线段垂直平分线2
1.3线段的垂直平分线(2)
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一
怎样证明这个 结论呢? 点，只要证明其中两条直线的交
点在第三条直线上即可
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三 角形三个顶点的距离相等． 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC
这样的等腰三角形只有两个，并且它 们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确 定的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形
a
点和直线的位置关系有几种？
①点在直线上 ②点在直线外 Nhomakorabea过一点作已知直线的垂线：
①过直线上一点作已知直线的垂线 ②过直线外一点作已知直线的垂线
1.3 线段的垂直平分线 (2)
回顾
思考
C
1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
A D
B
1.如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E， 求证：AE=2CE．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
①经过已知直线上的一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C
B
②经过已知直线l外一点作已知直线的垂线 已知:直线l和l外一点C 求作:l的垂线,使它经过点C.
C
l
P26 习题1.8 第2题
1.3线段的垂直平分线(2)
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB . 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上,
B
P
C
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点并且这一点到三个 顶点的距离相等.
高效上好每节课·快乐上好每天学
想一想：仿照我们上节课讲的线段垂直平分线的 定理以及逆定理的几何语言的表示方法，你能把这个
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C
P A B
l
随堂练习
1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的
垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三 角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边的垂直 平分线交点在三角形外．
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第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线（2）
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旧知回顾
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 如图,
M
∵ AC=BC, MN⊥AB,
P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点距离相等).
A N
P
C
B
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
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课堂小结
1. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到 三个顶点的距离相等.
a c P B C A b
如图, 在△ABC中, ∵ c、a、b分别是AB、BC、AC的垂直平分线 (已知) ∴ c、a、b 相交于一点P, 且PA=PB=PC
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线段的垂直平分线(二)
02 垂直平分线的作法
利用直角三角形的性质作垂直平分线
直角三角形斜边的中线等于斜 边的一半。
直角三角形斜边的中线也是斜 边上的高。
直角三角形斜边的中线将直角 三角形分为两个等腰三角形。
利用等腰三角形的性质作垂直平分线
等腰三角形底边上的中点到两腰的距 离相等。
垂直平分线上的任意 一点到线段两端点的 距离相等。
垂直平分线是唯一的， 即一条线段只有一条 垂直平分线。
垂直平分线与线段垂 直，且与线段相交于 中点。
垂直平分线的判定
如果一条直线通过线段的中点，并且与线段垂直，那么这条直线就是线段的垂直平 分线。
如果一条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等，那么这条直线就是线段的垂 直平分线。
1 2
确定点与线段的位置关系
通过垂直平分线，可以确定一个点是否在线段的 中垂线上，从而确定该点与线段的位置关系。
证明三角形等腰
如果一个三角形两边上的中点在同一条垂直平分 线上，则这个三角形是等腰三角形。
3
计算线段长度
利用垂直平分线性质，可以计算线段的长度。
在日常生活中的应用
01
02
03
确定物体位置
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用角的平分线作平行线。
平行线的性质与判定
性质
平行线具有同位角相等、内错角 相等、同旁内角互补等性质。
判定
平行线的判定包括同位角相等、 内错角相等、同旁内角互补等条
件。
应用
在几何证明和作图中有重要应用， 如利用平行线的性质证明线段的
比例关系。
三角形的高、中线与角平分线
250.角平分线和线段垂直平分线(二)
E D C A G NCF B D E A角平分线和线段垂直平分线【要点梳理】知识点1. 角的平分线的性质及判定定理： 1．如图∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OP上，PC ⊥OA 于C ，PD⊥OB 于D ∴ ( )2．∵PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC = PD ，∴ ( ) 知识点 2. 线段的垂直平分线的性质及判定定理：1．线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 ．2．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上． 3．线段的垂直平分线是到这条线段两端点距离相等的点的集合．知识点 3. 角的平分线和线段的垂直平分线的应用：1．三角形的三条 交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
2．三角形的 交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。
