2009-2010学年二学期高等数学期末考试试卷(最终卷)
2009—2010学年度第二学期期末试卷
2009—2010学年度第二学期期末试卷高 一 数 学数学试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上；2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos 3π⎛⎫-=⎪⎝⎭A.12-B.12Ｃ. Ｄ2．若向量(2,1),(4,1),//,a b x a b ==+则x 的值为（ ） A ．1 B ．7 C ．-10 D ．-93.sin cos cos sin 126126ππππ+的值为（ ）A.12D.14.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且AB a = ，AD b = ，则BE =A.12b a +B.12a b +Ｃ.12b a -Ｄ.12a b -5.若0a b <<，则 A.11ab< B.01ab << C. 2ab b > D.b a a b> 6.若向量()1,3a m =+- ，()1,1b m =-，a b = ，则实数m 为A.21-B.2 Ｃ.2- Ｄ.不存在7.1sin cos 8αα=，且24παπ＜＜，则cos sin αα-的值为A.43B.34-C.23D.8.函数()sin y A x ωϕ=+ （其中0A >）的部分图象 如图所示，则此函数解析式为A.2sin 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.2sin 28y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.把函数cos 2y x =的图象沿向量平移后得到函数sin(2)36y x π=-+的图象，则向量a是A.,33π⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｂ.,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭Ｃ.,312π⎛⎫⎪⎝⎭Ｄ.,312π⎛⎫-- ⎪⎝⎭10.若1()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中[]0,2x π∈，则()f x 的值域为A.[]2,2-B.2⎡⎤⎣⎦C.⎡⎣D.⎡-⎣11.已知tan α，tan β是方程240x ++=两根，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+等于 A.π-32B.π-32或3π C.3π-或π32 D.3π12.在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC BC ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是（ ）A. 13B. 12C. 23D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应位置上）13.若实数0x >，则4x x+的最小值是___ ___.14.ABC ∆中，已知4a =，6b =，3sin 4B =，则A ∠=___ ___. 15.()1,C y 分AB 的比为35，()2,5A -、(),3B x -，则x y += .16.下面五个命题：（1）若α、β都是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；（2）2sin sin y x x=+在()0,x π∈的最小值是 （3）在ABC ∆中，若0AB BC ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形；（4）若0a >，0b >，0m >，且1a b<，则a a mb b m +<+；（5）函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-的值域是⎡⎤⎣⎦.其中，正确命题的序号是 （写出所有正确命题序号）. 三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知(1,2)a = ，(1,0)b =-.（1）向量a b λ+ 与a b -共线时，求λ的值；（2）向量a b λ+ 与a b -垂直时，求λ的值.18.（本小题满分12分）已知cos α=，sin β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求sin α和cos β的值；（2）求αβ+.19.（本小题满分12分）已知正数x 、y 满足3xy x y =++. （1）求xy 的范围；（2）求x y +的范围.20. （本小题满分12分）一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45 距离为10海里的B 处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105 的方向漂移，我军舰艇立即以21海里/时的速度前往营救.求出我军舰艇赶上遇险渔船所需的最短时间，问能否营救成功？21.（本小题满分12分）已知(5sin ,cos )a x x =，(cos ,)b x x =- 其中x R ∈，()f x a b =⋅ .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 图象的对称中心；(3)求()f x 在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间.22.（本小题满分12分）是否存在实数a ，使253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由. A。
湖北省孝感高中2009-2010学年高二数学下学期期末考试 理 旧人教版
；
（3）设 数列 的前n项和为 ，若存在整数m,使对任意 且 ，都有 成立，求m的最大值.
孝感高中2009—2010学年度下学期高二期末统一考试
数学（理）参考答案
一、选择题：BDBDA BCBDA
二、填空题：11.112. 13. 14.1815.
三、解答题：
16.解：(1)由 得：定义域 （2分）
C.1，2，3，4，5D.5，10，15，20，25
2.点E是正四面体ABCD的棱AD的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
3.设随机变量 服从正态分布 ,则 可以被表示为（）
A. B.
C. D.
4.一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为 ,则球的体积为（）
A. B. C. D.2分）
投2次骰子，棋子才到达顶点B有三种方式： .
故概率为 .（6分）
（2） 且 （9分）
（12分）
20.（1） (2分)
①若 则由 得 ， 时， 时， ,故 无极值点.(4分)
② 时，由 得： , 时， ;
时， ; 时， .故 为极大值点,
且 , 为极小值点，且 = .（7分）
（2）因
.（8分）
令 ，因
故 在 上单增，故 ,即
取 ,故 .即 （11分）
而 .故 .
