线性代数 1-5行列式的应用
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次 与齐次线性方程组的概念 • 二、Cramer法则 • 三、应用 • 复习小结
§1.5 行列式的应用
• 一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性 方程组的概念 • 二、 Gramer法则 • 三、应用 • 复习小结
一、含n个未知量n个方程的非齐次与齐次线性方程组的概念
解
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x 2 x 3 2 x 4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0. r1 2r2 r4 r2
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
67 , 3
3 3 2 0 4 0 D2 1 11 6 1 1 5 6 系数均为0; 又等式右端为D2 . D2 x2 . 于是 Dx2 D2 . D
用D中第3列元素的代数余子式 A13 , A23 , A33 依次乘方程组的 3个方程
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
例2 用克莱姆法则解方程组 3 x1 5 x2 2 x3 x4 3, 3 x 4 x 4, 2 4 x1 x2 x3 x4 11 6 , x1 x2 3 x3 2 x4 5 6 .
大学线性代数-克莱姆(Gramer)法则
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零 , 此时称方程组为齐次线性方程组.
二、 Gramer法则
定理1 如果线性方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
记
b1 D1 b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
用D中第1列元素的代数余子式 A11 , A21 , A31 依次乘方程组的3个方程
的两边
a11 x1 a12 x2 a13 x3 A13 b1 A13 得 a21 x1 a22 x2 a23 x3 A23 b2 A23 a31 x1 a32 x2 a33 x3 A33 b3 A33
将3个方程的两边相加，得
(a11 A13 a21 A23 a31 A33 ) x1 (a12 A13 a22 A23 a32 A33 ) x2 (a13 A13 a23 A23 a33 A33 ) x3 b1 A13 b2 A23 b3 A33
由代数余子式的性质可知, 上式中x3的系数等于D ,
解
3 5 2 0 3 0 D 1 1 1 1 1 3
1 4 67 1 2
0,
由上页 3 4 D1 11 6 56
5 2 3 0 1 1 1 3
1 4 1 2
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式实际应用案例
行列式实际应用案例行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
然而，除了在数学理论中的抽象运用外，行列式在现实生活中也有着许多实际应用案例。
在本文中，我们将介绍一些行列式在实际中的应用案例，以便更好地理解行列式的重要性和实用性。
首先，行列式在工程领域中有着重要的应用。
在工程设计中，经常需要求解多元线性方程组，而行列式可以用来判断线性方程组的解的情况。
通过计算行列式的值，可以确定方程组是否有唯一解、无解或者有无穷多解，这对于工程设计师来说是非常重要的信息。
比如，在建筑设计中，需要确定柱子和横梁的受力情况，就可以通过求解线性方程组来得到所需的信息。
其次，行列式在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，经常需要进行投资组合的优化，而行列式可以用来计算投资组合的收益和风险。
通过构建投资组合的收益-风险矩阵，可以得到一个n阶方阵，其行列式的值可以用来评估投资组合的风险和收益的关系，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
此外，行列式在计算机图形学中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，经常需要进行三维空间的变换和投影，而行列式可以用来表示和计算这些变换的矩阵。
通过计算变换矩阵的行列式，可以判断变换是否可逆，从而确定变换的性质和效果。
这对于计算机图形学的研究和应用具有重要的意义。
最后，行列式在生物学和化学中也有着一些应用。
在生物学和化学中，经常需要进行分子结构的分析和计算，而行列式可以用来表示和计算分子的结构和性质。
