2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(附答案)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(附答案)一、选择题1.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20472.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为( )A .0B .1C .2D .33.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A .2B .-2C .12D .12-4.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( ) A .12B .10C.D.5.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111()(233n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )A .32nn a n =+B .23n n n a +=C .a n =n+2D .a n =( n+2)·3n6.若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是( ) A .23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .()1,+∞D .23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7.等比数列{}n a 中,11,28a q ==,则4a 与8a 的等比中项是( ) A .±4B .4C .14± D .148.当()1,2x ∈时,不等式220x mx ++≥恒成立,则m 的取值范围是( ) A .()3,-+∞B.()-+∞C .[)3,-+∞D.)⎡-+∞⎣9.在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅,则ABC V 的形状为()A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形10.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60A =︒,a=4b =,则B =( )A .30B =︒或150B =︒B .150B =︒C .30B =︒D .60B =︒11.已知4213332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<D .c a b <<12.若正数,x y 满足40x y xy +-=,则3x y+的最大值为 A .13B .38C .37D .1二、填空题13.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2a =,且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为______.14.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan tan 2tan b B b A c B +=-,且8a =,73b c +=,则ABC V 的面积为______.15.已知数列111112123123n+++++++L L L ,,,,,,则其前n 项的和等于______. 16.如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1n n S a λ=-(λ为常数).若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-,且1n n b b +<,则满足条件的n 的取值集合为________.18.设a >0,b >0. 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解,则+a b 的取值范围是 . 19.设2a b +=,0b >,则当a =_____时,1||2||a a b+取得最小值. 20.若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+,则数列前n 项和为______. 三、解答题21.已知函数()3sin cos f x x x =-. (1)求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域; (2)在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求a b 的取值范围. 22.数列{}n a 中,11a =,121n n a a n +=++. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设141n n b a =-,求出数列{}n b 的前n 项和.23.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.(Ⅰ)求sin B 的值; (Ⅱ)若33a c +=,3b =,求的面积.24.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1.(1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.25.如图,Rt ABC V 中,,1,32B AB BC π===.点,M N 分别在边AB 和AC 上,将AMN V 沿MN 翻折,使AMN V 变为A MN '△,且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=(1)用θ表示线段AM 的长度,并写出θ的取值范围; (2)求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积,26.数列{}n a 中,11a = ,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-.(1)求n S 的表达式; (2)设n b =21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C 解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.2.D解析:D 【解析】如图,作出不等式组表示的可行域,则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值,故max 303z =+=,故选D .点睛:本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围.3.D解析:D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a .,【详解】因为124S S S ,,成等比数列,所以2214S S S =,即211111(21)(46).2a a a a -=-=-,故选D.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等比数列的性质,解题方法是基本量法.本题属于基础题.4.A解析:A 【解析】由已知24356a a q q +=+=,∴22q =,∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=,故选A.5.B解析:B 【解析】试题分析:由题可知,将111()(233n n n a a n -=+≥,两边同时除以,得出,运用累加法,解得,整理得23n nn a +=; 考点:累加法求数列通项公式6.A解析:A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈,上成立,根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈,上的单调性,求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈,上有解 即2a x x>-在[]15x ∈,上成立,设函数数()2f x x x=-,[]15x ∈,()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈,上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, 要2a x x >-在[]15x ∈,上有解,则235a >-即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目,解题的关键是掌握一元二次不等式的解法,分离含参量,然后求出结果,属于基础题.7.A解析:A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a = ,即可得出.【详解】设4a 与8a 的等比中项是x .由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a =,6x a ∴=± .∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±. 故选A . 【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.8.D解析:D 【解析】由()1,2x ∈时,220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立,即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时,2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-,m 的取值范围是)⎡-+∞⎣,故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题,属于中档题. 利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).9.D解析:D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅,得到sin 2sin 20B A -=,由此得到三角形是等腰或直角三角形,得到答案. 【详解】由题意知,(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅, 结合正弦定理,化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅, 所以cos cos 0a A b B -=,则sin cos sin cos 0B B A A -=, 所以sin 2sin 20B A -=,得22B A =或22180B A +=o , 所以三角形是等腰或直角三角形. 故选D . 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用.在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数,利用三角函数的关系来解决问题,属于基础题.10.C解析:C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =,根据a b >,由三角形中大边对大角可得:60B <︒,即可求得30B =︒. 【详解】解:60A =︒Q ,a=4b =由正弦定理得:sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系,考查了推理能力与计算能力.11.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增,所以b <a <c . 故选A.点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小.12.A解析:A 【解析】 【分析】 分析题意,取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可;结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。
2020-2021高中必修五数学上期中试卷(含答案)(20)
2020-2021高中必修五数学上期中试卷(含答案)(20)一、选择题1.如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,则A .111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B .111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C .111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D .111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形 2.下列命题正确的是 A .若 a >b,则a 2>b 2 B .若a >b ,则 ac >bc C .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b3.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20474.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .165.已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ,不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ,则a b +=( )A .-3B .1C .-1D .36.若ABC V 的对边分别为,,a b c ,且1a =,45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =( ) A .5B .25CD.7.已知幂函数()y f x =过点(4,2),令(1)()n a f n f n =++,n +∈N ,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则10n S =时,n 的值是( ) A .10B .120C .130D .1408.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A.2B .34 C .32或D .349.当()1,2x ∈时,不等式220x mx ++≥恒成立,则m 的取值范围是( ) A .()3,-+∞B.()-+∞C .[)3,-+∞D.)⎡-+∞⎣10.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 A .a b c << B .c a b << C .c b a <<D .b a c <<11.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ,且1514a a +=-,927S =-,则使得n S 取最小值时的n 为( ). A .1B .6C .7D .6或712.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-二、填空题13.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2a =,且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为______.14.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别为n S 和n T ,若321n n S n T n +=+,则44a b =_____. 15.设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==,且()()2112n n n n a a a a +++---=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122019201920192019[]a a a +++=L ____________. 16.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 17.在平面内,已知直线12l l P ,点A 是12,l l 之间的定点,点A 到12,l l 的距离分别为和,点是2l 上的一个动点,若AC AB ⊥,且AC 与1l 交于点C ,则ABC ∆面积的最小值为____.18.已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b >0的解集为{x|x≠c},则227a b a c+++(其中a+c≠0)的取值范围为_____.19.已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤,,,则22x y +的取值范围是 .20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39S =,636S =,则789a a a ++等于______.三、解答题21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .22.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.(Ⅰ)求sin B 的值; (Ⅱ)若33a c +=,3b =,求的面积.23.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac ≤13; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若6512n n S a n >--,求n 的取值范围; (3)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1250,15a a S +==,数列{}n b 满足:12b a =,且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若211(5)log n n n c a b +=+⋅,求数列{}n c 的 前n 项和.n T26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D解析:D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ∆是锐角三角形,若222A B C ∆是锐角三角形,由,得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-,那么,2222A B C π++=,矛盾,所以222A B C ∆是钝角三角形,故选D.2.C解析:C 【解析】对于A ,若1a =,1b =-,则A 不成立;对于B ,若0c =,则B 不成立;对于C ,若a b >,则33a b >,则C 正确;对于D ,2a =,1b =-,则D 不成立.故选C3.C解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.4.A解析:A 【解析】 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线3y x =,结合图象,可得最值. 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域(如图ABC V ),变形目标函数可得3y x z =-,平移直线3y x =可知, 当直线经过点(2,2)A 时,截距z -取得最大值, 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.5.A解析:A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ,然后求出=1,2A B -I (),再根据三个二次之间的关系求出,a b ,可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<,则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有,则32x -<<,则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-.由韦达定理有:1212a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系,属于中档题.6.A解析:A 【解析】在ABC ∆中,1a =,045B ∠=,可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=,解得c =.由余弦定理可得:5b ===. 7.B解析:B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式,由此求得n a 的表达式,利用裂项求和法求得n S 的表达式,解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=,将()4,2代入得142,2αα==,所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=,由110n S ==解得120n =,故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查裂项求和法,考查方程的思想,属于基础题.8.C解析:C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=,解得a 值,由已知可求中线12BD c =,在BCD V 中,由余弦定理即可计算AB 边上中线的长. 【详解】解:3,30b c B ===o Q ,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得29272a a =+-⨯⨯,整理可得:29180a a -+=,∴解得6a =或3.Q 如图,CD 为AB 边上的中线,则12BD c ==,∴在BCD V 中,由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅,可得:222626CD =+-⨯222323CD =+-⨯,∴解得AB 边上的中线32CD =或372. 故选C .【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.9. D解析:D 【解析】由()1,2x ∈时,220x mx ++≥恒成立得2m x x⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立,即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q 当2x =时,2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值22,22m -∴≥-,m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣,故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题,属于中档题. 利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).10.B解析:B 【解析】 试题分析:因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<,ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>,故选B. 考点:比较大小.11.B解析:B 【解析】试题分析:由等差数列的性质,可得,又,所以,所以数列的通项公式为,令,解得,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得取最小值时的为,故选B .考点:等差数列的性质.12.A解析:A 【解析】 【分析】将代数式21x y+与2x y +相乘,展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8,将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+,解出即可.【详解】由基本不等式得()2144224248y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥⋅=⎪⎝⎭, 当且仅当()4,0y xx y x y=>,即当2x y =时,等号成立,所以,2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=,即2780m m +-<,解得81m -<<.因此,实数m 的取值范围是(8,1)-,故选A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法,对于不等式恒成立问题,常转化为最值来处理,考查计算能力,属于中等题.二、填空题13.【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为:【点睛】本题主要 3【解析】 【分析】 根据正弦定理将()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为()()()a b a b c b c +-=-,即222b c a bc +-=,由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==,再用基本不等式法求得4bc ≤,根据面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为()()()a b a b c b c+-=-,化简得222b c a bc+-=由余弦定理得2221 cos22b c aAbc+-==sin==A因为2222+=+≥b c a bc bc所以4bc≤,当且仅当b c=时取""=所以1sin42∆==≤=ABCS bc A则ABC∆【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理,基本不等式的综合应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.14.【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题解析:238【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质,将所求的174417a aab b b+=+,再由等差数列的求和公式,转化为77ST,从而得到答案.【详解】因为数列{}n a、{}n b均为等差数列所以7474141422a ab ba ab b==++()()1771777272a aSb b T+==+37223718⨯+==+【点睛】本题考查等差中项的性质,等差数列的求和公式,属于中档题.15.2018【解析】【分析】数列{an}满足a1=2a2=6且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an )=2利用等差数列的通项公式可得:an+1﹣an =2n+2再利用累加求和方法可得an =n (n+1)利解析:2018 【解析】 【分析】数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且(a n +2﹣a n +1)﹣(a n +1﹣a n )=2,利用等差数列的通项公式可得:a n +1﹣a n =2n +2.再利用累加求和方法可得a n =n (n +1).利用裂项求和方法即可得出. 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=,∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列,首项为4,公差为2. ∴a n +1﹣a n =4+2(n ﹣1)=2n +2.∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 2﹣a 1)+a 1 =2n +2(n ﹣1)+…+2×2+2()122n n +=⨯=n (n +1).∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L . ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L =2018. 故答案为:2018. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解:设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则:解得:所以:所以:所以:故答案为:【点睛】本题考查的 解析:200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和. 【详解】解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.则:()2111(22)412a a a +=+,解得:11a =,所以:()12121n a n n =+-=-, 所以:111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭, 所以:100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12001201201=-=, 故答案为:200201【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.17.6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析:6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示,设BF x =,由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似,所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x=,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥,当且仅当632xx =,即2x =时,等号成立,所以CAE ∆面积的最小值为6.18.(﹣∞﹣6∪6+∞)【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为(a ﹣b )+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b >0的解集为{x|x解析:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞)【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1,ab=1, 即c=-b将227a ba c+++转为(a﹣b)+9a b-,利用基本不等式求得它的范围.【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集为{x|x≠c},由二次函数图像的性质可得a>0,二次函数的对称轴为x=1a-=c,△=4﹣4ab=0,∴ac=﹣1,ab=1,∴c=1a-,b=1a,即c=-b,则227a ba c+++=()29a ba b-+-=(a﹣b)+9a b-,当a﹣b>0时,由基本不等式求得(a﹣b)+9a b-≥6,当a﹣b<0时,由基本不等式求得﹣(a﹣b)﹣9a b-≥6,即(a﹣b)+9a b-≤﹣6,故227a ba c+++(其中a+c≠0)的取值范围为:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞),故答案为(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞).【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质,考查利用基本不等式求最值.19.【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行解析:4 [,13] 5【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域,由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值,为2455=,原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13,因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线(一般不涉及虚线),其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.20.【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析:【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,39S =,636S =,则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用,在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解,也可以用等差数列和的性质来求解,较为基础。
2020-2021高中必修五数学上期中试题(及答案)
解析:D
【解析】
【分析】
将所给条件式变形,结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性,从而由 可得 和 的符号,即可判断 的最小值.
【详解】
由已知,得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以等差数列 为递增数列.
又 ,即 ,
所以 , ,
即数列 前7项均小于0,第8项大于零,
所以 的最小值为 ,
故选D.
18.设 , ,则当 _____时, 取得最小值.
19.如图所示,在平面四边形 中, , , , , ,则 __________.
20.如图在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是___________.
三、解答题
21.已知等差数列 满足 ( ).
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
解析:
【解析】
【分析】
由无穷等比数列 的各项和为4得, ,, 且 ,从而可得 的范围.
【详解】
即有n≥2时,an-an-1=n,
可得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+2+3+…+n= n(n+1), 也满足上式
= =2( - ),
则 =2(1- + - +…+ - )
=2(1- )= .
故选:B.
【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用,等差数列的求和公式,以及数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于中档题.