故 ,综合上述，可知 .（13分）
21.(1) 时， 时，
.故 （5分）
（2）由（1）知： ，原不等式即证
① 时， ,故 成立;
②假设 时， ，
则 时，
=
故 也成立；综合①、②知原不等式恒成立.（10分）
（3）由(1)知 ,令 ,
微积分试卷及答案【范本模板】
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号一、填充题(共5小题,每题3分，共计15分）1。
2ln()d x x x =⎰ . 2。
cos d d x x =⎰ .3。
312d x x --=⎰ 。
4。
函数22xy z e+=的全微分d z = .5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 。
二、选择题(共5小题，每题3分，共计15分）1.设()1x f e x '=+,则()f x = ( ）. （A) 1ln x C ++ (B ） ln x x C +（C ） 22x x C++ (D ） ln x x x C -+2。
设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = （ ）.（A ） 2π（B ） 22π（C) 2 （D ） 24π3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）.（A) z z ab x y ∂∂=∂∂ (B)z z x y ∂∂=∂∂ （C ） z z ba xy ∂∂=∂∂ （D) z zx y ∂∂=-∂∂ 4。
设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立，则（ ) （A ） 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 （B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C ） 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D ） 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是( ）．(A ） 211(1)nn n ∞=-∑(B) 1(1)n n ∞=-∑ (C) 13(1)2n nnn ∞=-∑ （D) 11(1)n n n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）1。
2009-2010学年高二数学参考答案
2009－2010学年高二年级下学期期末考试数学参考答案及评分意见一、选择题（12×5 共计60分）理科：DBDAB DACCB CA 文科：DBDAD DACCB CC二、填空题 （理）13、210 ； 14、321 ； 15、y x 162-= ； 16、①②③ （文）13、210 ； 14、5 ； 15、y x 162-= ； 16、)123(∝+， 三、解答题 17、解：（Ⅰ）原不等式等价于⎩⎨⎧>+-<--06304322x x x x ②① ………… （3分） 不等式①即为0)1)(4(<+-x x ⇒ 41<<-x …（4分）不等式②的解为R …（5分）∴原不等式的解集为}{41|<<-x x …………（6分） 证明（Ⅱ）∵abb a b a b a b a a b 222))((-+=--+ …………（4分） 又00>>b a ， ∴ b a b a a b +≥+22 …………（6分） 18、解：（Ⅰ）由题意知A )0(，k b -，B )0(b ， ……（2分） 则AB ＝)(b kb ， ……（4分） 又 j i AB 22+=∴2=kb ，2=b ∴ 1=k ，2=b ……（6分） （Ⅱ）⇒>)()(x g x f 622-->+x x x ⇒ 0822<--x x ∴ 42<<-x …（7分）25)(1)(2+--=+x x x x f x g ＝21)2(5)2(2+++-+x x x ＝521)2(-+++x x ……（10分） ∵ 02>+x ∴3)(1)(-≥+x f x g 当且仅当1-=x 时取等号 …………（11分） ∴ 3)(1)(-+的最小值是x f x g …………（12分） 19、解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,4,0(),1,4,2(),0,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,0,0(1C E C A B D设F AEC z F 1),,0,0(由为平行四边形知1EC = … （3即)2,0,2(),0,2(-=-z ∴2=z ，∴),2,4,2(--= …（4分）62= ……（6分） （Ⅱ）设)1,,(y x n =为平面F AEC 1的法向量， 由)1,41,1(02201400-=⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x y 解得得 ……（8分）又33334cos ,),3,0,0(11===CC CC αα则与设 ……（10分） 所以到平面C F AEC 1的距离为11334==αd ……（12分） （理）20、解：（Ⅰ）解法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ， 由题意得221(1())(1)16P B p -=-=， 解得34p =或54p =（舍去），所以乙投球的命中率为34． ……（4分） 解法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B ，由题意得 1()()16P B P B =， 于是1()4P B =或1()4P B =-（舍去），故31()4p P B =-=．所以乙投球的命中率为34． （Ⅱ）解法一：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =． 故甲投球2次至少命中1次的概率为31()4P A A -= ． ……（8分） 解法二：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =． 故甲投球2次至少命中1次的概率为123C ()()()()4P A P A P A P A +=． （Ⅲ）解：由题设和（Ⅰ）知，1()2P A =，1()2P A =，3()4P B =，1()4P B =． 甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中2次，乙2次均不中；甲2次均不中，乙中2次．概率分别为11223C ()()C ()()16P A P A P B P B =，1()()64P A A P B B = ，9()()64P A A P B B = ． 所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为3191116646432++= ……（12分） （文）20、1分，共6分）(Ⅱ)设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子出现的点数为),(y x ……（7分） 则所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，……(6，6)共36个 …………（9分） 事件A 包含的基本事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)共8个 …………（11分）∴P(A)＝368＝92 …………（12分） 21、（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，PD =可得222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A = ，所以AD ⊥平面PAB ． ……（4分） （Ⅱ）解：由题设，BC AD ∥，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角．（5分）在PAB △中，由余弦定理得PB = ……（6分）由（Ⅰ）知AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，因而BC PB ⊥，于是PBC △是直角三角形，故tan 2PB PCB BC ==PC 与AD所成的角的大小为arctan 2．（8分） （Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A = ，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角．……（10分）由题设可得，sin 60PH PA == cos601AH PA ==， 2BH AB AH =-=，BD =AD HE BH BD == ．于是在Rt PHE △中，tan 4PH PEH HE == 所以二面角P BD A --的大小为 ……（12分） （理）22、解：(Ⅰ) ∵ F )0(，c ，)0(>c 且 222c b a =- ∴ 当直线的斜率为1时，方程为c x y -= 由题意有222=c得 1=c ……（2分）∴ 122=-b a ，又 31222==a c e ∴ 3=a 2=b ∴ 椭圆C 的方程为12322=+y x ……（4分） (Ⅱ) 当斜率k 存在时，直线l 的方程为)1(-=x k y ……（5分） A B C PH E设A ),(11y x ，B ),(22y x 若存在点P C y x ∈),(00，则由+=成立可得210x x x +=，210y y y += …（6分）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(12322x k y y x ⇒ 0636)32(2222=-+-+k x k x k ……（7分） 显然对任意0>∆∈有R x 恒成立. ……（8分） 从而有210x x x +=＝22326k k + ……（9分） 210y y y +=＝)2(21-+x x k ＝2324k k +- ……（10分） 将0x ，0y 代入椭圆方程得：044324=--k k ⇒ 2±=k ……（11分）∴ 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的点P 存在，其坐标为)22,23(± ……（12分） 直线l 的方程为)1(2-±=x y ……（13分） 当直线l 的斜率不存在时，即l 垂直于x 轴，不满足条件. ……（14分） （文）22、解：(Ⅰ)由已知602=+⇒=⇒=⋅=GM GN GN PG NQNP∴ 点G 的轨迹方程是14922=+y x . ……（4分） （Ⅱ）由为平行四边形四边形AOBS OB OA OS ⇒+= ……（5分） 若满足条件的直线l 存在，则四边形为矩形AOBS ∴0=⋅ ……（6分） ①如果直线斜率不存在，则由09163522149222≠=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=y x y x x ；…（8分） ②如果直线斜率存在，设为k ，，、),(),(),2(:2211y x B y x A x k y l -=0)1(3636)49(149)2(22222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由 ……（10分） 4920]4)(2[49)1(36,493622212122122212221+-=++-=⇒+-=+=+∴k k x x x x k y y k k x x k k x x （12分） 由0=⋅得2302121±=⇒=+k y y x x ……（13分） ∴满足条件的直线l 存在其06230623=-+=--y x y x 或方程为 ……（14分）。
