大学数学教案第7章

第七章 定积分第一节 定积分的概念教学目标：1、了解定积分的定义2、掌握曲边梯形的面积求解3、理解曲边梯形的几何意义 教学重点：定积分的定义 教学难点：定积分的定义 教学过程：1、 定积分问题举例 例1：求曲边梯形的面积曲边梯形的应用基本步骤： （1）分割（2）近似代替（3）求和（2） 取极限例2：求变速直线运动的路程当物体做匀速直线运动时，有公式 路程=速度⨯时间当变速直线运动时，()()0(≥=t v t v v 且()t v 连续）如何求物体从时刻1T t =到时刻2T t =所经过的路程s ？（1） 分割（2） 近似代替（3） 求和（4）取极值2、定积分的定义定义：设函数f*(x)在区间[ a,b ]内任意插入n –1个分点 bx x x x a n =<<<<= 210 把区间[ a,b ]分成 n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-每个小区间的长度依次为,011x x x -=∆,122x x x -=∆……,1--=∆n n n x x x 在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ作乘积()i i x f ∆ξ（i=1,2,3^^^^^）并作和()ini ix f ∆∑=1ξ此和称为f(x)在[ a,b ]上的积分和，也称为黎曼和。

记{}n x x x ∆∆∆=,,,max 21 λ如果不论对[ a,b ]采取怎样的分法，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ怎样取法，当0→λ时，和式()ini ix f ∆∑=1ξ总有确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在[ a,b ]上的定积分，也称为黎曼积分记作：⎰badx x f )(即⎰badx x f )(=∑=→=∆ni i i I x f 1)(lim ξλ其中f(x)为被积函数，x 为积分变量，f(x)dx 为被积表达式，[ a,b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 成为积分上限。

注意：如果定积分存在，则积分值只与被积函数与积分区间有关，而与区间的分法和点的取法是无关的，而且与积分变量用什么字母来表示是无关的，所以有⎰ba dx x f )(=⎰badt t f )(=⎰badu u f )(则前面的实际问题可以表示为：定理1：（可积的必要条件）若函数f(x)在[ a,b ]上是可积的，则函数f(x)在[ a,b ]必定是有界的。

定理2：（可积的充分条件）设函数f(x)在[ a,b ]上有定义，若函数f(x)满足下述的条件之一：（1） 函数f(x)在[ a,b ]是连续的； （2） 函数f(x)在[ a,b ]上只有有限个间断点，且有界（3） 函数f(x)在[ a,b ]上是单调的 则函数f(x)在[ a,b ]上是可积的。

3、定积分的几何意义例1：计算定积分⎰102dx x例2：利用定积分的几何意义，求dx x ⎰-121的值。

第二节 定积分的性质教学目标：掌握定积分的7个性质，并能应用性质解决一些相关问题。

教学重点：定积分的性质 教学难点：定积分性质的应用 教学过程：性质1 如果函数f(x)和g(x)在[ a,b ]上可积，则()()x g x f ±在[ a,b ]上也是可积的，且()()[]()()⎰⎰⎰±=±ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f性质2 如果函数f(x)在[ a,b ]上可积，k 是任意常数，则kf(x)在[ a,b ]上可积，且⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()(性质3 设函数f(x)在[ a, c],[ c,b ]及[ a,b ]上都是可积的,则有⎰⎰⎰+=bac abcdx x f dx x f dx x f )()()(\其中c 可以在[ a,b ]之内,也可以在[ a,b ]之外.性质4:如果在区间[ a,b ]上,()1≡x f ,则f(x)在[ a,b ]上可积,且⎰⎰⎰-===bab abaa b dx dx dx x f 1)(可仿效定理1证明性质5: 如果函数f(x)在[ a,b ]上可积,且对[ a,b ]内任意点x,有()0≥x f ,则⎰≥badx x f 0)(推论 :如果函数f(x),g(x)在[ a,b ]上都可积,且对任意()b x a x ≤≤,有()()x g x f ≤,则()dx x g dx x f baba⎰⎰≤)(性质6: 设函数f(x)在[ a,b ]上可积，且M,m 分别是f(x)在[ a,b ]上的最大值与最小值，则()⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()(性质7：（定积分中值定理）设函数f(x)在[ a,b ]上连续，则在[ a,b ]上至少存在一点ξ，使()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ定积分中值定理的几何意义：在[ a,b ]上至少存在一点ξ，使以[ a,b ]为底边，以曲线y=f(x)()()0≥x f 为曲边的曲边梯形的面积与同一底边而高为()ξf 的一个矩形面积相等。

