二次函数实践与探索3
二次函数实践与探索第三卷
二次函数实践与探索（三）一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有( )① a + b + c>0 ②a - b + c＜0 ③abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0A. 5个B. 4个 C .3个 D. 2个2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.下列过原点的抛物线是( )A.y=2x2-1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2x2+x4.已知抛物线过A(-1, 0）和B (3, 0）两点，与y轴交于点C，且BC=）A.y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-35. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是244ac ba;④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是( )二、填空题7.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .8.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是9.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .10.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数），当x取值x1,x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .三、解答题11.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题：(l)x取何值时，y随x的增大而减小？(2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0?(3)若x1＞x2＞x3＞1 时，比较y l, y2, y3的大小12.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0,0）和（1，6 ）两点？13. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产的情况进行调查的基础上．对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，得到了以下图象：请你根据图象提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售价-成本）(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由．。
26.3第3课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
2
2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
探究问题二
例2
用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
用两种方法求方程 2x2－3x－2＝0 的解．
2
解：(解法一 )画函数 y＝2x － 3x－ 2 的图象，如图 26－ 3－32 所示． 由图象可知 2x －3x－2＝ 0 的解是 1 x1＝－ ， x2＝2. 2
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
(2)一次函数 y＝－x＋ 2 的图象如图 26－3 －6 所示，则方
2 程－x ＋2＝0 的解为 x＝________ ，不等式－x＋2<0 的解集为 x＞2 ． ________
图26－3－6
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
2
x＜1或x＞2 x＝1或x＝2 1＜x＜2
0 (2)关于 x 的二次函数 y＝ax2 ＋bx＋c 中，当 y＝________ 一元二次方 时，得到关于 x 的方程 ax ＋bx＋ c＝0，这是一个 ________
2
程．
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
◆链接知识—— [新知梳理 ]知识点 2．利用图象求方程 (组)的解 (1)已知二次函数 y＝x2－2x－3 的图象如图 26－ 3－ 8 所示，那
2 2
图26－3－4
第3课时 二次函数与一元二次方程、 一元二次不等式之间的联系
[归纳总结 ] 关于 x 的一元二次不等式 ax ＋ bx＋ c＞ 0 或 ax ＋ bx＋ c ＜0 与关于 x 的二次函数 y＝ ax ＋bx＋c 存在内在联系，抛物线在 x 轴上 方的点的横坐标的集合即是不等式 ax2＋bx＋c＞ 0 的解集， 抛物线在 x 轴 下方的点的横坐标的集合即是不等式 ax ＋ bx＋ c＜0 的解集．
2016春华师大版数学九下263《实践与探索》练习题3www7xcknet
26、3、3二次函数的应用农安县合隆中学徐亚惠一、选择题(共8小题)1、一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)与运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度就是()A、1米B、3米C、5米D、6米2、某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车、已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A、30万元B、40万元C、45万元D、46万元3、向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度就是最高的()A、第9、5秒B、第10秒C、第10、5秒D、第11秒4、如图就是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称、AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm、则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A、y=(x+3)2B、y=(x+3)2C、y=(x﹣3)2D、y=(x﹣3)25、烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式就是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A、2sB、4sC、6sD、8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)与飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t ﹣14,则小球距离地面的最大高度就是()A、2米B、5米C、6米D、14米7、烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式就是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A、3sB、4sC、5sD、6s8、某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=(x＞0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A、40 m/sB、20 m/sC、10 m/sD、5 m/s二、填空题(共6小题)9、如图就是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为_________米、10、如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形就是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式就是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式就是_________、11、某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件、若使利润最大,每件的售价应为_________元、12、在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)、如果P(x,y)就是△ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标就是_________、13、如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米、14、某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图、这种工艺品的销售量为_________件(用含x的代数式表示)、三、解答题(共8小题)15、某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件、(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元？16、在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套、根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套、设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套、(1)求出y与x的函数关系式、(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润？最大利润就是多少？[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标就是]、17、某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式、当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润就是多少？(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少？18、某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同、(1)分别求y A、y B关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度就是多少？(3)在0＜x＜40的什么时刻,两组材料温差最大？19、“丹棱冻粑”就是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱、(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元？(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高？20、某企业设计了一款工艺品,每件的成本就是50元,为了合理定价,投放市场进行试销、据市场调查,销售单价就是100元时,每天的销售量就是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本、(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润就是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21、某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%、经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系、(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润？最大利润就是多少元？(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围、22、某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx﹣75、其图象如图所示、(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元？