2.2.1_双曲线及其标准方程(第一课时)

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2.2.1双曲线及其标准方程(1)

F2( c , 0 ) X
问题
我们已经知道，我们已经知道，与两定点的距离的为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？是怎样的曲线呢？
试验
思考? 类比椭圆的定义,你能给出双曲思考? 类比椭圆的定义你能给出双曲
y M
2. 设点设 M （ x,y ）是双 O F2 x F1 曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c(c>0) ，那么，那么，. 焦点F 的坐标分别是(－焦点 1、F2的坐标分别是－ c,0)、(c,0).又设与F1、F2的距离的差的绝又设M与、又设对值等于常数2a.由定义可知由定义可知，对值等于常数由定义可知，双曲线就是集合
线的定义吗? 线的定义吗
双曲线的定义
我们把平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数（距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2 ）的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 的点的轨迹叫做双曲线
M
说明
①常数小于 F1 F2 ； ②这两个定点叫做双曲线的焦点；这两个定点叫做双曲线的焦点；焦点
双曲线及其标准方程 (第一课时)
y
M
F 1
o
F 2
x
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复习
椭圆的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣ F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
Y
M (x, y)
F1 (− c , 0 )
O
2.类比椭圆标准方程的建立过程你能建类比椭圆标准方程的建立过程,你能建类比椭圆标准方程的建立过程立双曲线的标准方程吗? 立双曲线的标准方程吗

2.2.1 双曲线及其标准方程(1)

m 1或m 2
m 1 0 3 1 m 2且m 2 m 0 解： 2 m 1 2 m 2 2 x y 若m R, 方程 1表示哪种曲线. m 1 2 m
若此方程表示椭圆，m 的取值范围？
练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及a: 2 2 x y (0,-5),(0,5) =1 (1) 9 a=3 16
x2 y 2 1 所求双曲线的方程为： 9 16
例题分析
1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 、的距 1 F 2 P 离之差的绝对值为6，求点的轨迹方程 . 所求轨迹的方程为：
x y 1 9 16
x2 y 2 1( x 0) 9 16
(2)
2 x -
3
2 y =
3
(-2,0),(2,0) a= 3
例题分析
例1. 已知 F1 (5, 0), F2 (5, 0) , 动点 P 到 F 1、F2 的距离之差的绝对值为6，求点 P 的轨迹方程. 解：由双曲线的定义知点 P 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b 2c=10 a 3 由已知 , , b 2 c 2 a 2 25 9 16 2a=6 c 5
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
练一练:
x2 y2 1 表示双曲线，已知方程 m 1 2 m
则 m 的取值范围是____________. 解： ( m 1)(2 m) 0