3.如图，321l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ） A 、一处 B 、二处 C 、三处 D 、四处4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .下列推理中正确的个数是 . ①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等； ②AD 上任意一点到AC ，AB 的距离相等； ③BD =CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE =∠CDF【例题选析】例1 如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．例2.如图，∠A =∠B =90°，M 是AB 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：CM 平分∠BCDMDBCA例3．如图，BE 和CD 是△ABC 的两条高，在BE 上截取BF =CA ，延长CD •至点H ，使HC =AB ． 求证：①AF =AH ；②AF ⊥AH 。
线段的垂直平分线的性质2教案
线段的垂直平分线的性质2教案教案名称：线段的垂直平分线的性质教案内容：一、教学目标：1.知识目标：了解线段的垂直平分线的定义和性质。
2.能力目标：能够应用线段的垂直平分线的性质解决问题。
3.情感目标：培养学生对几何学概念的兴趣，锻炼学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重难点：1.教学重点：线段的垂直平分线的定义和性质。
2.教学难点：如何应用线段的垂直平分线的性质解决问题。
三、教学过程：Step 1 引入新知1.教师出示一幅图，图中有一个任意的线段AB，询问学生该如何找到线段AB的垂直平分线。
2.鼓励学生积极参与，让他们发表自己的意见。
Step 2 探究与讨论1.将学生的意见进行总结，并引导学生发现线段中点与线段的垂直平分线之间的关系。
2.在黑板上绘制出线段AB以及它的垂直平分线和中点M，通过比较线段AM和线段BM的长度，引导学生发现线段中点与线段的垂直平分线之间的距离相等。
3.引导学生思考：线段在垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等，这个性质适用于所有线段吗？Step 3 总结性质1.教师引导学生回顾刚刚的讨论，总结线段的垂直平分线的性质：线段在垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等。
2.强调该性质具有普遍性，适用于所有线段。
Step 4 举例说明1.给学生出示一幅图，图中有一个任意的线段和它的垂直平分线，引导学生根据线段的垂直平分线的性质，找出线段的中点。
2.提问学生：通过线段的垂直平分线，我们能得到什么信息？Step 5 拓展应用1.给学生出示一组题目，要求学生通过线段的垂直平分线的性质，解决问题。
2.鼓励学生积极思考，提供适当的提示或让学生合作解答。
3.在课堂上讨论解题思路和方法，并给予正确的指导。
Step 6 知识巩固1.给学生布置课后作业，要求学生根据课堂所学的内容，解答题目。
2.收集学生的解答，进行讲评，帮助学生加深对知识的理解。
四、板书设计：线段在垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等五、教学反思：这节课，我采用了一种引导学生自我发现的教学方法，通过学生们的讨论和探究，引导他们自己找出线段的垂直平分线的性质。
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
线段的垂直平分线——-知识讲解(提高)【学习目标】1。
掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2。
会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理。
3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形。
4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1。
定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2。
线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线。
作法：(1)分别以点A ，B 为圆心,以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； (2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：（1）作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． （2）线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
要点诠释:1。
三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心。
2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等。
1.3.2 线段的垂直平分线 教案 2021—2022学年北师大版八年级数学下册
课题 1.3线段的垂直平分线（二）学习目标1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．重点难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形教法选择分组讨论法、讲练结合法课型新授课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线。
这些内容都是重要的几何知识，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，让学生收货解决问题的方法和意识。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、情境引入：1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.2.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?二、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_______上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB 上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）三、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．学生亲历知识的发生和发展过程.学生进行折纸活动，并思考和发现结论.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.学生思考问题，并积极讨论.主备人：备课组长签字：四、议一议： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等） 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
1.3.2 线段的垂直平分线(2)
3.如下图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果 AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 4.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 1.分别以点A和B为圆心,以大于
C
A
B
AB/2长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线, 并与同伴进行交流.
