1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 知识点及习题
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
【正、余弦函数的定义域、值域】 正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R ，值域都 是 ．对于正弦函数 y＝sin x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 对于余弦函数 y＝cos x，x∈R 有： 当且仅当 x＝ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x＝ 时，取得最小值－1. 【正、余弦函数的单调性】 正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是 2π，首先研究它们在一个周期区间上函 数值的变化情况，再推广到整个定义域． π 3π 函数 y＝sin x，x∈ －2， 2 的图象如图所示：
2
1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函 数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 2．求三角函数值域或最值的常用求法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函 数的单调性等来确定 y 的范围. 【当堂训练】
例 1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． π 23 π 17 (1)sin 与 cos 156° ；(3)cos －18与 sin－10；(2)sin 196° － 5 π与 cos－ 4 π.
小结 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单 调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
3
鸡西市第十九中学高一数学组
训练 1
比较下列各组数的大小． 37 49 － π与 sin π；(2)cos 870° (1) sin 与 sin 980° . 6 3
例2
1 π 求函数 y＝1＋sin －2x＋4，x∈[－4π，4π]的单调减区间．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一 正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二 正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三 正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二 三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称； 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四 求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)
作业
▪ A. 小结 ▪ B. P53 A2（3）（4） ▪ C. 五点法画y=2cosx-1的图象
x k ,k Z
对称中心： L ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)L
22 2
2
( k ,0) k Z
2
例题
▪
求
y sin(2x )
3
函数的对称轴和对称中心
解（1）令
z 2x
3
则
y sin(2x ) sin z
3
y sin z 的对称轴为 z k ,k Z
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
当x在区间L [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ]L上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增1 大到 。1
当x在区间 L [2 , ]、[0， ]、[2，3 ]L 上时，
曲线逐渐下降， sinα的值由 1减小到 。1
探究：余弦函数的单调性y
(
O
2
2
1
2k , 2k
3
2
)
2 kZ
5 2
3
x
2
2
(2)cos x 0 :
3
( 2k , 2k )
kZ
2
2
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(习题课)
专题一、对称性和周期性综合题
5、f ( x) sin x的一条对称轴x
2
, 一个对称中心（0, 0）
f ( x) sin x的周期T =4
2
-0
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x)
一般的，若f ( x)对任意的x, 都有
f ( x)有一个对称轴 x a和一个对称中心 (b, 0)
2、 x) sin x, sin(2
f ( x) sin x的一个对称中心 ( ,0) cos( x) cos x, f ( x) cos x的一个对称中心 ( , 0)
2
一般的，若对函数f ( x), 对任意x都有
f (2a x) f ( x)， f ( x)的一个对称中心 ( a, 0)
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x
2
有最大值 y 1 2k 时， 有最小值 y 1 2k 时，
最小值：当x
2
重要复习2：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
2013-5-8 王山喜-1.4.2正余弦函数的性质习 题课 10
专题一、对称性和周期性综合题
周期函数的定义及变式
(1) x, f ( x a) f ( x), T a
(2) x, f ( x a) f ( x), T
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的性质(二)
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
12/9/2021
第二十一页，共三十三页。
已知函数 f(x)＝sin2x＋cos x＋43x∈0，23π，则
函数 f(x)的值域为( )
A．[1,2]
B．－14，74
C.－34，1
12/9/2021
第九页，共x＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数(hánshù)求 单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体 “z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝ Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
D．cos－π6＜cos－π5
【答案】C
12/9/2021
第六页，共三十三页。
3 ． (2018 年 内 蒙 古 呼 伦 贝 尔 二 模 ) 若 函 数 f(x) ＝ 1 ＋ asin ax＋π6 (a ＞ 0) 的 最 大 值 为 3 ， 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ________．
求最值．
12/9/2021
第二十七页，共三十三页。
1．函数 y＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( )
A.－π4，4π C.0，π2 【答案】C
B．π4，34π D．π2，π
【解析】若函数 y＝cos 2x 递减，应有 2kπ≤2x≤π＋2kπ，k
∈Z，即 kπ≤x≤π2＋kπ，k∈Z，令 k＝0 可得 0≤x≤π2.
