理科数学考纲专题解读+考点题组训练：专题二十 推理与证明 word版含答案
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》单元汇编含答案
【高中数学】单元《推理与证明》知识点归纳一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134xf x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.3．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .4．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.5．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.6．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.7．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.8．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b >C ．5748b b b b +<+D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．9．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.10．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和，又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
高考数学分类练习 M单元 推理与证明(理科) Word版含答案
数 学M 单元 推理与证明M1 合情推理与演绎推理M2 直接证明与间接证明23．D5，M2 若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .(1)若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，求a 3；(2)若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1＝c 5＝1，b 5＝c 1＝81，a n ＝b n ＋c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；(3)设{b n }是无穷数列，已知a n ＋1＝b n ＋sin a n (n ∈N *)，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．23．解：(1)因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2，于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2.又因为a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.(2){b n }的公差为20，{c n }的公比为13， 所以b n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，c n ＝81·(13)n －1＝35－n ， a n ＝b n ＋c n ＝20n －19＋35－n .a 1＝a 5＝82，但a 2＝48，a 6＝3043，a 2≠a 6， 所以{a n }不具有性质P .(3)证明：充分性：当{b n }为常数列时，a n ＋1＝b 1＋sin a n .对任意给定的a 1，若a p ＝a q ，则b 1＋sin a p ＝b 1＋sin a q ，即a p ＋1＝a q ＋1，充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{b n }不是常数列，则存在k ∈N *，使得b 1＝b 2＝…＝b k ＝b ，而b k ＋1≠b .下面证明存在满足a n ＋1＝b n ＋sin a n 的{a n }，使得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1，但a k ＋2≠a k ＋1. 设f (x )＝x －sin x －b ，取m ∈N *，使得m π>|b |，则f (m π)＝m π－b >0，f (－m π)＝－m π－b <0，故存在c 使得f (c )＝0.取a 1＝c ，因为a n ＋1＝b ＋sin a n (1≤n ≤k )，所以a 2＝b ＋sin c ＝c ＝a 1，依此类推，得a 1＝a 2＝…＝a k ＋1＝c .但a k ＋2＝b k ＋1＋sin a k ＋1＝b k ＋1＋sin c ≠b ＋sin c ，即a k ＋2≠a k ＋1.所以{a n }不具有性质P ，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条件为“{b n }是常数列”．M3 数学归纳法M4 单元综合3． 观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________________________________________________________________________．3.sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.4． 已知⎩⎪⎨⎪⎧2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×b a(a ，b 均为正整数)，则a ＋b ＝________．4．89 由已知等式可归纳出n ＋n n 2－1＝n 2×n n 2－1，故在9＋b a ＝92×b a中，b ＝9，a ＝92－1＝80，所以a ＋b ＝89.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》解析含答案
数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12xf x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516xf x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案． 详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134xf x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nxx -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103nn ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 【答案】C 【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.4．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，…∴()1 122nn na n+ =++⋯+= .所以①a5=15；正确；②an−a n−1= n,所以数列{a n}不是一个等差数列；故②错误；③数列{an}不是一个等比数列；③错误；④数列{a n}的递推关系是a n+1=a n+n+1(n∈N∗).正确；本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a，b，c，d，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a，b，c，d四个出水口放水速度最快的是（）A．d B．b C．c D．a【答案】A【解析】【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可.【详解】由题易解得a，b，c，d放水时间分别为70，100，90，50，所以d出水速度最快.故选：A.【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.8．用数学归纳法证明11151236n n n++⋅⋅⋅+≥++时，从n k=到1n k=+，不等式左边需添加的项是（）A．111313233k k k+++++B．112313233k k k+-+++C．11331k k-++D．133k+【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ;2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意；②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意.综上所述，盗窃者是甲.故选：A.【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习附答案解析
新数学《推理与证明》复习资料一、选择题1．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6上列乘5上列乘2 163060123153013210201 432152151 565612161510所以6603020151210147S=+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】 【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【考点】 统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)
高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（ ） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（ ） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0,1)-； 乙：直线l 经过点(1,0)； 丙：直线l 经过点(1,1)-； 丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（ ） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（ ）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（ ） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 （ ） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（ ） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？ （1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+． 则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边． 所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立． （2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=． 证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？ 其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时， 增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ． 这两个球的半径比为：:R r ， 表面积比为：22224:4:R r R r ππ=， 体积比为：333344::33R r R r ππ=， 所以，两个球是相似体． 故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++， 当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++， 故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++， 故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0， 而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+． 故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ， 则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ， 因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)； 又因为任何三条直线不过同一点， 所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同， 从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+， 故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2， 当63n =时，()6363120162⨯+=， 即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=， 即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯， 即11122-=， 故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”， 故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈， 这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析 【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=； 假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立， 则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈， 由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++． 证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=， 则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1 与数字有关的等式的推理 【易错点】例1观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 【答案】 43×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.2 与不等式有关的推理例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______. 【答案】na 1a 2…a n【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 【答案】1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 4 与图形变化有关的推理例4某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 【答案】 D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.【思维点拨】 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 题型二 类比推理例1(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q 2 B ．q 2 C.q D.nq【答案】C【解析】由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n nn b q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 【答案】P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 【解析】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【思维点拨】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例1数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【答案】略【解析】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【思维点拨】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 直接证明与间接证明 题型四分析法 例1已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【答案】略 【解析】要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， 0>a ，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．【思维点拨】分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证． 题型五 综合法例1已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )． 【答案】a ＝0，b ＝1.【解析】(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln (x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)， h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1，∵x >－1，∴当－1<x <0时，h ′(x )>0； 当x >0时，h ′(x )<0.则h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．【思维点拨】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 题型六 反证法例1 等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{}a n 的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【答案】（1）S n ＝n (n ＋2)（2）证明略.【解析】(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．【思维点拨】(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【巩固训练】合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1.将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n－8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．3.观察下列等式：12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为________【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2【解析】第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2. 题型二 类比推理1.若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nn C ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n【答案】D【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．2.在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD .题型三 演绎推理1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.2.已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．【答案】证明略【解析】设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．3.