26、3、3二次函数的应用参考答案与试题解析一、选择题(共8小题)1、一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)与运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度就是()A、1米B、3米C、5米D、6米考点: 二次函数的应用、分析:直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案、解答:解:h=﹣5t2+10t+1=﹣5(t2﹣2t)+1=﹣5(t﹣1)2+6,故小球到达最高点时距离地面的高度就是:6m、故选:D、点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出就是解题关键、2、某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车、已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A、30万元B、40万元C、45万元D、46万元考点: 二次函数的应用、分析:首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式,进而求出最值即可、解答:解:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15﹣x)量,根据题意得出:W=y1+y2=﹣x2+10x+2(15﹣x)=﹣x2+8x+30,∴最大利润为:==46(万元),故选:D、点评:此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出就是解题关键、3、向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度就是最高的()A、第9、5秒B、第10秒C、第10、5秒D、第11秒考点: 二次函数的应用、分析:根据题意,x=7时与x=14时y值相等,因此得到关于a,b的关系式,代入到x=﹣中求x的值、解答:解:当x=7时,y=49a+7b当x=14时,y=196a+14b、根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=﹣21a,根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下,当x=﹣=10、5时,y最大即高度最高、因为10最接近10、5、故选:C、点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性瞧备选项中哪个与之最近得出结论就是解题关键、4、如图就是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称、AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm、则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A、y=(x+3)2B、y=(x+3)2C、y=(x﹣3)2D、y=(x﹣3)2考点: 二次函数的应用、专题: 应用题、分析:利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为(1,1),由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),于就是得到右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式、解答:解:∵高CH=1cm,BD=2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2,把D(1,1)代入得1=a×(1﹣3)2,解得a=,故右边抛物线的解析式为y=(x﹣3)2、故选C、点评:本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题、5、烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式就是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A、2sB、4sC、6sD、8s考点: 二次函数的应用、分析:礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求h的最大值、解答:解:由题意知礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式就是:,∵＜0∴当t=4s时,h最大为40m,故选B、点评:本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题、6、一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)与飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t ﹣14,则小球距离地面的最大高度就是(A、2米B、5米C、6米D、14米考点: 二次函数的应用、分析:把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度、解答:解:h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5(t2﹣4t)﹣14=﹣5(t2﹣4t+4)+20﹣14=﹣5(t﹣2)2+6,﹣5＜0,则抛物线的开口向下,有最大值,当t=2时,h有最大值就是6米、故选:C、点评:本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,把函数式化成顶点式就是解题关键、7、烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式就是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A、3sB、4sC、5sD、6s考点: 二次函数的应用、专题: 计算题;应用题、分析:到最高点爆炸,那么所需时间为﹣、解答:解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆,∴t=﹣=﹣=4s、故选B、点评:考查二次函数的应用;判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值就是解决本题的关键、8、某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=(x＞0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A、40 m/sB、20 m/sC、10 m/sD、 5 m/s考点: 二次函数的应用、专题: 应用题、分析:本题实际就是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去、解答:解:当刹车距离为5m时,即可得y=5,代入二次函数解析式得:5=x2、解得x=±10,(x=﹣10舍),故开始刹车时的速度为10m/s、故选C、点评:本题考查了二次函数的应用,明确x、y代表的实际意义,刹车距离为5m,即就是y=5,难度一般、二、填空题(共6小题)9、如图就是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为米、考点: 二次函数的应用、专题: 函数思想、分析:根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案、解答:解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C 点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA与OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C 坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出:a=﹣0、5,所以抛物线解析式为y=﹣0、5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:﹣1=﹣0、5x2+2,解得:x=,所以水面宽度增加到米,故答案为:米、点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式就是解决问题的关键、10、如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形就是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式就是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式就是y=﹣(x+6)2+4、考点: 二次函数的应用、专题: 数形结合、分析:根据题意得出A点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可解答:解:由题意可得出:y=a(x+6)2+4,将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,解得:a=﹣,∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式就是:y=﹣(x+6)2+4、故答案为:y=﹣(x+6)2+4、点评:此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式就是解题关键、11、某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30﹣x)件、若使利润最大,每件的售价应为25元、考点: 二次函数的应用、专题: 销售问题、分析:本题就是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价、再根据所列二次函数求最大值、解答:解:设最大利润为w元,则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案就是:25、点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用、此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题、12、在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6)、如果P(x,y)就是△ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P的坐标就是(,5)、考点: 二次函数的应用、专题: 压轴题、分析:分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值,再进一步比较、解答:解:线段AB的解析式就是y=x+1(0≤x≤4),此时w=x(x+1)=+x,则x=4时,w最大=8;线段AC的解析式就是y=x+1(0≤x≤2),此时w=x(x+1)=+x,此时x=2时,w最大=12;线段BC的解析式就是y=﹣2x+10(2≤x≤4),此时w=x(﹣2x+10)=﹣2x2+10x,此时x=时,w最大=12、5、综上所述,当w=xy取得最大值时,点P的坐标就是(,5)、点评:此题综合考查了二次函数的一次函数,能够熟练分析二次函数的最值、13、如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米、考点: 二次函数的应用、分析:直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离、解答:解:∵函数解析式为:∴y最值===2、故答案为:2、点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确记忆最值公式就是解题关键、14、某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图、这种工艺品的销售量为(60+x)件(用含x的代数式表示)、考点: 二次函数的应用、分析:由函数的图象可知点(30,2700)与点(60,0)满足解析式w=mx2+n,设销售量为a,代入函数的解析式,即可得到a与x的关系、解答:解:由函数的图象可知点(30,2700)与点(60,0)满足解析式w=mx2+n,∴,解得:,∴w=﹣x2+3600,设销售量为a,则a(60﹣x)=w,即a(60﹣x)=﹣x2+3600,解得:a=(60+x ),故答案为:(60+x)、点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用、此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,用的知识点为:因式分解,题目设计比较新颖,同时也考查了学生的逆向思维思考问题、三、解答题(共8小题)15、某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件、(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元？