第2课时(kèshí) 正弦函数、余弦函数的性质(二)
12/9/2021
第一页，共三十三页。
目标定位
重点难点
1.借助图象理解正、余弦函数在
正弦函数、余弦函数的性质(基础知识+基本题型)(含解析)
5. 4.2正弦函数、余弦函数的性质（基础知识+基本题型）知识点一 周期函数定义：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.由周期函数的定义可知，周期T 并不唯一，若周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，我们便称这个数为最小正周期，以下我们说的周期一般指最小正周期.【拓展】（1）周期函数的定义是对定义域中的每一个x 来说的，只有个别的x 的值满足()()f x T f x 不能说T 是()f x 的周期.（2）从等式“()()f x T f x ”来看，应强调的是自变量x 本身加的非零常数T 才是周期，例如(2)()f x T f x 恒成立，但T 不是()f x 的周期，若写成(2)(2())(2)2T f x T f xf x ，则2T是()f x 的周期.（3）如果T 是函数()f x 的周期，那么(,0)kT kZ k也一定是函数()f x 的周期.（4）周期函数的定义域不一定是R ，但是一定是无限集.（5）对于周期函数来说，并不是所有的函数都有最小正周期，如函数0,y x R . 【拓展】求三角函数的周期的常见方法（1）公式法：对于sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+（A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0），2||T πω=. （2）观察法（图象法）：画出函数图象，观察图象可得函数周期. 知识点二 正弦函数、余弦函数的性质R R【拓展】（1）正弦函数（余弦函数）不是定义域上的单调函数.另外，说“正弦函数（余弦函数）在第一象限内是增(减）函数”是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍.（2）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值.（3）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0.考点一函数的奇偶性问题【例1】若函数()siny x xϕ=+（0ϕπ≤≤）是R上的偶函数,则φ可以等于A. 0B.4πC.2πD. π解析：因为sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而cos y x =是R 上的偶函数，所以2πϕ=，故选C. 答案：C总结：判断一个函数或者是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为或中的一个。
1.4.2(2)正弦_余弦函数的性质(奇偶性、单调性)上课用(全)
关键：借助y sin z的单调性。
1 思考：函数y sin( x ), x [2 ,2 ]的 2 3 单调递减区间。
小
结：
奇偶性 [ 单调性（单调区间）
+2k, +2k],kZ 单调递增 2 2 3 [ +2k, +2k],kZ 单调递减 2 2
例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请 写出取最大值、最小值时的自变量x的集合， 并说出最大值、最小值分别是什么？
(1)y= cosx +1, x∈R
(2)y= –3sin2x, x∈R
例4 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1) sin( ) 与 sin( ) 18 10 解： 2 10 18 2 又 y=sinx 在[ , ] 上是增函数
正弦、余弦函数的奇偶性:
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…
2
…
0
1
…
2
…
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于 原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x， 且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数 增函数 减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题． 解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关 于原点对称， 且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理 一、正弦函数和余弦函数的单调性
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质2(奇偶性、单调性、最值及对称性)
4、单调性的几何意义：
若函数在[a,b]上是增函数，则图象＿＿＿上；升 若函数在[a,b]上是减函数，则图象＿＿下＿降。
第3页，共21页。
遥远的回忆
5、M是函数的最大值：
2
5 2
x
3
7 2
4
增区间为 22,22k，2 2k（ k 其 Z值）从-1增至1
减区间为
2
,322k，32
2k（ k
Z）其值从
1减至-1
第9页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=cosx (xR[-π) ，π])
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
cos(-x)= cosx (xR)
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
2
3
4
5 6 x
第8页，共21页。
3.正弦、余弦函数的单调性：
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
y=ssiinnxx
((xxR)
2
),
3 2
2
x
2
…
2
sinx -1
1
…
3 2
-1
3
2
y=cosx
y
1
0
2
3 2
1.4.2正弦函数余弦函数的性质(2)
12
12
函数的增区间为： 51π2
+
kπ，11π 12
+
kπ
三. 对称性
y=sinx (xR)
y
-4 -3
-2
.