双曲线及其标准方程教案

2.2.1双曲线的标准方程（1）【教学目标】: 1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教具】：多媒体、实物投影仪【教法学法】（一）教学方法引导探索、发现法（二）学习方法自主探索、合作交流．（三）教学手段多媒体辅助教学．【教学过程】一.情境设置(1)图片展示、引入课题 (2)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？教师指出：为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：椭圆上动点M 满足：a MF MF 221=+(a >0)引导一：若将上式改为a MF MF 221=-(a >0)，动点M 的轨迹是怎样的曲线呢？ [解决方法]课件演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：集合｝，＝｛ a a MF MF M P 02211>-=的动点M 的轨迹.若将上述集合改为｝，＝｛ a a MF MF M P 02122>-= ，比较两集合的关系，取a FF 21=，同理可画出此时动点M 的轨迹(图2).观察、比较，归纳：上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支. 其中右边一支满足：21MF MF > ，左边一支满足：21MF MF <引导二：（1）在纸板上作图说明了什么？（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M 应满足什么条件？（3）常数2a 与21F F 有什么关系？教师引导学生观察、分析，并归纳结论：（1）平面内（2）动点M 与两个定点F 1 ， F 2的差的绝对值等于常数. （3）2120F F a <<并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：平面内与两个定点21F F 、的差的绝对值等于常数(小于21F F )的点的轨迹叫做双曲线. 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.引导三：如果改变常数a 2的范围（2a =21F F ，2a =0， 2a ＞21F F ），动点的轨迹会发生什么变化呢？[解决方法]教师让学生相互讨论，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：常数2 a 动点M 的轨迹 (1) a MF MF 221±=- (0＜2a ＜21F F ) 双曲线 (2) 21212F F a ＝MF MF =- 线段F 1 F 2的延长线上以F 2为端点的一条射线21122F F a ＝MF MF =- 段F 2F 1的延长线上以F 1为端点的一条射线(3) 2 a = 0 段F 1 F 2的中垂线 (4) 212F F a > (违背了三角形三边长的关系) 不存在（三）类比探究建立方程引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？第一步建系：建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点21F F 、，并且点O 与线段21F F 的中点重合.（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）第二步设点：设),(y x M 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为)0(2>c c ，那么，焦点21F F 、的坐标分别是(0,c -)、(0,c ).又设点M 与21F F 、的距离的差的绝对值等于常数2 a.第三步写点集：根据定义写出M 点的轨迹构成的点集：P = { M | |MF 1 | — |MF 2 | =± 2 a }第四步列方程：用坐标法表示条件P （M ），列出方f(x ，y)=0，即：a y c x y c x 2)()(2222±=+--++ ①第五步化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式.将方程①化简，得)(2)(2222222a c y a x a c -=-- ②由双曲线的定义可知，a c 22>，即a c >，所以022>-a c .令222b a c =-，其中0>b ，代入上式，得222222b a y a x b =- 两边除以22b a ，得出：图3对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x 轴上的标准方程，焦点是： F 1 (0,c -)、F 2 (0,c )，焦距c 2.注意：区别双曲线和椭圆的标准方程中c b a ,,的关系：双曲线：222b a c +=（0,0>>b a ，没有确定的大小关系与b a ）椭圆：222ba c －=（0>>b a ）引导五：焦点在y 轴上，并且点O 与线段21F F 的中点重合，c b a ,,的意义同上，双曲线的方程又如何呢？图4[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的焦点在y 轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 x 、y 互换，即：引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点?（2）22,y x 项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？[解决方法] 由学生小组交流，教师对学生的回答进行必要的点评，一定要让学生对上述问题的解答都有明确的认识.并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴).(四) 实践探索形成能力1 例题剖析，初步应用例1 已知双曲线两焦点的坐标为)0,5(),0,5(21F F -，双曲线上一点P 到1F 、2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.[解决方法] 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用.教学中紧扣定义和标准方程的知识.由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，板书规范的解题步骤.并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一：待定系数法.变式1．已知双曲线的焦点为F 1(0,-5), F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1、 F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式2．已知|12F F |＝10, 126PFPF -=，求点Ｐ轨迹的标准方程. （五）知识小结，纳入系统1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。

双曲线及其标准方程(第一课时)