【详解】
根据正弦定理 可转化为
,化简得
由余弦定理得
因为
所以 ,当且仅当 时取
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(含答案)(5)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(含答案)(5)一、选择题1.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40362.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值是( )A .4B .2C .2-D .4-3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或54.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A .2B .-2C .12D .12-5.在ABC V 中,4ABC π∠=,AB =3BC =,则sin BAC ∠=( )A B C D 6.已知幂函数()y f x =过点(4,2),令(1)()n a f n f n =++,n +∈N ,记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则10n S =时,n 的值是( ) A .10B .120C .130D .1407.已知AB AC ⊥u u u v u u u v ,1AB t=u u uv ,AC t =u u u v ,若P 点是ABC V 所在平面内一点,且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于( ). A .13B .15C .19D .218.若a ,b ,c ,d∈R,则下列说法正确的是( ) A .若a >b ,c >d ,则ac >bd B .若a >b ,c >d ,则a+c >b+d C .若a >b >0,c >d >0,则c da b> D .若a >b ,c >d ,则a ﹣c >b ﹣d9.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC V 的面积,若cos cos sin ,c B b C a A += )222S b a c =+-,则B ∠=A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且满足21,,n n n S S S ++成等差数列,则3a 等于( )A .12B .12-C .14 D .14- 11.已知数列{}n a 中,3=2a ,7=1a .若数列1{}na 为等差数列,则9=a ( )A .12B .54C .45D .45-12.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( ) A .()8,10B .()22,10C .()22,10D .()10,8二、填空题13.设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==,且()()2112n n n n a a a a +++---=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122019201920192019[]a a a +++=L ____________. 14.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=32,S 3=92,则a 1的值为________. 15.设数列{a n }的首项a 1=32,前n 项和为S n ,且满足2a n +1+S n =3(n ∈N *),则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________. 16.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.17.数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_____. 18.设2a b +=,0b >,则当a =_____时,1||2||a a b+取得最小值. 19.点D 在ABC V 的边AC 上,且3CD AD =,2BD =,3sin2ABC ∠=,则3AB BC +的最大值为______.20.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A ,B 两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C ,D ,测得80CD =,135ADB ∠=︒,15BDC DCA ∠∠==︒,120ACB ∠=︒,则A ,B 两点的距离为________.三、解答题21.已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.(1)求数列{}n a 通项公式; (2)令11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 23.在ABC ∆ 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=(1) 求sin sin CA的值 (2) 若1cos ,24B b == ,求ABC ∆的面积. 24.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知24sin 4sin sin 222A BA B -+=+ (1)求角C 的大小;(2)已知4b =,ABC ∆的面积为6,求边长c 的值.25.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,满足:对任意的n ∈N *,都有a n +1+S n +1=1,又a 112=. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =log 2a n ,求12231111n n b b b b b b L ++++(n ∈N *) 26.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1. (1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.C解析:C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ,然后计算出结果. 【详解】根据题意,当1n =时,11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时,112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =,故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.3.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-, 由19a =,所以211n a n =-+,令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .4.D解析:D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a .,【详解】因为124S S S ,,成等比数列,所以2214S S S =,即211111(21)(46).2a a a a -=-=-,故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等比数列的性质,解题方法是基本量法.本题属于基础题.5.C解析:C 【解析】试题分析:由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC π=∠,解得sin 10BAC ∠=. 考点:解三角形.6.B解析:B 【解析】 【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式,由此求得n a 的表达式,利用裂项求和法求得n S 的表达式,解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=,将()4,2代入得142,2αα==,所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=,由110n S ==解得120n =,故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法,考查裂项求和法,考查方程的思想,属于基础题.7.A解析:A 【解析】以A 为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则1(,0)B t,(0,)C t ,10)4(0,1)(1,4)AP =+=u u u r (,,即14)P (,,所以114)PB t=--u u u r (,,14)PC t =--u u u r (,,因此PB PC ⋅u u u r u u u r11416t t =--+117(4)t t =-+,因为114244t t t t+≥⋅=,所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13,当14t t =,即12t =时取等号.考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式.8.B解析:B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项,虽然41,12>->-,但是42->-不成立,所以不正确;B 项,利用不等式的同向可加性得知,其正确,所以成立,即B 正确;C 项,虽然320,210>>>>,但是3221>不成立,所以C 不正确; D 项,虽然41,23>>-,但是24>不成立,所以D 不正确;故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题,涉及到的知识点有不等式的性质,对应的解题的方法是不正确的举出反例即可,属于简单题目.9.D解析:D 【解析】 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A =1,即A =900,由余弦定理、三角形面积公式可求角C ,从而得到B 的值. 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<,所以090A =;由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-,得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =,又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.10.C解析:C 【解析】试题分析:由21,,n n n S S S ++成等差数列可得,212n n n n S S S S +++-=-,即122n n n a a a ++++=-,也就是2112n n a a ++=-,所以等比数列{}n a 的公比12q =-,从而2231111()24a a q ==⨯-=,故选C.考点:1.等差数列的定义;2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11.C解析:C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差,然后再求出结果 【详解】依题意得:732,1a a ==,因为数列1{}na 为等差数列,所以7311111273738--===--a a d ,所以()9711159784a a =+-⨯=,所以945=a ,故选C . 【点睛】本题考查了求等差数列基本量,只需结合题意先求出公差,然后再求出结果,较为基础12.B解析:B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角,只需对其他两条边所对的利用余弦定理,即这两角的余弦值为正,可求出a 的取值范围. 【详解】由题意知,边长为1所对的角不是最大角,则边长为3或a 所对的角为最大角,只需这两个角为锐角即可,则这两个角的余弦值为正数,于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩, 由于0a >,解得a <<C . 【点睛】本题考查余弦定理的应用,在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形,一般由最大角来决定,并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化,其关系如下:A 为锐角cos 0A ⇔>;A 为直角cos 0A ⇔=;A 为钝角cos 0A ⇔<. 二、填空题13.2018【解析】【分析】数列{an}满足a1=2a2=6且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an )=2利用等差数列的通项公式可得:an+1﹣an =2n+2再利用累加求和方法可得an =n (n+1)利解析:2018 【解析】 【分析】数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且(a n +2﹣a n +1)﹣(a n +1﹣a n )=2,利用等差数列的通项公式可得:a n +1﹣a n =2n +2.再利用累加求和方法可得a n =n (n +1).利用裂项求和方法即可得出. 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=,∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列,首项为4,公差为2. ∴a n +1﹣a n =4+2(n ﹣1)=2n +2.∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 2﹣a 1)+a 1 =2n +2(n ﹣1)+…+2×2+2()122n n +=⨯=n (n +1).∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L . ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L =2018. 故答案为:2018. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q =1时S3=3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q =1时S3=3a1=3a3=3×=符合题意所以a1=;当q≠1时S3==a1(1解析:32或6 【解析】 【分析】由题意,要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论,当q =1时,S 3=3a 1即可求解,当q ≠1时,根据求和公式求解. 【详解】当q =1时,S 3=3a 1=3a 3=3×32=92,符合题意,所以a 1=32; 当q ≠1时,S 3=()3111a q q--=a 1(1+q +q 2)=92,又a 3=a 1q 2=32得a 1=232q ,代入上式,得232q (1+q +q 2)=92,即21q +1q -2=0, 解得1q =-2或1q=1(舍去). 因为q =-12,所以a 1=23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =6,综上可得a 1=32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式,涉及分类讨论的思想,属于中档题.15.7【解析】由2an +1+Sn =3得2an +Sn -1=3(n≥2)两式相减得2an +1-2an +an =0化简得2an +1=an(n≥2)即=(n≥2)由已知求出a2=易得=所以数列{an}是首项为a1解析:7 【解析】由2a n +1+S n =3得2a n +S n -1=3(n≥2),两式相减,得2a n +1-2a n +a n =0,化简得2a n +1=a n (n≥2),即1n n a a +=12(n≥2),由已知求出a 2=34,易得21a a =12,所以数列{a n }是首项为a 1=32,公比为q =12的等比数列,所以S n =31122112n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3[1-(12)n ],S 2n =3[1-(12)2n ]代入1817<2n n S S <87,可得117<(12)n <17,解得n =3或4,所以所有n 的和为7. 16.【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析:[]20,30【解析】 【分析】先求导,判断函数的单调性得到函数的最小值,由题意可得x()f x 达到最小,得到()()56f f ≤,()()54f f ≤,解得即可.【详解】 ∵()3af x x x=++,*x ∈N , ∴()2221a x af x x x-'=-=, 当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 为增函数, 最小值为()()min 14f x f a ==+,不满足题意, 当0a >时,令()0f x '=,解得x =当0x <<()0f x '<,函数()f x在区间(上单调递减,当x ()0f x '>,函数()f x在区间)+∞上单调递增,∴当x =()f x 取最小值,又*x ∈N ,∴x ()f x 达到最小, 又由题意知,5x =时取到最小值,∴56<<或45<≤,∴()()56f f ≤且()()54f f ≤,即536356a a ++≤++且534354a a++≤++, 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为:[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系,以及参数的取值范围,属于中档题.17.1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解:∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析:1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=,323a a +=,435a a -=,547a a +=,659a a -=,7611a a +=,…,504997a a -=,变形可得312a a +=,428a a +=,752a a +=,8624a a +=,972a a +=,121040a a +=,13152a a +=,161456a a +=,…,利用数列的结构特征,求出{}n a 的前60项和. 【详解】解:1(1)n n a ++-Q 21n a n =-,∴211a a -=,323a a +=,435a a -=,547a a +=,659a a -=,7611a a +=,…,504997a a -=,∴312a a +=,428a a +=,752a a +=,8624a a +=,9112a a +=,121040a a +=,13112a a +=,161456a a +=,…,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列,{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=, 故答案为:1830. 【点睛】本题主要考查递推公式的应用,考查利用构造等差数列求数列的前n 项和,属于中档题.18.【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是;当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为:【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归解析:2-【解析】 【分析】利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b++,再对a 分0a >,0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=, 所以1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b++=+=++, 又因为0b >,||0a >,所以||14||b a a b +=…, 因此当0a >时,1||2||a a b +的最小值是15144+=; 当0a <时,1||2||a a b +的最小值是13144-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34,此时,42,0,ab a ba b a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩即2a =-. 故答案为:2-. 【点睛】本题考查基本不等式求最值,考查转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时,要验证等号成立的条件.19.【解析】【分析】根据条件可得利用余弦定理即可得到的关系再利用基本不等式即可得解【详解】设三角形的边为由由余弦定理得所以①又所以化简得②①②相除化简得故当且仅当成立所以所以的最大值为故答案为:【点睛】解析:【解析】 【分析】根据条件可得1cos 3ABC ∠=, cos cos 0ADB BDC ∠+∠=,利用余弦定理即可得到AB 、AC 的关系,再利用基本不等式即可得解. 【详解】设AD x =,3CD x =,三角形ABC 的边为a ,b ,c ,由21cos 12sin23ABC ABC ∠∠=-=, 由余弦定理得222161cos 23a c x ABC ac +-∠==,所以2222163x a c ac =+-, ① 又cos cos 0ADB BDC ∠+∠=,22222262x x=2221238x c a =+-, ②①②相除化简得2232296ac a c ac -=+≥, 故4ac ≤,当且仅当3a c =成立,所以()()2222339632448AB BC c a c a ac ac +=+=++=+≤, 所以3AB BC +的最大值为3 故答案为:3 【点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式的应用,考查了方程思想和运算能力,属于中档题.20.【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解:由已知△ACD 中∠ACD =15°∠ADC =150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC =15 解析:805【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ,△ABD 中求出BC ,△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解:由已知,△ACD 中,∠ACD =15°,∠ADC =150°,∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin1504062sin1562AC ===-oo,△BCD 中,∠BDC =15°,∠BCD =135°, ∴∠DBC=30°,由正弦定理,CD BCsin CBD sin BDC=∠∠,所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠;△ABC 中,由余弦定理,AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB=((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得:AB =则两目标A ,B间的距离为.故答案为. 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题,也考查了数形结合思想和转化思想,是中档题.三、解答题21.(1)n a n =;(2)1n n T n =+ . 【解析】 【分析】(1)根据{}n a 和n S 关系得到答案.(2)首先计算数列{}n b 通项,再根据裂项求和得到答案. 【详解】解:(1)当1n =时,111a S ==当2n ≥时,()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合 (2)()11111n b n n n n ==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系,裂项求和,是数列的常考题型. 22.(Ⅰ)b =sin A(Ⅱ)26. 【解析】试题分析:利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =,再根据余弦定理求出cos A , 进而得到sin A ,由2a b =转化为sin 2sin A B =,求出sin B ,进而求出cos B ,从而求出2B 的三角函数值,利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析:(Ⅰ) 解:在ABC V 中,因为a b >,故由3sin 5B =,可得4cos 5B =.由已知及余弦定理,有2222cos 13b a c ac B =+-=,所以b =.由正弦定理sin sin a b A B =,得sin sin a B A b ==所以,b sin A .(Ⅱ)解:由(Ⅰ)及a c <,得cos A =,所以12sin22sin cos 13A A A ==,25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 444A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 考点:正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.23.(1)sin 2sin C A = (2)4【解析】 【分析】(1)正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+,化简即得答案.(2)由(1)知sin 2sin c C a A ==,结合题意由余弦定理可解得1a = ,sin B =,从而计算出面积. 【详解】(1)由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===, 所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A B b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+,即sin 2sin C A = 所以sin 2sin CA= (2)由(1)知sin 2sin c C a A==,即2c a =,又因为2b = ,所以由余弦定理得:2222cos b c a ac B =+-,即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以2c =,又因为1cos 4B =,所以sin 4B =,故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯. 【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点,本题主要考查由正余弦定理解三角形,属于一般题.24.(1)4π;(2. 【解析】 【分析】(1)由二倍角的余弦公式把24sin4sin sin 22A BA B -+=+的余弦公式求cos()A B +,由三角形三内角和定理可求得cos C ,从而求得角C ; (2)根据三角形的面积公式求出边a ,再由余弦定理求E 边. 【详解】 试题分析:(1)由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=,故cos()2A B +=-,所以34A B π+=,因为A B C π++=,所以4C π=.(2)因为1sin 2S ab C ⊥=,由6ABC S =V ,4b =,4C π=,所以a =,由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,所以c =. 【点睛】本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形,属于基础题. 25.(1) a n 12n =;(2) 1nn +.【解析】 【分析】(1)利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=,计算112a =,得到答案.(2)计算得到n b n =-,()1111111n n b b n n n n +==-++,利用裂项求和计算得到答案. 【详解】(1)根据题意,由a n +1+S n +1=1,①,则有a n +S n =1,②,(n ≥2) ①﹣②得:2a n +1=a n ,即a n +112=a n ,又由a 112=, 当n =1时,有a 2+S 2=1,即a 2+(a 1+a 2)=1,解可得a 214=, 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列,故a n 12n =; (2)由(1)的结论,a n 12n =,则b n =log 2a n =﹣n ,则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L =(112-)+(1231-)+……+(111n n -+)=1111nn n -=++.【点睛】本题考查了求通项公式,裂项求和法计算前n 项和,意在考查学生对于数列公式的综合应用. 26.(1)(2)57【解析】试题分析:(1)根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程,解得角的大小;(2)根据三角形的面积公式和上一问角,代入后解得边,这样就知道,然后根据余弦定理再求,最后根据证得定理分别求得和.试题解析:(1)由cos 2A -3cos(B +C)=1,得2cos 2A +3cos A -2=0, 即(2cos A -1)(cos A +2)=0, 解得cos A =或cos A =-2(舍去).因为0<A<π,所以A =. (2)由S =bcsin A =bc×=bc =5,得bc =20,又b =5,知c =4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =25+16-20=21,故a =. 从而由正弦定理得sin B sin C =sin A×sin A =sin 2A =×=.考点:1.二倍角公式;2.正余弦定理;3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题,所以有关三角问题的公式都有涉及,当出现时,就要考虑一个条件,,,这样就做到了有效的消元,涉及三角形的面积问题,就要考虑公式,灵活使用其中的一个.。
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷(及答案)
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1.已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩,若()(1)n a f n f n =++,则123100a a a a ++++=LA .0B .100C .100-D .102002.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或54.已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ,不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ,则a b +=( )A .-3B .1C .-1D .35.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111()(233n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )A .32nn a n =+B .23n n n a +=C .a n =n+2D .a n =( n+2)·3n6.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .40377.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) A .7B .5C .5-D .7-8.等比数列{}n a 中,11,28a q ==,则4a 与8a 的等比中项是( ) A .±4 B .4 C .14± D .149.如图,有四座城市A 、B 、C 、D ,其中B 在A 的正东方向,且与A 相距120km ,D 在A 的北偏东30°方向,且与A 相距60km ;C 在B 的北偏东30°方向,且与B相距,一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行,飞行了15min ,接到命令改变航向,飞向城市B ,此时飞机距离城市B 有( )A .120kmB .606kmC .605kmD .603km10.如果等差数列{}n a 中,3a +4a +5a =12,那么1a +2a +…+7a =( ) A .14B .21C .28D .3511.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为( ) A .134B .135C .136D .13712.已知{}n a 是等比数列,22a =,514a =,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .()1614n--B .()1612n--C .()32123n -- D .()32143n -- 二、填空题13.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别为n S 和n T ,若321n n S n T n +=+,则44a b =_____. 14.设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==,且()()2112n n n n a a a a +++---=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122019201920192019[]a a a +++=L ____________. 15.在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=,且6ABC S ∆=,则b =__________. 16.已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 17.设是定义在上恒不为零的函数,对任意,都有,若,,,则数列的前项和的取值范围是__________.18.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,5cos2C =,且cos cos 2a B b A +=,则ABC ∆面积的最大值为 .19.在△ABC 中,2BC =,7AC =,3B π=,则AB =______;△ABC 的面积是______. 20.在中,若,则__________.三、解答题21.在△ABC 中,a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边,且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++(Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)求sin sin B C +的最大值. 22.设函数1()|(0)f x x x a a a=++- (1)证明:()2f x ≥;(2)若(3)5f <,求a 的取值范围.23.等差数列{}n a 的各项均为正数,11a =,前n 项和为n S .等比数列{}n b 中,11b =,且226b S =,238b S +=.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求12111nS S S ++⋯+. 24.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.已知数列{}n a 是递增的等比数列,且14239,8.a a a a +== (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,11n n n n a b S S ++=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B 解析:B 【解析】试题分析:由题意可得,当n 为奇数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ,故选B.考点:数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题,考查了考生的数据处理与运算能力,属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式,然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率 1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤….故选:B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-, 由19a =,所以211n a n =-+, 令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .4.A解析:A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ,然后求出=1,2A B -I (),再根据三个二次之间的关系求出,a b ,可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<,则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有,则32x -<<,则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有:1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系,属于中档题.5.B解析:B 【解析】试题分析:由题可知,将111()(233n n n a a n -=+≥,两边同时除以,得出,运用累加法,解得,整理得23n nn a +=; 考点:累加法求数列通项公式6.C解析:C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式,结合已知条件列不等式组,进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,所以0d <,且2018201900a a >⎧⎨<⎩,所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩,所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选:C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质,属于基础题.7.D解析:D【解析】 【分析】由条件可得47a a ,的值,进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质,属于中档题.8.A解析:A 【解析】 【分析】利用等比数列{}n a 的性质可得2648a a a = ,即可得出.【详解】设4a 与8a 的等比中项是x .由等比数列{}n a 的性质可得2648a a a =,6x a ∴=± .∴4a 与8a 的等比中项561248x a =±=±⨯=±. 故选A . 【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.9.D解析:D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行,飞行了15min ,接到命令改变航向,飞向城市B ,此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.10.C解析:C 【解析】试题分析:等差数列{}n a 中,34544123124a a a a a ++=⇒=∴=,则()()174127477272822a a a a a a a +⨯+++====L考点:等差数列的前n 项和11.B解析:B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-,求出15142019n a n =-≤,即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤,故此数列的项数为135,故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.12.D解析:D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=,再求出2511()2n n n a a -+=,即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=,所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=,所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选:D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13.【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析:238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质,将所求的174417a a ab b b +=+,再由等差数列的求和公式,转化为77S T ,从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质,等差数列的求和公式,属于中档题.14.2018【解析】【分析】数列{an}满足a1=2a2=6且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an )=2利用等差数列的通项公式可得:an+1﹣an =2n+2再利用累加求和方法可得an =n (n+1)利解析:2018 【解析】 【分析】数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且(a n +2﹣a n +1)﹣(a n +1﹣a n )=2,利用等差数列的通项公式可得:a n +1﹣a n =2n +2.再利用累加求和方法可得a n =n (n +1).利用裂项求和方法即可得出. 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=,∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列,首项为4,公差为2. ∴a n +1﹣a n =4+2(n ﹣1)=2n +2.∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 2﹣a 1)+a 1 =2n +2(n ﹣1)+…+2×2+2()122n n +=⨯=n (n +1).∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L . ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L =2018. 故答案为:2018. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.4【解析】已知等式利用正弦定理化简得:可得可解得余弦定理可得可解得故答案为解析:4 【解析】已知等式2sin sin B A sinC =+,利用正弦定理化简得:2b a c =+,3cos ,5B =∴Q 可得4sin 5B ==,114sin 6225ABC S ac B ac ∆∴==⨯=,可解得15ac =,∴余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-()()221cos a c ac B =+-+=23421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭,∴可解得4b =,故答案为4.16.【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ,进而得到sin C ,结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 3022C C +-==-=,由正弦定理得2sin 3c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识,涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式,考查恒等变形能力,属于 基础题.17.121)【解析】试题分析:由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=n y=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析:【解析】试题分析:由题意,对任意实数,都有,则令可得 ,即,即数列是以为首项,以为公比的等比数列,故考点:抽象函数及其应用,等比数列的通项及其性质18.【解析】试题分析:外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点:解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的 解析:5 【解析】 试题分析:5cos2C =,21cos 2cos 129C C =-=,45sin C =,cos cos 2a B b A c +==,外接圆直径为952sin c R C ==,由图可知,当C 在AB 垂直平分线上时,面积取得最大值.设高CE x =,则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,解得5x =,故最大面积为15522S =⋅⋅=.考点:解三角形.【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理,化归与转化的数学思想方法,数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C 的半角的余弦值,我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos 2a B b A +=我们结合图像,很容易知道这就是2c =.三角形一边和对角是固定的,也就是外接圆是固定的,所以面积最大也就是高最大,在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.19.;【解析】试题分析:由余弦定理得即得考点:余弦定理三角形面积公式解析:;332【解析】试题分析:由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅,即2174222AB AB =+-⋅⋅,得2230AB AB --=,31()AB ∴=-或舍,011333sin 60322222S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=. 考点:余弦定理,三角形面积公式. 20.2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a :b :c=7:8:13令a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析:【解析】 ∵由正弦定理可得,∴,令,,(),利用余弦定理有,∵,∴,故答案为.三、解答题21.(Ⅰ)120°;(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边,然后结合余弦定理可得∠A 的大小; (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得sin sin B C +的最大值. 【详解】(Ⅰ)()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++Q ,()()2222a b c b c b c ∴=+++,即222a b c bc =++.2221cos 22b c a A bc +-=-∴=,120A ∴=︒.(Ⅱ)sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-()1sin sin 6022B B B =+=︒+, 060B ︒<<︒Q ,∴当6090B ︒+=︒即30B =︒时,sin sin B C +取得最大值1.【点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围. 22.(1)详见解析;(2)15(,22. 【解析】试题分析:本题第(1)问,可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =,从而得出结论;对第(2)问,由0a >去掉一个绝对值号,然后去掉另一个绝对值号,解出a 的取值范围.试题解析:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知:min ()f x =12a a+≥,当且仅当1a =时,取等号,所以()2f x ≥.(2)因为(3)5f <,所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔ 11232a a a -<-<-a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点:本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.23.(1)n a n =,12n n b -=;(2)21nn + 【解析】 【分析】(1)由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差,公比,因此可将公差,公比分别设为d ,q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ,q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式.(2)由(1)可得()11212n S n n n =++⋯+=+,即()121n s n n =+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,代入化简即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,d >0,{}n b 的等比为q则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,依题意有()26338q d q d ⎧+=⎨++=⎩,解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩(舍去)故1,2n n n a n b -==,(2)由(1)可得()11212n S n n n =++⋯+=+ ∴11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∴1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d >0.第二问考查了求数列的前n 项和,关键是要分析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,然后代入计算,这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法!24.(Ⅰ)2nn a =.(Ⅱ)2552n nn T +=-. 【解析】试题分析:(Ⅰ)列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量;(Ⅱ)用错位相减法求和.试题解析:(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ,由题意知:22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >, 解得:12,2==a q ,所以2nn a =.(Ⅱ)由题意知:121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+,又2111,0,n n n n S b b b +++=≠ 所以21n b n =+, 令nn nb c a =, 则212n nn c +=, 因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++L L , 又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 所以2552n nn T +=-. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.(2)用错位相减法求和时,应注意:在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n -qS n ”的表达式,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 25.(Ⅰ)12n n a -=(Ⅱ)112221n n ++--【解析】试题分析:(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,,根据已知由等比数列的性质可得32311(1)9,8a q a q +==,联立解方程再由数列{}n a 为递增数列可得11{2a q ==则通项公式可得(2)根据等比数列的求和公式,有122112nn n s -==--所以1112(21)(21)nn n n n n n a b s s +++==--,裂项求和即可 试题解析:(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,所以有323141231(1)9,8a a a q a a a q +=+===联立两式可得11{2a q ==或者18{12a q ==又因为数列{}n a 为递增数列,所以q>1,所以11{2a q == 数列{}n a 的通项公式为12n n a -=(2)根据等比数列的求和公式,有122112nn n s -==--所以1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b s s ++++===-----所以1111111111221 (133721212121)n n n n n n T ++++-=-+-++-=-=----考点:等比数列的通项公式和性质,数列求和26.(Ⅰ)2nn a =或()2nn a =--(Ⅱ)12【解析】 【分析】(1)先设数列{}n a 的公比为q ,根据题中条件求出公比,即可得出通项公式; (2)根据(1)的结果,由等比数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】(1)设数列{}n a 的公比为q ,2754a q a ∴==, 2q ∴=±,2n n a ∴=或(2)n n a =--.(2)2q =时,()2122212612n n nS -==-=-,解得6n =;2q =-时,()21(2)21(2)126123n nnS --⎡⎤==--=⎣⎦+, n 无正整数解;综上所述6n =. 【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于基础题型.。
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷带答案
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40362.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值是( )A .4B .2C .2-D .4-4.已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ,则1212a x x x x ++的最大值是( ) ABCD.3-5.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数: ①()3f x x =;②()xf x e =;③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或57.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若3572a a +=,则13S =( ) A .49B .91C .98D .1828.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( ) A .12B .10C.D.9.在ABC V 中,4ABC π∠=,AB =3BC =,则sin BAC ∠=( )A .1010B .105C .310D .5 10.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ,且1514a a +=-,927S =-,则使得n S 取最小值时的n 为( ). A .1B .6C .7D .6或711.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a 等于( ) A .3B .13+C .12+D .412.两个等差数列{}n a 和{}n b ,其前n 项和分别为n S ,n T ,且723n n S n T n +=+,则220715a ab b +=+( )A .49B .378C .7914D .14924二、填空题13.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan tan 2tan b B b A c B +=-,且8a =,73b c +=,则ABC V 的面积为______.14.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则实数m 的取值范围为_______.15.设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称,对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω,则CD 的最小值为__________.16.已知数列的前项和,则_______.17.已知数列{}n a 满足11a =,132n n a a +=+,则数列{}n a 的通项公式为________.18.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+,不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立,则实数m 的最大值是 ____________19.不等式211x x --<的解集是 . 20.如图所示,在平面四边形ABCD 中,2AB =,3BC =,AB AD ⊥,AC CD ⊥,3AD AC =,则AC =__________.三、解答题21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .22.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50/min m .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min 后,再从B 匀速步行到C ,假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ,山路AC 长为1260m ,经测量12cos 13A =,3cos 5C =.(1)求索道AB 的长;(2)问:乙出发多少min 后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ,乙步行的速度应控制在什么范围内?23.已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线,设函数()y f x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ,若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,边217,sin BC B ==,求ABC ∆的面积. 24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1,n a ,n S 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12n n n a b na =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .25.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,14cos a C a+=,1b =. (1)若90A ∠=︒,求ABC V 的面积; (2)若ABC Va ,c . 26.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,n a (*n N ∈,且2n ≥) (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:当2n ≥时,12311113232n a a a na ++++<L【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.D解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=,∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .3.C解析:C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ,然后计算出结果. 【详解】根据题意,当1n =时,11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时,112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =,故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.4.D解析:D 【解析】:不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),根据韦达定理,可得:2123x x a =,x 1+x 2=4a ,那么:1212a x x x x ++=4a +13a. ∵a <0, ∴-(4a +13a ),即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为3-. 故选D .点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.5.C解析:C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()()1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭,该函数为“保等比数列函数”;对于②中的函数()xf x e =,()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”; 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===,该函数为“保等比数列函数”;对于④中的函数()ln f x x =,()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函数”.故选:C. 【点睛】本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.6.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-,由19a =,所以211n a n =-+, 令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .7.B解析:B 【解析】∵3572a a +=,∴11272(4)a d a d ++=+,即167a d +=,∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=,故选B .8.A解析:A 【解析】由已知24356a a q q +=+=,∴22q =,∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=,故选A.9.C解析:C 【解析】试题分析:由余弦定理得229223cos5,54b b π=+-⋅⋅⋅==.由正弦定理得35sin sin4BAC π=∠310sin BAC ∠=. 考点:解三角形.10.B解析:B 【解析】试题分析:由等差数列的性质,可得,又,所以,所以数列的通项公式为,令,解得,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得取最小值时的为,故选B .考点:等差数列的性质.11.A解析:A 【解析】【分析】将函数()y f x =的解析式配凑为()()1222f x x x =-++-,再利用基本不等式求出该函数的最小值,利用等号成立得出相应的x 值,可得出a 的值.【详解】当2x >时,20x ->,则()()1122222f x x x x x =+=-++≥-- 4=, 当且仅当()1222x x x -=>-时,即当3x =时,等号成立,因此,3a =,故选A. 【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件,利用基本不等式要对代数式进行配凑,注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用,考查计算能力,属于中等题.12.D解析:D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =, 故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选:D. 【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质:若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈二、填空题13.【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=(b+c )2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB∴由正弦 【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值,由余弦定理可求64=(b +c )2﹣bc ,求bc ,即可得三角形的面积. 【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ,∴由正弦定理可得sinB (tanA +tanB )=﹣2sinCtanB ,∴sinB (tanA+tanB )=﹣2sinC•sinBcosB, ∴cosB (tanA+tanB )=﹣2sinC ,∴cosB (sinA cosA +sinBcosB)=﹣2sinC , ∴cosB•sinAcosB cosAsinBcosAcosB+=﹣2sinC ,∴cosB•()sin A B cosAcosB+=sinCcosA=﹣2sinC , 解得cosA=﹣12,A=23π; ∵a=8,b c +=64=b 2+c 2+bc=(b+c )2﹣bc , ∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=1922⨯⨯4,. 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形,涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式,属于中档题.14.【解析】试题分析:由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点:线性规划 解析:(,1]-∞【解析】试题分析:由题意,由2{30y xx y =+-=,可求得交点坐标为(1,2),要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥,如图所示,可得1m ≤,则实数m 的取值范围(,1]-∞.考点:线性规划.15.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有:所以区域内的点与区 解析:25【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ,如图阴影部分,由三角形ABC 构成,其中(11),(30),(12)A B C -,,, ,作出直线20x y += ,显然点A 到直线20x y +=的距离最近,由其几何意义知,区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍,由点到直线的距离公式有:22215521d -==+ ,所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25,即255CD = .点睛:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.16.2【解析】【分析】【详解】由Sn =n2+n (n ∈n*)当n =1a1=S1=1+1=2当n≥2时an =Sn ﹣Sn ﹣1=n2+n ﹣(n ﹣1)2-(n ﹣1)=2n 当n =1时a1=2×1=2成立∵an =2n解析:2【解析】【分析】【详解】由S n =n 2+n (n ∈n *),当n =1,a 1=S 1=1+1=2,当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣(n ﹣1)2-(n ﹣1)=2n ,当n =1时,a 1=2×1=2,成立,∵a n =2n (n ∈n *), ∴22, ∴2,故答案为2.17.【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为:【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题解析:1231n -⋅-【解析】【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+,得到λ【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+,所以()13n n a a λλ++=+,即132n n a a λ+=+,得到1λ=,所以()1131n n a a ++=+,而112a +=,故{}1n a +是以2为首项,3为公比的等比数列,所以1123n n a -+=⋅,故1231n n a -=⋅-.故答案为:1231n -⋅-.【点睛】本题考查由递推关系求数列通项,待定系数法构造新数列求通项,属于中档题. 18.【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式 解析:13- 【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性,再化简不等式()()1f x f x m -≤+,分类讨论分离不等式,最后根据函数最值求m 取值范围,即得结果.【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数,又()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立,等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立,即1x x m -≥+,平方化简得()2211m x m +≤-, 当10m +=时,x R ∈;当10m +>时,12m x -≤对[],1x m m ∈+恒成立,11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-; 当10m +<时,12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立,1123m m m -≥∴≥(舍); 综上113m -≤≤-,因此实数m 的最大值是13-.【点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 19.【解析】【分析】【详解】由条件可得解析:{}|02x x <<【解析】【分析】【详解】由条件可得20.3【解析】分析:详解:设在直角中得所以在中由余弦定理由于所以即整理得解得点睛:在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信息一般地如果式子中含有角 解析:3【解析】分析:详解:设,3AC x AD x ==,在直角ACD ∆中,得2222CD AD AC x -=,所以22sin 3CD CAD AD ∠==, 在ABC ∆中,由余弦定理2222cos 222AB AC BC BAC AB AC x+-∠==⋅ 由于2BAC CAD π∠+∠=,所以cos sin BAC CAD ∠=∠, 222322x=23830x x --=,解得3x =. 点睛:在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.三、解答题21.(1)21n a n =+;(2)()1212n n +-⋅【解析】【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义,求出首项和公差,由此能求出21n a n =+.(2()111)2,2212n n n n n n nb b a n a ---==⋅=+⋅,由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T .【详解】解:(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+,21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列, ()1112,2212n n n n n n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得:()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,还考查了错位相减法求和,考查计算能力,属于中档题。
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷(含答案)