10级高等数学(A)2期末测试题答案
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
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解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至 2010 学年度第 2 期 高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1．已知(2,1,),(1,2,4)a mb ==r r，则当m = 时，向量a b⊥r r ．2．(,)(2,0)sin()limx y xy y →= ．3．设区域D 为22y x +≤x 2，则二重积分Dd σ=⎰⎰ ．4．函数(,),(,)P x y Q x y 在包含L 的单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4．下列级数中收敛的是 ． A ．∑∞=+1884n n nn B ．∑∞=-1884n n nn C ．∑∞=+1824n n nnD ．1248n nn n ∞=⨯∑．5．级数1...-++A. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 既绝对收敛又条件收敛 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）． 1．设sin uz e v=，而u xy =，v x y =- 求xz ．2．设22(,tan())u f x y xy =-，其中f 具有一阶连续偏导数，求yz ． 3．求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程及法线方程． 4．计算 22Dx d y σ⎰⎰，其中D 是由直线y x =．2x =和曲线1xy =所围成的闭区域． 5．计算L⎰，其中L 是圆周222x y a +=（0a >）．6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-r，(2,1,4)(4,2,1)n=-r ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
北京五中2009-2010年第二学期高二数学期末考试试卷及答案
北京五中2009-2010年第二学期高二数学期末考试试卷一. 选择题(每题5分,共50分.请把答案填在第4页表中)1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214,则( ). N M A =)( N M B ⊆)( N M C ⊇)( ∅=N M D )(2．已知b a >，R x ∈，则下列各式正确的是（ ）)(A x b x a lg lg >（0>x ） )(B 22bx ax > )(C 22b a > )(D x x b a 22⋅>⋅3．已知4≠+y x p ：，1≠x q ：或3≠y ，则p 是q 的( ))(A 充分而不必要条件 )(B 必要而不充分条件)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要条件4．若函数)(x f y =的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域为（ ） )(A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21 )(B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,2 )(C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡310,25 )(D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2 5．极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线为（ ）、)(A 直线 )(B 圆 )(C 椭圆 )(D 双曲线6．已知双曲线2=xy 上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为定值，则这个定值为（ ）)(A 2 )(B 4 )(C 8 )(D 167．直线112()3332x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐 标为（ ）)(A (3,3)- )(B (3,3)- )(C (3,3)- )(D (3,3)-8．设随机变量ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(2)P ξ>等于( ))(A 0.8 )(B 0.5 )(C 0.2 )(D 0.19．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ,2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.给出下列结论：①P （B ）=25； ②P （B|1A ）=511； ③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ,2A ,3A 是两两互斥的事件；⑤P （B ）的值不能确定，因为它与1A ,2A ,3A 中究竟哪一个发生有关；其中正确的有（ ）)(A ②④ )(B ①③ )(C ②④⑤ )(D ②③④⑤10．3位男生和3位女生共6位同学排成一排，若男生甲不站两端，且3位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的排法共有（ ）种)(A 360 )(B 288 )(C 216 )(D 144二．填空题（每题5分，共60分）11．“若022=+y x ，则y x ,都是0”的否命题为12．计算536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+的值为 13．不等式()()02sin 113>---x x 的解集为14．设0≠t ，点)0,(t P 是函数at x x f +=3)(与c bx x g +=2)(图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线，则用t 表示c 为15．随机变量ξ的分布列如下： 其中a bc ，，成等差数列， ξ1- 0 1 P a b c若13E ξ=，则D ξ的值为 ． 16．今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一排共有 种不同的方法17．方程0233=+-ax x 有3个不等实根，则a 的取值范围为18.某次竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续．．回答出两个问题，即 停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于19．用长90cm ，宽48cm 的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90º角，再焊接而成，则截去的小正方形边长为 时，长方体体积最大20．6本不同的书分给4个人，每人至少一本的概率为21．若a 、b 、0>c ，且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为班级 姓名 学号 成绩22.一个圆环直径为22m ，通过金属链条BC 、1CA 、 2CA 、3CA （1A 、2A 、3A 是圆上三等分点）悬挂在B 处，圆环呈水平状态，并距天花板2m （如图所示），为使金属链条总长最小，BC 的长应为三．解答题（共40分）23.解关于x 的不等式:12>-x ax24.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响. (Ⅰ)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率(Ⅲ)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列25.设函数)1ln()(2++=x b x x f ,其中0≠b(1) 求)(x f 的单调增区间(2) 对任意的正整数n ,证明:2222ln e e e e e e n n -≤+答案一． 选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案B D A B B B D D AB二．填空题11．若022≠+y x ，则y x ,不都是012．-1 13.)32,0( 14.323t c -= 15.95 16.1260 17. 