-
.1
o
.
.
2
3
4
-1
y=cosx (xR)
y
-4 -3
-2
. . . . 1
-
o
2
3
4
-1
5 6x 5 6x
函数 y=sinx(xR)
y=cosx(xR)
对称轴
x k , k Z
y cos x
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
余弦函数的图象 余弦函数是偶函数
问题：它们的图象有何对称性？
新课讲解：一.正弦函数的单调性 y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
3
7 2
x
4
x
2
…0
…
2
…
…
3 2
sinx -1
0
1
0
-1
y=sinx (xR)
+2k],kZ 上单调递增。
2
2
练习：求下列函数的单调增区间：
(3)y = 2sin( π - 2 x) 3
解：Q y = 2sin（π - 2x）= -2sin（2x - π）
3
3
\ 单调增区间为：
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)[学习目标]1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小． 3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间． [知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin [(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)， 所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)也是周期函数，最小正周期也是2π|ω|.2．观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1. [预习导引]正弦函数、余弦函数的性质：续表续表要点一 求正、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， ∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式． 跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ；(2)y ＝log cos x .解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )， 亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )．(2)由cos x >0，得2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z . ∵12<1，∴函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间即为 u ＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )的递减区间，∴2k π≤x <2k π＋π2，k ∈Z .故函数y ＝log 12cos x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )． 要点二 正、余弦函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 解 (1)∵－π2<－π10<－π18<π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°； 从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数， ∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．跟踪演练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π；(2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， ∵0°<150°<170°<180°，∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三 求正、余弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域．解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72.规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性． 跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，23π答案 D解析 由π2≤x ＋π6≤32π解得π3≤x ≤43π.故选D. 2．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25πD ．sin 2>cos 1 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.故选D.3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π. ∴cos 23π≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B.4．求函数y ＝f (x )＝sin 2 x －4sin x ＋5的值域． 解 设t ＝sin x ，则|t |≤1， f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1) g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10]．所以y＝f(x)的值域为[2,10]．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．3．求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.一、基础达标1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么()A．sin α>sin βB．sin β>sin αC．sin α≥sin βD．sin α与sin β的大小不定答案D3．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是()A ．－1B ．1C ．－12 D ．－5 答案 C解析 由题意，得y ＝2sin 2 x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝ －2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 4．