数学学习面面观
初中学生数学学习面面观
初中学生数学学习面面观初中学生数学学习面面观本文关键词：面面观，初中，数学，学习，学生初中学生数学学习面面观本文简介：数学一直是学校课程中的一门主课，学生在学习中也非常重视。
如何让学生更好地进入数学学习中，取得好的学习效果是关键。
数学教师在教知识的同时，一定要让学生学会学习，提高学生学习的能力，从学生学习的角度去组织教学。
因为只有学生学到了知识，具备了学习的各种素质，才能真正体现教师的教学作用。
笔者作为一名初中数学初中学生数学学习面面观本文内容：数学一直是学校课程中的一门主课，学生在学习中也非常重视。
如何让学生更好地进入数学学习中，取得好的学习效果是关键。
数学教师在教知识的同时，一定要让学生学会学习，提高学生学习的能力，从学生学习的角度去组织教学。
因为只有学生学到了知识，具备了学习的各种素质，才能真正体现教师的教学作用。
笔者作为一名初中数学教师，对于学生的学习简单从以下方面谈些看法。
作者：关玉梅一、提高学生的问题解决能力我国新颁布的《国家数学课程标准（试用稿）》在发展性目标领域中专门提到问题解决，并提出：“通过数学学习，应使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展，逐步学会从数学的角度提出问题、理解问题，在解决问题的过程中发展探索和创新精神，体验解决问题策略的多样性，学会与他人合作，能比较清楚地表达和交流解决问题的过程和结果，学会解决问题，逐步形成评价与反思的意识。
”在传统的数学教学中，教师通常是”灌输式”地去讲知识，让学生被动地去接受正确的答案和解题的套路，学生完全依赖于教师和书本。
在这种教学方式下，学生不具备自主学习的能力，完全按照教师说的做。
在课下也不主动进行课前预习和课后复习，只是完成教师布置的作业就万事大吉了。
在这种惰性思想支配下，学生对学习会越来越不感兴趣，只是在应付教师的要求。
在新课标颁布以后，一些教师注重了师生间的互动，采用了一问一答式的教学。
但是，在课堂教学中，教师仍然处于主动地位，起到决定作用。
探索与研究问题的呈现形式面面观——2、探究问题的结论是否成立或符合条件的数学对象是否存在
∴()()1111332n x x n d n n =+-=+-=-g1111144n n n n y y q ---===g ．假设存在a 和b ，使得log n a n x y b =+，()n N ∈ 则 ()132log 4,n a n b n N --=+∈即 ()()3log 4log 420a a n b -+--=．()n N *∈∵上式对任意自然数n 都成立， ∴ 3log 40log 420a ab -=⎧⎨--=⎩解这个方程组，得 341a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴存在常数34a =，1b =，使得对于一切自然数n ，都有log n a n x y b =+．【点评】这是一个判断符合题设条件的常数a 和b 是否存在的问题，解题时先假设存在常数a 和b ，符合题设条件log n a n x y b =+．然后通过解方程组求a 和b ，这里a 和b 都能求出，说明a 和b 都存在，这是判断符合条件的数学对象是否存在的常用方法．【例2】如图所示．已知抛物线24y x =的弦AB 过焦点F ，（1）若AB ⊥x 轴，M 为抛物线准线与x 轴交点，求AMB ∠的大小； （2）若焦点弦AB 斜率为k （常数0k ≠），则能否在抛物线准线上找到一点M 使（1）中AMB ∠大小不变．【思路点拨】该问题从特殊情形着手，首先得出90AMB ∠=o，然后探求在一般情形下结论是否还成立．要判断90AMB ∠=o，可以从MA 与MB 两边的斜率乘积是否为-1去考虑，还可以从几何角度判断以AB 为直径的圆是否能与抛物线的准线相切．【解】（1）由抛物线的定义得AF MF =，在直角AMF △中，45AMF ∠=o，同理45BMF ∠=o， ∴90AMB ∠=o．（2）设过焦点的弦AB 方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，代人24y x =。
“反证法”证明问题面面观
（解题通法）“反证法”证明问题面面观江苏省姜堰中学 张圣官（225500）数学中我们经常会碰到一类证明题，这类题从正面很难直接证明，否定却很简单，反证法就是应这类问题而生的一种证题方法。
例如：已知直线AB,CD 异面，求证直线AC,BD 也为异面直线。
要是从正面来说的话，需要证明直线AC,BD 不同在任何一个平面内，这显然不容易论证清楚；而用反证法，假设直线AC,BD 共面于平面α，则,,,,A C B D αααα∈∈∈∈根据公理1得直线AB,CD 都在平面α内，这与条件已知直线AB,CD 异面产生矛盾，因此原假设不成立，即直线AC,BD 为异面直线。
具体来说，反证法的证题过程包括下面三个步骤：（1）反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
反证法事实上是一种“以退为进”的证明方法，它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法。
直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。
用反证法证明问题时如何经过推理得出矛盾是其中的关键。
一般来说，推得矛盾的方式有以下三种。
产生矛盾方式之一：与题设条件产生矛盾例1．已知函数()f x 在(,)-∞+∞递增。
求证：若()()()()f a f b f a f b +>-+-，则0a b +>。
分析：直接证明有困难，用反证法。
假设0a b +≤，则,a b ba ≤-≤-，因为函数()f x 在(,)-∞+∞递增，所以()(),()()f a fb f b f a ≤-≤-，()()()()f a f b f a f b +≤-+-，这与条件()()()()f a f b f a f b +>-+-产生矛盾。
【初中数学】对初中数学学习的一点看法
【初中数学】对初中数学学习的一点看法1.根据孩子的学习情况选做一些难度合适的课外题进行巩固和提高。