D
老师提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中 点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
3. 如图（ 1）， P 是线段 AB 垂直平分线上一点， M 为线段 AB 上 异 于 A ， B 的 点 ， 则 PA ， PB ， PM 的 大 小 关 系 是 PA__________PB__________PM. 4.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平 分∠ABC交BC于D，则点D在__________上. 5.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底， 则直线AD必是__________的垂直平分线.
第11题图
第10题图
三、解答题(共40分) 12．(8分)在新农村建设中，公路实现“村村通”是一项很受 欢迎的民生工程．如图所示，已知直线l是一条笔直的公路， 现有一个村庄P要修一条公路与l相通，要使其造价最低， 请在图中画出要修的公路位置．
解：如图所示，过点P作直线PM垂直
直线l，交直线l于点Q，则线段PQ就是所 要修的公路的位置
线段的垂直平分线二
第二课时
育才寄宿制学校
方丽生
线段垂直平分线定理：
线段垂直平分线上的 点与这条线段两个端 点的 距离相等
反过来，如果PA＝PB，
那么点P是否在线段AB的垂 P 直平分线上？ A
B
通过探究我们可以得到 定理： 与一条线段两个端点距 离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上
数学语言：
B D
E
O C
A
如下图△ABC中， AC=16cm，AB的垂直平 A 分线交AB于D,交AC于E， △BCE的周长为26cm，D 求BC的长。 B
E
C
已知：P为MON内一点。P与A关于ON对称， P与B关于OM对称。若AB长为15cm 求：PCD的周长.
N
解: P与A关于ON对称 ON为PA的中垂线（
A M
O
B
N
如图：请找出一点P，使点P到A， B两点的距离相等，并且点P在 ∠ACB的平分线上。
A
B C
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90， DE是AB的垂直平分线，连接AE， ∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。 E
C
B
D
A
• 如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足 分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。
（1）分别以A、B为圆心，
C
以大于 AB的长为半径 做弧，两弧相交于C、D 1 两点。 2
B
A
（2）作直线CD，CD即 为所求的直线
D
（1）分别以A、B为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径做弧，两弧相交于C点。 （2）分别以A、B为圆心，以大于 1 2 AB且不等于AC的长为半径做弧，两 弧相交于D点。
冀教版八年级数学上册《线段的垂直平分线》(第2课时)
例2 已知：如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P
求证：点P在BC的垂直平分线上
A
（1）由已知条件想到哪个定理？
线段垂直平分线的性质定理
（2）由结论想到哪个定理？
D
PE
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
第十七页，共二十五页。
证明B、AC的垂直平分线上（已知）
归纳
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到一条线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
几何语言：如图，
P
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
第九页，共二十五页。
思考：
(1)若PA=PB,过点P作直线l,则l是线段AB的中垂线吗？
不一定是.
3.猜想这个逆命题的真假，并试着说明理由. A 4.小组合作完成猜想的证明．
已知：如图，点P是线段AB外一点，且PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P B
第五页，共二十五页。
证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
在△POA和△POB中,
PA = PB,
PO
=
PO,
AO = BO,
第十四页，共二十五页。
变式练习1 如图，四边形ABCD是一个“风筝”骨架，其中
AB=AD,CB=CD.
(1)小明认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD,垂足为E,并
且BE=EB,你同意他的说法吗？
B
解：同意，理由
A ED
∵AB=AD,CB=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
C
∴AC⊥BD,BE=EB.
13.4线段的垂直平分线(2)
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
• 某地有两所大学和两条相交叉的公路 OA，OB，现计划修建一个物资仓库， 希望仓库到两所大学的距离相等，到 两条公路的距离也相等，请你确定该 点。 A
试一试:
画出等腰梯形的对称轴，你有哪些方法？
老师期望: 做完题目后,一定要“悟”到点 东西,纳入到自己的认知结构中 去.
作轴对称图形的对称轴，常用画法有两种：
１、找一组对称点 画对称点连线 作连线的中垂线。
２、找两组对称点
分别取两组对称点连线的中点
过两中点作直线。
自主探究一 例1:如图，点A和点B关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？
B
老师期望: 养成用数学解释生活的 习惯.
