自动控制原理_第5章_1

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三种数学模型的“三角”关系
传递函数 G ( s)
s j
频率特性 G ( j )
L
F
L
1
F
单位脉 冲响应
1
k (t )
20
[例5-1] 设单位反馈系统的方块图如下，
R( s )
-
E (s)
100 s (0.1s 1)
Y ( s)
若输入信号 r (t ) sin 5t ，试求系统的稳态误差。
Y G ( j ) ，是频率 的函数； A
G( j ) ，也是频率 的函数。
yss (t ) 的相位与输入信号的相位之差为
9
5.2.2 频率特性（频率响应）
根据前面的分析可知： 复变量 G ( j ) 可以反映
系统（元件）在不同频率正弦信号作用下，输出信号
的稳态分量与输入信号之间的关系。
j
G ( j ) G ( s ) s j
17
7
频率特性实际上是系统单位脉冲响应的富里叶 变换。
单位脉 冲信号
r (t ) (t )
G ( s)
y (t ) k (t )
jt
单位脉 冲响应
K ( j ) G( j ) ( j )




的函数；
12
3
线性定常系统在频率为 的正弦信号作用下，
频率特性反映了输出信号稳态分量和输入信号 的关系：
G( j)
输出稳态分量的幅值
输入信号的幅值
G( j ) 输出稳态分量的相角-输入信号的相角
频率特性也可以按照上述两式进行实际测定，
这就提供了用实验测试频率特性的方法。
13
4
在频率特性中， 所用的频率均为角频率 ， rad/s 或 1/s 。 其单位是：

令
信号的拉氏变换如下：
s j
L y(t )


y(t )est dt Y (s)
L r (t ) r (t )est dt R( s)

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所以，可通过传递函数直接写出频率特性：
Y (s) G(s) R( s)
令s
输出信号 拉氏变换 输入信号 拉氏变换
0
-50
-100
-150 0
-90
-180
-270
10
0
10
1
10
2
10
3
30
10
4
Frequency (rad/sec)
3
对数幅相特性图——Nichols图
Nichols图采用直角坐标系。
纵坐标表示对数幅频特性—— 20lg G( j) ，
单位：分贝（dB）；
横坐标表示相频特性—— G ( j ) ， 单位：度或弧度。
如果需要画出 从 0 时的频率特性， 只需将 从 0 时的曲线 G ( j ) 以实轴为对 称轴翻折， 画出其对称曲线 G( j ) 即可。
理由
G ( j )
共轭
G( j )
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当频率特性 G ( j ) 乘以一个常数 K 时， 频率特性
KG ( j ) 只是原曲线上各点的模都增大为原来的
其中 N (s) sn an1s n1 a1s a0
(s s1 )(s s2 )(s sn )
M (s) bm sm bm1sm1 b1s b0
6
系统的输入信号为
r (t ) A sin t
对于稳定的系统 G ( s ) 而言， 可以导出输出信号
5
在频率特性中， 一般讨论的频率范围是：
(0, )
则有 如果 (,0) ，
G( j) G( j)
G( j ) G( j )
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或者
Re G( j ) Re G( j ) Im G( j ) Im G( j )
6 频率特性的另一种定义： 频率特性是输出信号 的富里叶变换与输入信号的富里叶变换之比。
21
5.2.3 频率特性的几种形式
频率特性 G ( j ) 是一个复变量， 它是 的函数。 对应 的某一个值，G ( j ) 是复平面上的一个点； 当 连续变化时，G ( j ) 是复平面上的一条曲线。
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频率特性有以下几种表达形式 1
极坐标形式的频率特性——Nyquist图
G( j) G( j) cos G( j) j sin G( j)
并且由 G ( j ) 可直接求出输出信号 y(t ) 的稳态
分量 yss (t ) Y sin t 其中
Y A G( j)
arg G( j ) G( j )
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频率特性的定义 定义G ( j ) 为线性系统（或元件）的频率特性， 又称为频率响应。
G ( j ) G ( s ) s j
第五章
5.1 引言
正弦信号
频率法
线性控 制系统
正弦信号
正弦信号具有无穷阶的导数；
正弦信号包含了位置、速度和加速度等各种作用；
控制系统中的各个信号均可分解为许多不同频率的 正弦信号。 1
控制系统对不同频率正弦信号的响应可以全面 地反映系统的各种性质。 频率法是控制理论中的一项非常重要的基本内 容。
2
Y ( j ) F y(t ) G ( j ) R( j ) F r (t )
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其中信号的富氏变换如下：
F y(t )