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .32.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A .10B .12C .31log 5+D .32log 5+3.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ,则()235log a a ⋅的值为( ) A .8B .10C .12D .164.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是A .10B .12?C .14D .165.若ABC V 的对边分别为,,a b c ,且1a =,45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =( ) A .5B .25CD.6.已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+,设其前n 项和为n S ,则使5n S <-成立的自然数n ( )A .有最小值63B .有最大值63C .有最小值31D .有最大值317.已知数列{an}的通项公式为an =2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A .89B .23C .6481D .1252438.已知x ,y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数),若目标函数z =x +3y 的最大值为8,则k =( )A .-16B .-6C .-83D .69.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC V 的面积,若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-,则B ∠=A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且满足21,,n n n S S S ++成等差数列,则3a 等于( ) A .12B .12-C .14D .14-11.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++12.若函数1()(2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值,则a 等于( ) A .3B.1C.1+D .4二、填空题13.若数列{}n a 满足11a =,()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈,数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ,则数列{}n b 的前10项和10S =___________14.已知对满足4454x y xy ++=的任意正实数x ,y ,都有22210x xy y ax ay ++--+≥,则实数a 的取值范围为______.15.在ABC V 中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ,且满足222sin sin sin sin sin A B C A B +=+,若ABC V,则ab =__16.已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为____.17.已知在△ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2a b c +=,则C ∠的取值范围为________18.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.19.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.20.(理)设函数2()1f x x =-,对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 三、解答题21.在平面四边形ABCD 中,已知34ABC π∠=,AB AD ⊥,1AB =.(1)若5AC =,求ABC ∆的面积;(2)若25sin 5CAD ∠=,4=AD ,求CD 的长. 22.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=.(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围.23.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24.已知{a n }是等差数列,{b n }是各项均为正数的等比数列,且b 1=a 1=1,b 3=a 4,b 1+b 2+b 3=a 3+a 4.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .25.已知等差数列{}n a 中,235220a a a ++=,且前10项和10100S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.已知向量()1sin 2A =,m 与()3sin 3A A =,n 共线,其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小;(2)若BC=2,求△ABC 面积S 的最大值,并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线20kx y -+=过定点()0,1,再利用k 的几何意义,只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时,k 值即可. 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1, 作可行域如图所示,,由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,得()2,4B . 当定点()0,1和B 点连接时,斜率最大,此时413202k -==-, 则k 的最大值为:32故选:B . 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.2.A解析:A【解析】 【分析】利用对数运算合并,再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(10)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(10)一、选择题1.在ABC V 中,4ABC π∠=,2AB =,3BC =,则sin BAC ∠=( )A .10 B .105C .310D .5 2.在斜ABC ∆中,设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=,CD 是角C 的内角平分线,且CD b =,则cos C = ( )A .18B .34C .23 D .163.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n+B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +4.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .40375.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°,第一排和最后一排的距离为102米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)A .3323B 53C 73D .83236.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,33c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A 37B .34C .32或D .347.已知:0x >,0y >,且211x y+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .()4,2- B .(][),42,-∞-+∞U C .()2,4-D .(][),24,-∞-⋃+∞8.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .403720209.已知数列{an}的通项公式为an =2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A .89B .23C .6481D .12524310.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若341118a a a ++=则11S =( ) A .9B .22C .36D .6611.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60A =︒,a=4b =,则B =( ) A .30B =︒或150B =︒ B .150B =︒ C .30B =︒D .60B =︒12.若01a <<,1b c >>,则( ) A .()1ab c<B .c a cb a b->- C .11a a c b --< D .log log c b a a <二、填空题13.已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列,且前n 项和分别为n S 和n T ,若321n n S n T n +=+,则44a b =_____. 14.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 15.对一切实数x ,不等式2||10x a x ++≥恒成立,则实数a 的取值范围是_______16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =,ABC ∆的面积为2214a b +-,则ABC ∆面积的最大值为_____. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1n n S a λ=-(λ为常数).若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-,且1n n b b +<,则满足条件的n 的取值集合为________.18.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 19.(理)设函数2()1f x x =-,对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 20.在中,若,则__________. 三、解答题21.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+,.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且asin B =-bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ;(2)若△ABC 的面积S 32,求sin C 的值. 23.已知数列{}n a 的首项123a =,且当2n ≥时,满足1231312n n a a a a a -++++=-L . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若2n n nb a =,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求n T . 24.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a =,求ABC V 面积的最大值.25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1250,15a a S +==,数列{}n b 满足:12b a =,且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若211(5)log n n n c a b +=+⋅,求数列{}n c 的 前n 项和.n T26.已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.(1)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】试题分析:由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin4BAC =∠sin BAC ∠= 考点:解三角形.2.A解析:A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=,由cos 0C ≠可得2a b =;利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =,利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得:22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即:2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项:A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识;关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.3.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得,故选A.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式,结合已知条件列不等式组,进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,所以0d <,且2018201900a a >⎧⎨<⎩,所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩,所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选:C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质,属于基础题.5.B解析:B 【解析】 【分析】如解析中图形,可在HAB ∆中,利用正弦定理求出HB ,然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度,最后可得速度. 【详解】如图,由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒,∴30AHB ∠=︒,在HAB ∆中,sin sin HB AB HAB AHB =∠∠,即102sin 45sin 30HB =︒︒,20HB =. ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=,3534623v ==(米/秒). 故选B . 【点睛】本题考查解三角形的应用,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理,解题时要根据条件选用恰当的公式,适当注意各个公式适合的条件.6.C解析:C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=,解得a 值,由已知可求中线12BD c =,在BCD V 中,由余弦定理即可计算AB 边上中线的长. 【详解】解:3,33,30b c B ===o Q ,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得23927233a a =+-⨯⨯,整理可得:29180a a -+=,∴解得6a =或3.Q 如图,CD 为AB 边上的中线,则13322BD c ==,∴在BCD V 中,由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅,可得:22233333626CD =+-⨯222333333()23CD =+-⨯,∴解得AB 边上的中线32CD =或37. 故选C .【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.7.A解析:A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】 由题,因为211x y+=,0x >,0y >, 所以()214422242448x y x yx y x y y x y x ⎛⎫++=+++≥+⋅=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.8.B解析:B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时,a n -a n -1=n ,再由数列的恒等式:a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),运用等差数列的求和公式,可得a n ,求得1n a =()21n n +=2(1n -11n +),由数列的裂项相消求和,化简计算可得所求和. 【详解】解:数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1, 即有n ≥2时,a n -a n -1=n ,可得a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =1+2+3+…+n =12n (n +1),1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2(1n -11n +), 则122019111a a a ++⋯+=2(1-12+12-13+…+12019-12020) =2(1-12020)=20191010.故选:B . 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用,等差数列的求和公式,以及数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于中档题.9.A解析:A 【解析】解法一 a n +1-a n =(n +1)n +1-nn=·n,当n <2时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =2时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >2时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n . 所以a 1<a 2=a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×2=.故选A.解法二 ==,令>1,解得n <2;令=1,解得n =2;令<1,解得n >2.又a n >0,故a 1<a 2=a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×2=.故选A.10.D解析:D 【解析】分析:由341118a a a ++=,可得156a d +=,则化简11S =()1115a d +,即可得结果. 详解:因为341118a a a ++=, 所以可得113151856a d a d +=⇒+=, 所以11S =()111511666a d +=⨯=,故选D.点睛:本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式, 意在考查等差数列基本量运算,解答过程注意避免计算错误.11.C解析:C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =,根据a b >,由三角形中大边对大角可得:60B <︒,即可求得30B =︒. 【详解】解:60A =︒Q ,a=4b =由正弦定理得:sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系,考查了推理能力与计算能力.12.D解析:D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ,1b c >>Q ,1b c ∴>,01a <<Q ,则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭,故错误 对于B ,若c a cb a b->-,则bc ab cb ca ->-,即()0a c b ->,这与1b c >>矛盾,故错误对于C ,01a <<Q ,10a ∴-<,1b c >>Q ,则11a a c b -->,故错误 对于D ,1b c >>Q ,c b log a log a ∴<,故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质,由未知数的范围确定结果,属于基础题.二、填空题13.【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题 解析:238【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项的性质,将所求的174417a a ab b b +=+,再由等差数列的求和公式,转化为77S T ,从而得到答案. 【详解】因为数列{}n a 、{}n b 均为等差数列 所以7474141422a a b b a a b b ==++ ()()1771777272a a S b b T +==+37223718⨯+==+ 【点睛】本题考查等差中项的性质,等差数列的求和公式,属于中档题.14.【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解:设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则:解得:所以:所以:所以:故答案为:【点睛】本题考查的 解析:200201【解析】 【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和. 【详解】解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.则:()2111(22)412a a a +=+,解得:11a =,所以:()12121n a n n =+-=-, 所以:111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭,所以:10011111 1335199201S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12001201201=-=,故答案为:200 201【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.15.-2+)【解析】【分析】根据题意分x=0与x≠0两种情况讨论①x=0时易得原不等式恒成立②x≠0时原式可变形为a≥-(|x|+)由基本不等式的性质易得a的范围综合两种情况可得答案【详解】根据题意分两解析:[-2,+∞)【解析】【分析】根据题意,分x=0与x≠0两种情况讨论,①x=0时,易得原不等式恒成立,②x≠0时,原式可变形为a≥-(|x|+1x),由基本不等式的性质,易得a的范围,综合两种情况可得答案.【详解】根据题意,分两种情况讨论;①x=0时,原式为1≥0,恒成立,则a∈R;②x≠0时,原式可化为a|x|≥-(x2+1),即a≥-(|x|+1 x),又由|x|+1x≥2,则-(|x|+1x)≤-2;要使不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,需有a≥-2即可;综上可得,a的取值范围是[-2,+∞);故答案为[-2,+∞).【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法,运用分类讨论和参数分离、基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.16.【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛解析:1 4【解析】【分析】结合已知条件,结合余弦定理求得π4C =,然后利用基本不等式求得ab 的最大值,进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①,由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②,由①②得sin cos C C =,由于()0,πC ∈,所以π4C =.故221cos 22a b C ab +-==,化简221a b =+-22121a b ab =+-≥-,化简得ab ≤所以三角形面积1121sin 22224S ab C =≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题.17.【解析】【分析】利用可求得;利用可证得数列为等比数列从而得到进而得到;利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详解】当时解得:当且时即:数列是以为首项为公比的等比数列解得:又或满足 解析:{5,6}【解析】 【分析】利用11a S =可求得2λ=;利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列,从而得到12n n a -=,进而得到n b ;利用10n n b b +-<可得到关于n 的不等式,解不等式求得n 的取值范围,根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时,1111a S a λ==- 11λ∴-=,解得:2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时,1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a --\=-=-,即:12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列 12n n a -\=2920n n a b n n =-+-Q 219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >Q ()()21128470n n n n ∴-+=--<,解得:47n <<又n *∈N 5n ∴=或6∴满足条件的n 的取值集合为{}5,6本题正确结果:{}5,6 【点睛】本题考查数列知识的综合应用,涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识;关键是能够得到n b 的通项公式,进而根据单调性可构造出关于n 的不等式,从而求得结果.18.【解析】【分析】先利用累加法求出an =33+n2﹣n 所以设f (n )由此能导出n =5或6时f (n )有最小值借此能得到的最小值【详解】解:∵an+1﹣an =2n ∴当n≥2时an =(an ﹣an ﹣1)+(a 解析:212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n =33+n 2﹣n ,所以331n a n n n =+-,设f (n )331n n=+-,由此能导出n =5或6时f (n )有最小值.借此能得到n an的最小值.【详解】解:∵a n +1﹣a n =2n ,∴当n ≥2时,a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 2﹣a 1)+a 1=2[1+2+…+(n ﹣1)]+33=n 2﹣n +33 且对n =1也适合,所以a n =n 2﹣n +33. 从而331n a n n n=+- 设f (n )331n n =+-,令f ′(n )23310n-=+>,则f (n )在)+∞上是单调递增,在(0上是递减的,因为n ∈N +,所以当n =5或6时f (n )有最小值. 又因为55355a =,66321662a ==, 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累加法.还考查函数的思想,构造函数利用导数判断函数单调性.19.或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为:或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析:32m ≤-或32m ≥ 【解析】 【分析】先化简不等式,再变量分离转化为对应函数最值问题,最后根据二次函数最值以及解不等式得结果. 【详解】2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+Q22222()14(1)(1)14(1)xm x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m+---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴3m ≤-或3m ≥ 故答案为:32m ≤-或32m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值,考查综合分析求解能力,属中档题.20.2π3【解析】∵由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=7:8:13∴a :b :c=7:8:13令a=7kb=8kc=13k (k>0)利用余弦定理有cosC=a2+b2-c22ab=49k2+64 解析:【解析】 ∵由正弦定理可得,∴,令,,(),利用余弦定理有,∵,∴,故答案为.三、解答题21.(1)13n n a -=,;(2)()223n nn T +=-.【解析】 【分析】(Ⅰ)由数列递推式求出a 1,在数列递推式中取n=n-1得另一递推式,作差后得到数列{a n }为等比数列,则数列{a n }的通项公式可求,再由b 1=3a 1,b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差,则{b n }的通项公式可求;(Ⅱ)把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3nn nb c a =,直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n . 【详解】(Ⅰ)当1n =时,111231,1S a a =-∴=当2n ≥时,()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---,即13nn a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项,3为公比的等比数列,13n n a -∴=.设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,(Ⅱ)1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++L ① 则234113572133333n n n T ++=++++L ②, 由①—②得,2312111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 142433n n ++=+∴223n n n T +=- . 【点睛】本题考查数列递推式,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的前n 项和,是中档题. 22.(1)56π;(27【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC的面积S2得到b=c,再利用余弦定理得到ac,再利用正弦定理求出sin C的值.【详解】(1)因为asin B=-bsin)3Aπ+(,所以由正弦定理得sin A=-sin)3Aπ+(,即sin A=-12sin A,化简得tan A因为A∈(0,π),所以A=56π.(2)因为A=56π,所以sin A=12,由S2=12bcsin A=14bc,得bc,所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2,则ac,由正弦定理得sin C=sinc Aa=.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.23.(1)23n na=(2)3231443n nnT+=-⋅【解析】【分析】(1)由题可得1231312n na a a a a+++++=-L,与已知作差可得13322n n na a a+-=-+,整理可得113nnaa+=,进而利用等比数列的通项公式求解即可;(2)由(1)可得23n n nn nb a=⋅=,利用错位相减法求和即可.【详解】解:(1)当2n≥时,由1231312n na a a a a-++++=-L,则1231312n na a a a a+++++=-L,两式相减得13322n n na a a+-=-+,即11322n na a+=,∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-,得229a =, ∴2113a a =, 综上,对任意1n ≥,113n n a a +=, ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列, ∴23n n a =. (2)由(1)23n n n n nb a =⋅=, ∴231111233333n n T n =+⋅+⋅++⋅L , 2311111112(1)33333n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L , ∴231211111333333n n x T n +=++++-⋅L 1111233nn n +⎛⎫=--⎪⎝⎭, 则3231443n n n T +=-⋅ 【点睛】本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和. 24.(Ⅰ)6π;(Ⅱ)2+. 【解析】分析:(12sin cos B B A =. (2)由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解.cos 2sin cos cos A C B A C A =()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形内角,所以sin 0B ≠,于是cos A = 又A 为三角形内角,所以6A π=.(Ⅱ)由余弦定理:2222cos a b c bc A =+-得:224222b c bc bc =+-≥,所以(42bc ≤+,所以1sin 22S bc A ==. 点睛:本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用,属于中档题.25.(1)23n a n =-,14n n b -=;(2)4(1)nnT n =+【解析】 【分析】(1)将1250,15a a S +==转化为1,a d 的形式列方程组,解方程组求得1,a d 的值,进而求得数列{}n a 的通项公式,由此化简131(2)n n n n n nb a b a b ++++=,判断出数列{}n b 是等比数列,进而求得数列{}n b 的通项公式.(2)利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,所以11120,1,2,23545152n a d a d a n a d +=⎧⎪∴=-==-⎨⨯+=⎪⎩; 由1311(2),(6n 12n 1)b 4nb n n n n n n n n nb a b a b nb +++++=⇒=--+=,14n nb b +∴=,所以数列{}n b 是以4为公比,首项121b a ==的等比数列,14.n n b -∴= (2)因为2111111(),(5)log (22)(2)41n n n c a b n n n n +===-+⋅++1211111111b b b (1).42233414(n 1)n n nT n n ∴=+++=-+-+-++-=++L L【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查裂项求和法,考查运算求解能力,属于中档题. 26.(1)72(2)3a >- 【解析】 【分析】(1)由题得()122f x x x=++,再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值;(2)等价于22y x x a =++>0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】 (1)当12a =时,()122f x x x =++, ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数,∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. (2)在区间[)1,+∞上,()220x x af x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立.设22y x x a =++,[)1,x ∈+∞,因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增, ∴当1x =时,min 3y a =+,于是,当且仅当min 30y a =+>时,函数()0f x >恒成立, 故3a >-. 【点睛】本题主要考查对勾函数的性质,考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2020-2021高中必修五数学上期中试卷(及答案)
那么: =4a+ .
∵a<0,
∴-(4a+ )≥2 = ,即4a+ ≤-
故 的最大值为 .
故选D.
点睛:本题主要考查基本不等式,其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.
【详解】
∵对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+1),
∴n≥2时,Sn+1﹣Sn=Sn﹣Sn﹣1+2,
∴an+1﹣an=2.
∴数列{an}在n≥2时是等差数列,公差为2.
则 =1+9×2 91.
故答案为91
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.91【解析】【分析】由Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+1)可得Sn+1﹣Sn=Sn﹣Sn﹣1+2可得an+1﹣an=2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n>1n∈N*满足Sn+
解析:91
【解析】
【分析】
由Sn+1+Sn﹣1=2(Sn+1),可得Sn+1﹣Sn=Sn﹣Sn﹣1+2,可得an+1﹣an=2.利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
3.C
解析:C
【解析】
对于 ,若 , ,则 不成立;对于 ,若 ,则 不成立;对于 ,若 ,则 ,则 正确;对于 , , ,则 不成立.