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B. 直接证明与间接证明 题型四分析法1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【答案】C【解析】由于a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以0,0,a c b a c ><=--且，b 2－ac <3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔ －2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔ (a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】C【解析】不妨设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2·(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．3．要使3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 【答案】D【解析】要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立，即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立，只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立，即要ab (b －a )＜0成立， 只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立． 题型五 综合法1．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】∵a >0，b >0，c >0， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2．如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________． 【答案】a ≥0，b ≥0且a ≠b【解析】∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b . 3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 【答案】证明略【解析】∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型六反证法1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为() A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．2.用反证法证明命题“已知a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】用反证法证明命题的步骤中第一步是假设命题的反面成立，而“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．3.已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】略【解析】(1)证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.11∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.12。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习有答案解析
新《推理与证明》专题一、选择题1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( )A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．某游泳馆内的一个游泳池设有四个出水量不同的出水口a ，b ，c ，d ，当游泳池内装满水时，同时打开其中两个出水口，放完水所需时间如下表：则a ，b ，c ，d 四个出水口放水速度最快的是（ ）A ．dB ．bC ．cD ．a【答案】A 【解析】 【分析】利用所给数据，计算出每个出水口分别的放水时间，比较大小即可. 【详解】由题易解得a ，b ，c ，d 放水时间分别为70，100，90，50，所以d 出水速度最快. 故选：A. 【点睛】本题考查了方程的思想，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
高中数学专题 推理与证明(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
专题——推理与证明【知识概要】本章知识网络：一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析；数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定. 二.知识梳理1．合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3) 归纳推理的思维过程大致如图：3．类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2) 4．演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理． (2)特征：当前提为真时，结论必然为真． (3)“三段论”是演绎推理的一般模式：推理与证明推理 证明合情推理 演绎推理 归纳类比 综合法 分析法 反证法直接证明 间接证明 数学归纳法M——P （M是P）①S——M （S是M）②S——P （S是P）③其中：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．5．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（也叫由因导果法）．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法（也叫执果索因法）．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.6．间接证明（1）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（2）反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案解析
【最新】高中数学《推理与证明》专题解析一、选择题1．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49 B ．43C ．07D ．01【答案】C 【解析】 【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可. 【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C. 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.7．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.9．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变 【答案】B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．10．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点训练含答案
新《推理与证明》专题一、选择题1．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的A．甲辰年B．乙巳年C．丙午年D．丁未年【答案】C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。
【详解】根据规则，年是己亥年，年是庚子年，年是辛丑年，年是壬寅年，年是癸卯年，年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C。
【点睛】本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。
2．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】f n个部分,设画n条直线,最多可将面分成()Q;==+=n f1,(1)112n f f==+=;2,(2)(1)24==+=;,n f f3,(3)(2)37n f f==+=; ,4,(4)(3)411n f f==+=;5,(5)(4)516==+=.6,(6)(5)622n f f故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（ ） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案 【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.5．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.8．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．9．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.10．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C 【解析】 【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙 【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-13．数列{}1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ）A ．33B ．34C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.14．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a =L B ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.15．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc =B ．13V Sh =C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．16．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【答案】C 【解析】 【分析】根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ．【点睛】该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.17．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972C ．3 973D ．3 974【答案】D 【解析】 【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解．【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中，则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．18．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．19．0=，则0x y ==，假设为( ) A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】 0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.20．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y +++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》图文答案
【最新】数学高考《推理与证明》专题解析一、选择题1．设函数()()02x f x x x =>+，观察下列各式：()()12x f x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…，根据以上规律，若1122018n f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则整数n 的最大值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】 分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．详解：观察：()()12x f x f x x ==+，()()()2134x f x f f x x ==+，()()()3278x f x f f x x ==+，()()()431516x f x f f x x ==+，…，()()()1n n f x f f x -=，…可知：分子都是x ，分母是关于x 的一次式，其常数项为2n ，一次项的系数比常数项小1，故f n （x ）=(21)2n nx x -+，所以111112()(21)2212201822n n n n nf +==>--++，即12122018n n +-+<20192673103n n ⇒<=⇒<，故n 的最大值为9，选C. 点睛：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．然后再结合函数的最值分析思维即可解决问题.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=【答案】C【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．4．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D【解析】【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解.【详解】 奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=.故选：D.【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.8．用数学归纳法证明11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（ ）A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取， 命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）A ．甲走桃花峪登山线路B ．乙走红门盘道徒步线路C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ）A ．271B ．272C ．273D ．274【答案】A【解析】【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f =， ()212667f =+⨯-=，()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=，()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A.【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-13．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ）A ．可能是国画B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B【解析】【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案.【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除；若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；故小刚可能选择的是书法和篮球.故选：B .【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.14．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )A ．30B ．9C ．36D ．6【答案】C【解析】【分析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可.【详解】由()(27)39n f n n =+⋅+，得(1)36f =， (2)336f =⨯，(3)1036f =⨯，(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明：(1)当1n =时，显然成立。
高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案解析
新数学《推理与证明》期末复习知识要点一、选择题1．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋xz ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(yz ＋z y )＋(z x ＋x z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.2．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 6561216 15 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.4．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.5．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（ ）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】 【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列， 则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.6．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.7．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
2016年理科数学考纲专题解读+考点题组训练：专题二十推理与证明Word版含答案
