图形的运动与坐标2
图形运动知识点总结
图形运动知识点总结图形运动是在一个平面上的移动，我们可以用数学知识来表达和分析图形的运动。
在这里，我们将总结一些关于图形运动的知识点，包括平移、旋转和变形等。
1. 平移平移是指图形在平面上沿着某个方向以相同的距离移动。
平移可以通过向量来描述，其中向量的方向和大小代表了图形的移动方向和距离。
平移不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
在平移中，平移前后的图形是全等的，也就是说它们的对应的边和角都是相等的。
平移的公式可以表示为：(x', y') = (x + a, y + b)其中 (x', y') 是平移后的点的坐标，(x, y) 是平移前的点的坐标，a 和 b 分别是平移的横向和纵向的距离。
2. 旋转旋转是指图形绕着一个固定点旋转一定的角度。
旋转可以通过变换矩阵来描述，其中矩阵的元素代表了旋转的角度和固定点的位置。
旋转改变了图形的方向和位置，但不改变图形的形状和大小。
旋转的变换矩阵可以表示为：x' = x*cos(θ) - y*sin(θ)y' = x*sin(θ) + y*cos(θ)其中 (x', y') 是旋转后的点的坐标，(x, y) 是旋转前的点的坐标，θ 是旋转的角度。
3. 变形变形是指通过拉伸、挤压、剪切等操作改变图形的形状和大小。
变形可以通过矩阵来描述，其中矩阵的元素代表了图形的变形比例和方向。
变形改变了图形的形状和大小，但不改变图形的位置。
变形的变换矩阵可以表示为：x' = a*x + c*y + ey' = b*x + d*y + f其中 (x', y') 是变形后的点的坐标，(x, y) 是变形前的点的坐标，a、b、c、d 分别是x和y的拉伸、挤压和剪切比例，e 和 f 是平移的横向和纵向的距离。
4. 复合变换在图形运动中，我们可以将平移、旋转和变形等多种变换组合在一起，形成复合变换。
第七单元《图形的运动》教案
最后，关于课堂氛围的营造，我觉得在本章节的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们的学习兴趣得到了很好的激发。在今后的教学中，我会继续关注学生的兴趣点，将更多有趣的生活实例融入教学，让数学课堂变得更加生动有趣。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论效率不高，个别学生参与度较低。为了提高学生的参与度，我应该在分组时更加注意成员的搭配，尽量让每个学生都能在小组中发挥自己的作用。同时，在讨论过程中，我会加强对学生的引导，鼓励他们积极表达自己的观点，提高讨论效果。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生在分享成果时表达不够清晰，逻辑性不强。针对这一问题，我计划在今后的教学中加强对学生表达能力的训练。例如，在小组讨论结束后，让学生先在组内进行一次预演，然后再向全班展示。这样有助于提高他们表达的条理性和自信心。
难点举例：让学生在实际操作中，理解并掌握平移和旋转前后坐标之间的关系。
（2）轴对称的判定：正确判断轴对称图形，并找到对称轴。
难点举例：引导学生观察、分析常见轴对称图形的特点，掌握轴对称的判定方法。
（3）图形运动组合问题：解决图形在平移、旋转和轴对称组合运动下的变化规律。
难点举例：通过具体实例，让学生学会分析图形运动过程，将复杂问题分解为简单运动组合，并逐步解决问题。
第七单元《图形的运动》教案
一、教学内容
《图形的运动》为七年级数学第七单元，主要包括以下内容：1.平移：理解平移的概念，掌握图形的平移规律，并能运用坐标描述平移；2.旋转：理解旋转的概念，掌握图形的旋转规律，并能运用坐标描述旋转；3.轴对称：掌握轴对称的性质和判定方法，了解轴对称在实际中的应用；4.图形的运动组合：掌握图形在平移、旋转和轴对称的组合运动下的变化规律。本章节将通过丰富的实例和练习，让学生在实际操作中感受和掌握图形的运动规律，提高空间想象能力和解决问题的能力。
上海市中考(图形的运动)
上海市中考—图形的运动图形的平移1、平移将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做平移．2、平移的特征图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小都相等，图形平移后，图形的形状、大小都不变．3、平移距离平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离．图形的旋转1、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，称为旋转中心，转过的角称为旋转角．从以下几点理解定义：①旋转中心在旋转过程中保持不变；②图形的旋转是由旋转中心，旋转角度和旋转方向决定的；③旋转角度一般小于360°．2、旋转的特征①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；②旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；③对应点到旋转中心的距离相等；④旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化．3、旋转对称图形的定义把一个图形绕着一个顶点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形．这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角0360α<<）．如电风扇、五角星、圆等都是旋转对称图形，对旋转对称图形可从以下几个方面理解：①旋转中心在旋转的图形上；②旋转的角度小于360°．4、图形的旋转与旋转对称图形的区别和联系①图形的旋转是指一个图形从一个位置旋转到另一个位置，即同一个图形在位置上的变化；旋转对称图形，是指一个图形所具有的特性，即旋转一定角度后位置没有变化，仍与自身重合；②图形的旋转随着旋转角度的不同从一个位置旋转到不同位置；旋转对称图形旋转一定角度后仍在原处与自身重合．图形的旋转与旋转对称图形都是绕旋转中心旋转．5、中心对称的概念把一个图形绕着一个定点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．6、中心对称图形的特征中心对称是旋转对称的特例，关于中心对称的两个图形能完全重合．关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分，关于对称中心的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等；反过来，如果两个图形的对应点连接成的线段都经过某一点并且被该点平分，那么这两个图形一定关于这点成中心对称，这给我们提供了判断某两个图形是否成中心对称的方法．7、中心对称与中心对称图形的区别与联系中心对称是两个图形而言的，指两个图形间的关系；而中心对称图形是对一个图形而言的，指一个图形的两个部分之间的关系．