通过计算分子的行列式，可以得到分子的能量、稳定性和反应性等重要信息，这对于生物学和化学的研究具有重要的意义。
综上所述，行列式在实际生活中有着许多重要的应用案例，涉及到工程、经济、计算机图形学、生物学和化学等多个领域。
通过对这些应用案例的了解和掌握，我们可以更好地理解行列式的重要性和实用性，从而更好地应用行列式解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的实际应用，以及行列式在不同领域中的重要作用。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵和向量运算中有着广泛的应用。
行列式的运算法则是指在进行行列式的各种运算操作时所遵循的一些规则和性质。
本文将详细介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常用的运算法则。
一、行列式的定义行列式是一个数，它与一个方阵相关联。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|，其中n表示方阵的阶数。
对于2阶方阵，行列式的计算公式为：|A| = a11*a22 - a12*a21其中a11、a12、a21、a22分别表示方阵A的各个元素。
二、行列式的性质行列式具有一些重要的性质，这些性质在行列式的运算中起到了重要的作用。
1. 互换性质：交换方阵A的两行（或两列）的位置，行列式的值不变。
2. 共线性质：如果方阵A的某两行（或两列）成比例，行列式的值为0。
3. 零性质：如果方阵A的某行（或某列）全为0，则行列式的值为0。
4. 数乘性质：如果将方阵A的某一行（或某一列）的所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k。
5. 加法性质：如果方阵A的某一行（或某一列）的元素是两个向量的和，行列式的值等于这两个向量对应位置的元素的行列式的和。
三、行列式的运算法则行列式的运算法则包括行列式的加法、减法、数乘、转置、乘法等。
1. 行列式的加法和减法对于两个n阶方阵A和B，它们的行列式之和（差）等于对应元素的行列式之和（差）：det(A±B) = det(A) ± det(B)2. 行列式的数乘对于一个n阶方阵A，将它的每一行（或每一列）都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k：det(kA) = k^n * det(A)3. 行列式的转置对于n阶方阵A，将它的行和列对调，得到的方阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
转置矩阵的行列式与原方阵的行列式相等：det(A^T) = det(A)4. 行列式的乘法对于两个n阶方阵A和B，它们的乘积的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：det(AB) = det(A) * det(B)四、行列式的应用行列式在线性代数中有着广泛的应用，尤其是在矩阵和向量运算中。
行列式在中学数学中的应用
行列式在中学数学中的应用行列式是线性代数中的基本概念之一，它是一种对于方阵的特殊函数，用于描述和计算矩阵的各种性质。
在中学数学中，我们常常遇到一些看似与行列式无关的问题，但实际上，巧妙地运用行列式能够简化解题过程，提高解题效率。
本文将介绍行列式的基本概念及其在中学数学中的应用，旨在帮助读者更好地理解行列式的意义和作用。
在介绍行列式的应用之前，我们需要先了解一下行列式的定义和性质。
行列式是由矩阵的行和列构成的，表示为一个标量，记作D。
对于一个n阶方阵A，其行列式可以定义为：D = a11 * a22 *... * ann其中aij表示矩阵A中的元素。
行列式具有以下基本性质：行列式与矩阵的阶数有关，即D(A) = D(n)；行列式是唯一确定的，即对于同一个矩阵A，其行列式D(A)是唯一值；行列式的值与矩阵中的元素有关，元素不同则行列式的值也不同。
在中学数学中，行列式可以应用于解线性方程组、求逆矩阵、证明定理等方面。
以下是一些具体应用示例：线性方程组是中学数学中的重要内容，使用行列式可以简化解题过程。
例如，对于以下线性方程组：a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c.. anx + bny = cn我们可以将其系数构成一个n阶矩阵A，将其右侧的常数项构成一个列向量b，则该方程组可以表示为Ax = b。
使用克莱姆法则，我们可以求解出x的值，其中行列式D(A)起到了关键作用。
在中学数学中，我们学习了逆矩阵的概念及其求法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵A-1满足AA-1 = I，其中I是单位矩阵。
利用行列式，我们可以快速求解逆矩阵。
由D(A) = 0以及D(I) = 1，可得D(AA-1) = D(A)D(A-1) = 0，因此有D(A-1) = 1/D(A)。