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(14)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(14)一、选择题1.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值是( )A .4B .2C .2-D .4-2.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸 B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸 3.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .364.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +5.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .40376.已知:0x >,0y >,且211x y+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .()4,2- B .(][),42,-∞-+∞U C .()2,4-D .(][),24,-∞-⋃+∞7.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若3132312log log log 12a a a ++⋯+=,则67a a =( ) A .1B .3C .6D .98.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .403720209.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为56米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为()(米 /秒)A .110B .310C .12D .71010.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 A .a b c << B .c a b << C .c b a <<D .b a c <<11.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++12.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,60A =︒,3a=4b =,则B =( ) A .30B =︒或150B =︒ B .150B =︒ C .30B =︒ D .60B =︒二、填空题13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,22a =,且对于任意1n >,*n N ∈,满足11n n S S +-+=2(1)n S +,则10S 的值为__________14.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 15.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 16.已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得122m n a a a ⋅=,则14m n+的最小值为__________. 17.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 18.设等差数列{}na 的前n 项和为n S .若35a =,且1S ,5S ,7S 成等差数列,则数列{}n a 的通项公式n a =____.19.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是____________ .20.已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4,则首项1a 的取值范围是__________.三、解答题21.已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列,前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列,且515=-S .(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{nS n}的前10项和.22.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin 1cos a CA=-.(1)求角A 的大小;(2)若10b c +=,ABC ∆的面积ABC S ∆=a 的值.23.已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L (*n N ∈). (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .24.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N∈,{}nb 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.25.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,234848a a a =+=,.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设4log .n n b a =证明:{}n b 为等差数列,并求{}n b 的前n 项和n S .26.在ABC ∆角中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若asinB =. (1)求角A ;(2)若ABC ∆的面积为5a =,求ABC ∆的周长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ,然后计算出结果. 【详解】根据题意,当1n =时,11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时,112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =,故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.2.B解析:B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1.若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则实数a 的取值范围是( )A .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(]0,1C .41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2.《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为( ) A .一尺五寸B .二尺五寸C .三尺五寸D .四尺五寸3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或54.若ABC V 的对边分别为,,a b c ,且1a =,45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =( ) A .5B .25CD.5.已知等比数列{}n a 中,31174a a a =,数列{}n b 是等差数列,且77b a =,则59b b +=( ) A .2B .4C .16D .8 6.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .137.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .40378.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )AB .34 C .32或2D .34或29.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 A .a b c << B .c a b <<C .c b a <<D .b a c <<10.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC V 的面积,若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-,则B ∠=A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒11.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( ) A .95B .100C .135D .8012.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-二、填空题13.已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-,则数列{}n b 的前100的项和为______. 14.等差数列{}n a 中,1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =,则n=__ 15.已知等差数列{}n a 的前n 项n S 有最大值,且871a a <-,则当0n S <时n 的最小值为________.16.数列{}n b 中,121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈,则2016b =___________.17.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是__________. 18.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是____________ .19.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e +=,则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________.20.已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__________.三、解答题21.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式;(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .22.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .23.如图,在平面四边形ABCD 中,42AB =,22BC =,4AC =.(1)求cos BAC ∠;(2)若45D ∠=︒,90BAD ∠=︒,求CD .24.若数列{}n a 是递增的等差数列,它的前n 项和为n T ,其中39T =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n S ,若对任意*n N ∈,24n S a a ≤-恒成立,求a 的取值范围.25.在ABC V 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若2a =,求ABC V 面积的最大值.26.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N∈,{}nb 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D 解析:D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形,我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…,再对a 值进行分类讨论,找出满足条件的实数a 的取值范围. 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示.由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭,由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,. 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选:D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.2.B解析:B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ,可得{}n a 为等差数列,根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系,求出通项公式,即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,则()19959985.52a a S a +===尺,所以59.5a =尺,由题知1474331.5a a a a ++==, 所以410.5a =,所以公差541d a a =-=-, 所以1257 2.5a a d =+=尺。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题附答案
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题附答案一、选择题1.下列命题正确的是 A .若 a >b,则a 2>b 2 B .若a >b ,则 ac >bc C .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b2.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20473.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A .2B .-2C .12D .12-4.若正数,x y 满足20x y xy +-=,则32x y+的最大值为( ) A .13B .38C .37D .15.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .136.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +7.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A.2 B .34 C .32或D .348.,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为 ( ) A .256B .25C .253D .59.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .4037202010.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若341118a a a ++=则11S =( ) A .9B .22C .36D .6611.设{}n a 是首项为1a ,公差为-2的等差数列,n S 为其前n 项和,若1S ,2S ,4S 成等比数列,则1a = ( ) A .8B .-8C .1D .-112.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-二、填空题13.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知274sincos 222A B C +-=,且5,7a b c +==,则ab 为 .14.设是定义在上恒不为零的函数,对任意,都有,若,,,则数列的前项和的取值范围是__________.15.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >,则实数p 的取值范围是__________.16.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+,不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立,则实数m 的最大值是 ____________17.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:__________日相逢?18.如图在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是___________.19.在△ABC 中,已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大小..为________.20.设0x >,0y >,4x y +=,则14x y+的最小值为______. 三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=,24612a a a ++=,等比数列{}n b 公比1q >,且2420b b a +=,38b a =.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n c ,满足4nn n c b =-,且数列{}n c 的前n 项和为n B ,求证:数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <. 22.设数列{}n a 满足12a = ,12nn n a a +-= ;数列{}n b 的前n 项和为n S ,且2132n S n n =-()(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若n n n c a b = ,求数列{}n c 的前n 项和n T . 23.在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.(1)求数列{}n a 的通项公式:(2)设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.24.ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos cos a C c A a +=. (1)求证:A B =; (2)若6A π=,ABC V 3,求ABC V 的周长.25.已知函数()[)22,1,x x a f x x x++=∈+∞.(1)当12a =时,求函数()f x 的最小值;(2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围. 26.已知在等比数列{a n }中,2a =2,,45a a =128,数列{b n }满足b 1=1,b 2=2,且{12n n b a +}为等差数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】对于A ,若1a =,1b =-,则A 不成立;对于B ,若0c =,则B 不成立;对于C ,若a b >,则33a b >,则C 正确;对于D ,2a =,1b =-,则D 不成立.故选C2.C解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.3.D解析:D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a .,【详解】因为124S S S ,,成等比数列,所以2214S S S =,即211111(21)(46).2a a a a -=-=-,故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等比数列的性质,解题方法是基本量法.本题属于基础题.4.A解析:A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >,212y x =+-,从而33222(2)52x y x x =+-++-,再根据基本不等式可得出3123x y ≤+,则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >,0y >,20x y xy +-=,2122x y x x ∴==+--,0x >, 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--,22(2)5592x x -++≥=-Q , 当且仅当122x x -=-,即3x =时取等号, 31232(2)52x x ∴≤-++-,即3123x y ≤+,32x y ∴+的最大值为13. 故选:A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法,注意说明等号成立的条件,考查了计算和推理能力,属于中档题.5.D解析:D 【解析】 【详解】试题分析:∵351024a a a ++=,∴410224a a +=,∴4102a a +=,∴1134101313()13()1322a a a a S ++===,故选D. 考点:等差数列的通项公式、前n 项和公式.6.A解析:A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则解得,故选A.7.C解析:C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=,解得a 值,由已知可求中线12BD c =,在BCD V 中,由余弦定理即可计算AB 边上中线的长. 【详解】解:3,33,30b c B ===o Q ,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得23927233a a =+-⨯⨯,整理可得:29180a a -+=,∴解得6a =或3.Q 如图,CD 为AB 边上的中线,则1332BD c ==,∴在BCD V 中,由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅,可得:22233333626CD =+-⨯222333333()23CD =+-⨯, ∴解得AB 边上的中线32CD =37. 故选C .【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.8.A解析:A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域,由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值,进而找到a b ,之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++,化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(8)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(8)一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为( ) A .49B .50C .99D .1002.设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值是( )A .4B .2C .2-D .4-4.已知数列{}n a 满足11a =,12nn n a a +=+,则10a =( )A .1024B .2048C .1023D .20475.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若3572a a +=,则13S =( ) A .49B .91C .98D .1826.已知等比数列{}n a 中,11a =,356a a +=,则57a a +=( ) A .12B .10C.D.7.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .168.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111()(233n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )A .32nn a n =+B .23n nn a +=C .a n =n+2D .a n =( n+2)·3n9.20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6,z 的最小值为( )A .0B .-1C .-2D .-310.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,若3132312log log log 12a a a ++⋯+=,则67a a =( ) A .1B .3C .6D .911.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( ) A .34B .56C .78D .2312.已知数列{}n a 中,3=2a ,7=1a .若数列1{}na 为等差数列,则9=a ( ) A .12B .54C .45D .45-二、填空题13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥,则m =______.14.已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,则2z x y =-的最小值为__________.15.设数列{}()1,n a n n N*≥∈满足122,6aa ==,且()()2112n n n n a a a a +++---=,若[]x 表示不超过x 的最大整数,则122019201920192019[]a a a +++=L ____________. 16.已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________.17.已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则112n na a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________.18.若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧,则a 的取值范围是________(用集合表示).19.已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤,,,则22x y +的取值范围是 .20.已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+15项的和等于_______.三、解答题21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .22.已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈,数列{n b }满足n b =2n n a .(I)求证数列{n b }是等差数列,并求数列{n a }的通项公式; (Ⅱ)设2log n n n c a =,数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ,求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1,n a ,n S 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12n n n a b na =+,求数列{}n b 的前n 项和n T . 24.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac ≤13; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.25.已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26.设函数2()1f x mx mx =--.(1)若对于一切实数x ,()0f x <恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对于[1,3]x ∈,()0f x <恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】试题分析:当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点:1求数列的通项公式;2数列求和问题.2.B解析:B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅=,整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列, 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,33B AC ππ=+=,再利用三角公式转化,属于中档题.3.C解析:C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ,然后计算出结果. 【详解】根据题意,当1n =时,11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时,112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =,故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.4.C解析:C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+,所以12nn n a a +-=,因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ,选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和,考查基本分析求解能力,属基础题.5.B解析:B 【解析】∵3572a a +=,∴11272(4)a d a d ++=+,即167a d +=,∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=,故选B .6.A解析:A 【解析】由已知24356a a q q +=+=,∴22q =,∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=,故选A.7.A解析:A 【解析】 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线3y x =,结合图象,可得最值. 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域(如图ABC V ),变形目标函数可得3y x z =-,平移直线3y x =可知, 当直线经过点(2,2)A 时,截距z -取得最大值, 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.8.B解析:B 【解析】试题分析:由题可知,将111()(233n n n a a n -=+≥,两边同时除以,得出,运用累加法,解得,整理得23n nn a +=; 考点:累加法求数列通项公式9.D解析:D 【解析】作出不等式对应的平面区域, 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ,由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时,直线y=−x+z 的截距最大, 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时,直线y=−x+z 的截距最小,此时z 最小.由6{0x y x y +=-=得A(3,3), ∵直线y=k 过A ,∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z=−6+3=−3, 本题选择D 选项.点睛:求二元一次函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式:b zy x a b =-+,通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.10.D解析:D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则,可知()31212log ...12a a a =,再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =,最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ,可得31212log 12a a a =L ,进而可得()6121212673a a a a a ==L ,679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质,属于中档题型,意在考查转化与化归和计算能力.11.A解析:A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,根据余弦定理求出最小角的余弦值,然后再由正弦定理求得最小角的余弦值,进而得到n 的值,于是可得最小角的余弦值. 【详解】由题意,设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈,对应的三角分别为,,A B C , 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===, 所以2cos 2n A n+=. 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++.所以2522(2)n n n n ++=+,解得4n =, 所以453cos 2(42)4A +==+,即最小角的余弦值为34. 故选A . 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边,其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程,使得问题得以求解,考查正余弦定理的应用及变形、计算能力,属于基础题.12.C解析:C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差,然后再求出结果 【详解】依题意得:732,1a a ==,因为数列1{}na 为等差数列,所以7311111273738--===--a a d ,所以()9711159784a a =+-⨯=,所以945=a ,故选C .【点睛】本题考查了求等差数列基本量,只需结合题意先求出公差,然后再求出结果,较为基础二、填空题13.5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为:【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析:5【分析】设等差数列的()n An n m S =-,再由12m S -=-,13m S +=,列出关于m 的方程组,从而得到m . 【详解】因为0m S =,所以设()n An n m S =-, 因为12m S -=-,13m S +=, 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩.故答案为:5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用,考查从函数的角度认识数列问题,求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件,从而使问题的计算量大大减少.14.-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析:-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0,3)时,直线的纵截距2z-最大,z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 15.2018【解析】【分析】数列{an}满足a1=2a2=6且(an+2﹣an+1)﹣(an+1﹣an )=2利用等差数列的通项公式可得:an+1﹣an =2n+2再利用累加求和方法可得an =n (n+1)利解析:2018 【解析】数列{a n }满足a 1=2,a 2=6,且(a n +2﹣a n +1)﹣(a n +1﹣a n )=2,利用等差数列的通项公式可得:a n +1﹣a n =2n +2.再利用累加求和方法可得a n =n (n +1).利用裂项求和方法即可得出. 【详解】∵()()2112n n n n a a a a +++---=,∴数列{a n +1﹣a n }为等差数列,首项为4,公差为2. ∴a n +1﹣a n =4+2(n ﹣1)=2n +2.∴a n =(a n ﹣a n ﹣1)+(a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+(a 2﹣a 1)+a 1 =2n +2(n ﹣1)+…+2×2+2()122n n +=⨯=n (n +1).∴12201911111111111223201920202020a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L . ∴][][122019201920192019201912019201820202020a a a ⎡⎤+++=-=+⎢⎥⎣⎦L =2018. 故答案为:2018. 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16.【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题【解析】 【分析】 利用余弦定理得到cos C ,进而得到sin C ,结合正弦定理得到结果. 【详解】925491cos ,sin 3022C C +-==-=,由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】本题考查解三角形的有关知识,涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式,考查恒等变形能力,属于 基础题.17.【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为:4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简解析:【解析】 【分析】根据等比数列通项公式,求出()()12112122212n n n n aa a a ++--++=--+=L ,计算()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】由题2nn a =, ()()12112122212n n n n a a a a ++--++=--+=L()22111111222222n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L()2112224n n aa a a +-+++===L .故答案为:4 【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用,涉及等比数列求和,关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式,准确进行指数幂的运算化简.18.或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题解析:{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】根据同侧同号列不等式,解得结果. 【详解】因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧,所以(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <,即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题,考查基本应用求解能力.属基本题.19.【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析:4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域,由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值,为2455=,原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13,因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线(一般不涉及虚线),其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等,最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.20.【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为:即:故答案为:3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还 解析:3【解析】 【分析】 将1n n a n+=+1n n +15项的和. 【详解】利用分母有理化得()()11111nn nn n n nn a nn n===++-+++++设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,所以前15项的和为:151215S a a a =+++L1=L1= 413=-= 即:153S =. 故答案为:3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和,还运用分母有理化化简通项公式,属于基础题.三、解答题21.(1)21n a n =+;(2)()1212nn +-⋅【解析】 【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义,求出首项和公差,由此能求出21n a n =+.(2()111)2,2212n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅,由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T . 【详解】解:(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠, 且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩, 解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+,21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列,()1112,2212n n n nn n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得:()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,还考查了错位相减法求和,考查计算能力,属于中档题。