1．(2015 ·广东，8，中)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A．至多等于 3 B．至多等于 4C．等于5 D．大于5【答案】 B (排除法)当n＝4 时，4 个点可以看作正四面体的 4 个顶点，显然符合题意．排除A，C，D.故选B.2．(2015 山·东，11，易)观察下列各式：0； C1＝40 1 1；C3＋C3＝40 2；1 2C5＋C5＋C5＝40 1 2 33； C7＋C7＋C7＋C7＝4,,照此规律，当n∈N*时，0 1 2 n－1C2n－1＋C2n－1＋C2n－1＋, ＋C2n－1＝________．0＝41－1；当n＝2 时，C03＋C13＝41＝42－1；当n 【解析】当n＝1 时，C1＝40 1 22＝43－1；＝3 时，C5＋C5＋C5＝4,,1 n－1 n－1. ∴C2n－1＋C2n－1＋, ＋C2n－1＝4n－1【答案】 41．(2014 ·北京，8，中)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合适”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2 人B．3 人C．4 人D．5 人【答案】 B 由已知，各同学之间语文成绩、数学成绩各不相同，当有三别为1，2，3，别为A，B，C，优秀、合格、不合格分名同学时，设三名同学分于 A 和C 的语文成绩之间，由于三名同学两科成绩各不相同，设B 的语文成绩介不妨设A< B< C，则数学成绩C<B<A，所以A 的成绩为(3，1)，B 的成绩为(2，2)，C 的成绩为(1，3)．显然，超过四名同学时不符合条件．2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4 2．(2012 ·江西，6，中)观察下列各式：a＋b＝1，a＋b4＝7，a5＋b5＝11，, ，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199【答案】 C 从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，a后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得10＋b10＝123.3．(2014 ·课标Ⅰ，14，易)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．【解析】由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲可知，甲去过A，C 且比乙多，且乙没有去过 C 城市，故乙只去过 A 城市．【答案】 A4．(2013 陕·西，14，中) 观察下列等式2＝112－22＝－3 12－22＋32＝612－22＋32－42＝－10 1,,照此规律，第n 个等式可为______________________________________________________．_【解析】观察给出的式子可得出如下规律：21 ＝1，2 21 －2 ＝－(1＋2)，2－22＋32＝1＋2＋3，12 2 2 21 －2 ＋3 －4 ＝－(1＋2＋3＋4)，所以有2 2 22 n＋1n2 1 －2＋3 －4 ＋, ＋(－1)n＋1(1＋2＋, ＋n)＝(－1)n＋1n（n＋1）＝(－1)2 .2 2 2 n＋1n22【答案】 1 －2 ＋3 －4 ＋, ＋(－1) n＋1n（n＋1）＝(－1)2思路点拨：本题分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．5．(2012 湖·南，16，难)设N＝2n(n∈N*，n≥2)，将N 个数x1，x2，, ，x N 依次放入编号为1，2，, ，N 的N 个位置，得到排列P0＝x1x2, x N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N和后2N2个位置，得到排列P1＝x1x3, x N－1x2x4, x N，将此操作称为C变换．将P1 分成两段，每段N2个数，并对每段作 C 变换，得到P2；当2≤i≤n－2时，将P i 分成2i 段，i 段，每段Ni个数，并对每段作 C 变换，得到P i2＋1.例如，当N＝8 时，P2＝x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7 位于P2 中的第4 个位置．(1)当N＝16 时，x7 位于P2 中的第________个位置；(2)当N＝2n(n≥8)时，x173 位于P4 中的第________个位置．【解析】(1)当N＝16 时，P0＝x1x2x3x4x5x6, x16，P1＝x1x3x5x7, x15x2x4x6, x16，P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16，所以x7 位于P2 中的第6 个位置．n 个数分成24 段，每段有2n－4 个数，每段数下标(2)根据题意可知P4 将这2分别构成公差为16 的等差数列．第1 段的首项下标为1，其通项公式为16n－15，当16n－15＝173 时，n＝47?N*；第2 段的首项下标为9，其通项公式为16n－7，*；第2 段的首项下标为9，其通项公式为16n－7，445当16n－7＝173 时，n＝?N*；第3 段的首项下标为5，其通项公式为16n－11，4当16n－11＝173 时，n＝23?N*；第4 段的首项为13，其通项公式为16n－3，当*；第4 段的首项为13，其通项公式为16n－3，当216n－3＝173时，n＝11∈N*.故x173 位于P4 中的第3×2n－4＋11个位置．n－4＋11 【答案】(1)6 (2)3×2理求解．思路点拨：本题结合排列、数列知识，应用归纳推6．(2012 ·福建，17，13 分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：213°＋cos217°－sin 13 c°os 17 ；°①sin215°＋cos215°－sin 15 c°os 15 ；°②sin218°＋cos212°－sin 18 c°os 12 ；°③sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48 ；°④sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55 .°⑤sin(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15 c°os 15 °1 1 ＝1－2sin 30°＝1－4＝3 124.(2)方法一：三角恒等式为2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3sin4.证明如下：2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)sin2 2＝sin α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2α＋3 2α＋ 3 2α－ 31 12α＝sin 4cos 2 sin αcos α＋4·sin 2 sin αcos α－2sin3 2α＋3 2α＝3＝4sin 4cos 4.方法二：三角恒等式为2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3sin4.证明如下：2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)sin1－cos 2α1＋cos（60°－2α）＝＋－2 2sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)1 1 1 1＝－2cos 2α＋＋2(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－2 232 sin αcos α－12α2sin1 1 1 1＝2cos 2α＋＋－4cos 2α＋ 2 234 sin 2α－3 14 sin 2α－4(1－cos 2α)1 1 1 3＝1－4cos 2α－4cos 2α＝＋ 4.47．(2014 ·北京，20，13 分，难)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，, ，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{ T k－1(P)，a1＋a2＋, ＋a k}(2 ≤k≤n)，其中max{ T k－1(P)，a1＋a2＋, ＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋, ＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a 和m＝d 两种情况比较T2(P)和T2(P′的)大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)解：(1)T1( P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{ T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{ a＋b＋d，a＋c＋d} ，T2(P′＝)m ax{ c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a 时，T2(P′＝)m ax{ c＋d＋b，c＋a＋b} ＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′．)当m＝d 时，T2(P′＝)m ax{ c＋d＋b，c＋a＋b} ＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′．)所以无论m＝a 还是m＝d，T2(P)≤T2(P′都)成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4( P)＝50，T5(P)＝52.考向1类比推理的应用类比推理的特点类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)(2015陕·西西安模拟，13)若等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，前n项的和为S n，则数列S nn为等差数列，且通项为S n d＝a1＋(n－1)·2.类似n地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n}的首项为b1，公比为q，前n项的积为T n，则数列________为等比数列，通项为________．(2)(2015山·东烟台模拟，14)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则S11＝，推广到空间可以得到类似结论：已S24V1知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________．V2【思路导引】解题(1)的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联；解题(2)的关键是熟练掌握类比推理及正四面体的外接球与内切球半径的大小关系．【解析】(1)因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了S n ＝nda1＋(n－1)·，所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式，2n等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{T n}为等比数列，通项为nn－1. T n＝b1·(q)(2)从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，V1V2故正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则1331＝27.＝n 【答案】(1) T n n n－1 (2) 1 T n＝b1·( q)27类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(2015 ·广东中山质检，10)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a22 2 2 2 2 满足a1＋a2＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1) ＋(x－a2) ＝2x2 －2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2 2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a1＋a2＋, ＋2a n＝1 时，你能得到的结论为________．【解析】构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋, ＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2 ＋, ＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，得a1＋a2＋, ＋a n ≤n.【答案】a1＋a2＋, ＋a n≤n考向2 归纳推理的应用归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠．其结论的正确性往往通过演绎推理来证明．(3)它是一种发现一般性规律的重要方法．其思维过程大致如下：实验、观察→概括、推广→猜测、一般性结论(1)(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)三棱柱 5 6 9五棱锥6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E 所满足的等式是______________．(2)(2013 湖·北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，, ，第n 个三角形数为n（n＋1） 12＋1＝2n 2n.记第n 个k 2边形数为N(n，k)( k≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：1 2＋1三角形数N( n，3)＝2n 2n，正方形数N( n，4)＝n2，3 2－1五边形数N( n，5)＝2n 2n，2六边形数N( n，6)＝2n －n，,,可以推测N( n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】(1)∵5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F，V，E 满足等式F＋V－E＝2.(2)已知各式可化为如下形式：N(n，3)＝13－2 4－3 2＋12＋2n 2n＝ 2 n 2 n，4－2 4－42＝2＋N(n，4)＝n 2 n2 n，N(n，5)＝35－22－1 2＋4－52n 2n＝ 2 n 2 n，2－n＝N(n，6)＝2n 6－22＋4－62 n 2 n，k－22＋4－k由归纳推理可得N( n，k)＝ 2 n 2 n，24－2 4－242故N(10，24)＝×10 ＋×10＝1 100－100＝1 000.2 2【答案】(1)F＋V－E＝2 (2)1 000(2)的关键是解题出F，V，E 的变化规律；(1)的关键是观察【点拨】解题通过观察、联想、对比，再进行归纳．常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．(1)(2011山·东，15)设函数f(x)＝x(x>0)，观察：x＋2f1(x)＝f(x)＝x，x＋2f2(x)＝f(f1(x))＝x，3x＋4f3(x)＝f(f2(x))＝x，7x＋8f4(x)＝f(f3(x))＝x，15x＋16,,根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N－1(x))＝________．*且n≥2时，f n(x)＝f(f n(2)(2015陕·西咸阳质检，14)观察下列特殊的不等式：2－2257≥2×，5－225－35 442－32≥5×2723，8－28 993－23≥8×31125，10－51095，5－55≥2×7 9,,s－b sa由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有r－b r≥________．a【解析】(1)由f(x)＝x(x>0)得，x＋2f1(x)＝f(x)＝x，x＋2f2(x)＝f(f1(x))＝x 3x＋4x＝2，2（2－1）x＋2f3(x)＝f(f2(x))＝x 7x＋8x＝3－1）x＋23，（2f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16x＝4－1）x＋24，（2所以归纳可得，当n∈N*且n≥2时，xf n(x)＝f(f n－1(x))＝（2n－1）x＋2n.2－22572 (2)≥2×5－221＝×5＋222－1，55 4－3 2－32≥45×27235＝×24＋325－2，8－28 99≥3－238×311258＝×39＋228－3，10－51095＝10 5－55≥2×7×959＋5210－5，s sa－b由以上特殊不等式，可以猜测：当a>b>0，s，r∈Z时，有r－b r≥a sra＋b2s－r.x 【答案】(1)（2n－1）x＋2nsr (2)a＋b2s－r考向3演绎推理的应用演绎推理的理解(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．(2)演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．(2014 ·辽宁，21，12 分)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sinx＋1)，g(x)＝3(x－π)2x cos x－4(1＋sin x)ln 3－π.证明：(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；(2)存在唯一x1∈π，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π. 2π【证明】(1)当x∈0，22时，f′(x)＝－(1＋sin x)(π＋2x)－2x－3cos x<0，π∴函数f(x)在0，2上为减函数．又f(0)＝π－83>0，fπ2＝－π2－163 <0，π∴存在唯一x0∈0，2，使f (x0)＝0.3（x－π）cos x 2－4ln 3－x ，x∈(2)考虑函数h(x)＝1＋sin xππ，π，2令t＝π－x，则x∈ππ，π时，t∈0，2 . 22 3tcos t记u( t)＝h(π－t)＝－4ln 1＋1＋sin tπt ，3f（t）则u′t)(＝（π＋2t）（1＋sin t）.π由(1)得，当x∈(0，x0)时，u′(t)>0，当t∈x0，2时，u′(t)<0，在(0，x0)上u(t)是增函数．又u(0)＝0，从而当t∈(0，x0]时，u( t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．π在x0，2 上u( t)为减函数，由u( x0)>0，uπ2＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈πx0，2π，使u( t1)＝0，所以存在唯一的t1∈0，2，使u(t1)＝0，因此存在唯一的x1＝π－t1∈π，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0. 2∵当x∈π2，π时，1＋sin x>0，∴g(x)＝(1＋sin x) h(x)与h(x)有相同的零点，∴存在唯一的x1∈π，π，使g(x1)＝0. 2∵x1＝π－t1，t1>x0，∴x0＋x1<π.【点拨】证明本题的关键是证明所给函数在给定的区间上单调且端点值异号，由零点存在定理这个大前提就可得出．演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．(2)用三段论证明的基本模式是：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．在证明的过程中，往往大前提不写出来．2(2014 ·湖北黄冈调研，20，12 分)设f(x)＝3ax ＋2bx＋c.若a＋b＋c ＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：b(1)a>0 且－2<a<－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实根．证明：(1)∵f(0)>0，f (1)>0，∴c>0，3a＋2b＋c>0.由a＋b＋c＝0，消去b 得a>c>0；再由条件a＋b＋c＝0，消去c 得a＋b<0 且2a＋b>0，b∴－2<a<－1.22＋2bx＋c 的顶点坐标为－ b3ac－b (2)方法一：∵抛物线f(x)＝3ax，3a 3a，b∵－2<a<－1，∴1 b 2 3<－3a< 3.又∵f(0)>0，f(1)>0，而f －2b 3ac－b3a ＝3a ＝－2 2a ＋c －ac3a ＝－22c 3ca－＋2 43a <0，∴方程f(x)＝0 在区间0，－b b3a 与－3a，1 内分别有一个实根，故方程f( x)＝0 在(0，1)内有两个实根．方法二：∵f(0)>0，f(1)>0，而f 12 ＝34a＋b＋c＝－14a<0.故抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f(x)＝0 在(0，1)内有两个实根．c2 2 2方法三：∵Δ＝4b －12ac＝4(a ＋c －ac)＝4 a－2 22>0，＋3c∴方程f(x)＝0 有两个实根．设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－2b c3a>0，x1x2＝3a >0，故两根为正．又∵(x1－1)＋(x2－1)＝－2b3a－2<0，3a＋2b＋c(x1－1)(x2－1)＝3a >0，故两根均小于1，命题得证．1．(2015 ·河南洛阳模拟，5)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】 C ∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选 C.2．(2015 ·广东珠海模拟，6)在直角坐标系xOy 中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C( a5，a6)，D(a7，a8)，, ，按此规律一直运动下去，则a2 013＋a2 014＋a2 015＝( )A．1 006 B．1 007 C．1 008 D．1 009【答案】 B 由直角坐标系可知A(1，1)，B(－1，2)，C(2，3)，D(－2，4)，E(3，5)，F(－3，6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，, ，由此可知，所有数列偶数个都是从 1 开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2 014＝1 007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1 个奇数和第 2 个奇数互为相反数，且从－ 1 开始逐渐递减的，则 2 014÷4 ＝503余2，则a2 013＝504，a2 015＝－504，a2 013＋a2 014＋a2 015＝504＋1 007－504＝1 007.3．