考点: 二次函数的应用、分析:(1)由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论;(2)由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可、解答:解:(1)由题意,得32﹣×4=80﹣2x、答:每天的现售价为x元时则每天销售量为(80﹣2x)件;(2)由题意,得(x﹣20)(80﹣2x)=150,解得:x1=25,x2=35、∵x≤28,∴x=25、答:想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为25元点评:本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据销售问题的等量关系建立方程就是关键、16、在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套、根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套、设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套、(1)求出y与x的函数关系式、(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润？最大利润就是多少？[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标就是]、考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用、专题: 销售问题、分析:(1)根据销售量=240﹣(销售单价每提高5元,销售量相应减少20套)列函数关系即可;(2)根据月销售额=月销售量×销售单价=14000,列方程即可求出销售单价;(3)设一个月内获得的利润为w元,根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答、解答:解:(1),∴y=﹣4x+480(x≥60);(2)根据题意可得,x(﹣4x+480)=14000,解得,x1=70,x2=50(不合题意舍去),∴当销售价为70元时,月销售额为14000元、(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意,得w=(x﹣40)(﹣4x+480),=﹣4x2+640x﹣19200,=﹣4(x﹣80)2+6400,当x=80时,w的最大值为6400∴当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润就是6400元、点评:本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用,并涉及到了根据二次函数的最值公式,熟练记忆公式就是解题关键、17、某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式、当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润就是多少？(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少？考点: 二次函数的应用、专题: 销售问题、分析:(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k与b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w与x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值、解答:解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得,解得,∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18);(2)W=(x﹣10)(﹣2x+60)=﹣2x2+80x﹣600,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192、即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润就是192元、(3)由150=﹣2x2+80x﹣600,解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元、点评:本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式就是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题、18、某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同、(1)分别求y A、y B关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度就是多少？(3)在0＜x＜40的什么时刻,两组材料温差最大？考点: 二次函数的应用、专题: 应用题;数形结合、分析:(1)首先求出y B函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出y A函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入y B求出答案;(3)得出y A﹣y B的函数关系式,进而求出最值即可、解答:解:(1)由题意可得出:y B=(x﹣60)2+m经过(0,1000),则1000=(0﹣60)2+m,解得:m=100,∴y B=(x﹣60)2+100,当x=40时,y B=×(40﹣60)2+100,解得:y B=200,y A=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则,解得:,∴y A=﹣20x+1000;(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=﹣20x+1000,解得:x=44,当x=44,y B=(44﹣60)2+100=164(℃),∴B组材料的温度就是164℃;(3)当0＜x＜40时,y A﹣y B=﹣20x+1000﹣(x﹣60)2﹣100=﹣x2+10x=﹣(x﹣20)2+100,∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃、点评:此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式就是解题关键、19、“丹棱冻粑”就是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱、(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元？(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高？考点: 二次函数的应用;一元二次方程的应用、专题: 销售问题、分析:(1)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得方程求解即可;(2)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得函数关系式,进而求出最值、解答:解:(1)设每箱应涨价x元,则每天可售出(50﹣2x)箱,每箱盈利(10+x)元,依题意得方程:(50﹣2x)(10+x)=600,整理,得x2﹣15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10∵要使顾客得到实惠,∴应取x=5,答:每箱产品应涨价5元、(2)设利润为y元,则y=(50﹣2x)(10+x),整理得:y=﹣2x2+30x+500,配方得:y=﹣2(x﹣7、5)2+612、5,当x=7、5元,y可以取得最大值,∴每箱产品应涨价7、5元才能获利最高、点评:此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用,解答此题的关键就是熟知等量关系就是:盈利额=每箱盈利×日销售量、20、某企业设计了一款工艺品,每件的成本就是50元,为了合理定价,投放市场进行试销、据市场调查,销售单价就是100元时,每天的销售量就是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本、(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润就是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)考点: 二次函数的应用、专题: 销售问题、分析:(1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;(2)把(1)中的二次函数解析式转化为顶点式方程,利用二次函数图象的性质进行解答;(3)把y=4000代入函数解析式,求得相应的x值;然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50(﹣5x+550)≤7000,通过解不等式来求x的取值范围、解答:解:(1)y=(x﹣50)[50+5(100﹣x)]=(x﹣50)(﹣5x+550)=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500(50≤x≤100);(2)y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5(x﹣80)2+4500∵a=﹣5＜0,∴抛物线开口向下、∵50≤x≤100,对称轴就是直线x=80,∴当x=80时,y最大值=4500;(3)当y=4000时,﹣5(x﹣80)2+4500=4000,。
二次函数《现实生活中的抛物线》练习
26.3 实践与探索第1课时现实生活中的抛物线1.(2020山西)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为( C )A.23.5 mB.22.5 mC.21.5 mD.20.5 m2.如图所示,从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点Mm,则水流落地点B离墙的距离OB是( B )离墙1 m,离地面403A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m3.如图所示,池中心竖直水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管的高为 2.25 m.4.如图所示是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4 m 时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m,水面下降 1 m 时,水面的宽度为 2√6 m.5.如图所示,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-35x 2+3x+1的一部分.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4 m,在一次表演中,人梯到起跳点A 的水平距离是4 m,问这次表演是否成功?请说明理由. 解:(1)y=-35x 2+3x+1=-35(x-52)2+194,所以当x=52时,y 有最大值194.所以演员弹跳离地面的最大高度是194m.(2)能表演成功.理由如下: 当x=4时,y=-35×42+3×4+1=3.4,即点B(4,3.4)在抛物线y=-35x 2+3x+1上,所以能表演成功.6.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是( D )A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B.点火后24 s火箭落于地面C.点火后10 s的升空高度为139 mD.火箭升空的最大高度为145 m7.