【自学导引】1．我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程有两种情形．(1)焦点在x 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，焦点F 1 (－c ，0)、F 2 (c ，0)，这里有c 2＝a 2＋b 2．(2)焦点在y 轴上，标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，焦点F 1 (0，－c )、F 2 (0，c )，这里有c 2＝a 2＋b 2．【思考导学】1．双曲线的定义应注意差的绝对值和2a <|F 1F 2|．2．在双曲线的定义中，P 为动点．(1)若|PF 1|－|PF 2|＝2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线．(2)若|PF 1|－|PF 2|＝－2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线．(3)若|F 1F 2|＝2a 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线．(4)若|F 1F 2|<2a 时，动点的轨迹不存在．3．判定双曲线的焦点在哪条轴上，不像椭圆比较x 2、y 2的分母的大小而是看x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上．【典例剖析】［例1］已知双曲线的一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y -＝1(a ＞0，b ＞0) ∵2a ＝24，c ＝13，∴a ＝12，c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝132－122＝25．所以所求双曲线的标准方程为2514422x y -＝1．点评：本例是运用待定系数法求双曲线的标准方程，即：求双曲线的标准方程就是求a 、b 的值．同时还考查了如何判断焦点所在的坐标轴及a 、b 、c 间的关系：c 2＝a 2＋b 2．［例2］在△MNG 中，已知NG ＝4．当动点M 满足条件sin G －sin N ＝21sin M 时，求动点M 的轨迹方程．解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．∵sin G －sin N ＝21sin M∴由正弦定理，得|MN |－|MG |＝21×4∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)∴2c ＝4，2a ＝2，即c ＝2，a ＝1∴b 2＝c 2－a 2＝3．∴动点M 的轨迹方程为x 2－32y ＝1(x ＞0，且y ≠0)点评：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支并且去掉一个点．这种情况一般在求得方程的后面给以说明，并把说明的内容加上括号．［例3］已知双曲线的两个焦点坐标为F 1(－2，－2)、F 2(2，2)，双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于22，求双曲线的方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )∵|PF 1|＝22)2()2(+++y x ，|PF 2|＝22)2()2(-+-y x ，|PF 1|－|PF 2|＝±22， ∴22)2()2(+++y x －22)2()2(-+-y x ＝±22．将这个方程移项后，两边平方，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2 ＝8±4222)2()2(-+-y x ＋(x －2)2＋(y －2)2，x ＋y －2＝±22)2()2(-+-y x ，两边再平方，得x 2＋y 2＋2＋2xy －22x －22y ＝x 2－22x ＋2＋y 2－22y ＋2，整理得xy ＝1为所求曲线的方程．点评：在初中我们知道函数y ＝x 1的图象是双曲线，为什么是双曲线并不清楚．通过本例知道y ＝x 1的图象满足双曲线的定义，因此它是双曲线．由于本例中的双曲线的焦点F 1(－2，－2)、F 2(2，2)不在坐标轴上，所以求得的双曲线方程不是标准方程．【随堂训练】1．在双曲线标准方程中，已知a ＝6，b ＝8，则其方程是( )A ．643622y x -＝1B ．366422y x -＝1C ．643622x y -＝1D ．643622y x -＝1或643622x y -＝1解析：∵双曲线的标准方程是2222b y a x -＝1或2222b x a y -＝1 ∴双曲线的方程是1643622=-y x 或643622x y -＝1．答案：D2．已知方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1解析：∵方程k y k x --+1122＝1表示双曲线，∴(1＋k )(1－k )＞0∴－1＜k ＜1．答案：A3．双曲线k y m x --+112222＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关解析：c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋12＋(4－m 2)＝16，c ＝4，焦距2c ＝8．答案：C4．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4答案：A5．k ＞9是方程4922-+-k y k x ＝1表示双曲线的________条件．解析：当k ＞9时，9－k ＜0，k －4＞0．方程表示双曲线．当k ＜4时，9－k ＞0，k －4＜0．方程也表示双曲线．∴k ＞9是方程4922-+-k y kx ＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要6．已知双曲线16922y x -＝1上的一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，则||PF 1|－|PF 2||＝6．设|PF 2|＝3，由3＜5知P 在右支上．∴|PF 1|＝6＋3＝9．答案：9【强化训练】1．已知点F 1(－4，0)、F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2的距离之差为6，则曲线的方程为( )A ．7922y x -＝1(x ＞0) B ．7922y x -＝1 C ．7922x y -＝1(y ＞0) D ．7922x y -＝1 解析：∵c ＝4，a ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝7．∴P 点的坐标应满足方程7922y x -＝1．∵|PF 1|－|PF 2|＝6．∴P 点的横坐标应大于0．答案：A2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn ＜0，则方程的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：把方程mx 2－my 2＝n 写成标准方程m ny mn x 22-＝1 ∵mn ＜0，∴m n ＜0，－m n＞0．∴方程表示焦点在y 轴上的双曲线．答案：D3．双曲线91622y x -＝1上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(－5，0)的距离是( ) A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23解析：∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝25∴点(5，0)、(－5，0)是双曲线的焦点F 2、F 1．∵|PF 2|＝15，∴|PF 1|＝±8＋15即|PF 1|＝23或|PF 1|＝7．答案：D4．已知双曲线的方程为2222b y a x -＝1，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析：∵A 、B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m ．答案：B5．F 1、F 2是双曲线16922y x -＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32．则∠F 1PF 2＝_________解析：设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝r 12＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝21221221242)(r r c r r r r -+-＝641006436-+＝0∴α＝90°答案：90°6．已知双曲线42x －y 2＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°．则△F 1PF 2的面积是________．解析：设P 为左支上的点，F 1为左焦点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2．则②－①2得r 1r 2＝2∴21PF F S ∆＝21r 1r 2＝1．答案：17．双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距是6，求k 的值．解：把双曲线的方程写成标准形式，ky k x 222-＝1．当k ＞0时，a 2＝2k ，b 2＝k ，由题知2k＋k ＝9即k ＝6．当k ＜0时，a 2＝－k ，b 2＝－2k ，－k －2k＝9即k ＝－6综上所述k ＝±6为所求．8．已知定点A (3，0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )∵圆C 与圆P 外切且过点A ，∴|PC |－|PA |＝4∵|AC |＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点，2a ＝4的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5．∴5422y x -＝1(x ＞0)为动圆圆心P 的轨迹方程．9．过双曲线2514422y x -＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解：∵双曲线方程为2514422y x -＝1 ∴c ＝25144+＝13，于是焦点F 1(－13，0)、F 2(13，0)，设过点F 1的垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)． ∴144251144132522=-=y ，∴y ＝1225，即|AF 1|＝1225 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋1225＝12313故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为1225或12313．【学后反思】1．如果双曲线的焦点在坐标轴上，并且关于原点对称，那么双曲线的方程是标准的，否则是不标准的．求双曲线的标准方程就是求a 、b ，并且判断焦点所在的坐标轴．a 、b 、c 之间的关系是a 2＋b 2＝c 2．2．当P 满足0＜|PF 1|－|PF 2|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0＜|PF 2|－|PF 1|＜|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|．3．已知|PF 1|求|PF 2|可以利用|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．已知∠F 1PF 2时，往往利用余弦定理，并且对|PF 1|－|PF 2|＝±2a 进行平方．。

