高三2月月考理科数学试卷
高三数学理科第二次月考试题及答案
从化中学高三数学月考理科试题（/9）命题：黄小斌 审题： 李希胜一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ， 则表示复数的点是( ) (A) E (B) F (C) G (D) H2、若集合，则=A C R （ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 3、设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( ) （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4、 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是( ) （A ） （B ） （C ） （D ）5、已知和点M 满足.若存在实数m 使得成立，则m 的值为（ ）(A) 2 （B ）3 （C ）4 （D ）56、设0a >，0b >，则以下不等式中，不恒成立的是（ ）(A) 114a b a b++≥()() (B)22b ba a+>+ (C)111a b a b a b a b+<+++++ (D)a b b aa b a b ≥7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 151zi+121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭22⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭2(,0][,)2-∞+∞2)2+∞{}n a 12a a <{}n a π[,]42ππsin(2)2y x π=+cos(2)2y x π=+sin()2y x π=+cos()2y x π=+ABC ∆0MA MB MC --→--→--→+=+AB AC AM m --→--→--→+=8、已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）（A ）（B ）（C ） （D ）二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一） 必做题(9～13题)9、若点p （m ，3）到直线的距离为4，且点p 在不等式＜3表示的平面区域内，则m= 。
数学理科月考试卷
数学理科月考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1．在复平面内，复数323Z i i=+-对应的点位于 （ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则N M C R )(（ ）A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1＜x ＜2} 3．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x x e -- （e 为自然对数的底数），则(ln 6)f 的值为 （ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－64.已知等差数列{}n a 的n 前项和为n S ,其中10150,25,n S S S ==则取得最小值时n 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若｜AF ｜＝3，则△AOB 的面积为( ) ABCD ．6．执行右边的程序框图，若输出的S 是127，则判断框内应该是( )A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤87.函数sin(),0,02y x πωϕωϕ=+><<（） 在一个周期内的图象如图所示， A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 在y 轴上，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π68．一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为A ．3B ．25C ．2D ．279.函数的部分图象为10.三棱锥S —ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°. ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确的个数是（ ）． A.1 B.2 C.3 D.411已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH:HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为A ．53π B ．4πC ．92π D ．14435π12.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.ln 3,3e ⎛⎫⎪⎝⎭C.ln 30,3⎛⎤⎥⎝⎦D.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱11A B 的中点，则 直线AE 与平面11BDD B 所成角的正切值是 . 14．己知x>0，y>0，且 115x y x y+++=，则x+y 的最大值是______. 15．4D ABC DA ABC ABC DA -⊥=三棱锥中，底面，底面为等边三角形，，AB=3，D ABC -则三棱锥的外接球体积为 。
河北省唐山高三数学第二次月考试题(理科)
河北省唐山地区2007-2008学年度高三数学第二次月考试题（理科）总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知)4tan(,43tan παα+-=则等于 （ ）A ．71 B ．7C ．－71 D ．－7 2．函数2cos 2sin 1xx y -=的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于2π=x 轴对称3．已知0)3(:,1|32:|<-<-x x q x p ，则p 是q 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．函数)23sin(2x y -=π单调增区间为（ ）A ．]125,12[ππππ+-k k B ．]1211,125[ππππ++k kC ．]6,3[ππππ+-k kD ．Z k k k ∈++其中]32,6[ππππ5．设向量,,2),4,3(),2,1(-==若表示向量的有向线段首位相接能够成三角形，则向量为（ ）A ．（4，6）B ．（－4，6）C ．（－4，－6）D ．（4，－6）6．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx yC ．⎪⎭⎫⎝⎛-=34cos πx y D ．⎪⎭⎫⎝⎛-=62cos πx y 7．已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC的 （ ）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心 8．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且103=++c b a ，则a=（ ）A ．4B ．2C ．－4D ．－29．已知实数a ，b 均不为零，ab,6,tan sin cos cos sin 则且παββαααα=-=-+b a b a 等于（ ）A ．3B ．33 C ．－3D ．－33 10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的 中点.已知 最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积 （含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方 体的个数至少是 （ ） A ．5； B ．6； C ．7；D ．8；第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．设1,0≠>a a ，函数)32(log )(2+-=x x x f a 有最小值，则不等式0)1(log >-x a 的解集为 .12．若2tan =θ，则θθθcos sin 3sin 22-= .13．把函数)3cos(π+=x y 的图象向左平移m 个单位（m >0），所得图象关于y 轴对称，则m的最小值是 .14．在等差数列}{n a 中，7413,0a a a =>，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n= .15．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则2tan 2tan 32C tan 2tan CA A ++= . 16．①存在31cos sin )2,0(=+∈a a 使πα ②存在区间（a,b ）使x y cos =为减函数而0sin <x ③x y tan =在其定义域内为增函数 ④)2sin(2cos x x y -+=π即有最大、最小值，又是偶函数⑤|62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题错误的为 .三、解答题（17—20每题13分，21—22每题12分，共76分）17．已知}5|21||{},0,0944|{22≤-=>≤-+-=x x B m m x x x A ，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围.18．若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ（1）若3=a ，求)(x f 的单调增区间.（2）若)(x f 的最大值为2，试确定常数a 的值.19．（13分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.cos cos )2(C b B c a =- （1）求角B 的大小.（2）设k k A A ⋅>==),1)(1,4(),2cos ,(sin 的最大值为5，求k 的值.20．已知x=1是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中0,,<∈m R n m （1）求m 与n 的关系表达式；（2）当]1,1[-∈x 时，函数y=)(x f 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.21．设函数)(x f 的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x,y 都有)()()(y f x f xy f +=恒成立.已知0)(,1,1)2(>>=x f x f 且.（1）判断),0()(+∞=在x f y 上的单调性，并说明理由. （2）一个各项为正数的数列}{n a 满足*)(1)1()()(N n a f a f s f n n n ∈-+==，其中n s 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列的通项n a .22．（12分）设数列}{n a 的前n 项和,...3,2,1,32231341=+⨯-=+n a S n n n （1）求首项a 1; （2）求数列的通项a n ；（3）设∑=<==ni i n n n T n S T 1.23,...,3,2,1,2求证参考答案一、选择题1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．B1． A 解析：,71tan 1tan 1)4tan(,43tan =-+=+-=ααπαα选A. 6． D 解析：从图象看出，,461241πππ=+=T 所以函数的最小正周期为π，函数应为x y 2sin =向左平移了6π个单位， 即)32sin()6(2sin ππ+=+=x x y)322cos(ππ++-=x),62cos(π-=x 选D.8． D 解：由互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列可设a=b －d ，c=b ＋d ，由103=++c b a 可得b=2，所以a=2－d ，c=2+d ，又c,a,b 成等比数列可得d=6，所以a=－4，选D. 9．Bβααααtan sin cos cos sin =-+b a b aαβαβcos cos cos cos b a +⇒ αβαβsin sin sin cos b a -= )sin sin sin (cos αβαβ+⇒b )sin cos cos (sin αβαβ-=a )sin()cos(αβαβ-=-⇒a b336tan )tan(==-=⇒παβa b 10．解：一个正方体时表面记为24，二个正方体时表面记为24+4×;32)2(2=三个正方体时表面记为24+4×;3614)2(2=⨯+－d四个正方体时表面记为24+4×;38)22(414)2(22=⨯+⨯+五个正方体时表面记为.39)21(4)22(414)2(424222=⨯+⨯+⨯+⨯+ 二、填空题11．}2|{>x x 12．52 13．32π14．8 15．3 16．①②③⑤ 15．解：)2tan 2tan 1)(22tan(2tan2tan CA C A C A -+=+ )2tan 2tan 1(60tan CA -︒=)2tan 2tan 1(3CA -= 3=∴原式16．①当)2,0(πα∈时，1cos sin >+αα故错； ②x y cos = 为减函数时，)2,2(πππ+∈k k x 0sin >∴x 故错；③错；④1cos cos 22-+=x x y 故对； ⑤无周期.三、解答题17．解：集合A ：;2332+≤≤-m x m集合B ：32≤≤-x⎩⎨⎧=+-=-323232m m 时，m 无解， 3100323232≤<∴>⎩⎨⎧≤+-≥-∴m m m m 且18．解：（1）)6sin(sin 23cos 212cos 2sin cos 4cos 2)(2π+=+=+=x x x x x a x x x f 又0cos ≠x2ππ=≠∴k x)(x f ∴的单调增区是为Z k k k k k ∈+-⋃--),32,22()22,322(ππππππππ（2）)sin(441sin 2cos 212cos 2sin cos 4cos 2)(22ϕ++=+=+=x a x a x x x a x x x f由已知有,54412=+a 解之得15±=a 19．解：（1）.cos cos )2(Cb Bc a =-C B B C A cos sin cos )sin sin 2(⋅=-∴整理得A C B B C C B B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=⋅+= ),,0(π∈A 0s i n ≠∴A321cos π=∴=∴B B（2）)32,0(,1sin 4sin 22cos sin 42π∈++-=+=⋅A A k A A A k n m 其中 设]1,0(sin ∈=t A ，则]1,0(.1422∈++-=⋅t kt t ∵对称轴,1>=k t∴当t=1时，⋅取得最大值. 即23,5142==++-k k 解得 20．解：（1）,)1(63)(2n x m mx x f ++-='0)1(='f0)1(63=++-∴n m m 63+=∴m n（2）02)1(2,3)(2>++->'x m mx m x f 即0<m]1,1[,02)1(22-∈<++-∴x mx m m x设mx m m x x g 2)1(2)(2++-=⎩⎨⎧<<-∴0)1(0)1(g g⎪⎩⎪⎨⎧<-<+++∴0102221mm 34<∴m 又034,0<<-∴<m m 21．解：（1）设)()()()(),,0(,11211222121x f x xf x x x f x f x x x x +=⋅=<+∞∈则且 0)(1>>x f x 时)(),()(0)(1212x f x f x f x x f 故>>∴为增函数.（2）由)()(1)(1++=+n n n a f a f s f)()()2()(1++==∴n n n a f a f f s f ,2,21时当≥⋅=∴+n a a s n n n ,211n n n a a s ⋅=∴--两式相减得：12122----+=n n n n n a a a a a)2(0)1)((11≥=--+∴--n a a a a n n n n n a n a a n n n =∴≥=-∴-)2(1122．（1）324313432231341111+⨯-==+⨯-=+a S a a S n n n 得 21=∴a 再由)2(322313411≥+⨯-=--n a S n n n)22(31)(34111n n n n n n n a a S S a -⨯--=-=∴+--整理得)2(4211--+=+n n n n a a}2{n n a +∴是首项为421=+a ，公比为4的等比数列.即n n n a 44421=⨯=+-*.24N n a n n n ∈-=∴（2）将32231)24(34,241+⨯--=-=+n n n n nnn S a 代入 )12)(12(32)22)(12(31111--=--=+++n n n n)121121(23)12)(2(223211---=-⨯==∴++n n n n n n n n S T23)121121(23)121121(2311111<---=---=+=+=∑∑n n i i i ni Ti。