一套题目做下来后能拿七十分左右的题目效果是最好的，都是九十分以上，题目有点简单，做了以后提高不大，学习知识的效率不高；都是50来分或更低，对孩子来说题目难度太大，打击孩子学习积极性，学习效果也不好。
2.一些孩子愿意读一些课外数学书，一些家长让他们的孩子读一些课外数学书。
当孩子看例子时，一定要让孩子先在草稿纸上做，然后看解决方案，直接看解决方案，即使理解不太深刻，效果也不是最好的。
如果你能自己做书中的例子，你也应该看看解决方案，看看方法是否与书中的相同，哪个更巧妙。
如果你真的做不到，在理解了解决问题的过程之后，你必须回去重新理解解决问题的方法和想法，并分析你做不到的原因。
3.对于课外班或者考试、看书的时候自己不会做的题，还有非常重要的一点，那就是在听完老师讲解之后或者看完书上的解答之后，要去想这样一个问题：老师或者书上的作者为什么会想到那个方法，如何才能想到那样的巧妙方法。
有的孩子听课时感觉老师的方法很巧妙，感觉也是全部听懂了，但是其实有的孩子并没学会思考，考试时还是不会去分析具体的问题，题目稍作改变，又不会了。
举个例子说明这个问题。
在做几何题时，有的题目只要知道如何加辅助线，题目就非常简单了。
知道了在具体的题目中在什么地方加辅助线并不重要，重要的是如何才能想到在这个地方加辅助线。
这样才真正学会了思考，做这道题目收获才会更大。
4.有些孩子在批改本上又犯了错误。
我认为应该根据情况来考虑。
对于粗心和错误的问题，没有必要再这样做，这是浪费时间。
对于原方法无法解决的问题，在知道如何解决后，最好在错误的书上再次解决。
如果有一个非常聪明的方法来解决一些问题，即使他们做得正确，最好做笔记或课后再做一遍。
5.尽量避免简单的重复。
有的家长认为孩子某些内容没掌握好，会让孩子把这些内容的一些做过的题目重新再做一遍。
这样简单的重复一是孩子兴趣不大，二是效率太低。
教育论文：小学数学课堂教学面面观
教育论文：小学数学课堂教学面面观小学数学课堂教学面面观山东省教研室徐云鸿两年一次的山东省小学数学优质课评选活动于2006年10月份举行，共有56节课参评。
通过这56节课，可以看出当前我国小学数学课堂教学的几个特点。
一、小学数学教学研究热点有所转移，体现出研究的全面性从课题的选择来看，课改初期，大家更多地选择统计、可能性、观察物体等，有些研讨活动甚至限制大家选这样的课题，因为实在是太多了。
从这次比赛看，这种现象有所转变，出现了许多大家在公开课不太愿意上的课或者是研究起来难度系数比较大的课，如“按比例分配”“小数乘法”“分数乘法”“比的意义”;“三角形的认识”“万以上数的认识”“分数除法”“用字母表示数”等。
从这种课题选题的变化，可以看出我们研究热点的变化，说明我们的研究越来越深入，越来越全面。
二、重视数学思想方法的渗透教师在教学时，对于知识点是什么，技能是什么，大家一般比较清楚，但知识技能背后还有更有价值的内容——数学思想方法。
如果老师心里有数学思想方法这根红线，教学中就会有意识地进行渗透，否则只能停留在知识与技能的层面，思想方法就处于一种自发的状态，数学思想方法对学生的影响就会大打折扣。
而数学思想方法对于学生的一生(不管他将来从事什么工作)都是最有价值的。
如:平行四边形面积的计算，教师设计的大致思路是:先通过回忆长方形面积的计算，了解学生已有的基础，知识方面的基础是长方形的面积计算公式，思想方法上的基础是知道求长方形的面积有两种方法:一种是用方格纸或面积单位直接测量，一种是间接测量，即先测量出长和宽，再通过计算来求面积。
教师把这两种方法板书在黑板上，让学生猜想平行四边形的面积怎样求。
结果出现两种猜想:一种是用长乘邻边，一种是用底乘高，然后让学生去验证，有的用方格纸去测量，有的想到了割补转化的方法。
象这样的设计就较好地体现了数学思想方法和数学研究的方法。
三、关注数学知识的价值教师在教学中既关注“是什么”的问题，又关注“为什么”的问题，也就是关注数学知识的价值和作用是什么。
农村初中数学课堂合作学习面面观及有效性的探究
的却是 ： “ 我认 为 ……” “ 我想 …… ” 而不是 “ 我 们小 组认为
动， 不少学生糊里糊涂 地上完一节课 ， 课堂上像神仙一样 ， 飘 飘然 了， 可想 而知他们 学到的知识有多少呢？ ５ ．同一个班 内的学 生差 异较 大 ， 教师 安排教 学内容统
一
二、 农村初 中数学合作学 习存在的 问题
然而， 农村初中数学合作学习受多种因素影响， 课堂合
作学 习效率不高 ， 通过调查研究发 现 ， 在实践过 程 中 ， 部分教 师对合作学 习缺乏理性 的认 识 ， 从 而导 致操 作上 流于形 式 ，
… ・ 一
教育功效， 已经越来越被教育工作者喜爱， 并在教育实践中
广泛应用 。在 ２ ０ １ １ 年版的《 数学课 程标准》 中也谈到有效 的 数学活动不能单纯地依 赖模仿 与记 忆 ， 动手 实践 、 自主探索 与合作交流是学生学 习数学 的重要 方式 。因此 开展 小组合 作学习的研 究是十分必要的 。研究表 明 ， 合作 与交 流有助 于
理的分组和分 工， 精 心地策划教 学， 留给 学生独立 自主的 学习时 间。
关键词 ： 合作 学 习； 学生； 教师 ； 有效性
中图分类号 ： Ｃ ， ６ ３ ３ ． ６ 文献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ —７ ８ ３ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ６ ９—０ ３ 实效性不强 。具体表现在 ： １ ．有相 当一部分的教师采用 “ 生搬硬套 ” 、 “ 穿新鞋走 老
数学解题方法面面观-2019年精选学习文档
数学解题方法面面观数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的，钻研习题、精通解题方法、练好解题的基本功，就能真正切实地提高解题水平。
下面罗列的这些解题方法，都是初中数学中最常用的，也是最重要的，有些方法甚至在高中数学的学习中都有重要的地位，希望同学们多加重视。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，使其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式，通过配方解决数学问题的方法叫做配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式，配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分广泛。