如图所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m 的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球D与O点的水平距离为6 m时,达到最高2.6 m,球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m,则下列判断正确的是( C )A.球不会过球网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定8.如图所示,一工厂车间门口由抛物线和矩形ABCO的三边组成,门的最大高度是4.9 m,AB=10 m,BC=2.4 m,若有一个高为4 m,宽为2 m的长方体形的大型设备要安装在车间,如果不考虑其他因素,设备的右侧离开门边超过多少米时,此设备运进车间时才不会碰门的顶部( D )A.1.7B.1.8C.1.9D.2.19.某游乐园有一个直径为16 m 的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3 m 处达到最高,高度为5 m,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x 轴,喷水池中心为原点建立平面直角坐标系. (1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32 m,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a (x-3)2+5(a ≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0, 解得a=-15.所以y=-15(x-3)2+5(0<x<8).所以水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0<x<8).(2)当x=0时,y=-15(0-3)2+5=165.设改造后抛物线(第一象限部分)函数表达式为y=-15x 2+bx+165.因为该函数图象经过点(16,0), 所以0=-15×162+16b+165,解得b=3.所以函数表达式为y=-15x 2+3x+165=-15(x-152)2+28920(0<x<16).所以扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920m.10.(拓展探究题)施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6 m,宽度OM 为12 m.现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图(1)所示).(1)求出这条抛物线的函数表达式,并写出自变量x 的取值范围; (2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1 m 的隔离带),其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆?(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A,D 点在抛物线上,B,C 点在地面OM 线上(如图(2)所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB,AD,DC 的长度之和的最大值,请你帮施工队计算一下.解:(1)因为M(12,0),P(6,6), 所以设这条抛物线的函数表达式为 y=a(x-6)2+6.因为抛物线过O(0,0), 所以a(0-6)2+6=0. 解得a=-16.所以这条抛物线的函数表达式为 y=-16(x-6)2+6,即y=-16x 2+2x(0≤x ≤12).(2)当x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时,y=4.5<5, 故不能行驶宽2.5 m,高5 m 的特种车辆. (3)设点A 的坐标为(m,-16m 2+2m),则OB=m,AB=DC=-16m 2+2m.根据抛物线的轴对称,可得OB=CM=m. 故BC=12-2m,即AD=12-2m. 令L=AB+AD+DC =-16m 2+2m+12-2m-16m 2+2m=-13m 2+2m+12 =-13(m-3)2+15,故当m=3,即OB=3 m 时,三根木杆AB,AD,DC 长度之和L 的最大值为 15 m.。
二次函数与实际问题
5. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑 行的时间t（单位：秒） 2 之间的函数关系式 s 6 0 t 1 . 5 t 飞机着 陆后滑行 秒才能停下来．
6.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m， 宽为2m，隧道最高点p位于AB的中央且距地面6m，建立 如图所示的坐标系 （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通 过，为什么？
解： (1)∵ h＝ 2.6，球从 O点正上方 2 m的 A处发出， ∴ y＝ a(x－ 6)2＋ h过点(0， 2)， 1 2 ∴ 2＝ a(0－ 6) ＋ 2.6，解得： a＝－ ， 60 1 故 y与 x的关系式为： y＝－ (x－ 6)2＋ 2.6. 60 1 (2)当 x＝ 9时， y＝－ (9－ 6)2＋ 2.6＝ 2.45＞ 2.43， 60 所以球能过球网； 1 当 y＝ 0时，－ (x－ 6)2＋ 2.6＝ 0， 60 解得 x1＝ 6＋ 2 39＞ 18， x2＝ 6－ 2 39(舍去)． 故球会出界．
• 6. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市 场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克） 随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关 系式为：w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间 内的销售利润为y（元），解答下列问题： • （1）求y与x的关系式； • （2）当x取何值时，y的值最大？ • （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得 高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？
[解析] (1)利用h＝2.6，将 (0，2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9时， y＝－ (x－ 6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时， 60 1 － (x－6)2＋ 2.6＝ 0，分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点 (18，0)时， y＝a(x－6)2＋h的图象还过 (0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)， y＝ a(x－ 6)2＋ h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可 得出答案．
2022春九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索1用二次函数解决实际中抛物线型的最值应用习
(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D到地
面OA的距离； 解：根据题意得 B(0，4)，C3，127. 把 B(0，4)，C3，127的坐标分别代入 y＝－16x2＋bx＋c，得
c－＝164×，32＋3b＋c＝127.解得bc＝＝42.， 所以该抛物线对应的函数表达式为 y＝－16x2＋2x＋4，
即 y＝－16(x－6)2＋10.所以 D(6，10)． 所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m， 如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安 全通过？ 解：当 x＝122－4＝2 或 x＝122＋4＝10 时，y＝232＞6， 所以这辆货运汽车能安全通过．
为( ) A．10 m B．15 m C．20 m D．22.5 m 【点拨】根据题意，可知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则 c1＝60504a.0＋，40b＋c＝46.2， 400a＋20b＋c＝57.9，
a＝－0.019 5， 解得b＝0.585，
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分 别为a、b，要使两孔射出水的射程相同，求a、b之间 的关系式； 解：要使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20－a)＝4b(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2， ∴a2－b2＝20a－20b，∴(a＋b)(a－b)＝20(a－b)， ∴(a－b)(a＋b－20)＝0，∴a－b＝0或a＋b－20＝0， ∴a＝b或a＋b＝20.
HS版九年级下
第26章 二次函数
26．3 实践与探索
第1课时 用二次函数解决实际中
“抛物线”型的最值应用
《二次函数实践与探索》教学设计.doc
《二次函数实践与探索》教学设计黔江区舟白初级中学陶仕销一、教材分析（一）教材的地位和作用本节是九年级下册第26章第3节，利用二次函数的性质解决实际问题，是历年中考的热点，需引起同学们的关注和重视。
通过有关二次函数实际应用问题的探索和研究，让学生体验数学“建模”思想。
并学会合理解释模型，重在培养学生探索精神和创新意识。
（二）、学情分析学生已经学习过了二次函数的图像及其性质，同时已具有用数学知识解决实际问题的经验，另外学生个性活泼，思维活跃，积极性高，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
（三）、教学目标知识目标一一经历和体验用二次函数解决实际问题的过程，进一步体会函数是刻画现实世界的有效数学模型。
能力目标一一培养学生的数学应用能力。
情感目标一一了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。
（四）、教学重难点教学重点一一建立并合理解释数学模型教学难点一一实际问题数学化过程突破点：利用丰富的素材，充分感知，实现数学化过程。
（五）、教法及学法分析体现“变教为导，以导促学，学思结合，导学互动”的教学理念，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。
教学方法——情景探究，师生互动学习方法——自主探索，合作交流教学手段一一使用多媒体辅助教学二、设计思路：1.实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
2.树立用二次函数构建数学模型解决实际问题的思想3.通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
4.合理解释相应的数学模型。
三、教学过程（一）抛砖引玉，点明主旨。
在2008年的北京奥运会上，我们处处都能看见抛物线的踪影。
如投篮球、打排球，踢足球、跳水等；在生活中有许多实物也是抛物线型，找同学举例子：跳绳、喷泉、隧道，涵洞，拱桥等等。
通过实际问题的提出，既激发了学生的学习兴趣又说明引入二次函数模型的必要性。
（二）自主探索，实践新知例1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。
华师版九年级下册数学精品课件 第26章二次函数 第3课时 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解
y C
关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤kx + c 的解集 为__x_≤__2____.
1
O
A
B 12 x
y
y
1
2
3.已知二次函数 y = x2 + 5x - 6，该函数图象与 y 轴的
交点坐标为_(0_，__-_6_)_，与 x 轴的交点坐标为
_(_-_6_，__0_)_，__(1_，__0_)___；根据图象可知当_x_＜__-_6_或___x_＞__1标； 由图象可知，它们有两
2
y=3
x
个交点，其横坐标一个在 -4
-4-3 O 1 2
与 -3 之间，另一个在 1 与 2
-2
之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为
x1≈3.2，x2≈1.2.