成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．若把中心对称图形的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成中心对称图形．图形的翻折1、翻折与轴对称图形（1）把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．（2）轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．2、轴对称（1）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．（2）轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．1.如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是(2, 2)．将△ABC沿x轴方向向左平移得到△A1B1C1，点B1落在函数的图像上，如果此时四边形AA1C1C的面积等于，那么点C1的坐标是_________．图12.如图1，点M的坐标为(3, 2)，点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P 的直线l：y＝－x＋b也随之移动，如果点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是______．图13.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，联结AC′，若AC′//BC，那么CP的长为___________．图14.如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A.联结MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线M B1与AC、AD分别交于点F、N.联结NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求的长.5.如图1，已知平行四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝45°．将△ABC沿着AC翻折，点B落在点E处，联结DE，那么的值为_________．图16.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在边CD、BC上，联结EF．如果△CEF沿直线EF翻折，点C与点A恰好重合，那么的值是______________．图17.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝，D为边AC上一点（点D与点A、点C不重合）．将△ABC沿直线BD翻折，使点A落在点E处，联结CE．如果CE//AB，那么AD∶CD＝______．8.如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC上的点A´处，折痕分别交边AB、AC于点E、点F，如果A′F∥AB，那么BE＝______________．图19.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC翻折，使得点A落在边BC的中点A′处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD∶AE的值为______________．图110.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，联结AE．如果AE // CD，那么BE = ．图111.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________．图112.如图1，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α＋β＝90°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是__________（用含a的代数式表示）．图113.如图1，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，顶点A、D、C分别与点E、F、G对应（点D与点F不重合）．如果点D、E、F在同一条直线上，那么线段DF的长是______．（用含a的代数式表示）图114.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cos B＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），联结A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是______．图115.正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一条直线上，EE1的长度为________．16.等腰△ABC中，AB＝AC，它的外接圆⊙O的半径为1，如果线段OB绕点O旋转90°后可与线段OC 重合，那么∠ABC的余切值是_________．17.如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点B为旋转中心，旋转30°，点A、C分别落在点A′、C′处，直线AC、A′C′交于点D，那么的值为______________．图118.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是边AB上一点，把△ABC绕着点D旋转90°得到△A′B′C′，边B′C′与边AB相交于点E，如果AD＝BE，那么AD长为 ______________．图1答案1.(-11,11/2)2.2或33.5/24.5.6.8.10.11.12.13.14.15.16.17.18.。
初中数学八年级下册 第三章 1 图形的平移 课时2 沿x轴或y轴方向平移的坐标变化 课件(北师大版)
新课讲解
练一练
四边形ABCD的顶点坐标分别是A(0，3)，B(－3，0)， C(0，－3)，D(3，0). 将四边形ABCD向右平移6个单位长度，得到四边形 A1B1C1D1，写出四边形A1B1C1D1各顶点的坐标； 解：A1(6，3)，B1(3，0)，C1(6，－3)，D1(9，0)．
新课讲解
(1)点(x, y)向左平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为 (x-a, y);
(2)点(x, y)向右平移a(a>0)个单位⇔平移后的坐标为 (x+a, y);
新课讲解
典例分析
例 如图，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(－4，－4)， B(－2，－3)，C(－3，－1)． (1)将三角形ABC三个顶点的横坐标都加上5，纵坐标 不变，分别得到点A1，B1，C1， 依次连接A1， B1，C1，A1各点， 所得三角形A1B1C1与三角形ABC 在大小、形状和位置上有什么关系？