2.2.1双曲线及其标准方程高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

2.1 双曲线及其标准方程1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( )A.x 24-y 2=1B.x 23−y 22=1 C.x 2-y 24=1D.x 22−y 23=13.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( )A.32B.5C.7D.124.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.75.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( )A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上7.以椭圆x 2+y 2=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 .8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 29−y 216=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 216−y 29=1B.x 216−y 29=1(x ≥4)C.x 29−y 216=1 D.x 29−y 216=1(x ≥3)12.动圆与圆x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆D.双曲线13.若双曲线x 2n -y 2=1(n>1)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF 2|=2√n +2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.1B.12C.2D.414.已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,则|PF 2|=( ) A.3B.6C.9D.1215.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 .16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2. (1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.1.双曲线方程为x 2-2y 2=1,则它的右焦点坐标为( )A.√22,0 B.√62,0C.√52,0D.(√3,0)答案B解析将双曲线方程化为标准方程为x 2-y 212=1,∴a 2=1,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3,∴c=√6,故右焦点坐标为√62,0.2.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,若|PF 1|-|PF 2|=b ,且双曲线的焦距为2√5,则该双曲线的方程为( ) A.x 2-y 2=1 B.x 2−y 2=1 C.x 2-y 2=1 D.x 2−y 2=1答案C解析由题意得{|PF 1|-|PF 2|=2a =b ,c 2=a 2+b 2,2c =2√5,解得{a 2=1,b 2=4,则该双曲线的方程为x 2-y 24=1.3.已知双曲线x 2λ-3+y 22-λ=1,焦点在y 轴上,若焦距为4,则λ等于( ) A.32 B.5 C.7D.12答案D解析根据题意可知,双曲线的标准方程为y 22-λ−x 23-λ=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c 2=2-λ+3-λ=4,解得λ=12.4.已知双曲线x 24−y 25=1上一点P 到左焦点F 1的距离为10,则PF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为( ) A.3或7 B.6或14C.3D.7答案A解析连接ON ,ON 是△PF 1F 2的中位线,∴|ON|=12|PF 2|,∵||PF 1|-|PF 2||=4,|PF 1|=10, ∴|PF 2|=14或|PF 2|=6, ∴|ON|=7或|ON|=3.5.如图,已知双曲线的方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),点A ,B 均在双曲线的右支上,线段AB 经过双曲线的右焦点F 2,|AB|=m ,F 1为双曲线的左焦点,则△ABF 1的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2mC.a+mD.2a+4m答案B解析由双曲线的定义,知|AF 1|-|AF 2|=2a ,|BF 1|-|BF 2|=2a.又|AF 2|+|BF 2|=|AB|,所以△ABF 1的周长为|AF 1|+|BF 1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x 2+y 2=1及圆x 2+y 2-8x+12=0都外切的圆P 的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上答案D解析由x 2+y 2-8x+12=0, 得(x-4)2+y 2=4,画出圆x 2+y 2=1与(x-4)2+y 2=4的图象如图, 设圆P 的半径为r ,∵圆P 与圆O 和圆M 都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P 在以O ,M 为焦点的双曲线的左支上.7.以椭圆x 23+y 24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是 . 答案y 2-x 23=1解析由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为y 2a2−x 2b2=1,则a=1,c=2,所以b 2=3,所以双曲线的标准方程为y 2-x 2=1.8.已知点F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点,若点P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 . 答案16解析因为P 是双曲线左支上的点, 所以|PF 2|-|PF 1|=6,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36,所以|PF 1|2+|PF 2|2=36+2|PF 1|·|PF 2|=36+2×32=100. 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|=100-1002|PF 1|·|PF 2|=0,所以∠F 1PF 2=90°,所以S △F 1PF 2=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.9.已知与双曲线x 216−y 29=1共焦点的双曲线过点P -√52,-√6,求该双曲线的标准方程.解已知双曲线x 216−y 29=1, 则c 2=16+9=25,∴c=5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0).依题意知b 2=25-a 2,故所求双曲线方程可写为x 2a 2−y 225-a 2=1.∵点P -√52,-√6在所求双曲线上, ∴代入有(-√52) 2a 2−(-√6)225-a 2=1,化简得4a 4-129a 2+125=0, 解得a 2=1或a 2=1254. 当a 2=1254时,b 2=25-a 2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去,∴a 2=1,b 2=24,∴所求双曲线的标准方程为x 2-y 224=1.能力达标10.