1>a 18.0.128 19.10cm 20.512195 21.)13(2- 22.1.5m三． 解答题24.(1)24340 (2)818 (3) ξ0 1 2 3 6 P 271 92 274 278 278 25. 解：（1）当0<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 当210<<b 时，增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+-,2211b 和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2211,1b 当21≥b 时，增区间为()+∞-,1（2）由（1）得1-=b 时，)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增 欲证2222ln ee e e e e n n -≤+，只需证1)21ln(221-≤+--n n e e 只需证12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e令)1ln()(2x x x g +-=()1≥x因为)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++-,231增，又1231<+-， 所以2ln 1)1()(-=≥g x g所以当1≥x 时，2ln 1)1ln(2-≥+-x x故12ln )1ln()1(21-≤-+--n n e e 成立。
高数期末考试试卷
2009-2010年度第二学期 高等数学（二）期末考试试卷B一、填空题（每小题3分，共5小题，15分）1. 定积分x x x d )(sin 114⎰-= 0 .2.微分方程0)0(,2=='-y e y yx 的特解为21212+=x y e e . 3.函数22y x z +=在点)2,1(P 的梯度为 6 . 4. 求极限xy xy y x 24lim-+→→=41.5. 级数=+∑∞=1)1(1n n n 1 .二、选择题（每小题3分，共5小题，15分）1.函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在是),(y x f 在该点可微的（ B ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 设2232y xy x z -+=，则=∂∂∂yx z2( B ) A. 6 B. 3 C. 2- D. 2 3.设L 为圆周222R y x =+，则积分⎰=+Lds y x )(22 ( D ).A. 52R π B. 72R π C. 92R π D. 32R π 4.设常数项级数20=∑∞=n nu，则级数=-∑∞=0)212(n n n u （D ）.D. 2 A. 0 B. 1 C. 25. 设函数xy y x f =),(则)0,0(是该函数的（ A ） A. 不是极值点 B. 极小值点C. 极大值点D. 驻点但不是极值点 三、解答题：（共6题，每题6分，共36分）1.设函数xy y x z 222++=，求)2,1(d z.解：x y yzy x x z 22,22+=∂∂+=∂∂……………………………2分 在点)2,1(处，有6,6)2,1()2,1(=∂∂=∂∂yz xz……………………4分则dy dx z 66d )2,1(+=. ………………………………………6分2.计算定积分⎰+411d xx .解：令dt dx t x t x 22=⇒=⇒=，当4,0==x x 时，2,0==t t ，…………………………….2分 则原积分为⎰⎰+-+=+2020111212dt t t dt t t22020)1ln(4112t dt tt +-=+-=⎰………………………….4分 3ln 4-=……………………………………………………….6分3. 计算σd )(I 22⎰⎰+=Dy x ，其中区域}1),{(22≤+=y x y x D . 解：用极坐标积分，θθsin ,cos r y r x ==，则积分区域D 化为：10,20:≤≤≤≤r D πθ………………………………………….2分则ππθπ214121410220=⋅=⋅=⎰⎰r rdr r d I ……………….6分4. 判断级数∑∞=⋅131n nn 的敛散性. 解：正项级数，用比值审敛法：因为131133)1(1lim lim 11<=⋅+=+∞→+∞→n n n nn n n n u u …………………5分所以，原级数收敛………………………………………………..6分5.计算曲线积分L dy y x dx y x L,)()(⎰+--为点)0,1(-到点)0,1(的直线段.解：]1,1[,0:-∈=x y L ，则原积分为…………………………2分21211021==⎰x xdx ……………………………………………6分 6. 求曲线t z t y t x L 2,sin ,cos :===，在点)2,0,1(π-处的切线方程和法平面方程.解：2,cos .sin ='='-='z t y t x ，………………………………1分 在点)2,0,1(π-处，π=t ，……………………………………….2分 则在该点的切线方程的方向向量为：)2,1,0(-…………………..4分 所以切线方程为：22101π-=-=+z y x …………………………5分 法平面方程为：042=+-πz y …………………………………6分 四、解答下列各题：1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.（10分） 解：y yzx x z 24,24--=∂∂-=∂∂……………………………2分 令024,024=--=∂∂=-=∂∂y yz x x z ………………………3分解得驻点：)2,2(-……………………………………………4分又0,2,222222=∂∂∂-=∂∂-=∂∂y x z yz x z ；…………………………6分在驻点)2,2(-处0,04,0,22<>=-⇒=-==A B AC B C A ，所)2,2(-是极大值点.极大值为8)2,2(=-f …………………………10分2.求级数 ++++nx x x n22的收敛区间与和函数.（8分） 解：收敛半径：111lim=+⋅=∞→nn n R n ，则收敛区间为)1,1(-…….3分 令=)(x s ++++nx x x n 22， 则xx xx x s n n n -==++++='∑∞=-111)(01………………..6分 则)1ln(11)(0x dx x x s x--=-=⎰………………………………..8分3..求解常微分方程0365=-'+''y y y 的通解.（6分） 解：特征方程为：03652=-+r r ，特征根为：9,421-==r r ……………………………………..4分 则原方程的通解为：x xe C e C y 9241-+=…………………….2分4. 计算dv z y x I )(222++=⎰⎰⎰Ω,其中Ω是由 1222=++z y x 所围成的闭区域.（6分）解：用球面坐标积分：10,0,20:≤≤≤≤≤≤Ωr πφπθ………3分 则⎰⎰⎰⋅=122020sin drr r d d I ππϕϕθ[]πφππ5451cos 21050=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅=r ……………………………………6分 5.求曲线4,1,===x x x y 及x 轴绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.（4分）解：所求体积为：πππ2152141241===⎰x dx x V ……………………4分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
09-10高等数学期末试题参考答案(A)
东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
2009-2010-2高数期末试题及解答
2π
2
而
∫∫ xdydz + ( z
Σ0
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = ∫∫ x 2dxdy =
Dxy
2 1 1 2π ( x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dθ ∫ r 3dr = 2π ， ∫∫ 0 2 Dxy 2 0
故
∫∫ xdydz + ( z
Σ
2
− y )dzdx + ( x 2 − z )dxdy = −4π 。
2dxdy ；
2 2
积分曲面Σ 2 ： z = 1 ，( x, y ) ∈ Dxy = ( x, y ) 0 ≤ x + y ≤ 1 ，
{
}
′ 面积微元素为：dS = 1 + z′ x + z y dxdy = dxdy ；
2 2
Ò ∫∫ ( x
Σ
2
+ y 2 )ds = ( 2 + 1) ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ( 2 + 1) ∫ dθ ∫ r 3dr =
−1 −1
1
1
1 nπ x 2 dx = 2 ∫ (2 + x ) cos nπ xdx = [( −1) n − 1] 0 2 ( nπ ) 2
，
(n = 1, 2,L ) 1 1 bn = ∫ f ( x )sin nπ xdx = 0 ，( n = 1, 2,L ) 2 −1 5 ∞ 2 f ( x) = + ∑ [( −1) n − 1]cos nπ x ， x ∈ [ −1,1) 2 2 n =1 ( nπ ) 令 x = −1 可得 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 1 1 1 π2 = ，又∑ 2 = ∑ +∑ ， ∑ 2 2 2 8 n =1 (2n − 1) n =1 n n =1 (2n − 1) n =1 (2n )
09-10第2学期高数A试卷A
）
班级
高等数学（A）
A.
2009 —2010 学年度第二学期期末考试（A）卷
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共四大题，满分 100 分，考试时间 100 分钟
∫0
1
dy ∫
y− y2 0
1
f(x,y)dx ；
B.