在一些定理的证明过程中，行列式也能够发挥重要作用。
例如，对于一个n阶方阵A，如果D(A) ≠ 0，则A可逆。
这个定理的证明就涉及到行列式。
行列式的应用
行列式的应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域，比如数学、物理、工程等。
行列式的计算方法和性质十分丰富，它可以帮助我们解决很多实际问题。
首先，行列式在线性代数中起到了非常关键的作用。
线性代数是研究向量空间的一个分支，而向量空间中很多重要的性质和定理都与行列式密切相关。
矩阵的行列式可以用来判断矩阵的可逆性。
若一个矩阵的行列式为零，那么该矩阵就是奇异矩阵，不能求逆；反之，若一个矩阵的行列式不为零，那么该矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。
其次，行列式在解线性方程组中有着重要的应用。
通过行列式的计算可以判断线性方程组的解的情况。
对于一个n阶线性方程组，若系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解；若系数矩阵的行列式为零，但方程组的增广矩阵的行列式不为零，则方程组无解；若系数矩阵和增广矩阵的行列式都为零，则方程组有无穷多解。
此外，行列式还广泛应用于线性变换和特征值问题中。
在线性变换中，矩阵的行列式可以帮助我们判断变换后的空间面积或体积的变化情况。
如果一个线性变换的矩阵的行列式大于1，则变换会使原来的图形面积或体积扩大；如果行列式小于1，则变换会使原来的图形面积或体积缩小。
在特征值问题中，矩阵的特征值通过行列式的计算得到，特征值的大小和特征向量的方向可以帮助我们了解矩阵的性质和特点。
此外，行列式还在概率统计中有着重要的应用。
在概率统计模型中，行列式可以用来判断多变量概率分布的独立性。
如果一个多变量概率分布的协方差矩阵的行列式为零，那么多变量之间就是线性相关的，它们之间存在一定的依赖关系；如果行列式不为零，则多变量之间是独立的。
行列式在工程中也有着广泛的应用。
在结构力学中，通过计算矩阵的行列式可以判断结构体系的稳定性和变形情况。
在电力系统中，行列式可以用来解决电力网络的潮流计算问题。
在图像处理中，行列式可以用来进行图像的压缩和恢复等。
总之，行列式作为线性代数的重要工具，应用广泛。
无论是数学领域，还是其他领域，行列式都能发挥重要的作用，帮助我们解决实际问题。
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
大学数学及应用行列式
大学数学及应用行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，应用十分广泛。
在大学数学及应用中，我们学习了行列式的定义、性质和计算方法，并探讨了行列式在线性方程组、线性变换、向量空间和特征值等方面的应用。
下面我将详细介绍行列式的相关知识。
首先，行列式是一个数字，用来表示一个方阵的性质。
对于一个n阶方阵A=[a_ij]，可以通过把方阵A的元素按照一定规律排列得到一个数，这个数就是方阵A的行列式，记作det(A)或A 。
行列式的定义如下：1. 当n=1时，A=[a]，那么det(A)=a。
2. 当n>1时，A=[a_ij]，那么det(A)=a_11A_11 - a_12A_12 + ... +(-1)^(n+1)a_1nA_1n，其中A_ij表示刨去第i行第j列的(n-1)阶子阵的行列式。
接下来，我们来了解行列式的性质。
行列式具有以下几个重要的性质：1. 行列互换性：交换行列式的两行（或两列），行列式的值不变，即det(A)=det(B)，其中B是将A的两行进行交换得到的阵。
2. 行列式的倍加性：若把方阵A的某一行（或一列）的k倍加到另一行（或一列）上去，行列式的值不变，即det(A)=det(B)，其中B是将A的某一行（或一列）的k倍加到另一行（或一列）上得到的阵。
3. 行列式的性质与转置：对于方阵A和它的转置A^T，有det(A)=det(A^T)。
4. 行列式的性质与逆阵：对于n阶方阵A，A可逆的充要条件是det(A)≠0，且有det(A^(-1)) = 1/det(A)。
利用这些性质，我们可以通过进行行列变换，化简给定的方阵，使计算行列式的过程更简单。
常见的行列变换包括初等行变换和初等列变换。
初等行变换包括：（1）互换两行；（2）某一行乘以一个非零常数；（3）某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
而初等列变换与初等行变换类似。
行列式的计算方法有很多种，其中最常见的是按照拉普拉斯定理进行展开。
线性代数1-5
⊕
r4 + r3
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 − 0 0 1 −1 2 × (− 2 )
0 0 0 −1 0 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 − 0 0 1 −1 2 × (− 2 )