例1：试估计定积分⎰21ln xdx 的值的取值范围。

例2：不计算定积分的值，试比较⎰2cos πxdx与⎰202cos πxdx 的大小。

第三节微积分基本公式教学目标：1、理解变上限积分函数的定义2、掌握牛顿—莱布尼兹公式并能熟练应用教学重点：牛顿—莱布尼兹公式教学难点：理解变上限积分函数的定义教学过程：1、变速直线运动中路程函数与速度函数之间的联系设一物体做变速直线运动，路程函数为s(t)速度函数为v(t)2、变动上限的积分及其性质设函数f(x)在区间上连续，则f(x)在区间上可积，即函数()xφ的几何意义是上面图形的右侧直边可以移动的曲边梯形的面积。

如图这个曲边梯形的面积随x的位置的变动而改变，且当x给定后，面积()xφ也随之而定。

积分上限函数()xφ=⎰x a dt t f)(具有下面的重要性质。

定理1：若函数f(x)在[ a,b ]上连续，则变动上限的积分()xφ=⎰x a dt t f)(在[ a,b ]上可导，且()⎰≤≤==Φxabxaxfdttfdxdx))(()(/定理2：（原函数存在定理）在区间[ a,b ]上连续的函数f(x)的原函数一定存在，且函数()⎰=Φxadttfx)(就是f(x)在区间[ a,b ]上的一个原函数。

例1：求⎰x a tdtdxd2cos例2：求⎰>xeaadtttdxd)0(ln例3：求极限xtdt xx ⎰→020cos lim3、 牛顿（Newton ）—莱布尼兹（Leibniz ）公式定理3：若函数f(x)在区间[ a, b ]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，则())()(a F b F dx x f ba-=⎰也叫做微积分基本公式。

它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系，从而把连续函数的定积分计算问题转化为求被积函数的一个原函数在区间[ a, b ]上的增量问题，这旧为定积分的计算提供了一个简便而有效的方法。

例4：求⎰12dx x例5：求由曲线y=sinx 在x=0,π=x 之间及x 轴所围成的图形的面积。

例6：求⎰+10221dx x x例7：求⎰--121dx x例8：求⎰--222cos 1ππdx x第四节： 定积分的换元法教学目标： 教学重点： 教学难点： 教学过程： 1、导入：计算定积分可以分为两步：（一） 求被积函数f(x) 的原函数F(x)； （二） 用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分的值F(b)-F(a)但是求不定积分有时需要用换元积分法，最后还要代回原来的变量，这一步有时比较复杂。

例：求)0(022>-⎰a dx x a a2、新课讲解： 定理：若（1） 函数f*(x)在积分区间[ a, b ]上连续、 （2） 函数()t x ϕ=在[]βα,上是单值的且具有连续导数；（3） 当t 在[]βα,上变化时，()t x ϕ=的值在[ a, b ]上变化，且(),a =αϕ()b =βϕ则()[]()dt t t f dx x f ba/)(ϕϕβα⎰⎰=这个公式叫做定积分的换元公式例1：求⎰+111dx x例2：求⎰-2121dx xx例3：求⎰205sin cos πxdx x例4：求⎰-π53sin sin dx x x例5：求⎰+1011dx e x例6：设函数f(x)在[—a,a ]上连续，证明： （1） 若f(x)为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(（2） 若f(x)为奇函数，则⎰-=aadx x f 0)(例7：利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）⎰-+554321sin dx x xx （2）⎰-++2242)531(dx x x例8：证明：⎰⎰=2020cos sin ππxdx xdx n n第五节：定积分的分部积分法、 教学目标： 教学重点： 教学难点： 教学过程： 1、 定理：若函数u(x),v(x)在区间[a,b]上具有连续导数()()x v x u //,则⎰=badx x v x u )()(/u(x)v(x)|b a()()⎰-badx x v x u /证明：2、 例题：例1：求⎰20cos πxdx x第六节：定积分的近似计算教学目标：教学重点：教学难点：教学过程：1、导入：根据牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，首先要求出被积函数的原函数，但有时候被积函数的原函数不易求出，或者原函数不能用初等函数表示。

此外在实际应用中，有时候被积函数是用图形或函数值表给出的，这时候就不能用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分了。

因此，我们需要讨论定积分的近似计算法。

2、新课讲解常见的有三种：矩形法、梯形法和抛物线法。

1、矩形法矩形法就是把曲边梯形分成若干窄曲边梯形，然后每个窄曲边梯形都用一个窄矩形代替，把所有窄矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值。

具体做法如下；2、梯形法如图，在每个小区间上以窄梯形的面积代替窄曲边梯形的面积就得到定积分的近似公式：例1：用矩形法、梯形法分别计算定积分⎰-102dxe x的近似值。

3、抛物线法例2：用抛物线法计算⎰-12dx e x 的近似值，并利用例1的表中所列的相应数据。

例3：分别用矩形法、梯形法、抛物线法计算⎰+1021x dx的近似值。

第七节：广义积分 教学目标： 教学重点： 教学难点： 教学过程：我们前面讨论的定积分，其积分区间是有限区间，且被积函数是有界函数。

但在实际问题中，还会遇到积分区间是无穷区间，或被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分。