2020-2021学年湖南省雅礼中学高三(下)第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．45．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．86．设x，y 满足约束条件，则目标函数z=的最小值为（）A．2 B．1 C．D．﹣27．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2022的值为（）x 1 234 5f（x）4 135 2A．4 B．1 C．3 D．28．如图，长沙河西先导区某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开拓出三块外形大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为（）平方米．A．900 B．920 C．948 D．9689．已知函数，若存在x1＜x2，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）A．12 B．1 6 C．18 D．20二．填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在第11、12、13题中任选两题作答，假如全做，则按前两题给分）【几何证明选讲】11．如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，已知⊙O的半径为3，PA=2，则OE=．【极坐标系与参数方程选讲】12．已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为，它们的交点在平面直角坐标系中的坐标为．【不等式选讲】1011•天津）已知集合A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B=，则集合A∩B=．（二）必做题（14～16题）14．设（其中e为自然对数的底数），则的值为．15．动点A（x，y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是．16．已知数列{a n}的前n项和S n=（﹣1）n •n，若对任意正整数n，（a n+1﹣p）（a n﹣p ）＜0恒成立，则实数P 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．设函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意正整数n，都有S n+2=2a n成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜3．19．如图所示，在平面四边形ABCD中，，与的夹角为，与的夹角为．（1）求△CDE的面积S；（2）求．20．已知函数f（x ）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≤时，争辩f（x）的单调性．21．若数列{a n}（n∈N*）满足：①a n≥0；②a n﹣2a n+1+a n+2≥0；③a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．（1）已知数列{a n}，（n∈N*），推断{a n}是否为“和谐”数列，说明理由；（2）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．（n∈N*）22．已知函数f（x）=（1）当x＞0时，证明：f（x）＞；（2）当x＞﹣1且x≠0时，不等式f（x）＜恒成立，求实数k的值．2022-2021学年湖南省雅礼中学高三（下）其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在答题卡中对应题号的框框内.）1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，则A∩B等于（）A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若A、B均是非空集合，则A∩B≠∅是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：推断出“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则能推出A∩B≠∅”确定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．解答：解：若“A∩B≠∅”成立推不出“A⊆B”反之，若“A⊆B”成立，则有A∩B=A≠∅，所以A∩B≠∅”确定成立，所以A∩B≠∅是A⊆B的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查推断一个条件是另一个的什么条件，应当先化简各个条件，若条件是数集的形式，常转化为推断集合间的包含关系．3．（中诱导公式、基本公式）已知，且，则tan（2π﹣α）的值为（）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：先依据诱导公式化简已知条件，得到sinα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，把所求的式子利用诱导公式化简后，再依据同角三角函数间的基本关系把切化弦后，将sinα和cosα的值代入即可求出值．解答：解：由，又，得，则．故选B点评：此题考查同学机敏运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．同学在求cosα的值时应留意α的范围．4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2B．C．2D．4考点：简洁空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果．解答：解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．点评：本题考查简洁的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观看三视图的大小，比较基础．5．已知向量满足：，与的夹角为，则=（）A．2 B．4 C．2D．8考点：平面对量数量积的运算．。
广东省佛山市石门中学2014届高三上学期第二次月考理科数学试卷(解析版)
广东省佛山市石门中学2014届高三上学期第二次月考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．()tan 600-的值等于（ ）A. B.3-C.D.3【答案】A 【解析】 试题分析：()()tan 600tan 600tan 318060tan 603-=-=-⨯+=-=-，选A.考点：诱导公式2．函数()412x xf x +=的图象（ ） A.关于原点对称 B.关于直线y x =对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 【答案】D 【解析】试题分析：()241212222x xx xx xf x -++===+，定义域为R，()()()2222x x x x f x f x -----=+=+=，故函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，选D.考点：函数的奇偶性3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④【答案】D【解析】试题分析：对于命题①，当平面内的两条平行直线垂直两个平面的交线时，则这两条直线与另一个平面平行，但是这两个平面相交，命题①错误；对于命题②，根据平面与平面垂直的判定定理知，命题②正确；对于命题③，若直线a ⊥平面α，直线b α⊂，直线c α⊂，则a b ⊥，a c ⊥，但这两条直线b 与c 平面或相交，故命题③错误；对于命题④，对于平面α和平面β，αβ⊥，l αβ=，a α⊂，直线a 与直线l 不垂直，假设a β⊥，由于l αβ=，则l β⊂，则a l ⊥，这与“直线a 与直线l 不垂直矛盾”，故命题④正确，故选D.考点：1.平面与平面的平行的判定定理；2.平面与平面垂直的判定与性质定理4．设x 、y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y x +-的取值范围是（ ）A.[]0,1B.[]1,0- C.(),-∞+∞ D.[]2,2- 【答案】B 【解析】 试题分析：()2221222x y x y y x x x -++++==+---，令22y z x +=-，则12x yz x +=+-，则目标函数22y z x +=-表示可行域中的动点(),P x y 与点()2,2B -连线的斜率，作不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图所示，当点P 在可行域中运动时，直线PB 的倾斜角为钝角，当点P 与坐标原点重合时，直线PB 的倾斜角最大，此时z 取最大值，则2x y x +-亦取最大值，即max000202x y x ++⎛⎫== ⎪--⎝⎭，当点P 与点A 重合时，直线PB 的倾斜角最小，此时z 取最小值，则2x yx +-亦取最小值，即min 101212x y x ++⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，则2x y x +-的取值范围是[]1,0-，选B.考点：1.线性规划；2.直线的斜率5．设()[)[]2,0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则()20f x dx ⎰的值为（ ）A.34 B.45 C.56 D.76【答案】C 【解析】 试题分析：()()212231010011113522232326f x dx x dx x dx xx x ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰，选C.考点：1.分段函数；2.定积分6．已知:231p x ->，()22:log 50q x x +-<，则p ⌝是q ⌝的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：解不等式231x ->，得1x <-或2x >，所以:12p x ⌝-≤≤，解不等式()214log 50x x +-<，得251x x +->，即260x x +->，解得3x <-或2x >，故:32q x ⌝-≤≤，因此p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.考点：1.不等式的解法；2.充分必要条件 7．函数()2s i n 5fx x x π=-的零点个数是（ ） A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】试题分析：在同一直角坐标系中作出函数()sin g x x =与()25h x x π=的图象，由图象知，函数()sin g x x =与()25h x x π=的图象有且只有7个公共点，故函数()2sin 5f x x x π=-的零点个数为7，选C.考点：1.函数的零点个数；2.函数的图象 8．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ） A.12 B.23 C.32 D.2【答案】A 【解析】试题分析：对任意正整数m 、n ，都有m n m n a a a +=⋅，取1m =，则有111113n n n n a a a a a a ++=⋅⇒==，故数列{}n a 是以13为首项，以13为公比的等比数列，则111111*********n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-< ⎪⎝⎭-，由于n S a <对任意n N *∈恒成立，故12a ≥，即实数a的最小值为12，选A. 考点：1.等比数列的定义；2.等比数列求和；3.不等式恒成立二、填空题 9．设复数z 满足12ii z+=，则z =___________. 【答案】2i -. 【解析】 试题分析：12122i ii z i z i++=⇒==-. 考点：复数的除法10．若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】()(),10,-∞-+∞.【解析】试题分析：令()12f x x x =---，由于不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，这说明不等式2121x x a a ---<++在R 上恒成立在，则()2max 1a a f x ++>，由绝对值的几何意义知，函数()f x 的最小值为1，因此有211a a ++>，即20a a +>，解得1a <-或0a >，故实数a 的取值范围是()(),10,-∞-+∞.考点：1.含绝对值的不等式；2.不等式恒成立11．在直角ABC ∆ 中，90C ∠=，30A ∠=， 1BC = ，D 为斜边AB 的中点，则AC BD ⋅= .【答案】32-. 【解析】试题分析：由于ABC ∆为直角三角形，且30A ∠=，90C ∠=，所以60B ∠=，由正弦定理得s i n1i n602sin sin sin sin 302BC AC BC B AC A B A ⨯=⇒====，()1122BD BA CA CB ==- 1122CA CB =-，222111111222222AC BD AC CA CB AC AC CB AC ⎛⎫∴⋅=⋅-=--⋅=-=-⨯⎪⎝⎭32=-.考点：1.正弦定理；2.平面向量的数量积12．下面为某一几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】43π. 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是由一个14球与一个圆柱拼接而成，且14球所在的球的半径为1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，故该几何体的体积为32144111433V πππ=⨯⨯+⨯⨯=.考点：1.三视图；2.球体与柱体的体积 13．数列{}n a 满足：12a =，()1112,3,4,n n a n a -=-=，若数列{}n a 有一个形如()sin n a n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω=________，ϕ= .【答案】23π，3π-.【解析】试题分析：根据题意知，12a =，211111122a a =-=-=，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 3n n a a +∴=，即数列{}n a 的周期为3，23πω∴=，2132n n a πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，则121232a πϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，解得2sin 3πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，由于22ππϕ-<<，所以27636πππϕ<+<，因此2333πππϕϕ+=⇒=-. 考点：1.数列的递推式；2.数列的周期性；3.三角函数的解析式 14．在极坐标系(),ρθ中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_______________. 【答案】cos 2ρθ=. 【解析】试题分析：点4π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()2,2，将圆4sin ρθ=的方程化为直角坐标方程为224x y y +=，化为标准式得()2224x y +-=，圆心坐标为()0,2，半径长为2，而点()2,2在圆()2224x y +-=上，圆心与点4π⎛⎫⎪⎝⎭之间连线平行于x 轴，故所求的切线方程为2x =，其极坐标方程为cos 2ρθ=.