2019春九年级数学下册 第24章 圆 24.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论课件(新版)沪
2020学年数学九年级下册第24章圆24.3圆周角教案
24.3 圆周角第1课时圆周角的概念、定理和推论【教学目标】1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角的定理.3.理解圆周角定理的推论.4.熟练掌握圆周角的定理及其推理并能灵活运用.【重点难点】重点：圆周角的定理、圆周角定理的推导及运用它们解题.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.┃教学过程设计┃教学过程设计意图二、师生互动,探究新知1.教师引导学生观察发现：∠AOB、∠ACB、∠ADB它们的大小之间有何关系,得出结论.2.教师引导学生探索：(1)分别测量»AB所对的两个圆周角的度数,比较—下,再变动一下点C在圆周上的位置,有何变化？你能发现其中的规律吗？把你的结论与同伴交流一下.(2)再分别测量一下»AB所对的两个圆周角与圆心角的度数有哪些等量关系？跟你的小组说一说你的发现.让学生通过观察,得出结论,激发学生的求知欲望.让学生亲自动手度量,进行实验、探通过上面的问题我们就得到下面的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3.引导学生验证验证：下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”(1)圆心在角的一边上,如图1；(2)圆心在角的内部,如图2；(3)圆心在角的外部,如图3.图1 图2图34.教师提出问题：在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧相等吗？5.让学生思考下面的两个问题.(1)一个特殊的圆弧——半圆,它所对的圆周角是什么样的角？(2)如果一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角？这个圆周角所对的弦有什么特点？教师适当引导得出结论：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.究、得出结论.通过该问题引导学生探究、发现圆周角定理,初步感知.教师通过引导学生自主、合作、探究、验证,培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.激发学生求知、探索的欲望.┃教学小结┃24.3 圆周角第2课时圆的内接四边形┃教学过程设计┃┃教学小结┃。
9年级数学(第24章 圆)24.3 圆周角(沪科版 学习、上课课件)
知1－练
技巧提醒 圆周角定理可以将圆心角与圆周角进行转化，因
此求一个圆周角的度数时，我们可以求与之相等的 另一个圆周角的度数，也可以求同弧所对的圆心角 的度数.根据题目所给的条件选用其一进行求解即可.
感悟新知
解：如图24.3-3，连接OC. ∵ BC=BD， ∴∠ BOC= ∠ BOD=50°. ∴∠ A= 12∠ BOC= 12×50°=25°
定理解题． 特别提醒 1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的
对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的 对角的度数. 2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的 两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等的弦所 对的圆周角相等或互补.
感悟新知
解：∵四边形ABCD 内接于⊙ O， ∴∠ A+ ∠ C=180°， ∴∠ A=180°－∠ C=70°． 由圆周角定理得∠ BOD=2 ∠ A=140°． ∵ OB=OD，
的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有 外接圆.
感悟新知
知3－练
例 5 [中考·宜昌] 如图24.3-7， 四边形ABCD 内接于⊙ O， 连接OB，OD，BD，若∠ C=110°，则∠ OBD 的度 数是( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣圆内接四边形的性质和圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所 在同圆中，一条弧所 对的圆心角唯一 对的圆周角有无数个
两边都与圆相交
感悟新知
知1－练
例 1 如图24.3-3，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若 ∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
感悟新知
解题秘方：连接OC，将求B︵C 所对的圆周角转 ︵
沪科版数学九年级下册24.3 圆周角定理及其推论教案与反思
24.3 圆周角原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！玉壶存冰心,朱笔写师魂。
——冰心《冰心》第1课时圆周角定理及其推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA，OB，在⊙O上任取一点C，连接CA，CB.∵AB＝OA＝OB，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝12∠AOB＝30°.即弦AB所对的圆周角等于30°.[来源:学科ZXXK]如图②所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则∠BAD＝12∠BOD，∠ABD＝12∠AOD.∴∠BAD＋∠ABD＝12(∠BOD＋∠AOD)＝12∠AOB.∵AB的长等于⊙O的半径，∴△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°.∴∠BAD＋∠ABD ＝30°，∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，即弦AB所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB所对的圆周角的度是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格上，则∠AED 的正切值等于( )A. B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB＝1.故选D. 方法结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力.【素材积累】1、黄鹂方才唱罢，摘村庄的上空，摘树林子里，摘人家的土场上，一群花喜鹊便穿戴着黑白相间的朴素裙裾而闪亮登场，然后，便一天喜气的叽叽喳喳，叽叽喳喳叫起来。
沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计
沪科版数学九年级下册24.3《圆周角》教学设计一. 教材分析《圆周角》是沪科版数学九年级下册第24章的教学内容，主要包括圆周角的定义、圆周角定理及其推论。
通过本节课的学习，学生能理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能运用其解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了圆的基础知识，具备一定的几何思维能力。
但是，对于圆周角的定义和定理的理解，以及如何运用定理解决实际问题，还需要进一步引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，能运用定理解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：圆周角的定义，圆周角定理及其推论。
2.难点：圆周角定理的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生主动探索和发现圆周角的性质。
2.互动法：鼓励学生之间进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.实践法：让学生通过实际操作，加深对圆周角定理的理解。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、圆规、直尺、多媒体设备。
2.学具：学生用书、练习册、圆规、直尺。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基础知识，如圆的定义、圆心角等。
然后提出问题：“什么是圆周角？”，激发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示圆周角的定义，并用动画演示圆周角的形成过程。
同时，引导学生观察和思考圆周角与圆心角的关系。
3.操练（10分钟）教师给出一些具体的圆周角例子，让学生用圆规和直尺进行测量和画图，加深对圆周角的理解。
4.巩固（10分钟）教师提出一些关于圆周角的问题，让学生进行小组讨论和交流，共同解决问题。
同时，教师进行巡视指导，帮助学生克服困难。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考圆周角定理的证明，并分组进行证明实验。
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第一课时初中九年级下册数学
第十一页，共二十四页。
（3）圆心(yuánxīn)在∠BAC的外部.
作直径(zhíjìng)AD.
1 由于(yóuyú)∠DAB=2 ∠DOB
1
∠DAC= 2∠DOC， 所以∠DAC-∠DAB= 1（∠DOC-∠DOB）
2 1
即∠BAC= 2∠BOC
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第十二页，共二十四页。
A
O
D
BO
C
（2）如图，△ABC是等边三角形，动点
C
P在圆周的劣弧(lièhú)AB上，且不与A、
B重合，则∠BPC等于（
）B
A.30°B.60°C.90°D.45°
A
B
P
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第十八页，共二十四页。
3 . 如图 AB是⊙O的直径(zhíjìng), C ,D是圆上的两点,若
∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿50＿°＿＿.
D
A
O 40° B
C
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第十九页，共二十四页。
4.求证：如果三角形一边上的中线(zhōngxiàn)等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形．
（提示：作出以这条边为直径的圆.）
1
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 2 AB
求证(qiúzhèng)： △ABC 为直角三角形.
C
1 所以∠BAC= ∠2 BOC
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第十页，共二十四页。
（2）圆心(yuánxīn)在∠BAC的内部.
作直径(zhíjìng)AD.
Hale Waihona Puke 由于(yóuyú)∠BAD12=
∠BOD
A
O
九年级数学下册 第24章 圆 24.3 圆周角教学课件沪科沪科级下册数学课件
如图24-39，四边形ABCD内接于⊙O，这时，它的每一
个角都成为圆周角.利用圆周角定理，我们来研究圆内接四边
形的角之间的关系.
D A
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O
B
CE
图 24-39
第二十五页，共三十一页。
知识(zhī shi)精讲 定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角(wài jiǎo)都等于它的 内对角.
1
∴ ∠ABC= -∠AOC.
2
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第十页，共三十一页。
知识精讲
➢ 那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC
又有怎样的大小(dàxiǎo)关系呢？
A
C
A C
O
O
B B
我们可以(kěyǐ)考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑.
也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D.
∴ ∠AOD=2∠ABD ,
B
B①
同理， CBD 1COD. 2
ABD1AOD . 2
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ABDCBD 1AODCOD 2
ABC AOC
第十五页，共三十一页。
知识精讲
➢ 通过对三种情形的证明，同学们再认真(rèn zhēn)观察图形，你会
得到什么结果？
A
C
A C
A C
O B
O
B B
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2
2
第十二页，共三十一页。
知识精讲
如图，连接BO并延长(yáncháng)，与圆相交于点D。（此时我们得
到与图①同样的情形）
∵ ∠AOD是△ABO的外角(wài
jiǎo), ∴ ∠AOD=∠A+∠ABO. ∵ OA=OB , ∴ ∠A=∠ABO.