0 0 0 −1 0 0 0 2 2 −2
要证: 要证 D
L L L L L L L
a1n L a jn L, ain L ann
ri ↔ rj r1 ↔ r3 ci ↔c j c2 ↔ c4
−D 1
D = ∑ (− 1) a1 p1 Laipi La jp j Lanpn
t
(− 1)t b1 p Lb jp Lbip Lbnp =∑
1 i j
;
性质６ (2): ri + k × rj 性质６
a11 M ai1 M a j1 M an1
a12 M ai 2 M a j2 M an 2
L L L L
a1n M ain M a jn M ×k ann
+
ri + krj
a11 M ai 1 + ka j3; ka j 2 M a j2 M an2
1 −1 2 − 3 1 0 0 −1 0 − 2 r5 − 4r1 0 2 0 4 −1 0 −2 1 −5 3 0 0 2 2 −2
1 −1 2 0 −2 1
−0 0 0 2 0 0 0 −1 2
r2 ↔ r4
−3 −5
4 0 2
1
3 −1 −2 −2
⊕
1 −1 0 −2 r2 ↔ r4 −0 2 0 0 0 0
初数数学中的行列式公式详解
初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。
对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。
二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。
2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。
3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。
拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。
三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。
1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。
2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。
3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。
4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。
5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。
四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。
行列式的应用
行列式的应用行列式是一个重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些行列式的应用：1. 线性代数中的解析几何：行列式可以用来描述向量的线性相关性，判断向量组是否线性相关或线性无关，以及计算向量组的体积、面积等几何性质。
2. 线性代数中的矩阵方程求解：行列式可以用来求解线性方程组的解，通过计算行列式的值可以判断线性方程组是否有唯一解、无解或有无穷多个解。
3. 线性代数中的矩阵的逆：行列式可以用来判断矩阵是否可逆，即是否存在逆矩阵。
通过计算行列式的值可以判断矩阵是否可逆，若行列式的值不为零，则矩阵可逆。
4. 线性代数中的特征值与特征向量：行列式可以用来计算矩阵的特征值，特征值与特征向量在很多应用中具有重要的意义，例如在物理学中的量子力学和振动系统的分析中。
5. 几何学中的面积和体积计算：行列式可以用来计算平面上的三角形面积、立体图形的体积等几何性质。
通过构建矩阵并计算行列式的值，可以得到几何性质的解析表达式。
6. 统计学中的多元随机变量的联合密度函数：行列式可以用来计算多元随机变量的联合密度函数。
通过计算行列式的值，可以得到多元随机变量的概率分布。
7. 物理学中的刚体运动学：行列式可以用来描述刚体的转动和运动。
通过计算刚体的转动惯量矩阵的行列式，可以得到刚体的转动惯量，从而分析刚体的运动状态。
8. 工程学中的电路分析：行列式可以用来分析电路的相关参数，如电流、电压的分布、电路的功率等。
通过构建电路的增广矩阵，并计算其行列式的值，可以得到电路的解析解。
以上仅是行列式的一些应用领域，实际上行列式在数学、物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
行列式相关知识点及其应用
行列式相关知识点及其应用2023年，行列式已经成为了高中数学教学中不可或缺的一部分。
行列式是线性代数中的重要概念，它从某种程度上来说是一个矩阵的量度，能够描述矩阵的性质和变换。