L
高 速 公 路
生活中的数学 2：
黄冈市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、 B、 C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应 建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
1、求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.
1、作一条已知线段的垂直平分线；
2、利用线段垂直平分线的判定确定轴对称图形的对称轴； 3、学会在生活中感悟数学，养成用数学的观点和方法认 识 周围的事物， 处理实际问题的习惯
再见
C
作法：
（1）连接AB
这个作法实际上就是 线段垂直平分线的尺 规作图。我们也可以 用此法确定线段中点。
A
D
B （2）分别以点A、B为圆心，以
16.2线段垂直平分线(2)
A
C
B
新乐市实验学校
线段的垂直平分线
一、一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点和这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
和一条线段两个端点距离相等的 点，在这条线段的垂直平分线上
新乐市实验学校
作法:
1 1. 分别以点A、B为圆心，大于 AB 2 长为半径，画弧 交于点E，F；
2. 过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平 分线.
新乐市实验学校
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
A
B l
P
点P为所求作的点
问题:如图,A、B、C三个村庄合建 一所学校,要求校址P点距离三个村 庄都相等.请你帮助确定校址. C P A
练习：
如图，已知A，B两点.求作：直线l，使点A，B关于l 对称.（保留作图痕迹，不要求写作法） 解：如图所示： C
新乐市实验学校
2.如图，BD ⊥AC，垂足为点E，AE=CE. 求证：AB+CD=AD+BC.
D
C
A
E
B
证明： ∵ BD ⊥AC，垂足为点E，AE=CE ∴AB=CB，AD=CD.（线段垂直平分线的性质定理） ∴ AB+CD=AD+BC
新乐市实验学校
3.如图，在△ABC中，已知点D在BC上， 且BD+AD=BC.求证：点D在AC的垂直 平分线上。 A B C D 证明： ∵ BD+AD=BC=BD+DC ∴AD=DC ∴点D在AC的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定定理）
∴ P在BC的垂直平分线上
2.4_线段的垂直平分线(第2课时)
七年级数学导学稿
第2章图形的轴对称
2.4 线段的垂直平分线（第2课时）
繁华初中刘志芳
学习目标：1、线段垂直平分线的尺规作图
2、理解并能运用线段垂直平分线的性质
重点：线段垂直平分线的尺规作图；
难点：运用线段垂直平分线的性质解决实际问题。
教学过程：
【创设情境】
直线AB表示一条小河，一牧民在C处放马，现在要到河边去饮马，然后回到帐篷点D处（C、D在小河同旁）。
问在何处饮马，才能使他所走路程最短？
•C •D
B
A
【探索新知】
（1）已知直线l和l上一点P，怎样过点P作直线l的垂线？
（2）已知直线l和l外一点P，怎样过点P作直线l的垂线？
（小组讨论交流，理解并熟记作法）
（3）体会在解决“过一点作已知直线的垂线”这一问题时，运用了哪些基本的数学思想？
【巩固提升】
1、过点P作直线l的垂线和斜线，叙述正确的是（）
A、都能作且只能作一条
B、垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条
C、垂线能作两条，斜线可作无数条
D、均可作无数条
2、经过一点可以作并且只能作已知直线的一条（）
A、垂线
B、垂线段
C、平行线
D、以上都可以
3、如果一个三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定【达标检测】
小河边有两个村庄A村和B村，现要在河边建一自来水厂分别向A村和B村供水。
（1）若要使自来水厂到A村和B村的距离相等，应建在什么地方？（2）若要使自来水厂到A村和B村的水管最省料，应建在什么地方?
(保留作图痕迹，不写作法)
•A •B。
垂直平分线2.
OB=OC.
求证：AO⊥BC.
A
A E
O
C
B 图1
C
B
图2
2.如图2.△ABC中，BC的中垂线交AB于E,C△ABC=10， BC=4.求C△ACE.
四、谈收获与疑问
五、作业：
1.如图1.C△ABC为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线 DE交AC于D，D为垂足，BC＝5cm，求C△BCE.