沪科版九年级下册24.3圆周角教学设计(共三课时)
沪科版初中数学九年级第24章圆教学设计 24.3圆周角（共三课时）第一课时圆周角与圆心角的关系一．教学背景（一）教材分析本课内容是在学生已经学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基础上进行研究的。
通过本课的学习，一方面可以巩固圆心角与弧的关系定理，另一方面圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广泛。
所以这一节课既是前面所学知识的继续又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.另外，通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此，这节课无论在知识上，还是在方法上，都起着十分重要的作用。
（二）学情分析本课内容是在学生已经了解圆的基本性质，会判断圆心角，基本掌握了圆心角与弧、弦、弦心距之间的关系，熟练掌握了三角形的外角定理的基础上进行研究的。
初三的学生已具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，再通过合作交流逐步完善自己的想法，因此本节课设计成探究课，给学生提供探索与交流的空间，体现知识的形成过程。
二．教学目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2.经历探索圆周角的有关性质的过程，渗透由“特殊到一般”的数学思想方法．体会分类、转化等数学思想方法。
三．教学重难点教学重点：1.圆周角及圆周角定理2.探索圆周角与圆心角的关系是本课时的重点.教学难点：了解圆周角的分类，用化归思路合情推理验证“圆周角与圆心角的关系”及圆周角定理的简单应用。
四．教学方法分析及学习方法指导教学方法分析本课以教师为主导，学生为主体，知识为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以“探究式教学法”为主、启发式教学法、多媒体辅助教学等多种方法相结合，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。
学习方法指导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的精讲、点拨使观察、实验、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。
沪科版九年级数学下册第二十四章《 圆周角定理》公开课课件
第24章 圆
24．3 圆周角 第1课时 圆周角定理
1．顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的 角叫做__圆周角__．
2．一条弧所对的圆周角等于__它所对圆心角__ 的一半． 3．在同圆或__等圆__中，同弧或__等弧__所对的圆周 角__相等__，相等的圆周角所对的弧也相等． 4．半圆或__直径__所对的圆周角是__直角__；90°的圆 周角所对的弦是__直径__．
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/302021/7/302021/7/30Jul-2130-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/302021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
16．(10 分)如图所示，⊙C 经过原点，并与两坐标轴交 于 A，D 两点，已知∠OBA＝30°，点 D 的坐标为(0，2)， 求点 A 与圆心 C 的坐标．
解：连接 AD，过 C 作 CM⊥OA，点 M 为垂足，则∠ ODA＝∠OBA＝30°，在 Rt△AOD 中，OA＝2 3 3，∴点 A 的坐标为(2 3 3，0)，又∵∠AOD＝90°，∴AD 为⊙O 的直径， C 为 AD 的中点，∴OM＝12OA＝ 33，CM＝12OD＝1，∴C 点 坐标为( 33，1)
A．12 个单位 B．10 个单位 C．4 个单位 D．15 个单位
6．(5 分)如图所示，AB 是半圆的直径，点 D 是A︵C的中 点，∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( C )
A．55° B．60° C．65° D．7 题图)
7．(5 分)如图所示，若 AB 是⊙O 的直径，AB＝10 cm， ∠CAB＝30°，则 BC＝__5__cm.