在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的最大值最小值以及解析式等方面，都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，因式分解是恒等变形的基础之一，它作为数学的一个有力工具、一种解题方法，在代数、几何、三角的解题中起着重要的作用，因式分解的方法有许多，除课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法外，还可利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等来分解。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元。
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式中，用新的变元去代替原式的一个部分，或改造原来的式子，使它简化，从而使问题易于解决。
比如，在解分式方程时就会用到这种方法。
4、待定系数法在解数学题时，有时所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，那么我们可以根据题设条件列出关于待定系数的等式，然后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。
这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
在反比例函数、一次函数的问题中，经常用到这种方法。
5、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法：通过对条件和结论的分析，构造辅助元素（它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等），架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法，运用构造法解题，可以使代数、几何、三角等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
数学问题中辩证思想面面观
２０２３年５月上半月㊀数学教育㊀㊀㊀㊀数学问题中辩证思想面面观◉安徽省亳州市蒙城县第一中学㊀于康荣㊀㊀摘要:数学这一数理基础学科,在教育与教学以及命题创设中经常融入辩证思想,具有较好的科学价值与人文价值．本文中结合实例进行梳理,借助辩证思想的内涵与数学学科的关系加以合理渗透,引领并指导教师教学与学生能力培养．关键词:数学命题;辩证思想;渗透;教育㊀㊀高中数学教育与教学的目标就是借助数学基本知识㊁思想方法的学习与应用,培养学生的基本素养,提高数学能力与思维品质,提升认识世界与解决问题的能力．在进行数学命题与创设时,借助辩证思想的渗透,充分体现了 数学是思维的体操 ,很好考查学生的数学基本知识㊁思想方法和能力,倍受各方关注．１动 与 静 辩证思想从马克思主义物质观来看, 动 与 静 二者之间存在辩证关系,是密不可分的．其中,运动是绝对的,是静止的一般状态;静止是相对的,是运动的特殊状态．动 中含有 静 , 静 中涉及 动 ,形成辩证的统一体．一些数学问题,也经常是完美的 动 与 静 的巧妙组合体．例１㊀(湖南师范大学附属中学２０２２届高三月考数学试卷 ８)已知点P (２,２),若圆C :(x －５)２＋(y －６)２＝r ２(r ＞０)上存在两点A ,B ,使得P A ң＝２A B ң,则r 的取值范围是(㊀㊀)．A．(０,５)㊀B ．(５２,５)㊀C ．[１,５)㊀D．５,５２éëêê)分析:根据平面解析几何背景,借助圆的基本性质, 动 与 静 结合,通过题目条件建立两线段之间的关系|P D |＝５|A D |,引入弦心距|C D |＝d ,结合勾股定理加以转化,并通过恒等变形来分离参数,再利用弦心距的性质得到关于r 的不等式,进而确定半径的取值范围．解析:由题可知圆C 的圆心坐标为(５,６),半径为r ＞０,|P C |＝５．设A B 的中点为D ,则有C D ʅA B ．由于P A ң＝２A B ң,则知|P D |＝５|A D |．设|C D |＝d ,则|P C |２－d ２＝５r ２－d ２,即２５－d ２＝５r ２－d ２．整理,可得d ２＝２５２４(r ２－１)．因为０ɤd ＜r ,所以０ɤ２５２４(r ２－１)＜r ２．解得１ɤr ＜５．所以r 的取值范围是[１,５)．故选择答案:C ．点评:通过平面几何中圆的弦心距及其特点,合理构建对应的关系式,借助辩证思想,结合问题的巧妙创设与合理过渡, 动 中含有 静 , 静 中涉及 动 ,二者之间形成一个完美的统一体,极具辩证思维．２整体 与 局部 辩证思想从唯物辩证法的角度来看, 整体 与 局部 二者之间的变化与统一是密不可分的． 整体 处于统率的决定地位,可以细分为若干的 局部 ;而 局部 处于细节的关键地位,可以有效制约 整体 ．例２㊀(２０２１届江苏姜堰中学㊁如东中学㊁沭阳中学高三上期中数学联考试卷 １２)(多选题)已知函数f (x )＝x ２－４x ＋(m ２－m )(e x －２＋e ２－x)(e 为自然对数的底数)有唯一零点,则实数m 的值可以为(㊀㊀)．A．１B ．－１C ．２D．－２分析:利用 整体 与 局部 的关系,合理参变分离,将一个函数零点个数的 整体 问题分解为两个函数图象的 局部 交点个数问题,利用 整体 与 局部 二者之间的统一与联系,借助数形结合,形象直观地确定参数的取值问题．解析:因为函数f (x )＝x ２－４x ＋(m ２－m )(e x －２＋e ２－x)有唯一零点,所以对应的方程x ２－４x ＋(m ２－m )(e x －２＋e ２－x)＝０有唯一的实数根．分离参数,可知直线y ＝m ２－m 与函数g (x )＝４x －x２e x －２＋e２－x的图象有唯一交点．将函数g (x )＝４x －x ２e x －２＋e２－x 的图象向左平移２个单位,可得函数h (x )＝４－x２e x ＋e－x的图象．