对于下列四个命题：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π4＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；③tan 138°＞tan 143°；④tan 40°＞sin 40°. 其中正确命题的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 B5．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A. 6．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.答案 34解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 7．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2； (2)y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2.解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．要求原函数的增区间，即求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的减区间，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3>0.∴2k π≤x 2－π3<2k π＋π2(k ∈Z )． 整理得4k π＋23π≤x <4k π＋53π(k ∈Z )．所以函数y ＝log 12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4k π＋23π，4k π＋53π(k ∈Z )．二、能力提升8．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析 由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2为y ＝|sin x |的单调递增区间． 9．设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( ) A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值答案 B解析 因为sin x >0，分子分母同除以sin x 得：f (x )＝1＋a sin x ，因为a ＞0,0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，故选B.10．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.11．若函数y ＝a cos x ＋b (a ，b 为常数)的最大值为1，最小值为－7，求函数y ＝3＋ab sin x 的最值和最小正周期．解 ∵－1≤cos x ≤1，当a ＞0时，b －a ≤y ≤a ＋b∴{ b －a ＝－7a ＋b ＝1∴{ a ＝4b ＝－3.当a ＜0时，a ＋b ≤y ≤b －a ，∴{ b －a ＝1a ＋b ＝－7∴{ a ＝－4b ＝－3.当a ＝4，b ＝－3时，y ＝3－12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π； 当a ＝－4，b ＝－3时，y ＝3＋12sin x ，∴y max ＝15，y min ＝－9，T ＝2π.12．(2013·福建理改编)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，将函数f (x )图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象．求函数f (x )与g (x )的解析式．解 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，φ∈(0，π) 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝0，得φ＝π2，所以f (x )＝cos 2x 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin x .三、探究与创新13．设函数y ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤28π5，a ，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．解 由2k π≤12x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )得4k π－23π≤x ≤4k π＋43π(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π(k ∈Z )， 同理函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π(k ∈Z )． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－23π，4k π＋43π，即1615≤k ≤4730，又k ∈Z ，∴k 不存在． 令285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π，得k ＝1. ∴285π∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋43π，4k π＋103π， 这表明y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在⎣⎡⎦⎤28π5，22π3上是减函数，∴a 的最大值是22π3.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
3
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4
在下图中利用平移画出余弦曲线
观察图像填下列各空： 从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 关于 对称；从诱导公式看，sin (－x)＝
对称，余弦函数 y＝cos x 的图象 ，cos(－x)＝ 均对一切 x∈R 函数．
恒成立．所以说，正弦函数是 R 上的
函数，余弦函数是 R 上的
【注意】判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关
2
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求值区间内． 训练 3 π π 5π 若 f(x)是以 为周期的奇函数，且 f 3＝1，求 f－ 6 的值． 2
【当堂训练】 3 1．函数 y＝sin(4x＋ π)的周期是( 2 A．2π B．π ) B．y＝sin 2x D．y＝cos(－4x) 1－sin x (2)f(x)＝ . 1＋sin x ) π C． 2பைடு நூலகம்π D． 4
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鸡西市第十九中学学案