第24章圆单元教学计划
单元备课单元名称：第二十四章圆教学内容及教材分析本章的主要内容包括：（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，•圆和圆的位置关系．（3）正多边形和圆．（4）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．教学目标知识与技能（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、•弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，•探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；•理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．过程与方法积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验．单元教学重难点重点是圆的相关计算，难点是切线的证明与应用。
主要教学方法、手段、选用的教学媒体讲解法、谈话法、演示法、讨论法；班班通单元课时划分24．1 圆 3课时24．2 与圆有关的位置关系 4课时24．3 正多边形和圆 1课时24．4 弧长和扇形面积 2课时小结 1课时单元测试 2课时。
24.3.1圆周角-定理及推论 沪科版
O A B
化 归 完全归纳法
O
A B
分类讨论
圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半
C
O A B
1、已知∠AOB＝75°, 求：∠ACB
2、已知∠AOB＝120°，
O B
C
求：∠ACB
A
3、已知∠ACD＝30°, 求：∠AOB
O
C
4、已知∠AOB＝110°, B 求：∠ACB
A
O
E O1 C
C 在同圆或等圆中
如图，⊙O1和⊙O2是等圆， 如果弧AB＝弧CD，那么 ∠E和∠F是什么关系？反 过来呢？
A
D B
O2
F
推论1 在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。 B C
A
C
O
B
D
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C E D A O B
什么时候圆周角是直角？
反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什 么性质？反过来呢？
AD是ΔABC的高，AE是
ΔABC的外接圆直径。 求证：AB· AC＝AE· AD。
A
O
经验： •构造直径上的圆周 角，是常用的辅助线
B E
D
C
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
•Hale Waihona Puke 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月6日星期一2021/9/62021/9/62021/9/6 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/62021/9/6September 6, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/62021/9/62021/9/62021/9/6
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 9:39:02 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021
第24章 圆
知识点 反证法
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问他 为什么不去摘? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙 伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
第24章 圆
24.3 圆周角
知识点 中心对称
判断一个图形是不是中心对称图形,关键是看能否找到一个点, 将这个图形绕着这个点旋转180°后与原图形重合.
第24章 圆
24.2 圆的基本性质
知识点 圆的定义
古希腊的数学家认为:一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中 最美的是圆形.它的完美来自于中心对称,无论处于哪个位置,都具有同一形 状,它最协调、最匀称.人们的生活离不开圆,车轮设计成圆形,这是因为圆周 上的点到圆心的距离都相等.车子行驶起来平稳,并且圆形的车轮滚动时摩 擦力小,行驶起来比较省力.如果把车轮做成三角形、四边形或者椭圆,那么 可以想象汽车在行驶的时候颠上颠下,谁都难以忍受这种折腾.
知识点 切线长及切线长定理
如果将人的手臂看成是一条直线,身体也看成是一条直线,画出这个 造型的截面图如下图,即切线长定理的基本几何模型.
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆、内心
下图中美丽的图案中三角形的各边都和圆相切,这个三角形是圆的 外切三角形,这个圆是三角形的内切圆.
知识点 垂径分弦
在垂径定理的推论中,一定要注意“弦不是直径”这一条件,因为圆 的任意两条直径都互相平分,但它们不一定是互相垂直的.
知识点 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
同学们,我们的生活中经常见到五角星,你知道怎样才能画 出一个规则的五角星吗?可以先画一个圆,然后通过画72°圆心 角的方法就可把圆周五等分,然后连接5个顶点,你就会得到规则 的五角星,快动手试试吧!
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角(第1课时圆周角定理及推论)练习(无答案)(新版)沪科版
第1课时 圆周角定理及推论1.如图，已知圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的度数是( ) A ．156°B ．78°C ．39°D ．12°2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC＝30°，则∠BAC 的度数为( ) A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3.如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（ ） A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个4.如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ，若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°5.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是ACB ︵上一点，D ，E 是AB ︵上不同的两点(不与A ，B 两点重合)，则∠D＋∠E 的度数为( )A ．mB ．180°－m2C ．90°＋m2D ．m26.如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF＝x °，则x 的取值范围是( )A ．30≤x ≤60B ．30≤x ≤90C ．30≤x ≤120D ．60≤x ≤1207.如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC ⌒ =BD⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= . ODCB A8.如图，已知点E 是圆O 上的点，B ，C 是AD ︵的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED 的度数为________．9.如图，在⊙O 中，F ，G 是直径AB 上的两点，C ，D,E 是半圆上的三点，如果弧AC 的度数为60°，弧BE 的度数为20°，∠CFA =∠DFB ，∠DGA =∠EG B ．