新课讲解
解：平移后的图形如图所示． (1)所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完 全相同，三角形A1B1C1可以看成是将三角形ABC 向右平移5个单位长度得到的． (2)三角形A2B2C2与三角形ABC 的大小、形状完全相同，三 角形A2B2C2可以看成是将三 角形ABC向上平移4个单位长 度得到的．
课堂小结
点的平移与点的坐标变化规律： 左、右平移，横变纵不变，“右加左减”； 上、下平移，纵变横不变，“上加下减”．
当堂小练
1.已知点A(－2，－1)，将点A沿x轴方向平移2个单位 长度得到点B，则点B的坐标为( C ) A．(－4，－1) B．(0，－1) C．(－4，－1)或(0，－1) D．以上都不对
(－2，3) (－2, －7)
初中数学知识点精讲精析 图形与坐标
23.6 图形与坐标学习目标1.会用合适的方法描述物体的位置，用坐标的方法描述图形的运动变换。
2.能运用图形的变换与坐标的内在联系解决一些简单的生活实际问题。
知识详解1.用坐标确定位置有了平面直角坐标系，我们可以毫不费力地在平面上确定一个点的位置。
现实生活中我们能看到许多这种方法的应用：如用经度和纬度来表示一个地点在地球上的位置，电影院的座位用几排几座来表示，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示等。
除了用坐标形式表示物体的位置之外，我们还经常用到的还有用一个方向的角度和距离来表示一个点的位置。
建立直角坐标系后，平面上的点可以用坐标来描述，在平面上由于建立的坐标系不同，单位长度选定不同，所以同一个点描述的坐标也可能不同。
平面上的点也可以用一个角度来描述其位置。
2.图形的变换与坐标一个图形沿x轴左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化。
向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位；向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位。
关于x轴或y轴成对称的对应点的坐标的关系：关于x轴对称的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
关于y轴对称的对称点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。
在同一直角坐标系中，图形经过平移、轴对称、放大、缩小的变化，其对应顶点的坐标也发生了变化。
【典型例题】例1：2008年5月12日，在四川省汶川县发生8.0级特大地震，能够准确表示汶川这个地点位置的是（）A．北纬31°B．东经103.5°C．金华的西北方向上D．北纬31°，东经103.5°【答案】D【解析】根据地理上表示某个点的位的方法可知选项D符合条件．例2：如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A．点AB．点BC．点CD．点D【答案】B【解析】根据题意可得：小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，即向西走为x轴负方向，向南走为y轴负方向；则（10，20）表示的位置是向东10，北20；即点B所在位置。
24.6.2图形的变换与坐标(精华版)
x
纵坐标与 横坐标都 乘以-1, 图 形会变成 什么样？
与原图形关于原点中心对称
–3 –4
(x,y) (-x, - y)
–5
二、轴对称
3.纵坐标不变，横坐标分别乘-1，所得图形 与原图形关于 Y轴对称 ； 4.横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形 与原图形关于 X轴对称 ； 三、中心对称
5.横坐标与纵坐标都乘-1，所得图形与原图 形关于 原点 中心对称。
x
原图形扩大2倍（关于原点位似）
(x,y) (2x, 2y)
四、放大缩小：
(x,y) (k x, ky) 形状不变，放大或缩小k倍；
若k>1,图形整个被放大;
若 0<k<1,图形整个被压缩。
1、将坐标作如下变化时，图形将怎样变 化？ 1. (x,y)(x,y＋4) 4. (x,y)(3x , y)
(x,y)(x-2, y )
–2 –3 –4
与左图三角形相比，右图 中的三角形发生了怎样变 化。
右图中的直角三角 形顶点的坐标发生 怎样变化。
思考与探究
• 下图表示△AOB 和它缩小后得到的 △COD，你能求出它们的相似比吗？
方法（一）：相似比是对应顶点到位似中心的距离比
方法（二）：在同一象限，相似比是对应顶点的同名坐 标比
与原图形关于y轴对称 –5
(x,y) (- x, y)
y
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 6 7 8
x
纵坐标都 乘以-1,横 坐标不变, 则图形怎 么变化？
与原图形关于x轴对称
(x,y) (x, - y)
y
5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 1 2 3 4 5
图形的运动及位置与方向
图形的运动及位置与方向在计算机科学中，图形的运动和位置是非常重要的概念，因为它们直接影响到图形的出现和行为。
在本篇文章中，我们将探讨图形的运动及其位置和方向。
什么是图形？在计算机科学中，图形是指一种二维或三维的视觉表现形式，它们由包括点、线、曲线、多边形、立方体等基本要素所组成。
在计算机图形学中，图形是由计算机程序所生成的数字化视觉图像。
这些图像可以由人眼观看，也可以被电子设备处理，例如数字摄像机和计算机。
图形的运动图形的运动指图形在二维或三维空间中沿着一个路径进行移动。
在计算机图形学中，通常使用数学函数来描述图形的运动。
二维图形的运动在二维空间中，图形可以沿X轴和Y轴进行平移、旋转和缩放的运动。
平移运动平移运动指在X轴和Y轴上平移图形。
在计算机图形学中，平移运动可以通过将每个坐标点的X和Y值分别增加或减少一个特定的量来实现。
例如，如果我们希望将一个矩形向右平移10个单位，我们可以将其每个点的X坐标值增加10。
旋转运动旋转运动可以让图形绕着某一点进行旋转。
在计算机图形学中，旋转运动可以通过将每个坐标点的X和Y值分别使用旋转矩阵计算来实现。
旋转矩阵是一个二维数学函数，可以将一个点绕某一点旋转一个特定的角度。
缩放运动缩放运动可以让图形增加或减少大小。
在计算机图形学中，缩放运动可以通过将每个坐标点的X和Y值分别乘以缩放因子来实现。
三维图形的运动在三维空间中，图形可以沿X、Y和Z轴进行平移、旋转和缩放的运动。
平移运动在三维空间中，平移运动可以将图形向任何方向移动。
在计算机图形学中，平移运动可以通过将每个坐标点的X、Y和Z值分别增加或减少一个特定的量来实现。
例如，如果我们希望将一个立方体向左移动5个单位，我们可以将其每个点的X坐标值减少5。