A D
M
A
B
E
C
图1
B
C 图2
D
N
2.如图2.MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，
求证：AC＝BD，∠ACD＝∠BDC。
AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立
的是（ ）
A. ∠B=∠CAE
B. ∠DEA=∠CEA
C. ∠B=∠BAE
D. AC=2EC
二、探究新知：
例1.（一题多变）(1).如图1.在△ABC中，BC的垂直平分 线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm， BD=6cm，求△ABC的周长．
A
D E
图1
B
图2
C
(2)如图2.在△ABC中,AB＝AC，DE是AB的垂直平分线， D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求 △BCE的周长．
例2.如下图.BD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是 △BCD、△BAD的高。
求证：BD垂直平分EF.
B
E
F
C
D
A
三、牛刀小试：
1.如图1.△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点且
线段的垂直平分线 （二）
镇西中学 龚 铭
两点垂直平分线方程
两点垂直平分线方程引言在平面几何中，我们经常需要求解两点之间的垂直平分线方程。
垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。
本文将详细讨论如何求解两点垂直平分线方程，并给出具体的步骤和示例。
什么是垂直平分线垂直平分线是指将两点之间的线段垂直地平分为两段相等的线段的直线。
在二维平面上，垂直平分线是一条通过两点中点并与连接两点的线段垂直的直线。
具体而言，垂直平分线满足以下两个条件： - 通过两点的中点； - 垂直于连接两点的线段。
求解垂直平分线方程的步骤要求解两点之间的垂直平分线方程，我们可以按照以下步骤进行：步骤1：确定两点的坐标首先，我们需要确定两点的坐标。
假设两点分别为P(x1, y1)和Q(x2, y2)。
步骤2：求解两点的中点坐标通过计算两点的坐标平均值，我们可以得到两点的中点坐标。
中点的横坐标为(x1 + x2) / 2，纵坐标为(y1 + y2) / 2。
步骤3：计算连接两点的线段的斜率利用两点的坐标，我们可以计算连接两点的线段的斜率。
斜率的计算公式为：斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)步骤4：计算垂直平分线的斜率由于垂直平分线与连接两点的线段垂直，所以垂直平分线的斜率是连接两点的线段斜率的相反数的倒数。
计算垂直平分线的斜率公式为：垂直平分线的斜率 = -1 / 斜率步骤5：求解垂直平分线的方程已知垂直平分线过两点的中点，且垂直平分线的斜率已知，我们可以使用点斜式方程求解垂直平分线的方程。
点斜式方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，m为垂直平分线的斜率，(x1, y1)为垂直平分线过的点。
示例假设我们需要求解连接点P(2, 4)和点Q(6, 8)的垂直平分线方程。
步骤1：确定两点的坐标点P的坐标为(2, 4)，点Q的坐标为(6, 8)。
步骤2：求解两点的中点坐标两点的中点坐标为((2 + 6) / 2, (4 + 8) / 2) = (4, 6)。
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六道河中学导学案
课题16.2.2 线段垂直平分线2
一、学习目标：
1.能说出线段垂直平分线的逆定理；
2.能熟练地运用该逆定理进行有关的证明.
二、知识链接
1、线段垂直平分线的性质定理：
2、写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：
三、学习过程：
1.猜想这个逆命题的真假，并试着说明理由.（结合图证明）
线段垂直平分线性质定理的逆定理（线段垂直平分线的判定）：
四、典例分析
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，垂足为O. 求证：AO=OC，BO=OD.
五、题组训练
A组：（1、2、3、4号）
1、已知：如图，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点.求证：BE=DE.
2、已知：如图，△ABC内部一点P在BC的中垂线上，且PA=PB.求证：点P在AC的中垂线。
B组：（1、2号）
1、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.请写出AB+BD与DE的长度关系，并给予证明。
2、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，DF⊥AC于点F，AD=BD.求证：DF是线段AC的垂直平分线。