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(及答案)
2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(及答案)一、选择题1.已知等比数列{}n a ,11a =,418a =,且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<,则k 的取值范围是( ) A .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2.设x ,y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩,若Z ax y =+的最大值为29a +,最小值为2a +,则实数a 的取值范围是( ).A .(,7]-∞-B .[3,1]-C .[1,)+∞D .[7,3]--3.已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,则n S 的最小正值为( ) A .1SB .19SC .20SD .37S4.下列函数中,y 的最小值为4的是( )A .4y x x=+B.2y =C .4x x y e e -=+D .4sin (0)sin y x x xπ=+<< 5.已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ,且1514a a +=-,927S =-,则使得n S 取最小值时的n 为( ). A .1B .6C .7D .6或76.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .167.在斜ABC ∆中,设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=,CD 是角C 的内角平分线,且CD b =,则cos C = ( )A .18B .34C .23 D .168.20,{0,0x y z x y x y x y y k+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6,z 的最小值为( )A .0B .-1C .-2D .-39.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°,第一排和最后一排的距离为102米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(米/秒)A .3323B .5323C .323D .832310.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,33c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A .372 B .34 C .32或37D .3437 11.已知数列{an}的通项公式为an =2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A .89B .23C .6481D .12524312.已知正数x 、y 满足1x y +=,则141x y++的最小值为( )A .2B .92C .143D .5二、填空题13.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知274sincos 222A B C +-=,且5,7a b c +==,则ab 为 .14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且136S =,则91032a a -=__________.15.若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则z =2x +y 的最大值是_____.16.设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称,对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω,则CD 的最小值为__________.17.已知数列的前项和,则_______.18.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.19.若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234yx m m +<-有解,则实数m 的取值范围是____________ .20.在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21.为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD .其中AB =3百米,AD =5百米,且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC ,BD (路的宽度忽略不计),设∠BAD=θ,θ∈(2π,π).(1)当cos θ=55-时,求小路AC 的长度; (2)当草坪ABCD 的面积最大时,求此时小路BD 的长度.22.已知{a n }是等差数列,{b n }是各项均为正数的等比数列,且b 1=a 1=1,b 3=a 4,b 1+b 2+b 3=a 3+a 4.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .23.已知等差数列{}n a 中,235220a a a ++=,且前10项和10100S =. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 24.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N∈,{}nb 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.25.在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,则34118a q a ==,解得12q =, ∴112n n a -=,∴1121111222n n nn n a a +--=⨯=, ∴数列1{}n n a a +是首项为12,公比为14的等比数列,∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-, ∴23k ≥.故k 的取值范围是2[,)3+∞.选D .2.B解析:B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域(如图阴影部分),目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距,即y ax z =-+,(1)当0a <时,直线z ax y =+的斜率为正,要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得,则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率, 即3a -≤,30a ∴-≤<.(2)当0a >时,直线z ax y =+的斜率为负,易知最小值在A 处取得,要使得z 的最大值在C 处取得,则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-, 01a ∴<≤.(3)当0a =时,显然满足题意. 综上:31a -≤….故选:B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.3.D解析:D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <,对20191<-a a 进行化简,运用等差数列的性质进行判断,求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列,若20191<-a a ,则2019190a a a +<, 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值,可得0d <,19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>, 31208190a a a a ∴+=+<,380S <,则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用,需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题,本题属于中档题,需要掌握解题方法.4.C解析:C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则:“一正,二定,三相等”,对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误,x Q 可能为负数,没有最小值;选项B错误,化简可得2y ⎫=,由基本不等式可得取等号的条件为2222x x +=+,即21x =-,显然没有实数满足21x =-;选项D 错误,由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =, 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤; 选项C 正确,由基本不等式可得当2x e =, 即ln 2x =时,4xxy e e -=+取最小值4,故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).5.B解析:B 【解析】试题分析:由等差数列的性质,可得,又,所以,所以数列的通项公式为,令,解得,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得取最小值时的为,故选B .考点:等差数列的性质.6.A解析:A 【解析】 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线3y x =,结合图象,可得最值. 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域(如图ABC V ),变形目标函数可得3y x z =-,平移直线3y x =可知, 当直线经过点(2,2)A 时,截距z -取得最大值, 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.7.A解析:A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=,由cos 0C ≠可得2a b =;利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =,利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得:22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即:2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项:A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识;关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.8.D解析:D 【解析】作出不等式对应的平面区域, 由z=x+y,得y=−x+z,平移直线y=−x+z ,由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时,直线y=−x+z 的截距最大, 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时,直线y=−x+z 的截距最小,此时z 最小. 由6{x y x y +=-=得A(3,3),∵直线y=k 过A , ∴k=3. 由3{20y k x y ==+=,解得B(−6,3).此时z 的最小值为z =−6+3=−3, 本题选择D 选项.点睛:求二元一次函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式:b zy x a b =-+,通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.9.B解析:B 【解析】 【分析】如解析中图形,可在HAB ∆中,利用正弦定理求出HB ,然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度,最后可得速度. 【详解】如图,由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒,∴30AHB ∠=︒,在HAB ∆中,sin sin HB AB HAB AHB =∠∠,即2sin 45sin 30HB =︒︒,20HB =.∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=,103534623v ==(米/秒). 故选B . 【点睛】本题考查解三角形的应用,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理,解题时要根据条件选用恰当的公式,适当注意各个公式适合的条件.10.C解析:C 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得29180a a -+=,解得a 值,由已知可求中线12BD c =,在BCD V 中,由余弦定理即可计算AB 边上中线的长. 【详解】解:3,33,30b c B ===o Q ,∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得23927233a a =+-⨯⨯⨯,整理可得:29180a a -+=,∴解得6a =或3.Q 如图,CD 为AB 边上的中线,则13322BD c ==,∴在BCD V 中,由余弦定理2222cos CD a BD a BD B =+-⋅⋅,可得:222333336()26CD =+-⨯⨯⨯,或222333333()23CD =+-⨯⨯⨯, ∴解得AB 边上的中线32CD =或372. 故选C .【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.解析:A 【解析】解法一 a n +1-a n =(n +1)n +1-nn=·n,当n <2时,a n +1-a n >0,即a n +1>a n ; 当n =2时,a n +1-a n =0,即a n +1=a n ; 当n >2时,a n +1-a n <0,即a n +1<a n . 所以a 1<a 2=a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×2=.故选A.解法二 ==,令>1,解得n <2;令=1,解得n =2;令<1,解得n >2.又a n >0,故a 1<a 2=a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2=a 3=2×2=.故选A.12.B解析:B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=,再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘,利用基本不等式可求出141x y++的最小值. 【详解】1x y +=Q ,所以,(1)2x y ++=,则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=++=++++g …, 所以,14912x y ++…, 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩,即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时,等号成立,因此,141x y ++的最小值为92, 故选B .本题考查利用基本不等式求最值,对代数式进行合理配凑,是解决本题的关键,属于中等题.二、填空题13.6【解析】试题分析:即解得所以在中考点:1诱导公式余弦二倍角公式;2余弦定理解析:6 【解析】 试题分析:274sincos 222A B C +-=Q ,274sin cos 222C C π-∴-=,274cos cos 222C C ∴-=,()72cos 1cos 22C C ∴+-=,24cos 4cos 10C C ∴-+=,即()22cos 11C -=,解得1cos 2C =. 所以在ABC ∆中60C =o .2222cos c a b ab C =+-Q ,()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o,()223c a b ab ∴=+-,()22257633a b c ab +--∴===.考点:1诱导公式,余弦二倍角公式;2余弦定理.14.【解析】分析:根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解详解:∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛:等差数列的项的下标和的性质即若则这个性质经常和前n 项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可解析:613. 【解析】分析:根据等差数列中下标和的性质和前n 项和公式求解. 详解:∵等差数列{}n a 中136S =, ∴()11371313132622a a a S +⨯===, ∴7613a =. 设等差数列{}n a 的公差为d ,则()9109109976322213a a a a a a d a -=-+=-==. 点睛:等差数列的项的下标和的性质,即若()*,,,,m n p q m n p q Z+=+∈,则m n p q a a a a +=+,这个性质经常和前n 项和公式()12n n n a a S +=结合在一起应用,利用整体代换的方法可使得运算简单.15.5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析:5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图,由2z x y =+知,2y x z =-+,所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时, 目标函数取得最大值, 由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -,结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时, 目标函数取得最大值2315z =⨯-=,故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有:所以区域内的点与区解析:25【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ,如图阴影部分,由三角形ABC 构成,其中(11),(30),(12)A B C -,,, ,作出直线20x y += ,显然点A 到直线20x y +=的距离最近,由其几何意义知,区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍,由点到直线的距离公式有:22215521d -==+ ,所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25,即25CD = .点睛:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.17.2【解析】【分析】【详解】由Sn =n2+n (n ∈n*)当n =1a1=S1=1+1=2当n≥2时an =Sn ﹣Sn ﹣1=n2+n ﹣(n ﹣1)2-(n ﹣1)=2n 当n =1时a1=2×1=2成立∵an =2n解析:2 【解析】 【分析】 【详解】由S n =n 2+n (n ∈n *), 当n =1,a 1=S 1=1+1=2,当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣(n ﹣1)2-(n ﹣1)=2n , 当n =1时,a 1=2×1=2,成立, ∵a n =2n (n ∈n *), ∴22,∴2,故答案为2.18.【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析:[]20,30【解析】 【分析】先求导,判断函数的单调性得到函数的最小值,由题意可得x a ()f x 达到最小,得到()()56f f ≤,()()54f f ≤,解得即可.【详解】 ∵()3af x x x=++,*x ∈N , ∴()2221a x af x x x-'=-=, 当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 为增函数, 最小值为()()min 14f x f a ==+,不满足题意, 当0a >时,令()0f x '=,解得x a =当0x a <<()0f x '<,函数()f x 在区间(a 上单调递减,当x a ()0f x '>,函数()f x 在区间),a +∞上单调递增,∴当x a =()f x 取最小值,又*x ∈N ,∴x a ()f x 达到最小, 又由题意知,5x =时取到最小值, ∴56a <<或45a <≤,∴()()56f f ≤且()()54f f ≤,即536356a a ++≤++且534354a a++≤++, 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为:[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系,以及参数的取值范围,属于中档题.19.【解析】试题分析:因为不等式有解所以因为且所以当且仅当即时等号是成立的所以所以即解得或考点:不等式的有解问题和基本不等式的求最值【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用不等式的有解问题在应 解析:()(),14,-∞-⋃+∞【解析】试题分析:因为不等式234y x m m +<-有解,所以2min ()34yx m m +<-,因为0,0x y >>,且141x y+=,所以144()()224444y y x y x x x y y x +=++=++≥=,当且仅当44x y y x =,即2,8x y ==时,等号是成立的,所以min ()44yx +=,所以234m m ->,即(1)(4)0m m +->,解得1m <-或4m >.考点:不等式的有解问题和基本不等式的求最值.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式在最值中的应用,不等式的有解问题,在应用基本不等式求解最值时,呀注意“一正、二定、三相等”的判断,运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或是积为定值,难点在于如何合理正确的构造出定值,对于不等式的有解问题一般选用参数分离法,转化为函数的最值或借助数形结合法求解,属于中档试题.20.【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则解析:5【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-, 即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21.(1)AC =2)BD =【解析】 【分析】(1)在△ABD 中,由余弦定理可求BD 的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinθ,根据正弦定理可求sin∠ADB 35=,进而可求cos∠ADC 的值,在△ACD 中,利用余弦定理可求AC 的值.(2)由(1)得:BD 2=14﹣可求.S ABCD =7152+sin (θ﹣φ),结合题意当θ﹣φ2π=时,四边形ABCD 的面积最大,即θ=φ2π+,此时cosφ=,sinφ=,从而可求BD 的值.【详解】(1)在ABD ∆中,由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅,得214BD θ=-,又cos 5θ=-,∴BD =∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ===由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠得:32sinADB=∠,解得:3sin 5ADB ∠=,∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中,2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭,解得:AC =(2)由(1)得:214BD θ=-,2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-()()35157sin 2cos 7sin 22θθθφ=+-=+-,此时sin 5φ=,cos 5φ=,且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时,四边形ABCD 的面积最大,即2πθφ=+,此时sin 5θ=,cos 5θ=-∴21465cos 1465265BD θ⎛=-=-⨯-= ⎪⎝⎭,即26BD = 答:当5cos θ=-时,小路AC 的长度为37百米;草坪ABCD 的面积最大时,小路BD 的长度为26百米.【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,正弦定理,三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.22.(1)1,2n n n a n b -==;(2)T n =(n -1)·2n +1. 【解析】 试题分析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q ,运用等差数列和等比数列的通项公式,可得,d q 的方程组,解方程可得公差和公比,即可得到所求通项公式;(2)求得12n n n n c a b n -==⋅,运用乘公比错位相减法,结合等比数列的求和公式,化简整理即可得到所求的和. 试题解析:(1)设数列{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q , 依题意得解得d =1,q =2.所以a n =1+(n -1)×1=n ,b n =1×2n -1=2n -1. (2)由(1)知c n =a n b n =n·2n -1,则 T n =1·20+2·21+3·22+…+n·2n -1,① 2T n =2·20+2·22+…+(n -1)·2n -1+n·2n ,② ①-②得:-T n =1+21+22+…+2n -1-n·2n =-n·2n =(1-n)·2n -1, 所以T n =(n -1)·2n +1.23.(1)a n =2n -1(2)T n =21nn + 【解析】 【分析】(1)本题首先可以对235220a a a ++=化简得到14820a d +=,再对10100S =化简得到11045100a d +=,最后两式联立,解出1d a 、的值,得出结果;(2)可通过裂项相消法化简求出结果. 【详解】(1)由已知得235111248201091010451002a a a a d a d a d ++=+=⎧⎪⎨⨯+=+=⎪⎩, 解得11d 2a ==,,所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-, (2)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭,所以数列{}n b 的前n 项和11111112335212121n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭L . 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭;(2)1k=; (3)()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭;(4)()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.24.(1)32n a n =-,2nn b =,*n N ∈;(2)()143283n n +-+,*n N ∈.【解析】 【分析】(1)由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式; (2)用错位相减法求和. 【详解】(1)数列{}n b 公比为q ,则2232212b b q q +=+=,∵0q >,∴2q =,∴2nn b =,{}n a 的公差为d ,首项是1a ,则41328a a b ==-,411411112176S b ==⨯=,∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩,解得113a d =⎧⎨=⎩. ∴13(1)32n a n n =+-=-.(2)21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅,数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ,352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ,①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ,②①-②得:35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--,∴14(32)83n n n T +-+=.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和.在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时,基本量法是最基本也是最重要的方法,务必掌握,数列求和时除公式法外,有些特殊方法也需掌握:错位相减法,裂项相消法,分组(并项)求和法等等.25.(1)2π3B =;(2【解析】【试题分析】(1)先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解;(2)先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=,然后运用余弦二倍角求出7cos 8BAC ∠=,进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解:(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-, 222a c b ac ∴+=-,2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴==-=-,()0,πB ∈Q , 2π3B ∴=.(2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD=∠,得1sin 1sin 4BD B BAD AD ∠===,217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,sin 8BAC ∴∠===. 26.(Ⅰ)2n n a =或()2nn a =--(Ⅱ)12 【解析】【分析】(1)先设数列{}n a 的公比为q ,根据题中条件求出公比,即可得出通项公式;(2)根据(1)的结果,由等比数列的求和公式,即可求出结果.【详解】(1)设数列{}n a 的公比为q ,2754a q a ∴==, 2q ∴=±,2n n a ∴=或(2)n n a =--.(2)2q =时,()2122212612n n n S -==-=-,解得6n =; 2q =-时,()21(2)21(2)126123n n n S --⎡⎤==--=⎣⎦+, n 无正整数解;综上所述6n =.【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于基础题型.。
2020-2021高中必修五数学上期中试题(带答案)(10)