旋转运动旋转运动可以让图形绕着某一点进行旋转。
在计算机图形学中，旋转运动可以通过将每个坐标点的X、Y和Z值分别使用旋转矩阵计算来实现。
旋转矩阵是一个三维数学函数，可以将一个点绕某一点旋转一个特定的角度。
图形运动要注意些什么内容
图形运动要注意些什么内容图形运动是指在坐标系中，图形在一定的规律下进行移动的过程。
在进行图形运动时，我们需要注意以下内容：1. 坐标系的选择：在进行图形运动时，首先需要确定一个合适的坐标系。
坐标系的选择应根据图形的特点和运动规律进行灵活调整，以方便计算和描述图形的位置和移动。
2. 初始位置和目标位置的确定：在进行图形运动时，我们需要明确图形的初始位置和移动的目标位置。
初始位置和目标位置的确定将直接影响图形的移动方向和路径，因此应该准确地确定。
3. 运动规律的分析：在进行图形运动时，我们需要分析图形的运动规律。
例如，图形是否直线运动、旋转运动或者是复杂的曲线运动，图形的移动速度是否均匀，图形是否遵循某种数学函数的规律等。
通过分析运动规律，可以准确预测图形的位置和移动轨迹。
4. 运动轨迹的绘制：在进行图形运动时，我们可以通过绘制运动轨迹来观察和分析图形的移动情况。
运动轨迹可以通过将图形在各个时刻的位置连起来得到。
绘制运动轨迹有助于我们更直观地理解图形的移动规律。
5. 运动速度的控制：在进行图形运动时，我们可以通过控制运动速度来改变图形的移动效果。
运动速度的控制可以通过调整每个时间单位内图形移动的距离或角度来实现。
根据需要，我们可以使图形的移动速度快慢适宜，以达到预期的效果。
6. 运动过程的描述：在进行图形运动时，我们需要通过适当的方式进行运动过程的描述。
可以使用文字描述、数学公式或者图形实例等方法来准确地描述图形的位置和移动过程。
运动过程的描述有助于我们更清晰地理解图形的运动规律。
7. 运动过程的计算：在进行图形运动时，我们需要进行一定的计算。
例如，求出图形在不同时刻的位置坐标、移动的距离或角度、速度的变化等。
通过计算，我们可以得到准确的数字结果，以便更深入地研究图形的运动特性。
8. 运动效果的展示：在进行图形运动时，我们可以通过合适的工具和方法将图形的运动效果展示出来。
例如，可以使用计算机编程来实现图形的动态演示，或者使用物理模型来展示图形的实际运动。
图形运动与坐标课件
缩放运动
定义
缩放运动是指图形在某一方向上 放大或缩小一定的比例，而不改
变其形状和大小。
特点
图形在缩放过程中，其内部任意两 点间的距离会发生变化，且与缩放 的比例和方向有关。
示例
将一个圆形横向缩小为原来的1/2， 得到一个新的圆形。
04
坐标变换
坐标变换基础
坐标系转换
理解不同坐标系之间的转换关系 ，如二维平面直角坐标系与极坐
详细描述
极坐标系由一个极点和一个极轴构成。极点是极坐标系的中心，极轴是经过极点的直线。每个点P在平面上都可 以用一个实数r表示点到极点的距离，用一个角度θ表示点P与极轴之间的夹角，这对数值(r, θ)称为点P的极坐标 。
参数坐标系
总结词
参数坐标系是一种通过设定参数方程来描述点的位置的坐标系，常用于描述曲线和曲面。
特点
图形在平移过程中，其内 部任意两点间的距离保持 不变，且与移动的方向和 距离有关。
示例
将一个三角形向右平移3个 单位，得到一个新的三角 形。
旋转运动
定义
示例
旋转运动是指图形绕某一点转动一定 的角度，而不改变其形状和大小。
将一个正方形绕其中心点顺时针旋转 90度，得到一个新的正方形。
特点
图形在旋转过程中，其内部任意两点 间的距离保持不变，且与旋转的中心 点和角度有关。
实世界的环境和物体的动态变化。通过实时追踪用户的头部、手部等运
动，实现沉浸式的交互体验。
03
游戏开发
在游戏开发中，图形运动与坐标用于控制角色的动作、场景的变换以及
碰撞检测等。通过精确的坐标计算，可以实现流畅的游戏动画和交互效
果。
物理学中的应用
经典力学
北师大版八年级数学下册《图形的平移》图形的平移与旋转PPT精品课件
横坐标减4，纵坐标减4,
所以点P的对应点P′的坐标是(m-4,n-4).
(3)△ABC的面积为
3×5-1×1×5- 1×2×2- 1×3×3=6
2
2
2
例3、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-2,0)，(4,0)， 现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度， 得到A，B的对应点C，D.连接AC，BD，CD. (1)点C的坐标为______，点D的坐标为______， 四边形ABDC的面积为________;
图形的平移
学习目标
1.掌握平面直角坐标系中图形的两次平移与一次平移的转 化，以及平移引起的点的坐标的变化规律； 2.了解平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与 几何的相互转化，初步建立空间观念.
新课导入
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x,y)(x,y＋4) 2. (x,y)(x,y －2)
(1)分别写出下列各点的坐标：A′_______；B′______；C′_______;
(2)若点P(m,n)是△ABC内一点，求平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标；
(3)求△ABC的面积.
解:(1)由题图可知A′(-3,-4)，B′(0,-1)，C′(2,-3).
(2)点A(1,0)的对应点A′的坐标是(-3,-4)，
，－1)，则a，b的值为(A
)
A．a＝－2，b＝－3 C．a＝2，b＝－3
B．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝3
3．在平面直角坐标系中，点A′(2，－3)可以由点A(－2，3)通过两次平移得到 ，正确的是(D )
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
图形平移的方法与步骤图形平移与点的坐标变化之间的关系平移的两个要素
一、平移的要素是什么1.决定平移的基本要素是平移方向和平移距离。
平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
2.平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。
它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。
它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。
即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。
二、平移的要点1.原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2.平移的方向。