(2015 ·陕西西安模拟，7)设△ABC 的三边长分别为a，b，c，△ABC 的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2S，类比这个结论可知：四面体S- A BC 的a＋b＋c四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为r，四面体S- A BC 的体积为V，则r＝( )VA.S1＋S2＋S3＋S42VB.S1＋S2＋S3＋S43VC.S1＋S2＋S3＋S44VD.S1＋S2＋S3＋S4【答案】 C 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V1四面体S-ABC＝1＋S2＋S3＋S4)r，3(S3V ∴r＝.S1＋S2＋S3＋S44．(2014 山·西四校期中检测，14)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1≥2，xx＋4 x x 42＝＋＋2≥3，x 2 2 xx＋27 x x x 273＝＋＋＋ 3 ≥4，x 3 3 3 x,,a* )，则a＝________．类比得，x＋n≥n＋1(n∈Nx【解析】由已知三个式知n＝1 时，a＝1；n＝2 时，a＝22＝4；n＝3 时，3＝27，由此归纳可得a＝n n.a＝3n【答案】n5．(2015 ·福建泉州质检，15)对大于或等于 2 的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：3＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.23(m∈N*)的分解式中最小的数是73，则m 的值为根据上述分解规律，若m________．【解析】根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从2和，23为前两3起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之项和，3m3的首数为m2－m＋1.3为接下来三项和，故3(m∈N*)的分解中最小的数是73，∵m∴m2－m＋1＝73，∴m＝9.【答案】9k＋2k＋3k＋,＋n k，当k＝1，2，3，, 6．(2015·江西南昌一模，13)记S k＝1时，观察下列等式：12＋1 S1＝2n2n，13＋12＋1S2＝3n2n6n，14＋1S3＝4n3＋12，2n4n15＋14＋13－1S4＝5n2n3n30n，16＋15＋54＋An2，S5＝6n2n12n,,可以推测，A＝________．【解析】记S k＝1k＋2k＋3k＋,＋n k，当k＝1，2，3，,时，观察下列等式：12＋1S1＝2n2n，可得：最高次项为2次，按n的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数1，211＝，相等；2211132S2＝2n6n，可得：最高次项为3次，按n的降幂排列，奇次项系数3n＋＋和11＋＝361，偶次项系数2111，＝，相等；22214＋13＋12，可得：最高次项为4次，按n的降幂排列，奇次项系数S3＝2n4n4n12，偶次项系数和11111＋＝，＝，相等；442221 5＋1 3－14＋1S4＝5n 2n 3n 30n，可得：最高次项为 5 次，按n 的降幂排列，奇次项系数和1＋51 1 1－＝，偶次项系数3 30 21，21 1＝，相等；2 216＋1 5＋54＋An2，可得：最高次项为 6 次，按n 的降幂排列，奇次S5＝6n 12n2n项系数和与偶次项系数和相等，均为1 1 5，则有＋＋A＝2 6 121，得A＝－21125.1【答案】－12π1 7．(2014 山·东泰安模拟，15)已知cos＝，3 2π2π 1cos5 cos＝，5 4π2π3πcos 7 cos 7 cos7＝1，8,,(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；πππ2π(2)若数列{ a n} 中，a1＝cos ，a2＝cos 5 cos ，a3＝cos3 5 72π3π·cos7 cos ，, ，71 023前n 项和S n＝，则n＝________．1 024【解析】(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n 个余1弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，, ，nπ，右边应为n，故可2以猜想出结论为π 12πnπcos ·cos ·, ·cos n(n∈N＝*)．2 2n＋1 2n＋1 2n＋1(2)由(1)可知a n＝1 n ，212 1－故S n＝1－1212n1＝1－n＝2n－12 1 023n ＝，解得n＝10.2 1 024π2πnπ 1【答案】(1)cos ·, ·cos ＝cos n(n∈N*) (2)102n＋1 2n＋1 2n＋1 23 28．(2015 ·湖北宜昌一模，14)对于三次函数f(x)＝ax ＋bx ＋cx＋d(a≠0)，定义：f″x()是函数y＝f(x)的导数f′x()的导数，若方程f″x()＝0 有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一发现作为条件，求：3－3x2＋3x 的对称中心为________；(1)函数f(x)＝x1 1 5 13 2(2)若函数g(x)＝＋3x－，则g3x 2x－12＋12x－12 015 ＋g22 015 ＋g32 015＋, ＋g 2 0142 015 ＝________.【解析】(1)f′x()＝3x2－6x＋3，f″(x)＝6x－6，令6x－6＝0，得x＝1，∵f (1)＝1，∴f(x)的对称中心为(1，1)．1 3－1 2＋3x－5(2)令h(x)＝3x12x12 1，k(x)＝，x－2则h′x()＝x2－x＋3，h″(x)＝2x－1，由2x－1＝0，得x＝12，∵h 1 12 ＝×31231－×2122＋3×1 5－＝1，2 12∴h(x)的对称中心为1，1 ，2∴h(x)＋h(1－x)＝2.1 1又∵k(x)＋k(1－x)＝＝0，＋1 1x－－x2 2x＝1 2 2 014，，，, ，2 015 2 015 2 015∴g12 015＋g22 015＋, ＋g2 0142 015＝h12 015 ＋h22 015 ＋, ＋h2 0142 015 ＋k12 015＋k22 015＋, ＋k2 0142 015 ＝h12 015＋h2 0142 015＋h22 015 ＋h2 0132 015 ＋, ＋h1 0072 015 ＋h1 0082 015＋k12 015＋k2 0142 015 ＋k22 015＋k 2 0132 015＋, ＋k1 0072 015＋k1 0082 015＝2×1 007＋0×1 007＝2 014.【答案】(1)(1，1) (2)2 0142 (2015·重庆，22，12 分，难)在数列{a n}中，a1＝3，a n＋1a n＋λn a＋1＋μa n＝0(n∈N＋)．(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n}的通项公式；1 1 1(2)若λ＝k0(k0∈N＋，k0≥2)，μ＝－1，证明：2＋3k0＋1 2k0＋1＜ak0＋1＜2＋.2解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n＋1a n＝2a n(n∈N＋)．若存在某个n0∈N＋，使得an0＝0，则由上述递推公式易得an0－1＝0，重复上述过程可得a1＝0，这与a1＝3 矛盾，所以对任意n∈N＋，a n≠0.从而a n＋1＝2a n(n∈N＋)，即{ a n}是一个公比q＝2 的等比数列．n－1＝3·2n－1.故a n＝a1q1(2)证明：由λ＝，μ＝－1，数列{a n}的递推关系式变为k0a n＋1a n＋12k0an＋1－a n＝0，变形为1a n＋1 a n＋k02＝a n(n∈N＋)．由上式及a1＝3＞0，归纳可得3＝a1＞a2＞, ＞a n＞a n＋1＞, ＞0.1 12n－＋2 2 2aa k k 1 11，所以对n＝1，2，, ，k0a n＋1n 0 0a n＋1＝＝＝a n－因为＋·1 1 k0 k0a n＋a n＋k0 k0k0 求和得ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋, ＋(ak 0＋1－ak 0) ＝a 1－k 0· 1 1 ＋ · k 0 k 0 1 1 ＋ k 0a 1＋1 k 0a 2＋1 1 ＋, ＋k 0ak 0＋11 ＞2＋ · k 01 1 ＋ ＋, ＋3k 0＋1 3k 0＋113k 0＋1 k 0 个1＝2＋ .3k 0＋1另一方面，由上已证的不等式知a 1＞a 2＞, ＞ak 0＞ak 0＋1＞2，得ak 0＋1＝a 1－k 0· 1 1 ＋ · k 0 k 0 1 ＋k 0a 1＋111＋, ＋k 0a 2＋1 k 0ak 0＋11 ＜2＋k 01 ＋ 2k 0＋1 1 1 ＋, ＋ 2k 0＋1 2k 0＋1 k 0 个1＝2＋ .2k 0＋111综上， 2＋ ＜ak 0＋1＜2＋.3k 0＋1 2k 0＋13＋ax 1．(2014 山· 东， 4，易 )用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程 x ＋b ＝0 至少有一个实根”时，要做的假设是 ()3A ．方程 x ＋ax ＋b ＝0 没有实根3＋ax ＋b ＝0 至多有一个实根B ．方程 x3C ．方程 x ＋ax ＋b ＝0 至多有两个实根3＋ax＋b＝0 恰好有两个实根D．方程x【答案】 A “方程x3＋ax＋b＝0 至少有一个实根”的否定是“方程x3选A.＋ax＋b＝0 没有实根”，故2．(2012 辽·宁，12，难)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( ) x≤1＋x＋x2 B. 1≤1－1＋x1 12A．e 4x2x＋1 2 D．ln(1＋x)≥x－12C．cos x≥1－8x2xx 2【答案】 C 对于A，分别画出y＝e ，y＝1＋x＋x 在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知ex≤1＋x＋x2 不恒成立，A 错误．对于B，令f(x)＝1 121＋x 1－2x＋4x，f′(x)＝12 1＋x1 121－2x＋4x1＋1＋x·－＋21 x（5x－2）2x ＝.8 1＋x∴x∈0，25时，f′(x)<0，f(x)为减函数；x∈25，＋∞时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴f (x)的最小值为 f 25，而f 2521 2 1×＋×2 5 4＝1＋×1－5 25 2＝721×＝5 253 0873 125<1，B 错误．对于C，结合图象知正确．1对于D，当x＝4 时，ln 5<ln e ×42＝2＝4－2，D 错误．故选C.83．(2014 ·天津，19，14 分，中)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设n－1，x i ∈M，i 集合M＝{0，1，2，, ，q－1}，集合A＝{ x|x＝x1＋x2q＋, ＋x n q＝1，2，, ，n}．(1)当q＝2，n＝3 时，用列举法表示集合A；n－1，t＝b1＋b2q＋, ＋b n q n－1，其中a i，(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋, ＋a n qb i∈M，i＝1，2，, ，n.证明：若a n<b n，则s<t.解：(1)当q＝2，n＝3 时，M＝{0 ，1}，A＝{ x |x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i ∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．n－1，t＝b1＋b2q＋, ＋b n q n－1，a i， (2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋, ＋a n qb i∈M，i＝1，2，, ，n 及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋, ＋(a n－1－n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1) q＋, ＋(q－1)·q n－2－q n－1 b n－1)qn－1）（q－1）（1－qn－1＝－q1－q＝－1<0.所以s<t.思路点拨：(1)把n 和q 的值代入，用列举法表示出集合A；(2)s与t 作差，根据a n<b n 利用放缩法证明．4．(2012 ·陕西，18，12分，中)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c是直线 b 在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：方法一(向量法)：如图(1)，过直线b 上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n 的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，图(1)则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a? π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二(反证法)：如图(2)，记c∩b＝A，P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.图(2)因为PO⊥π，a? π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b? 平面PA O，PO∩b＝P，所以a⊥平面PAO.又c? 平面PA O，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．5．(2013 ·江苏，19，16 分，难)设{ a n} 是首项为a，公差为d 的等差数列(d≠0)，nS n* ，其中 c 为实数．S n 是其前n 项的和．记b n＝2＋c，n∈Nn(1)若c＝0，且b1，b2，b4 成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；(2)若{b n} 是等差数列，证明：c＝0.n（n－1）证明：由题意得，S n＝na＋2 d.S n n－1(1)由c＝0，得b n＝ 2 d.＝a＋n2又因为b1，b2，b4 成等比数列，所以b2＝b1b4，即a＋d223＝a a＋2d ，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有S m＝m2a.从而对于所有的k，n∈N* ，有S nk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2S k.(2)设数列{ b n} 的公差是d1，则b n＝b1＋(n－1)d1，即nS n2＋c＝b1＋(n－1)d1，n n∈N*，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n∈N* ，有1 1d1－2d n2d n3＋b1－d1－a＋2＋cd1n＝c(d1－b1)．1令A＝d1－1－d1－a＋2d，B＝b 12d，*，有 D＝c(d1－b1)，则对于所有的n∈N3＋Bn2＋cd1n＝D.(*)An在(*) 式中分别取n＝1，2，3，4，得A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3c d1＝64A＋16B＋4cd1，7A＋3B＋cd1＝0，①19A＋5B＋cd1＝0，② 从而有21A＋5B＋cd1＝0.③由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，从而cd1＝0.1 1即d1－2d＝0，b1－d1－a＋2d＝0，cd1＝0.1若d1＝0，则由d1－2d＝0，得d＝0，与题设矛盾，所以d1≠0.又因为cd1＝0，所以c＝0.考向1 分析法的应用分析法的定义及框图表示(1)定义：从要求证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．分析法是一种“执果索因”的证明方法．(2)框图表示：Q?P1 →P1?P2 →P2?P3 →, →得到一个明显成立的条件3－b3≥2ab2－a2b. (2013 ·江苏，21，10 分)已知a≥b>0，求证：2a【证明】要证明2a3－b3≥2ab2－a2b 成立，只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b( a2－b2)≥0，即(a＋b)( a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a＋b)(a－b)(2 a＋b)≥0 成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.【点拨】在证明时，无法直接找到思路，可用分析法证明或用分析法找出证明途径，再用综合法证明．利用分析法证明时应注意的问题(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证,, 只需证,, ”或用“?”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．1＋0.1 1 0.2＋ 3 0.2 (2015 ·四川绵阳质检，18，12 分)下列各式：> ，> ，2＋0.1 2 0.50.5＋ 32＋7 3＋7> 2，372＋π72> 101.101＋π请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解：已知a>b>0，m>0，求证：b＋m b>a. a＋m证明如下：∵a> b>0，m>0，欲证b＋m b> ，只需证a(b＋m)>b(a＋m)，只需aa＋m证am>bm，只需证a>b，由已知得a>b 成立，所以b＋m b>成立．a＋m a考向2 综合法与分析法的综合应用1．综合法(1)定义：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论，这种证明方法叫作综合法．综合法是一种“由因导果”的证明方法．(2)框图表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→,→Q n?Q(其中P表示条件，Q表示要证的结论)．2．综合法与分析法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的证明方法．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．(2014·江苏，20，16分)设数列{a n}的前n项和为S n.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称{a n}是“H数列”．(1)若数列{a n}的前n项和S n＝2n(n∈N*)，证明：{a n}是“H数列”；(2)设{a n}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{a n}是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n＋c n(n∈N*)成立．【思路导引】(1)利用a n＝S1，n＝1，根据“新定义”证明．S n－S n－1，n≥2，(2)求出数列的通项a n，根据数列为“H数列”列出关于公差d和项数n的等式分析求解．(3)将等差数列的通项a n分解构造证明．n＋1－2n＝2n. 【解析】(1)证明：由已知，当n≥1时，a n＋1＝S n＋1－S n＝2于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得S n＝2n＝a m.所以{a n}是“H数列”．(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{a n}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝a m，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.n（3－n）当d＝－1时，a n＝2－n，S n＝是小于2的整数，2n（3－n）n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－S n＝2－，使2得S n＝2－m＝a m，所以{a n}是“H 数列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{ a n}的公差为d，*)．则a n＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)( d－a1)( n∈N*)．令b n＝na1，c n＝(n－1)(d－a1)，则a n＝b n＋c n(n∈N下证{b n} 是“H 数列”．