“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为mn<0,所以m ,n 均不为0且异号,方程mx 2+ny 2=1,可化为x 21m+y 21n=1,因为1m 与1n异号,所以方程x 21m+y 21n=1表示双曲线,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx 2+ny 2=1表示双曲线,则其方程可化为x 21m+y 21n=1,可知1m 与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx 2+ny 2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx 2+ny 2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A (-5,0),B (5,0),动点M 满足|MA|-|MB|=6,则点M 的轨迹方程是( ) A.x 2−y 2=1B.x 2−y 2=1(x ≥4)C.x 29−y216=1 D.x29−y216=1(x≥3)答案D解析由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16.故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支.所以点M的轨迹方程为x 29−y216=1(x≥3).12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.双曲线的一支B.圆C.椭圆D.双曲线答案A解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).13.若双曲线x 2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2√n+2,则△PF1F2的面积为()A.1B.12C.2D.4答案A解析设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2√n,已知|PF1|+|PF2|=2√n+2,解得|PF1|=√n+2+√n,|PF2|=√n+2−√n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2√n+1,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12×2=1.14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x 2a2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.12答案C解析由左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a2-y 2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15a 2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P 在双曲线C 上,若|PF 1|=3,可得P 在双曲线的左支上,则|PF 2|=2a+|PF 1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 . 答案(2,+∞)解析由曲线C :mx 2+(2-m )y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线,可得x 21m−y 21m -2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2.16.焦点在x 轴上的双曲线经过点(4√2,-3),且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为 .答案x 216−y 29=1解析设焦点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c>0), 则由QF 1⊥QF 2,得k QF 1·k QF 2=-1,∴5c ·5-c =-1,∴c=5,设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4√2,-3),∴32a 2−9b2=1.又c 2=a 2+b 2=25,∴a 2=16,b 2=9,∴双曲线的标准方程为x 2−y 2=1. 17.已知双曲线E :x 2−y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.(1)若点M 在双曲线上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求点M 到x 轴的距离;(2)若双曲线C 与双曲线E 有相同的焦点,且过点(3√2,2),求双曲线C 的方程.解(1)如图所示,不妨设点M 在双曲线E 的右支上,点M 到x 轴的距离为h ,MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则MF 1⊥MF 2, 设|MF 1|=m ,|MF 2|=n , 由双曲线定义,知m-n=2a=8,①又m 2+n 2=(2c )2=80, ②由①②得mn=8,∴12mn=4=12|F 1F 2|·h , ∴h=2√55. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216-λ−y 24+λ=1(-4<λ<16), 由于双曲线C 过点(3√2,2),∴1816-λ−44+λ=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),∴所求双曲线C 的方程为x 212−y 28=1.18.已知△OFQ 的面积为2√6,且OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,其中O 为坐标原点. (1)设√6<m<4√6,求OF⃗⃗⃗⃗⃗ 与FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ,m=√64-1c 2,当|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,求此双曲线的标准方程.解(1)因为{12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ ⃗⃗⃗⃗⃗|sin (π-θ)=2√6,|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FQ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=m ,所以tan θ=4√6. 又√6<m<4√6, 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0),Q (x 1,y 1),则FQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-c ,y 1), 所以S △OFQ =12|OF ⃗⃗⃗⃗⃗|·|y 1|=2√6,则y 1=±4√6.又OF⃗⃗⃗⃗⃗ ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =m , 即(c ,0)·(x 1-c ,y 1)=√64-1c 2, 解得x 1=√64c ,所以|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 12+y 12=√38c 2+96c 2≥√12=2√3,当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |最小, 这时Q 的坐标为(√6,√6)或(√6,-√6).因为{6a 2-6b 2=1,a 2+b 2=16,所以{a 2=4,b 2=12.于是所求双曲线的标准方程为x 24−y 212=1.。