由于函数h (x )＝４－x２e x ＋e－x为R 上的偶函数,因此其对应的图象关于y 轴对称．又h (０)＝２,函数h (x )在区间(０,２)上单调递减,９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.数学教育２０２３年５月上半月㊀㊀㊀h (２)＝０,又当x ＞２时,h (x )＜０,且当x ң＋ɕ时,y ң０－,所以函数h (x )对应的图象如图１所示．图１所以,方程x ２－４x ＋(m ２－m )(ex －２＋e２－x)＝０有唯一实数根,只需m ２－m ＝２．解得m ＝－１或２．故选择答案:B C ．点评:合理分离参数,利用两个基本初等函数的图象与性质进行 整体 与 局部 处理．借助辩证思想,把握全局,从 整体 入手,寻找最优目标;搞好局部,从 局部 深入,发挥最佳切入点．３相等 与 不等 辩证思想从问题实质层面来看, 相等 与 不等 是一对互相矛盾的辩证统一体的两个方面．在一定的条件下 相等 与 不等 是可以相互利用,相互转化的,经常利用 相等 可以导出 不等 的结果,利用 不等 也可以推出 相等 的结论,极具辩证思维．一些数学问题中,经常借助 相等 与 不等 的化归与转化来实现问题的破解．例３㊀(河北省省级联测２０２２届高三上学期第一次考试数学试卷 ７)若x ＞０,y ＞０,且１２x ＋１＋１x ＋y＝１,则２x ＋y 的最小值为(㊀㊀)．A．２B ．２２C ．１＋２D．２＋２２分析:结合题目所求的二元代数式进行整体换元处理,将代数关系式转化为关于参数x 的二次方程,进而根据方程有正实数解,实现 相等 与 不等 之间的巧妙转化,通过判别式法构建对应的不等式,从而确定相应的最值问题．解析:设２x ＋y ＝t ＞０,则y ＝t －２x ．将上式代入１２x ＋１＋１x ＋y ＝１中,可得１２x ＋１＋１t －x＝１,整理得２x ２＋(２－２t )x ＋１＝０．由题意知,以上关于参数x 的二次方程有正数解,那么判别式Δ＝(２－２t )２－４ˑ２ˑ１＝４t ２－８t －４ȡ０．解得t ɤ１－２(舍去),或t ȡ１＋２．所以２x ＋y 的最小值为１＋２,当且仅当x ＝２２,y ＝１时,等号成立．故选择答案:C ．点评:通过方程有根来合理数学建模,结合判别式,利用求解不等式来实现 相等 与 不等 的巧妙转化．借助辩证思想,通过 相等 与 不等 的有效化归与转化,用 相等 可以解决 不等 问题,用 不等 可以解决 相等 问题,实现二者之间的巧妙过渡,合理转化,辩证应用．４变化 与 不变 辩证思想从事物运动发展角度来看, 变化 与 不变 二者之间和谐统一,既相互依赖又相互包含,在一定的条件下还可以相互转化．在实际分析与解决问题中,要从变化 中寻找 不变 元素,从 不变 中辨别 变化 因子,形成良好的思维高度与广度,科学辩证分析与解决问题．图２例４㊀(２０２２届湖北省恩施州高三年级第一次教学质量监测考试数学试卷 ７)如图２,圆内接四边形A B C D 中,A D ＝２,C D ＝４,B D是圆的直径,则A C ң B D ң＝(㊀㊀)．A．１２B ．－１２C ．２０D．－２０分析:利用圆的直径确定线段的垂直关系,利用平面向量的投影构建对应的平面向量的数量积关系式,实现 变化 与 不变 的转化,通过所求平面向量数量积的合理线性运算,借助等量代换加以恒等变形,进而得以分析与求解．解析:由于B D 是圆的直径,因此可得A B ʅA D ,C B ʅCD ．结合平面向量的投影,可得D A ң D B ң＝D A ң２,D C ң D B ң＝D C ң２．所以A C ң B D ң＝－A C ң D B ң＝－(D C ң－D A ң)D B ң＝D A ң D B ң－D C ң D B ң＝D A ң２－D C ң２＝２２－４２＝－１２．故选择答案:B ．点评:直接利用平面向量的投影加以转化与变形,合理联系 变化 与 不变 ,数形结合,巧妙应用．借助辩证思想,在具体数学问题中,学生具有基本实现运动与变化㊁变量与常量㊁定值与最值等 变化 与 不变 的一些具有辩证统一体之间的转化与应用能力．在高中数学教育与教学中,借助辩证思想,实现不同层面之间的合理化归与转化,充分强调思想上的引领,更加全面宏观地看待学生的整体情况与长远发展,铺砖砌石,在传授学科知识的同时,充分体现科学价值并渗透人文价值,很好考查学生的数学知识㊁思想方法和数学能力,有效提升数学思维品质,培养数学核心素养．Z０１Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(三)因式分解面面观课件
(4)a2-4b2-2a+4b=(a2-4b2)-(2a-4b) =(a+2b)(a-2b)-2(a-2b) =(a+2b-2)(a-2b). (5)2a2-6bc+4ab-3ac =(2a2+4ab)-(6bc+3ac) =2a(a+2b)-3c(2b+a) =(a+2b)(2a-3c).
类型三 十字相乘法 6.利用整式的乘法运算法则推导得出:(ax+b)·(cx+d)=acx2+ (ad+bc)x+bd.我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变 形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过 观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x为未知数,a、b、c、d为 常数的二次三项式分别进行适当的分解来凑一次项的系数, 分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾,叉乘凑中项”,如 图1,这种分解的方法称为十字相乘法.
8.已知a2+b2-6a+10b+34=0,求多项式4a2+12ab+9b2的值.
解析 a2+b2-6a+10b+34=a2-6a+9+b2+10b+25=(a-3)2+(b+5)2, ∵a2+b2-6a+10b+34=0, ∴(a-3)2+(b+5)2=0, ∴(a-3)2=0且(b+5)2=0, ∴a-3=0且b+5=0,解得a=3,b=-5, ∴4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2=[2×3+3×(-5)]2=(-9)2=81.