首先，行列式的概念。
行列式是一个数学上的函数，它可以用来计算一个方形矩阵的值。
行列式的计算方法非常简单，只需要对矩阵进行特定的变换就可以得到。
行列式的符号为“|A|”，其中A代表的是一个方形矩阵。
在行列式中，有一个非常重要的概念——行列式的性质。
行列式的性质共有六条，它们分别是：1. 交换行：将矩阵的任意两行互换，行列式的值反号。
2. 交换列：将矩阵的任意两列互换，行列式的值反号。
3. 数乘行：将矩阵的某一行乘以一个数k，行列式的值乘以k。
4. 数乘列：将矩阵的某一列乘以一个数k，行列式的值乘以k。
5. 行加行：将矩阵的一行加上另一行的k倍，行列式的值不变。
6. 列加列：将矩阵的一列加上另一列的k倍，行列式的值不变。
这些性质非常重要，因为它们为行列式的计算提供了很多简便的方法，能够大大减少计算量。
除此之外，行列式还有一些重要的应用。
其中最重要的一个就是求方程组的解。
对于一个由m个线性方程组成的方程组，我们可以将其表示成矩阵的形式，然后通过求矩阵的行列式来解方程组。
如果行列式不为0，则方程组有唯一解；如果行列式等于0，则有无数解或无解。
此外，行列式还可以用来描述矩阵的性质和变换。
通过行列式的值，我们可以判断矩阵的行列式、行列式的正负性、行列式的大小等。
这些性质在矩阵变换中非常有用。
最后，我想说一下行列式在计算机科学中的应用。
在现代计算机技术中，行列式被广泛用于图形学和计算机视觉领域。
在图形学中，行列式可以用来计算3D对象的方向和大小，而在计算机视觉领域中，行列式则可以用来识别数字、文字和图像等。
综上所述，行列式是线性代数中的重要概念，它具有很多重要的性质和应用。
对于学习数学的学生来说，深入理解行列式的原理和运用，对提高数学能力和发展科学素养都有着重要的意义。
工程数学线性代数同济第五版课件1-5
n1
.
0
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a
b ab 2a b 3a b
c abc 3a 2b c 6a 3b c
d abcd 4a 3b 2c d 10 a 6 b 3 c d
例4 计算
D
a a a
解
从第4行开始，后行减前行
r4 r 3 r3 r2 r 2 r1
D 0.
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性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
第行 i （列）乘以
a 11 a 12 a1n ka i 1 ka i 2
k ，记作 ri k ( c i k )
a 11 a 12 a1n
ai2 a in
2n
解 将第2n行依次与第2n-1行、…、第2行对调 （共作2n-2次相邻对换），再把第2n列依次与第 2n-1列、…、第2列对调，得到
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a c 0 D 2n ( 1)
2(2n 2)
b d 0
0 0 a
0 0 b
a c
b d d
2( n 1)
0
0
c
由上例题，得到递推公式
D 2 n ( ad bc ) D 2 ( n 1 ) ( ad bc ) D 2 ( n 2 )
1 3 1 2 2
上页 下页
r3 3 r1
r4 4 r1
0 0 0 0
r 2 r4
0 0 0 0
1
1 2 0 0 0
2 1 1 1 2
3 5 1 0 2
行列式性质详解及应用
行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。
本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。
设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。
根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。
若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。
二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。
2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。
通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。
三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。
1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。
对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。
2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。