【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程课件1(人教A版选修1-1)

( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解：焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解：焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程

《双曲线及其标准方程》第一课时示范公开课教学设计

《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2．探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ）（B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许．活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上．练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5）理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；（2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）；（4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定；（5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）．根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）（1）双曲线的定义（与椭圆的区别）（2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别）（4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构，培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题．补充练习基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112．拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）．所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24．所以2a ＝24，即a ＝12．所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。

《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品

2．2 2．2.1
双曲线
双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
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自学导引 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线．平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹不存在．
焦点 F1(0，－c) ，F2 (0，c) ．．
2 2 2 (3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c ＝a ＋b
2．双曲线的标准方程
(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设为 Ax2＋By2＝1(A· B < 0)． (5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
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(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点 F1、 F2 叫做双曲线的焦点点之间的距离叫做双曲线的焦距．，两焦
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x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ，焦点 F1 (－c，0) ，F2 (c，0) ． y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ，
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原创1：2.2.1 双曲线及其标准方程

[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2) 由于动点 M 到两定点 C2 ， C1 的距离的差的绝对值为常数．因此，其轨迹是双曲线．
由于双曲线过点 A(4，－ 3)，B－3， 25，
4a22－－b232＝1，
∴
－a32 2－
52
2 b2
＝1.
解得ab22＝＝41，. ∴所求双曲线标准方程是x42－y2＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设双曲线标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
a32－1b62 ＝1，则
45a2－b92＝1
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在 x 轴上． (2)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上． (3)焦点分别为 F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(3 5，－4)． (4)焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和94，5. 解析： (1)由题设知，a＝3，c＝4，由 c2＝a2＋b2 得 b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x92－y72＝1.
4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
解析：如图所示，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．

2.2.1 双曲线及其标准方程

)
x2 y2 4.(双曲线标准方程形式)若方程 =1 表示双曲线,则实数 m 的取 m 1 m 3
值范围是(
C )
(A)m≠1 且 m≠-3 (C)m<-3 或 m>1
(B)m>1 (D)-3<m<1
数学
5.(双曲线标准方程的求法)双曲线两焦点坐标是 F1(0,-5),F2(0,5)且 2a=8, 则双曲线的标准方程为
解:(1)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=10.
x2 y 2 所以可设它的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0). a b x2 y2 从而将双曲线的标准方程化为 - 2 =1,将点(3 5 ,-4)代入并 2 100 b b
化简整理,得 b -39b -1600=0,解得 b =64 或 b =-25(舍去).
PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2 2 2
=
( PF1 PF2 ) 2 2 PF1 PF2 F1F2 2 PF1 PF2
2
,
所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2, 所以 SF1 PF2 =
3 1 |PF1|·|PF2|·sin 60°=2b2· = 3 b2, 2 2
数学
题型三双曲线定义的应用
y2 【例 3】设 P 为双曲线 x - =1 上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点,若 12
2
|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2 的面积.
解:由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.
x2 y 2 所以所求双曲线标准方程为 =1. 12 8

