棱锥的外接球问题-(推荐完整)
(完整版)外接球专项训练(带详细答案)
外接球专项训练参考答案一．选择题1、已知球的半径为2，圆和圆是球的互相垂直的两个截面，圆和圆的面积分别为和，则（ ）A ．1 B．2 D【答案】D【解析】因由球心距与截面圆的半径之间的关系得，故D 。
考点：球的几何性质及运算。
2、在三棱锥中，，中点为，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C如图,易由余弦定理可因，故;同理，故，所以是棱长为应选C 。
考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。
3、球的球面上有四点，其中四点共面，是边长为2的正三角形，面面，则棱锥的体积的最大值为（ ）A．4 【答案】AO M N M N 2ππ||MN =538212221222221=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d d R d R d 222PA AB PB =+BA PB ⊥222PC CB PB =+BC PB ⊥C B A P ,,,O ,,,S A B C ,,,O A B C ABC ∆SAB ⊥ABC S ABC -【解析】设球心和的外心为，延长交于点，则由球的对称性可知，继而由面面可得所在的平面，所以是三棱锥的高；再由四点共面可知是A 。
考点：几何体的外接球等有关知识的运用。
【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各类考试的难点内容。
本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度。
解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先确定球心的位置是三角形的外心，定当4、已知在三棱锥中，面，，若三棱锥的外接球的半径是3，，则的最大值是（ ）A ．36B ．28C ．26D ．18 【答案】D【解析】因为面，所以，，又因为,所以平面，所以，所以有，则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值是,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式,中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解．5、如图所示是一个几何体的三视图, 则这个几何体外接球的表面积为（ ）ABC ∆O CO AB P AB PD ⊥SAB ⊥ABC ⊥PD ABC ∆PD ,,,O A B C O ABC ∆O ABC PD P ABC -PA ⊥ABC PC AB ⊥P ABC -ABC ABP ACP S S S S ∆∆∆=++S PA ⊥ABC PA AB ⊥PA AC ⊥PC AB ⊥AB ⊥PAC AB AC⊥2222(23)36AB AC AP ++=⨯=AB AC AP ==S 36A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体 外接球的表面积为（ ）A ． C ． D 【答案】D【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可8π16π32π64π8π9πO F BCD考点：三视图. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正其外接圆的同样正的外接圆的半径是由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,将其代入可得由应选C. x ,,a b c MNP ∆111P N M ∆O AC 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 82122=-d d考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算. 【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.8、一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是 A ．24π B ．24π＋8πOO 2O 1P 1N 1M 1C APNMMNP ∆243241=r 111P N M ∆3222=r O 111,,,,,P N M P N M O 111P N M ∆1d O MNP ∆2d MNP 111P N M 2121334)(34d d h h d +==+-=2222221212,r d R r d R +=+=822212122=-=-r r d d 82122=-d d 33421=+d d 82122=-d d 3212=-d d 3352=d 113333832522222==+=+=r d R 11=R 21,h h 3O O 212673O 2223321()(3)232R R =+⋅⇒=C ．24π＋4πD ．32π答案：C10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ） （A（B ）1 （C（D【答案】A【解析】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，在面内的射影为中点，平面，上任意一点到的距离相等．，，在面内作的垂直平分线，则为的外接球球心．，，，即为到平面的距离，故选A ．考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．11、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）（A （B）1 （C （D 【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ． C【答案】B【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为4,3,3，因此四棱锥外接球直径S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC S ABC -AB 2SA SB SC ===S ∴ABC AB H SH ∴⊥ABC SH ∴,,A B C 1CH =SHC SC MO O S ABC -2SC =Q 1SM ∴=30OSM ∠=︒O ABC S ABC -AB 2,2,AB SA SB SC ====ABC 34π，表面积是选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 13、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】连接，则由已知得，可知三棱锥是棱长为的正四面体，其高为，则三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为考点：三棱锥外接球．14、半径为1的三个球平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为2的球，由四个球心构成一个新四面体，则该四面体外接球的表面积为（）A． D【答案】A【解析】由已知条件可知，该四面体是底面边长为的等边三角形，且侧棱长为.该四面体外接球半径计算公式为，其中为底面外接圆半径，为高.本题中，故考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥中，是的中点，且，则正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接2434.R ππ=OC OB OA ,,1======AC BC AB OC OB OA ABC O -1ABC S -ABC S -,,A B C αD ,,,A B C D O 9π23x h S ABC -M SC AM SB ⊥S ABC -6π12π32π36π球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB 平面SBN ，∴AC ⊥SB，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ？SB⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直． SA=2，∴正三棱锥S-ABC ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥,在底面中则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． 【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得,,满足勾股定理，,底面,所以,那么平面,所以,那么直角三角形有公共斜边,所以三棱锥的外接球的球心就是的中点,是其外接球的直径，,所以外接球的表面积,故选D.⊂2412S R ππ==P ABC -ABC ∆16π2=AC 222AC BC AB =+090=∠ABC ⊥PA ABC BC PA ⊥⊥BC PAB PB BC ⊥PBC PAC ,PC PC O PC 4=PC ππ1642==R S考点：球与几何体17、已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的表面积为为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意，三棱柱为直三棱柱，底面为直角三角形，把直三棱柱补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，则三棱柱1外接球的表面积是故选C ．考点：几何体的外接球18、如图，是边长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）111C C AB -A B 6O 3AB =C 4A =C AB ⊥A 112AA =O 153π160π169π360π111C C AB -A B C AB 111C C AB -A B 111C C AB -A B 224169R cm ππ=．1111ABCD A B C D -S ABCD -S 1111,,,A B C DA【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，为球心，设，则，则在中，，D ．考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式.19、在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A ． C ． D ． 【答案】A【解析】因为平行四边形中，，沿折成直二面角，所以三棱锥的外接球的直径为，所以三棱锥的外接球的半径，所以三棱锥A ． O 1OG x =12OB SO x ==-11Rt OB G ∆2221111OB G B OG =+ABCD AB BD ⊥22421AB BD +=BD A BCD -π2π4πABCD BD AB ⊥BDC BD A --BCD A -AC BCD A -BCD A -考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合．20、如图, 在菱形中为对角线的中点, 将沿折起到的位置，若 ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设分别是等边三角形的外心，则画出图象如下图所示，由图象可知，,外接球面积为.考点：球的内接几何体. 21、已知从点出发的三条射线，，两两成角，且分别与球相切于，，三点．若球的体积为，则，两点间的距离为( )（A （B （C ）3 （D ） 【答案】B【解析】连接交平面于，由题意可得：和为正三角形，所以．