行列式在线性方程组中的应用
行列式在线性方程组中的应用
行列式在线性代数中具有非常重要的地位，很多线性代数的问题都可以转化为计算行列式来解决。
为了使学生更好地理解与掌握行列式的知识，灵活运用行列式知识，以下总结和归纳了行列式的一些应用。
1在矩阵中的应用
1.1求矩阵的秩
矩阵的秩：中非零子式的最高阶数。
例1.1求的秩。
解根据矩阵秩的定义。
在矩阵中，存在二阶子式。
而三阶子式只有一个，即。
所以，。
1.2证明矩阵可逆，并且可以求出逆矩阵
定理1.2矩阵可逆的充要条件是，且，其中为的伴随矩阵。
例1.2求矩阵的逆矩阵。
2.2判定线性方程组的解
定理2.2如果（2.1）对应的齐次线性方程组的系数行列式，则该齐次线性方程组只有零解，没有非零解;反之也成立。
3在向量组中的应用
3.1判定向量组线性相关（无关）
结论对于个维向量，，…，构成的向量组。
当时，向量组线性相关;当时，向量组线性无关。
例3.1判断向量组是线性相关还是线性无关。
解因为，所以此向量组线性相关。
4在相似矩阵及二次型中的应用
4.1求矩阵的特征值
矩阵的特征值一种计算方法：计算满足的值。
例4.1求矩阵的特征值。
解的特征多项式为，
所以的特征值为，。
4.2判断二次型的正定性
定理4.2二次型为正定的充要条件是：的各阶顺序主子式都为正。
例4.2判断二次型的正定性。
5结束语
线性代数课程具有较强的逻辑性、抽象性，在教学中，教师要对知识点进行总结和归纳，使学生对知识内在联系把握清楚，从而达到融会贯通的效果。
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例10 设3阶矩阵A,B相似，A 的两个特征值为1,2， 若|B|=2,则 ( A + E )−1 O =? * (2B) O (1) | B |= λ1λ2λ3 ; ( 2) A ∼ B ⇒| A |=| B |; 64 A O 3 (3) =| A || B |; O B
克莱姆(Cramer)法则
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注意解唯一 证明方法
若有一组数c1, c2 ,…, cn满足(*), 则
⋯ ⋯
a11c1 a12 a11 a12 ⋯ a1n a21c1 a22 a21 a22 ⋯ a2 n = Dc1＝ c1 ⋮ ⋮ ⋮ an1c1 an 2 a n 1 a n 2 ⋯ a nn
1 1 2 3 1 3 6 1 D= 3 −1 −k 15 = 1 −5 −10 12
1 1 3 2 1 1 2 3 4 −2 0 2 4 −2 0 2 = 0 0 −k + 2 2 0 −4 −k − 6 6 0 0 3 0 0 −6 −12 9
＝6(2－k)≠0 ∴k≠2时方程组有唯一解。
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⎛2 ⎜ 1 ⎜ A= ⎜⋮ ⎜ ⎝1 1 ⋯ 1⎞ ⎟ 2 ⋯ 1⎟ ⇒ ∆ k = k + 1 > 0( k = 1, 2,⋯ , n ) ⋮ ⋮⎟ ⎟ 1 ⋯ 2⎠
λ = 1或 µ = 0
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考研 ) 已知齐次线性方程组 例4 (03 (03考研 考研)
⎧(a1 + b ) x1 + a2 x2 + a3 x3 + ⋯ + an xn = 0 ⎪ ⎪a1 x1 + (a2 + b) x2 + a3 x3 + ⋯ + an xn = 0 ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ ⎩a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ⋯ + ( an + b) xn = 0
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例9 设下列多项式的四个根之和。
x −3 a −1 4 5 x −8 0 −2 f ( x) = 0 b x +1 1 2 2 1 x
方法一
f ( x ) = ( x − 3)( x − 8)( x + 1) x + g ( x )
= x 4 − 10 x 3 + kx 2 + lx + s
∴x1=1, x2=x3=…=xn=0
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证明：下列方程组只有零解。 例6 设a＞b ＞ c ＞ 0, 0,证明：下列方程组只有零解。
⎧ax + a 2 y + bcz = 0 ⎪ 2 bx + b y + acz = 0 ⎨ ⎪ cx + c 2 y + baz = 0 ⎩
n
其中
∑a
i =1
i
≠ 0 , 试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.