方法三：
的解集为__x_≤__2____.
y
1O A B 12 x
2. 已知一次函数 y1 = ax + b 的图象经过 A(2，0)，
B (0，-1) 两点，y2 = kx + c 的图象经过 A(2，0)，C(0，2)
两点，则关于 x、y 的二元一次方程组
y ax b
y
kx
c
x 2
的解为___y___0_；
思考：点 A 的坐标有几种表示方式？ A
B yh
A (x1，ax2 + bx+ c) 或 (x1，h)
x1 O x2 x
问题2 如图，二次函数 y = ax2 的图象与一次函数 y bx c
的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？
二次函数数学活动教案(热门16篇)
二次函数数学活动教案（热门16篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二次函数实践与探索实践与探索课件
二次函数实践与探索课件xx年xx月xx日contents •引言•二次函数基础概念•二次函数的应用•深入探索二次函数•实际案例分析•总结与展望目录01引言二次函数是一种常见的函数类型，通常用于描述物体的运动轨迹和变化等。
二次函数的定义通过分析实际问题和数学问题中涉及到二次函数的例子，引出本课程所要探讨的内容。
课程背景课程简介学习目标掌握二次函数的图像和表达式的特点；理解二次函数的基本概念和性质；培养学生的数学思维和探究能力。
能够利用二次函数解决实际问题；课程大纲二次函数的基本概念和性质；第一部分二次函数的图像和表达式；第二部分二次函数的应用举例；第三部分二次函数的扩展知识。
第四部分02二次函数基础概念函数表达式形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数为二次函数。
二次函数定义定义域和值域对于任意$x \in \mathbf{R}$，都有唯一确定的$y$与之对应，因此二次函数的定义域和值域均为$\mathbf{R}$。
二次函数图像图像为抛物线，其形状由系数$a$决定，当$a > 0$时，图像开口向上，当$a < 0$时，图像开口向下。
图像特征：二次函数的图像是一个关于$x = - \frac{b}{2a}$对称的抛物线当$a > 0$时。
抛物线开口向上。
有最小值$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
当$x < - \frac{b}{2a}$时。
$y$随$x$增大而减小当$a < 0$时。
抛物线开口向下。
有最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}$。
当$x < - \frac{b}{2a}$时。
$y$随$x$增大而增大性质二次函数图像和性质二次函数的分类按照开口方向分为开口向上和开口向下两种。
按照对称轴位置分为在对称轴左侧、对称轴处和对称轴右侧三种情况。
按照图像与坐标轴交点位置分为与坐标轴有两个交点、一个交点或无交点三种情况。
初中数学华东师大九年级下册二次函数二次函数实践与探索(华师版)PPT
4
Ｂ(0.8,0)
x
离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
根据已知条件，要求涵洞ED的宽度，只要求出FD的长度即可，即 在如下所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
15
y=- x²+2.4
4
Ｅ
y
(0,2.4)
F Ｄ (?,1.5)
点题 分析
(-0.8,0)A
O
x
最小半径
线段OB的长度 (B点的横坐标)
令y = 0,即-(x-1)²+2.25 =0
则x的值为 x1=2.5 x2=-0.5 (不合题意,舍去)
∴最小半径为2.5m.
注意自变量的
实际意义
问题2 E AＡ
D ＢB
涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现 测得当水面宽一个AB＝1.6m时，涵洞 顶点与水面的距离为2.4m，这时，离 开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是 否会超过1m？
当x=3时,S 取最大值9m2
此时最大费用是9000 元。
• ③8000元
建立直角找坐点标坐系标找（找点坐标）
求解析式 解决问题
把实际问题转化为点坐标
布置作业
习题26.3 1题、2题
∴最大高度为2.25m.
实际问题与函 数知识的对应
（2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少时，才能使喷出
的水流都落在水池内？
y
A
B
O
x
析题分意：
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
y y=-x²+2x+1.25
二次函数时间与探索教学设计
《二次函数实践与探索》教学设计教学目标：1．基础知识目标：①让学生对二次函数的相关内容作系统回顾，把握知识要点．②让学生掌握二次函数的图象与性质的关系，并能解决二次函数与直线型图形相结合的问题．2．能力训练目标：①培养学生整理知识的能力．②培养学生的观察、比较、分析、概括的能力．3．德育培养目标：①激发学生学习数学的兴趣，培养敢想、敢说、敢解决实际问题的学习习惯．②通过学生体验、猜想并验证，让学生体会数学充满着探索和创造，培养学生创新的精神．③通过“转化”数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系，相互转化的辩证唯物主义思想．重点、难点：重点：通过二次函数的综合应用加深对其图象及性质的认识．难点：文字语言和函数图象、性质的相互转化，用运动的观点分析图形．教法与学法：教法：通过几何画板动态演示二次函数的图象性质，探究利用图像性质解决综合问题的方法.学法：针对所带学生具体情况及课堂教学的教师主导，学生主体思想，贯彻启发性教学原则，以多媒体课件为依托，采用学生观察、分析、探索、发现结论为主的方法．教学过程：回顾知识根据结构图回顾关于二次函数的相关知识点引入二次函数y = -12x2 +3x -52，分别回答：1.化顶点式；2.开口方向；3.对称轴；4.顶点；5.与x轴交点坐标；6.与y轴交点坐标；7.画出图像；8.增减性；9.最大（小）值．分析：首先要用配方法将函数写成y=a(x-h)2+k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标以及与x轴交点坐标、与y轴交点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线．这里的关键步骤是用配方法把函数改写成y=a(x-h)2+k的形式．1.化顶点式：y = -12(x-3)2+2，2.开口方向：开口向下，3.对 称 轴： 直线x =3，4.顶 点： P (3,2)，5.与x 轴交点坐标：A(1,0)、B(5,0)，6.与y 轴交点坐标：C(0, - 52 )，7.画出图像： (右 图)8.增 减 性： ∵抛物线开口向下，∴当x <3时，y 随x 增大而增大；当x >3时，y 随x 增大而减小． 9.最 值： ∵抛物线开口向下，∴当x =3时，y 最大=2 ．(设计目的：通过复习加深学生对二次函数相关内容的理解，有利于学生熟练解题的基本方法，从而有利降低本节课的难度．)图形探索1．引入一般的二次函数y=ax 2+bx+c 以及y=a （x - h ）2+k ，探究其中各个系数与二次函数图象之间的关系，用几何画板课件演示变化，让学生从变化中发现关系，并让大家来归纳总结．2．围绕二次函数的图像，构造丰富的直线型图形，用几何画板从运动变化的角度去分析图形，主要研究三角形的变化情况．实践应用1．已知抛物线y =ax 2+ x+2（1）当a =-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）若代数式-x 2+ x+2的值是正整数，求x 的值．（3） 当a =a 1时，抛物线y =ax 2+ x+2与x 轴的正半轴相交于点M （m,0）当a =a 2时，抛物线y =ax 2+ x+2与x 轴的正半轴相交于点N （n,0），若点M 在点N 的左边，试比较a 1与 a 2的大小．分析：① y =-x 2+ x+2=，所以顶点坐标是 ，对称轴是x = ． 提问：② 中正整数能确定吗？根据最大值是 ，所以只能是1和2，即可求出x 的值．③ 指出过定点（0，2），由韦达定理可得a 1<0，a 2<0，让大家尝试画草图分析a 1、a 2的大小，发现比较困难，能否直接求a 1、a 2，再作差解决，用几何画板演示，体现出形数结合．