（东南西北，上下左右，东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3.平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）平移：1.把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。
2.平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
三、在平面直角坐标系内：1.如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；2.如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
3.在平面直角坐标系内：如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。
四、图形平移与点的坐标变化之间的关系：（1）左右平移：原图形上的点（x、y）,向右平移a个单位（x+a,y）;原图形上的点（x、y）,向左平移a个单位（xa,y）;（2）上、下平移：原图形上的点（x、y）,向上平移a个单位（x,y+b）;原图形上的点（x、y）,向下平移a个单位（x,yb）。
点的坐标与形的旋转
点的坐标与形的旋转在几何学中，点的坐标和形的旋转是两个基本概念。
点的坐标表示了点在坐标系中的位置，而形的旋转则描述了一个图形绕某一点旋转的变化过程。
本文将分别介绍点的坐标和形的旋转，并探讨它们之间的关系。
一、点的坐标点的坐标是指点在平面直角坐标系中的位置。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常称为x轴和y轴。
点的位置可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
通过坐标，我们可以明确描述点的位置关系和进行几何计算。
例如，两点之间的距离可以通过坐标差的绝对值来计算，即d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
另外，点的坐标还可以表示向量，向量的方向和大小可以通过坐标表示。
二、形的旋转形的旋转指的是图形沿着某一点旋转一定角度后的变化。
在二维空间中，旋转可以按照顺时针和逆时针的方向进行，旋转的角度可以是任意的实数。
图形的旋转可以通过变换矩阵来表示。
变换矩阵是一个二维矩阵，可以对图形的坐标进行变换，使得图形绕指定点旋转。
旋转变换矩阵可以表示为：R = |cosθ -sinθ||sinθ cosθ|其中θ表示旋转的角度。
三、点的坐标与形的旋转的关系点的坐标和形的旋转之间存在着紧密的联系。
在形的旋转过程中，围绕旋转中心点的坐标会发生改变。
假设点P(x, y)绕点O(a, b)逆时针旋转θ角后的新坐标为P'(x', y')，则有以下公式：x' = (x-a)cosθ - (y-b)sinθ + ay' = (x-a)sinθ + (y-b)cosθ + b类似地，顺时针旋转可以通过将θ取负值来表示。
通过以上公式，我们可以计算出点P在给定旋转角度下的新坐标。
这使得我们能够方便地描述图形的旋转、变换和运动。
结论点的坐标和形的旋转是几何学中的两个基本概念。
点的坐标表示了点在平面直角坐标系中的位置，形的旋转描述了图形绕某一点旋转的变化过程。
八年级下册数学第3章 图形与坐标测试题(二)
第3章图形与坐标测试题（浙江李奇）一、选择题（每小题3分，共30分）1.根据下列表述，能确定位置的是（）A. 广州白云区以北B. 万达广场3楼C. 博罗中学北偏东35°D. 东经120°，北纬30°2.在平面直角坐标系中，若点A（-m，n）在第四象限，则点B（1-n，m）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在平面直角坐标系中，下列各点在y轴上的点是（）A. （2，0 ）B. （-2，3 ）C. （0，3）D. （1，-3 ）4.小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴的正方向，图1中点A的坐标为（1，0），那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（）A．（3.2，1.3）B．（-1.9，0.7）C．（0.7，-1.9）D．（3.8，-2.6）图15. 已知点A（2，-1）和点B（m-1，3），如果直线AB∥y轴，那么m的值为（）A. 1B. -4C. -1D. 36.点P（m，-2）与点P1（-4，n）关于x轴对称，则m，n的值分别为（）A. 4，-2B. -4，2C. -4，-2D. 4，27. 有下列说法：①点（3，2）与（2，3）是同一个点；②点（0，-2）在x轴上；③点（0，0）是坐标原点；④点（-2，-6）在第三象限内.其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8. 已知直角坐标系中点P到y轴的距离为5，且点P到x轴的距离为3，则这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．49. 图2为晓莉使用微信与晓红的对话记录．根据图中两个人的对话记录，若下列有一种走法能从邮局出发走到晓莉家，此走法为（）A．向北直走700米，再向西直走100米B．向北直走100米，再向东直走700米C．向北直走300米，再向西直走400米D．向北直走400米，再向东直走300米图2 图310. 如图3，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的格点上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.请你把答案填在横线上方）11. 如果用（7，3）表示七年级三班，则（9，6）表示________.12. 在平面直角坐标系中，点P（-2，1）关于y轴对称的点P的坐标是________.13.已知点P（5a﹣7，﹣6a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则a＝．14. 图4是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为（-4，0），表示雍和宫的点的坐标为（4，6），则表示南锣鼓巷的点的坐标是.图 4 图515.在平面直角坐标系中，一个点的横、纵坐标都是整数，并且它们的乘积是4，满足条件的点共有个.16.如图5，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（-1，1），第2次运动到点（-2，0），第3次运动到点（-3，2），…… 按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P的坐标是_______.三、解答题（共52分）17.（6分）如图6，将△ABC各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标不变，请在下面的平面直角坐标系中描出对应点A′，B′，C′，并依次连接这三个点，则所得△A′B′C′与△ABC有怎样的位置关系？