考点：1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.圆的切线方程15．如图所示，AB 、CD 是半径为2的圆O 的两条弦，它们相交于P ，且P 是AB 的中点，43PD =，30OAP ∠=，则CP =____.【答案】94. 【解析】试题分析：由于圆O 是半径为2的圆，则2OA =，由于点P 为弦AB 的中点，所以OP AB ⊥，AP ∴=BP cos 2cos303OA OAP =∠==，由相交弦定理得243A PB PC P P DA PB PC P PD⋅⋅=⋅⇒==39344=⨯=. 考点：1.垂径定理；2.相交弦定理三、解答题16．数列{}n a 中，11a =，前n 项的和是n S ，且21n n S a =-，n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2log 2n n b a =，求123n n T b b b b =++++.【答案】（1）12n n a -=；（2）()12n n n T +=.【解析】试题分析：（1）先利用n a 与n S 之间的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩对2n ≥时，利用1n n n a S S -=-求出数列{}n a 在2n ≥时的表达式，然后就11a =进行检验，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的基础下，先求出数列{}n b 的通项公式，然后利用公式法求出数列{}n b 的通项公式.试题解析：（1）当2n ≥且n N *∈时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，上述两式相减得11222n n n n n a a a a a --=-⇒=，12nn a a -∴=， 故数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=； （2）()()1222log 2log 22log 2n n n n b a n -==⋅==，()12311232n n n n T b b b b n +∴=++++=++++=. 考点：1.定义法求数列通项；2.等差数列求和17．如图，已知点()3,4A ，()2,0C ，点O 为坐标原点，点B 在第二象限，且3OB =，记AOC θ∠=.（1）求sin 2θ的值；（2）若7AB =，求BOC ∆的面积. 【答案】（1）24sin 225θ=；（2）AOB S ∆= 【解析】试题分析：（1）先利用三角函数的定义求出cos θ和sinθ的值，然后利用二倍角公式求出sin 2θ的值；（2）先在AOB ∆中利用余弦定理求出cos AOB ∠的值，求出AOB ∠，再由面积公式求出AOB ∆的面积.试题解析：（1）由三角函数定义得3cos 5θ==，4sin 5θ==，4324sin 22sin cos 25525θθθ∴==⨯⨯=；（2）5OA =，且3OB =，7AB =，由余弦定理得2222225371cos 22532OA OB AB AOB OA OB +-+-∠===-⋅⨯⨯， 0AOB π<∠<，所以23AOB π∠=， 设点B的坐标为(),x y ，则2222sin 3sin 3sin cos cos sin 3333y OB ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4133525⎡⎛⎫=⨯⨯-+=⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦11222BOC S OC y ∆∴=⋅=⨯=. 考点：1.三角函数的定义；2.二倍角公式；3.余弦定理；4.两角和的正弦公式；5.三角形的面积18．已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面A C D ，DE ⊥平面A C D ，AC AD CD ===2DE =，1AB =，F 为CE 的中点.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线AC 与平面CBE 所成角的余弦值的大小.【答案】（1）详见解析；（2）直线AC 与平面CBE . 【解析】试题分析：（1）取CD 的中点G ，连接AG 、FG ，证明CD ⊥平面AFG ，进而得到AF CD ⊥；（2）法一是利用四边形ABFG 为平行四边形得到//AG BF ，于是得到点A 和点G 到平面CBE 的距离相等，证明DF ⊥平面CBE ，由于点G 为CD 的中点，由中位线原理得到点G 到平面CBE 的距离为线段DF 长度的一半，于是计算出点A 到平面CBE 的距离，根据直线与平面所成角的原理计算出直线AC 与平面CBE 所成角的正弦值，进一步求出该角的余弦值；法二是分别以GD 、GF 、GA 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，利用空间向量法求出直线AC 与平面CBE 所成角的正弦值，再根据同角三角函数的平方关系求出这个角的余弦值.试题解析：（1）如下图所示，取CD 的中点G ，连接AG 、BF 、FG ，GFEDCBAG 、F 分别为CD 、CE 的中点，则1//2GF DE ， 由于AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ∴，又1AB =，2DE =，12AB DE ∴=，1//2AB DE ∴，所以//AB FG ，FG ∴⊥平面ACD ， CD ⊂平面ACD ，CD FG ∴⊥，AC AD =，且点G 为CD 的中点，所以AG CD ⊥， AG FG G ∴=，CD ∴⊥平面AFG ， AF ⊂平面AFG ，AF CD ∴⊥；（2）法一：由（1）知//AB FG ，故四边形ABFG 为平行四边形，//AG BF ∴， 故点A 到平面CBE 的距离等于点G 到平面CBE 的距离，如下图所示，连接DF 、BD ， 取CF 的中点N ，连接GN ，N GFEDCBA由于AB ⊥平面ACD ，且AD ⊂平面ACD ，AB AD ∴⊥，BD ∴==，同理DE CD ⊥，CE ∴===，因为点F 为CE的中点，1122DF CE ∴==⨯= 由于2AC AD CD ===，故ACD ∆为等边三角形，G 为CD 的中点，AG CD ∴⊥，AG ∴=，由于四边形ABFG 为平行四边形，所以BF AG ==，222BF DF BD ∴+=，DF BF ∴⊥，CD DE =，点F 为CE 的中点，DF CE ∴⊥， 因为BF CE E =，DF ∴⊥平面CBE ，G 、N 分别为CD 、CF 的中点，//GN DF ∴，GN ∴⊥平面CBE ，且122GN DF ==，故点A 到平面CBE的距离为2， 设直线AC 与平面CBE 所成的角为θ，则1sin 224GN AC θ===，cos 4θ∴===，故直线AC 与平面CBE所成角的余弦值为 法二：分别以GD 、GF 、GA 为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系G xyz -，则(B ，()1,0,0C -，()1,2,0E，(CB =，()2,2,0CE =，(CA =，设平面CBE 的法向量为(),,n x y z =，则0220n CB x y n CE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1x =，则()1,1,0n =-，2cos ,n CA n CA n CA⋅==⋅， 设直线AC 与平面CBE 所成角为θ，则14cos ,4n CAθ==， 所以直线AC 与平面CBE 考点：1.直线与平面垂直；2.直线与平面所成的角；3.空间向量法19．如图，已知半径为1的⊙1O 与x 轴交于A 、B 两点，OM 为⊙1O 的切线，切点为M ，且M 在第一象限，圆心1O 的坐标为()2,0，二次函数2y x bx c =-++的图象经过A 、B 两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM 的函数解析式；（3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P 、O 、A 为顶点的三角形与1OO M ∆相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为243y x x =-+-；（2）切线OM的函数解析式为y x =； （3）点P的坐标为⎛ ⎝⎭或34⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）先求出圆1O 的方程，并求出圆1O 与x 轴的交点A 和B 的坐标，然后将点A 和B 的坐标代入二次函数2y x bx c =-++中解出b 和c 的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线OM 过原点，可设切线OM 的函数解析式为y kx =，利用直线OM 与圆1O 求出k 值，结合点M 的位置确定切线OM 的函数解析式；（3）对1AOP OO M ∠=∠或1AOP OMO ∠=∠进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点P 的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆1O 的方程为()2221x y -+=，令0y =，解得1x =或3x =，故点A 的坐标为()1,0，点B 的坐标为()3,0，由于二次函数2y x bx c =-++经过A 、B 两点，则有22110330b c b c ⎧-+⨯+=⎨-+⨯+=⎩，解得43b c =⎧⎨=-⎩，故二次函数的解析式为243y x x =-+-；（2）设直线OM 所对应的函数解析式为y kx =，由于点M 在第一象限，则0k >， 由于直线OM 与圆1O1==，解得k =， 故切线OM 的函数解析式为3y x =； （3）由图形知，在1OO M ∆中，130MOO ∠=，160OO M ∠=，190OMO ∠=， 在AOP ∆中，30AOP ∠=，由于1AOPOO M ∆∆，因为130AOP MOO ∠=∠=，则必有190OAP OMO ∠=∠=或160OAP OO M ∠=∠=，联立()2221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点M 的坐标为3,22⎛ ⎝⎭， 当190OAP OMO ∠=∠=时，直线AP 的方程为1x =，联立1x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，于是点P 的坐标为⎛ ⎝⎭；当160OAP OO M ∠=∠=时，1//AP O M ，由于点A 为线段1OO 的中点，故点P 为线段OM 的中点，此时点P 的坐标为34⎛⎝⎭.综上所述，当点P 的坐标为⎛ ⎝⎭或34⎛ ⎝⎭时，1AOP OO M ∆∆.考点：1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形 20．已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式；（2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （3）若3n n n c b λ=-（λ为非零整数，n N *∈），试确定λ的值，使得对任意n N *∈，都有1n n c c +>成立. 【答案】（1）12n n nx x x ++=；（2）详见解析；（3）1λ=-. 【解析】试题分析：（1）先根据直线1n n A A +的斜率为n k ，利用斜率公式与n k 构建等式，通过化简得到n x 与1n x +的关系式；（2）在（1）的基础上，将12n n nx x x ++=代入1n b +，通过化简运算得出1n b +与n b 之间的等量关系，然后根据等比数列的定义证明数列{}n b 是等比数列；（3）先求出数列{}n b 的通项公式，进而求出数列{}n c 的通项公式，将1n n c c +>进行作差得到10n n c c +->，对n 为正奇数和正偶数进行分类讨论，结合参数分离法求出λ在相应条件的取值范围，最终再将各范围取交集，从而确定非零整数λ的值.试题解析：（1）由题意知1111111112n n n n n n n n n n n n y y x x k x x x x x x x +++++--===-=---+，所以12n n nx x x ++=； （2）由（1）知12n n nx x x ++=，11111111223323232n n n n n n n nx x b x x x x x ++=+=+=+=-++--+--()22121221112223232323n n n n n n x b x x x x -+⎛⎫=-+=--+=--=-+=- ⎪----⎝⎭， 12n nb b +∴=-，故数列{}n b 是以2-为公比的等比数列；（3）111111712112333327b x =+=+=-+=---，()()1222n n n b -∴=-⨯-=-， ()332nn n n n c b λλ∴=-=-⋅-，()()()111323223320n n n n n n n n c c λλλ+++⎡⎤⎡⎤-=-⋅---⋅-=⋅+⋅->⎣⎦⎣⎦，当n 为正奇数时，则有123323320322n n nnnλλ-⋅⎛⎫⋅-⋅>⇒<= ⎪⋅⎝⎭，由于数列132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭对任意正奇数n 单调递增，故当1n =时，n c 取最小值1，所以1λ<；当n 为正偶数时，则有123323320322n n n nn λλ-⋅⎛⎫⋅+⋅>⇒>-=- ⎪⋅⎝⎭，而数列132n n d -⎛⎫=- ⎪⎝⎭对任意正偶数n 单调递减，故当2n =时，n d 取最大值32-，所以32λ>-，综上所述，312λ-<<，由于λ为非零整数，因此1λ=- 考点：1.直线的斜率；2.数列的递推式；3.等比数列的定义；4.数列的单调性；5.不等式恒成立21．已知函数()11ln f x m x x m x⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，（其中常数0m >）. （1）当2m =时，求()f x 的极大值； （2）试讨论()f x 在区间()0,1上的单调性；（3）当[)3,m ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点()()11,P x f x 、()()22,Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P 、Q 处的切线互相平行，求12x x +的取值范围.【答案】（1）函数()f x 的极大值为53ln 222-；（2）详见解析；（3）12x x +的取值范围是6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）将2m =代入函数()f x 的解析式，利用导数求出函数()f x 的极大值即可；（2）先求出导数()f x '，并求出方程()f x '的两根1x m =和21x m=，对这两根的大小以及两根是否在区间()0,1进行分类讨论，并借助导数正负确定函数()f x 在区间()0,1上的单调区间；（3）先利用函数()f x 在P 、Q 两点处的切线平行得到()()12f x f x ''=，通过化简得到121212111x x m m x x x x ++=+=，利用基本不等式转化为 12121214x x m m x x x x ++=>+在[)3,+∞上恒成立，于是有min1241m x x m ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，进而求出12x x +的取值范围.试题解析：（1）当2m =时，()51ln 2f x x x x=+-，定义域为()0,+∞， 所以()()()2222212512521222x x x x f x x x x x ---+'=--=-=-， 令()0f x '=，解得1x =或2x =，列表如下： 故函数()f x 在2x =处取得极大值，即()()2ln 22f x f ==-极大值；（2）()()2222111111111f x m x m x x m x m x x x m x m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+⋅--=--++=--- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于0m >，解方程()0f x '=，得1x m =，21x m=， ①当01m <<时，则有101m m<<<， 当0x m <<时，()0f x '<；当1m x <<时，()0f x '>，即函数()f x 在区间()0,1上的单调递减区间为()0,m ，单调递增区间为(),1m ； ②当1m =时，1m m =，则()()22110f x x x'=--<在区间()0,1上恒成立，故函数()f x 在区间()0,1上单调递减；③当1m >时，则有101m m<<<， 当10x m <<，()0f x '<；当11x m<<时，()0f x '>，故函数()f x 在区间()0,1上的单调递减区间为10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）由（2）知，()2111f x m m x x⎛⎫'=+⋅- ⎪⎝⎭， 由于()()12f x f x ''=，从而有221122111111m m m x x m x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得12111m x x m+=+， 即12121x x m x x m +=+，由于1212212121242x x x x x x x x x x ++>=++⎛⎫⎪⎝⎭，则有12121214x x m m x x x x ++=>+， 令()1g m m m =+，故有()124g m x x <+对任意[)3,m ∈+∞恒成立， 而()()()2211110m m g m m m-+'=-=>在()3,+∞上恒成立， 故函数()g m 在[)3,+∞上单调递增，则函数()g m 在3m =处取得最小值，即()()m i n 1033g m g ==， 因此124103x x <+，所以1265x x +>，因此12x x +的取值范围是6,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.考点：1.利用导数求函数的极值；2.导数的几何意义；3.函数的单调区间；4.分类讨论。