小结：本题前两问比较常规，通过二次函数的基本知识能够自己解决，而第3小题难度较大，可以尝试性的画草图，再考虑解题的具体方法，要敢想、敢做，敢解决实际问题．(设计目的：点燃学生思维的火花，让学生不能满足于一个现成图形的结论，而要有一种自己去探索、去发现的精神，要注意问题的一般性，学生在这一过程中投入到了获取知识的过程中去，较49)21(2+--x ⎪⎭⎫ ⎝⎛49,212149好地体现了学生学习方式的变革，这也较好地体现了教师组织者的作用．最后用几何画板演示图象变化的情况，使学生能够有更直观的理解．)2．已知抛物线y ＝x 2+(2-m )x -2m (m ≠2）与ｙ轴的交点为A ，与x 轴的交点为B 、C （B 点在C 点左边）．(1)写出A 、B 、C 三点的坐标；(2)设m ＝a 2-2a +4，试问是否存在实数a ，使△ABC 为Rt △？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；(3)设m ＝a 2-2a +4，当∠BAC 最大时，求实数a 的值．分析：给学生几分钟读题并解答第一问，得到A 、B 、C 三点的坐标A （0,-2m ），B （-2,0），C （m ,0），或A （0,-2m ），B （m ,0），C （-2,0），说明点B 是一个定点，m 的不同使函数图象也不同，让学生画出△ABC 为Rt △的图，从几何性质着手，又能找到什么条件呢？相似可得 从而求出m ，再解关于a 的方程．可以看出∠BAC 是由两部分∠BAO 、∠OAC ，其中∠OAC 不随着 m 的变化而变化，所以这里要∠BAC 最大，只需考虑∠BAO 最大，B 点是定点，所以A 点（0,-2m ）的位置最靠近原点时最大（用几何画板画图并讨论），整个问题就转化为求-2m 的最大值，根据m ＝a 2-2a +4求m 的最小值即可．小结：二次函数和二次方程相结合的题目很多，这题既有根据方程的解来求图象与坐标轴的交点坐标，又可通过解方程来讨论存在性问题．最后一问是一个动态问题，在A 点的变化中可以先找出不变关系，再考虑变的规律，变的关键点，具体落实到一个点的位置的变化．(设计目的：先由学生自主探索，大胆让学生做一做，试一试，培养学生应用性技能和创新精神，在讲解时注意思路和方法，及时对解题方法进行归纳，并用几何画板课件，在动静结合中展现图象，使学生对图象性质有较深刻的认识，化解教学难点，有利于发展学生的思维能力．)总结归纳本节课首先关于二次函数的性质作了系统整理，并在直线型综合题中灵活地和几何性质相结合，并提高对二次函数图象中动态问题的认识．BO CO AO ∙=2。
九年级数学下册 第26章 二次函数 26.3 实践与探索作业设计 (新版)华东师大版-(新版)华东师
26.3 实践与探索一．选择题1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1 B．直线x=1 C．直线x=﹣D．直线x=4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值X围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞18．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限二．填空题9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________ ．10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________ ．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________ 米．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b 中，其值为正的式子的个数为_________ 个．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 …y … 5 2 1 2 …点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是_________ ．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．三．解答题15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值X围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值X围是多少？17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．18．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．19．如图，一块直角三角形木板ABC，其中∠C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．参考答案一．选择题1． B2． D3． D 4.B5． C6． C7． D8． D二．填空题9．8 10． x1=0，x2=211．12． 313． y1＞y214．（60+x）．三．解答题15．解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．16．解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），∴2=a（0﹣6）2+2.6，解得：a=，故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，（2）当x=9时，y=（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，解得：x1=6+＞18，x2=6﹣（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时二次函数解析式为：y=（x﹣6）2+，此时球若不出边界h≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时球要过网h≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值X围是：h≥．17．解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）∴，解得∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，又∵点A（2，0），对称轴为x=4，∴点D的坐标为（6，0）．（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．∴C点的坐标为（4，0）∵B（8，6），设BC所在的直线解析式为y=kx+b，∴解得∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，∴x﹣6=x2﹣4x+6解得x1=3，x2=8（舍去），当x=3时，y=﹣，∴E（3，﹣），∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×．（4）存在，设点P到x轴的距离为h，∵S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h∵S△ADP=S△BCD∴2h=6×，解得h=，当P在x轴上方时，=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，当当P在x轴下方时，﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．18．解：（1）根据题意，得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣5，当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，解得：x1=5，x2=﹣1，∵点A的坐标是（﹣1，0），∴B（5，0），答：该二次函数的解析式是y=x2﹣4x﹣5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）．（2）令y=0，得二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标B（5，0），由于P（2，﹣2），符合条件的坐标有共有4个，分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（﹣2，0）M4（2，0），答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（﹣2，0）、（2，0），使得△OPM是等腰三角形．19．解：如图1，设DE=x，EF=y，矩形的面积记为S，由题意，DE∥CB，∴即：解得y=3﹣x其中0＜x＜4∴S=xy=x（3﹣x）=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3∴有最大面积是3．（2）如图，作CE⊥AB于点E，交NM与点D∵∠C=90°，AC=3m，BC=4m，设MQ=x MN=y，则DE=x，CD=2.4﹣x∵MN∥AB∴即：整理得：y=﹣x+5∴S=xy=x（﹣x+5）=﹣（x﹣）2+3 故两个师傅均符合要求．。