2014 年（ ）月（ ）日 班级 姓名
1.4.2 学习 目标 重点 难点
正弦函数、余弦函数的性质(二) 奇偶性
1．掌握函数 y＝sin x，y＝cos x 的奇偶性， 2．会判断简单三角函数的奇偶性． 正弦函数、余弦函数奇（偶）函数的图像特征
【奇函数】一般地，对于函数 f ( x) 的 定义域的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那 么 f ( x) 就叫做奇函数．奇函数的图象关于 关于 例如： 对称,那么这个函数为奇函数. ； 对称.反过来,如果一个函数的图象
1
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于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断 f(－x)与 f(x)的关系即可；一 些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错. 例 1 判断下列函数的奇偶性． 1 π 1＋sin x－cos2x － x＋ ； (1)f(x)＝sin (2) f ( x ) ＝ lg(1 － sin x ) － lg(1 ＋ sin x ) ； (3) f ( x ) ＝ . 2 2 1＋sin x
1.4.2第二课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
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x π 的单调区间 变式训练 11：求函数 y＝cos( 2＋3 )的单调区间． ： ＝ 的单调区 x π 解： 在 2kπ－π≤2＋ 3 ≤ 2kπ，k∈ Z 上 ， － ≤ ， ∈ x π 单调递增， 函数 y＝cos( ＋ )单调递增， ＝ 单调递增 2 3 8 2π 故函数的单调增区间是[4kπ－ π，4kπ－ ]，k∈ Z. － ， 故函数的单调增区间是 － ， ∈ 3 3 x π x π 单调递减， 在 2kπ≤2＋3 ≤ 2kπ＋π，k∈ Z 上 ，函数 y＝cos( 2＋ 3)单调递减，故函数的单调减区间是 ≤ ＋ ， ∈ ＝ 单调递减 2 4 [4kπ－ π，4kπ＋ π]，k∈ Z. －3 ， ＋3 ， ∈
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正弦型、 正弦型、余弦型函数的单调性问题 π 的单调递增区间 【 例 1】 求函数 y＝2sin( － x)的单调递增区间． 】 ＝ 的单调递增区 4 思路点拨： 的单调性求解 思路点拨：利用复合函数与 y＝ sin x 的单调性求解． ＝ π π ＝－2sin(x－ )， 解 ： y＝2sin( － x)＝－ ＝ ＝－ － ， 4 4 π ＝－2sin z. ＝－ 令 z＝x－ ， 则 y＝－ ＝ － 4 的一次函数， ＝－2sin z 的递增区间， 的递增区间， 因为 z 是 x 的一次函数， 所以要取 y＝－ ＝－ π 3π 的递减区间 减区间， 即取 sin z 的递 减区间 ，即 2kπ＋2 ≤ z≤2kπ＋ 2 (k∈ Z)． ＋ ≤ ＋ ∈ ． π 3π π － ＋ ∈ ， ∴ 2kπ＋ ≤ x－ ≤ 2kπ＋ (k∈ Z)， ＋ 4 2 2 3π 7π 即 2kπ＋ ≤ x≤2kπ＋ (k∈ Z)， ＋ ≤ ＋ ∈ ， 4 4 π ∴ 函数 y＝2sin(4－ x)的递增区间为 ＝ 的递增区间为 7π 3π [2kπ＋ ， 2kπ＋ ](k∈ Z)． ＋ ＋ ∈ ． 4 4
1.4.2正弦函数余弦函数的性质第二课时
是奇函数
cos(-x)= cosx (xR)
y=cosx (xR)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦函数的单调性
y=sinx (xR)
x
sinx
-1
0
1
0
-1
单调性
正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？
余弦曲线关于直线x=kπ对称.
函数
的性质？
定义域
值域
周期
偶函数
奇偶性
单调性
对称性
题型一 求正、余弦函数的单调区间
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧：(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
题型二 比较三角函数值的大小
【名师点评】 比较两个三角函数值的大小，一般应先化为同名三角函数，并运用诱导公式把它们化为在同一单调区间上的同名三角函数，以便运用函数的单调性进行比较．
跟踪训练
解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sin x在(0°，90°)上递增，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的图像和性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
人教版数学·必修4
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[解析] ∵－π6<x<π6，∴－π3<2x<π3. ∴0<2x＋π3<23π，∴0<sin2x＋π3≤1. ∴0<2sin2x＋π3≤2. ∴函数 y＝2sin2x＋π3在－π6，π6上的值域是(0，2]．
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角度 2 与正、余弦函数有关的复合函数的值域问题 [例 4] 函数 f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34x∈0，π2的最大值是________． [解析] f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34x∈0，π2， f(x)＝1－cos2x＋ 3cos x－34，
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探究三 正弦函数、余弦函数的最值(值域)问题 [阅读教材 P38～39 例 3]方法步骤：(1)确定自变量的取值；(2)确定角的取值范围；(3) 利用范围求最值． 角度 1 简单的正、余弦函数的值域问题 [例 3] 求函数 y＝2sin2x＋π3，x∈－π6，π6的值域．
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跟踪探究 比较下列各组数的大小：
(1)sin－367π与 sin439π；
(2)cos
8178π与 sin
49π 9.
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解析：(1)sin－367π＝sin－6π－π6＝sin－π6， sin439π＝sin16π＋π3＝sinπ3， ∵y＝sin x 在－π2，π2上是增函数， ∴ sin－π6<sinπ3，即 sin－367π<sin439π.