因为ABCD BD ABD ∆BD PBD ∆120PEC ∠=o P BCD -28π32π16π12π,M N ,PBD CBD 11,2O N NC ==11120,60MO N OO N ∠=∠=o o 244728R πππ=⋅=P PA PB PC 60︒O A B C O 36πO P 6OP ABC 'O ABC ∆PAB ∆'AO PO OA PA ⊥⊥，为球的体积为，所以半径，所以考点：点、线、面间的距离计算． 【思路点睛】连接交平面于，由可得，根据球的体积可得半径，进而求出答案． 22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A ，B ，C ，D 且，，，则等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B 【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为，则，根据题意，得，则；故选B ．考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）【答案】B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B ．36π3OA =OP ABC 'O 'AO PO OA PA ⊥⊥，3OA =AB CD x ==BC DA y ==CA BD z ==222x y z ++c b a ,,422222==++c b a 222222222,,z c a y c b x b a =+=+=+8)(2222222=++=++c b a z y x考点：三视图．24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为正方形高为正四棱柱,故其对角线长为故该几何体的外接球的面积为,选C.考点：三视图与几何体的外接球．25、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′,若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（ ）C【答案】D 【解析】因为折起后三点重合，所以两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为的长方体的外接球，球半径满足 D. 考点：几何体外接球的性质.26、已知三棱锥S ﹣ABC ，满足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SCQ 是外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为（ ）A ．3B ．2C 【答案】D【解析】因为三棱锥中，，且，所以三棱锥的外接球即为以43ππ2542==R S ,,A B C ',','A E A F A D 1,1,2R S ABC -,,SA SB SB SC SC SA ⊥⊥⊥SA SB SC ==,,SA SB SC所以球心到平面的距离所以点到平面的距离的最大值为D．考点：球的性质及组合体的应用．27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A．20 B． D【答案】A，两腰为的等腰三角形，高为，底面三角形的外接半径为，设该三棱柱的外接球的半径为，则，所以该三棱柱的外接球的表面积为，故选A．考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积．【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力．28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】BABC Q ABCο120π25π222R221215R=+=2420S Rππ==【解析】由题意此四面体是棱长为的正四面体，其外接球半径为，所以B ． 考点：三视图，外接球，球体积．【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：（1） 正四面体的内切球，如图. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可以利用体积桥证明）（2） 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有（可用正四面体高减去内切球的半径得到）29、如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段的中点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）a h R a h R h C C '''AB -A B C C A ⊥B C 2'B =BB =C 4A =M 'AB C M -ABA ． B【答案】A 【解析】由题意可取的中点，连接,在直角中，所以点在平面内的射影是的外心，即为的中点，设三棱锥的外接球的球心为，由球的截面性质可得，即，解得，故选A.考点：棱锥与球的组合体及球的体积.【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积，考查了考生的空间想象能力属于中档题.本题解答的关键是根据已知条件求得,从而判断点在平面内的射影位置，而又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥外接球的球心在上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积.30、已知球面上有四个点，球心为点，在上，若三棱锥则该球的表面积为（ ） A ． B ．C【答案】B 【解析】设球的半径，首先因为在上，所以为球的直径，为直角三角形，，若使三角形的面积最大，则点到边的距离最大即可，因为三点共面．所以最大距离为半径，三角形；当点距离平面最大时为，则三棱锥的体积的，，所以该球的表面积为，选B ． 考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积．31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以 圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（ ）36πAB D ,MD CD MCD ∆M ABC ABC ∆AB C M -AB O ()222MD r CD r -+=()2215r r -+=3r =MA MB MC ==M ABC ABC ∆C M -AB MD ,,,A B C D O O CD A BCD -O 4π16πr O CD CD O BCD ∆2CD r =B CD ,,B C D r BCD A BCD r A BCD -2r =4416ππ⋅=A ．2π B．3π C ．4π D．5π【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线B ．二、填空题（注释）32、在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形.若直线与平面所成的角为30°，则四棱锥的外接球的表面积为_______.【答案】【解析】连结交于，则可证得平面，连接，则就是直线与平面所成的角，即，四棱锥的外接球的半，则所求外接球的表面积为,故应填.考点：四棱锥的外接球的面积及求法．33、已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且棱锥的体积为，则= ________．【答案】【解析】由题可得四棱锥的侧棱为，则P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD PC PDB P ABCD -12πAC BD H AC ⊥PDB PH CPH ∠PC PDB 30CPH ∠=°∴P ABCD -12π12πABCD R O O ABCD -R 4R考点：多面体与外接球．。
三棱锥外接球问题
三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：142112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．答案：5π说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
数学-一个公式搞定外接球问题10种题型(解析版)
外接球问题10种题型总结【题型目录】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）题型六：圆锥的外接球题型七：棱台圆台的外接球题型八：正棱锥的外接球题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【典型例题】题型一：长方体正方体外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）【例1】若一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为1，则这个球的表面积是（）A ．π2B ．3π4C ．3πD ．12π【例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．C．9πD．27π【题型专练】1．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（）A．9πB．18πC．36πD．48π2．已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_____________．题型二：能在正方体（长方体）内还原的立方体，即长方体切割体的外接球（体对角线即为外接球的直径，()22222c b a R ++=）设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c．图1墙角体图1鳖臑图3挖墙角体图4对角线相等的四面体图1侧面（侧棱）两两垂直，图2所有面均为直角三角形，（线面垂直+线线垂直）；图3俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，图4若是长方体则为对棱相等的四面体，若是正方体则是正四面体（所有棱长均相等）图4中（长方体），2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．【例1】_______________．可得该正方体的外接球就是三棱锥设球半径为R ，可得正方体的对角线长等于球直径【例2】已知三棱锥-P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC 是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A B ．6πC ．24πD ．又1cos 2AD EAC PA x ∠==，∴2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，PA ∴，即三棱锥-P ABC 是以PA ，所以球O 的直径则球O 的体积333V R =π=π⨯【例3】表面积为）A ．B ．12πC ．8πD ．【例4】设,,,A B C D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0=⋅AD AC ，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC 、ACD 、ABD △的面积，则123S S S ++的最大值是______.【例5】我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =则该四面体的外接球的表面积为__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π【例6】如图，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圆”、“筑球”、“踢圆”等，“跳”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系皮革外包、内实米糠的球.因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠己作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足AB CD ==，BD AC ==，5cm AD BC ==，则该“鞠”的表面积为____________.令此长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则有222222251320a b b c ca ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即有22229a b c ++=，令该长方体的外接球的半径为R ，因此2222(2)29R a b c =++=，该“鞠”的表面积为2429S R ππ==.故答案为：29π【题型专练】1．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，,,AB AC AD 两两垂直，且AB =2AC =，3AD =，则球O 的表面积为________.2．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且543PA AB BC ===，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A ．5πB ．200πC ．50πD ．100π【答案】C【分析】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥P ABCD -补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥P ABCD -的外接球直径，设球半径为R ，则2222(2)50R PA AB BC =++=，球表面积为24π50πS R ==．故选：C ．3．正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A ．4B ．3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值M 4．在四面体ABCD 中，已知点E ，F 分别为棱AB ，CD 中点，且EF AB ⊥，EF CD ⊥，若2AB CD ==，2EF =，则该四面体外接球半径为__________．【答案】2【分析】根据四面体的对棱性质，结合长方体面对角线的性质，即可将四面体的外接球问题转化为长方体外接球问题，即可得半径.【详解】解：根据长方体的面对角线特点，则可构造长方体使得四面体ABCD 设长方体的长、宽、高分别为则2224b c AB +==，a EF ==的外接球半径为5．在半径为R 的球面上有A ，B ，C ，D 四点，且直线,,AB AC AD 两两垂直，若,ABC ACD ADB △△，△的面积之和为6，则此球体积的最小值为______________．6．已知三棱锥A BCD -中，⊥AB 面902BCD BCD AB BC CD ∠==== ，，，则三棱锥的外接球的体积为___________.【详解】,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，7.四面体A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝5，AC BD ==AD BC ==A ﹣BCD 外接球的表面积为_____．题型三：圆柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面圆的半径，h 为圆柱的高）【例1】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【题型专练】1.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.故答案为：328.题型四：直棱柱的外接球（2222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，h 为棱柱的高）【例1】设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则该直三棱柱的体积是（）A．B．3C ．D ．3【例2】在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，AC =BC =14AA =，则该直三棱柱的外接球的表面积为_________.___________．圆柱12O O 的底面圆直径为2r 柱12O O 外接球的球心，设球可作出正六棱柱ABCDEF A -可将正六棱柱1ABCDEF A B -连接11O A 、11O B ，则111A O B ∠=则圆1O 的半径为111r O A A B ==正六棱柱1111ABCDEF A B C D E -设正六棱柱111ABCDEF A B C D -π【题型专练】1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,90AB BC AA ABC ===∠=︒，则此直三棱柱的外接球的体积是___________.2．若三棱柱111ABCA B C ﹣的底面是以AB 为斜边的直角三角形，1AA ⊥平面ABC，AB =14AA =，则三棱锥1A ABC -的外接球的表面积为_____．3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,6BB BC BAC π∠===，则该三棱柱外接球的体积为__________.4．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，2BC =，AB BC ⊥，则点1A 到平面11AB C 的距离为______；若三棱锥111A A B C -的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．【详解】由题意，点1A 到平面11AB C 的距离可以看作三棱锥由于直三棱柱111ABC A B C -，故AA 11111111332A B C AA S =�创创22111162AA A C ,AB ,B +==1111122332AB C d S d =⨯=⨯⨯⨯ 题型五：侧棱垂直于底面的棱锥的外接球（2222r P A R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，其中r 为底面外接圆的半径，P A 为棱锥垂直于底面的棱）【例1】已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，ABC AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【答案】D【分析】由正弦定理可得ABC 外接圆的半径，作图利用勾股定理可得四面体D ABC -的外接球的半径，即可求出球O 的表面积.【详解】ABC为等边三角形且其面积为1 2ABC的边长为3，设ABC外接圆的半径为由正弦定理可得322sin60r==，1r=平面ABC，AD＝2，1//O O AD，且取11= 2O O AD，【例2】已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，BC=PB＝PC＝3，PA⊥平面PBC，则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积是（）A．40πB．43πC．45πD．48π故选：B.【例3】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π则体对角线PC 所以2R PC ==故三棱锥-P ABC 故选：D 【题型专练】1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB DC ，AD AB ⊥，2DC =，1AD AB ==，直线PA 与平面ABCD 成45︒角.设四面体PBCD 外接球的圆心为O ，则球的体积为__________.66【分析】先证明出△PCD 和△PBC 均为直角三角形，得到O 点位置，可求得外接球的半径，可求其体积．∵直线PA 与平面ABCD 则∠PAD ＝45°，∴PD ＝又22PC CD PD =+=∴四面体PBCD 外接球的半径为2．在三棱锥A BCD -中，BD ⊥平面ADC ，2BD =，AB =AC BC ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________．AD 因为BD ⊥平面ADC ，AD ⊂所以BD AD ⊥，BD CD ⊥.因为2BD =，22AB =，所以因为2BD =，22BC =，所以在ADC △中，2AD =，CD =3．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，2AD =，3AB =，则该球的表面积为______.故答案为：16π4．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，且3PA =，2BC =，AC =__________．则长方体的外接球的半径为22229344R PA AC BC =++=++=故2R =所以三棱锥-P ABC 外接球的表面积为故答案为：16π题型六：圆锥的外接球【例1】一个圆锥母线长为6，侧面积，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】43π【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而由题意可得，22()h R r -+所以，34R 433V ππ==．故答案为：43π．【例2】已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为4R ，该圆柱的全面积为（）A ．22R πB ．294RπC ．283RπD ．252Rπ易知△~CAB CPO ，故可得故圆锥的内接圆柱的全面积为：故选：B .【题型专练】1.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π设球的半径为R，则3432 33 Rππ=所以，1BD=，3AD=，CD AB⊥，则CAD ACD∠+∠又因为ADC BDC∠=∠，所以，所以，AD CDCD BD=，CD AD∴=因此，这两个圆锥的体积之和为题型七：棱台圆台的外接球【例1】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π【例2】已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π【答案】C【分析】根据旋转体的特点得到圆台的外接球的球心为圆台轴截面外接圆的圆心，然后结合题意得到7AB =，5OC =，4AC =，利用勾股定理得到3BD =，最后利用圆台的体积公式求体积即可.【详解】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，【题型专练】1．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知侧棱都相等的四棱锥P ABCD -底面为矩形，且3AB =，BC =2，用一个与底面平行的平面截该四棱锥，截得一个高为1的刍童，该刍童的顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（）．A ．16πB ．18πC ．20πD ．25π【答案】C【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】如图1，设棱台为1111ABCD A B C D -，如图2，该棱台外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意121O O =，22AO =，111A O =，1OA OA R ==，当O 在12O O 下方时，设2OO h =，则在2AOO 中，有：224R h =+（1），在11A OO 中，有：()2211R h =++（2），联立（1）、（2）得1h =，25R =，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O 在12O O 中间时，设1OO h =，则有221R h =+，()2214R h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述：当刍童外接球的表面积为20π．故选：C2．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则该棱台外接球的半径为（）A ．B ．3C D ．设0,2OG m ⎡⎤=∈⎣⎦，则()222228m R m ⎧+=⎪⎨-+⎪⎩设2OGm =>，则()222228m R m R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩所以10=R ,故选：C.[解法2]同解法1，求得12CG GG ==则1CNC 为等腰直角三角形，四边形CGG 3．正四棱台高为2，上下底边长分别为，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．【答案】80π【分析】画出图形，设出未知数，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积【详解】如图所示，AB AD BC ==O 为外接球球心，设外接球半径为故答案为：80π题型八：正棱锥的外接球【例1】已知底面为正三角形、侧棱都相等的三棱锥的体积为2，其各顶点都在同一球面上．则该球的表面积为__________________．【答案】9π【分析】如图设底面边长为a ，根据锥体体积公式求a ，设1O 为正三角形ABC 的中心，则1SO ⊥平面ABC ，正三棱锥S ABC -的外接球的球心O 在1SO 上，在1Rt O AO V 中利用勾股定理即可求出R 的值，从而得到球O 的表面积．【详解】由条件可得该三棱锥为正三棱锥，作出其图象，如图所示：设AB a =，则AC a =，CAB ∠=【例2】已知正四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为6，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.因为球O 与四棱锥相内切，所以由等体积法得：在PAD 中，22PA h =+，122PAD S =⨯⨯ 简得：2121h h +=-，解得，43h =，设正四棱锥外接球的半径为R ，外接球的球心为所以正四棱锥外接球的表面积为24π4πS R ==4289π【例3】点都在同一球面上，则该球的表面积的最小值为_____________．设BC a =，AH h =，OA R =根据题意可得133BCD S h ⨯=【题型专练】1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π2.正四面体S ABC -内接于一个半径为R 的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为（）A4B 3C 3D 【答案】C【分析】设正四面体的棱长为2a ，由正四面体几何性质得出a 与外接球半径R 的关系式，即可求比值【详解】设正四面体的棱长为2a ，正四面体的外接球心为O ，ABC 的内心为M ，则SM ⊥平面ABC ，由AM ⊂平面ABC ，则SM AM ⊥，3．已知正四棱锥的侧棱长l为3，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，则该正四棱锥的体积是（）A．274B．814C．18D．27【答案】A【分析】根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解长度，进而由体积公式即可求解.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长4.（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥B ．2781,44⎡⎤⎢⎥C ．2764,43⎡⎤⎢⎥D ．[18,27][方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为则2222l a h =+，2232(3a =+所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积13V Sh =题型九：侧面垂直于底面外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】已知空间四边形ABCD的各边长及对角线BD的长度均为6，平面ABD⊥平面CBD，则空间四边形ABCD外接球的表面积为______.由平面ABD⊥平面CBD故AE⊥平面CBD，AE的投影为△【例2】）矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将ABCD 矩形折起，使面BAC ⊥面DAC ，则四面体A BCD-的外接球的体积为（）A ．1256πB ．1259πC ．12512πD ．1253π矩形ABCD 中，因为43AB BC ==，，所以5DB AC ==，设DB 交AC 于O ，则O 是Rt ABC 和Rt V 所以O 到点,,,A B C D 的距离均为52，所以5【例3】已知在三棱锥中，S ABC -中，BA BC ⊥，2BA BC ==，SA SC ==B AC S --的大小为5π6，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（）A ．56π3B ．58π3C ．105π4D ．124π9【题型专练】1.在三棱锥A BCD -中，平面⊥ABC 平面BCD ，ABC 与BCD △都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【详解】的中点为,,M E F 分别是正三角形ABC 是该三棱锥外接球的球心，连接,AM DM 分别在,AM DM 上，OF ⊥平面BCD ABC ⊥平面BCD ，AM BC ⊥，平面⊥平面BCD ，所以//AM OF ，同理可得2．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，AM PC ⊥，M 为垂足，则下列命题正确的是（）A ．三棱锥M ABC -的外接球的表面积为8π.B ．三棱锥M ABC -的外接球的体积为C ．三棱锥P MAB -的外接球的体积为D ．三棱锥P MAB -的外接球的表面积为16π【答案】AC【分析】根据给定条件，取AC 中点1O ，证明点1O 到点,,,M A B C 的距离相等，计算判断A ，B ；取PB ，PC 的中点D ，E ，证明DE ⊥平面PAB ，再确定三棱锥P MAB -的外接球球心位置，并计算半径作答.【详解】在三棱锥-P ABC 中，取AC 中点1O ，连接11,BO MO ，如图，于是得DE ⊥平面PAB ，而因此该球的球心O 在直线令OD d =，即有R OM =在Rt PAC △中，12PE PC =在OEM △中，cos OEM ∠题型十：多面体外接球（找球心，球心在每个面中垂线的交点处）【例1】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（）A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16πB ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=C ．直线AH 与PN 的夹角为60°D ．QH ⊥平面ABE 记正方体体心为O ，取下底面ABCD 易知112OO BO ==，则外接球半径所以外接球的表面积2=416S R π=由欧拉公式可知：顶点数+面数又因为PN ∥AD ，易知直线AH 直线AH 与PN 的夹角为60 ，故故选：D【例2】如图，已知正方体的棱长为1，1O ，2O 分别为正方体中上、下底面的中心，3O ，4O ，5O ，6O 分别为四个侧面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则（）A ．直线13O O 与直线24O O 所成角为60︒B ．二面角1345O O O O --CD ．这个八面体外接球的体积为π6【答案】ACD 【分析】A.根据几何关系，将异面直线所成角，转化为相交直线所成角；B.构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解，转化为正切值；C.根据几何体的特征，计算一个等边三角形的面积，再求八面体的表面积；D.由几何体确定外接球的球心和半径，再求外接球的体积.【详解】A.连结1235O O O O ，，交于点O ，由正方体的性质可知，点O 平分1235O O O O ，，所以四边形1325O O O O 是平行四边形，所以1325//O O O O ，所以直线13O O 与直线24O O 所成角为425O O O ∠,因为八面体的由8个全等的等边三角形构成，所以42560O O O ∠= ，故A 正确；B.取34O O 的中点M ，56O O 的中点由图可知，八面体的表面是所以134O M O O ⊥，MN O ⊥所以1O MN ∠是二面角1O O -2【例3】截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．DE ⊥平面ABCB ．直线DE 与GH 所成的角为60°C ．该截角四面体的表面积为D ．该截角四面体的外接球半径为4选项B ，由题意//,//DE AJ GI 与GH 所成角为60 ，正确；选项C ，由题意，截角四面体由所以其表面积为23414S =⨯⨯选项D ，如下图所示，取上下底面的中心分别为故选：BCD【题型专练】1．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，则这个几何体的外接球的体积为（）A ．3B ．16π3C ．D ．32π3【答案】D【分析】由题意可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,连接,AC BD 交于点M ，取EF 的中点O ，计算求得2OA OB OC OD OE OF ======，说明几何体的外接球的球心为O ，确定半径，根据球的体积公式即可求得答案.【详解】由题意在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF 平面,4ABCD EF =，其余棱长都为2，可知直线EF 在底面ABCD 上的射影即为,AD BC 的中点,N G 的连线所在直线,2NG =,连接,AC BD 交于点M ，则为,AC BD 的中点，取EF 的中点O ，四边形,ABFE CDEF 为全等的等腰梯形，则,OA OC OB OD ==，故,OM AC OM BD ⊥⊥,,,AC BD M AC BD =⊂ 平面ABCD ,由题意得，11()(42)21,2HF EF NG=-=-= 22312,HG FG HF OM HG∴=-=-=∴=222OA OM AM∴=+=，同理OB OC==2,OE OF OA OB OC OD OE==∴====2．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是(8πB．勒洛四面体ABCD内切球的半径是4C．勒洛四面体的截面面积的最大值为2π-D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-对于B ，由对称性知,勒洛四面体正BCD △外接圆半径1O B ABCD 的外接球半径为R 在1Rt BOO 中,2263R ⎛= ⎝此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对()max 223Sπ=-截，故C正确；对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的面体ABCD能够容纳的最大球的半径为。
几类空间几何体的外接球问题的解法
解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341图5图6例2.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O 球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA ，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_____．解：如图7，连接AO，OB，∵SC为球O的直径，∴O为SC的中点，∵SA=AC，SB=BC，∴AO SC，BO⊥SC，平面SCA∩平面SCB=SC的表面积为S=4πR=4π×3图7该三棱锥的两个平面相互垂直，根据已知条件证明AO⊥然后构造三角形，找出三棱锥的外接球半径与三棱锥的棱之间的关系，通过解三角形求得三根据球的表面积公式求得球由两个直角三角形构成的三棱锥的外接解答该类型问题的关键是抓住特征：.我们可以通过解直角三角形求得三图8由两个全等三角形或等腰三角形构成的三棱锥的外接球问题在求解该类型外接球问题时，我们要灵活运用全等三角形或等腰三角形的性质，关注中点为全等三角形或等腰三角形，和ΔA ′BD 的外心H 1和图9例3.三棱锥P -ABC △PAC 和△ABC 均为边长为棱锥外接球的半径.解：如图10，设O 1，O 2由题意可知O 2H =13由勾股定理可得R 2=8图11类型七：直棱柱、圆柱的外接球问题直棱柱、圆柱的外接球问题较为简单，球的球心为高线的中点，如图12所示，所以我们很容=1=1.再设小圆图12图13例4.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为______．解：设球半径为R ，上，下底面中心为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，，得R =OA =3，由勾股定理可知，OM =1，。
棱柱和棱椎的外接球和内切球
简单几何体得外切球与内接球得计算一、棱柱与球1、正棱柱具备内切球得条件：侧棱长与底面边长有一定得运算关系。
分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长得比例。
其中正三棱柱得侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱得侧棱与底面连长得比值为1：1；正六棱柱得侧棱与底面连长得比值为、2、直棱柱得外接球球心位置：上下两底中心连线得中点。
[分析原因]注：长方体与正方体得外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线得中点。
例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球得表面积。
二、棱锥与球1、棱锥得内切球半径=[分析过程：等体积法]例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。
例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。
2、棱锥得外接球半径得计算。
1、利用外接球球心得意义求普通棱锥得外接球半径注：棱锥得外接球球心就就是确定一点，到棱锥所有顶点得距离都相等，并且该距离就就是半径。
[主要体现在折叠过程中找线段相等得条件]例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球得表面积。
分析：对角线AC得中点就就是外接球得球心。
2、正棱锥得外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。
例：已知正三棱锥得侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球得表面积之比。
[9：1]注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高得。
例：正四棱锥P－ABCD得五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为23、共顶点得三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应得长方体中，它们所对应得外接球为同一个球，[棱锥得外接球]例：三棱锥P－ABC得三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥得顶点都在同一个球面上，则这个球面得表面积为（14）例：已知P、A、B、C、D就是球O得球面上得五点，正方形ABCD得连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球得体积为（32）三、圆锥得内切球以及内接圆柱得相关计算思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间得运算关系例：若圆锥得高等于其内切球半径长得3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）例：圆锥得高与底面半径相等，它得一个内接圆柱得高与圆柱底面半径也相等，求圆柱得表面积与圆锥得表面积得比值为（）四、若球与几何体得棱相切时，则对棱之间得距离就就是球得直径。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
几类特殊的多面体的外接球问题
几类特殊的多面体的外接球问题沈清臣(湖南省长沙市长郡中学㊀４１００００)摘㊀要:本文主要通过空间球体的截面性质引入ꎬ介绍几类锥体㊁柱体的外接球问题的求解策略.关键词:多面体ꎻ外接球ꎻ截面ꎻ补体中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００６１－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:沈清臣(１９７９.１１－)ꎬ男ꎬ湖南省沅陵人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系长沙市教育科学规划重点资助课题«高中数学必修模块易错点提前干预策略的研究»成果.㊀㊀空间几何体与球的组合问题是近几年高考中的一个频考点ꎬ且考查形式灵活多样ꎻ要正确求解此类问题ꎬ学生必须通过读㊁想㊁画㊁转㊁算五个基本环节ꎬ找准熟悉的基本几何模型及相应的求解策略.此类问题可划分为旋转体㊁多面体的内切㊁外接球问题ꎻ而旋转体的内切㊁外接球问题ꎬ通过轴截面可转化为平面几何问题求解ꎻ多面体的内切球问题ꎬ利用等体法可直接求解.因此ꎬ本文主要介绍多面体(棱柱㊁棱锥)的外接球问题ꎬ在此之前ꎬ我们先熟悉空间球体的截面性质及其应用.㊀㊀一㊁球的截面性质及其应用如图１ꎬ空间球体有如下性质:(１)用一个平面去截球ꎬ所得截面是一个圆面ꎻ(２)球心与截面圆心的连线与截面垂直ꎬ且满足:Ｒ２＝ｒ２＋ｄ２(其中Ｒ表示球的半径ꎬｒ表示截面圆的半径ꎬｄ表示球心到截面的距离).图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２例１㊀(２０１８年全国卷Ⅲ理第１０题)设ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是同一个半径为４的球的球面上四点ꎬәＡＢＣ为等边三角形且其面积为９３ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为(㊀㊀).Ａ.１２３㊀Ｂ.１８３㊀Ｃ.２４３㊀Ｄ.５４３分析㊀如图２ꎬ设等边三角形әＡＢＣ外接圆圆心为Ｏ１ꎬ则易知当Ｏ１㊁Ｏ㊁Ｄ共线ꎬ即ＤＯ１为高时ꎬ棱锥体积最大.又由等边三角形әＡＢＣ的面积可求得边长ＡＢ＝６ꎬ所以ＡＯ１＝１２ ＡＢｓｉｎ６０ʎ＝２３ꎬ所以ＯＯ１＝ＡＯ２－ＡＯ２１＝２ꎬ即可得三棱锥Ｄ－ＡＢＣ体积的最大值为１３ＳΔＡＢＣ ＤＯ１＝１３ˑ９３ˑ(４＋２)＝１８３ꎬ故选答案Ｂ.上例的求解过程ꎬ充分利用球体的截面性质ꎬ即球心与截面圆圆心的连线与截面垂直ꎬ使得求解难度大大降低.类似的问题还在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年新课标Ⅰ(理)第６题㊁２０１３年新课标Ⅰ卷(文)第１５题㊁２０１３年大纲卷(文)第１６题㊁２０１３年大纲卷(理)第１６题等.其实ꎬ更多几何体的外接球问题的求解均需要利用到球体的截面性质ꎬ在后面的问题中将作介绍.㊀㊀二㊁棱柱的外接球问题此处我们主要介绍直棱柱(侧棱垂直于底面)的外接球问题.因为正方体㊁长方体的外接球直径即为体对角线ꎬ因此遇到直棱柱的外接球问题ꎬ首先可以考虑将该直棱柱补体为长方体或正方体ꎻ若不能补体ꎬ再考虑利用球体的截面性质确定球心位置ꎬ再由勾股定理求解.图３如图３ꎬ设直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１上㊁下底面的外接圆圆心分别为Ｈ１㊁Ｈꎬ连接Ｈ㊁Ｈ１ꎬ则易知ＨＨ１的中点Ｏ即为该棱柱外接球的球心ꎬＡＨ即为底面外接圆的半径ꎬＡＯ即为球的半径Ｒ.利用平面几何知识求出ＡＨꎬ再结合球的截面性质可直接求解.例２㊀(２０１３年辽宁文㊁理第１０题)已知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的６个顶点都在球Ｏ的球面上ꎬ若ＡＢ＝３ꎬＡＣ＝４ꎬＡＢʅＡＣꎬＡＡ１＝１２ꎬ则球Ｏ的半径为(㊀㊀).１６Ａ.３１７２㊀㊀Ｂ.２１０㊀㊀Ｃ.１３２㊀㊀Ｄ.３１０分析１㊀由题设条件ꎬ可将该三棱柱补成长㊁宽㊁高分别为３ꎬ４ꎬ１２的长方体ꎬ则长方体的对角线长为１３ꎬ即外接球的直径为１３ꎬ半径为１３２ꎬ故选答案Ｃ.分析２㊀易知底面әＡＢＣ为Ｒｔәꎬ所以其外接圆半径ｒ＝ＢＣ２＝５２ꎬ球心到底面的距离ｄ＝ＡＡ１２＝６ꎬ因此由球的截面性质可得所求球的半径Ｒ＝ｒ２＋ｄ２＝１３２ꎬ故选答案Ｃ.直接考查正方体㊁长方体的外接球问题ꎬ在高考试题中曾多次出现ꎬ如２０１３年天津文第１０题㊁２０１４年陕西理第５题㊁２０１６全国Ⅱ文第４题㊁２０１７年天津文㊁理第１０题㊁２０１７年全国Ⅱ文第１５题等ꎬ此类问题难度不大.补体的策略在后面的锥体的外接球问题中将进一步详细介绍.㊀㊀三㊁棱锥的外接球问题球与锥体的组合问题ꎬ在高考真题及各地的模拟试题中出现频率最高ꎬ试题形式多样ꎬ灵活多变.类似于柱体的求解策略ꎬ我们首先考虑补体ꎬ再者利用截面性质确定球心ꎬ进而可得解.下面将按四种类型进行详细阐述.１.有条侧棱垂直于底面的棱锥若棱锥的一条侧棱垂直于底ꎬ则补体为直棱柱求解ꎬ如图４ꎬ三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ侧棱ＳＡʅ底面ＡＢＣꎬ则可补体成直棱柱ＳＱＰ－ＡＢＣ(如图５)ꎬ即转化为直棱柱的外接球问题.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５例３㊀(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)已知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的四个顶点在球Ｏ的球面上ꎬＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣꎬәＡＢＣ是边长为２的正三角形ꎬＥꎬＦ分别是ＰＡꎬＡＢ的中点ꎬøＣＥＦ＝９０ʎꎬ则球Ｏ的体积为(㊀㊀).Ａ.８６π㊀Ｂ.４６π㊀Ｃ.２６π㊀Ｄ.６π分析㊀如图６ꎬ易知三棱锥Ｐ－ＡＢＣ为正棱锥ꎬ故对棱相互垂直ꎬ即ＰＢʅＡＣꎬ又由题设条件知ＥＦʅＥＣꎬＰＢʊＥＦꎬʑＰＢʅＥＣꎬ即ＰＢʅ平面ＰＡＣ.结合正三棱锥的结构特征ꎬ可知ＰＡꎬＰＢꎬＰＣ两两垂直ꎬ且ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝２.将三棱锥Ｐ－ＡＢＣ补成正方体ꎬ如图７.所以外接球的半径Ｒ＝３２ˑ２＝６２ꎬ体积为Ｖ＝４３πＲ３＝４３π(６２)３＝６πꎬ故选答案Ｄ.图６㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７在三棱锥中ꎬ若共顶点的三条棱两两垂直ꎬ则将棱锥补体为正方体或长方体ꎬ可迅速求解.类似问题再如ꎬ２０１２年辽宁文理第１６题.２.对棱相等的锥体正方体或长方体中ꎬ相对面的对角线相等ꎬ因此当三棱锥的对棱相等的时候ꎬ可以将该三棱锥放于正方体或长方体内ꎬ即补体为正方体或长方体.例４㊀三棱锥Ｄ－ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝ＣＤ＝６ꎬ其余四条棱均为２ꎬ则三棱锥Ｄ－ＡＢＣ的外接球的表面积为.图８分析㊀如图８ꎬ将三棱锥Ｄ－ＡＢＣ放入到长方体中ꎬ并设该长方体的长㊁宽㊁高分别为ａꎬｂꎬｃꎬ则ａ２＋ｂ２＝６ꎬｂ２＋ｃ２＝４ꎬｃ２＋ａ２＝４{⇒ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬʑ球的半径Ｒ满足４Ｒ２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝７ꎬ故表面积为Ｓ＝４πＲ２＝７π.本例也可以取ＡＢ或ＣＤ的中点ꎬ作出截面ꎬ根据几何体的对称特征ꎬ确定球心的位置ꎬ利用球的截面性质列出方程组求解.但两种解法对比ꎬ可体现上述解法的简便快捷.特别是准确熟悉正四面体与正方体之间的联系ꎬ可快速解决正四面体的外接球问题ꎬ比如下面的例题.３.正棱锥(底面为正三角形ꎬ顶点在底面的射影为底面的中心)由正棱锥的结构特征可知ꎬ其外接球的球心一定在图９其高线上.如图９ꎬ在正三棱锥Ｓ－ＡＢＣ中ꎬ设底面边长为ａꎬ侧棱长为ｂꎬ高为ｈꎬ外接球球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ则ＡＨ即为底三角形的外接圆半径ꎬ且ＡＨ＝３３ａꎬｈ＝ｂ２－(３３ａ)２ꎬ再由ＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２得ꎬＲ２＝(３３ａ)２＋(ｈ－Ｒ)２ꎬ即可求出外接球半径Ｒ的值.２６例５㊀(２０１４年大纲文第１０题㊁理第８题)正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为４ꎬ底面边长为２ꎬ则该球的表面积为(㊀㊀).Ａ.８１π４㊀Ｂ.１６π㊀Ｃ.９π㊀Ｄ.２７π４图１０分析㊀如图１０ꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＥꎬ则ＰＥ＝４ꎬＡＢ＝２ꎬＡＥ＝１２ＡＣ＝２.设外接球的球心为Ｏꎬ半径为Ｒꎬ连接ＡＯꎬ则在ＲｔәＡＯＥ中ꎬ有ＡＯ２＝ＡＥ２＋ＯＥ２ꎬ即Ｒ２＝(２)２＋(４－Ｒ)２ꎬ解得Ｒ＝９４.ʑ球的表面积为Ｓ＝４πＲ２＝４πˑ(９４)２＝８１４πꎬ故选择答案Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球体的截面性质.前述例３(２０１９年全国Ⅰ理第１０题)亦可利用上述方法求解.４.有两个面垂直的棱锥如图１１ꎬ已知球Ｏ１㊁Ｏ２的两个截面圆所在平面垂直ꎬ则四边形ＯＯ１ＨＯ２为矩形ꎬ且әＯＡＯ１ꎬәＯＢＯ２均为ＲｔәꎬＡＯ＝ＢＯ＝Ｒ.利用勾股定理结合已知条件列出方程组ꎬ即可求解.例６㊀四面体Ａ－ＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ则此四面体外接球的表面积为(㊀㊀).Ａ.１９π２㊀Ｂ.１９３８π２４㊀Ｃ.１７π㊀Ｄ.１７１７π６图１１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１２分析㊀如图１２ꎬ由题设条件知әＢＣＤ是边长为３的正三角形ꎬ设Ｅ为其外接圆圆心ꎬ则其外接圆半径ｒ１ＢＥ＝２３ＢＦ＝２３３ꎬ且ＥＦ＝３３.又ȵøＡＢＣ＝øＡＢＤ＝６０ʎꎬＡＢ＝３ꎬＣＢ＝ＤＢ＝３ꎬ由余弦定理可得ＡＤ＝ＡＣ＝７ꎬＣＤ边上高ＡＦ＝６ꎬ则ＡＦ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２ꎬʑＡＦʅＢＦꎬ即可得ＡＦʅ平面ＢＣＤꎬ即有平面ＡＣＤʅ平面ＢＣＤ.设әＢＣＤꎬәＡＣＤ的外接圆圆心分别为Ｅ㊁Ｈꎬ四面体Ａ－ＢＣＤ的外接球球心为Ｏꎬ则ＯＥʅ平面ＢＣＤꎬＯＨʅ平面ＡＣＤꎬＯＥＦＨ为矩形ꎬʑＯＥ＝ＨＦꎬＯＨ＝ＥＦ.连接ＡＯ㊁ＢＯꎬ并设外接球半径为ＲꎬＯＥ＝ＨＦ＝ｘꎬ则分别在ＲｔәＢＯＥꎬＲｔәＡＯＨ中可得:ＢＯ２＝ＢＥ２＋ＯＥ２ꎬＡＯ２＝ＡＨ２＋ＯＨ２ꎬ{即Ｒ２＝(２３３)２＋ｘ２ꎬＲ２＝(６－ｘ)２＋(３３)２ìîíïïïï解得Ｒ２＝１９８.ʑ四面Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝１９π２ꎬ故选答案为Ａ.上述例题的求解过程ꎬ还是利用球的截面性质(过截面圆圆心且与截面垂直的直线一定过球心)ꎬ通过两个截面来确定球心的位置ꎬ再利用勾股定理求解.其实ꎬ一般情况下ꎬ并要求两个截面圆所在平面垂直.如下例:例７㊀(２０２０年广州市一模文第１２题)在三棱锥Ａ－ＢＣＤ中ꎬәＡＢＤ和әＣＢＤ均为边长为２的等边三角形ꎬ且二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角为１２０ʎꎬ则此三棱锥的外接球的表面为(㊀㊀).Ａ.７π㊀㊀Ｂ.８π㊀㊀Ｃ.１６π３㊀㊀Ｄ.２８π３图１３分析㊀如图１３ꎬ取ＢＤ的中点为Ｅꎬ并连结ＡＥꎬＣＥꎬ易知øＡＥＣ＝１２０ʎ.设әＡＢＤ和әＣＢＤ的外心分别为Ｈ２ꎬＨ１ꎬ并过Ｈ２ꎬＨ１作平面ＡＢＤ和平面ＣＢＤ的垂线交于点Ｏꎬ则Ｏ即为三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的球心ꎬ且ＥＨ１＝ＥＨ２＝１３ＣＥ＝３３ꎬʑＲｔәＯＥＨ１≅ＲｔәＯＥＨ２ꎬøＯＥＨ１＝øＯＥＨ２＝１２øＡＥＣ＝６０ʎꎬＯＥ＝２ＥＨ１＝２３３ꎬ故所求外接球半径为Ｒ＝ＯＢ＝ＯＥ２＋ＢＥ２＝２１３.ʑ三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的表面积Ｓ＝４πＲ２＝２８π３ꎬ故选答案Ｄ.以上内容是对常见的棱柱㊁棱锥的几类外接球问题及其求解策略的归纳.因为题型可以灵活多变ꎬ问题的求解途径多种多样ꎬ以上肯定有阐述不全面不到位的地方ꎬ期盼读者去补充完善.㊀㊀参考文献:[１]周瑜芽.对一道三棱外接球高考题的解法探究[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０２０(０２):５７－５９.[２]熊向前ꎬ杨墁.例析破解三棱锥外接球问题的六种方法[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０２０(０３上):３８－４０.[责任编辑:李㊀璟]３６。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ Ｄ S ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC=O表面积等于（A）4π（B）3π（C）2π（D）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD中，4,3AB BC==，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D--，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC====ABCD的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径.练习：1.正四棱锥S ABCD-S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EFS ABCD-的底面边长为1S A B C D 、、、、、E、F都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为AB．13π C．23π D_C_A_O_D_B二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
(完整版)外接球专项训练(带详细答案)
外接球专项训练参照答案一．选择题1、已知球 O 的半径为 2，圆 M 和圆 N 是球的相互垂直的两个截面，圆M 和圆 N 的面积分别为 2和，则|MN| （ ）A ．1B ．3C ．2D ．5【答案】 Dd 12 1 R 2 d 22 835，故【分析】来由球心距与截面圆的半径之间的关系得d 222 d 12R 2MNd 12 d 225 ，应选 D 。
考点：球的几何性质及运算。
2、在三棱锥中，， 中点为 ，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C．D．【答案】 CPCBMA【分析】如 图 , 易知 BM12 213 2 ， 因AC 1, PM3，由余弦定理可得 PB1 3 2 323PB 2 AB 2 PA 2 ，故 PB BA ; 同理 PB 2 CB 2 PC 2，故 PB BC ，所以 P, A, B, C 是棱长为 2 的正方体的四个极点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R32，所之外接球的面积为 S 46 6 ，24应选 C 。
考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式。
3、球 O 的球面上有四点 S, A, B,C ，此中 O, A, B, C 四点共面， ABC 是边长为 2 的正三角形，面 SAB面ABC ，则棱锥 S ABC 的体积的最大值为（）3B ．3C． 2 3D ． 4A ．3【答案】 A【分析】设球心和ABC 的外心为 O ，延伸 CO 交 AB 于点 P ，则由球的对称性可知PD AB ，既而由面SAB 面 ABC 可得 PD ABC 所在的平面，所以PD 是三棱锥的高；再由O, A, B,C 四点共面可知O 是ABC 的中心，故OP 3, R 2 3 ，当三棱锥的体积最大时，其高为 PD(2 3) 2 ( 3)2 1 ，故三3 3 3 3棱锥的体积的最大值为 1 3 2 2 1 3，应选 A。
3 4 3考点：几何体的外接球等相关知识的运用。
【易错点晴】球与几何体的外接和内切问题向来是高中数学中题的重要题型，也高考和各级各种考试的难点内容。
棱锥外接球问题的几种求解策略
易知球
Ｏ
的半径
为
２.
ＡＭ
＝
３３ ２
ꎬＡＰ
＝
３ ꎬＭＰ ＝
３ ２
＝
ＱＭꎬ△ＯＰＭ≅△ＯＱＭ.
ＯＰ ＝
ＯＡ２ － ＡＰ２ ＝ １ꎬＯＭ ＝
ＯＰ２
在正△ＡＢＣ 中ꎬＡＰ ＝ ３ꎬＡＱ ＝ ２ꎬＱＰ ＝ １. 由于二面角 Ａ
－ ＢＣ － Ｄ 的大小为１５０°ꎬ所以∠ＯＰＱ ＝ ６０°ꎬ则 ＯＱ ＝ ３ .
又 ＯＡ２ ＝ ＯＱ２ ＋ ＡＱ２ ꎬ所以 ＯＡ ＝ ７ ꎬ从而三棱锥 Ａ － ＢＣＤ 的
外接球半径为 ７ ꎬ表面积为 ２８π. 例 ６ 如图 ８ 所示ꎬ在棱形 ＡＢＣＤ 中ꎬＭ 为 ＡＣ 与 ＢＤ
—２—
的阶段性研究成果.
解析 如图 ６ 所示ꎬ此几何体为正四棱锥 Ｓ － ＡＢＣＤ.
设 ＡＣ 与 ＢＤ 的交点为 Ｏꎬ易知 ＯＡ ＝ ＯＢ ＝ ＯＣ ＝ ＯＤ ＝ ＯＳ ＝
１ꎬ故点
Ｏ
即为球心ꎬ半径为
１ꎬ体积为
４ ３
π.
策略 ３ 在该几何体中找出两个面ꎬ分别找出这两个 面的中心ꎬ过 这 两 个 中 心 作 出 两 条 垂 线 分 别 和 对 应 的 面 垂直ꎬ则这两条垂线的交点即为球心.
△ＡＢＣ 是 边 长 为 ３ 的 等 边 三 角
形ꎬＳＡ ＝ ３ ꎬＳＢ ＝ ２ ３ ꎬ二面角 Ｓ － ＡＢ － Ｃ 的大小为１２０°ꎬ则三棱锥 Ｓ － ＡＢＣ 的 外 接 球 的 表 面 积 为
棱锥外接球问题的几种求解策略
苏艺伟
微专题--三棱锥的外接球问题(无名)
P
A B
D C
A
D
B
C
小结：
除了补形成长方体或正方体外，还可以补成 柱形，特点是有一条侧棱垂直底面！
注意：并不是所有的锥体都可以补充成规则图形！
变式2、在三棱锥P-ABC中，PA=PB,E是AB的中点， △ABC与△PCE均是正三角形，AB=3,则求三棱锥 P-ABC的外接球的表面积。
解：由题目可得EC=PE=PC= 3 3 ,PA=PB=3,
36π
所以球O的表面积S=36π
D
课后作业：
1.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上， 球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形， 记△ABC的外心为 O1 ,若三棱锥P-ABC的体积为 12 3 ，求 PO1 的长。
P
C A
B
一、知识回顾
问题1、已知正方体的棱长为 a ，请问该正方体 外接球的半径是多少？
答：正方体外接球的直径为正方体的对角线
正方体外接球的直径 2R 3a
问题2、已知长方体的棱长分别为 a,b, c，你会求它的 外接球的表面积了吗？
答：长方体外接球的直径为长方体的对角线
二、典例剖析
P
A C
B
一起来发现：
A
如图，以PA为侧棱，以△ABC为底补成三棱柱，
C
且是正三棱柱
取两个底面外心D，F.
连接DF则DF中点O即为其外接球的球心。
连接OA,AD,△AOD是直角三角形,
所以R=2,则外接球体积 V 4 R3 32
3
3
B
P F
O
A
C
D
B
法二： 利用常规方法寻找球心和半径：
你来完成：
棱锥的外接球问题课件
04
求解方法与技巧
解析法
定义
解析法是一种通过建立坐标系，将几 何问题转化为代数问题的方法。
适用范围
适用于具有规则形状的几何体，如立 方体、棱锥等。
解析法
步骤 1. 建立坐标系，定义各顶点的坐标。
2. 根据棱锥的性质，计算出其外接球的半径。
解析法
3. 根据外接球的性质，计算出 外接球的球心坐标。
棱锥的外接球问题课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 棱锥的结构特征 • 棱锥的外接球问题 • 求解方法与技巧 • 实例分析 • 结论与展望
01
引言
问题的提
01
棱锥外接球问题是指寻找一个球 ，使得棱锥的顶点都在球面上。
02
这个问题在几何学、物理学和工 程学中都有广泛的应用。
问题的背景与重要性
对实际应用的展望与启示
01 02 03
在三维建模中的应用
在三维建模中，理解棱锥的外接球问题可以帮助我们更好 地进行模型的构建和优化。例如，我们可以使用棱锥的外 接球来帮助确定模型的形状和大小，以及如何在模型中添 加新的顶点或面。
在机器人导航中的应用
在机器人导航中，理解棱锥的外接球问题可以帮助我们更 好地理解机器人在空间中的位置和方向。例如，我们可以 使用棱锥的外接球来帮助确定机器人的姿态，以及如何调 整机器人的移动方向和速度。
详细描述
对于四棱锥，其外接球的球心位于经过底面 四边形对角线交点的平面上。这个平面可以 是垂直于底面的一条平面，也可以是与底面 平行的平面。
五棱锥及以上的例子
总结词
对于五棱锥及以上的多面体，外接球的球心 位置需要利用多面体的性质进行求解。
详细描述
对于五棱锥及以上的多面体，其外接球的球 心位置需要利用多面体的对称性、正交性等 性质进行求解。一般需要通过作图和计算来
棱锥的外接球例题
棱锥的外接球例题
例题：已知棱锥的底面边长为15 cm，侧面的高为20 cm，求
棱锥的外接球的体积和表面积。
解：
首先，我们可以求出棱锥的斜高 h。
根据勾股定理，棱锥斜高
h 的长度可以通过母线 l 和侧面高 s 求得。
由于棱锥的底面形状为正三角形，所以母线l 等于底面边长a，即 l = a = 15 cm。
根据勾股定理，h 的平方等于 l 的平方减去 s 的平方，即 h^2 = l^2 - s^2。
代入已知的数值，可以得到 h 的平方等于 15^2 - 20^2 = 225 - 400 = -175。
由于平方值不能为负数，所以本题中的棱锥无解。
因此，我们无法求出棱锥的外接球的体积和表面积。
六棱锥的外接球专练(适合高一)【教师版】
六棱锥的外接球专练(适合高一)【教师版】六棱锥的外接球专练（适合高一）【教师版】概述本教案主要针对高一学生，教授六棱锥的外接球相关知识与练技巧。
通过本教案，学生将能够理解六棱锥的外接球概念，并学会计算六棱锥外接球的半径和体积。
教学目标1. 了解六棱锥的外接球的定义和性质。
2. 研究计算六棱锥外接球半径的方法。
3. 研究计算六棱锥外接球体积的方法。
4. 练解决与六棱锥外接球相关的实际问题。
5. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备1. 教室黑板或投影设备。
2. 六棱锥模型。
3. 学生的教科书和笔记本。
教学内容1. 六棱锥外接球的定义和性质- 复六棱锥的定义和性质，引导学生思考六棱锥外接球与六棱锥的关系。
- 引出六棱锥外接球的定义：指可以正好通过六棱锥的所有顶点的球。
- 讨论六棱锥外接球的性质：外接球的半径等于六棱锥的高的一半。
2. 计算六棱锥外接球半径的方法- 介绍计算六棱锥外接球半径的方法：- 首先，计算六棱锥的高。
- 然后，将六棱锥高除以2，即可得到六棱锥外接球的半径。
3. 计算六棱锥外接球体积的方法- 介绍计算六棱锥外接球体积的方法：- 首先，计算六棱锥的外接球半径。
- 然后，根据体积公式V = (4/3)πr³，计算六棱锥外接球的体积。
4. 解决实际问题- 给学生提供一些实际问题，要求他们使用六棱锥外接球相关知识解决问题。
- 引导学生思考如何应用所学知识，如计算球体积、高度等。
教学步骤1. 复和导入：复六棱锥的定义和性质。
2. 讲解和示范：讲解六棱锥外接球的相关知识，并演示计算方法。
3. 练和巩固：让学生做一些练题，巩固所学知识。
4. 拓展和应用：提供一些实际问题，引导学生应用所学知识解决。
5. 总结和评价：总结本节课的内容，并对学生的表现进行评价。
教学评估- 对学生完成的练题进行批改和评估。
- 对学生参与课堂讨论和解决实际问题的表现进行评价。
教学延伸- 鼓励学生独立探索更复杂的六棱锥外接球问题，并与同学分享解决思路和方法。
三棱锥外接球问题的一类通用解法
笔者将这种解法称为“大小圆法”。大小圆法绕开了“补形”和“找心”所需要的空间建构过程，将立体图形转化为平面图形，实现空间问题到平面问题的“降维”求解，直观易懂，操作方便。虽然题目条件有一定特殊性，但其解法仍具有一般性。
例2（2016太原一模理）在三棱锥中，底面为边长为2的正三角形，顶点在底面上的射影为的中心，若为的中点，且直线与底面所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积为________．
三棱锥外接球问题的一类通用解法
摘要：三棱锥外接球问题是高中数学立体几何模块中的一大难点，也是历年高考的常考题型。本文通过对比“补形法”和“找心法”两种常规解题思路，提出一种通用性更高、可操作性更强的“大小圆法”，将空间问题“降维”为平面问题来解决，突破三棱锥外接球问题的解题瓶颈。
关键字：高中数学，三棱锥，外接球，大小圆法
例3已知三棱锥的高为，底面是腰长为1，底长为的等腰三角形，点均在半径为的同一球面上，求长度的最小值．
解析：如图，小圆为底面三角形的外接圆，易求得其直径长为2；大圆为平面截球所得的圆面，记它与小圆的交线为（如图），点到的距离即为三棱锥的高（定值），故底面可绕圆心旋转，当且仅当点与（或）重合时，取得最小值，可计算得最小值为．
该例由于顶点的位置不确定，且没有配图，常规方法较难求解。“大小圆法”则是回避了根据文字条件建构空间图形的过程，从平面入手，两步解决问题。
棱柱和棱椎的外接球和内切球
简单几何体的外切球与内接球的计算欧阳家百（2021.03.07）一、棱柱与球1、正棱柱具备内切球的条件：侧棱长与底面边长有一定的运算关系。
分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长的比例。
其中正三棱柱的侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱的侧棱与底面连长的比值为1：1；正六棱柱的侧棱与底面连长的比值为.2、直棱柱的外接球球心位置：上下两底中心连线的中点。
[分析原因]注：长方体和正方体的外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线的中点。
例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球的表面积。
二、棱锥与球1、棱锥的内切球半径= [分析过程：等体积法]例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。
例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。
2、棱锥的外接球半径的计算。
1、利用外接球球心的意义求普通棱锥的外接球半径注：棱锥的外接球球心就是确定一点，到棱锥所有顶点的距离都相等，并且该距离就是半径。
[主要体现在折叠过程中找线段相等的条件]例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球的表面积。
分析：对角线AC的中点就是外接球的球心。
2、正棱锥的外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。
例：已知正三棱锥的侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球的表面积之比。
[9：1]注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高的。
例：正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为23、共顶点的三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应的长方体中，它们所对应的外接球为同一个球，[棱锥的外接球]例：三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（14）例：已知P、A、B、C、D是球O的球面上的五点，正方形ABCD的连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球的体积为（32）三、圆锥的内切球以及内接圆柱的相关计算思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间的运算关系例：若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）例：圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积的比值为（）四、若球与几何体的棱相切时，则对棱之间的距离就是球的直径。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】
【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
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类型三：侧面垂直于底面的锥体
例3：已知三棱锥P ABC的顶点都在球O的球面上，
PAB与ABC是边长为2 3的正三角形，
平面PAB 面ABC,求球O的表面积。
P
O1C
3a2 3
23
O O2
OO1 O2D 1
A
C
D
O1
B
R2 O1C 2 OO12 22 12 5
是同一个吗？
（2）斜棱柱有外接球吗？
预习提问---课前小组讨论完成
问题二：
R2 r2 (h)2 2
（1）正方体和长方体的外接球球心在哪里？
（2）直三棱柱的外接球球心在哪？
（3）斜三棱柱有外接球吗？
（4）假如一个长方体的8个顶点都在同一个球的球
面上，那么从中选出4个顶点构成一个三棱锥，
这个三棱锥的外接球和这个长方体的外接球
P
P
l h
lh
A
O•
CA
O •H
C
H D
B
D B
M
球心在高PH上， 即在锥体内部
M
球心与底面正Δ中 心H重合
l2 h2R
l2 h2R
P
l
h
A
H
C
O• B D
M
球心在高PH的延 长线上，即在锥 体外部
l2 h2R
类型二：侧棱都相等的锥体
（射影定理法） l 2 h 2R
P
小结二：
是同一个吗？
预习提问---课前小组讨论完成
问题二：
（4）假如一个长 方体的8个顶点都 在同一个球的球面 上，那么从中选出 4个顶点构成一个 三棱锥，这个三棱 锥的外接球和这个 长方体的外接球是 同一个吗？
A O
C
B D
对棱相等的四面体的外接球
侧棱垂直于底面的锥体能补成什么？
类型一：侧
AD
BD
1 2
令y x3(2 3 x)
x3(2 3 x)
y 9 3
max
4
则y’ 2x2 (3 3 2x)
93 Smax 8
其 在
0,
33 2
递增， 3
3 2
，3
递减
193 33 Vmax 3 8 8
P 法一：l 2 h 2R B
3
23
3 23
A
23
C
23
3
D
23
B
23
23
23
A
r
23
C
23
3
P
拓展：
例4：已知三棱锥 P ABC的顶点都在球 O的球面上，
ABC，PAB是边长为 2 3的正三角形，二面角
P - AB - C的平面角为 60, 求球O的表面积。
P
法二：
OD
1 cos30
小结二：侧面垂直于底面的锥，先找到两个外心，再找
一个矩形，或直接代入公式
R2
r12
r2 2
a 2
2
S
A
r2
R
C
Da
r1
2B
拓展思考：什么样的锥体一定有外接球？
——-底面多边形有外接圆的锥体一定有外接球 （三棱锥一定有外接球）
P
O2
O
A
D
O1
B
拓展：
例4：已知三棱锥 P ABC的顶点都在球 O的球面上， ABC，PAB是边长为 2 3的正三角形，二面角 P - AB - C的平面角为 60, 求球O的表面积。
l
h
1.侧棱都相等的锥体 用射影定理法求其外
O
接球半径；
A
•
C
2.正n棱锥均可用射影
D
定理 ，无需进一步确
B
定球心的准确位置；
M
类型二：侧棱都相等的锥体
例2（2018唐山一模12）： 已知三棱锥P ABC的所有顶点都在半径为2的球 面上， PA PB PC 2, ABC 90，点B在AC上的射影为D, 则三棱锥P ABD体积的最大值是
类型三：侧面垂直于底面的锥体
变式：已知四棱锥P ABCD的顶点都在球O的球面上， 底面ABCD是正方形，PA 1，PB 3，AB 2 3, 平面PAB 底面ABCD, 求球O的表面积。
P
R2
r12
r2 2
a
2
2
O2
A
r2
O
DR
Ea
r O1 1
2B
23
C
类型三：侧面垂直于底面的锥体
（1）直角三角形的射影定理?
A
B
D
C
AB2 BD BC
AC2 DC BC
AD2 BD DC
预习提问---课前小组讨论完成
问题三：
（1）直角三角形的射影定理是什么？ （2）侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影
在哪儿？
（3）侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？ D 在高上
A
C
E
B
侧棱长都相等的棱锥， 其外接球的球心在它的高所在直线上
类型一：侧棱垂直于底面的锥体
小结一：常见补形： 侧棱垂直于底面的锥均可补成直棱柱； 正四面体可补成正方体求其外接球； 对棱相等的四面体可补成长方体；
S
A
C
B
预习提问---课前小组讨论完成
问题三：
（1）直角三角形的射影定理是什么？ （2）侧棱长都相等的棱锥，其顶点在底面的投影
在哪儿？
（3）侧棱长都相等的棱锥，其外接球的球心在哪？
23 3
3
P A. 3 3
4
2
B. 3 3 8
C. 1 D. 3
2
4
l2 h2R
4 h4
A
H DC
h 1 AC 2 3
B
V
1 3
Sh
1 3
SABD
法一：
V
1 3
Sh
1 3 SABD
AC 2
3
B
令AD x 则CD 2 3 x
A
x
D
C
BD x(2 3 x) (射影定理）x 0，2 3
例1： 已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的
球面上，SA 平面ABC，SA 2 3, BC 2,
BAC 30，求球O的表面积。
R2 r2 (h)2 2
S
h 3. 2
a
2
2r sin A sin 30 4
h
R
A
2
r
B2
r2
C R2 3 2 (2)2 7
D
A C
B
预习提问---课前小组讨论完成
问题二：
R2 r2 (h)2 2
（1）正方体和长方体的外接球球心在哪里？
（2）直三棱柱的外接球球心在哪？
（3）斜三棱柱有外接球吗？
（4）假如一个长方体的8个顶点都在同一个球的球
面上，那么从中选出4个顶点构成一个三棱锥，
这个三棱锥的外接球和这个长方体的外接球
2018高三二轮专题复习
P
P
A
A
O•
CA
H
O •H
C
D
D
B
B
M
M
P
H
C
O• B D
M
遵化一中 王虹
预习提问---课前小组讨论完成
问题一：
（1）多面体的外接球球心有什么特点？ （2）将长方形沿其对角线折叠，形成一个四面体，
其外接球的球心在哪里？ （3）空间中，到三角形的三个顶点距离相等的点
的轨迹是什么？