成都市双流中学高2012级(理科)数学高三下学期2月月考试题(含参考答案)
成都市双流中学2012届高三下期2月月考试题数 学（理工农医类）2012。
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16本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．全卷满分为150分，完成时间为120钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记集合2{|2},{|30}M x x N x x x =>=-≤，则N M = （ ）A ．{|23}x x <≤B ．{|02}x x x ><-或C ．{|23}x x -<≤D ．{|02}x x <<2．已知复数11z i=-，则z 在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四3．123,,l l l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．122313,//l l l l l l ⊥⊥⇒B ．122313,//l l l l l l ⊥⇒⊥C ．123123////,,l l l l l l ⇒共面D ．123,,l l l 共点123,,l l l ⇒共面4．“函数()f x 在0x x =点处连续”是“()f x 在0x x =点处有极限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．函数y ＝f （x ）在定义域（－32，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ）A ．[－1，12]∪[43，83]B ．[－13，1]∪[2，3）C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[43，3）6．已知点O 为坐标原点，A （-1，1），若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围为 （ ）A ．[]1,0-B ．[]1,2-C ．[]0,1D ．[]0,2 7．已知数列{}{},n n a b 满足112a =，1n n a b +=，121n n nb b a +=-，则2012b =（ ） A ．20112012 B ．20122011 C ．20122013 D ．201320128．设12,F F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆离心率e 的范围（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．2⎫⎪⎪⎣⎭ D．0,2⎛ ⎝⎦ 9．把函数2sin 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象按向量,16a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到()y g x =的图象，则()y g x =的图象在,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C． D ．-1 10．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ） A ．15 B ．25 C ．35 D ．4511．已知定义在[)0,∞上的函数()f x 满足()()32f x f x =+，当[)0,2x ∈时，()22f x x x=-+，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为()n a n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞（ ）A ．32 B ．52C ．2D ．3 12．已知实数满足方程组332cos 2082cos 230x x x y y y ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩，则()cos 2x y += A ．0 B ．13 C ．12D ．1成都市双流中学2012届高三2月月考试题数学（理）答题卷一、选择题答题卡:每小题5分，共60分第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在对应横线上． 13．随机变量()~1,4N ξ，则()2D ξ= .14．已知直线0ax by c ++=与圆22:1O x y +=相交于A 、B 两点，且AB =，则OA OB ⋅= .15．已知A 、B 两地位于北纬45的纬线上，且两地的经度之差为90，设地球的半径为R km ，则轮船以每小时20km 的速度从地A 到B 地，最少需要 小时.16．对具有相同定义域I 的函数()f x 和()g x ，如果对任意x I ∈有()()1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 是I 上“密切函数对”.现给定义域均为[]0,4I =，下列四对函数如下：①()()ln 1f x x =+，()22x g x x =+；②()3f x x =，()31g x x =-；③()2xf x e x =-，()2g x x =-；④()2538f x x =-，()g x =。
【解析版】2012-2013学年广东省肇庆市广宁中学高三(下)2月月考数学试卷(理科)
2012-2013学年广东省肇庆市广宁中学高三（下）2月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知全集U=R，集合A={y|y=2x，x∈R}，则∁U A=（）2．（5分）已知a，b是实数，则“”是“a+b＞5”的（）”””“3．（5分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）5．（5分）已知i是虚数单位，复数=（）B解：==6．（5分）函数y=sin（2x+）的图象可由函数y=sin2x的图象（）向左平移个单位长度而得到向右平移个单位长度而得到向左平移个单位长度而得到向右平移个单位长度而得到2x+2x+）==的图象向左平移个单位长度得到函数2x+7．（5分）若实数x，y满足不等式组，则2x+4y的最小值是（）解：作出不等式组表示的平面区域，（﹣，﹣）8．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=+，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．其中真命题的个数为（）+ =二、填空题：（一）必做题（9-13题）9．（5分）函数的导数为．解：∵y'==故答案为：10．（5分）在递增等比数列{a n}中，a2=2，a4﹣a3=4，则公比q=2．30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有150．=，属于基础题．=12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，b=3，若△ABC的面积为，则c=．结合已知可求cosC===∴cosC==，解得c=故答案为：13．（5分）（2013•济南二模）已知F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为．=故答案为：．三、填空题（选做题）（共1小题，每小题0分，满分0分）15．（2012•肇庆一模）（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于6．∴，即三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•南京二模）设向量=（2，sinθ），=（1，cosθ），θ为锐角．（1）若•=，求sinθ+cosθ的值；（2）若∥，求sin（2θ+）的值．．再由同角三角函数的平方关系，可得）的值．）∵•=2+sin，∴．）∵∥=，==．+=+×+（﹣17．（12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．（=，==，=，×+1×+2×+3×=（18．（14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：BC∥平面C1B1N；（2）求证：BN⊥平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．证出=0•，得知⊥∵•上一点，则∴⊥⇒•∴…19．（14分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3＞a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求证：c n+1≤c n．．，当时，有，∴时，有，，∵，∴为首项，以为公比的等比数列．∴，∴，=20．（14分）已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．b=（（﹣，）（，的方程为；k=tan=y=，则，，可得，（解得，）的最小值为，此时点的坐标为（﹣，21．（14分）已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx．（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数a＞0，使得方程=f（x）﹣（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．）把方程）整理为，，）上是单调减函数，则﹣）把方程）整理为，）﹣=，令﹣）在（，，所以，解得．）。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)
长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （ ）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣， 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点， 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−， 所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数， 所以p q ⇐， 所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（ ） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人， 文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+， 即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（ ）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ， 因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′， 因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上， 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==， 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内， 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤， 又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈； 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>， 要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >， 所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−， 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上， 所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误； 对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=， 此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确； 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（ ）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><， 则111,,0,2422x y y p M N+，可得， 因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<， 可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误； 因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=， 故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________． 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和． 【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+， 设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ， 取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ， 取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤， 则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >， 当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减， 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增， 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−， 令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<， 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意； 综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=； （2）2π0,3. 【解析】 【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±， 所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠， 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−， 且12222003km x x k k k+>⇒>−， 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >， 综上24k >即2k >，又CM =， 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(， 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数； （3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)， 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。