增，在_[2_k__π_，__2_k_π_＋__π__]_，__k_∈__Z_ 上递减
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质：周期性、奇偶性，了解其图象的对称性． 2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，会结合它们的图象说出单调区间，并能根据单调性比较大小．3．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值、最小值，会求简单三角函数的值域或最值，并能指出取得最大(小)值时自变量x 的值的集合．1．正弦函数的图象与性质正弦函数的图象与性质如下表所示：____当x ＝____________时，y 取最大值1正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k π，0)(k ∈Z )，即正弦曲线与x 轴的所有交点；正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值．【做一做1】 已知函数y ＝sin x ，x ∈R ，则下列说法不正确的是( ) A ．定义域是RB ．最大值与最小值的和等于0C ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 D ．最小正周期是2π2．余弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质如下表所示：__当x ＝________时，y 取最大值1余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，即余弦曲线与x 轴的所有交点；余弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x ＝k π(k ∈Z )，所有对称轴垂直于x 轴，且与余弦曲线交点的纵坐标是余弦函数的最大(小)值．【做一做2】 已知函数y ＝cos x ，x ∈R ，则下列说法错误的是( ) A ．值域为[－1,1]B ．是奇函数C ．在定义域上不是单调函数D ．在[0，π]上是减函数答案：1．R [－1,1] 2k π＋π2(k ∈Z ) 2k π－π2(k ∈Z ) 2π 奇 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2【做一做1】 C2．R 2k π(k ∈Z ) 2k π＋π(k ∈Z ) 2π 偶 [(2k －1)π，2k π] [2k π，(2k ＋1)π]【做一做2】 B正、余弦函数的性质与图象的关系剖析：(1)定义域是R ，反映在图象上是所有垂直于x 轴的直线与图象有且只有一个交点．(2)正、余弦函数的单调性，反映在图象上是曲线的上升与下降的情况．(3)正、余弦函数的周期性，反映在图象上是曲线有规律地重复出现．相邻两对称中心的间隔是半个周期，相邻两对称轴的间隔也是半个周期，相邻的对称中心与对称轴的间隔是四分之一个周期．(4)正、余弦函数的奇偶性，反映在图象上是曲线关于原点或y 轴对称，即sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .(5)正、余弦函数的最大值和最小值，反映在图象上，就是曲线的最高点和最低点．题型一 判断三角函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．反思：1.判断函数奇偶性的依据是函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提．另外还要注意诱导公式在判断f (x )与f (－x )之间关系时的应用．2．本例(2)中，易忽视f (x )的定义域，违背定义域优先的原则，而进行非等价变形，得f (x )＝sin x (1＋sin x )1＋sin x＝sin x ，从而导致结果错误．题型二 求三角函数的单调区间【例2】 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的单调递减区间． 反思：求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，利用整体思想，把ωx ＋φ看成一个整体，借助于正弦函数的单调区间来解决．题型三 求三角函数的值域(最值) 【例3】 求下列函数的值域： (1)y ＝3－2cos 2x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R .分析：(1)将2x 看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sin x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．反思：求三角函数的值域的方法：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则其值域为[－A ＋b ，A ＋b ]．如本例(1)小题；②把sin x 或cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数在闭区间上的值域，如本例(2)小题．题型四 比较三角函数值的大小 【例4】 比较下列各组数的大小： (1)sin 194°与cos 160°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎪⎫cos 3π8.分析：(1)先将异名三角函数化为同名三角函数，并且利用诱导公式化到同一单调区间上．(2)先比较sin 3π8与cos 3π8的大小，然后利用正弦函数单调性求解．反思：比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．题型五 易错辨析易错点 忽视x 的系数是－1【例5】 求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令π3－x ＝t ，∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， ∴2k π－π2≤π3－x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得－2k π－π6≤x ≤－2k π＋56π，即2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 错因分析：在π3－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，求原函数的单调递增区间．答案：【例1】 解：(1)定义域为R .f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值应满足1＋sin x ≠0， ∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π＋32π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋sin π2－cos2π21＋sinπ2＝1，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2无意义，∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 【例2】 解：由于函数y ＝2sin x 的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 令2k π＋π2≤3x ＋π4≤2k π＋3π2，得2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12(k ∈Z )． 故所求的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)∵－1≤cos 2x ≤1，∴－2≤－2cos 2x ≤2. ∴1≤3－2cos 2x ≤5，即1≤y ≤5.