∫0
1
1
dy ∫
学号
∫
2 1
dy ∫
2 y
sin x dx = x −1
2 时，级数 ∑ n sin n =1 ∞
5．设常数 p > 0 ，则当 p 满足条件
π n
p
收敛
6．设 L 为从点（1，1）沿曲线 x = y 2 到点（1，-1）的曲线段，则曲线积分
3 . 函数 z = x 3 + y 3 − 3x 2 − 3 y 2 的极小值点是（ A. （0，0） ； B.（2，2） ；
D
y = 0, x =
π
2
所围的区域.
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得分 评卷人 复查人
四、综合与证明题（本题共 3 小题，每小题 7 分， 共 21 分） 1.验证: (2 x cos y + y 2 cos x)dx + (2 y sin x − x 2 sin y )dy 为某
3.
2 2 2 设球体 x + y + z ≤ 2 Rz 内，各点处的密度等于该点到原点距离的平方，试求
一、单项选择题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代 码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
2009—2010学年度下学期高二数学期末测试选编 理 新人教A版
2009—2010学年度下学期高二数学理期末测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数13)31(2-+i i 的值是 （ ）A ．2B ．21C ．21-D ．2- 2．)('0x f =0是可导函数)(x f 在点0x x =处取极值的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3a 的取值范围是 （ ）A ．)22,22(-BC ．D 4．已知(p x x-22)的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ）A ． 1B ．2C ．3D ．45．如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a ．2)3(2-a ． 2)3(3-a ．2)3(4-a ．2)3(5-a ．2)3(6-a 的方差是（ ）A ．0B ．3C ．6D ．12 6．今天为星期四，则今天后的第20062天是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期四D ．星期日7．函数22()()x a y x a b+=++的图象如右图所示，则 （ D ） A ．(0,1),(0,1)a b ∈∈B ．(0,1),(1,)a b ∈∈+∞C ．(1,0),(1,)a b ∈-∈+∞D ．(1,0),(0,1)a b ∈-∈8．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ） A ．10 B ．48 C ．60 D ．80 9．设随机变量~(0,1)N ξ，记)()(x P x <=Φξ，则(11)P ξ-<<等于 （ ）A ．2(1)1Φ-B ．2(1)1Φ--C ．(1)(1)2Φ+Φ-D ．(1)(1)Φ+Φ-10．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有 （ ） A ．48 B ．24 C ．60 D ．120 11． 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有 放回的每次模取一个球，定义数列{}n a ：⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11 如果n S 为数列{}n a 的前n 项之和，那么37=S 的概率为（ ）A ．729224 B ．72928C ．238735D ．7528 12．有A ．B ．C ．D ．E ．F6个集装箱，准备用甲．乙．丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个.若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 （ ） A ．168 B ．84 C ．56 D ．42第Ⅱ卷（非选择题满分90）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）13． (2x+x )4的展开式中x 3的系数是14．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________．15．从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第n 个等式为_________. 16．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是 （0，4），则在曲线)(x f y =的切线中，斜率最小的切线方程是_________________. 三、解答题17．（12分）求证：（1）223)a b ab a b ++≥++； （2）6+7>22+5.18．（12分）已知(41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：（1）含x 3的项； （2）系数最大的项．19．（本小题满分12分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（Ⅰ）记“函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望.20．（12分）已知函数3()3f x x x =-（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程21．（12分）函数数列{})(x f n 满足：)0(1)(21>+=x xx x f ，)]([)(11x f f x f n n =+（1）求)(),(32x f x f ；（2）猜想)(x f n 的表达式，并证明你的结论.22．（14分）已知a 为实数，函数23()()()2f x x x a =++．（I ）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围； （II ）若(1)0f '-=，（ⅰ） 求函数()f x 的单调区间；（ⅱ） 证明对任意的12,(1,0)x x ∈-，不等式125()()16f x f x -<恒成立参考答案一、选择题 ABDCD A D DAC BD 二、填空题13．24 14．3215．)321()1()1(16941121n n n n ++++-=⋅-++-+-++ 16．1280x y +-=三、解答题17．证明：（1） ∵222a b ab +≥,23a +≥,23b +≥ ;将此三式相加得:222(3)2a b ab ++≥++,∴223)a b ab a b ++≥++.（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2>（22+5）2，即证402422>.∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 18．解：（1）由题设知2245,45,10.n nn C C n -==∴=即21113010363341211010710433101130()(),3,6,12210.r rrrr r r T C x x C xr x T C xC x x ---+-=⋅======令得含的项为 （2）系数最大的项为中间项，即55302551212610252.T C xx -==19．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得 （I ）若函数x x x f ξ+=2)(为R 上的偶函数，则ξ=0当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24∴事件A 的概率为0.24（II ）依题意知ξ=0.2则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为E ξ=0×0.24+2×0.76=1.5220．解：（1）'()3(1)(1)f x x x =+-当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，[1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间 又39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，∴当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x =（2）设切点为3(,3)Q x x x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--，解得0x =或3x =所以切线方程为30x y +=或24540x y --= 21．