高三2月月考理科数学试卷

甘肃省天祝县第一中学高三数学试卷（理）

第I 卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本题满分60分。

1、已知z ＝i (1＋i )（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限

2、若集合{}|(21)0A x x x =->，{})1(log 3x y x B -==，则A B =（ ）

A 、φ B.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、()1,0,12⎛⎫

-∞ ⎪⎝⎭

D 、1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦

3、函数()34x f x x =+的零点所在的区间是 （ ） A 、（一2，一1） B 、（一1，0） C 、（0，1） D 、（1，2）

4、对于数列｛a n ｝，“),2,1(1 =>+n a a n n ”是“｛a n ｝为递增数列”的( )

A 、必要不充分条件

B 、充分不必要条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

5、设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：430

21201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，

则OM ON 的最大值为 （ ）

A 、12

B 、8

C 、6

D 、4 6、如果过曲线x x y -=4上点P 处的切线平行于直线23+=x y 那么点P 的坐标为 ( ) A 、()1,0 B 、()0,1- C 、()0,1 D 、()1,0-

7、若9

21ax x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭

的展开式中常数项为84，其展开式中各项系数之和为（ ）．

A 、1-

B 、0

C 、1

D 、29 8、从如图所示的长方形区域内任取一个点(

)y x M ,， 则点M 取自阴影部分的概率为（ ）

A 、12

B 、

13 C 、33 D 、

3

2

9、为得到函数cos(2)3

y x =+

π

的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）

A 、 向右平移

56π个长度单位 B 、 向左平移56π

个长度单位 C 、 向右平移512π个长度单位 D 、 向左平移512π

个长度单位

10、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相

同的牌照号码共有（ ）

A 、24

2610A A 个 B 、242610A 个 C 、()2

142610C 个 D 、()2

142610

C A 个 11、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ．若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =（ ）

A 、30o

B 、60o

C 、120o

D 、150o

12、已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为 （ ）

A 、

22136x y -= B 、22145x y -= C 、22163x y -= D 、22

154

x y -= 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。本题满分20分。 13、已知程序框图如右，则输出的i = ．

14、如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是3

8则=a __ ．

15. 若直线220ax by +-=(,(0,))a b ∈+∞平分圆224260x y x y +---=，则

12

a b

+的最小值是 ．

16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题：

① 函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；

侧视图

a

23

俯视图正视图开始

1S =结束

3

i =100?

S ≥i

输出2

i i =+*S S i =是

否

x

y O 1 3 2

3x y =

D

A

F

E

O

B

C ② 若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠；

③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；

④ 函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17、（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，23532,32.a a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求122.n S S nS +++ 18、（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA AB AD 22==，E 为PD 的上一点，且ED PE 2=，F 为PC 的中点.

（Ⅰ）求证：//BF 平面AEC ；

（Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值.

19、（本小题满分12分）某班同学利用假期进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进

行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；

（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX 。

20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的左、

右焦点分别为F 1，F 2．F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象

限的交点，且｜MF 2｜=3

5

．

（Ⅰ）求C 1的方程；

（Ⅱ）平面上的点N 满足21MF MF MN +=，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若0OA OB =，求直线l 的方程． 21、（本小题满分12分）已知函数()x x x f ln =. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若k 为正常数，设()()()g x f x f k x =+-，求函数()g x 的最小值；

（Ⅲ）若0a >，0b >，证明：()()()()2f a a b ln f a b f b +++-≥．

四、选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多

做，则按所做的第一题记分．） 22．选修4—1：几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 是⊙O 上的点，OC 垂直于直径AB ，过F 点作⊙O 的切线交

AB 的延长线于D ．连结CF 交AB 于E 点． （1）求证：DE 2=DB ·DA ；

（2）若⊙O 的半径为23，OB =3OE ，求EF 的长．

23．选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程是)(24222

2

是参数t t y t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+==

，圆C 的极坐标方程为)4

c o s (2π

θρ+=．

（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；

（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

24．选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．

（Ⅰ）求证：6221<+

（Ⅱ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．

A

P C B

D

E F