2020-2021高中必修五数学上期中试题(带答案)(10)一、选择题1.定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数: ①()3f x x =;②()xf x e =;③()f x x =;④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④2.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A .10B .12C .31log 5+D .32log 5+ 3.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .364.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .135.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =,则a cb+的值为( ) A .2B 2C 2D .46.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) A .7B .5C .5-D .7-7.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,33c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A .372B .34C .32或372D .34或3728.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数,且最大的内角是最小内角的2倍,则最小角的余弦值为( ) A .34B .56C .78D .239.若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立,则实数m 的最大值为( ) A .9B .92C .5D .5210.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++11.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是 A .10B .12?C .14D .1612.已知{}n a 是等比数列,22a =,514a =,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=( ) A .()1614n--B .()1612n--C .()32123n -- D .()32143n -- 二、填空题13.已知数列111112123123n+++++++L L L ,,,,,,则其前n 项的和等于______. 14.数列{}n a 满足11a =,对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++,则122016111a a a +++=L _________. 15.已知数列的前项和,则_______.16.在无穷等比数列{}n a 中,123,1a a ==,则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______. 17.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+,若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >,则实数p 的取值范围是__________.18.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______. 19.已知三角形中,边上的高与边长相等,则的最大值是__________.20.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:__________日相逢?三、解答题21.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C的对边,cos sin 0a C C b c --=.(1)求A .(2)若2a =,ABC △b ,c .22.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 23.在ABC ∆ 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=(1) 求sin sin CA的值 (2) 若1cos ,24B b == ,求ABC ∆的面积. 24.ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos cos a C c A a +=. (1)求证:A B =; (2)若6A π=,ABC V,求ABC V 的周长.25.已知数列{}n a 满足:1=1a ,()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=. (1)证明:数列{}2n b +为等比数列;(2)求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .26.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()*n S n N∈,{}nb 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,验证()()1n n f a f a +是否为非零常数,由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =,()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭,该函数为“保等比数列函数”;对于②中的函数()xf x e =,()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数,该函数不是“保等比数列函数”; 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===,该函数为“保等比数列函数”;对于④中的函数()ln f x x =,()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数,该函数不是“保等比数列函数”.故选:C. 【点睛】本题考查等比数列的定义,着重考查对题中定义的理解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2.A解析:A 【解析】 【分析】利用对数运算合并,再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(6)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷及答案(6)一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为( ) A .49B .50C .99D .1002.若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则实数a 的取值范围是( )A .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .(]0,1C .41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=( )A .10B .12C .31log 5+D .32log 5+ 4.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .365.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .136.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前n 项和n S =( )A .2744n n +B .2533n n+C .2324n n+D .2n n +7.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .403720208.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和,第一排和最后一排的距离为56米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为()(米 /秒)A .110B .310C .12D .7109.在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅,则ABC V 的形状为()A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形10.已知正数x 、y 满足1x y +=,则141x y++的最小值为( )A .2B .92C .143D .511.等比数列{}n a 的前三项和313S =,若123,2,a a a +成等差数列,则公比q =( ) A .3或13- B .-3或13C .3或13D .-3或13-12.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-二、填空题13.数列{}n a 满足11a =,对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++,则122016111a a a +++=L _________. 14.已知数列{}n a 满足11a =,111n na a +=-+,*n N ∈,则2019a =__________.15.若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩,前n 项和为n S ,则lim n n S →∞=______. 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且1n n S a λ=-(λ为常数).若数列{}n b 满足2n n a b n =-920n +-,且1n n b b +<,则满足条件的n 的取值集合为________.17.数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为_____.18.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:__________日相逢? 19.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 20.已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤,,,则22x y +的取值范围是 .三、解答题21.已知函数()cos f x x x =-. (1)求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域; (2)在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求a b 的取值范围. 22.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求A ; (2)若,b c 成等差数列,ABC ∆的面积为a . 23.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+,.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 24.已知{a n }是等差数列,{b n }是各项均为正数的等比数列,且b 1=a 1=1,b 3=a 4,b 1+b 2+b 3=a 3+a 4.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)设c n =a n b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .25.已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是公比大于零的等比数列,且112a b ==,338a b ==.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记n n b c a =,求数列{}n c 的前n 项和n S .26.已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞.(1)当12a =时,求函数()f x 的最小值; (2)若对任意[)1,x ∈+∞,()0f x >恒成立,试求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】试题分析:当1n =时,113a S ==;当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点:1求数列的通项公式;2数列求和问题.2.D解析:D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形,我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…,再对a 值进行分类讨论,找出满足条件的实数a 的取值范围. 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示.由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭,由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,. 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形,则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选:D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.3.A解析:A 【解析】 【分析】利用对数运算合并,再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(17)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试卷(带答案)(17)一、选择题1.朱载堉(1536~1611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”.即一个八度13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为1f ,第七个音的频率为2f ,则21f f = A .1242B .1116C .82D .322.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足122n n S λ+=+,则λ的值是( )A .4B .2C .2-D .4-3.下列命题正确的是A .若 a >b,则a 2>b 2B .若a >b ,则 ac >bcC .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b4.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和,若124,,S S S 成等比数列,则1a =( ) A .2B .-2C .12D .12-5.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A 、C 两地的距离为 ( ) A .10 km B .3 kmC .105 kmD .107 km 6.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .367.已知ABC ∆中,A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且3b =,33c =,30B =︒,则AB 边上的中线的长为( )A .372B .34 C .32或37D .3437 8.当()1,2x ∈时,不等式220x mx ++≥恒成立,则m 的取值范围是( )A .()3,-+∞B .()22,-+∞C .[)3,-+∞D .)22,⎡-+∞⎣9.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .4037202010.已知x ,y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数),若目标函数z =x +3y 的最大值为8,则k =( ) A .-16B .-6C .-83D .611.在等比数列{}n a 中,21a a 2-=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,则4a 为( ) A .9B .27C .54D .8112.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{}n a ,则此数列的项数为( ) A .134B .135C .136D .137二、填空题13.已知实数x y ,满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____.14.在平面内,已知直线12l l P ,点A 是12,l l 之间的定点,点A 到12,l l 的距离分别为和,点是2l 上的一个动点,若AC AB ⊥,且AC 与1l 交于点C ,则ABC ∆面积的最小值为____.15.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=32,S 3=92,则a 1的值为________. 16.设数列{a n }的首项a 1=32,前n 项和为S n ,且满足2a n +1+S n =3(n ∈N *),则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________. 17.设a ∈R ,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =__________. 18.若已知数列的前四项是2112+、2124+、2136+、2148+,则数列前n 项和为______.19.已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,则2z x y =-的最小值为__________.20.已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为__________.三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=,24612a a a ++=,等比数列{}n b 公比1q >,且2420b b a +=,38b a =.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n c ,满足4nn n c b =-,且数列{}n c 的前n 项和为n B ,求证:数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <. 22.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,n a (*n N ∈,且2n ≥) (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)证明:当2n ≥时,12311113232n a a a na ++++<L 23.数列{}n a 对任意*n ∈N ,满足131,2n n a a a +=+=. (1)求数列{}n a 通项公式;(2)若13na nb n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求{}n b 的通项公式及前n 项和.24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1250,15a a S +==,数列{}n b 满足:12b a =,且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若211(5)log n n n c a b +=+⋅,求数列{}n c 的 前n 项和.n T25.若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和,且124,,S S S 成等比数列,24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和,求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】:先设第一个音的频率为a ,设相邻两个音之间的频率之比为q ,得出通项公式, 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍,得出公比,最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
2020-2021高中必修五数学上期中试卷带答案(10)
2020-2021高中必修五数学上期中试卷带答案(10)一、选择题1.已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,则3x y -的最小值为( )A .4B .8C .12D .162.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A 、C 两地的距离为 ( ) A .10 km B .3 kmC .105 kmD .107 km 3.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .364.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) A .7B .5C .5-D .7-5.,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为 ( ) A .256B .25C .253D .56.在ABC V 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅,则ABC V 的形状为()A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形7.若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立,则实数m 的最大值为( ) A .9B .92C .5D .528.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++9.数列{}n a 中,()1121nn n a a n ++-=-,则数列{}n a 的前8项和等于( )A .32B .36C .38D .4010.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的取值范围是( )A .()8,10B .()22,10C .()22,10D .()10,811.若0,0x y >>,且211x y+=,227x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .(8,1)-B .(,8)(1,)-∞-⋃+∞C .(,1)(8,)-∞-⋃+∞D .(1,8)-12.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若sin 23sin 0b A a B +=,3b c =,则ca的值为( )A .1B .33C .55D .77二、填空题13.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则实数m 的取值范围为_______. 14.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 15.已知数列的前项和,则_______.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =,ABC ∆的面积为2214a b +-,则ABC ∆面积的最大值为_____. 17.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.18.数列{}n b 中,121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈,则2016b =___________.19.已知三角形中,边上的高与边长相等,则的最大值是__________.20.我国古代数学名著《九章算术》里有问题:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:__________日相逢?三、解答题21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .22.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+,.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 23.已知向量11,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线,设函数()y f x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C,若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,边7BC B ==,求ABC ∆的面积. 24.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11a =,n a (*n N ∈,且2n ≥) (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:当2n ≥时,12311113232n a a a na ++++<L 25.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,234848a a a =+=,.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设4log .n n b a =证明:{}n b 为等差数列,并求{}n b 的前n 项和n S .26.等比数列{}n a 中,1752,4a a a ==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式;(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和.若126m S =,求m .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】作出可行域,变形目标函数并平移直线3y x =,结合图象,可得最值. 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域(如图ABC V ),变形目标函数可得3y x z =-,平移直线3y x =可知, 当直线经过点(2,2)A 时,截距z -取得最大值, 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选:A.【点睛】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.2.D解析:D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ,C 两地的距离即可. 【详解】因为A ,B 两地的距离为10km ,B ,C 两地的距离为20km ,现测得∠ABC =120°, 则A ,C 两地的距离为:AC 2=AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC =102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700.所以AC =107km . 故选D . 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用,考查计算能力.3.C解析:C 【解析】∵f (S n )=f (a n )+f (a n +1)-1=f[a n (a n +1)]∵函数f (x )是定义域在(0,+∞)上的单调函数,数列{a n }各项为正数∴S n =a n (a n +1)①当n=1时,可得a 1=1;当n≥2时,S n-1=a n-1(a n-1+1)②,①-②可得a n = a n (a n +1)-a n-1(a n-1+1)∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0∵a n >0,∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列,a 1=1,d=1;∴a n =1+(n-1)×1=n 即a n =n 所以故选C4.D解析:D 【解析】 【分析】由条件可得47a a ,的值,进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质,属于中档题.5.A解析:A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域,由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值,进而找到a b ,之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++,化简变形用基本不等式即可求解。
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(及答案)(6)
2020-2021高中必修五数学上期中一模试题(及答案)(6)一、选择题1.如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值,则A .111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B .111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C .111A B C ∆是钝角三角形,222A B C ∆是锐角三角形D .111A B C ∆是锐角三角形,222A B C ∆是钝角三角形2.设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,则这个三角形的形状是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形3.下列命题正确的是A .若 a >b,则a 2>b 2B .若a >b ,则 ac >bcC .若a >b ,则a 3>b 3D .若a>b ,则1a <1b4.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .35.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若3572a a +=,则13S =( ) A .49B .91C .98D .1826.已知0,0x y >>,且91x y +=,则11x y+的最小值是 A .10B .12?C .14D .167.在等差数列{}n a 中,351024a a a ++=,则此数列的前13项的和等于( ) A .16B .26C .8D .138.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) A .7B .5C .5-D .7-9.数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1,则122019111a a a ++⋯+=( ) A .20202019B .20191010C .20171010D .4037202010.若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立,则实数m 的最大值为( )A .9B .92C .5D .5211.在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n +=++,则n a =A .2ln n +B .2(1)ln n n +-C .2ln n n +D .1ln n n ++12.已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ,则数列{}n a 的通项公式为( ) A .n a n =B .2n a n =C .2n na =D .22n n a =二、填空题13.设0,0,25x y x y >>+=______.14.已知实数x y ,满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____.15.某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为:第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处,其中11x =,11y =,当2K ≥时,111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a 的整数部分,例如()2.62T =,()0.20T =.按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________. 16.已知关于x 的一元二次不等式ax 2+2x+b >0的解集为{x|x≠c},则227a b a c+++(其中a+c≠0)的取值范围为_____.17.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是__________.18.(理)设函数2()1f x x =-,对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立,则实数m 的取值范围是______. 19.在△ABC 中,已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大小..为________.20.设0x >,0y >,4x y +=,则14x y+的最小值为______. 三、解答题21.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列,求数列{}n b 前n 项和n T .22.在ABC V 中,3B π∠=,b =,________________,求BC 边上的高.从①sin 7A =, ②sin 3sin A C =, ③2a c -=这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.23.已知向量11,sin 222x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线,设函数()y f x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C,若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,边BC B ==,求ABC ∆的面积. 24.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,如果A 、B 、C 成等差数列且b =(1)当4A π=时,求ABC ∆的面积S ;(2)若ABC ∆的面积为S ,求S 的最大值.25.已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+.(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 26.在等比数列{}n a 中,()*10a n N >∈,且328aa -=,又15,a a 的等比中项为16.(1)求数列{}n a 的通项公式:(2)设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得1231111nk S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0,则111A B C ∆是锐角三角形,若222A B C ∆是锐角三角形,由,得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-,那么,2222A B C π++=,矛盾,所以222A B C ∆是钝角三角形,故选D.2.B解析:B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列,所以23sin sin sin 4B AC =⋅=,整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列,所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列, 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2313111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合,关键在于求得2,33B AC ππ=+=,再利用三角公式转化,属于中档题.3.C解析:C 【解析】对于A ,若1a =,1b =-,则A 不成立;对于B ,若0c =,则B 不成立;对于C ,若a b >,则33a b >,则C 正确;对于D ,2a =,1b =-,则D 不成立.故选C4.B解析:B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线20kx y -+=过定点()0,1,再利用k 的几何意义,只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时,k 值即可. 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1, 作可行域如图所示,,由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,得()2,4B .当定点()0,1和B 点连接时,斜率最大,此时413202k -==-, 则k 的最大值为:32故选:B . 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.5.B解析:B 【解析】∵3572a a +=,∴11272(4)a d a d ++=+,即167a d +=,∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=,故选B .6.D解析:D 【解析】 【分析】通过常数代换后,应用基本不等式求最值. 【详解】∵x >0,y >0,且9x+y=1,∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立,即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值;关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7.D解析:D 【解析】 【详解】试题分析:∵351024a a a ++=,∴410224a a +=,∴4102a a +=,∴1134101313()13()1322a a a a S ++===,故选D. 考点:等差数列的通项公式、前n 项和公式.8.D解析:D 【解析】由条件可得47a a ,的值,进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质,属于中档题.9.B解析:B 【解析】 【分析】由题意可得n ≥2时,a n -a n -1=n ,再由数列的恒等式:a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),运用等差数列的求和公式,可得a n ,求得1n a =()21n n +=2(1n -11n +),由数列的裂项相消求和,化简计算可得所求和. 【详解】解:数列{a n }满足a 1=1,对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1, 即有n ≥2时,a n -a n -1=n ,可得a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =1+2+3+…+n =12n (n +1),1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2(1n -11n +), 则122019111a a a ++⋯+=2(1-12+12-13+…+12019-12020) =2(1-12020)=20191010.故选:B . 【点睛】本题考查数列的恒等式的运用,等差数列的求和公式,以及数列的裂项相消求和,考查化简运算能力,属于中档题.10.B【解析】【分析】设f(x)1221x x=+-,根据形式将其化为f(x)()1152221x xx x-=++-.利用基本不等式求最值,可得当且仅当x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2,得到f(x)的最小值为f(13)92=,再由题中不等式恒成立可知m≤(1221x x+-)min,由此可得实数m的最大值.【详解】解:设f(x)11222211x x x x=+=+--(0<x<1)而1221x x+=-[x+(1﹣x)](1221x x+-)()1152221x xx x-=++-∵x∈(0,1),得x>0且1﹣x>0∴()11221x xx x-+≥-=2,当且仅当()112211x xx x-==-,即x13=时()11221x xx x-+-的最小值为2∴f(x)1221x x=+-的最小值为f(13)92=而不等式m1221x x≤+-当x∈(0,1)时恒成立,即m≤(1221x x+-)min因此,可得实数m的最大值为9 2故选:B.【点睛】本题给出关于x的不等式恒成立,求参数m的取值范围.