解：（1）221111221)(1)())(()(x x x f x f x f f x f +=+==222221331)(1)())(()(xx x f x f x f f x f +=+==（2）猜想：)(1)(2*∈+=N n nx x x f n下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，211)(xx x f +=，已知，显然成立②假设当)(*∈=N K K n 时 ，猜想成立，即21)(kxx x f k +=则当1+=K n 时，2222211)1(1)1(11)(1)())(()(xk x kx x kx xx f x f x f f x f k k k k ++=+++=+==+即对1+=K n 时，猜想也成立. 由①②可得)(1)(2*∈+=N n nx x x f n 成立22．解: 解：(Ⅰ) ∵3233()22f x x ax x a =+++，∴23()322f x x ax '=++．∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． ∴2344302a D =-⨯⨯≥，…………………4分 ∴292a ≥． 因此，所求实数a的取值范围是32(,(,)-∞-+∞． (Ⅱ) (ⅰ)∵(1)0f '-=，∴33202a -+=，即94a =．∴231()323()(1)22f x x ax x x '=++=++． 由()0f x '>，得1x <-或12x >-； 由()0f x '<，得112x -<<-．因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2-+∞；单调减区间为1[1,]2--．(ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，()f x 在1[1,]2--上的最大值为25(1)8f -=，最小值为149()216f -=； ()f x 在1[,0]2-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=． ∴()f x 在[1,0]-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149()216f -=．因此，任意的12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495()()81616f x f x -<-=．。
湖北省2009-2010学年高二下学期期末测试(数学)
图112009—2010学年度下学期高二数学期末测试[原人教版]说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷60分，第二卷90分，共150分；答题时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确地选项填在题后的括号内．1．图1是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆 子落入圆内的概率是 A ．8π B ．4πC ．2πD ．π2．甲打靶一次，中靶的概率为0.8，乙打靶一次，中靶的概率为0.7，现甲乙两人同时打靶一次，则恰有一人中靶的概率为 （ ） A ．0.56 B ．0.46 C ． 0.38 D ．0.643．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是 （ ） A ．916B ．2764 C ．38 D ．11324．在一圆的圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一个三角形，如果随机选择三个点，刚好可以构成直角三角形的概率是 （ ）A ．41 B ．31 C ．21D ．51 5．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成 三角形的概率为 （ ）A ．53 B ．103 C ．52 D ．107 6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是 （ ） A ．互斥事件 B ．独立事件 C ．对立事件 D ．不独立事件7．以正方体的顶点为顶点作正四面体，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（ ）A ．3:1B ．1:3C ．2:3D ．3:28．已知水平平面α内的两条相交直线a, b 所成的角为θ，如果将角θ的平分线l '绕着其顶点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的l '处，且与两条直线a,b 都成角α，则α与2θ的大小关系是（ ）A ．2θα≤或2θα≥B ．α>2θ或 α<2θC ．α>2θD ．α<2θ9．地球半径为R ，A 、B 两地均在北纬45°圈上，两地的球面距离为3R π，则A 、B 两地的经度之差的绝对值为（ ）A ．3πB ．2πC ．32πD ．4π10．在（312xx -）8的展开式中常数项是 （ ）A ．－28B ．－7C ．7D ．2811．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有 （ ）A ．144种B ．180种C ．240种D ．300种12．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校负责人与他们两人的对话，可推断出参加考 试的人数为 （ ） A ．19 B ． 20 C ．21 D ．22第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13．在的系数为的展开式中226,)1()1(x x x x ++- ．14．甲说：“我有4个朋友，有男的，有女的且女的数不少于男的数，他们的年龄都不相同”；乙说：“我猜其中年龄最大的是女的，年龄最小的是男的。
河北省邯郸市09-10学年度高二第二学期期末考试--数学
邯郸市2009-2010学年度第二学期期末教学质量检测高二数学试题注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，满分 150分，时间120分钟.题号前注明示范性高中做 的，普通中学不做；注明 普通中学做 的，示范性高中不做，注明 文科做的理科不做；注 明理科做的文科不做，没有注明的，所有学生都做 .题号前注明示范性高中做 的，普通中学不做；注明普通中学做 的，示范性高中不做，注明 文科做的理科不 做；注明理科做的文科不做，没有注明的，所有学生都做 .参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的体积公式43P （A +B ）= P （A ） +P （ B ）7 - R 3其中R 表示球的半径3如果事件A B 相互独立，那么P （A- B ）= P （A ） • P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的 概率 P n (k)二 C ：P k (1 _P)n “第I 卷（选择题，共60 分）、选择题（每题只有一个正确结论，把正确结论前的代号填在 涂卡.每小题5分，共60分） 2. 某地区的年降水量（单位： mr ）在［100 , 150）、［150 , 200）、［200 , 250）范围内的概率分别为0.25、0.16，则年降水量在［100 , 200）范围内的概率为 A.0.53B.0.25C.0.37D.0.283. 一道竞赛题，甲同学解出它的概率为丄，乙同学解出它的概率为1，丙同学解出它的概率为 丄，则独234立解答此题时，三人中只有一人解出的概率为 A .丄B. HC.I 7 D. 12424244. 符合下面哪种条件的多面体一定是长方体A.直平行六面体B.侧面是矩形的四棱柱C.对角面是全等的四棱柱D.底面是矩形的直棱柱第I 卷答题栏 内，用答题卡的学校，直接1. 2C ：00A . 9900B.9800C. 2000D. 2200 0.12、5. 三棱锥P - ABC中，若有两组相对的棱互相垂直，则点P在平面ABC上的射影一定是ABC的A.夕卜心B.内心C. 垂心D. 重心2 1 66. 二项式（x ・）的展开式中，常数项为xA . 9B . 12 C. 15 D. 277. 将红，黄，蓝，绿四种颜色共4个小球，放入红，黄，蓝，绿四种颜色的盒子里，每个盒子放一个小球，则小球的颜色和盒子的颜色均不相同的放法有A . 6 种B . 9 种C. 11 种D. 23 种8. 北纬45；圈上有A,B 两地分别是东经 40：和西经50，若设地球半径为 R,则A, B 的球面距离为JT-R 212. 已知三棱柱ABC-AB 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于1 A.-3B .乏C .二3 32 D .-3第H 卷（非选择题共90分）注意事项：1•用钢笔或蓝圆珠笔直接答在答题卡上.2 .