翻折与旋转

翻折与旋转
近几年上海中考试题中，图形的运动成为一个命题热点。

图形的翻折是图形的运动形式之一，翻折问题是中考的热点，也是中考的一个难点。

一 认识翻折问题 1.关注“两点一线”
在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?” ；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。

这是解决问题的基础。

2. 联想到重合与相等
遇到这类问题，我们应马上联想到“重合的线段相等,重合的角相等”，这是解决问题的关键。

二 解决翻折问题
我们把翻折问题分为两类：“依线翻折”和“依点翻折”。

1. 依线翻折
关键是找出对称点，并画出来。

例1. 已知：在Rt △ABC 中，∠A <∠B ，CM 是斜边AB 的中线，
将△ACM 沿直线CM 翻折，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直, 那么∠A 等于_________度。

分析：本题是依直线CM 进行翻折的。

首先需要作出A 点关于CM 的对称点D ，这样“两点一线”就明确了。

其次联想到“重合”，从而得到相等的线段和角：CA=CD ，∠1=∠2。

根据已知CD ⊥AB ，AC ⊥CB ，可想到∠A=∠3，又CM 是斜边的中线，于是∠1=∠A.，所以∠1=∠2=∠3，故∠A=30°。

2. 依点翻折
关键是找出折线，并画出来。

例2.. 已知：Rt △ABC 中，∠A<∠B ， CM 是斜边AB 的中线，∠B=60
将△ABC 沿某直线折叠，使点C 落在M 上，折痕与AC 的交点为E ， 那么∠CEM =____度。

分析：本题是依已知点C 、M 翻折的，图中没有折线。

首先需要作出折线：CM 的垂直平分线，并标出点E 。

这样“两点一线”已经明确了。

接下来马上联想到重合的线段和重合的角。

由于CM 是斜边AB 的中线，所以可得到∠BCM=60°，于是∠ECM=30°。

而∠ECM 与∠CME 重合，所以相等，故∠CEM=180°－30°－30°=120°。

现在请你尝试解决下面的几个题目：
1.如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ABC 沿 AD 对折，
点C 落在C ′的位置，如果BC=2，那么BC ′=________． 2. 已知△ABC 中，CD 是AB 边的中线，且∠ADC =135°，把△CDB 沿CD 对折，点 B 落在点B ′的位置，则AB ′：AB 的值是________．
3.在边长为2的菱形ABCD 中，∠B=45°，AE 为BC 上的高，将△ABE 沿AE 所在直
D B
B D
C C ′ A
P F E D C
B A
线翻折后得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积为_________． 4.将矩形ABCD 纸对折，设折痕为EF ，再把B 点折到折痕线EF 上（见图点B ′）， 若AB=3 ，则EB ′=_______．
5.已知正方形纸片ABCD ，将正方形ABCD 折叠，
使点B 落在CD ，边上的点B' 处，点A 落在A' 处， ∠B'BC=30°，则∠A'B'D=_________．
自我测试：
1．如图，将正方形纸片ABCD 分别沿AE 、BF 折叠（点E 、F 是边CD 上两点），使点C 与D 在形内重合于点P 处，则=∠EPF ______________度．
（第1题）
2．在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻折
后，点B 落在点B ′处，那么DB ′的长为 ．
3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 、F 分别在AB 、BC 边上，将△BEF 沿直线EF 翻折后，点B 落在对边AC 的点为B ＇，若△B ＇FC 与△ABC 相似，那么BF ＝ ．
4．在□ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠AOB =45°，BD =2，将△ABC 沿直线AC 翻折
后，点B 落在点B ′处，那么DB ′的长为 ．
5．平行四边形ABCD 中，3,4==BC AB ，∠B ＝60°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折后得△AFE ，那么△AFE 与四边形AECD 重叠部分的面积是 ． 6．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，
联结AM （如图所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．
B A B ′ G
D
C E F
A
B
M
C
B 'O F E
D C
B A
7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，75,ABC ︒∠= 将梯形沿直线EF 翻折，使B 点落在线段AD 上，
记作'
B 点，连结'
B B 、交EF 于点O ，若'
90B FC ︒
∠=， 则:EO FO = . 旋转问题：
1．如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB C '',使
//CC AB '，如果70BAC ∠=︒，那么旋转角α=________度．
2．如图，已知正方形ABCD 的边长为1．如果将对角线BD
绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D '点处， 联结D A '，那么cot 'BAD ∠__________． 3．如图2，P 是等边△ABC 内的一点，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转到△P AB '，则PAP '∠的度数为________．
4．将点A （1，3）绕原点逆时针旋转90°后的点的坐标是 ． 5．如图，在ABC Rt ∆中，
90=∠ACB ，
30=∠A ，cm BC 2=，
C B A ''∆是ABC Rt ∆绕点C 按顺时针方向旋转 30后得到的，设B A ''边交 BC 边于点
D ，则B CD '∆的面积是 2cm .
6．如图，将直角边长为5cm 的等腰直角ΔABC 绕点A 逆时针旋转15°后,得到ΔA B’C ’， 则图中阴影部分的面积是 cm 2 ．
7．如果一次函数y =kx +b 中x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是 -11≤y ≤9.则此函数的的解析式为 ． 8．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =70°，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转到△DEC 处， 使CD ∥AB ，那么旋转角等于 度
A B
C
B ′
C ′
α
D ' A
D
C
B
A B ' A ' D
B C
B'C
9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，M 为AB 边上中点，将Rt △ABC 绕点M 旋转， 使点C 与点A 重合得到△DEA ，设AE 交CB 于点N ． (1) 若∠B =25°,求∠BAE 的度数； (2) 若AC =2，BC =3，求CN 的长．
10． 如图，已知A 、B 、C 分别是圆O 上的点，OC 平分劣弧AB 且交弦AB 于点H ，AB
=CH =3．
（1）求劣弧AB 的长；（结果保留π）
（2）将线段AB 绕圆心O 顺时针旋转90°得线段''A B ，线段''A B 与线段AB 交于点D ，
在答题纸上画出线段''A B ，并求线段AD 的长．。