初中生数学超前作业现象面面观论文
初中生数学超前作业现象面面观摘要：“超前作业”发映出学生的自我意识萌发的可喜一面，但也暴露出个别同学不切实际、不负责任的草率心态。
当然，超前作业也是教师教学成败的一面镜子。
我们要基于“不同的人在数学上得到不同的发展”的要求，使每个学生都获得合理的引导而获得进步。
关键词：初中数学；超前作业；自我意识；引导；反馈中图分类号：g633.6文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）11-093-01一、课前“超前”——彰显个性风采案例1：初一数学蒋老师在教学中发现学生经常有“超前作业”现象，而且这些超前作业到新课上完后再看是错误百出、草率书写，于是规定不得“超前作业”，可是屡禁不止，有的学生甚至气愤地说小学老师鼓励他们这样做呢，蒋老师哭笑不得。
学生为什么会热衷于在课前进行“超前作业”呢？第一、兴致所致，有意超前。
有一些基础扎实、思维敏捷的学生，上课时教师一讲就懂，完成作业的积极性高，他超前作业的正确率也很高，这样他能在超前中获得一种成就感和愉悦的心理体验。
第二、盲目攀比，不切实际。
看到同学能超前完成作业，有的学生就会把自己的目标也定高，要求自己能超过对方。
第三、任务观点、完成万岁。
有的学生认为反正老师下回还要布置这个作业，早点完成任务，等下次老师再布置这个作业时，自己就没有这个任务的压力了。
如何对待学生课外的“超前作业”呢？第一，鼓励优秀学生适当“超前”。
优秀学生头脑灵活，思维敏捷，做数学作业迅速而正确，比别人节省了大量时间，有时间和能力进行“超前作业”，教师要引导他们自主选择，可选做难度较大的提高题，以拓宽知识面、提升综合能力。
第二，引导中等学生量力而行。
对于中等生，教师首先要肯定他们这种超前学习的精神，但要根据自身的实际能力，不能盲目地“超速”，否则易致“翻车”。
第三，帮助学困生不做“超前作业”。
教师要引导学生明白，超前作业是时间上的超前，并不意味着质量的高超。
如果一味看重超前，是以牺牲质量为代价的，而且一旦作业错误百出，超前就变得毫无意义。
日本数学教育面面观
学 校 体 系
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高 中设 置 了必 修 课“ 伦理 社 会 ” ．
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１６ ９ ８年进行 了第 ３次修订 ， 这次修订 的主题是提倡 “ 教育课 程现代化” 在算术数学学科 中加入了集合 、 ，
２１ ０ ０年第 ５期
中学数 学月 刊
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日本 数 学 教 育 面 面观
陈 月兰 （ 东师范 大学数 学 系 ２ ０ ６ ） 华 ０ ０ ２
从 地 理 位 置 上 说 日本 处 于 亚 洲 ， 而 经 济 上 则 属 于 欧 美 高 度 发 达 国 家 水 平 ， 均 年 收 入 ３ ５万 美 元 然 人 ． （０ ７年 ） 日本 的教 育 在受 到 我 国 文 化影 响 的 同 时 ， 吸 纳 了西 方 先 进 的 理 念 ， 面 我 们 重 点 来 简 单 介 绍 一 ２０ ， 也 下 下 日本 的教 育 情 况 ， 主要 从 教 育 制 度 、 程 标 准 、 科 书和 教 学 四个 方 面 展 开 ． 课 教
１ 教 育制 度
日本 最 初 的“ 制 ” 念 ， １ ７ 学 概 是 ８ ２年 从 法 国 引 入 的 ， 现代 的 学校 教 育 制 度 则 受 美 国 影 响较 深 ， 威 的 教 育 杜
思 想 在 日本 根 深 蒂 固． 日本 的学 制 有 这 样 两 个 特 点 ： 一 、 整 的 教 育 体 制 ． 在 日本 实 行 的是 ６ ３ ３ 其 完 现 — — —４
数学课堂激励性评价之弊面面观
过物 质刺 激 是不 能达 到 激励 性评 价 的 目的的 。
二 激励 性 评 价＝ 没有 批 评 吗 ｆ 象］ 现
地 、 动地 为 他 喝 彩 ， 种 激 励 效 果 将 远 远 高 于教 师指 令 主 这 的效果 同时 ， 评 价的 形式 上 ． 生 自己更 清 楚怎 样 夸奖 在 学
在课 堂 教学 中 ， 常 看 到教 师 对全 班 学 生说 ： 表扬 他 经 “ （ ） 于 是全 班 学生 一起 鼓 掌 ： 啪啪 啪啪 。 她 ！” 啪
ｆ 思１ 反
常在 各 种 会 议 听 到 、 到 “ 致 鼓 掌 通 过 ” ｝ 二 看 一 的情 形 ． 也 常 常为 之 哑然 失 笑 ． 但上 述 情 形 ． 不也 无 异 于 “ 一致 鼓 掌 通过 ” ？长 期 以来 ． 应 试 教育 的影 响 ， 受 教师 一 直 霸 占着 评 价 实 施者 的地 位 ． 生 只是 盲 目地 跟 随 教 师 的 指令 ． 为 学 成 机械 的评 价 操作 者 《 数学 课 程标 准 》 出 ：应 建 立评 价 目标 多元 、 价 方 指 “ 评 法多 样 的评 价体 系 ” 因此 ． 在课 堂 教学 中实施 激励 性 评价
凸显本质 回归本真——高中数学课堂探究式教学面面观
要 摈 弃徒有 形式 的 “ 探究 ” 走 向 “ 探究 ” 假 ， 真 ， 这 就要确立学生 在学 习 中的主体 地位 ， 确保学生在
自主 的探 究过程 中产 生问题 、 出问题 、 提 探究 解决
有些教 师 以为探究 式教学就 该完 成整个 探究
过程， 因而对课堂 探究耗 时 、 耗力 又没有 立竿 见影
探究性教学 ， 是指在教师 的指导下 ， 学生像 “ 数
学生数学学 习过程 中的发现 、 探究等数学认识活动
呈现 出来 ， 使学 生经历 发现问题 、 出问题 、 提 解决 问 题 的数学 活动过 程 ，并 在此过程 中理解数学 概念 ，
学家 ” 一样 主动参与到发现 问题 、 研究 问题 、 解决 问 题并 在探究 过程 中获 取知识 、 发展 技能 、 培养 能力 的教学活动． 的基本教学模式是 ：情景一探究一 它 “ 建构 ” “ 景一 问题一探究 ” “ 景一 问题一 探 、情 和 情
一
定 ，引导 学生 主动参 与 、乐于探 究 、 于动 手 ， 勤 培养 学生 的科 学探 究 能力 ， 成科 形 学 的态度和 价值观 ，使课堂 教学着 眼 于学生 的全 面 发展 和终 身 发展 ． 文试 图从 多 个 角度探 讨 探 本 究 式教学 ， 以求能 真正把握 探究式 教学 的精髓 ， 最 终 让我们 的探究 教学从形式走 向本质 ， 回归探究 的
师： 请证 明得到的结论 ．
在这个案例 中学 生也 有动手操作 、 思考和 观察
逻辑证 明 ， 这些 不是基于学生 自然合理 地提 出问 但 题 、 决 问题 、 解 解析 和拓展结 果 以及对 活动过 程 中
