05大数定律及中心极限定理

概率论
定 1 得 由 理即 nA limP{| − p |< ε } n→∞ n 1 = limP{| ( X1 + X2 +L+ Xn ) − p |< ε } = 1 n→∞ n nA 或 limP{| − p |≥ ε } = 0 证毕
n→ ∞
n
注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 充分 大时，事件A发生的频率 发生的频率n 与事件 的概率p有较 与事件A的概率 大时，事件 发生的频率 A/n与事件 的概率 有较 大偏差的概率很小. 大偏差的概率很小
概率论
说明
1n 1 定 中 ∑ Xi −µ |< ε }是 一 随 事 ， 、 理 {| 指 个 机 件 ni=1 n 当 →∞时 这 事 的 率 于 . ， 个 件 概 趋 1
2 定 以 学 式 明 随 变 X1,LXn 、理 数 形 证 了 机 量 1n 的 术 均 = ∑ Xi 接 数 期 E（ k = µ 算 平 X 近 学 望 X） ni=1 k , （ = 1,2L n） 这 接 说 其 有 稳 性. ， 种 近 明 具 的 定
n→∞ np(1− p) t2 1 − 2 = Φ(x) e dt 2π
≤ x} = limP{ k=1
∑ Xk − np np(1 − p)
n
≤ x}
ηn ~ N(np, np(1− p))
近似地
limP{
n→∞
ηn − np
np(1− p)
≤ x} = ∫−∞
x
1 e dt = Φ(x) 2π
t2 − 2
η 证 由第四章知识知可将 n分解成为n个相互独立、
从 一 服 同 (0 − 1)分 的 随 变 X1, X2,LXn之 ， 布 诸 机 量 和

有 即
ηn = ∑ Xk
k=1
n
中 , 其 Xk (k = 1,2,L n)的 布 为 分 律 P{Xk = i} = pi (1 − p)1−i , i = 0,1
或 证明
nA limP{| − p |< ε } = 1 n→∞ n nA limP{| − p |≥ ε } = 0 n→∞ n
伯努利
为 因 nA ~ b(n, p),由 可 示 此 表 为 nA = X1 + X2 +L+ Xn
中 互 立 且 服 以 为 数 （ ） 其 相 独 ， 都 从 p以 参 的 0 − 1 布 而 D 分 .因 E( Xk ) = p， ( Xk ) = p(1− p),
n 1 1 n σ2 D ∑ Xk = 1 ∑D( Xk ) = 2 ⋅ nσ 2 = nk=1 n2 k=1 n n
由切比雪夫不等式
σ2 n 1n P ∑ Xk − µ < ε ≥ 1− 2 ε nk=1 上式中令 n →∞ 得
1 n lim P{| ∑ Xi −µ |< ε } = 1 n→ ∞ ni=1
概率论
于 , ， 由 E( Xk ) = p, D( Xk ) = p(1 − p) k = 1,2,L n)
定 由 理4得 理
n→∞
limP{
ηn − np
=∫
x
−∞
定理表明， 很大， 是一个定值时（ 定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值时（或 很大 是一个定值时 者说， 也不太小时），二项变量 者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 ηn 的分布 也不太小时），二项 近似正态分布 N(np,np(1-p)). 即
种 定 的 义 明 术 均 是 概 这 稳 性 含 说 算 平 值 依 率 敛 意 下 近 一 数 收 的 义 逼 某 常 .
概率论
问题 : 重贝努里试验中事件A发生 设nA是n重贝努里试验中事件 发生 重贝努里试验中事件 的次数， 是事件 发生的概率， 是事件A发生的概率 的次数，p是事件 发生的概率，
n
n
k=1
F x 的分布函数 n( x)对于任意 满足
n ∑ X − nµ i=1 i limF ( x) = limP ≤ x n n→∞ n→∞ σ n 2 1 -t 2 x e dt = Φ(x) = ∫-∞ 2π
注 1 定 表 ， 立 分 的 机 量 和∑ Xk , 、 理 明 独 同 布 随 变 之
随 变 X 相 独 ， 从 一 设 机 量 1, X2 ,LXn,L 互 立 服 同 分 ， 具 数 期 和 差 布 且 有 学 望 方 : E( Xk ) = µ, D( Xk ) = σ 2
标 化 量 (k = 1,2,L， 随 变 之 ∑ Xk的 准 变 ) 则 机 量 和
Yn = k=1 ∑ Xk − nµ n σ
如取 ε
2
当方差已知时，切比雪夫不等式给出了 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它 与它 的期望的偏差不小于 ε 的概率的估计式 .