n（n＋1）*)．设{b n} 的前n 项和为T n，则T n＝1(n∈N2 an（n＋1）于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝，2使得T n＝b m，所以{b n} 是“H 数列”．同理可证{c n}也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n} ，总存在两个“H 数列”{ b n} 和{c n} ，使得a n* )成立．＝b n＋c n(n∈N综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综明合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原结论等价命题得证．(2013 ·北京，20，13 分)给定数列a1，a2，, ，a n，对i＝1，2，, ，n－1，该数列前i 项的最大值记为A i，后n－i 项a i＋1，a i＋2，, ，a n 的最小值记B i，d i＝A i－B i.为(1)设数列{ a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3 的值；(2)设a1，a2，, ，a n(n≥4)是公比大于 1 的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，, ，d n－1 是等比数列；(3)设d1，d2，, ，d n－1 是公差大于0 的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，, ，a n－1 是等差数列．解：(1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，,，a n是递增数列．i＝1，2，,，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.因此，对i＝1，2，,，n－1，于是对i－1. d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)qd i1＋因此d i≠0且＝q(i＝1，2，,，n－2)，d i即d1，d2，,，d n1是等比数列．－(3)证明：设d为d1，d2，,，d n－1的公差．B i≤B i＋1，d>0，对1≤i≤n－2，因为所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.又因为A i＋1＝max{A i，a i＋1}，所以a i＋1＝A i＋1>A i≥a i.从而a1，a2，,，a n是递增数列．－1因此A i＝a i(i＝1，2，,，n－1)．B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，又因为所以B1<a1<a2<,<a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝,＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，,，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，,，a n－1是等差数列．求解；(2)需根据题意求出思路点拨：(1)d1，d2，d3的值可根据所给定义进行d n的通项后利用定义证明；(3)利用等差数列的定义证明．考向3反证法1．反证法的适用范围(1)否定性命题．(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题．(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明．(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．2．反证法中可能导出的矛盾(1)与假设矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与已知条件自相矛盾．3．使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)是正确运用反证：法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x 成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x 成立至少有n 个至多有n－1 个p 或q 綈p 且綈q至多有n 个至少有n＋1 个p 且q 綈p 或綈q(2013 ·陕西，17，12分)设{ a n} 是公比为q的等比数列．(1)推导{ a n}的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{ a n＋1} 不是等比数列．【思路导引】(1)利用等比数列的概念及错位相减法推导前n 项和公式；(2) 利用反证法证明要证的结论．【解析】(1)设{ a n} 的前n 项和为S n，当q＝1 时，S n＝a1＋a1＋, ＋a1＝na1；当q≠1 时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋, ＋a1q n－1，①2 nqS n＝a1q＋a1q ＋, ＋a1q，②①－②得，(1－q )S n＝a1－a1qn，na1（1－q ）∴S n＝，1－qna1，q＝1，∴S n＝n）a1（1－q，q≠1.1－q。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》全集汇编含答案解析
【高中数学】《推理与证明》知识点汇总一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品 B ．D 作品 C ．B 作品 D ．A 作品 【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．4．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意， 综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.5．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.7．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.8．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．9．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题10．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点训练附答案
数学《推理与证明》复习知识点一、选择题1．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．2．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C 【解析】【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =；由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.5．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a 的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ）A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明 B ．小红C ．小金D ．小金或小明【答案】B 【解析】 【分析】将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【详解】依题意，三个人制作的所有情况如下所示：若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【点睛】本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( ) A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】C 【解析】 【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案. 【详解】设画n 条直线,最多可将面分成()f n 个部分,1,(1)112n f ==+=Q ; 2,(2)(1)24n f f ==+=; 3,(3)(2)37n f f ==+=;, 4,(4)(3)411n f f ==+=; ,5,(5)(4)516n f f ==+=; 6,(6)(5)622n f f ==+=.故选:C. 【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x xx z x y z y+++ （ ） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又yx＋yz＋zx＋zy＋xz＋xy＝(yx＋xy)＋(yz＋zy)＋(zx＋xz)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.11．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路【答案】D【解析】【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路故选：D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.13．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．14．数列{}1212:1,(2)n n n n F F F F F F n --===+>，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项和为（ ） A ．33 B ．34C ．49D ．50【答案】B 【解析】 【分析】根据{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n F 的各项，从而可得{}n a 是按1,1,0的周期排列规律，即可求出结论. 【详解】依次写出{}n F 的各项1234561,1,2,3,5,8F F F F F F ======L ，{}n a 为{}n F 除以2的余数，依次写出{}n a 各项为1234561,1,0,1,1,0a a a a a a ======L ，{}n a ∴各项是按1,1,0的周期规律排列，1234950162234a a a a a +++++=⨯+=L .故选：B. 【点睛】本题考查归纳推理、猜想能力，考查分析问题、解决问题能力，属于中档题.15．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a =L B ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.16．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg 20.3010,lg30.4771==） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C 【解析】 【分析】由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，建立不等式41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用对数运算求解. 【详解】设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ， 则经过1次构造后，曲线的长度为14433a a l =⨯=， 经过2次构造后，曲线的长度为221444333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 经过3次构造后，曲线的长度为331144443333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 依次类推，经过n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，则41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3n ≥====-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.18．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A B ．CD ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin0C≠，得1cos3A=-，再由余弦定理得3bc=，又2222a b c--=，代入公式=S.【详解】由()cos3cos0a Bbc A++=得sin cos cos sin3sin cos0A B A B C A++=，即()sin3sin cos0A B C A++=，即()sin13cos0C A+=，因为sin0C≠，所以1cos3A=-，由余弦定理22222cos23a b c bc A bc--=-==，所以3bc=，由ABC∆的面积公式得S===故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a中，k a=（）A．n-B．n-C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a中的k a可由首项1a和末项n a表示.【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a中的k a可由首项1a和末项n a表示，因为11nna a q-=，所以=q所以11=kka a-⎛⎝1111=knnaaa--⎛⎫⎪⎝⎭1111=n k kn nna a----⋅=故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.20．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期几A．二B．三C．四D．五【答案】C【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A周二值夜班，D周四值夜班，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A值夜班，周四D值夜班，周五E值夜班，符合题意．故今天是周四．故选：C．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》知识点总复习含答案解析
【最新】单元《推理与证明》专题解析一、选择题1．新课程改革后，某校的甲、乙、丙三位同学都选了A 、B 、C 三门课中的两门，且任何两位同学选修的课程有且仅有一门相同.其中甲、乙共同选修的课不是B ，乙、丙共同选修的课不是A ，B 和C 两门课程有一个丙没有选，则甲选修的两门课程是（ ） A ．A 和BB ．B 和C C ．A 和CD ．无法判断【答案】C【解析】【分析】根据题意可知丙一定选了A 课程，结合题意进行推理，可得出甲所选修的两门课程，由此可得出结论.【详解】 B 和C 两门课程有一个丙没有选，所以丙肯定选了A ，乙、丙共同选修的课不是A ，则乙选择了B 、C 两门课程，由于甲、乙共同选修的课不是B ，则甲、乙共同选修的是C ，但甲不能选择B 课程. 因此，甲选修是A 、C 两门课程.故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理问题，考查推理能力，属于中等题.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=【答案】C【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+- 【答案】B【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可.【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 132 10 20 1432 152 15 1565 6 12 161 5 10 所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ）A ．5748b b b b >B ．7845b b b b >C ．5748b b b b +<+D ．7845b b b b ++<【答案】C【解析】【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+- 32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立．故选：C【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．8．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x --B ．cos sin x x -C ．sin cos x x +D ．cos sin x x -+ 【答案】A【解析】【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-， 1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，L照此规律，可知： []'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键．9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选：B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙【答案】A【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.12．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A ．912392a a a a =LB ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D【解析】【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得.【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确．【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.13．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）A ．13V abc =B ．13V Sh =C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）【答案】D【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．14．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到．任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把“中间一段”去掉，这样，原来的条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到了16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科曲线．若要科赫曲线的长度达到原来的100倍，至少需要通过构造的次数是（ ）．（取lg 20.3010,lg30.4771==） A ．15B ．16C ．17D ．18 【答案】C【解析】【分析】由折线长度变化规律得到n 次构造后，曲线的长度为1444333n n n l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，建立不等式41003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用对数运算求解.设原线段长为a ，经过n 次构造后，曲线的长度为n l ，则经过1次构造后，曲线的长度为14433a a l =⨯=， 经过2次构造后，曲线的长度为221444333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 经过3次构造后，曲线的长度为331144443333a l a ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 依次类推， 经过n 次构造后，曲线的长度为1444333n nn l a a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 若要科赫曲线的长度达到原来的100倍， 则41003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以43lg10022log 10016.01342lg 2lg320.30100.4771lg 3n ≥====-⨯-， 所以至少需要通过构造的次数是17.故选：C【点睛】 本题主要考查数列新定义运算问题涉及到对数运算，还考查了推理论证的能力，属于中档题.15．已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过，四人分别给出了以下说法：甲说：我去过阿勒泰；乙说：丙去过阿勒泰；丙说：乙、丁均未去过阿勒泰；丁说：我和甲中有一人去过阿勒泰．若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】【分析】先假设一人说真话，推出正确，即可，推出矛盾，则说的假话．【详解】解：如果甲说的是真话，则甲，丙，丁说的是真话，则矛盾，甲未去过；如果乙说的是真话，则甲，丁说谎，丙说的真话，符合题意，丙去过．【点睛】本题考查演绎推理的简单应用，难度一般.解答此类问题的关键是先进行假设，然后再逐个分析.16．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭ C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D.【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.17．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+ D ．112122k k -++ 【答案】D【解析】【分析】 根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求．【详解】 当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．18．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A ．164 B ．127 C ．19 D ．18【答案】B【解析】【分析】平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.【详解】设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，所以BE=2,3a PE ===，所以在Rt BEH ∆中 ，22263a r r a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得612r a =，所以R=PE-HE=6663124a a a -=，所以13r R =， 根据的球的体积公式有，331324134273r V r V R R ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.19．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》全集汇编附答案