答卷前将密封线内的项目填写清楚.611 用 0、 1、 2、有A. 288 个B. 600个 C. 360个 D. 3123 4 23、4、5六个数字能组成没有重复数字的六位数，这样的六位数中奇数、填空题：本大题共4个小题，每小题4分,共16分.2 1 713. （x 一―）的二项展开式中的第5项的二项式系数二；x14. （文科做）某地区有300家宾馆和旅店，其中高档宾馆有30家，中档宾馆有75家，大众型旅店有195家.为了解宾馆和旅店的入住率，要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法，抽取的中档宾馆的数是；（理科做）随机变量E的分布列如下表：E—101P a B c其中a,b,c成等差数列，若E E =—，则D E = ;3 ---------------------15. 把正方形ABCD&对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为_; ____16. 从1,2,…,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是三、解答题：本大题共6个小题•共70分•解答要写出文字说明、证明过程或解题步骤.17. （本小题满分10分）已知—）n的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10 ：1,求展开式中x的系数.x18. （本小题满分1—分）（普通中学做）如图，四棱锥P—ABCD中，底形，AB=8, AD=4\3，侧面PAD为等边三角形，并且面角为60° .求PA与底面ABCD所成角的大小面ABCD为矩与底面所成二D（示范性高中做）如图，四面体ABCD 中,ABD和「'BCD均为等边三角形，AB =2,AC — 6.(I)求证：AO _平面BCD ；(n)求二面角A _ BC -D的余弦值.19. (本小题满分12分)书桌上一共有六本不同的书•问：(I) 6本书排成一排，要求其中的2本数学书排在一起，共有多少种不同的排法？(n) 6本书分给甲、乙、丙三个同学，每人2本，共有多少种不同方法？(川)(示范性高中做)6本书分给甲、乙、丙三个同学，如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，共有多少种不同的分法？20. (本小题满分12分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率是0.5，购买乙种商品的概率是0.6 ,且购买甲种商品和购买乙种商品是相互独立的，各顾客之间购买商品也是互相独立的(I)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(n)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率21. (本小题满分12分)(文科做)某商场进行促销活动，促销方案是：顾客每消费100元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率1为丄，若中奖，则商场返还顾客现金100元某顾客购买价格为340元的商品，得到3张奖券5(I )求商场恰好返还该顾客现金100元的概率；(II )求商场至少返还该顾客现金100元的概率.(理科做)甲、乙两队进行一场排球比赛•根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束•设各局比赛相互间没有影响•令的概率分为本场比赛的局数•求布和数学期望.(精确到0.0001)22. (本小题共12分)(普通高中做)如图,在直三棱柱AB& ABG中，AC= 3, BC= 4, AA= 4,点D是AB的中点,(I )求证：ACL BG;(II )求证：AC// 平面CDB;(III )求异面直线AC与BC所成角的余弦值.(示范性高中做)已知正方体ABCD -A三CD，的棱长为1,点M是棱AA的中点，点N是棱CC的中点,上底面A B C D啲中心.(I)求证：MO/平面NBD(H)求二面角M -BN -B，的大小;(川)求三棱锥M -OBN的体积•2009-2010学年第二学期高二数学参考答案及评分标准 6.26、选择题1---5 ACBDC 6---10 CBACA 11---12 AB、填空题5 o1113. 35 ; 14. 5 , ; 15. 45 ° ;16.9 21三、解答题17•解：依题意有（C： 24）:（C： 22）=10:1，二n=8. ------- 4 分28 3—=1,有r =2•「1 二c；(..x)8丄(2)r=2r c；x 丁x••• T2厂4C；x =112x,即展开式中x的系数为112.-------10分18.（普通中学做）解：如图，取AD的中点E,连结PE,则PE± AD. 作PO L平面ABCD垂足为O,连结OE.根据三垂线定理的逆定理得OEL AD,所以/ PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角由已知条件可知/ PEO=60 , PE=6所以PO=3. 3，连结AO,则.PAO就是PO 3 '3 3PA与底面ABCD所成角•在直角三角形POA中, sin. PAOPA 4J 3 43-PAO =arcsin --------- 12 分418.(示范性高中做)解: (I)连结OC ,: ABD和CBD为等边三角形，O为BD的中点，O为BD的中点, AO _ BD ,CO _ BD ,又AB =2,AC ,AO 二CO 〜3 .在AOC中，；AO2CO2= AC2,AOC =90，即AO — OCV BD PlOC -O ,••• AO _ 平面BCD ...............(n)过O作OE — BC于E,连结AE ,:AO —平面BCD ,AE在平面BCD上的射影为OEAE — BC..AEO 为二面角A - BC - D 的平面角.在 Rt.AEO 中，AO =、3,OE 3,ta n . AEO 二竺=2,cos. AEO 52 OE 5面角A - BC - D 的余弦值为19 .解:(n)分二步完成，第一步甲先选有C |种不同的方法，然后乙选有 C 4种不同的方法，第三丙选有 C ：种不同的方法，所以一共有2 2 2N = C 6 C 4C 2 = 90种不同的分法...................... 12 (8)分(川)因为没有明确甲乙丙三个人哪一个得1本，哪一个得2本，哪一个得3本，所以共有N =C 6C |C 33A 3 = 360种不同的分法...................... (12)分20.解：记A 表示事件：进入商场的 1位顾客购买甲种商品； 记B 表示事件：进入商场的 1位顾客购买乙种商品； 记C 表示事件：进入商场的 1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种 ； 记D 表示事件：进入商场的 1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种• ............ 2分(I) C = A B A B, P(C)=P (A B A B) = P(A B) P(A B)= P(A) P(B) P(A) P(B) = 0.5 0.40.5 0.6 =0.5 .............. 7 分(n) D = A B,P(D) =P(A B) =P(A)卩(B) =0.5 0.4-0.2P(D) =1 _P(D) =0.8 ........... 12分21.(文科做)解：(I )商场恰好返还给该顾客现金100元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖 .................... 2分1 1 4 248P =C 3( ) ( )..................................... 4分(结果不对扣1分) 5 5125(II )法一：设商场至少返还给该顾客现金 100元为事件A,这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事 件A,有且只有两张中奖为事件 如 有且只有三张中奖为事件 如 则A=A+A+A , A 1A 2A 3是互斥事件••… 6分 P (A ) =P (A 1) + ( PA ) +P (A 3) ................. 8 分= c 3(2)£)2 c 2(1)2 (4) c f (1)3 ................................................ 10分5 5 5 5 512分(I)共有N 二A f A ； =240种排列的方法6 (4)分=：48 .竺•丄__61 ................................................................ 12 分125 125 125 "125法二：商场至少返还给该顾客现金100元即这位顾客的三张奖券中至少有一张中奖，设为事件B,对立事件为B :三张奖券全没有中奖............. 6分P(B)=1-P(B) .................................................................. 