高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。
沙湾一中高三年级第二次月考数学理科试卷
2014沙湾一中高三年级第二次月考数学试卷(理科)第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＝0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{0，1} C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．设复数z 满足i z i -=⋅2，则=z （ ） A.12i -+ B.12i --C.12i +D.12i -3．“1a =”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．在ABC ∆中，A ∠＝600，AB ＝2，且ABC S ∆=，则BC 边的长为 （ ）A ．1B ．3CD 5．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线03=++y ax 垂直，则a = （ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-6． 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－457． ( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π8． 执行如图1-1所示的程序框图，则输出s 的值为( )A ．10B ．17C ．9．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )．A ．－34B. 34C ．－43 D .4310．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18 B .38 C .58 D .7811． 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1，2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1，2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1，2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)12 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
天津市南开大学附属中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析
天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．54．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．105．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取名．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b 的等比中项，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．天津市南开高校附属中学2021届高三上学期其次次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：依据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（3分）“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：依据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而依据充要条件的定义可得答案．解答：解：“a3＞b3”⇔“a＞b”，“log3a＞log3b”⇔“a＞b＞0”，故“a3＞b3”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故选：B点评：推断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤推断命题p与命题q所表示的范围，再依据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，推断命题p与命题q的关系．3．（3分）设变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的学问，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．（3分）若﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，则ab=（）A．15 B．﹣l5 C．±l5 D．10考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=﹣5，b=﹣3，从而可得答案．解答：解：∵﹣9、a、﹣l成等差数列，﹣9、m、b、n、﹣1成等比数列，∴2a=﹣1﹣9=﹣10，b2=9，∴a=﹣5，b=﹣3（b为第三项，b＜0），∴ab=15．故选：A．点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=﹣3的确定是易错点，属于中档题．5．（3分）已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不行能是（）A．B．πC．2πD ．考点：三角函数的最值．专题：计算题．分析：结合三角函数R上的值域[﹣2，2]，当定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，可知[a，b]小于一个周期，从而可得．解答：解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2函数的周期T=2π值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期b﹣a＜2π故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是生疏三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．6．（3分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥m则n∥αB．若α⊥β，β⊥γ则α∥βC．若m⊥β，n⊥β则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对选项逐一分析，依据空间线面关系，找出正确选项．解答：解：对于A，直线n有可能在平面α内；故A 错误；对于B，α，γ还有可能相交，故B 错误；对于C，依据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，α，β有可能相交．故选C．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象力量、运算力量和推理论证力量，属于基础题．7．（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设a n=g（n）﹣g（n﹣1）（n∈N*），则数列{a n}是（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列考点：等比关系的确定．专题：计算题．分析：依据g（n）的通项公式可求得g（1），g（2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，┉，a n进而发觉数列{a n}是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，┉，g（n）=b n+┉+b2+b+1．a1=b，a2=b2，a3=b3，┉，a n=b n故数列{a n}是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定．属基础题．8．（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ACD 是正三角形，则•的值为（）A．﹣2 B．2C．D ．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．由A（0，3），C（4，0），可得．由于，可得=0．利用•==即可得出．解答：解：如图所示，建立直角坐标系．取AC的中点E，连接DE，BE．∵A（0，3），C（4，0），∴．∵，∴=0．∴•====8﹣=．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）为了解某校高中同学的近视眼发病率，在该校同学中进行分层抽样调查，已知该校2022-2021学年高一、2022-2021学年高二、2021届高三分别有同学800名、600名、500名．若2021届高三同学共抽取25名，则2022-2021学年高一同学共抽取40名．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．解答：解：依据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴2022-2021学年高一应抽取的同学数为800×=40．故答案为：40．点评：本题考查了分层抽样的定义，娴熟把握分层抽样的特征是关键．10．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案．解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以长方体的体积为2×2×1=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为．故答案为：．点评：本题考查的学问点是由三视图求体积，其中依据已知中的三视图推断出几何体的外形是解题的关键．11．（5分）已知=（3，﹣2）.=（1，0），向量λ与﹣2垂直，则实数λ的值为．考点：数量积推断两个平面对量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ值，即为所求．解答：解：由题意得（λ）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）﹣2=13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，是解题的关键．12．（5分）对于任意x∈R，满足（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立的全部实数a构成集合A，使不等式|x ﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成集合B，则A∩∁R B=（1，2]．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：分a﹣2为0与不为0两种状况求出（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立a的范围，确定出A ，求出访不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可．解答：解：（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0，满足题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，依据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a﹣2＜0，△=4（a﹣2）2+16（a﹣2）＜0，解得：a＜2，﹣2＜a＜2，综上，a的范围为﹣2＜a≤2，即A=（﹣2，2]，使不等式|x﹣4|+|x﹣3|＜a的解集为空集的全部实数a构成的B=（﹣∞，1），∴∁R B=[1，+∞），则A∩∁R B=（1，2]．故答案为：（1，2]点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，娴熟把握各自的定义是解本题的关键．13．（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC 为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的学问点是切线的性质，圆周角定理，其中依据切线的性质，圆周角定理，推断出△ABE 是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．14．（5分）若a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则的最大值为．考点：等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：由a是1+2b与1﹣2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得的最大值．解答：解：a是1+2b与1﹣2b的等比中项，则a2=1﹣4b2⇒a2+4b2=1≥4|ab|．∴．∵a2+4b2=（|a|+2|b|）2﹣4|ab|=1．∴≤=∵∴≥4，∴的最大值为=．故答案为：．点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数f（x ）在区间上的值域．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先依据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）开放再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，依据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到对称轴方程．（2）先依据x的范围求出2x ﹣的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域．解答：解：（1）∵=sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）===∴周期T=由∴函数图象的对称轴方程为（2）∵，∴，由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又∵，当时，f（x ）取最小值，所以函数f（x ）在区间上的值域为．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质﹣﹣最小正周期、对称性、和单调性．考查对基础学问的把握状况．16．（16分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c ，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面对量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面对量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联马上可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面对量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，娴熟把握定理是解本题的关键．