新数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．学校艺术节对同一类的A、B、C、D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖” 乙说：“B作品获得一等奖”丙说：“A、D两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（）A．C作品 B．D作品 C．B作品 D．A作品【答案】C【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )A．100820182⨯⨯B．100920182C．1008⨯2020220202⨯D．1009【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.5．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．6．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.7．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++=D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.故选：C. 【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.8．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2n B ．n nC ．2nD ．222n -【答案】B 【解析】 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．9．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③()22DC r r AB =-④.其中正确的是（ ） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】 【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确； 因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确； 因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-， 又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确， 由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.11．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以11=nn aq a -， 所以1111=k nn k a a a a--⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅111=n k k n n a a ---⋅.故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.12．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ）A 3B ．23C 65D 5【答案】D 【解析】 【分析】如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ，1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D .在直角三角形ABO 中，2AB =，102232BO -⨯==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠==，又因为22sin sin 3r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==.由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得22945c a b =--=，所以5c e a ==， 故选：D. 【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题.13．已知{}n b 为等比数列，52b =，则91292b b b L ⋅=．若{}n a 为等差数列，52a =，则{}n a 的类似结论为（ ） A ．912392a a a a =L B ．912392a a a a ++++=LC ．123929a a a a L =⨯D ．123929a a a a ++++=⨯L【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列中等差中项性质推导可得. 【详解】由等差数列性质，有19a a +＝28a a +＝…＝25a .易知选项D 正确． 【点睛】等差中项和等比中项的性质是出题的热点,经常与其它知识点综合出题.14．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．15．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+- ∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数故选B16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974 【答案】D【解析】【分析】先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，运算即可得解． 【详解】解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=个数，设第2019个数在第n 组中， 则()()120192120192n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，即第2019个数在第64组中，则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，故选：D ．【点睛】本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．17．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案.【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体，就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数，故选D.【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.18．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A ．164 B ．127 C ．19 D ．18【答案】B【解析】【分析】平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.【详解】设正四面体P-ABC的边长为a，设E为三角形ABC的中心，H为正四面体P-ABC的中心，则HE为正四面体P-ABC的内切球的半径r,BH=PH且为正四面体P-ABC的外接球的半径R，所以BE=2223336,33a a PE a a a⎛⎫⨯==-=⎪⎪⎝⎭，所以在Rt BEH∆中，22263a r r a⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得612r a=，所以R=PE-HE=6663124a a a-=，所以13rR=，根据的球的体积公式有，331324134273rV rV RRππ⎛⎫===⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 19．下列表述正确的是（）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；A．②④ B．①③ C．①④ D．①②【答案】D【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.详解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；则正确的是①②，故选D.点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.20．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了【答案】C【解析】【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》图文解析
高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2 【答案】B【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.3．在平面直角坐标系中,方程1x y a b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca ++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=【答案】A【解析】【分析】 平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y z a b c++=. 【详解】 由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y z a b c++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .4．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ）A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人，故选C.5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6上列乘5 上列乘2 1 630 60 123 15 30 13 2 10 20S=+++++=.所以6603020151210147故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲.故选：A.【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.7的末两位数字为（）8．观察下列各式：2749=，…，则1009=，37343=，472401A．49 B．43 C．07 D．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.9．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C【解析】【分析】 由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解.【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a , 所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C【点睛】 本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.10．某单位实行职工值夜班制度，己知A ，B ，C ，D ，E 5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几A ．二B ．三C ．四D ．五【答案】C【解析】分析：A 昨天值夜班，D 周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A 昨天值夜班，D 周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A 值夜班，周四D 值夜班，则周二与周三B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意． 故今天是周四．故选：C ．点睛：本题考查简单的推理，考查合情推理等基础知识，考查推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ）A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++ 【答案】B【解析】 分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
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1．(2015·广东，8，中)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5【答案】B(排除法)当n＝4时，4个点可以看作正四面体的4个顶点，显然符合题意．排除A，C，D.故选B.2．(2015·山东，11，易)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1＝________．2n－1【解析】当n＝1时，C01＝40＝41－1；当n＝2时，C03＋C13＝41＝42－1；当n ＝3时，C05＋C15＋C25＝42＝43－1；……∴C02n－1＋C12n－1＋…＋C n－1＝4n－1.2n－1【答案】4n－11．(2014·北京，8，中)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合适”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人【答案】B由已知，各同学之间语文成绩、数学成绩各不相同，当有三名同学时，设三名同学分别为A，B，C，优秀、合格、不合格分别为1，2，3，由于三名同学两科成绩各不相同，设B的语文成绩介于A和C的语文成绩之间，不妨设A<B<C，则数学成绩C<B<A，所以A的成绩为(3，1)，B的成绩为(2，2)，C的成绩为(1，3)．显然，超过四名同学时不符合条件．2．(2012·江西，6，中)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76 C．123 D．199【答案】C从给出的式子特点观察推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，得a10＋b10＝123.3．(2014·课标Ⅰ，14，易)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．【解析】由丙可知，乙至少去过一个城市．由甲可知，甲去过A，C且比乙多，且乙没有去过C城市，故乙只去过A城市．【答案】A4．(2013·陕西，14，中) 观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为_______________________________________________________．【解析】观察给出的式子可得出如下规律：12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，所以有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2思路点拨：本题分析式子的特点归纳出式子，利用等差数列的求和公式进行化简．5．(2012·湖南，16，难)设N ＝2n (n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1，2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N 2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N 2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段N 2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置；(2)当N ＝2n (n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．【解析】 (1)当N ＝16时，P 0＝x 1x 2x 3x 4x 5x 6…x 16，P 1＝x 1x 3x 5x 7…x 15x 2x 4x 6…x 16，P 2＝x 1x 5x 9x 13x 3x 7x 11x 15x 2x 6x 10x 14x 4x 8x 12x 16，所以x 7位于P 2中的第6个位置．(2)根据题意可知P 4将这2n 个数分成24段，每段有2n －4个数，每段数下标分别构成公差为16的等差数列．第1段的首项下标为1，其通项公式为16n －15，当16n－15＝173时，n＝474∉N*；第2段的首项下标为9，其通项公式为16n－7，当16n－7＝173时，n＝454∉N*；第3段的首项下标为5，其通项公式为16n－11，当16n－11＝173时，n＝232∉N*；第4段的首项为13，其通项公式为16n－3，当16n－3＝173时，n＝11∈N*.故x173位于P4中的第3×2n－4＋11个位置．【答案】(1)6(2)3×2n－4＋11思路点拨：本题结合排列、数列知识，应用归纳推理求解．6．(2012·福建，17，13分，中)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)方法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14·sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.方法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝1 2－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sinαcos α－12sin2α＝1 2－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.7．