb x ub.
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例 3.2 求下列非线性规划 2 min f ( x ) x12 x2 2 x3 8， 2 0， s.t. x12 x2 x3 2 3 x1 x2 x3 20 ， x1 x2 2 2 0 ， 2 x2 2 x3 3， x1 , x2 , x3 0 .
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xi (1
1, xi )
, n) 只取值 0 或 1，所以还有 0, i 1, , n.
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最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取 0 或 1） 的限制条件下， 极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为
n
bi xi max Q
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
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数学 建模
3.1 非线性规划模型 3.1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数， 就 称这种规划问题为非线性规划问题。 一般说来， 解非线 性规划要比解线性规划问题困难得多。 而且， 也不像线 性规划有通用方法， 非线性规划目前还没有适于各种问 题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。
解 （1）编写 M 函数 fun1.m 定义目标函数 function f=fun1(x); f= x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2+8;
（2）编写M函数fun2.m定义非线性约束条件 function [g,h]=fun2(x); g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2; x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; %非线性不等式约束 h=[-x(1)-x(2)^2+2; x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束
作业
• 1.试写出如下问题的优化模型： 求直线 x1 +2x2 4 上距离点(2,2)最近的点的坐标。
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, q ) 称为不等式约束。
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数学 建模
对于一个实际问题，在把它归结成非线性规划问题 时，一般要注意如下几点 （1）确定决策变量：首先要收集同问题有关的资料 和数据，在全面熟悉问题的基础上，确认什么是问题要 确定的因素，并用一组变量来表示它们。
（2）提出追求目标：经过资料分析，根据实际需要 和可能，提出要追求极小化或极大化的目标。并且，运 用各种科学和技术原理，把它表示成数学关系式。