图618.（6分）图7是某动物园的平面示意图，请按要求回答下列问题：（1）正门北偏东30°的方向上有哪些动物景点?要想确定蝴蝶馆的位置，还需要有什么数据?（2）距正门的图上距离为1个单位长度的景点有哪些?图719. （8分）图8是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是（-2，3），实验室的位置是（1，4）．（1）根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂、图书馆的位置；（2）已知办公楼的位置是（-2，1），教学楼的位置是（2，2），在图中标出办公楼和教学楼的位置；（3）如果1个单位长度表示30米，求宿舍楼到教学楼的实际距离．20.（10分）如图9，平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积．21. （10分）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x|，纵坐标y 的绝对值表示为|y|，我们把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记为[P]，即[P]=|x|+|y|（其中“+”是四则运算中的加法），例如点P （1，2）的勾股值为[P]=|1|+|2|=3.（1）求点A （-2，4），B （32+，32-）的勾股值[A]，[B]；（2）若点M 在x 轴的上方，其横、纵坐标均为整数，且[M]=3，请求出点M 的坐标.22.（12分）如图10，一只甲虫在5×5的方格（每个小方格的边长为1）上沿着网格线运动. 它从A 处出发去看望B ，C ，D 处的其他甲虫，规定：向上、向右走均为正，向下、向左走均为负. 如果从A 到B 记为：A→B （+1，+4），从B 到A 记为：B→A （-1，-4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向.（1）图中A→D （ ， ），C→B （ ， ），B → （+3，-2）；（2）若这只甲虫从A 处去甲虫P 处的行走路线依次为（+1，+2），（+4，-1），（-2，+3），（-1，-1），请在图中标出P 的位置；（3）若这只甲虫的行走路线为A→B →C→D ，请计算该甲虫走过的路程.（4）若图中另有两个格点M ，N ，且M→A （3-a ，b -4），M→N （5-a ，b -2），则N→A 应记为什么？图10附加题（20分，不计入总分）23. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A （8，6）分别作x 轴，y 轴的平行线，交y 轴于点B ，交x 轴于点C ，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t （秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标：B ，C ；（2）当点P 运动时，用含t 的式子表示线段AP 的长；（不要求写出t 的取值范围）（3）点D （2，0），连接PD ，AD ，在（2）的条件下是否存在这样的t 值，使S △APD =18S 四边形ABOC ，若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．图11第3章图形与坐标测试题参考答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.B 7.C 8.D 9.A10.B二、11. 九年级六班12.（2，1）13.-9 14.（1，3）15.616. （-2020，0）提示：动点P第1次从原点运动到点（-1，1），第2次运动到点（-2，0），第3次运动到点（-3，2），第4次运动到点（-4，0），第5次接着运动到点（-5，1），……所以经过第2020次运动后，动点P的横坐标为-2020；纵坐标为1，0，2，0，每4个为一个循环，且2020÷4=505，所以纵坐标为0.即经过第2020次运动后，动点P的坐标是（-2020，0）.三、17.解：如图1，△A′B′C′与△ABC关于y轴对称．图118. 解：（1）观察图形知，正门北偏东30°的方向上的有蝴蝶馆、大象馆.要想确定蝴蝶馆的位置，还需知道蝴蝶馆与正门的距离.（2）距正门的图上距离为1个单位长度的景点有长颈鹿馆和猴园.19. 解：（1）建立平面直角坐标系如图2所示，食堂（-5，5），图书馆（2，5）.图2（2）如图2所示，办公楼和教学楼的位置即为所求.（3）由坐标系可知宿舍楼到教学楼的距离是8个单位长度，所以宿舍楼到教学楼的实际距离为：8×30= 240（米）．20. 解：如图3，作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F．图3则S △ADF =12×（2-1）×4=2，S 梯形DCEF =12×（3+4）×（3-2）=3.5，S △BCE =12×（5-3）×3=3. 所以S 四边形ABCD =2+3.5+3=8.5.答：四边形ABCD 的面积是8.5．21. 解：（1）由题意，[A]=|-2|+|4|=2+4=6，[B]=|32+|+|32-|=2332-++=23.（2）因为点M 在x 轴的上方，其横、纵坐标均为整数，且[M]=3，所以x=±1，y=2，或x=±2，y=1， x=0，y=3.所以点M 的坐标为（-1，2），（1，2），（-2，1），（2，1）或（0，3）.22. 解：（1）+4 +2 -2 0 D（2）点P 的位置如图4所示.图4（3）A B 记为（1，4），B C 记为（2，0），C D 记为（1，-2），则该甲虫走过的路程为1+4+2+1+2=10.（4）由M A （3-a ，b -4），M N （5-a ，b -2），所以5-a -（3-a ）=2，b -2-（b -4）=2.所以点A 向右走2格，向上走2格到N ，所以N A 记为（-2，-2）.23. 解：（1）（0，6） （8，0）（2）由题意可得AB=8，AC=6.当点P 在线段BA 上时， AP=8-2t ；当点P 在线段AC 上时，AP=2t -8．（3）如图5，当点P 在线段BA 上时，AB ÷2=4，所以t ＜4.设点D 到AP 的距离为h ，则h=AC.因为S △APD =12AP•h=12AP•AC ，S 四边形ABOC =AB•AC ，所以12•（8-2t ）×6=18×8×6，解得t=3＜4；图5 图6如图6，当点P 在线段AC 上时，4＜t ＜862+，即4＜t ＜7.因为S△APD=12AP•CD，CD=8-2=6，S四边形ABOC=AB•AC，所以12•（2t-8）×6=18×8×6，解得t=5＜7.综上所述，当t为3秒或5秒时，S△APD=18S四边形ABOC.。
图形的运动规律试题及答案
图形的运动规律试题及答案图形的运动规律是数学中一个重要的概念，它涉及到图形在空间中的平移、旋转、反射等变换。
下面我们通过一些具体的试题来探讨这一主题，并给出相应的答案。
试题一：平移规律1. 给定一个点P(3,4)，若将该点向右平移5个单位，求平移后的点P'的坐标。