(2014·北京，20，13分，难)对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m ＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)解：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)． 当m ＝d 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋a ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋a ＋b ，且a ＋c ＋d ≤c ＋a ＋b ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)． 所以无论m ＝a 还是m ＝d ，T 2(P )≤T 2(P ′)都成立．(3)数对序列P ：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T 5(P )值最小，T 1(P )＝10，T 2(P )＝26，T 3(P )＝42，T 4(P )＝50，T 5(P )＝52.考向1 类比推理的应用类比推理的特点类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(1)(2015·陕西西安模拟，13)若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n项的积为T n ，则数列________为等比数列，通项为________．(2)(2015·山东烟台模拟，14)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________． 【思路导引】 解题(1)的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联；解题(2)的关键是熟练掌握类比推理及正四面体的外接球与内切球半径的大小关系．【解析】 (1)因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项，且写成了S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式，等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{n T n }为等比数列，通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.(2)从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127. 【答案】 (1)n T n n T n ＝b 1·(q )n －1 (2)127类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(2015·广东中山质检，10)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤ 2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________．【解析】构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，由对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，得a1＋a2＋…＋a n ≤n.【答案】a1＋a2＋…＋a n≤n考向2归纳推理的应用归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)归纳推理所得结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，推广的一般性结论也会越可靠．其结论的正确性往往通过演绎推理来证明．(3)它是一种发现一般性规律的重要方法．其思维过程大致如下：实验、观察→概括、推广→猜测、一般性结论(1)(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812．(2)(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】(1)∵5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F，V，E满足等式F＋V－E＝2.(2)已知各式可化为如下形式：N(n，3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32n，N(n，4)＝n2＝4－22n2＋4－42n，N(n，5)＝32n2－12n＝5－22n2＋4－52n，N(n，6)＝2n2－n＝6－22n2＋4－62n，由归纳推理可得N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n，故N(10，24)＝24－22×102＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.【答案】(1)F＋V－E＝2(2)1 000【点拨】解题(1)的关键是观察出F，V，E的变化规律；解题(2)的关键是通过观察、联想、对比，再进行归纳．常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．(1)(2011·山东，15)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x 15x ＋16， ……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．(2)(2015·陕西咸阳质检，14)观察下列特殊的不等式：52－225－2≥2×72， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125， 910－51095－55≥2×75， ……由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b sa r －b r ≥________． 【解析】 (1)由f (x )＝x x ＋2(x >0)得， f 1(x )＝f (x )＝x x ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4＝x （22－1）x ＋22， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8 ＝x （23－1）x ＋23， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16 ＝x （24－1）x ＋24， 所以归纳可得，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x （2n －1）x ＋2n . (2)52－225－2≥2×72＝21×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋222－1， 45－3542－32≥52×⎝ ⎛⎭⎪⎫723＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋325－2， 98－2893－23≥83×⎝ ⎛⎭⎪⎫1125＝83×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋228－3， 910－51095－55≥2×75＝105×⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋5210－5， 由以上特殊不等式，可以猜测：当a >b >0，s ，r ∈Z 时，有a s －b s a r －b r ≥s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r . 【答案】 (1)x （2n －1）x ＋2n(2)s r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2s －r考向3 演绎推理的应用演绎推理的理解(1)演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．(2)演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理．(2014·辽宁，21，12分)已知函数f (x )＝(cos x －x )(π＋2x )－83(sin x＋1)，g (x )＝3(x －π)cos x －4(1＋sin x )ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x π. 证明：(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0； (2)存在唯一x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<π. 【证明】 (1)当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＝－(1＋sin x )(π＋2x )－2x －23cos x <0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数． 又f (0)＝π－83>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2－163<0， ∴存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x 0)＝0. (2)考虑函数h (x )＝3（x －π）cos x1＋sin x －4ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 令t ＝π－x ，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. 记u (t )＝h (π－t )＝3t cos t 1＋sin t －4ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋2πt ，则u ′(t )＝3f （t ）（π＋2t ）（1＋sin t ）. 由(1)得，当x ∈(0，x 0)时，u ′(t )>0，当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，u ′(t )<0，在(0，x 0)上u (t )是增函数．又u (0)＝0，从而当t ∈(0，x 0]时，u (t )>0，所以u (t )在(0，x 0]上无零点．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2上u (t )为减函数，由u (x 0)>0，u ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－4ln 2<0，知存在唯一t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2，使u (t 1)＝0，所以存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使u (t 1)＝0，因此存在唯一的x 1＝π－t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使h (x 1)＝h (π－t 1)＝u (t 1)＝0. ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，1＋sin x >0， ∴g (x )＝(1＋sin x )h (x )与h (x )有相同的零点，∴存在唯一的x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使g (x 1)＝0. ∵x 1＝π－t 1，t 1>x 0，∴x 0＋x 1<π.【点拨】 证明本题的关键是证明所给函数在给定的区间上单调且端点值异号，由零点存在定理这个大前提就可得出．演绎推理的应用方法(1)在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．(2)用三段论证明的基本模式是：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．在证明的过程中，往往大前提不写出来．(2014·湖北黄冈调研，20，12分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c .若a ＋b ＋c＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－2<b a <－1；(2)方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．证明：(1)∵f (0)>0，f (1)>0，∴c >0，3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，∴－2<b a <－1.(2)方法一：∵抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，3ac －b 23a ， ∵－2<b a <－1，∴13<－b 3a <23. 又∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ＝3ac －b 23a ＝－a 2＋c 2－ac 3a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 243a <0， ∴方程f (x )＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 3a 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 3a ，1内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法二：∵f (0)>0，f (1)>0，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝－14a <0. 故抛物线与x 轴的两个交点落在区间(0，1)内，即方程f (x )＝0在(0，1)内有两个实根．方法三：∵Δ＝4b 2－12ac ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c 22＋3c 2>0，∴方程f (x )＝0有两个实根．设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2b 3a >0，x 1x 2＝c 3a >0，故两根为正．又∵(x 1－1)＋(x 2－1)＝－2b 3a －2<0，(x 1－1)(x 2－1)＝3a ＋2b ＋c 3a>0，故两根均小于1，命题得证．1．(2015·河南洛阳模拟，5)某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【答案】 C ∵大前提：“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.2．(2015·广东珠海模拟，6)在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【答案】 B 由直角坐标系可知A (1，1)，B (－1，2)，C (2，3)，D (－2，4)，E (3，5)，F (－3，6)，即a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a 2 014＝1 007，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1个奇数和第2个奇数互为相反数，且从－1开始逐渐递减的，则2 014÷4＝503余2，则a 2 013＝504，a 2 015＝－504，a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝504＋1 007－504＝1 007.3．(2015·陕西西安模拟，7)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为r ，四面体S -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 【答案】 C 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 4．(2014·山西四校期中检测，14)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，……类比得，x ＋a x n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________．【解析】 由已知三个式知n ＝1时，a ＝1；n ＝2时，a ＝22＝4；n ＝3时，a ＝33＝27，由此归纳可得a ＝n n .【答案】 n n5．(2015·福建泉州质检，15)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若m 3(m ∈N *)的分解式中最小的数是73，则m 的值为________．【解析】 根据23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首数为m 2－m ＋1.∵m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73，∴m 2－m ＋1＝73，∴m ＝9.【答案】 96．(2015·江西南昌一模，13)记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，……可以推测，A ＝________．【解析】 记S k ＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k ，当k ＝1，2，3，…时，观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ，可得：最高次项为2次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，可得：最高次项为3次，按n 的降幂排列，奇次项系数和13＋16＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2，可得：最高次项为4次，按n 的降幂排列，奇次项系数12，偶次项系数和14＋14＝12，12＝12，相等；S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ，可得：最高次项为5次，按n 的降幂排列，奇次项系数和15＋13－130＝12，偶次项系数12，12＝12，相等；S 5＝16n 6＋12n 5＋512n 4＋An 2，可得：最高次项为6次，按n 的降幂排列，奇次项系数和与偶次项系数和相等，均为12，则有16＋512＋A ＝12，得A ＝－112.【答案】 －1127．(2014·山东泰安模拟，15)已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________．【解析】 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ， 故S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.【答案】 (1)cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10 8．(2015·湖北宜昌一模，14)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，定义：f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一发现作为条件，求：(1)函数f (x )＝x 3－3x 2＋3x 的对称中心为________；(2)若函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________.【解析】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋3，f ″(x )＝6x －6，令6x －6＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝1，∴f (x )的对称中心为(1，1)． (2)令h (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，k (x )＝1x －12，则h ′(x )＝x 2－x ＋3，h ″(x )＝2x －1，由2x －1＝0，得x ＝12， ∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫123－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×12－512＝1， ∴h (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴h (x )＋h (1－x )＝2. 