求∠FDG 的大小10.如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC11.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD 、BC 相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD 的值.12.如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°． （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．13.如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC 于点E，F，连接DE，DF.(1)求证：∠EAF＋∠EDF＝180°.(2)已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG.设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论(在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．。
第二十四章圆学情与教材分析
第二十四章圆学情与教材分析第24章圆（一）学情分析：与三角形、四边形等一样，圆也是平面几何中最基本的平面图形，在几何中占有重要地位。
学生在研究本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在研究了这些直线型图形──三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形──圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。
通过本章的研究，对学生今后继续研究数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用。
本章的研究是高中的数学研究，尤其是圆锥曲线的研究的基础性工程。
（二）教材分析：1.核心素养经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论和归纳的数学思想；研究正多边形的有关问题是通过把问题转化为直角三角形中的问题来解决，正多边形的画图通过等分圆来完成等等，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的方法，对学生进行辩证唯物主义观点的教育，提高学生分析问题和解决问题的能力；在观察、操作和推导活动中，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力；在圆的有关性质的探索和证明中，进一步培养学生的合情推理能力和发展学生的演绎推理能力。
2.本章研究目标（1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点和圆的位置关系.（2）*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.（3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，理解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.(4)了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.(5)了解三角形的内心和外心，会利用基本作图作三角形的外接圆、内切圆.(6)了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，会利用基本作图作圆的内接正方形和正六边形.(7)会计算圆的弧长、扇形的面积.(8)结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生演绎推理能力；通过本章的教学，进一步培养学生综合运用所学知识，分析问题、解决问题的能力.3.课时安排本章讲授时间约需16课时，具体分配如下（仅供参考）：24.1圆5课时24.2点和圆、直线和圆的位置关系5课时24.3正多边形和圆1课时24.4弧长和扇形的面积2课时章末回顾1课时4.本章重点（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．（4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．（5）不在同一直线上的三个点确定一个圆．（6）直线L和⊙O相交d<r；直线L和圆相切d=r；直线L和⊙O相离d>r及其运用．。
24.3 第1课时 圆周角定理及其推论
圆周角定理推论1 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
AB
几何语言
∠CAD 和∠CGD 均是 CD 所对的
圆周角
CAD CGD C
CD EF
CAD EBF
E O
F G D
思考：如图，AC 是⊙O 的直径， D
则∠ADC = 90 °， ∠ABC = 90 °. A
有什么特点？
A
像∠A 这样，顶点在圆上，并
且两边都与圆还有另一个公共点
的角叫做圆周角.
B
O C
判断下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由.
B
B
C
A
C
O· A
O ·
·O
C A
是
A
顶点
A 不在圆上
B
边
B
AC
没有和圆相交
O· CA
B
顶点 A 不在圆上
CC ·O
是B
·O A
是
圆周角定理及其推论
观察与思考
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
A
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
O PBห้องสมุดไป่ตู้
= 100°.
D
方法总结：在圆中，如果有直径，可考虑找直径所对的
圆周角，构造直角三角形解题．
P29 练习5证明：如果三角形一边上的中线等于该边的 一半，那么这个三角形是直角三角形
C
A
D
B
课堂小结 定义
O
C
B 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的
圆周角所对的弦是直径.
数学九年级人教版24.3+正多边形和园教案
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正多边形和圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正多边形的性质和正多边形与圆的接切关系这两个重点。对于难点部分，如正多边形的内角公式推导，我会通过直观图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正多边形和圆相关的实际问题，如如何计算正六边形花坛的面积。
2.教学难点
-正多边形的内角和边长关系，特别是如何推导出正多边形的内角公式；
-正多边形与圆的接切关系，尤其是如何通过圆的半径和正多边形的边长关系来解决实际问题；
-在实际问题中，如何识别和运用正多边形和圆的性质来简化问题。
举例：
a)难点解释：正多边形的内角公式推导，可以从正三角形的内角和开始，逐步推导到一般情况，强调从特殊到一般的思想方法；
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解正多边形的定义及性质，掌握正多边形与圆的关系，包括内接和外切；
-学会计算正多边形的面积和周长，并能运用这些知识解决实际问题；
-通过正多边形和圆的探究，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
举例：重点讲解正五边形、正六边形的性质，以及它们与圆的关系，引导学生通过实际测量和计算来验证正多边形的面积和周长公式。
实践活动环节，学生们的参与度很高，小组讨论也进行得如火如荼。我发现有些小组在解决问题时能够灵活运用所学知识，而有些小组则稍显吃力。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加注重培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。