y(t )e jt dt Y ( j )
jt
F r (t ) r (t )e dt R( j )
K 倍， 而每一个点的辐角不变。
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2
对数频率特性图——Bode图
横坐标为角频率 （1）把幅频特性与相频特性分开画，
，纵坐标分别为频率特性的幅值和相角，画出
两条曲线。
（2）横坐标按照 的常用对数
lg 来划分刻度。
在横轴上， 每10个频程之间的距离为1个长度单位， 称为10倍频程（dec）。
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（3）在幅频特性图中， 纵坐标用
L() 20lg G( j)
单位：分贝（dB）， 因此也叫做对数幅频特性。
（4）在相频特性图中，纵坐标是角度 G ( j ) 本身， 一般使用角度制，也可以用弧度制。
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（5）对数频率特性一般画在半对数坐标纸上。
Bode Diagram
50
Magnitude (dB) Phase (deg)
31
Nichols图举例
20lg G /dB
30 20 10
-180 0
-90 0
0 0 -10 -20
90 0
G /deg


-30
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本次课内容总结
频率特性的基本概念
频率特性的基本性质
频率特性的几种表达形式
Nyquist图 Bode图 Nichols图
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yss (t ) 的幅值是输入信号幅值的 G( j) 倍；
yss (t ) 的相位与输入信号的相位差为 G ( j ) 。
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这个结论的另一种说法 对于一个稳定的线性系统而言， 在正弦信号的 作用下， 其稳态输出信号 yss (t ) 是和输入信号同频 率的正弦信号。
yss (t ) 的幅值 Y 与输入信号的幅值 A 之比为
频率法的优点 频率法所用的数学模型是“频率特性”，它具有 明显的物理意义； 对于难以机理建模的系统或元件，可以用实验的 方法测出它的数学模型——频率特性。具有较大 的工程实用价值； 频率特性的计算简单，运算量较小，辅以作图 就可以完成分析与综合工作； 频率法的设计已有完整的软件。
3
频率法的缺点 频率法只适用于线性定常系统； 频率法在简化运算的过程中应用了很多近似公式， 所得到的设计结果不是十分准确，常常需要通过 调试或仿真作适当的调整。
G( j) e
jG ( j )
当 从 0 时，G ( j ) 在复平面上的轨迹 称为Nyquist图。
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[例5-2]
设系统的传递函数为
1 G(s) Ts 1
画出Nyquist图形式的频率特性。
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Im
0
0.5
1

450Байду номын сангаас
0
Re

1 T
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说明
G( j) cos G( j) j sin G( j)
G( j) e
jG ( j )
复数的Euler公式
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频率特性的性质
1
频率特性是描述线性定常系统的一种数学模型， 只有线性定常系统才有频率特性；
2
频率特性 G ( j ) 是一个复变量，它的幅值（模）
G( j) 和辐角（相角）G ( j ) 都是频率
k (t )e dt

(t )e dt
jt



k (t )e jt dt 1
k (t )e jt dt

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结论
上述第7条性质提供了测试频率特性的另一种方法。 给系统或元件输入一个单位脉冲信号（或近似单位 脉冲信号），记录系统（或元件）的脉冲响应序列， 对该响应序列作富里叶变换，即得频率特性。
4
5.2 频率特性
5.2.1 正弦信号作用下的稳态输出
研究系统在正弦输入信号作用下，其输出信号与 输入信号之间的关系。
G ( s)
r (t )
y(t )
Y (s) G(s) R( s)
5
传递函数 G ( s ) 可以写成分式有理函数的形式：