17．（16分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=，E为PD 上一点，PE=2ED．（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（I）依据勾股定理的逆定理，得到△PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PA⊥AD，再结合PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，可得PA⊥平面ABCD；（II）过E作EG∥PA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线相互垂直，可证出∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．分别在△PAB中和△AOD中，求出EH=，GH=，在Rt△EHG中利用三角函数的定义，得到tan∠EHG==．最终由同角三角函数的关系，计算得cos∠EHG=．（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0，，），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（﹣1，1，﹣2 ）．假设侧棱PC上存在一点F，使得BF∥平面AEC ，则=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），且有⋅=0．所以⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，解之得λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．解答：解：（Ⅰ）∵PA=AD=1，PD=，∴PA2+AD2=PD2，可得△PAD是以PD为斜边的直角三角形∴PA⊥AD﹣﹣﹣（2分）又∵PA⊥CD，AD、CD 相交于点D，∴PA⊥平面ABCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，∵△PAB中，PE=2ED∴AG=2GD，EG=PA=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）连接BD交AC于O，过G作GH∥OD，交AC于H，连接EH．∵OD⊥AC，GH∥OD∴GH⊥AC∵EG⊥平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，∴EH⊥AC，可得∠EHG为二面角D﹣AC﹣E的平面角．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴Rt△EGH中，HG=OD=BD=，可得tan∠EHG==．由同角三角函数的关系，得cos∠EHG==．∴二面角D﹣AC﹣E 的平面角的余弦值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，，），=（1，1，0），=（0，，）﹣﹣﹣（9分）设平面AEC 的法向量=（x，y，z），依据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（﹣1，1，﹣2 ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）假设侧棱PC上存在一点F ，且=λ，（0≤λ≤1），使得：BF∥平面AEC ，则⋅=0．又∵=+=（0，1，0）+（﹣λ，﹣λ，λ）=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴⋅=λ+1﹣λ﹣2λ=0，∴λ=，所以存在PC的中点F，使得BF∥平面AEC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等学问点，属于中档题．18．（16分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）依据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后求出﹣S n﹣（﹣2S n），即可求得的前n项和S n．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n∴b n ==﹣n•2n∴﹣s n=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2s n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，s n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般实行错位相减的方法．19．（16分）已知数列{a n}，a1=1，前n项和S n满足nS n+1﹣（n+3）S n=0，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=4（）2，求数列{（﹣1）n b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设C n=2n （﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得S n，最终利用a n=S n﹣S n﹣1求得答案．（Ⅱ）依据（Ⅰ）中a n，求得b n，设出C n，分n为偶数和奇数时的T n．（Ⅲ）依据数列为递减数列，只需满足C n+1﹣C n＜0，求得﹣的最大值，即可求得λ的范围．解答：解：（Ⅰ）由已知=，且S1=a1=1，当n≥2时，S n=S1••…•=1•••…•=，S1也适合，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，且a1也适合，∴a n =．（Ⅱ）b n=4（）2=（n+1）2，设C n=（﹣1）n（n+1）2，当n为偶数时，∵C n﹣1+C n=（﹣1）n﹣1•n2+（﹣1）n•（n+1）2=2n+1，T n=（C1+C2）+（C3+C4）+…（C n﹣1+C n）=5+9+…+（2n﹣1）==，当n为奇数时，T n=T n﹣1+C n =﹣（n+1）2=﹣，且T1=C1=﹣4也适合．综上得T n =（Ⅲ）∵C n=2n （﹣λ），使数列{C n}是单调递减数列，则C n+1﹣C n=2n （﹣﹣λ）＜0，对n∈N*都成立，则（﹣）max＜λ，∵﹣==，当n=1或2时，（﹣）max =，∴λ＞．点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题．对于利用a n=S n﹣S n﹣1肯定要a1对进行验证．20．（16分）已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）•e x定义域为[﹣2，t]（t＞﹣2），设f（﹣2）=m，f（t）=n．（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（Ⅱ）求证：n＞m；（Ⅲ）求证：对于任意的t＞﹣2，总存x0∈（﹣2，t），满足，并确定这样的x0的个数．考点：利用导数争辩函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后依据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（Ⅱ）运用函数的微小值进行证明，（Ⅲ）首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定．解答：（Ⅰ）解：由于f′（x）=（2x﹣3）e x+（x2﹣3x+3）e x，由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0，（Ⅱ）证：由于函数f（x）在（﹣∞，0）∪（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得微小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2），从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（Ⅲ）证：由于，∴，即为x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x ﹣，从而问题转化为证明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并争辩解的个数，由于g（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足，且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数争辩函数单调性的方法及推理和运算力量．。
宁夏银川九中2015届第二次月考高三理科数学试卷
宁夏银川九中2015届第二次月考高三理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合A ＝{x | |x|≤1，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B ＝ ( )A ．{x|－1≤x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．∅2.在以下四组函数中，表示相等函数的是 （ ）A 、1)(+=x x f ，xx x x g )1()(+=B 、1)(=x f ，0)(x x g =C 、x x x f 15)(+= t t t g 15)(+=D 、33)(x x f = 2)(x x g = 3.设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是 （ ）A ． 21x + B.21x - C.23x - D.27x +4.已知 1.20.822,0.5,log 3,===a b c 则 （ ）A.>>a b cB.>>c b aC. >>c a bD. >>a c b5.函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解（ ）A ．{|04}x x x <>或 B.{|22}x x -<< C. {|22}x x x ><-或 D. {|04}x x <<6.下列有关命题的说法正确的是 ( )A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“∃,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对∀,R x ∈ 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．7.函数y ＝||xxa x (0<a<1)的图象的大致形状是 ( )8.设f(x)，g(x)分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(－3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是 ( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)9.已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(,)1(,1)2()(x a x x a x f x 满足对任意21x x ≠，都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，那么a 的取值范围是 （ ） A ．3[,2)2 B ．3(1,]2C ．（1，2） D.),1(+∞ 10. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b]上是“密切函数”，区间[a ，b]称为“密切区间”.若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ）（A ） [2，3] （B ）[2，4] （C ）[3，4] （D ）[1，4]11.已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，()()1-=-x e x f x .给出以下命题：①当0<x 时，()()1+=x e x f x ； ②函数()x f 有五个零点；③若关于x 的方程()m x f =有解，则实数m 的取值范围是()()22f m f ≤≤-；④对()()2,,1221<-∈∀x f x f R x x 恒成立. 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①④B ．①③C ．②③D ．③④12 ．已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 （ ）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭ C．⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ D．⎛- ⎝⎭∞二、填空题（每小题5分，共20分）13.函数()f x =的定义域为____________14.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '=____________15.已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．16.)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=-，给出下列4个结论：（1）0)2(=f ； （2）)(x f 是以4为周期的函数；（3）)()2(x f x f -=+； （4）)(x f 的图像关于直线0=x 对称；其中所有正确结论的序号是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分) 已知：函数m x x x f --++=21)((1) 当m ＝5时，求函数f(x)的定义域；(2) 若关于x 的不等式f(x)≥2的解集是R ，求m 的取值范围． 18. (本小题满分10分)已知：极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：ρsin （θ﹣）=10，曲线C ：（α为参数），其中α∈[0，2π）． （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．19. (本小题满分12分)已知c ＞0，设命题p ：函数x c y =为减函数．命题q ：当时，函数恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．20. (本小题满分12分) 已知：函数1()log (0,1)1amx f x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）讨论()f x 的单调性（3）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.21．(本小题满分12分)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+=.50,20500,500,231002v v v v u 除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元． 已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？22. (本小题满分14分)已知函数2()(1)x f x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．（1）若1=a ，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若0<a ，求()f x 的单调区间；（3）若1-=a ，函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点，求实数m 的取值范围.银川九中2015届第一次月考高三理科数学试卷答案一．选择题1---5CCBDA 6---10DDDAA 11-12AA二．填空题13.(]3,0- 14.4- 15.()1,3 16.（1）（2）（3）三．解答题17.（1） ][)+∞⋃-∞∈,32,(m （2）(]1,∞-18.19.20.