九年级数学上册第22章实践与探索3用一元二次方程解一般应用问题说课稿新版华东师大版
九年级数学上册新版华东师大版:用一元二次方程解一般应用说课稿今天我说课的内容是华师版初中数学九年级上册第22.3节《用一元二次方程解一般应用》的第3课时实践与探索。
它是继几何问题、营销问题这几个基本问题的学习后的探索活动课，对于本节课我将从教材分析与学生现实分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
（一）教材分析与学生现实分析一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。
本节课以一元二次方程解决的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其他学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。
这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。
本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用大量事实表明,学生解应用题最大的难点是不会将实际问题提炼为数学问题，而列一元二次方程解决实际问题的数量关系比可以用一元一次方程解实际问题的数量关系要复杂一些。
对于初中学生来说他们比较缺乏社会生活经历，收集信息处理信息的能力较弱，这就构成了本节课的难点。
数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
我根据新课标对方程的具体要求和初三学生的认知的特点，确定了如下教学目标的:1、知识与技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
以一元二次方程解决实际问题为载体，加强学生对数学建模的基本方法的掌握。
2、过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
二次函数的探究的教案
二次函数的探究的教案【篇一：二次函数教案 (第一课时)】二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册第26.1.1节）二、教学目标1.知识技能通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学难点根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
四、教学流程安排五、教学过程设计课题：27．3二次函数实践与探索（3）陈常碧一、概述本节是九年级下册第27章第3节，二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的联系,需引起同学们的关注和重视。
通过有关二次函数的图像与x轴的交点探索和研究，让学生体验一般到特殊的数学思想。
并学会观察、猜想、归纳，重在培养学生探索精神和自主学习的意识。
二、教学目标1、知识与能力目标：体会二次函数与方程之间的联系，会通过二次函数的图像求得一元二次方程的解。
初步理解二次函数与一元二次不等式之间的联系2、过程与方法目标：经历和体验用二次函数图像与一元二次方程解的关系，进一步体会二次函数与一元二次方程的关系。
培养学生的数形结合的能力。
3、情感态度与价值观了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心与求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。
三、学习者基本特征分析学生已经学习过了二次函数的图像及其性质并会用待定系数法求二次函数的关系式。
华师版九年级数学下册《26 . 3 实践与探索(3)》教学设计
26 . 3 实践与探索（3）教学目标：1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 本节知识点（1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教学过程给出三个二次函数：（1）232+-=x x y ；（2）12+-=x x y ；（3）122+-=x x y ． 它们的图象分别为观察图象与x 轴的交点个数，分别是个、个、个．你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？ 另外，能否利用二次函数c bx ax y ++=2的图象寻找方程)0(02≠=++a c bx ax ，不等式)0(02≠>++a c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 的解？实践与探索例1．画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0？解 图象如图26．3．4，（1）图象与x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y 轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x= -1或x=3时，y=0，x 的取值与方程0322=--x x 的解相同．（3）当x ＜-1或x ＞3时，y ＞0；当 -1＜x ＜3时，y ＜0．回顾与反思 （1）二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．例2．（1）已知抛物线324)1(22-+++=k kx x k y ，当k=时，抛物线与x 轴相交于两点．（2）已知二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，则a=．（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且1722=+βα，则k 的值是．分析 （1）抛物线324)1(22-+++=k kx x k y 与x 轴相交于两点，相当于方程0324)1(22=-+++k kx x k 有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．（2）二次函数232)1(2-++-=a ax x a y 的图象的最低点在x 轴上，也就是说，方程0232)1(2=-++-a ax x a 的两个实数根相等，即⊿=0．（3）已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），即α、β是方程023)1(2=----k x k x 的两个根，又由于1722=+βα，以及αββαβα2)(222-+=+，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空．回顾与反思 二次函数的图象与x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．例3．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？分析 （1）要说明不论m 取任何实数，二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②021<+x x ，③021>⋅x x ．综合以上条件，可解得所求m 的值的范围．（3）二次函数的图象的对称轴是y 轴，说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②021=+x x ．解 （1）⊿=8)1()1(4)2(22+=+⨯-⨯--m m m ，由02≥m ，得082>+m ，所以⊿＞0，即不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点．（2）由0221<-=+m x x ，得2<m ；由0121>--=⋅m x x ，得1-<m ；又由（1），⊿＞0，因此，当1-<m 时，两个交点都在原点的左侧．