取值偏离E(X)超过 3σ 的概率小于 的概率小于0.111 . 则 r.v X取值偏离 取值偏离 超过
σ σ P{| X − E( X ) |≥ 3 } ≤ 2 ≈ 0.111 9σ 可见，对任给的分布， 存在， 可见，对任给的分布，只要期望和方差 σ 2存在，
设 的 率 度 f (x)， 有 X 概 密 为 则
P{ X − µ ≥ ε} = ≤
X −µ ≥ε
∫
f (x)dx x−µ
2
X −µ ≥ε
∫
σ2 ≤ 2 ∫ (x − µ)2 f (x)dx = 2 ε −∞ ε
1 +∞
ε
2
f (x)dx
概率论
σ P{| X − E( X) |≥ ε} ≤ 2 ε
2
事件{|X-E(X)|< ε }的概率越大，即随机变量 集 的概率越大， 随机变量X 事件 的概率越大 中在期望附近的可能性越大. 中在期望附近的可能性越大
由切比雪夫不等式可以看出， 越小， 由切比雪夫不等式可以看出，若 σ 2越小，则
概率论
我们只就连续型随机变量的情况来证明. 我们只就连续型随机变量的情况来证明 证
2
=3 σ
概率论
例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是 数平均是 ，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 式估计每毫升白细胞数在 之间的概率 解：设每毫升白细胞数为X 设每毫升白细胞数为 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 依题意， 所求为 P(5200 ≤ X
概率论
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现， 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 自然界中极为常见
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成， 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 影响中所起的作用不大 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 的规律性问题 无限增大时， 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
n 近似地 n
3、虽然在一般情况下，我们很难求出 ∑ Xk 的分 、虽然在一般情况下， 布的确切形式，但当 很大时 可以求出近似分布. 很大时， 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布
k=1
n
概率论
定理2(棣莫佛－拉普拉斯（ Laplace定理 定理） 定理 (棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） (n=1,2,‥‥)服从参数 设随机变量ηn (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1) 的二项分布，则对任意x， 的二项分布，则对任意 ，有
件 生 频 可 代 事 的 率 事 发 的 率 以 替 件 概 .
概率论
5.3
例题
中心极限定理
中心极限定理
课堂练习 小结 布置作业
概率论
中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机 因素的综合（或和)影响所形成的 影响所形成的. 因素的综合（或和 影响所形成的 例如： 例如：炮弹射击的 落点与目标的偏差， 落点与目标的偏差， 就受着许多随机因 如瞄准， 素（如瞄准，空气 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个 每个随机因 阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的 每个随机因 素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小 素的对弹着点（随机变量和） 弹着点 那么弹着点服从怎样分布哪 的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？ 那么
≤9400)
≤ 9400) = P(-2100 ≤ X-E(X) ≤ 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 ≤ X
≤
2100}
概率论
由切比雪夫不等式
D( X) P{ |X-E(X)| ≤ 2100} ≥1− (2100)2 1 8 700 2 =1− ( ) = 1− = 9 9 2100
概率论
概率论
5.1 切比雪夫不等式
定 理 设 机 量X具 数 期 E( X) = µ,方 随 变 有 学 望 差 D(X) = σ 2,则 于 意 数ε， 不 式 对 任 正 有 等
或
σ P{| X − E( X) |≥ ε} ≤ 2 ε 2 σ P{| X − E( X) |< ε} ≥1− 2 ε
2
切比雪夫
做前 n 个随机变量的算术平均 则对任意的ε>0，有 则对任意的 ，
1 n X = ∑Xk n k=1
limP{| X − µ |< ε } n→ ∞ 1 n = lim P{| ∑ Xi −µ |< ε } = 1 n→ ∞ ni=1