进行反 思和概括的 自觉运用 ， 各种推 理的运用不是
(数学)分段函数面面观
分段函数面面观一、分段函数的定义定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同，这样的函数称为分段函数．注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数的组合，只不过它有多个对应关系．二、分段函数的定义域及值域依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集，值域应是各段函数值取值区间的并集．最大（小）值就是函数值中最大（小）的那一个．例1 设函数223(0)23(01)5(15)x x y x x x x x +⎧⎪=++<⎨⎪--<⎩，，， ≤≤ ≤求它的定义域、值域及最值．解：∵(0](01](15](5]-∞=-∞ ，，，，， ∴函数的定义域为(5]-∞，． 又∵当0x ≤时，23y x =+，它在(0]-∞，上是增函数，∴3y ≤； 当01x <≤时，223y x x =++，它在(01]，上是增函数，∴36y <≤； 当15x <≤时，5y x =--，它在(15]，上是减函数，∴106y -<-≤． ∴函数的值域为(6]-∞，，函数无最小值，最大值为6． 三、分段函数的解析式求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则． 例 2 已知2()23f x x x =-+，将()f x 在[1]m m +，上的最小值记为()g m ，试求()g m 的表达式．分析：以函数()f x 的对称轴1x =与区间[1]m m +，的位置关系分三种情况讨论，()g m 的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于m 的一个分段函数． 解：当对称轴在区间左侧，即1m >时，函数2()23f x x x =-+在[1]m m +，上为增函数，2()()23g m f m m m ==-+；当对称轴在区间内时，即0m 1≤≤时，()(1)2g m f ==； 当对称轴在区间的右侧时，即0m <，函数2()23f x x x =-+在[1]m m +，上为减函数， 2()(1)2g m f m m =+=+．综上所述，222(0)()20123(1).m m g m m m m m ⎧+<⎪=()⎨⎪-+>⎩，， ≤≤四、分段函数的单调性和奇偶性判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断，合并作答”的原则．例3 判断函数22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+⎪⎩，≤的奇偶性． 解：先判断单调性．当0x >时，2()f x x x =-，在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是减函数，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数； 当0x ≤时，2()f x x x =+，在12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上是减函数，在102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数．∴函数()f x 在12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，和102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上是减函数，在102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，和12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上是增函数．再判断奇偶性．当0x <时，0x ->，22()()()()f x x x x x f x -=---=+=；当0x >时，0x -<，22()()()()f x x x x x f x -=-+-=-=．综上所述，在函数定义域内始终有()()f x f x -=，∴函数22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧->⎪=⎨+⎪⎩，≤为偶函数． 分段函数是函数的一种重要而特殊的表现形式，同学们要注意它和一般函数的区别和联系，在理解其本质的基础上准确地运用它。
数学学科的认识和看法
数学学科的认识和看法数学学科是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念和关系的学科。
它是一门古老而又现代的学科，对于人类的思维和社会发展起到了至关重要的作用。
在我看来，数学学科是一门严谨而精确的学科，它具有独特的思维方式和解决问题的能力。
数学学科具有严谨性。
数学要求严密的逻辑推理和精确的定义。
在数学中，每个概念都需要明确定义，并符合一定的公理和规则。
任何一个定理或结论都需要经过推理和证明，确保其正确性。
这种严谨性使得数学成为一门可以被广泛接受和认可的学科，数学中的结论具有普遍性和普适性。
数学学科具有抽象性。
数学的研究对象往往是抽象的概念和符号。
数学家通过抽象和理想化，将复杂的现实问题简化为数学模型，并通过数学方法进行分析和求解。
这种抽象能力使得数学成为一种强大的工具，可以应用于各个领域，并解决实际问题。
数学学科还具有普适性和广泛性。
数学是自然科学和社会科学的基础，几乎所有的科学领域都离不开数学的支持和应用。
物理学、化学、经济学等学科都需要数学的方法和理论来描述和解释现象。
同时，数学也具有自身的独立性和纯粹性，它是一种追求真理和美的学科，具有自我完善和发展的内在动力。
作为一名学习者，我对数学学科有着深深的敬畏和兴趣。
数学学科的学习要求我们具备清晰的思维和逻辑能力，培养良好的分析和解决问题的能力。
通过数学的学习，我们可以锻炼自己的思维方式，提高自己的综合素质。
然而，我也认识到数学学科的学习并不容易。
数学的概念和方法往往比较抽象和复杂，需要我们付出更多的努力和时间去理解和掌握。
数学问题的解决往往需要多方面的思考和方法的综合运用。
在解题过程中，我们需要培养耐心和毅力，不断尝试和思考，才能找到正确的解决方案。
在数学学科的学习中，我也遇到了许多困惑和挑战。
有时候我会觉得数学问题太难以理解，甚至觉得自己永远无法解决。
但是，我不会放弃，我相信只要我坚持下去，付出努力，就一定能够克服困难，取得进步。
总的来说，数学学科是一门重要而有趣的学科。
数学教学论文：数学理解之面面观
数学理解之面面观华东师范大学课程与教学研究所博士生吕林海200062数学理解已越来越成为数学教育的热点话题，国内很多学者就该论题发表了自己的研究成果与心得。
总体说来，大家是在力图借鉴国外的理论成果（主要是认知主义学习心理学、建构主义学习理论）的基础上，融合自己的理论认识与实践体悟，从各个微观层面上（理解的类型、理解的模型、解题中的理解、概念理解等）构建既有理论支撑，同时又具有实践可操作性的策略模式。
本文试图跳出这一研究思路，在着力吸收国外对理解与数学理解的最新研究进展基础上，截取几个具有研究价值的视角（认知建构观、情境文化观、意义观、教学设计观、评价观），从整体上输理与探悉数学理解的各种理论意义与教育实践意涵。
笔者试图通过论述，对为什么要理解数学、为什么要研究数学理解、数学理解的本质是什么、怎么样在教学中去促进数学理解以及如何评价理解等一些带有本体论意味的问题做一个概要性、宏观性的分析探讨，希望能使大家获得对数学理解的更全面、更深刻的"理解"，从而对数学教学实践有所助益。
一、数学理解的意义观数学理解的意义何在？对该追问，笔者将从理论研究的意义、个体发展的意义和社会需求的意义等三个方面做出辨析。
从理论研究的角度看，理解与数学理解的研究意义体现在它的广阔包容性和相对独立性。
可以说，理解与数学理解的研究涉足哲学、社会学、学习学、人类学、文化学等各个领域。
它为我们提供了一个研究视角，使我们在把握各个背景领域的内涵演化的同时，不断丰富、充实、更新着对它的认识与解读。
以学习科学领域中理解观的演变为例。
行为主义崇尚刺激反应之间的联结，闭口不谈"心理、意识与理解"等不可捉摸的东西。
格式塔学派崇尚"完形"，认为理解就是"顿悟"，就是在心理上构建"完形"。
到了认知主义学派，奥苏伯尔认为理解就是意义同化，布鲁纳则持结构主义理解说。
数学学科的认识和看法
数学学科的认识和看法数学学科是一门研究数量、结构、变化和空间等基本概念和关系的学科。
它不仅是一种工具，也是一种思维方式和一种语言。
对于我而言，数学学科是非常重要的，它在我学习和思考中起着至关重要的作用。
数学学科教会了我逻辑思维和分析问题的能力。
数学是一门严谨的学科，它要求我们按照一定的规律进行推理和证明。
通过学习数学，我不仅学会了如何分析问题，还学会了如何找到问题的本质和关键点。
这种思维方式不仅在数学问题中有用，也可以应用到其他学科和现实生活中。
数学学科让我更加注重细节和精确性。
在数学中，一个小小的错误可能导致整个结果的错误。
因此，我在学习数学时，必须非常仔细和专注，不能有丝毫马虎。
这种注重细节和精确性的态度也对我的其他学科学习产生了积极的影响，使我在解决问题时更加细致入微，不放过任何一个细节。
数学学科培养了我的抽象思维能力。
数学中有很多抽象的概念和符号，需要我们用符号和符号之间的关系来描述问题。
通过学习数学，我逐渐习惯了抽象思维，能够将复杂的问题简化为抽象的模型，并通过分析模型来解决实际问题。
这种抽象思维的能力在现实生活中也非常重要，可以帮助我更好地理解和解决各种复杂的问题。
在数学学科中，我还学会了合作和沟通的重要性。
在解决数学问题时，经常需要和同学一起合作，共同思考和讨论。
通过合作，我们可以互相启发，共同进步。
同时，数学学科也需要我们向他人清晰地表达自己的思路和观点。
这种合作和沟通的能力对于我未来的学习和工作都非常重要。
数学学科也有一些困难和挑战。
有时候，我会遇到一些复杂的问题，需要通过一些方法和技巧来解决。
有时候，我会遇到一些抽象的概念和符号，需要耐心地理解和掌握。
但是，正是这些困难和挑战让我对数学产生了更大的兴趣和热爱。
我喜欢挑战自己，克服困难，不断提高自己的数学能力。
总的来说，数学学科对我来说非常重要。
它不仅培养了我的逻辑思维能力、分析问题的能力和抽象思维能力，还教会了我注重细节和精确性，以及合作和沟通的重要性。
椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式P 是椭圆x a y b2222+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x ba b 222210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1 已知点P （x ，y ）是椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x ac . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF 1|=22)(y c x ++ (1)从椭圆方程12222=+b y a x 解出 )(22222x a a b y -=(2)代（2）于（1）并化简，得|PF 1|=x aca +(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x aca - (-a ≤x ≤a)【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r 1=a+ex r 2=a-ex (e=ac ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.【解答】 依题意，有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-代①于④并整理得r 1-r 2=x ac2 ⑤ 联立①，⑤得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xa c a r x ac a r 21【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.二、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式. 如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：x=-ca 2为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有ex a ca x e PD e PF e PD PF +=+==⇒=)(||||||||2即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线ca x 2±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任意一点.直线l 为x=-ca 2，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =||||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+ca 2. 