D≠0
D＝0
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解：
n
∑a
i =1
i
+ b a2
a3 ⋯ an
0 b 0 ⋯ ⋯ ⋯
n 0 = ( ∑ ai + b)b n −1 0 i =1 ⋮ b
D=
0 0 ⋮ 0
n i =1
b 0
0
∴(1)b≠0且
∑a
i
+ b ≠ 0时方程组仅有零解；
n
. 时方程组有非零解. (2) b＝0或 b = − ∑ ai 时方程组有非零解
i =1
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考研 )解方程组 例5 (96 (96考研 考研)
2 ⎧ x1 + a1 x2 + a1 x3 + ⋯ + a1n −1 xn = 1 ⎪ 2 n −1 x a x a x a + + + ⋯ + ⎪ 1 2 2 2 3 2 xn = 1 其中 ai≠aj (i, j 1,2,…,n) ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ x + a x + a 2 x + ⋯ + a n−1 x = 1 n 3 n n ⎩ 1 n 2
, 齐次线性方程组 例3 问 λ , µ 取何值时 取何值时, ⎧ λ x1 + x2 + x3 = 0 ⎪ ? 有非零解 有非零解? ⎨ x1 + µ x2 + x3 = 0 ⎪ x + 2µ x + x = 0 2 3 ⎩ 1 解: 有非零解的充分必要条件D＝0 λ 1 1 λ −1 1 1 = (1 − λ ) µ D= 1 µ 1 = 0 µ 1 0 2µ 1 1 2µ 1 由D＝0得
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例7 已知行列式
a b c d x −1 − y z +1 D= 的代数余子式 1 −z x + 3 y y − 2 x +1 0 z +3
A11 = −9, A12 = 3, A13 = −1, A14 = 3, 求 x, y , z
直接求出代数余子式，获得的方程不是线性的，求解 困难。 利用展开定理推论，可获得三元一次线性方程组
线性代数
数学科学学院 陈建华
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主要内容
• 克莱姆法则 • 特征值计算 • 向量线性相关性判定 • 二次型正定性判定
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克莱姆 (Cramer)法则 一、 一、克莱姆 克莱姆(
设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 ⎧a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ ⎪a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = b2 (*) ⎨ ⋮ ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 + ⋯ + ann xn = bn 或表示为
齐次线性方程组当且仅当系数行列式为零。 解： a a 2 bc
D = b b2 c c2 a a2 ca = b b 2 ab c c 2 a 2 + ab + bc + ca b 2 + ab + bc + ca c 2 + ab + bc + ca
a a2 1 = ( ab + bc + ca ) b b 2 1 = ( ab + bc + ca )(b − a )( c − a )(c − b ) < 0 c c2 1
⎧ −9 x − 3 + y + 3 z + 3 = 0 ⎪ ⎨ −9 − 3 z − x − 3 + 3 y = 0 ⎪−9 y + 18 + 3 x + 3 + 3 z + 9 = 0 ⎩
解此方程组，得
x = 0, y = 3, z = −1
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二、特征值计算
例8 计算行列式
a1n a2 n ⋮ ⋯ ann
a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ an 2 ⋯ ann
a11c1 + a12c2 + ⋯ + a1ncn a12 ⋯ a1n b1 a21c1 + a22c2 + ⋯ + a2ncn a22 ⋯ a2n b2 = = ⋮ ⋮ ⋮ bn an1c1 + an2c2 + ⋯ + anncn an2 ⋯ ann
＝D1
D1 ∴ x1 = ( D ≠ 0) D Dj 同理: Dxj＝Dj ⇒ x j = , j = 1, 2,⋯ , n
D
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2 齐次线性方程组 定理 定理2
n
∑a
j =1
ij
x j = 0 i = 1, 2,⋯ , n
当 D≠0 时只有零解, 没有非零解.
n
3 若齐次线性方程组 定理 定理3 有非零解, 则 D＝0
由韦达定理，四个根之和等于10
g ( x ) 的次数小于3
方法二：四个根是相应矩阵的特征值，故它们的和等于 矩阵的迹：tr(A)=10
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方阵的行列式的性质
设A是n阶矩阵，则有：
(1) | AT |=| A | ( AT 是转置矩阵） (2)| kA |= k n | A | ( k 是常数） (3) | AB |=| A | ⋅ | B | ( B 是n阶矩阵） (4)| A−1 |=| A |−1 ( A 是可逆矩阵） (5) | A* |=| A |n −1 ( A* 是伴随转置矩阵） (6) | A |= λ1λ2 ⋯ λn (λ1 , λ2 ,⋯ , λn 是全体特征值）
x1= 3 x2= - 4 x3= - 1 x4= 1
同理 D1=81, D2=－108, D3=－27, D4=27
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例2 k 取何值时, 线性方程组 ⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1 ⎪ ⎪ x1 + 3 x2 + 6 x3 + x4 = 3 ? 有唯一解 有唯一解? ⎨ ⎪3 x1 − x2 − kx3 + 15 x4 = 3 ⎪ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = 1 ⎩ 解: