高一数学2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质
讨论
l
α β
垂直于同一条直线的两个平面平行
讨论
6. 已知直线 ⊥平面 ,垂足为 ，直线 已知直线l 平面α 垂足为 垂足为A， AP⊥l. AP与α 关系如何 ⊥ 与 关系如何?
β
l P M
α
A
练习
1. 设a、b为两相交直线，已知 ⊥α,a⊥b， 为两相交直线， 、 为两相交直线 已知a⊥ ⊥ ， b在平面 外， 在平面α外 在平面 求证：b∥α. 求证： ∥
讨论
1. 设a、b为直线，α为平面，若a⊥α， 为直线， 为平面 为平面， 、 为直线 ⊥ ， b∥α，则a与b的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ ， 与 的位置关系如何 为什么？
a b α β c
讨论
2. 设a、b为直线 为平面 若a⊥α, 为直线,α为平面 、 为直线 为平面,若 ⊥ a∥ b ,则b与α的位置关系如何？为什么？ 的位置关系如何？ ∥ 则 与 的位置关系如何 为什么？ 如何用文字语言表述这个结论？ 如何用文字语言表述这个结论？
a b
α
c
如果两条平行线中的一条垂直于一个 平面， 平面，则另一条也垂直于这个平面
举例
求证:如果两条平行直线中的一条垂直 例2. 求证 如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 那么另一条也垂直于这个平面. 于一个平面 那么另一条也垂直于这个平面
证明：设 m α内的任意一条直线． 证明： 是 内的任意一条直线．
l
α β
如果一条直线垂直于两平行平面中的 一个,则这条直线也垂直于另一个平面 则这条直线也垂直于另一个平面. 一个 则这条直线也垂直于另一个平面
5. 设l为直线，α、β为平面 若l⊥α, l⊥ 为直线， 、 为平面 为平面,若 ⊥ ⊥ 为直线 β ，则α、β的位置关系如何？为什么？如 的位置关系如何？ 、 的位置关系如何 为什么？ 何用文字语言表述这个结论？ 何用文字语言表述这个结论？
高一数学2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
知 ， AB ⊥ BE, 又 AB ⊥
CD,BE 与 CD 是 内的两条相 交直线，所以 AB⊥
3．平面与平面垂直的性质
定理
两个平面垂直，则一个平
面内垂直于交线的直线与另一
个平面垂直
简记为：面面垂直
线面
垂直 .
例 2 如图，已知平面 , ，
师投影例 2 并读题
，直线 a
生：平行
满足 a
，
师：证明线面平面 的位置关系 . 解：在 内作垂直于 交线的直线 b， 因为 a ，所以 b
生：转证线线平行
师：假设内一条直线 b∥a 巩 固 所 学
与 则 b 与 的位置关系如何？
知识， 训练
生：垂直
化归能力 .
师：已知 b ,
，怎
因为 a ，所以 a∥ b. 又因为 a ，所以 a∥ . 即直线 a 与平面 平行 .
然后教师给予评注 .
证明： 如图 ， 设
= c，过
师：利用“同一法”证明 问题主要是在按一般途径不易 完成问题的情形下，所采用的
2
随堂练习
点 P 在平面 内作直线 b⊥ c， 根据平面与平面垂直的性质定 理有 b .
一种数学方法，这里要求做到 两点 .一是作出符合题意的直线 不易想到，二是证直线 b 与直
那么平面 平面 .
内所有直线垂直于
B ．如果平面 ⊥平面 ，
那么平面 内一定存在直线平 行于平面 .
巩固、 所学 知识
C．如果平面 不垂直平面 ，那么平面 内一定不存在直 线垂直于平面 .
D ．如果平面 平面 ⊥平面 ， 么l .
⊥平面 ， l ，那
（ 2）已知两个平面垂直，
下列命题（ B ） ①一个平面内已积压直线
§2.3.3直线与平面垂直的性质
复习引入
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 平面内的两条 相交直线 直线， 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。 直线与平面 垂直的判定 推论 如果一条 直线垂直于一 个平面， 个平面，那么 它的平行线 平行线也 它的平行线也 会垂直于这个 平面。 平面。
a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
是否成立？ 是否成立？
β
b’ a b
α
O
问题.已知a ⊥ α，b ⊥ α，求证a//b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行Qb ⊥α， 设求b Iα=O过点O作b′//α Qa ⊥α， b′ ⊥α ∴ α 则过一点 有两 O 条直线b与 ′ ⊥α b 这与过一点有且 只有一条直线 与已知平 面垂直矛盾 可见假设 不成立 ∴a//b
练习： 练习：P79 第1、、直线和平面垂直的性质定理： 、直线和平面垂直的性质定理： 如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面，那么 这两条直线平行. 这两条直线平行
β
图形语言： 图形语言：
a
b
α 符号语言： 符号语言： a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a // b
例 1.已 l ⊥α， ⊥ β， 证 //β. 知 l 求 a 证明：设l Iα=A l I β =B ， 在α内过点A取两条直线a和b l Ql Iα=A ∴l与 确 一 平 γ a 定 个 面 QB∈l ⊂ γ 且B∈β b A ∴β与 相交 γ ，设β Iγ =c α =c
定义法 如果一条直 线垂直于一个 平面内的任何 平面内的任何 一条直线 直线， 一条直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 于这个平面。
1、线面垂直的概念 、
学案4：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质~2.3.4平面与平面垂直的性质 学习目标：1.掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用2.掌握平面与平面垂直的性质定理及其应用3.通过探索发现线面垂直和面面垂直的性质规律及其转化关系，培养空间想象能力、逻辑思维能力、和类比思维能力。
知识链接：问题1：直线与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题2：平面与平面垂直的判定定理是_______________________________.问题3：两个平面垂直的定义是什么? .探究问题1.已知直线b a ,和平面α，如果αα⊥⊥b a ,，那么直线b a ,一定平行吗？直线与平面垂直的性质定理： 符号表示：证明：探究问题2.（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线与另一个平面垂直吗？（2）如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内能否找到一条直线与另一个平面垂直？ ，怎么画出来？请在下图中画出来平面与平面垂直的性质定理： 这个定理实现了什么关系的转化?符号表示：证明：预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ）（2）两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ）（3）两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直于这个平面；（ ）（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ）（5）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）（6）垂直于同一个平面的两个平面互相平行.（ ）2.两个平面互相垂直，下列命题A 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B 、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C 、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D 、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.正确的个数是 个3.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一个条件是（ ）A.,m n m ⊥∥α，n ∥βB. m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C. m ∥n ，n β⊥ ，m α⊂D. m ∥n ，,m n αβ⊥⊥例题剖析例1.CA α⊥于点A ，CB β⊥于点B ，l αβ=，a α⊂，且a AB ⊥.求证：a ∥l .例2.如图，已知平面,,αβαβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.探究：设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，则直线a 与平面α具有什么位置关系？请说明理由.例3.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC. 求证：BC ⊥平面PAC例4.如图，P 是四边形ABCD 外一点，四边形ABCD 是60DAB ︒∠=,边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .若G 为AD 的中点.(1) 求证:BG ⊥面PAD(2) 求证:AD PB ⊥参考答案预习自测1.判断下列命题是否正确.（1）正确 （2）正确（3）正确 （4）错误 （5）正确 （6）错误2. 13. C例题剖析例1.证明：∵CA α⊥且 a α⊂∴CA ⊥a ,又∵a AB ⊥（已知），CA AB A =,CA ⊂面CAB,AB ⊂ 面CAB.∴a ⊥面CAB. ① 另外CA α⊥，CB β⊥，l αβ=，∴CA ⊥l , CB ⊥l 又CA CB C =,CA ⊂面CAB,CB ⊂ 面CAB.∴l ⊥面CAB ②由①②知a ∥l例2 略 例3.证明：过A 点做PC 的垂线交PC 与点M.连接AM∵平面PAC ⊥平面PBC ，且PAC∩PBC=PC, AM ⊂平面PAC ∴AM ⊥平面PBC, BC ⊂平面PBC,∴AM ⊥BC, ①又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴PA ⊥BC ②又PA∩AM=A ，AM ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC.③∴由①②③知 BC ⊥平面PAC例4. 证明：（1）解：（1）证明：连结BD ．∵ABCD 为棱形，且∠DAB=60°， ∴△ABD 为正三角形．又G 为AD 的中点，∴BG ⊥AD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD=AD ，∴BG ⊥平面PAD ．（2）∵PAD 为正三角形且G 为AD 的中点.∴PG ⊥AD ① 由（1）知BG ⊥AD 且PG∩BG=G ， PG ⊂PBG, BG ⊂PBG.② 由①②知 AD ⊥PBG又PB ⊂PBG ∴AD PB ⊥。
2.3.3直线与平面垂直的性质
思考
如图,a⊥α, b⊥ α .那么 a, b一定平行吗? a b
b
o
β
1
c
α
反证法的步骤
用反证法证明命题“如A则B”的步骤： （1）假设结论的反面B1情况成立。 （2）在B1成立的前提下，推出结论A1 （3）结论A1与已知条件A相矛盾（或与定义、 定理、公理相矛盾） （4）驳倒假设，即肯定结论正确。
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行
a ⊥α ⇒ a // b b ⊥α
作用： 作用：判定两条直线平行的又一个方法 简称： 简称：线面垂直 ⇒ 线线垂直
例题 下列哪些命题是正确的( B )
(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (3)平行于同一个平面的两条直线互相平行 (4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 A.仅(2)不正确 B.仅(1)、(4)正确 C.仅(1)正确 D.四个命题都正确
复习回顾
3、直线与平面垂直的判定方法 （1）利用定义；垂直于平面内任意一条直 ）利用定义； 线 m ⊂α （2）利用判定定理． ）利用判定定理． l
m
B
n
（3） ）
a // b, a ⊥ α ⇒ b ⊥ α
n ⊂α m ∩ n = B ⇒ l ⊥ α l⊥m l⊥n
思考
1、如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中， 棱 AA1,BB1,CC1,DD1所在直线都垂直于 平面ABCD，它们之间有什么位置关系？
D
1
C
1
A
1
B
D
1
C
B
A
2、如图（教科书第65页例1） a//b, a⊥α ⇒ b⊥ α
2.3.3 直线与平面垂直的性质
求证：a //.
β
b
Aa
l
B α
例3 PA 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1）MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P
A
M B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E N
D
C
练习: P71练习：1，2.（做书上）
知识回顾： 面面垂直的的定义与判定
定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，
则这两个平面垂直.
β
符号语言：
l ,l
l α
由面面垂直的判定定理知：要证面面垂直，只需证 一个平面内有一条直线与另一平面垂直。
线面垂直
面面垂直
化归转化思想！
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径， PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC.
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线
a，b的位置关系如何？
l
l
b
l
ab
ab
a
思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之 间具有什么位置关系？
再思考:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察 可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
a bc
α
O
1、线面垂直的性质定理
2a
A
问题提出
1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直 线与平面垂直？
Def : 对a 都有l a l .
结论：过一点有且只有一条直线与给定平面α垂直； 过一点有且只有一个平面与给定直线垂直。
高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。
21-22版：2.3.3 直线与平面垂直的性质~2.3.4 平面与平面垂直的性质(创新设计)
@《创新设计》
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 证明线线平行常用的方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点. （2）利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
@《创新设计》
14
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
（1）证明 ∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB. ∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC. （2）证明 ∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB. 又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面 VAB. ∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1⊂平面BDD1B1，
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C， 又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
【训练3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为 CD的中点. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE. (1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
2.3.3 线面垂直的性质定理
C
P
在Rt△POE中， OE
2 tanPEO 2
1 2 2 ，PO 2
∴ 2 ∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为 2
E
O
5.锐二面角α l β中,AB α,AB 2, A l ,AB与l成45 角, 与β成30 角,则二面角 α l β的大小为_____ 45 ___.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2 13 ． 则二面角 PBDA 的余弦值为________ 13
解析：连 PO，易知 PA⊥面 ABCD，BD⊥AC， ∴BD⊥面 POA，即∠POA 即为二面角 PBDA 的平面角． ∵正方形边长为 2 2，∴AC＝4，∴AO＝2. 在 Rt△PAC 中，PA2＝PC2－AC2＝52－42＝32， ∴PA＝3. ∴PO2＝PA2＋AO2＝32＋22＝13. 2 2 13 ∴cos∠POA＝ ＝ 13 . 13
解
（方法一）
B
C A O l
D
∠OAC ＝120 AO=BD=1, AC=2
CO 2 AC 2 AO 2 2 AO AC COS120 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3
2.3.3 直线与平面垂直的性质~ 2.3.4 平面与平面垂直的性质
题型二 面面垂直性质定理的应用
例2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB.
证明 如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB， AD⊂平面PAB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
反思 感悟
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利
用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定
理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：
(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它
们的交线.
跟踪训练2 如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的 交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC；
12345
4.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝ __6_.
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， ∴AF∥DE. 又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形， 故EF＝AD＝6.
12345
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求 证：平面SDC⊥平面SBC.
证明 ∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC， ∴BC⊥平面ACDE. 又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM. ∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE. 又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
互动课堂疏导引导一、直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直.疑难疏引 (1)定义中的“任意一条直线”这一词组，它与“所有直线”是同义语，但与无数条直线不同，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.但不能说一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，它就和这个平面垂直.(2)和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但在直线和平面垂直时，却可以得到直线和平面内的任何一条直线都垂直，给判定两条直线垂直带来方便，如若a ⊥α,b ⊂α,则a ⊥b ，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时，经常使用的一种重要方法.画直线和水平平面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如果直线l 和平面α垂直，则记作l ⊥α.(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节，也有类似的命题.命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直.命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.2.直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面.用符号表示为ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l B n m n m ,,.疑难疏引 关于定理的理解必须注意以下几点：(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢.(2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面. 命题2：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性，无数条直线可以是一簇平行线，并不一定具备有两条相交直线和已知直线垂直，因此，也就不一定得出这一直线垂直于这个平面这一结论.(3)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的.(4)直线与平面垂直的判定与证明方法：①用线面垂直定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面.②用线面垂直判定定理：若一直线与平面内两相交直线都垂直，这条直线与平面垂直. ③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面，则另一条也必垂直这个平面.④用面面垂直性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面. ⑤用面面平行性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面.⑥用面面垂直性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面. 这六条线面垂直的判定方法其实质仍是转化思想，它们是线线、线面、面面垂直的转化. 案例1 如图，正方体有8个顶点和12条棱，每条棱上均有一个中点，于是有棱的中点12个，顶点与中点合起来共有20个〔图(1)〕.过其中的两点可作一条直线；过其中不在同一直线上的三点可作一个平面.现在考虑这些直线与平面的垂直关系.(1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于4例)；(2)若一直线与一平面相互垂直，我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”，两个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数.【探究】在正方体中，所有的棱都和与它相交的面垂直，利用中点也可产生与棱垂直的面.(1)例如AB⊥平面BCKJ〔如图(1)〕；例如EF⊥平面MPON〔如图(1)〕；例如NF⊥平面ADKJ〔如图(2)〕；例如IC⊥平面AJL〔如图(3)〕.(2)正方体的棱有12条，而每一条棱都与3个平面垂直，如图(1)中棱IJ与平面ID、平面NP 与平面JC都垂直，所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是12×3=36.【规律总结】挖掘正方体本身潜藏的特征，将每一条棱的情况分析清楚，做到不重不漏.案例2 如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC.【探究】根据判定定理，要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线垂直，根据H 是△ABC的垂心，可知BC⊥AH，又PA、PB、PC两两垂直，得PA⊥面PBC，于是PA⊥BC，由此可知BC垂直于平面PAH内的相交直线PA和AH，结论得证.证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC.①∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，PA⊥BC，②由①②知，BC⊥PH，同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.【规律总结】根据所求证的结论，寻求所需的已知条件，看题目是否已经直接给出，或者从题目所给条件，经过推理能够得出，这是分析问题的重要方法，称为执果索因；也可从条件出发，将这一条件可能得出的结论一一列出，从中选出我们证题所需要的结论，这种分析问题的方法称为由因导果，发散性较强.二、平面与平面垂直的判定1.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角.以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.疑难疏引 (1)二面角的平面角，则是用来刻画二面角大小的一个概念.它和两条异面直线所成的角以与直线和平面所成的角一样，都化归为用平面内两条相交直线所成的角来表示.但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内.而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a 上的位置无关.(2)二面角的计算方法①用定义作二面角的平面角——在棱上取一点，分别在两个面内作棱的垂线，这两条射线组成二面角的平面角.利用定义作二面角的平面角，关键在于找棱与棱上的特殊点.学习时要特别注意平移和补形方法的灵活运用.②用垂面法作二面角的平面角——作垂直于二面角的棱或二面角的两个半平面的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.③面积法：如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形，且这两个多边形所在平面所成的二面角为θ，则cosθ=原多边形面积射影多边形面积S S .案例3 已知四边形PABC 为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC 是边长为32的正三角形，PC=2，D 、E 分别是PA 、AC 的中点，BD=10.试判断直线AC 与平面BDE 的位置关系，并且求出二面角P-AC-B 的大小.解：∵D 、E 分别是PA 、AC 的中点，∴DE ∥PC 且DE=21PC=1. ∵∠PCA=90°,∴AC ⊥DE.∵△ABC 是边长为32的正三角形，并且E 是AC 的中点，∴AC ⊥BE ，并且BE=3.∵DE∩BE=E ，∴直线AC 与平面DEB 垂直.∴∠DEB 为二面角P-AC-B 的平面角.在△BDE 中，由DE=1，BE=3，BD=10得DE 2+BE 2=BD 2，∴∠DEB=90°.综上所述，直线AC 与平面BDE 垂直，二面角P-AC-B 的大小为90°.【规律总结】 与二面角的棱垂直的平面和二面角的两个面相交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.利用作与棱垂直的平面得到二面角的方法称为“垂面法”.案例4 已知△ABC 是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=AB=a ，求二面角A-PC-B 的正切值.【探究】 要求二面角的正切值，首先要在图形中构造出二面角的平面角，利用其平面角度量二面角的大小，过棱上一点，分别在两个面内作或证棱的垂线，即可产生二面角的平面角，充分利用三角函数定义求得正切值.解：取AC 的中点M ，连结BM ，作MN ⊥PC 于N ，连结BN.∵PA ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC.易证BM ⊥AC ，AC=平面PAC∩平面ABC.∴BM ⊥平面PAC(面面垂直的性质).∵MN ⊥PC ，∴NB ⊥PC.∴∠MNB 是二面角A-PC-B 的平面角.易知MN=a 42，BM=a 23. ∴tan ∠MNB=64223==a a MN BM . ∴二面角的正切值为6【规律总结】 度量二面角的大小是通过其平面角进行，所以在图形中构造出二面角的平面角，就能将空间问题转化为平面问题，利用直角三角形中锐角三角函数定义，有些问题也可用斜三角形中的直角三角形加以处理.2.两个平面互相垂直的判定常用的判定方法有：(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面.疑难疏引 两平面垂直的判定定理的特征：线面垂直面面垂直.它说明了线面垂直与面面垂直的密切关系，用符号表示为：若l ⊥α,l β,则α⊥β.利用判定定理证明两个平面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找另一平面的垂线.案例5 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC ⊥平面BSC.【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).证法一：作AD ⊥平面BSC ，D 为垂足.∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC ，则AS=AB=AC ，∴D 为△BSC 的外心.又∠BSC=90°，∴D 为BC 的中点，即AD 在平面ABC 内.∴平面ABC ⊥平面BSC.证法二：取BC 的中点D ，连结AD 、SD ，易证AD ⊥BC.又△ABS 是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD 2+SD 2=AD 2+BD 2=AB 2=AS 2.由勾股定理的逆定理，知AD ⊥SD ，∴AD ⊥平面BSC.又AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC.【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.三、直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质有：(1)一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行；(3)两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；(4)垂直于同一直线的两个平面平行.对于性质定理，它提供了一种证明线线平行的方法，揭示了“平行”与“垂直”的内在联系. 案例6 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，若点M 为棱B 1B 上的一点，当MBM B 1的值为多少时，能使D 1M ⊥平面EFB 1？并给出证明. 【探究】 本题属开放型问题，一般先猜后证.由于E 、F 为中点，所以猜想M 也是中点. 解：当11=MBM B 时，能使D 1M ⊥平面EFB 1，证明如下： 当M 为B 1B 中点时，在平面AA 1B 1B 内有△A 1MB 1≌△B 1EB ，∴∠B 1A 1M=∠BB 1E.而∠B 1MA 1+∠B 1A 1M=90°,∴∠B 1MA 1+∠BB 1E=90°.∴A 1M ⊥B 1E.∵D 1A 1⊥平面AA 1B 1B ，B 1E ⊂平面AA 1B 1B,∴D 1A 1⊥B 1E.由于A 1M∩D 1A 1=A 1,∴B 1E ⊥平面A 1MD 1.∵D 1M ⊂平面A 1MD 1,∴B 1E ⊥D 1M.同理，连结C 1M ，可证明B 1F ⊥D 1M.∵B 1E∩B 1F=B 1,∴D 1M ⊥平面EFB 1.【规律总结】 (1)猜想要和题目中的点的性质相联系.(2)平面内证两线垂直的方法可通过三角形中某两个角的和为直角来判断.四、两个平面垂直的性质两个平面垂直的性质有：(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；(2)两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 疑难疏引 性质定理(1)成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线，才能线面垂直，这一定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”，它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系；对于第二条性质，只要在其中一个平面内通过一点作另一平面垂线，那么这条垂线必在这个平面内，对点的位置，它既可以在交线上，也可以不在交线上.(2)运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.案例7 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面. 已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证：l ⊥γ.【探究一】在γ内取一点P ，作PA 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则PA ⊥α,PB ⊥β.∵l=α∩β,∴l ⊥PA,l ⊥PB.∵α与β相交，∴PA 与PB 相交.又PA ⊂γ,PB ⊂γ,∴l ⊥γ.【探究二】在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ,β⊥γ,∴m ⊥γ,n ⊥γ.∴m ∥n.又n ⊂β,∴m ∥β.∴m ∥l,∴l ⊥γ.【探究三】在l 上取一点P ，过点P 作γ的垂线l′,l l l l l P P P l l P '=⋂⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧⊂'⊂'⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=''∈⊥⊥⎩⎨⎧∈∈⇒⎭⎬⎫=⋂∈βαβαγγβγαβαβα. 但α∩β=l,∴l 与l′重合.∴l ⊥γ.【规律总结】 探究一、探究二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是两种证法的关键.探究三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是关键.通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.五、几种转化关系1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.线线垂直、线面垂直、面面垂直是立体几何中的核心内容之一.首先由线面垂直的定义可知，若线面垂直则线和面内任何直线都垂直；根据线面垂直判定定理，若线垂直于面内的两条相交直线，则线面垂直，然后根据面面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，我们可以简证为，线面垂直则面面垂直；同样根据面面垂直的性质定理，我们还可证得，若面面垂直则线面垂直.由上可得，利用线面垂直，可以证明线线垂直，也可以实现面面垂直的证明.因此，我们可以说线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面的平行与垂直的相互转化(1)线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定与证明是考查空间想象能力、逻辑推理能力的重点，这是我们作进一步的比较、串联、综合、力求达到巩固、提高的目的.(2)理解线线、线面、面面关系的转化.①不同层次的平行关系的转化.②不同层次的垂直关系的转化③平行与垂直的转化案例8 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD.【探究】(1)要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可，证明如下：证明：取PD的中点E，连结AE 、EN.则EN 21CD 21AB AM ， 故AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE.∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD.(2)要证MN ⊥CD ，可证MN ⊥AB.由问(1)知，需证AE ⊥AB.∵PA ⊥平面ABCD.∴PA ⊥AB ，又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN.又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD.(3)由问(2)知，MN ⊥CD ，即AE ⊥CD ，再证AE ⊥PD 即可.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD.又∠PDA=45°,E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD,即MN ⊥PD.又MN ⊥CD.∴MN ⊥平面PCD.【规律总结】 本题是涉与线面垂直、线面平行、线线垂直诸知识点的一道综合题.题(1)的关键是选取PD 的中点E ，所作的辅助线使问题处理方向明朗化.线线垂直←线面垂直←线线垂直是转化规律.活学巧用1.判断题：正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行.()(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.()(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.()(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内.()(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.()解析：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”.(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系.若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”,正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这无数条直线的位置关系，则该命题应打“×”.(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必须垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”.(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”.(5)三条共点直线两两垂直，设为a,b,c 有a,b,c 共点于O.∵a ⊥b,a ⊥c,b∩c=o,且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α.同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于a 、b 确定的平面，∴该命题应打“√”.答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则有()A.l 和m 异面B.l 和m 相交C.l ∥mD.l 不平行于m解析：直线l ⊥平面α,则l 和平面α有且只有一个交点即垂足P ，平面α内任一直线m 经过P 时，l 和m 相交，直线m 不经过P 时，由异面直线的判定定理知,l 和m 异面，故l 和m 不会平行.答案：D3.如图(1)，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 与EF 把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A.SG ⊥平面EFGB.SD ⊥平面EFGC.GF ⊥平面SEFD.GD ⊥平面SEF解析:(1)(直接法)在图(1)中，SG 1⊥G 1E ，SG 3⊥G 3F ，右图(2)中，SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，∴SG ⊥平面EFG.(2)(排除法)GF 即G 3F 不垂直于SF ，∴可以否定C ；在△GSD 中，GS=a(正方形边长)，GD=a 42,SD=a 423, ∴SG 2≠SD 2+GD 2,∠SDG≠90°,从而否定B 和D.答案：A4.已知m 、n 为异面直线，m ∥平面α,n ∥α,直线l ⊥m,l ⊥n,则( )A.l ⊥αB.l 和α不垂直C.l 可能与α垂直D.以上都不对解析：在α内取一点P ，则m 和P 确定一个平面β，设β∩α=m′.∵m ∥α,∴m ∥m′.∵l ⊥m,∴l ⊥m′.n 和P 确定一个平面γ，设γ∩α=n′,∵n ∥α,∴n ∥n′. ∵l ⊥n,∴l ⊥n′.∵m 和n 是异面直线，∴m′和n′相交于P.∴l ⊥α.答案：A5.如图，BC 是Rt △ABC 的斜边，AP ⊥平面ABC ，连结PB 、PC ，作PD ⊥BC 于点D ，连结AD ，则图中共有直角三角形__________个.解析：Rt △PAB 、Rt △PAC 、Rt △ABC 、Rt △ADP.可证BC ⊥平面APD ，由BC ⊥AD ，BC ⊥PD可证Rt △PBD 、Rt △PDC 、Rt △ADB 、Rt △ADC 共8个.答案：86.如图，α∩β=CD,EA ⊥α,垂足A ，EB ⊥β，垂足B.求证：CD ⊥AB.解析：∵EA ⊥α,CD ⊆α,根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA.同样∵EB ⊥β，CD ⊆β,则有EB ⊥CD.又EA∩EB=E ，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD ⊥平面AEB.又∵AB ⊆平面AEB ， ∴CD ⊥AB.7.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC.解析：使B 1O 垂直于平面PAC 中的两条相交直线.证明：连结AB 1、CB 1，设AB=1.因为AB 1=CB 1=2，AO=CO ，所以B 1O ⊥AC.连结PB 1.因为OB 12=OB 2+BB 12=23，PB 12=PD 12+B 1D 12=49，OP 2=PD 2+DO 2=43， 所以OB 12+OP 2=PB 12.所以B 1O ⊥PO.所以B 1O ⊥平面PAC.8.(1)二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角(2)下列说法错误的是( )A.过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B.和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C.在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D.二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角解析：(1)根据二面角的定义讨论，故选C.(2)一一判断，可以发现应该选C.因为按C 中所给的方法，当二面角是一个锐角时，得到的确实是二面角的平面角；但当二面角是一个直二面角时，得到的是一个零度角；当二面角是一个钝角时，得到的是二面角平面角的一个补角.即C 中方法不具有普遍适用性.答案：(1)C (2)C9.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不确定解析：如下图答案：C10.已知D 、E 分别是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D=2B 1E=B 1C 1.求过D 、E 、C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小.解析：如图，在平面AA 1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是面DEC 1与面A 1B 1C 1的公共点，C 1F 为这两个平面的交线，∴所求二面角就是D C 1F A 1的平面角.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D=2B 1E ，∴E 、B 1分别为DF 和A 1F 的中点.∵A 1B 1=B 1C 1=A 1C 1，∴FC 1⊥A 1C 1.又面AA 1C 1C ⊥A 1B 1C 1，FC 1⊂面A 1B 1C 1,∴FC 1⊥面AA 1C 1C ，而DC 1⊂面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D-FC 1-A 1的平面角，由已知A 1D=B 1C 1=A 1C 1，∴∠DC 1A 1=4π. 故所求二面角的大小为4π. 11.河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤脚的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走1033 m 时人升高了_________米( ) B.5.5 C解析：取CD 上一点E ，设CE=103 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.作EF ⊥AB 于F ，则EG=EFsin60°=CE·sin30°sin60° =5.72152321310==⨯⨯ (m).答案：D12.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：在平面PAB中，∵AD⊥AB,AD⊥PA且AB，PA⊂面PAB∴AD⊥面PAB∴面PAD⊥面PAB∵BC∥AD∴BC⊥面PAB∴面PBC⊥面PAB答案：A13.已知m、l是直线，a、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α;(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β,且l⊥m,则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α,则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是( )解析：本题考查线与线、线与面、面与面的位置关系.命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α,但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m,不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β,但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面.答案：(1)、(4)14.在空间，下列哪些命题是正确的( )①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于同一个平面的两条直线互相平行A.仅②不正确B.仅①④正确C.仅①正确D.四个命题都正确解析：①该命题就是平行公理，因此该命题是正确的.②如图(1)，直线a⊥平面α,b⊆α,c⊆α,且b∩c=A,则a⊥b,a⊥c,即平面α内两条相交直线b,c都垂直于同一条直线a,但b,c的位置关系并不是平行，另外，b,c的位置关系也可以是异面，如果把直线b平移到平面α外，此时，与a的位置关系仍是垂直，但此时b,c的位置关系是异面.③如图(2)，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知A1B1平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，但A1B1∩A1D1=A1，因此该命题是错误的，④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上可知①、④正确.(1) (2)答案：B15.课本在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法，它的步骤是什么?答：反证法一般用于从正面入手很难考虑的时候，如题目中有“不可能”、“没有”、“至少”、“至多”等词语时，很难直接应用定理或公式，这时它们的反面往往只有一种情况，只要将这一种情况否定了，命题便得到证明.反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立;(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确.16.判断下列命题的真假①两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；③两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.解析：①若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图(1)，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1=AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内.可以看出：线在面内这一条件的重要性.②该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图(2)，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1⊆平面ADD1A1,AB⊆平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；③如图(2)，正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1⊆平面ADD1A1，AC⊂平面ABCD，AD1与AC所成的角为60°，即AD1与AC不垂直.答案：①假②假③假17.在下列命题中，假命题是( )A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β解析：A中，直线l⊥β,l⊂α,所以α⊥β，A为真命题；B中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B为真命题；D为两平面平行的性质，为真命题；C为假命题，l。
2.3.3 直线与平面垂直的性质
B
线面垂直的性质
如图, l1⊥a， l2 ⊥a，垂足分别为A、B. 如果 l1∦ l2, 那么过垂足 A 可另作一直线 m∥l2, 于是 m⊥a. 过 l1与 m 作平面 b∩a = c,
b
l1 m Ac
l2Leabharlann 则 l1⊥c, m⊥c.a
B
那么在平面 b 内过一点 A 就有两直线与 c 垂直,
显然不可能, 即 l1∦ l2不能成立, 只有 l1//l2.
问题2. 设直线 a, b 分别在正方体ABCD-ABCD中两 个不同的平面内, 欲使 a//b, a, b 应满足什么条件?
如图,
分别满足下面的条件都可以: (1) a, b 同垂直于一个面. (2) a, b 同平行一条棱. (3) 用一个平面截相对的两个 面所得的交线即为 a, b.
2.3.3
线面垂直的性质
线面垂直的性质
问题 1. 长方体的侧棱是否都与底面垂直? 这些侧棱是怎样的位置关系?
请同时竖两支垂直于桌面的铅笔, 这两支铅笔又有怎样的位置关系?
线面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线平行 由线面垂直得线线平行 符号表示: l1⊥a, l2⊥a, l1//l2.
a
l1 A l2
分析: 借助长方体模型.
C
D B
b //a A
a C
D
a
B
b a A
例(补充). 已知一条直线 l 和一个平面 a 平行, 求证: 直线 l 上各点到平面 a 的距离 (到 a 的垂线段长)相等.
证明: 过 l上任意两点 A、B 作 AA⊥a, BB⊥a, 垂足为A、B, b A l B 则 AA∥BB, 由AA、BB确定平面, 设为b, B a A 得 b ∩a =AB ⇒ l∥AB l∥ a lb AA=BB (两平行线间的平行线段相等), 即 l 上任意两点到平面 a 的距离相等.
【高中数学必修二】2.3.3直线与平面垂直的性质
D′
A′ B′ O D A B
C′
C
Байду номын сангаас
我们再来看看直线和平面的距离的定义：
一条直线和一个平面平行，这条直 线上任意一点到平面的距离，叫做这条 直线和平面的距离．
注意： 线面平行是线面距存在的前提
数学运用
在棱长为a的正方体ABCD- A’B’C’D’中, 求:直线AC到平面A’BC’的距离。
D′
A′ B′ O D A B
a // b
直线和平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 平行
学习了直线与平面垂直的判定定理和性 质定理，我们再来看看点到平面的距离的 定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个 点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的 距离．
数学运用
在棱长为a的正方体ABCD- A’B’C’D’中, 求:点B’到平面A’BC’的距离。
这是一个真命题么？
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
证明：假定b与a不平行 设b∩α＝O，b′是经过点O与 直线a平行的直线
∵ a∥b′，a⊥α ∴b′⊥α 经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α 是不可能的 因此，a∥b
O
b'
直线和平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线 平行
a 符号语言： b
2.3.3
直线与平面垂直的性质
复习回顾
1、直线和平面垂直的定义 2、直线和平面垂直的判定定理 3、线面垂中的两个唯一性
新课讲授 线面垂中的一个重要结论
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于同一个平面． 相关数学语言为 ：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α． 这个结论可以用来证明直线和平面垂直 我们改变这个定理的题设和结论能得到命题： 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质问题导学预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．直线与平面垂直的性质定理是什么？ 2．平面与平面垂直的性质定理是什么？1．直线与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．2．平面与平面垂直的性质定理对面面垂直的性质定理的理解(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a ∥平面α，直线b ⊥平面α，则直线b ⊥直线a .( )(2)若直线a ⊥平面α，直线a ⊥直线b ，则直线b ∥平面α.( )(3)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( ) (4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．可能存在也可能不存在 C ．有无数多个 D ．一定不存在解析：选B ．当a ⊥b 时，这样的平面存在，当a 和b 不垂直时，这样的平面不存在．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：选D．由题意知，α与γ可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．已知平面α⊥平面β，直线a∥α，以下三个结论：①a⊥β；②a∥β；③a与β相交．其中可能正确的序号为______．解析：因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．答案：①②③线面垂直的性质定理的应用如图，已知正方体A1C．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【证明】(1)如图，连接A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．(2)如图，连接B1A，AD1.因为B1C1═∥AD，所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直；②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α；④垂直于同一条直线的两个平面平行；⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ．又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1.(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ， 所以ON ═∥12CD ． 因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM . 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM . 因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．面面垂直的性质定理的应用已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC ．【证明】 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，因为平面P AC ⊥平面PBC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ， 所以AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AD ⊥BC ．因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A⊥BC，因为AD∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC，又AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．利用面面垂直的性质定理应注意的问题若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．如图，△ABC是正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，求证：AE∥平面BCD．证明：如图，取BC的中点M，连接DM，AM，因为BD＝CD，所以DM⊥BC．又因为平面BCD⊥平面ABC，DM⊂平面BCD，两平面交线为BC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．垂直关系的综合问题如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA ．【证明】 (1)如图，取EC 的中点F ，连接DF . 因为EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以EC ⊥BC ． 同理可得BD ⊥AB ，易知DF ∥BC ，所以DF ⊥EC ． 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， 因为EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，所以EF ＝BD ． 又FD ＝BC ＝AB ，所以Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA ． (2)取CA 的中点N ，连接MN ，BN ， 则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ．因为EC ∥BD ，BD ＝12EC ，所以MN ═∥BD ， 所以N 点在平面BDM 内． 因为EC ⊥平面ABC ， 所以EC ⊥BN .又CA ⊥BN ，EC ∩CA ＝C ，所以BN ⊥平面ECA ． 因为BN 在平面MNBD 内， 所以平面MNBD ⊥平面ECA ， 即平面BDM ⊥平面ECA ．(3)由(2)易知DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，所以DM⊥平面ECA．又DM⊂平面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA．垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD．证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD．(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD．(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD．又P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD．所以CD ⊥PD ．因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 又因为CD ⊥BE ，EF ∩BE ＝E ， 所以CD ⊥平面BEF . 因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面BEF ⊥平面PCD ．1．下列说法中正确的是( )①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直； ②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直； ③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行； ④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直． A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③D ．②③④解析：选A ．由线面垂直的性质及线面平行的性质知①②③正确；④错，过直线外一点作平面与直线垂直，则平面内过这一点的所有直线都与该直线垂直．2．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③ C ．②③④D ．①②④解析：选A ．对于命题①，a ⊥α，则a 垂直于平面α内的任意两条相交直线，又因为a ∥b ，所以b 也垂直于平面α内的任意两条相交直线，所以b ⊥α，①正确；由线面垂直的性质定理可知a ∥b ，所以②正确；因为a ⊥α，当a ⊥b 时，则b 可能在平面α内，也可能与平面α平行，所以③错误；当a ∥α，a ⊥b 时，b 与平面α的三种位置都有可能出现，所以④错误．3．在下列关于直线m ，l 和平面α，β的说法中， 正确的是( )A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l∥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错．B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确．C项中，l可在α内，C项错．D项中，l可在α内，D项错．4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法：①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.其中正确的说法序号为__________．解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．答案：④5.如图，四边形ABCD中，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD．又因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.[学生用书P115(单独成册)])[A基础达标]1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B．对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是()A．AD1⊥DP B．AP⊥B1CC．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C解析：选B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1，因为点P是线段BC1上任意一点，所以AP⊥B1C．故选B．3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直解析：选C．如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD．所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C．又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1，故选C．4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH解析：选B．因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．5．如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点解析：选D．因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，所以AC⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．6．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．解析：因为PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC．又AC⊥BO，PO∩BO＝O，所以AC⊥平面PBD，所以PBD内的4条直线PB，PD，PO，BD都与AC垂直，所以图中共有4条直线与AC垂直．答案：47．如图，在三棱锥P-ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________．解析：因为侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.答案： 58．如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为______．解析：如图，连接BC，因为二面角α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 29．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DE∥AC．又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC．因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC．又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.10．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD．证明：(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD．所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD．所以AB⊥PD．又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB．所以平面P AB⊥平面PCD．(3)取PC 中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC ．因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，所以DE ∥FG ，DE ＝FG ， 所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ．[B 能力提升]11．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中正确的是( )①平面ACD ⊥平面ABD ；②AB ⊥CD ；③平面ABC ⊥平面ACD ． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③解析：选D ．因为BD ⊥CD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 所以CD ⊥平面ABD ，因为CD ⊂平面ACD ， 所以平面ACD ⊥平面ABD ，故①正确； 因为平面四边形ABCD 中， AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AB ⊥AD ，又CD ⊥平面ABD ，所以AB ⊥CD ，又AD ∩CD ＝D ， 所以AB ⊥平面ACD ， 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ，故②③正确．12.如图，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：因为CA ＝CB ，O 为AB 的中点，所以CO ⊥AB ． 又平面ABC ⊥平面ABD ，交线为AB ，CO ⊂平面ABC ， 所以CO ⊥平面ABD ．因为OD ⊂平面ABD ，所以CO ⊥OD ， 所以△COD 为直角三角形，所以图中的直角三角形有△AOC ，△COB ，△ABC ，△AOD ，△BOD ，△COD 共6个． 答案：613．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．解：(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ．因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ． (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.14．(选做题)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥平面ABC ； (2)求证：平面EBC ⊥平面ACD ； (3)求几何体A -DEBC 的体积V .解：(1)证明：如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以GH ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形， 所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB ． 所以HF ∥平面ABC ，GH ∥平面ABC ． 又因为GH ∩HF ＝H ， 所以平面HGF ∥平面ABC ． 所以GF ∥平面ABC ．(2)证明：因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB ． 又因为平面ABED ⊥平面ABC ， 所以BE ⊥平面ABC ．所以BE ⊥AC ．又因为CA 2＋CB 2＝AB 2， 所以AC ⊥BC ．又因为BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面EBC ． 又因为AC ⊂平面ACD ， 从而平面EBC ⊥平面ACD ．(3)取AB 的中点N ，连接CN ，因为AC ＝BC ， 所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a .又平面ABED ⊥平面ABC ， 所以CN ⊥平面ABED ． 因为C -ABED 是四棱锥，所以V C -ABED ＝13S 正方形ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.即几何体A -DEBC 的体积V ＝16a 3.。
2.3.3直线与平面垂直的性质
图形语言： 符号语言：
a ， b a // b α
作用：证线线平行
a
b
练习2:设a，b为直线，α 为平面， 若a⊥α ，b//α ，则a与b的位置关 系如何？为什么？
b
l
a
α
练习3:设l为直线，α ，β 为平面， 若l⊥α ，α //β ，则l与β 的位置关 系如何？为什么？
证明：
例1 如图，已知 l , CA , 于点A， a , a AB, 于点B， CB C 求证：a // l .
β
CA , l . CA l 同理可得
B α l A a
：CB
l
CA CB C . l 面 ABC CA , a . CA a 又 a AB a 面 ABC
C1 B1 C B
A A1 D D1
探究二：一个平面的垂线有多少条？ 这些直线彼此之间具有什么位置关 系？ a
b α
探究三：如果直线a，b都垂直于平 面α ，由观察可知a//b，从理论上 如何证明这个结论？
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形. 已知：a⊥α ， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它 们互相平行，一般先证明它们共面，然后转 化为平面几何中的平行判定问题，但这个命 题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困 难了，更何况还要证明平行． 我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有 什么矛盾？这就是我们提到过的反证法． 问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？ 答：否定结论→推出矛盾→肯定结论
证明: 假设b不平行于a,
b O, c是经过点O 与直线a平行的直线 因为a // c, a ,
高中数学2.3.3 直线与平面垂直的性质
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
2.如图,已知α ∩β =l,EA⊥α 于点A,
EB⊥β 于点B,a⊂α ,a⊥AB.
求证置关系分析.
2.利用线面垂直的性质定理,只需证a和l都垂直于同一个平面.
【解析】1.选A.①②显然正确.对于③，结果应为b∥α或 b⊂α，对于④结果可能是b∥α或b与α相交或b⊂α.
A-SBD的体积是多少？
【解析】当∠BAD=120°时，
S△ABD 1 1 3 ABADsin 120 2 2 3. 2 2 2
所以几何体A-SBD的体积为
1 1 2 3 VA SBD VSABD S△ABD 3 2 SA . 3 3 3
【技法点拨】 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条
直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直
于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内
的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【拓展延伸】直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的
两个平面平行的证明.
③若l∥m,m∥n,l⊥α ,则n⊥α ;
④若l∥m,m⊥α ,n⊥α ,则l∥n. 其中正确的说法的序号为 .
2.(2013·宿州高一检测)如图,在底面 是菱形的四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,
SB=SD=2 2 .
(1)证明：BD⊥平面SAC.
(2)问：侧棱SD上是否存在点E,使得
SB∥平面ACE?请证明你的结论.
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)若a∥α ,b⊥α ,则a与b垂直且相交.( )
2.3.3直线和平面垂直的性质定理
序号： § 2.i.2直线和平面垂直的性生质定理 预习案日期：i2月4日班级姓名 知识与技能掌握直线与平面垂直的性质定理。
能运用性质定理证明线线平行，解决一些简单问题。
过程与方法 通过直观感知，推理证明，实际应用，掌握学习立体几何的方法。
培养 空间观念，空间想象能力，逻辑推理能力。
情感、态度与价值观通过正确的直观感知，严密的逻辑推理，培养实事求是的严谨的治学态度。
重点：直线与平面垂直的性质定理的应用。
难点：了解反证法。
学法指导：一方面，注意借助常见空间模型，训练正确的空间感知能力。
一方面，应用性质定理，继续训练严密的逻辑论证能力。
预习准备：1.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中两个不同的面内，画两条直线 a 、b ，2.在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中， 求证：AD i 平面A i B i CD1、C iC新知导学：1.思考发现： 问题1.平面几何中，怎么由“垂直关系”证明“线线平行”立体几何中是否有类似的结论？正方体ABCD — A B' C 中D'棱AA'、BB'、CC 、DD 所在直线都垂直 于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？3.得出结论：直线与平面垂直的性质定理: 文字语言 ________________________符号语言 ______________________作用 _________________________图形语言初步应用：问题3.正方体ABCD — A B’ C 中DEF 丄平面A 'DC , 求证：EF//AD'。
C冋题2.已知a a, b a,那么直线a, b 一定平行吗？可以证明吗?C'C2.初步探究:C预习检测："1.直线L丄平面a,直线m a,贝U L, m的位置关系是( )A平行B异面C相交 D 垂直2.在圆柱的一个底面上任取一点，该点不在底面圆周上，过该点作底面圆周的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是3、已知AF丄平面ABCDDE1 平面ABCD且AF=DEAD=6 J则EF=4.填写位置关系: (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线(2 )空间中，垂直于同一条直线的两条直线(3)垂直于同一平面的两条直线(4)垂直于同一直线的两个平面(5)垂直于同一平面的两个平面课堂小结: 学习了什么内容?揭示了空间哪两种位置关系的联系?课后探究拓展:1..已知m,n是两条相交直线，L i, L2是与m,n都垂直的两条直线，且直线L与L i,B, a p =L， CA a， CB p, A,B 是垂足，a a ,a AB ,2.已知平面a，3.a，b是两条异面直线，a a，b p，a P =L, AB与a、b都垂直，交a。
2.3.3直线与平面垂直的性质
la l b
l
b
A
a
2
性质探究
直观感知—猜想定理
3
性质探究
思考:一个平面的垂线有多少条？这些
直线彼此之间具有什么位置关系？
4
新课讲解
线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
图形语言：
a b
α
符号语言：
a ，b a // b
5
用途：证明线线平行
新课讲解
线面垂直的其他性质1：
两条平行线中的一条垂直于一个平 面，则另外一条也垂直于这个平面
图形语言：
a b
α
符号语言：
a / /b, a b
6
用途：证明线面垂直
新课讲解
线面垂直的其他性质2：
垂直于同一条直线的两个平面平行
a
图形语言：
α
符号语言：
a , a / /
7
用途：用于证明面面平行
分析：
A E F
G D C
B
11
分析：
9
课堂练习
练P66变式，如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点， MN⊥平面A1DC 求证： MN∥AD1D1 C1ຫໍສະໝຸດ 分析：A1 N O D
B1
C
A
M
B
10
例题讲解
例2、如图，PA垂直矩形ABCD所在平面，E， F是所在边的中点，PA=AD 求证：EF⊥面PCD P
新课讲解
线面垂直的其他性质3：
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平 面，则它也会垂直另一个平面
图形语言：
2.3.3_直线与平面垂直的性质
2.3.3直线与平面垂直的性质设计：胡斌高一2部数学组审核三维目标：1.探究直线与平面垂直的性质定理2.掌握直线与平面垂直的性质定理.重点难点：直线与平面垂直的性质定理及其应用.复习回顾：直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.情境导入：大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？提出问题：①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系有哪几种？举出模型。
③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系.④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？我的疑问质疑探究：(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于该平面内的所有直线？(2)垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条呢？与该平面什么关系？(4)垂直于同一直线的两个平面有什么关系？(5)两条相互垂直的直线，其中一条直线与一个平面垂直，那么另一条直线与该平面垂直吗？(6)课本P70页在证明直线与平面垂直的性质定理时采用的方法是反证法.请思考在什么情况下我们要使用反证法？(7) 思考反证法的步骤是什么?应用示例：1如图，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a α,a⊥AB.求证:a∥l.2如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c. 求证：AB∥c．3已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB．4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC 求证：MN∥AD1；5已知直线AB与直线CD为异面直线，用反证法证明直线AC与直线BD也为异面直线。
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生 :证明 : 假定 b 不平行于 a,设
b O , b’是经过点 O 的两直线 a 平行的直线 .
a ∥b’, a , b’
即经过同一点 O 的两直线 b ,b’都与 垂直 ,这是不可能的 ,因此 b∥ a.
有了上述证明 ,师生可共同得到结论 .:
直线和平面 垂直的性质定理 : 如果两条直线同垂直于一个平面 垂直 ,线线平行 .
【板书设计】
2
一、直线和平面垂直的性质定理及其推论 二、例题 例1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高
2.3.3 直线与平面垂直的性质
课前预习学案
一、预习目标：通过对图形的观察，知道直线于平面垂直的性质
二、预习内容：
1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？
2、在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直
？
3、判断题（判断下列命题是否正确） （ 1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（ 2）、 在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 （ 3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（ 4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
4、若直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？ 三、 提出疑惑
（四）课堂检测
1、课本 P71 页： 1、 2.
2、设直线 a,b 分别在正方体 ABCD — A′ B′ C′D ′中两个不同的平面内 ,
欲使 b∥ a,a、b 应满足什么条件？
课后巩固练习与提高
1．若 a,b,c 表示直线， 表示平面，下列条件中，能使 a
( A) a b, a c, b , c
ABCD ，它们之间具有什么位置
（三）讲解新课 例 1 已知： a ， b 。求证： b∥ a
师：此问题是在 a ， b
的条件下，研究 a 和 b 是否平
行，若从正面去证明 b∥ a，则 较困难。而利用反证法来完成此题，
相对较为容易，但难在辅助线 b’的作出 ,这也是立体几何开始的这
部分较难的一个证明 .在老师的知道下 ,学生尝试 证明 ,稍后教师指 正.
3
1、 如图，长方体 ABCD — A′ B ′C′ D′中，棱 A A ′、B B ′、C C′、
D D ′所在直线都垂直于平面 ABCD ，它们之间具有什么位置关系？
2、 已知： a ， b
。求证： b∥ a（由 1 让学生自行证明）
得直线与平面垂直的性质定理
三种语言刻画
探究二、定理的应用
例 1 已知 l
（四）课堂检测
课本 P71 页： 1、 2.
拓展练习：设直线 a,b 分别在正方体 ABCD — A ′ B′ C′D ′中两个不同的平面内 , 欲使 b∥ a,a、b 应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑
a、 b 满足的条件。
解： a、b 满足下面条件中的任何一个 ，都能使 b∥ a
下列命题中错误的是（ C）
l
b
a
A
Bc
A、
若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B、
若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C、
若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D 、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
4、 垂直于同一直线的两平面互相平行。 师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，
则其应具备的性质是什么？
（二） 创设情景
如图，长方体 ABCD —A ′ B′ C′ D ′中，棱 A A ′、 B B ′、 C
C′、 D D′所在直线都垂直于平面 关系？
,那么这两条直线平行 ,也可简记为线面
利用三种形式去描述它
1
例2. 已知 l ，l ，求证 a// .
证明：设 l =A，l =B
在 内过点 A取两条直线 a和b
B l 且B
与 相交，设
=c
l
l a，同理 l c
在平面 中： l a， l c
a//c 又 a ，c
a// ，同理 b//
又a b=A //
同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中
疑（ 1）明确直线与平面垂直的性质定理。 （ 2）利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。
学习重点：直线和平面垂直 的性质定理和推论的内容和简单应用。 学习难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。 二、学习过程 探究一、直线与平面垂直的性质
,l
, 求证 //
l
b
a
A
变式 1：
下列命题中错误的是（）
Bc
A 、若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B 、若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
C 、若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线必平行于这个平面
D 、若 平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则也和这条直线垂直。
（１） a、 b 同垂直于正方体的一个面
（２） a、 b 分别在正方体两个相对的面内且共面。
（３） a、 b 平行于同一条棱。
（４）Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为 B′ C′、Ｃ C′、Ａ A ′、ＡＤ的中点，
ＥＦ所在直线为 a，ＧＨ所在直线为 b，等等。
（五）课堂小结
本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法
2. 3.3
【教学过程】 （一） 复习引入
直线与平面垂直的性质
师：判断直线和平面垂直的方法有几种？
师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？ 师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？
判断下列命题是否正确：
1、在平 面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、 在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3、 垂直于同一平面的两直线互相平行。
(B) a b,b //
(C ) a b A, b ,a b
(D ) a // b,b
的是 （ ）
2．已知 l 与 m 是两条不同的直线，若直线 l 平面 ，①若直线 m l ，则 m // ；②若 m ，则
有两种：直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何知识；用直接法 证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的
证明，教材采用反证法，学生理解上会有一定的困难，教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬， 进而得到要证的结论。