8 分则它的o/1、0 /4、3 64P(B) =C3()( ) ..................................... 10分5 5 125••• P(B) =1 _ P(B)』............................. 12 分12521.(理科做)解：E的所有取值为3,4,5 ........................................ 2分P( e=3)= C3 (0.6)3 (0.4)0 C0 (0.6)0 (0.4)3=0.28 ；..................... 4 分P( =4)= C32 (0.6)2 (0.4)1 0.6 C3 (0.6)1 (0.4)2 0.4 = 0.3744 ；............. 6 分P(=5)=C： (0.6)2 (0.4)2 0.6 C2 (0.6)2 (0.4)2 0.4 = 0.3456 ........................ 8 分• E的分布列为:E 3 4 5P 0.28 0.3744 0.3456• E^3X 0.28+4 X 0.3744+5 X 0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656••…12 分22.(普通高中做)解：(I)直三棱柱ABC— A1B1C1，底面三边长AC=3, BC=4AB=5AC丄BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,「. AC丄BC1 ............... 4分(II)设CBi与GB的交点为E,连结DE,T D是AB的中点，E是BG的中点，二DE//A& DEU 平面CDB, AC1U平面CDB,「・AG// 平面CDB ；..... 8 分(III) DE//AC , • / CED为AC 与B1C所成的角, 亠亠1 5 1 5在厶CED 中，ED^— AC 1= , CD=—AB=—,2 2 2 2CE=1CB1=2 ■. 2 ,2cos—CED = 2.2 5异面直线AG与B1C所成角的余弦值1 X3 1222.(示范性高中做)解：(I)连接AC 则0点必为AC 的中点，连结AC 交DB 于P 点，连结AC ,连结 PN ，则有 M0 // AC ' // PN.所以 M 0// 平面 NBD. .......... 4 分(H)过 M 作MQ 丄BB 于Q,过Q 作QRL BN,连结MR,则.MRQ 就是所求二面角 M _BN -B •的平面角•易知 Rt. QBR s Rt. ：BNCBQ=AM =NC=1 , BN = p'BC 2 +NC 2 =、：1 + (*)1 z MQ 厂QR=— ,tan MRO 5 ,Q5 QR 所以二面角 M 「BN -B ■的大小为arctan 52yf25 .12分 1S OMN = MN AM - 4所以V M qBN =V B-OMN 1(立方单位)12分 (川)V M _OBN - V B _OMN 易知B 点到底面OMN 的距离=BP=」 2 8分。
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⎰=+L dx y x )(2_________ 。
0D
ydxdy 奇偶性】
则I =________________。
【
332dv =⋅ 】 64分）
－8 y 所确定，求1
02
2==y x x
z
∂∂。
)z z x +-=30 ；
∂∂z
x
x y ===01
2
∂∂22
01
4z
x
x y ===
14⎫
⎭⎪ D z z z z x x xx xy yx yy ==--=-6112121
214033,xx z ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
13⎫⎭⎪处取极小值。
学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________
………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………
_
12．设闭区域),(.0,:22y x f x y y x D ≥≤+为D 上的连续函数，且
,),(8
1),(22dudv v u f y x y x f D
⎰⎰
-
--=π 求),(y x f
解 设A dudv v u f D
=⎰⎰
),(，在已知等式两边求区域D 上的二重积分，有
,81),(22dxdy A
dxdy y x dxdy y x f D
D
D
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
-
--=π
从而.122A dxdy y x A D
---=
⎰⎰
所以 ⎰⎰⎰-=⋅-=203202
sin 0)cos 1(3112π
π
θ
θθθd rdr r d A .32231⎪⎭
⎫
⎝⎛-=π 故 .32261⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πA 于是 .322341),(2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=ππy x y x f
【注意关键点:
(,)(,)D
D
f u v dudv f u v dudv A =⎰⎰
⎰⎰是一个常数，从而可设】
13．计算二重积分D
xdxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线21
2y x =及直线y =x +4所围成的区域。
解：原式2
4
44
2
31
2
22
1
(4)182
+--=
=+-=⎰
⎰⎰x x xdx dy x x x dx
【注意：先求2
12
y x =与y =x +4的交点，从而2:24,/2 4.X D x x y x -≤≤≤≤+】
14．计算I =Ω⎰⎰⎰
2yz d v ,其中Ω是由x 2+z 2=1,y =0,y =1所围的位于z ≥0部分的立体。
解一．1
1
2d d I x =⎰⎰111
220
22d (1)(1)3
x y x x dx =-=-=
⎰⎰⎰ 解一．22221
21
:10:1002
2
sin 3
xz xz D x z D x z I zdzdx ydy zdzdx d r rdr π
θθ+≤+≤===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰ 【注意: 22:1:02,01,cos ,sin .xz r D x z D r x r z r θθπθθ+≤⇒≤≤≤≤==】
15．已知L 是由221,0x y y x +≤≤≤所确定的平面域的边界线，求⎰+L ds y x 22cos 。
解：D 由 L OA AB BO =++.
其中(0,0),(1,0),O A B
:0,01;OA y x ds dx
=≤≤==
:cos ,sin ,0/4,.AB x t y t t ds dt π==≤≤==
:.0BO y x x ds =≤≤==
cos
d L
s ⎰
1
1cos d cos d )d x x t x π4=
+
+
⋅⎰
⎰
2
2
)2sin(1cos 41sin x +π
+
=1cos 4
1sin 2π
+
= 16．计算曲线积分⎰+++L dy y x y dx y x x )cos()sin(2222，式中L 是正向圆周 222
x y π
+=
11．解：法一。
（L
参数化后直接计算）,2x t y t π=
=
≤≤,
2220
1
sin
cos
)cos 02
2
22
L
I x dx y dy td t t
π
ππ
π
π=⋅+⋅==
⋅=⎰⎰
法二. (直接用格林公式+对称区间上积分考虑被积函数的奇偶性)
2222()(2sin()2cos())20x y D
D
D
I Q P dxdy xy x y xy x y dxdy xydxdy =-=-+-+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
法三（先化简，再计算）22
:/2L x y π+=注意，从而先将积分化简再按法一法二处理即可。
sin
cos
(00)02
2
L
L
D
I x dx y dy x dxGreen dxdy π
π
=⋅+⋅=⋅-=⎰⎰⎰⎰ 公式，或
20
sin
cos )0
2
L
L
I x dx y dy x dx td t π
π
π
=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰
参数化L .
四、证明 （1小题，共8分）
17．试证曲面xyz a =3的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。
证明：曲面上点()x y z 000,,处的切平面法向量
{}
y z z x x y =000000,, 切平面方程为 y z x x z x y y x y z z 0000000000()()()-+-+-= 即
x x y y z z 3331000
++= 切平面与三个坐标平面所围四面体的体积
V x y z a =
⋅⋅=163339
2
0003为常数。