又∵k (x )＋k (1－x )＝1x －12＋112－x ＝0， x ＝12 015，22 015，…，2 0142 015， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋⎦⎥⎤h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015 ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡k ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝2×1 007＋0×1 007＝2 014. 【答案】 (1)(1，1) (2)2 014(2015·重庆，22，12分，难)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1a n ＋λa n ＋1＋μa 2n ＝0(n ∈N ＋)．(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ＝1k 0(k 0∈N ＋，k 0≥2)，μ＝－1，证明：2＋13k 0＋1＜ak 0＋1＜2＋12k 0＋1. 解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a n ＋1a n ＝2a 2n (n ∈N ＋)．若存在某个n 0∈N ＋，使得an 0＝0，则由上述递推公式易得an 0－1＝0，重复上述过程可得a 1＝0，这与a 1＝3矛盾，所以对任意n ∈N ＋，a n ≠0.从而a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，即{a n }是一个公比q ＝2的等比数列． 故a n ＝a 1q n －1＝3·2n －1.(2)证明：由λ＝1k 0，μ＝－1，数列{a n }的递推关系式变为a n ＋1a n ＋1k 0a n ＋1－a 2n ＝0，变形为a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1k 0＝a 2n (n ∈N ＋)． 由上式及a 1＝3＞0，归纳可得 3＝a 1＞a 2＞...＞a n ＞a n ＋1＞ 0因为a n ＋1＝a 2na n ＋1k 0＝a 2n －1k 20＋1k 20a n ＋1k＝a n －1k 0＋1k 0·1k 0a n ＋1，所以对n ＝1，2，…，k 0求和得ak 0＋1＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(ak 0＋1－ak 0)＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝⎛1k 0a 1＋1＋1k 0a 2＋1⎭⎪⎫＋…＋1k 0ak 0＋1 ＞2＋1k 0·⎝⎛⎭⎪⎫13k 0＋1＋13k 0＋1＋…＋13k 0＋1 k 0个 ＝2＋13k 0＋1. 另一方面，由上已证的不等式知a 1＞a 2＞…＞ak 0＞ak 0＋1＞2，得 ak 0＋1＝a 1－k 0·1k 0＋1k 0·⎝ ⎛1k 0a 1＋1＋⎭⎪⎫1k 0a 2＋1＋…＋1k 0ak 0＋1＜2＋1k 0⎝⎛⎭⎪⎫12k 0＋1＋12k 0＋1＋…＋12k 0＋1 k 0个 ＝2＋12k 0＋1. 综上，2＋13k 0＋1＜ak 0＋1＜2＋12k 0＋1.1．(2014·山东，4，易)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】 A “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”，故选A.2．(2012·辽宁，12，难)若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( ) A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x≤1－12x ＋14x 2 C ．cos x ≥1－12x 2 D ．ln(1＋x )≥x －18x 2【答案】 C 对于A ，分别画出y ＝e x ，y ＝1＋x ＋x 2在[0，＋∞)上的大致图象(如图)，知e x ≤1＋x ＋x 2不恒成立，A 错误．对于B ，令f (x )＝ 1＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2，f ′(x )＝121＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＋14x 2＋1＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12x ＝x （5x －2）81＋x.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝1＋25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12×25＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝75×2125＝3 0873 125<1，B 错误．对于C ，结合图象知正确．对于D，当x＝4时，ln 5<ln e2＝2＝4－18×42，D错误．故选C.3．(2014·天津，19，14分，中)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i ＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i ＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0.所以s<t.思路点拨：(1)把n和q的值代入，用列举法表示出集合A；(2)s与t作差，根据a n<b n利用放缩法证明．4．(2012·陕西，18，12分，中)(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：方法一(向量法)：如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μ n，图(1)则a·c＝a·(λb＋μ n)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为a⊂π，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.方法二(反证法)：如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.图(2)因为PO⊥π，a⊂π，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b⊂平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c⊂平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．5．(2013·江苏，19，16分，难)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S nn ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ， D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有 An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0.①②③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0， cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0， 与题设矛盾，所以d 1≠0. 又因为cd 1＝0，所以c ＝0.考向1 分析法的应用分析法的定义及框图表示(1)定义：从要求证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．分析法是一种“执果索因”的证明方法．(2)框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件(2013·江苏，21，10分)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【证明】 要证明2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b 成立， 只需证：2a 3－b 3－2ab 2＋a 2b ≥0， 即2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)≥0， 即(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0.∵a ≥b >0，∴a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0， 从而(a ＋b )(a －b )(2a ＋b )≥0成立，∴2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【点拨】 在证明时，无法直接找到思路，可用分析法证明或用分析法找出证明途径，再用综合法证明．利用分析法证明时应注意的问题(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．(2015·四川绵阳质检，18，12分)下列各式：1＋0.12＋0.1>12，0.2＋30.5＋3>0.20.5，2＋73＋7>23，72＋π101＋π>72101. 请你根据上述特点，提炼出一个一般性命题(写出已知，求证)，并用分析法加以证明．解：已知a >b >0，m >0，求证：b ＋m a ＋m >ba.证明如下：∵a >b >0，m >0，欲证b ＋m a ＋m >ba ，只需证a (b ＋m )>b (a ＋m )，只需证am >bm ，只需证a >b ，由已知得a >b 成立，所以b ＋m a ＋m>ba 成立．考向2 综合法与分析法的综合应用1．综合法(1)定义：从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论，这种证明方法叫作综合法．综合法是一种“由因导果”的证明方法．(2)框图表示：P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (其中P 表示条件，Q 表示要证的结论)．2．综合法与分析法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的证明方法．分析法侧重于结论提供的信息，综合法则侧重于条件提供的信息，把两者结合起来，全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息，才能找到合理的解题思路．没有分析，就没有综合，分析是综合的基础，它们相辅相成是对立统一的．(2014·江苏，20，16分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”； (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．【思路导引】 (1)利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，根据“新定义”证明．(2)求出数列的通项a n ，根据数列为“H 数列”列出关于公差d 和项数n 的等式分析求解．(3)将等差数列的通项a n 分解构造证明．【解析】 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n . 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ， 即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)． 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)． 于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”． 同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．综合法与分析法应用的注意点(1)综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．(2)对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．(2013·北京，20，13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i，d i＝A i－B i.(1)设数列{a n}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；(2)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，…，d n－1是等比数列；(3)设d1，d2，…，d n－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，…，a n－1是等差数列．解：(1)当i＝1时，A1＝3，B1＝1，故d1＝A1－B1＝2，同理可求得d2＝3，d3＝6.(2)证明：因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，…，a n是递增数列．因此，对i＝1，2，…，n－1，A i＝a i，B i＝a i＋1.于是对i＝1，2，…，n－1，d i＝A i－B i＝a i－a i＋1＝a1(1－q)q i－1.因此d i≠0且d i＋1d i＝q(i＝1，2，…，n－2)，即d1，d2，…，d n－1是等比数列．(3)证明：设d为d1，d2，…，d n－1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i≤B i＋1，d>0，所以A i＋1＝B i＋1＋d i＋1≥B i＋d i＋d>B i＋d i＝A i.又因为A i＋1＝max{A i，a i＋1}，所以a i＋1＝A i＋1>A i≥a i.从而a1，a2，…，a n－1是递增数列．因此A i＝a i(i＝1，2，…，n－1)．又因为B1＝A1－d1＝a1－d1<a1，所以B1<a1<a2<…<a n－1.因此a n＝B1.所以B1＝B2＝…＝B n－1＝a n.所以a i＝A i＝B i＋d i＝a n＋d i.因此对i＝1，2，…，n－2都有a i＋1－a i＝d i＋1－d i＝d，即a1，a2，…，a n－1是等差数列．思路点拨：(1)d1，d2，d3的值可根据所给定义进行求解；(2)需根据题意求出d n的通项后利用定义证明；(3)利用等差数列的定义证明．考向3反证法1．反证法的适用范围(1)否定性命题．(2)结论涉及“至多”“至少”“无限”“唯一”等词语的命题．(3)命题成立非常明显，直接证明所用的理论太少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明．(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少．2．反证法中可能导出的矛盾(1)与假设矛盾．(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与已知条件自相矛盾．3．使用反证法证明问题时，准确地做出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：(2013·陕西，17，12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．【思路导引】 (1)利用等比数列的概念及错位相减法推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论．【解析】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1. ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．用反证法证明命题的基本步骤(1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．(2015·浙江温州质检，19，14分)已知等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d >0.(1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列，求整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列．解：(1)∵a 1＝1，d ＝2，∴a 4＝7，a m ＝2m －1. ∵1a 21，1a 24，1a 2m成等比数列， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1722＝1（2m －1）2，∴(2m －1)2＝492. ∵a 1>0，d >0，∴m ＝25.(2)证明：假设存在m ∈N *，使1a 2m ，1a 2m ＋1，1a 2m ＋2成等差数列，即2a 2m ＋1＝1a 2m ＋1a 2m ＋2，∴2a 2m ＋1＝1（a m ＋1－d ）2＋1（a m ＋1＋d ）2＝2a 2m ＋1＋2d 2（a 2m ＋1－d 2）2，化简，得d 2＝3a 2m ＋1， 又a 1>0，d ＞0，∴a m ＋1＝a 1＋md >d ，∴3a 2m ＋1>3d 2>d 2，与d 2＝3a 2m ＋1矛盾，因此假设不成立，故原命题得证．1．(2015·山东济南模拟，4)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数【答案】 B “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.2．(2015·广东佛山质检，6)对于正实数α，M α为满足下述条件的函数f (x )构成的集合：∀x 1，x 2∈R 且x 2>x 1，有－α(x 2－x 1)<f (x 2)－f (x 1)<α(x 2－x 1)，下列结论中正确的是( )A ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )·g (x )∈Mα1·α2B ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且g (x )≠0，则f （x ）g （x ）∈M α1α2C ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，则f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2D ．若f (x )∈Mα1，g (x )∈Mα2，且α1>α2，则f (x )－g (x )∈Mα1－α2 【答案】 C －α(x 2－x 1)<f (x 2)－f (x 1)< α(x 2－x 1)， 即有－α<f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1<α，令k ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，则－α<k <α，不妨设f (x )∈M α1，g (x )∈Mα2，即－α1<k f <α1，－α2<k g <α2，因此有－α1－α2<k f ＋k g <α1＋α2， 因此有f (x )＋g (x )∈Mα1＋α2.3．(2014·湖北武汉联考，13)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 【解析】 ①⎭⎬⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β， 又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直于α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时， l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误． 【答案】 ①③4．(2014·山东潍坊高三期中，13)如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则△A 2B 2C 2是________三角形．【解析】 由条件知，△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，假设△A 2B 2C 2是锐角三角形．由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么，A 2＋B 2＋C 2＝π2，这与三角形内角和为180°相矛盾．所以假设不成立，又显然△A 2B 2C 2不是直角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．【答案】 钝角5．(2015·四川成都质检，15)设集合A ⊆R ，如果x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在x ∈A ，使得0<|x －x 0|<a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点，则在下列集合中：。