解：（1）222111()()log log log0111a a amx mx m xf x f xx x x+---+=+==------------2分对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------4分（2）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞--------------------5分 设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>-- 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------7分 所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------8分 （其他方法证明适当给分）（3）123x a a <<-∴>()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------10分21(2)1,l o g 1,410,232a a f a a a a a -∴-==-+=∴-即化简得分21.所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(1222. 【解析】（1） 1=a ，∴x e x x x f )1()(2-+=，∴++='x e x x f )12()(x x e x x e x x )3()1(22+=-+， ………………1分 ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=. …………2分又 e f =)1(，∴所求切线方程为)1(4-=-x e e y ，即034=--e y ex ．……3分（2）++='x e ax x f )12()(x x e x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+()[]x e a ax x 12++=， ①若021<<-a ，当0<x 或a a x 12+->时，0)(<'x f ； 当<<x 0a a 12+-时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞，),12[+∞+-a a ；单调递增区间为]12,0[a a +-. …………………5分 ②若21-=a ，=')(x f 0212≤-x e x ，∴)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞. …………………6分 ③若21-<a ，当a a x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当012<<+-x a a 时，0)(>'x f . ∴)(x f 的单调递减区间为]12,(a a +--∞，),0[+∞； 单调递增区间为]0,12[a a +-. …………………8分（3）当1-=a 时，由（2）③知，2()(1)x f x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减，在]0,1[-单调递增，在),0[+∞上单调递减，∴()f x 在1-=x 处取得极小值e f 3)1(-=-，在0=x 处取得极大值1)0(-=f . ……………10分由m x x x g ++=232131)(，得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时，0)(>'x g ；当1-0<<x 时，0)(<'x g .∴)(x g 在]1,(--∞上单调递增，在]0,1[-单调递减，在),0[+∞上单调递增. 故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-61)1(，在0=x 处取得极小值m g =)0(. …………………12分函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点，∴⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-m m e 1613. ∴1613-<<--m e .…………14分。
宁夏银川一中2024届高三上学期第一次月考数学理科试题及参考答案
银川一中2024届高三年级第一次月考理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}1A x x =≤，{}20B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．(],2-∞2．已知复数z 满足i zz =+-112，则复数z 的虚部是A.-1B.iC.1D.-i3．如图，可以表示函数()f x 的图象的是A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个充分不必要条件为A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．33a b >D 11a b ->-5．函数()214log 2y x x =--的单调递增区间为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞6．的大小关系为则，，设c b a c b a ,,,21(31log 2log 3.02131===A ．b c a <<B ．cb a <<C ．ca b <<D ．ac b <<7．已知函数ay x=，xy b=，log cy x=的图象如图所示，则A．e e ea c b<<B．e e eb a c<<C．e e ea b c<<D．e e eb c a<<8．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a∃∈---+-<”为假命题，则实数x的取值范围为A．[]1,4-B．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦9．已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxx⎧≥⎪==-⎨<⎪⎩，则函数()g x的图象大致是A．B．C．D．10．已知函数()()()314(1)1a x a xf x axx⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，满足对任意的实数1x，2x且12x x≠，都有[]1212()()()0f x f x x x--<，则实数a的取值范围为A．1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知定义在R上的函数()f x在(],2-∞上单调递减，且()2f x+为偶函数，则不等式()()12f x f x->的解集为A．()5,6,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．()5,1,3⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭C．5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭D．51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知函数()ln1af x xx=++.若对任意1x，(]20,2x∈，且12x x≠，都有()()21211f x f xx x->--，则实数a的取值范围是A．27,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦B．(],2-∞C．27,2⎛⎫-∞⎪⎝⎭D．(],8∞-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ______．14．已知()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，满足()()f a f a <-，则a 的取值范围是．15．若函数()21x mf x x +=+在区间[]0,1上的最大值为3，则实数=m _______.16．已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为____________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)
2021-2022学年安徽省六安市裕安区新安中学普通班高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．24．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x| 5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．17．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝111．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤012．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是．15．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．参考答案一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}【分析】直接利用交集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．故选：B．2．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x3＞8得到|x|＞2，由|x|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．3．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4，f（f（﹣1））＝f（4）＝＝2．故选：D．4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A．f（x）＝x3+x B．f（x）＝x3﹣1C．D．f（x）＝log3|x|【分析】由常见函数的奇偶性和单调性，可得结论．解：f（x）＝x3+x，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数，且f（x）在R上递增，故A符合题意；而f（x）＝x3﹣1不为奇函数；f（x）＝﹣是奇函数，但在定义域内不单调；f（x）＝log3|x|为偶函数．故BCD不符题意．故选：A．5．函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断．解：f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），∴y＝f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，∴当x＝π时，y＝﹣＜0，故选：A．6．已知f（x）＝sin x﹣cos x，则＝（）A．0B．C．D．1【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝代入计算可得答案．解：f（x）＝sin x﹣cos x，则f′（x）＝cos x+sin x，则f′（）＝cos+sin＝，故选：C．7．已知a＝（），b＝log23，c＝log47，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．解：∵，∴0＜a＝（）＜（）0＝1，b＝log23＝log49＞c＝log47＞log44＝1，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：D．8．函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，+∞）B．[1，+∞）C．（0，1]D．（0，+∞）【分析】化简函数的解析式，可得它的单调性．解：∵函数＝，故它的单调递增区间为[1，+∞），故选：B．9．函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）C．（2，+∞）D．（0，+∞）【分析】问题等价于f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可．解：函数f（x）＝lnx+ax存在与直线2x﹣y＝0平行的切线，即f′（x）＝2在（0，+∞）上有解，而f′（x）＝+a，即k＝2在（0，+∞）上有解，a＝2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2，所以a＜2．所以a的取值范围是（﹣∞，2）．当直线2x﹣y＝0就是f（x）＝lnx+ax的切线时，设切点坐标（m，lnm+am），可得，解得m＝e，a＝2﹣．所以实数a的取值范围是：（﹣∞，2﹣）∪（2﹣，2）．故选：B．10．如果幂函数y＝（m2﹣3m+3）的图象不过原点，则m取值是（）A．﹣1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1【分析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．解：幂函数的图象不过原点，所以解得m＝1或2，符合题意．故选：B．11．函数y＝ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤0【分析】由f（x）＝ax3+x的减区间为[﹣1，1]，得f′（x）＝3ax2﹣1＝0的两个根为﹣1，1，解出a即可．解：f′（x）＝3ax2﹣1由题意得3ax2﹣1＝0的根为﹣1，1则3a﹣1＝0，所以a＝．故选：A．12．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+xf′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（）A．（﹣∞，2）B．（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】根据条件构造函数g（x）＝xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．解：设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+x•f'（x），∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）等价为（x﹣1）（x+1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即（x2﹣1）f（x2﹣1）＜（x+1）f（x+1），即g（x2﹣1）＜g（x+1），∵g（x）在（0，+∞）为增函数，∴，即，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选：D．二、填空题（每题5分，合计20分）13．计算求值：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝3．【分析】由指数与对数的运算性质求解即可．解：+lg5+lg2+e ln2lg0.01＝+lg5×2+2+lg10﹣2＝2﹣1+lg10+2+×（﹣2）＝+3﹣＝3．故答案为：3．14．已知函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，则f（1）+2f′（1）的值是2．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）代入f（1）+2f'（1）即可．解：∵点（1，f（1））是切点，∴在切线上，∴1﹣2f（1）+1＝0，f（1）＝1∵函数y＝f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1＝0，∴切线斜率是即f′（1）＝∴f（1）+2f'（1）＝1+2×＝2故答案为215．若关于x的不等式ax2+ax+2≥0的解集为R，则a的取值范围为[0，8]．【分析】分a＝0和a≠0两种情况，并结合二次函数的图象与性质，即可得解．解：当a＝0时，不等式为2≥0，满足题意；当a≠0时，要使不等式的解集为R，则，解得0＜a≤8，综上所述，a的取值范围为[0，8]．故答案为：[0，8]．16．已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围为（，）．【分析】由题意利用对数函数的单调性和特殊点，函数的恒成立问题，求得实数a的取值范围．解：函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间上恒有f（x）＞0，即当a＞1时，2x﹣a＞1，或当0＜a＜1时，0＜2x﹣a＜1．∴①，或②．