2. 若将一个图形沿着x轴正方向平移3个单位，求图形上任意一点(x,y)平移后的坐标。
答案一：1. 点P向右平移5个单位后，其横坐标增加5，变为3+5=8，纵坐标不变，所以点P'的坐标为(8,4)。
2. 若图形沿着x轴正方向平移3个单位，则图形上任意一点(x,y)平移后的坐标为(x+3, y)。
试题二：旋转规律1. 给定一个点P(1,0)，若将该点绕原点O(0,0)顺时针旋转90°，求旋转后的点P'的坐标。
2. 若将一个图形绕某点A旋转θ度，求图形上任意一点(x,y)旋转后的坐标。
答案二：1. 点P(1,0)绕原点O(0,0)顺时针旋转90°后，其坐标变为(0,1)，因为顺时针旋转90°相当于交换x和y的值，然后取y的相反数。
2. 若图形绕点A(a,b)旋转θ度，则图形上任意一点(x,y)旋转后的坐标为：\[ x' = x\cos(\theta) - y\sin(\theta) + a \]\[ y' = x\sin(\theta) + y\cos(\theta) + b \]其中，\(\theta\) 是旋转角度，以弧度为单位。
试题三：反射规律1. 给定一个点P(2,3)，若将该点关于x轴反射，求反射后的点P'的坐标。
2. 若将一个图形关于y轴反射，求图形上任意一点(x,y)反射后的坐标。
答案三：1. 点P(2,3)关于x轴反射后，其横坐标不变，纵坐标取相反数，所以点P'的坐标为(2,-3)。
2. 若图形关于y轴反射，则图形上任意一点(x,y)反射后的坐标为(-x, y)。
图形运动、图形与位置教学笔记整理
图形运动、图形与位置教学笔记整理。
一、图形运动1.基础运动概念图形运动指的是图形在平面中的移动，它可以分为平移、旋转和缩放。
平移就是将图形沿水平或垂直方向移动一段距离，旋转则是以某一点为中心，将图形在平面内旋转一个角度，缩放则是将图形放大或缩小。
2.图形运动实例我们可以通过一些简单的实例来帮助学生掌握图形运动的概念。
例如，我们可以用几个相同的正方形来进行平移、旋转和缩放的操作，让学生看到图形真实的运动过程，可以使学生更加深入的理解图形运动的基本概念。
3.图形运动的性质我们需要让学生了解图形运动的一些基本性质，例如平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置；旋转不改变图形大小，改变图形的方向；缩放既可以放大图形也可以缩小图形。
4.如何描述图形运动在讲解图形运动的时候，需要让学生了解如何用语言来描述运动的过程，例如平移可以用“向右移动2个单位”或“向上移动3个单位”来描述；旋转可以用“以点A为中心旋转45度”或“以A为中心旋转270度”来描述；缩放可以用“放大2倍”或“缩小1/3”来描述。
5.应用在实际教学中，我们可以通过一些实际的例子来帮助学生掌握图形运动的应用。
例如，让学生设计一个简单的游戏，游戏中需要将图形进行平移、旋转和缩放的操作，让学生在游戏的过程中更加深入地理解图形运动的应用。
二、图形位置1.坐标系的基本概念在教授图形位置时，首先需要让学生了解坐标系的基本概念，包括横坐标和纵坐标的定义，以及基于坐标系来描述图形的位置和运动。
2.坐标系的实例我们可以通过在黑板上画出坐标系的实例来帮助学生更好地理解坐标系的概念。
让学生自己画一张坐标系也可以帮助学生更加深入地理解坐标系。
3.图形位置的描述方法我们需要让学生了解如何用坐标系来描述图形的位置和运动。
例如，我们可以用点的坐标表示图形的位置，也可以用向量来描述图形的位移，让学生了解不同的描述方法，从而更好地理解图形的位置和运动。
4.坐标系的转换在实际教学中，我们还需要让学生了解坐标系的转换方法，例平移、旋转和缩小。
专题07 平面直角坐标系单元的基础与达标(原卷版)
一、图形的位置与坐标（1）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标。
（2）在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置。
（3）对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标表达简单图形。
（4）在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
二、图形的运动与坐标（1）在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。
（2）在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系。
（3）在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
考点1：认识平面直角坐标系1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
考点2：平面直角坐标系中坐标的规律1.平面直角坐标系中各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0。
2.平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标>0，纵坐标=0；②x轴负半轴上的点：横坐标<0，纵坐标=0；③y轴正半轴上的点：横坐标=0，纵坐标>0；④y轴负半轴上的点：横坐标=0，纵坐标<0；⑤坐标原点：横坐标=0，纵坐标=0。
图形的运动ppt课件
旋转运动的实例分析
定义
旋转运动是指图形绕某一固定点旋转一定的角度，不改变图形的 形状和大小。
实例
在平面直角坐标系中，将点A(1,0)绕原点O逆时针旋转90度，得 到点B(-1,1)。
分析
旋转运动只改变了图形的方向，而不改变其形状和大小。旋转后 ，图形的对应点之间的距离保持不变。
缩放运动的实例分析
图形运动的变换矩阵
图形运动的变换矩阵是指描述图形在空间中位置、方向和 大小的矩阵。在计算机图形学中，变换矩阵通常用于表示 图形的平移、旋转和缩放等操作。常见的变换矩阵包括平 移矩阵、旋转矩阵和缩放矩阵等。
平移矩阵是指用于描述图形的平移操作的矩阵。平移矩阵 的元素值表示了平移的方向和距离，例如向右平移a个单 位，向上平移b个单位等。平移矩阵可以通过矩阵乘法来 实现平移操作。
相交性
总结词
图形运动中，相交性是指图形中两条直线交叉或相交的关系。
详细描述
在图形运动中，如果两条直线在某一点相遇或交叉，那么这两条直线的方向向量在这个点上是共线的。相交性是 图形运动的基本性质之一，它在研究图形的交点和几何形状的构造时起到重要的作用。相交性适用于旋转、平移 、缩放等基本变换。
相似性
图形运动的研究对象与方法
研究对象
图形运动的研究对象主要是图形在变换下的特性、变换的规律以及与图形运动 相关的各种参数等。
研究方法
图形运动的研究方法包括几何法、代数法、解析法等，其中代数法是常用的研 究方法之一。
图形运动的应用领域
计算机图形学
在计算机图形学中，图形运动 被广泛应用于动画、虚拟现实
、游戏等领域。
倾斜运动的实例分析
定义
倾斜运动是指图形绕某一固定轴旋转一定的角度，同时沿轴方向 移动一定的距离，不改变图形的形状和大小。
二维坐标系的基本概念