（3）由0221=-=+m x x ，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y 轴． 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y 轴，即二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 是由函数2x y -=上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．课堂练习1．已知二次函数432--=x x y 的图象如图，则方程0432=--x x 的解是，不等式0432>--x x 的解集是，不等式0432<--x x 的解集是．2．抛物线5232--=x x y 与y 轴的交点坐标为，与x 轴的交点坐标为．3．已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为．4．函数132++-=x ax ax y 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的值及交点坐标． 课外作业A 组1．已知二次函数62-+=x x y ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．（1）方程062=-+x x 的解是什么？（2）x 取什么值时，函数值大于0？x 取什么值时，函数值小于0？2．如果二次函数c x x y +-=62的顶点在x 轴上，求c 的值．3．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．4．已知二次函数6422--=x x y ，求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；（2）以此函数图象与x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积；（3）x 为何值时，y ＞0．5．你能否画出适当的函数图象，求方程22+-=x x 的解？B 组6．函数m x mx y 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个7．已知二次函数22-++=a ax x y ．（1）说明抛物线22-++=a ax x y 与x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）；（3）a 取何值时，两点间的距离最小？课堂小结：教学反思：。
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2.已知：以x为自变 量的二次函数 y x (2m 2)x (m 4m 3)中，m为
2 2
不小于0的整数，它的 图象与x轴交于A点和
B点，点A在原点的左 边，点B在原点右边，
（1）求这个二次函数 的解析式； 这个二次函数的图象交 于点C，且S Δ A B C 10 求一次函数的解析式。
2 2 2
设抛物线顶点为A，与x轴交于B、 C两点，问是否存在实数m,使 △ABC为等腰直角三角形，如 果存在求m;若不存在说明理由。
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了。西屋的门紧闭着。耿老爹站在屋门外轻轻呼唤一声：“兄弟媳妇！”压抑的哭泣声停止了。一刻，乔氏无声地打开了西屋的门， 耿老爹轻轻叹息一声走进去坐在圆桌边上的一把椅子上。乔氏转身强忍眼泪默默地坐在床边，俩人一时无语。半晌，耿老爹终于小心 地开口道：“我说兄弟媳妇啊，你不要过度悲伤了。你这样，白兄弟的在天之灵，会很不安的”耿老爹一句还没有说完，乔氏的眼泪 又像断线的珠子一般滚落下来。她吃力地哽咽一刻，这才说：“他哪里会心不安啊，他遂心遂愿了，高兴着呢他是变成五佰两银子了 哇，可我要那些银子做什么啊，我没有他这个人了！睡梦中，他是活生生的人；一睁眼，他就是拔冷拔冷的五佰两银子”“可这些银 子对你们娘儿俩有用啊，它能为你俩以后的生活救急！”看乔氏依然痛哭不止，耿老爹又陪着小心说：“我父子们没钱了可以再赚， 可，可你手里的这五佰两银子，是，是不会自己再增加了啊！所以你，你必须掌握好了才对啊！你说，我们开店，怎么可以动用这个 啊？你得明白我的意思！”是要报答耿家父子们在自家的新屋尚未建好时，就突遭丧亲之痛的全力帮助，还是不愿面对丈夫以死而换 来的那五佰两冰冷的银块子，可能都是吧！但本不善言，而且哭成这样的乔氏，又不愿开口提及这些啊！所以，她只能继续痛哭，而 且越哭越痛生性善良的耿老爹，看着可怜的乔氏在自己的面前哭成这样，一贯能言善辩的他，此时却真正地感到实在是嘴拙词穷了， 只能默默的陪坐一旁暗自烦恼。正待痛苦尴尬之时，妻子郭氏和可爱的小女儿耿兰的面孔出现在了他的脑海里！耿老爹突然想到，自 己带着三个大孩子出来已经一年半还多了，只有妻子独自一人带着小女儿耿兰过日子。尽管妻子是在满怀希望地等他带着三个大孩子 们回去的，周围也有亲戚和朋友们帮忙，但总归还是不可避免地会有这样那样的难处啊！而且这天长日久的，是不是有时候也会这样 偷偷地掉眼泪呢？耿老爹突然觉得，自己太对不起，也太想念自己贤惠的妻子了，恨不能肋骨生双翅飞回到妻子的身边！耿老爹越想 越难过再想到自己带着三个孩子本想大干一番，可没想到却遇上罕见的洪灾，不仅钱没赚到还差点命丧异乡。自己死了也就算了，万 一三个孩子有什么好歹，自己可怎么向妻子交代啊！耿老爹不由悲从心起，坐在那里也默默地掉起了眼泪。乔氏哭了半晌也没听到耿 老爹说话，不由抬头看去，却见耿老爹也在一旁伤心垂泪呢！她就停止了哭泣颤声问道：“耿大哥，你，这是怎么了？怎么也哭得像 个泪人！”耿老爹抬起头，哽咽着对乔氏说：“兄弟媳妇，看到你伤心哭泣，我突然就想起了我的妻子。到现在，我们父子四个离家 这就奔两年了，我的妻子，肯定很结记；掉眼泪，恐怕
例1.某商场购进一批单价为16元的日用品， 经试验发现，若按每件20元的价格销售时， 每月能卖360件，若按每件25元的价格销 售时，每月能卖210件，假定每月销售件 数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条 件下，问销售价格定为多少时，才能使每 月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
26.3.3
实践与探索
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）; 2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5; 3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0） ;
4.当x=1时，y=0; x=0时, y=-2，x=2时，y=3; 5. 顶点坐标为（-1，-2）, 且通过点（1，10）; 6. 对称轴为x=2,函数的最小 值为3,且图象经过点(-1,5).
（2）一次函数y kx b的图象经过点A，与
3、如图，在Rt△ABC中，P在斜边 上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M、 N是垂足，已知AC=1，AB=2，求： 何时矩形的面积最大？并求出 B 最大面积。
M P
C
N
A
4、已知二次函数
y= x - ( m + 8) x + 2( m + 6)，
负半轴、正半轴分别相交于点A、 点B，与y轴的正半轴相交于点C， 且线段OB＝2OC＝2OA ① 求代数式abc的值; ② 若直线y=ax+b,经过点C， 求证：对一切实数x,代数式 9 2 ax +bx+c的值不大于 .
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1.如图，直线x= –1是二次函数 2 y = ax + bx + c的图象的对称轴， 2 则下列代数式abc，a+b+c，b -4ac， 2a-b，3a-b，中负数有（ ）个。 （ A ） 1（ B） 2 （ C ） 3（ D） 4
例2.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。 乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标 都是整数。
y
C OA B
x
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，
x写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为
。
2 例3．抛物线y=ax +bx+c与x轴的