由①求得a∈∅，由②求得＜a＜．综合可得实数a的取值范围为（，），故答案为：（，）．三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．（1）若a＝3，求A；（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，可得不等式（3﹣x）（x+1）≥0，解不等式即可得到集合A；（2）由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}．由B是A的子集，得a≥2．解：（1）a＝3，由（3﹣x）（x+1）≥0，得（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，所以A＝{x|﹣1≤x≤3}．（2）B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}，所以a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）．18．已知函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+log a2．（1）求实数a的值；（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由函数f（x）在[1，2]上是单调函数，从而可得f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，计算即可求解a的值；（2）将已知不等式转化为对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，求出的最大值，即可求解k的取值范围．解：（1）因为函数y＝a x，y＝log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的单调性相同，所以函数f（x）＝a x+log a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上是单调函数，所以函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+log a2＝6+log a2，所以a2+a﹣6＝0，解得a＝2或a＝﹣3（舍），所以实数a的值为2．（2）由（1）可知f（x）＝2x+log2x，因为对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，所以对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x+log2x为单调递增函数，所以f（x）≥f（2）＝5，所以≤，即k≥，所以实数k的取值范围是[，+∞）．19．函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3．（1）求f（﹣1）的值和函数f（x）的表达式；（2）求方程f（x）＝0在R上的零点个数．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式求出f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）的值，设x＜0，则﹣x＞0，结合函数的解析式和奇偶性分析可得f（x）的表达式，又由f（0）＝0，综合3种情况即可得函数的解析式；（2）根据题意，由函数的解析式分段分析：当x＞0时，易得f（x）为增函数，由解析式可得f（1）＜0，f（3）＞0，由函数零点判定定理可得f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，结合函数的奇偶性可得f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点以及f（0）＝0，综合即可得答案．解：（1）由题知，当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，则f（1）＝log21+1﹣3＝﹣2，又由函数f（x）是实数集R上的奇函数，则有f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（﹣2）＝2；设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝log2（﹣x）+（﹣x）﹣3＝log2（﹣x）﹣x﹣3，又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+x+3，又由f（0）＝0，则f（x）＝；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝；当x＞0时，f（x）＝log2x+x﹣3，易得f（x）为增函数，又由f（1）＝﹣2＜0，f（3）＝log23＞0，则f（x）在（0，+∞）上有唯一的零点，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也有唯一的零点，又由f（0）＝0，综合可得：方程f（x）＝0在R上有3个零点．20．已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式：f（t+）+f（t﹣）＜0．【分析】（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，代入可求b，然后根据，代入可求a；（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴b＝0，f（x）＝，∵＝．∴a＝1，f（x）＝；（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则，所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）由，∴．故不等式的解集为（﹣，0）．21．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y ＝﹣4x+1，y＝f（x）在x＝3处有极值．（1）求f（x）的解析式．（2）求y＝f（x）在[0，4]上的最小值．【分析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定函数的解析式；（2）结合（1）中求得的函数解析式研究函数的极值和函数在端点处的函数值确定函数的最小值即可．解：（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，f′（1）＝3+2a+b．∴k＝f′（1）＝3+2a+b＝﹣4 ①曲线y＝f（x）在点P处的切线方程为y﹣f（1）＝﹣4（x﹣1），即y＝﹣4x+4+f（1）＝﹣4x+1∴f（1）＝﹣3＝1+a+b+c②∵y＝f（x）在x＝3处有极值，所以f′（3）＝0，∴27+6a+b＝0 ③由①②③得，a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2所以f（x）＝x3﹣5x2+3x﹣2…（2）由（1）知f′（x）＝3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3）．令f′（x）＝0，得x1＝3，x2＝．当x∈[0，）时，f′（x）＞0；当x∈时，f′（x）＜0；当x∈[3，4]时，f′（x）＞0，∴f（x）极小值＝f（3）＝﹣11．又因f（0）＝﹣2，所以f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣11．22．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+2垂直，求函数y＝f （x）的单调区间；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【分析】（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）＝﹣1求出a的值，代入f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝，∴f′（1）＝﹣2+a，∵直线y＝x+2的斜率为1，∴﹣2+a＝﹣1，解得a＝1，所以f（x）＝，∴f′（x）＝，由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（II）依题得g（x）＝，则＝．由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又∵函数g（x）在区间[，e]上有两个零点，∴，解得1＜b≤，∴b的取值范围是（1，]．。
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甘肃省天祝县第一中学高三数学试卷（理）
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本题满分60分。
1、已知z ＝i (1＋i )（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
2、若集合{}|(21)0A x x x =->，{})1(log 3x y x B -==，则A B =（ ）
A 、φ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、()1,0,12⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
D 、1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
3、函数()34x f x x =+的零点所在的区间是 （ ） A 、（一2，一1） B 、（一1，0） C 、（0，1） D 、（1，2）
4、对于数列｛a n ｝，“),2,1(1 =>+n a a n n ”是“｛a n ｝为递增数列”的( )
A 、必要不充分条件
B 、充分不必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
5、设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：430
21201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，
则OM ON 的最大值为 （ ）
A 、12
B 、8
C 、6
D 、4 6、如果过曲线x x y -=4上点P 处的切线平行于直线23+=x y 那么点P 的坐标为 ( ) A 、()1,0 B 、()0,1- C 、()0,1 D 、()1,0-
7、若9
21ax x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为84，其展开式中各项系数之和为（ ）．
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、29 8、从如图所示的长方形区域内任取一个点(
)y x M ,， 则点M 取自阴影部分的概率为（ ）
A 、12
B 、
13 C 、33 D 、
3
2
9、为得到函数cos(2)3
y x =+
π
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）
A 、 向右平移
56π个长度单位 B 、 向左平移56π
个长度单位 C 、 向右平移512π个长度单位 D 、 向左平移512π
个长度单位
10、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相
同的牌照号码共有（ ）
A 、24
2610A A 个 B 、242610A 个 C 、()2
142610C 个 D 、()2
142610
C A 个 11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）
A 、30o
B 、60o
C 、120o
D 、150o
12、已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 （ ）
A 、
22136x y -= B 、22145x y -= C 、22163x y -= D 、22
154
x y -= 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
本题满分20分。
13、已知程序框图如右，则输出的i = ．
14、如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是3
8则=a __ ．
15. 若直线220ax by +-=(,(0,))a b ∈+∞平分圆224260x y x y +---=，则
12
a b
+的最小值是 ．
16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：
① 函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；
侧视图
a
23
俯视图正视图开始
1S =结束
3
i =100?
S ≥i
输出2
i i =+*S S i =是
否
x
y O 1 3 2
3x y =
D
A
F
E
O
B
C ② 若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠；
③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；
④ 函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17、（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，23532,32.a a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求122.n S S nS +++ 18、（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA AB AD 22==，E 为PD 的上一点，且ED PE 2=，F 为PC 的中点.
（Ⅰ）求证：//BF 平面AEC ；
（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值.
19、（本小题满分12分）某班同学利用假期进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进
行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX 。
20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
22b
y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、
右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象
限的交点，且｜MF 2｜=3
5
．
（Ⅰ）求C 1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程． 21、（本小题满分12分）已知函数()x x x f ln =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值；
（Ⅲ）若0a >，0b >，证明：()()()()2f a a b ln f a b f b +++-≥．
四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多
做，则按所做的第一题记分．） 22．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交
AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点． （1）求证：DE 2=DB ·DA ；
（2）若⊙O 的半径为23，OB =3OE ，求EF 的长．
23．选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(24222
2
是参数t t y t x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==
，圆C 的极坐标方程为)4
c o s (2π
θρ+=．
（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
24．选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．
（Ⅰ）求证：6221<+<x x ，2||21<-x x ；
（Ⅱ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．
A
P C B
D
E F。