二维坐标系的基本概念在数学和物理学中，二维坐标系是一种常见的测量和描述空间中位置的方式。
它由两条互相垂直的线所组成，通常被称为X轴和Y轴，它们的交点被称为原点，并且作为所有坐标的起点。
一、坐标系的构成二维坐标系由X轴和Y轴构成，这两条轴的方向是垂直的。
X轴是横向的，从左到右表示正方向；Y轴是纵向的，从下到上表示正方向。
原点（0,0）是X轴和Y轴的交点，也是二维坐标系的起点。
通过在X轴和Y轴上以不同单位进行正负的测量，我们可以确定平面上任何一个点的位置。
二、坐标的表示方式在二维坐标系中，每个点都可以用一对有序数对来表示，这个有序数对被称为坐标。
一般来说，横坐标X先写，纵坐标Y后写。
例如，点A的坐标是（2，3），表示A点在X轴上的坐标为2，在Y轴上的坐标为3。
同样地，点B的坐标为（-1，5）。
正数表示点在轴上正方向上的位置，负数则表示点在轴上负方向上的位置。
三、实际应用二维坐标系在很多领域中有着广泛的应用。
在几何学中，我们可以使用二维坐标系来描述和计算图形的形状、大小和位置。
在物理学中，我们可以使用二维坐标系来描述物体在平面上的运动轨迹。
在计算机图形学中，二维坐标系被用于显示和定位像素和图像。
四、坐标系的扩展除了一般的笛卡尔坐标系，还有极坐标系等其他形式的二维坐标系。
极坐标系使用角度和半径两个参数来描述一个点的位置。
这种坐标系主要用于描述圆形和其他曲线形状。
五、总结二维坐标系是描述和测量平面上点位置的常用工具。
它由X轴和Y轴构成，通过坐标的表示方式，我们可以准确地标记平面上的每一个点。
二维坐标系在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
除了一般的笛卡尔坐标系，极坐标系等其他形式的坐标系也被用于特殊情况的描述。
通过掌握二维坐标系的基本概念，我们可以更好地理解和应用几何学和物理学中的相关知识。
二维坐标系的概念与使用
二维坐标系的概念与使用一、引言二维坐标系是数学中一种常用的表示平面上点位置的工具，在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍二维坐标系的概念及其使用。
二、二维坐标系的概念1. 定义：二维坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成的平面。
一般来说，横轴称为x轴，纵轴称为y轴，它们的交点称为坐标原点。
2. 笛卡尔坐标系：最常见的二维坐标系是笛卡尔坐标系，它是以法国数学家笛卡尔的名字命名的。
在笛卡尔坐标系中，x轴和y轴上的点都可以用实数表示，而坐标原点的坐标为(0, 0)。
3. 极坐标系：另一种常见的二维坐标系是极坐标系。
在极坐标系中，每个点由距离和角度两个参数唯一确定。
距离表示点到原点的距离，角度表示从正半轴逆时针旋转的角度。
三、二维坐标系的使用1. 表示点的位置：在二维坐标系中，每个点都可以由其坐标唯一确定。
例如，(2, 3)表示的是横坐标为2，纵坐标为3的点P。
点的位置可以用于几何图形的表示、数据的分析等。
2. 计算距离：利用二维坐标系的距离公式，我们可以计算两点之间的距离。
例如，点P(2, 3)和点Q(5, 7)之间的距离可以通过勾股定理计算得出：√[(5-2)² + (7-3)²] = √(9+16) = √25 = 5。
3. 描述直线和曲线：利用二维坐标系，我们可以准确地描述直线和曲线的路径。
直线可以通过两点确定，曲线可以通过一系列连续的点表示。
这对于数学、物理等领域中的曲线研究非常重要。
四、应用领域1. 几何学：二维坐标系在几何学中被广泛应用，用于图形的表示、图形的平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学：在物理学中，二维坐标系用于描述物体的位置、速度、加速度等。
例如，抛体运动中的轨迹可以用二维坐标系表示。
3. 经济学：经济学中的供求图、货币市场分析等也都需要用到二维坐标系，以便更直观地表示数据和分析规律。
4. 计算机图形学：在计算机图形学中，二维坐标系被广泛应用于图形的显示和处理，例如计算机屏幕上的图像就是通过二维坐标系来表示的。
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图中鱼的坐标为： (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0) 将左图中的各点 做如下变化： 纵坐标不变, 横 坐标分别变为原 来的2倍,所得的 新图案与原来的 图案相比有什么 变化？
原图形横向拉伸2倍
y
5
4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5
3
y
2
1 x –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6
将图中各个 点的坐标乘 以-2与原图 相比，所得 的图案有什 么变化.
y
5
4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5
1.请你将图中
三角形绕原点 顺时针旋转
练习：在直角坐标系中，图案“A”各点的坐标 为（0，0），（0，4），（3，2），（2，4）， （1，2），将图案“A”做如下5种变化： （1）纵坐标保持不变，横坐标分别加3； （2）横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1； （3）横、纵坐标分别变为原来的2倍； （4）将图案绕原点顺时针旋转90°； （5）横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的 2倍.
将左图中的各点
做如下变化：
横坐标不变, 纵
坐标分别变为原 x
来的2倍,所得的
新图案与原来的 图案相比有什么 变化？ 原图形纵向拉伸2倍
探究三：
2、左图中鱼 的坐标为： (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1)(3,0) (4,-2) (0,0) 如果纵、横坐标变 成原来的 2倍，所 得图案与原图案相 比有什么变化? （x,y)→(2x,2y)
纵、横坐标都乘以2，则图形放大为原来的4倍.
y
8
纵坐标
6 4 2 0 –2 –4 乘a –6 1 2 3 4 5
横坐标
6 7 8 9
乘a
1 乘 a
图形上的点 的坐标如何 图形的变化 变化，才能 （a为正整数） 使图形整体 10 x 放大或缩小？ 整体放大为
原图的a 倍
2
1 乘 a
–8
整体缩小为
2
1 原图的 倍 a
x
900 2.请你将图中
三角形绕原点
逆时针旋转
900
y
5
4 3 2 1 –5 –1 2 3 4 5
3.请你将图中
紫色三角形绕 原点逆时针旋
x
转900
探究三：
图形的旋转与坐标：
①将一个图形绕坐标原点旋转180°
将一个图形绕坐标原点旋转180°后，各对应点的 横、纵坐标都变为原来的相反数. ②将一个图形绕坐标原点旋转90° 将一个图形绕坐标原点旋转90°后，先将各对应 点的横、纵坐标交换位置，再根据旋转后各对应点所 在的象限确定横、纵坐标的符号.