故有e ca x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=22211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线l 1:x=-c a 2(l 2：x=c a 2)的距离之比为定值e （0<e<1）.三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4． 设点P （x ，y ）适合方程12222=+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0）和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知r 1=a+ex ①同理还有r 2=a-ex ②①+② 得 r 1+r 2=2a即 |PF 1|+|PF 2|=2a.即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a.【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 四、椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
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「會教」的意義 會教」
影響數學學習的歸因1/3 影響數學學習的歸因1/3
編號 影響數學學習之成因 回答學生
A、C、G、N、O、Q、R、S、 T A、C、D、E、F、H、I、J、 K、M、N、O、P B、F、S A、F、H、I、O
1 2 3 4 5 6
興趣 多做練習、 多做練習、努力 聰明 過去的基礎 老師的教學方式 態度
學生的回答1/5 學生的回答1/5
上課認真聽，習題認真算。 上課認真聽，習題認真算。 （男， 國三） 國三） 上課的專心度，細心及鎮定的情緒， 上課的專心度，細心及鎮定的情緒， 回家的複習程度，多做題目， 回家的複習程度，多做題目，是否 對數學感興趣， 對數學感興趣，有問題是否有請教 同學＆老師。 國三） 同學＆老師。 （女，國三）
兩個數學題目2/2 兩個數學題目2/2
（A） （B）
（C）
（D ）
影響數學學習的原因
問題：你覺得影響數學學習 問題：你覺得影響數學學習 成績、內容的了解… （成績、內容的了解….）的 因素有哪些？ 因素有哪些？
晤談20位學生，編號A 晤談20位學生，編號A到T。高一學生8位； 高一學生8 位學生 高二學生8 國三學生4 12位男生 位男生， 高二學生8位；國三學生4位。12位男生， 8位女生。 位女生。
兩個數學題目1/2 兩個數學題目1/2
圖（四）是小芳畫的正方形風箏圖案，且 是小芳畫的正方形風箏圖案， 他以圖中的對角線為對稱軸， 他以圖中的對角線為對稱軸，在對角線的 下方畫一個三角形， 下方畫一個三角形，使得新的風箏圖案成 為一對稱圖形， 為一對稱圖形，若下列圖形有一圖形為此 對稱圖形，則此圖為何？ 對稱圖形，則此圖為何？
數學學習是越來越難，導致學習意願降低。 數學學習是越來越難，導致學習意願降低。 高二） （男，高二）
學生的回答4/5 學生的回答4/5
上課聽不懂會神遊，那之後老師敎的 上課聽不懂會神遊， 就沒聽到，前一天，有補習，很晚睡， 就沒聽到，前一天，有補習，很晚睡， 那隔天上課精神不好， 那隔天上課精神不好，也沒法聽老師 上課，回家沒複習，累積到考前， 上課，回家沒複習，累積到考前，就 會很痛苦的去讀它。 高一） 會很痛苦的去讀它。（女，高一）
Hale Waihona Puke 學生的回答2/5 學生的回答2/5
在學習過程要專心，必須了解重點， 在學習過程要專心，必須了解重點， 並且多做練習， 並且多做練習，要選在有精神的時候 讀重點，平時考的成績要給自己自信， 讀重點，平時考的成績要給自己自信， 讀書前要睡飽， 讀書前要睡飽，讀前要上廁所，對 之前的課程了解，興趣也很重要。 之前的課程了解，興趣也很重要。（男，
學生的回答5/5 學生的回答5/5
1、對數學熱忱不夠，沒有每天算 對數學熱忱不夠， 2、底子沒打好，運算容易出錯 底子沒打好， 3、邏輯概念不夠好（男，高二） 高二）
數學天份 vs. 老師教法
百分比％ 百分比％ 25％以下 25％ 數學天份
C、I、K、M、O
老師教法
25％〜50％ A、B、D、E、G、 E、H、I、P、R 25％ 50％
國三） 國三）
學生的回答3/5 學生的回答3/5
多練習題目，不懂的地方， 多練習題目，不懂的地方，一定要發 公式要靈活運用， 問，公式要靈活運用，先預習上課內 功課要寫，回家要複習，多思考， 容，功課要寫，回家要複習，多思考， 腦袋要活，國文程度要還好， 腦袋要活，國文程度要還好，想像力 豐富。 國三） 豐富。（女，國三）
14
老師同學討論 成就感 身心狀態 耐心 補習
E、I、J、K、L、N、P G、N O、R、N
15 16 17 18
C T
學生了解學好數學的關鍵 ------自身的努力 ------自身的努力 名師? 名師? 25%的學生了解 25%的學生了解
敬請指教 謝謝! 謝謝!
H、P、Q、T
50％〜75％ 50％ 75％
F、J、N、R、S B、C、D、F、G、 L、M、N、O、Q、 T L J、K、S
75％〜100％ 75％ 100％
RS019：「你說天份佔百分之五十嘛！ RS019：「你說天份佔百分之五十嘛！你 ：「你說天份佔百分之五十嘛 認為那老師對你的影響呢？」 認為那老師對你的影響呢？」 S019：「佔八十！」 S019：「佔八十！」 ：「佔八十 RS020：「老師對你的影響八十？」 RS020：「老師對你的影響八十？」 ：「老師對你的影響八十 S020：「對啊！要看， S020：「對啊！要看，那老師會不會敎 ：「對啊 有的老師就真的不會敎， 啊？有的老師就真的不會敎，就真 就算是有天份也很難學到東西啊！ 的，就算是有天份也很難學到東西啊！」
數學學習面面觀
20位學生的晤談 20位學生的晤談
數學教育目標
（1）實用目標 （2）社會目標 （3）文化目標 （4）個人目標 數學教育目標若缺乏其中任何一個， 數學教育目標若缺乏其中任何一個， 將導致整個教育體系的徹底失敗。 將導致整個教育體系的徹底失敗。
（呂秋文，政大應數系教授） 呂秋文，政大應數系教授）
C、D、Q A、E、L
影響數學學習的歸因2/3 影響數學學習的歸因2/3
7
細心 對教材的融會貫通 考題類型 自信 恐懼 上課專心 父母及老師期望
A、 N B、D、F、Q、T
8 9 10 11 12 13
C
C、 O C、 D D、G、I、J、K、M、 N、O、T E
影響數學學習的歸因3/3 影響數學學習的歸因3/3