(完整版)双曲线及其标准方程详解

2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ．由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示忽略双曲线焦点位置致误【示例】方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}．答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______．答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。

2.2.1双曲线及其标准方程

温故思新探究新知对比归纳综合检测课堂回望
课后延伸
基础作业：课本P54.A组.2（在作业本上完成）预习双曲线的性质 2| | = 2a，若0<2a<2c，思考：| |MF1| - |MF 点M的轨迹是双曲线。双曲线是优美的，她的美在于她的对称性；（1）若2a=2c,则点M的轨迹是什么？双曲线也是悲伤的，她的悲源于什么？（2）若2a>2c, 则点M的轨迹是什么？请预习下一节的内容——双曲线的性质。（3）若2a=0, 则点M的轨迹是什么？预习双曲线的性质
表示的双曲线焦点在y轴上，
2
2
y F2 o F1 x
焦点为F1(0,-c),F2(0,c)
温故思新
探究新知
对比归纳综合检测课堂回望课后延伸
例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2（5， 0），双曲线上一点P到F1， F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的方程。
解：双曲线的焦点在x轴上，
温故思新
探究新知
对比归纳综合检测课堂回望课后延伸
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
① 定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1
0<2a<2c
F2
温故思新
探究新知
对比归纳综合检测课堂回望课后延伸
x2 y 2 焦点在x轴上: 2 2 1(a b 0) a b y 2 x2 焦点在y轴上: 2 2 1(a b 0) a b
3. 引出问题平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？

1.双曲线的标准方程.

② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a< |F1F2| ；
思考：
（2）2a >0 ；
F
1
oF
2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？ (1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
（3）若2a=0,则轨迹是？
(3)线段F1F2的垂直平分线
思考：
1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以点P的轨迹方程为： x2 y2 1 (x>0) 9 16
例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆
炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
分析:首先根据题意,判断轨迹的形状. 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
x2 a2
+
y2 b2
=
1
y2 a2
+
x2 b2
=1
焦点 F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c 的关系
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|—|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）

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c a b
2
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x , y 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
2
2
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
双曲线与椭圆之间的区别与联系椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面两条合起来叫做双曲线
二双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
例 1(参考课本 P47 例 ) 已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动点 P 满足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
2 标准方程
2 2 y x x y 2 1 (a 0, b 0) 2 2 1 (a 0, b 0) 2 a b a b
2 2
3 焦点 4
F1 (c,0), F2 (c,0)
2 2
F1 0,c, F2 0, c
2
a, b, c的关系 c a b
七作业布置
解：∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是双曲线, ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2 a=6,2 c=10,∴a=3, c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
教材54页，第2题
谢谢请批评指导
开封市第二实验高中：李歌
三双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤： 1. 建系.
y
M
以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式
F
O
1
F
2
x
|MF1| - |MF2|=±2a
即
4.化简
( x c) y ( x c) y 2a
五课堂练习（课本48页第1题，2题）
1 求适合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，a=4,b=3 (2) 焦点x在轴上,经过点 ( (3) 焦点为，
x2 y2 1 16 9
15 , 3 2)
2 y x2 1 3
2,
3 ), (
0,6, 0,6 且经过点 2,5
x 15y 15与椭圆
2 2
2 求证：双曲线的焦点相同
x2 y2 1 25 9
y2 x2 1 20 16
证明:∵ 双曲线的焦点
F1 4,0, F2 4,0
椭圆的焦点 F 1
4,0, F2 4,0
所以，焦点相同
六课堂小结
1 定义：平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹就做双曲线．
(a 0，b 0)
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1Βιβλιοθήκη oF2xF1
x
方程焦点
a.b.c 的关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
一复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题：
Y
M x, y
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
2 2 2 2
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
( x c)
2
y
2
2a
2
( x c) y
2
2

2
cx a 2 a ( x c) 2 y 2
(c a ) x a y a (c a )
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
注意思考：（1）2a<2c ；（2）2a >0 ；
F
1
M
o
F
2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条以 F1 , F2为端点射线（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹（3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
2 2 2 2 2 2 2 2
c2 a 2 b2
x2 a2
b 2 1(a 0, b 0)
y2
此即为焦点在x 轴上的双曲线的标准方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
y
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2