着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识,属于中档题.11.A解析:A【解析】【分析】试题分析:在数列{}n a 中,11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12.B 解析:B 【解析】 【分析】()()1122n n n n +-=-的表达式,可得出数列{}n a 的通项公式. 【详解】(1)(1),(2)22n n n n n n +-=-=≥1=,所以2,(1),n n n a n =≥= ,选B.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ,常用思路是:一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为n S 的递推关系,先求出n S 与n 之间的关系,再求n a . 应用关系式11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥时,一定要注意分1,2n n =≥两种情况,在求出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13.【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析:【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +,再利用基本不等式求最值.,xy xy=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q22343xy xy xy⋅≥=, 当且仅当3xy =,即3,1x y ==时成立, 故所求的最小值为43. 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.14.7【解析】试题分析:根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A (53)B (﹣13)C (20)然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解:根据约束条件画解析:7 【解析】试题分析:根据约束条件画出可行域,得到△ABC 及其内部,其中A (5,3),B (﹣1,3),C (2,0).然后利用直线平移法,可得当x=5,y=3时,z=2x ﹣y 有最大值,并且可以得到这个最大值. 详解:根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图,得到△ABC 及其内部,其中A (5,3),B (﹣1,3),C (2,0) 平移直线l :z=2x ﹣y ,得当l 经过点A (5,3)时, ∴Z 最大为2×5﹣3=7. 故答案为7.点睛:在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证,求出最优解.15.【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时;当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为:【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析:()4031,404.【解析】【分析】根据题意,结合累加法,求得k x 与k y ,再代值计算即可.【详解】由题意知11x =,11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 解得155k k x k T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2016k =时,2016201654034031x =+⨯=; 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2016k =时,20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404.故答案为:()4031,404.【点睛】本题考查数列新定义问题,涉及累加法求通项公式,属中档题.16.(﹣∞﹣6∪6+∞)【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1ab=1即c=-b 将转为(a ﹣b )+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b >0的解集为{x|x解析:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞)【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1,ab=1, 即c=-b 将227a b a c+++转为(a ﹣b )+9a b-,利用基本不等式求得它的范围. 【详解】 因为一元二次不等式ax 2+2x+b >0的解集为{x|x≠c},由二次函数图像的性质可得a >0,二次函数的对称轴为x=1a-=c ,△=4﹣4ab=0, ∴ac=﹣1,ab=1,∴c=1a -,b=1a ,即c=-b, 则227a b a c +++=()29a b a b-+-=(a ﹣b )+9a b -, 当a ﹣b >0时,由基本不等式求得(a ﹣b )+9a b-≥6, 当a ﹣b <0时,由基本不等式求得﹣(a ﹣b )﹣9a b -≥6,即(a ﹣b )+9a b -≤﹣6, 故227a b a c+++(其中a+c≠0)的取值范围为:(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞), 故答案为(﹣∞,﹣6]∪[6,+∞).【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质,考查利用基本不等式求最值.17.【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得解析:30【解析】【详解】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=,当且仅当900x x=,即30x =时等号成立.故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.18.或【解析】【分析】先化简不等式再变量分离转化为对应函数最值问题最后根据二次函数最值以及解不等式得结果【详解】即即因为当时所以或故答案为:或【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值考查综合分析解析:2m ≤或2m ≥ 【解析】【分析】 先化简不等式,再变量分离转化为对应函数最值问题,最后根据二次函数最值以及解不等式得结果.【详解】2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+Q 22222()14(1)(1)14(1)x m x x m m∴---≤--+- 即2221(41)230m x x m +---≥ 即222123341,()2m x m x x +-≥+≥ 因为当32x ≥时22323839324x x +≤+=所以2221834134m m m +-≥∴≥∴m ≤或m ≥故答案为:2m ≤-或2m ≥ 【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及二次函数最值,考查综合分析求解能力,属中档题. 19.【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析:23π 【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 20.【解析】【分析】变形之后用基本不等式:求解即可【详解】原式可变形为:当且仅当时取等故答案为:【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 解析:94【解析】【分析】 变形14141444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭之后用基本不等式:求解即可. 【详解】 原式可变形为:()14141914544444x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当43x =,83y =时取等. 故答案为:94【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用,属基础题.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.三、解答题21.(1)21n a n =+;(2)()1212n n +-⋅【解析】【分析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义,求出首项和公差,由此能求出21n a n =+.(2()111)2,2212n n n n n n nb b a n a ---==⋅=+⋅,由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T .【详解】解:(1)Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差0d ≠,且3550S S +=,1a ,4a ,13a 成等比数列.()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩,解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+,21n a n ∴=+(2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Q 是首项为1公比为2的等比数列, ()1112,2212n n n n n n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得:()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查等差数列的前n 项和,还考查了错位相减法求和,考查计算能力,属于中档题。
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2020-2021高中必修五数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1.已知等差数列{}n a 中,10103a =,20172017S =,则2018S =( ) A .2018B .2018-C .4036-D .40362.已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根,则使0n S >成立的正整数n 的最大值是( )A .1008B .1009C .2016D .20173.已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩,若()(1)n a f n f n =++,则123100a a a a ++++=LA .0B .100C .100-D .102004.已知数列{}n a 的首项11a =,数列{}n b 为等比数列,且1n n na b a +=.若10112b b =,则21a =( )A .92B .102C .112D .1225.已知实数x ,y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩,若直线10kx y -+=经过该可行域,则实数k的最大值是( ) A .1B .32C .2D .36.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,19a =,95495S S -=-,则n S 取最大值时的n 为 A .4B .5C .6D .4或57.已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ,不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ,则a b +=( )A .-3B .1C .-1D .3 8.设函数是定义在上的单调函数,且对于任意正数有,已知,若一个各项均为正数的数列满足,其中是数列的前项和,则数列中第18项( )A .B .9C .18D .369.已知数列{a n } 满足a 1=1,且111()(233n n n a a n -=+≥,且n ∈N*),则数列{a n }的通项公式为( )A .32nn a n =+B .23n nn a +=C .a n =n+2D .a n =( n+2)·3n10.等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .2018B .2019C .4036D .403711.若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z y x =-的最大值为( ).A .8-B .4-C .1D .212.在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC V 的面积,若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-,则B ∠=A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒二、填空题13.已知实数x ,y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,则2z x y =-的最小值为__________.14.已知120,0,2a b a b>>+=,2+a b 的最小值为_______________. 15.设0x >,则231x x x +++的最小值为______.16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =,ABC ∆的面积为2214a b +-,则ABC ∆面积的最大值为_____. 17.已知函数()3af x x x=++,*x ∈N ,在5x =时取到最小值,则实数a 的所有取值的集合为______.18.设a >0,b >0. 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解,则+a b 的取值范围是 .19.正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ,6290-=a a ,则{}n a 前5项和为________. 20.在△ABC 中,已知sinA:sinB:sinC=3:5:7,则此三角形最大内角的大小..为________.三、解答题21.已知向量11,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线,设函数()y f x =. (1)求函数()f x 的最小正周期及最大值.(2)已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C,若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,边7BC B ==,求ABC ∆的面积. 22.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,如果A 、B 、C 成等差数列且b =(1)当4A π=时,求ABC ∆的面积S ;(2)若ABC ∆的面积为S ,求S 的最大值.23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,225+=-a S ,515=-S . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 24.在数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,223()n n S n a n N *+=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n n a b a a ++=⋅,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明14n T <.25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211a =,7161S =. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若6512n n S a n >--,求n 的取值范围; (3)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c,已知222,3A b c a π=+=. (1)求a 的值;(2)若1b =,求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】分析:由题意首先求得10091a =,然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解:由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得:120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==, 则10091a =,据此可得:()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛:本题主要考查等差数列的性质,等差数列的前n 项和公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.C解析:C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<,Q 数列的首项为正数,()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==,()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<,∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016,故选C.3.B解析:B 【解析】试题分析:由题意可得,当n 为奇数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时,()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ,故选B.考点:数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题,考查了考生的数据处理与运算能力,属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式,然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.4.B解析:B 【解析】 【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1,由此利用b 10b 11=2,根据等比数列的性质能求出a 21. 【详解】数列{a n }的首项a 1=1,数列{b n }为等比数列,且1n n na b a +=, ∴3212212a a b a b a a ==,=4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=,,=,, …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ,,()()() . 故选B . 【点睛】本题考查数列的第21项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递公式和等比数列的性质的合理运用.5.B解析:B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用直线20kx y -+=过定点()0,1,再利用k 的几何意义,只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时,k 值即可. 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1, 作可行域如图所示,,由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩,得()2,4B .当定点()0,1和B 点连接时,斜率最大,此时413202k -==-, 则k 的最大值为:32故选:B . 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.6.B解析:B 【解析】由{}n a 为等差数列,所以95532495S S a a d -=-==-,即2d =-, 由19a =,所以211n a n =-+, 令2110n a n =-+<,即112n >, 所以n S 取最大值时的n 为5, 故选B .7.A解析:A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ,然后求出=1,2A B -I (),再根据三个二次之间的关系求出,a b ,可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<,则(1,3)A =-.由不等式260x x +-<有,则32x -<<,则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有:1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系,属于中档题.8.C解析:C 【解析】∵f (S n )=f (a n )+f (a n +1)-1=f[a n (a n +1)]∵函数f (x )是定义域在(0,+∞)上的单调函数,数列{a n }各项为正数∴S n =a n (a n +1)①当n=1时,可得a 1=1;当n≥2时,S n-1=a n-1(a n-1+1)②,①-②可得a n = a n (a n +1)-a n-1(a n-1+1)∴(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0∵a n >0,∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列,a 1=1,d=1;∴a n =1+(n-1)×1=n 即a n =n 所以故选C9.B解析:B 【解析】试题分析:由题可知,将111()(233n n n a a n -=+≥,两边同时除以,得出,运用累加法,解得,整理得23n n n a +=; 考点:累加法求数列通项公式10.C解析:C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式,结合已知条件列不等式组,进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<,所以0d <,且2018201900a a >⎧⎨<⎩,所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩,所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选:C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质,属于基础题.11.D解析:D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,所表示的平面区域,如图所示,当0x ≥时,可行域为四边形OBCD 内部,目标函数可化为2z y x =-,即2y x z =+,平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,此时,max 2z =,当0x <时,可行域为三角形AOD ,目标函数可化为2z y x =+,即2y x z =-+,平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时,直线的截距最大,从而z 最大,max 2z =, 综上,2z y x =-的最大值为2. 故选D .点睛:利用线性规划求最值的步骤: (1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(ax by +型)、斜率型(y b x a++型)和距离型(()()22x a y b +++型). (3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.12.D解析:D 【解析】 【分析】由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A =1,即A =900,由余弦定理、三角形面积公式可求角C ,从而得到B 的值. 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<,所以090A =;由余弦定理、三角形面积公式及()2223S b a c =+-,得13sin 2cos 2ab C ab C =⋅, 整理得tan 3C =,又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.二、填空题13.-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6解析:-6 【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122zy x =-经过点A(0,3)时,直线的纵截距2z-最大,z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 14.【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析:92【解析】 【分析】先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+,再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a b a b⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等.故答案为:92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.15.【解析】【分析】利用换元法令将所给的代数式进行变形然后利用均值不等式即可求得最小值【详解】由可得可令即则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法换元法及其应用等知识意在解析:1【解析】 【分析】利用换元法,令1t x =+将所给的代数式进行变形,然后利用均值不等式即可求得最小值. 【详解】由0x >,可得11x +>.可令()11t x t =+>,即1x t =-,则()()22113331111t t x x t x t t -+-+++==+-=+≥,当且仅当t =1x =时,等号成立.故答案为:1.【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法,换元法及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.【解析】【分析】结合已知条件结合余弦定理求得然后利用基本不等式求得的最大值进而求得三角形面积的最大值【详解】由于三角形面积①由余弦定理得②由①②得由于所以故化简得故化简得所以三角形面积故答案为【点睛【解析】【分析】 结合已知条件,结合余弦定理求得π4C =,然后利用基本不等式求得ab 的最大值,进而求得三角形ABC 面积的最大值.【详解】 由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①,由余弦定理得221cos 2a b C ab+-=②,由①②得sin cos C C =,由于()0,πC ∈,所以π4C =.故221cos 22a b C ab +-==,化简221a b =+-22121a b ab =+-≥-,化简得22ab +≤所以三角形面积1121sin 22224S ab C =≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式,考查基本不等式求最值的方法,属于中档题. 17.【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析:[]20,30【解析】【分析】先求导,判断函数的单调性得到函数的最小值,由题意可得x ()f x 达到最小,得到()()56f f ≤,()()54f f ≤,解得即可.【详解】∵()3a f x x x=++,*x ∈N , ∴()2221a x a f x x x-'=-=, 当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,则()f x 为增函数,最小值为()()min 14f x f a ==+,不满足题意,当0a >时,令()0f x '=,解得x =当0x <<()0f x '<,函数()f x 在区间(上单调递减,当x ()0f x '>,函数()f x 在区间)+∞上单调递增,∴当x =()f x 取最小值,又*x ∈N ,∴x ()f x 达到最小,又由题意知,5x =时取到最小值,∴56<<或45<≤,∴()()56f f ≤且()()54f f ≤,即536356a a ++≤++且534354a a ++≤++, 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30.故答案为:[]20,30.【点睛】 本题考查了导数和函数的单调性关系,以及参数的取值范围,属于中档题.18.【解析】试题分析:方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以()即取值范围是考点:方程组的思想以及基本不等式的应用解析:(2,)+∞【解析】试题分析:方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行,所以1ab =且1a b ≠≠.又a ,b 为正数,所以2a b +>=(1a b ≠≠),即+a b 取值范围是(2,)+∞.考点:方程组的思想以及基本不等式的应用.19.93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数 解析:93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算,先求出首项和公比,然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和.【详解】正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ,6290-=a a ,即24222218,90a q a a q a -=-=则有()()()22222118,1190a q a q q -=-+=代入有221=5,4q q +=又因为0q >,则212,6,3q a a =∴== ()553129312S ⨯-∴==-故答案为93【点睛】 本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用,需要熟记公式,并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题,本题较为基础.20.【解析】由正弦定理得由余弦定理得故也就是最大内角为 解析:23π 【解析】由正弦定理得::3:5:7a b c =,由余弦定理得2223571cos 2352C +-==-⨯⨯,故2π3C =,也就是最大内角为2π3. 三、解答题21.(1) 2,T π=当2,6x k k Z ππ=+∈时,()max 2f x = (2) ABC S ∆=【解析】【分析】【详解】(1)因为a r 与b r 共线,所以11(sin )0222y x x -+= 则()2sin 3y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭,所以()f x 的周期2T π= 当26x k ππ=+,k Z ∈,max 2f =(2)∵3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴2sin 33A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭∴sin 2A =∵02A π<<∴3A π= 由正弦定理得sin sin BC AC A B =又sin B =∴sin 2sin BC B AC A ==,且sin C =∴1sin 2ABC S AC BC C ∆==22.(12 【解析】【分析】 (1)由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒,再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值,最后利用三角形面积公式计算即可;(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-,即:2232a c ac ac ac ac =+-≥-=,可求得3ac ≤,进而求得S 的最大值.【详解】(1)因为A 、B 、C 成等差数列,则:2A+C =B ,又A B C π++=,所以60B =︒,因为:sin sin b a a B A=⇒=2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒,(负值舍);ABC ∆∴的面积11sin 22S ac B ==; (2)2222cos b a c ac B =+-Q ; 即:2232a c ac ac ac ac =+-≥-=,当且仅当a c =时等号成立;1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤; 即S的最大值为:4. 【点睛】 本题考查正余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查不等式的应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.23.(1)n a n =-;(2)1n n +. 【解析】【分析】(1)利用方程的思想,求出首项、公差即可得出通项公式;(2)根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +,利用裂项相消法即可求解. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由221325+=+=-a S a d ,5151015=+=-S a d ,即123+=-a d ,解得11a =-,1d =-,所以()11=---=-n a n n .(2)由n a n =-,所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n , 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111n n n =-=++. 【点睛】 利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.24.(1)31n n a =-;(2)证明见解析;【解析】【分析】(1)首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=,然后两式相减得到132n n a a +=+,构造{}1n a +是公比为3的等比数列,求通项公式;(2)根据(1)113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----,再利用裂项相消法求和,证明14n T <. 【详解】(1)223n n S n a +=Q ,1122(1)3n n S n a ++∴++=,两式相减得132n n a a +=+ ,113(1)n n a a ++=+∴ ,又111223,2S a a +==∴,∴数列{}1n a +是以3为首项, 3为公比的等比数列,13,31n n n n a a +==-∴∴(2)113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴ 1111142314n +=-⋅<- 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项,以及裂项相消法求和,一般数列求和包含1.公式法,利用等差和等比数列的前n 项和公式求解;2.错位相减法求和,适用于等差数列乘以等比数列的数列求和;3.裂项相消法求和,适用于能变形为()()1n a f n f n =+-, 4.分组转化法求和,适用于n n n c a b =+;5.倒序相加法求和.25.(1)61n a n =-;(2)9n ≥且*n N ∈;(3)5(65)n n T n =+. 【解析】【分析】(1)首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解方程组再求n a 即可. (2)首先计算n S ,再解不等式6512n n S a n >--即可.(3)首先得到11166(1)65n b n n =--+,再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】(1)由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩,解得156a d =⎧⎨=⎩ 所以61n a n =-.(2)由(1)得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+, 因为6512n n S a n >--,即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥, 因为1n ≥且*n ∈N ,所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . (3)因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+, 所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法,第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法,第三问考查裂项法求和,属于中档题.26.(12【解析】【分析】(1)由2223b c abc a +-=,利用余弦定理可得2cos 3bc A abc =,结合3A π=可得结果;(2)由正弦定理1sin 2B =,π6B =, 利用三角形内角和定理可得π2C =,由三角形面积公式可得结果.【详解】(1)由题意,得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.∴2cos bc A =, ∵π3A =,∴a A == (2)∵a =由正弦定理sin sin a b A B =,可得1sin 2B =. ∵a>b ,∴π6B =,∴ππ2C A B =--=.∴1sin 22ABC S ab C ∆== 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数,属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1)2222cos a b c bc A =+-;(2)222cos 2b c a A bc +-=,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.。