∴函数y ＝3－2cos 2x ，x ∈R 的值域为[1,5]．(2)y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2.∵－1≤sin x ≤1，∴函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域为[－4,0]． 【例4】 解：(1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin 14°＜sin 70°， 从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°. (2)∵cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝sin x 在(0,1)内递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π8. 【例5】 正解：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的单调递减区间．令2k π＋π2≤x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴2k π＋5π6≤x ≤2k π＋116π(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋5π6，2k π＋116π(k ∈Z )．1．函数y ＝sin 2cos xx+是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°B ．sin 168°＜sin 11°＜cos10°C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°D ．sin 168°＜cos 10°＜sin11°3．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 4．函数y ＝3－2π32cos 33x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值为____________，此时自变量x 的取值集合是__________．5．求函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间．答案：1．A 定义域为R ，f (－x )＝sin()2cos()x x -+-＝sin 2cos xx-+＝－f (x )，则f (x )是奇函数．2．C ∵sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°， sin 11°＜sin 12°＜sin 80°， ∴sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.3.51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设cos x ＝t ，－1≤t ≤1，则y ＝1－cos 2x －cos x ＝－t 2－t ＋1＝21524t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. 由于－1≤t ≤1，则有－1≤y ≤54. 4．5 {x |x ＝3k π＋π，k ∈Z } 当2πcos 33x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1时，y max ＝3－2×(－1)＝5.此时x 的取值集合为{x |x ＝3k π＋π，k ∈Z }． 5．解：y ＝π2sin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π2sin 4x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．函数y ＝π2sin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭的递增区间为 3π7π2π,2π44k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
142正弦函数余弦函数的性质2(奇偶性、单调性、最值)
在x∈[2kπ-π， 2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ ， 2kπ+π ] 上都是减函数 。
课后作业
P46 2、 4 、5题
(1)y cosx 1, x R;
(2) y 3sin 2x, x R;
（1） y=cosx+1,xR
解：使函数 y=cosx+1,xR 取得最大值的x集合,就
是使函数 y=cosx，xR取得最大值的x的集合
x x 2k , k Z
使函数y=cosx+1,xR 取得最小值的x集合,就
是使函数 y=cosx，xR取得最小值的x的集合
1、求下列函数取得最大值、最小值的自变量的 集合，并写出最大值、最小值各是多少？
y 2sin x, x R
2、利用三角函数的单调性，比较下 列各组中两个三角函数值的大小。
（1） sin 250
（2）
cos15
8
sin 260
cos14
9
正弦函数余弦函数的性质
函 数 y= sinx (k∈z)
x
x
4
k
,
k
Z
同理，使函数y=-3sinz,zR 取得最小值的z的集合是
x
x
4
k
,
k
Z
函数y=-3sinz,zR 最大值是3，最小值是-3
例 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小
(1) sin( ), sin( )
18
10
(2) cos( 23 ), cos( 17 )
5
4
练习
f ( x) sin x, x R 为奇函数
正弦函数、余弦函数的性质(二)
2
5 2
x
3
7 2
4
-1
3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数 的各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？ 提示:
正弦函数有无数多个增区间和减区间.
在每个增区间上，函数值从 1 增大到 1 ，
在每个减区间上，函数值从 1 减Байду номын сангаас到 1 .
正弦函数在每一个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z ) 2 2
y
1 -2
3 2
y=sinx
2
-
2
o
-1
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x sinx
2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
(xR) 增区间为 [ ， ] 2 2 3 减区间为 [ 2 ， ] y=sinx
2
还有其他单调区间吗?
其值从-1增至1
D．最小正周期是 2π
2、已知函数 y＝cosx，x∈R，则下列说法错误的是 ( B ) A．值域为[－1,1] B．是奇函数 C．在定义域上不是单调函数 D．在[0，π]上是减函数
3. （2015· 安徽高考） 已知函数 f x sin x （ ， ， 均为正的常数）的最小正周期为 ，
1 x , 函数 y sin z 的单调递增区间是 2 3
【变式练习】
求函数 y＝cos2x 的单调区间．
解析：函数 y＝cos2x 的单调增区间、单调减区间分别由下 面的不等式确定 2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)① 2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)② π 解①得，kπ－ ≤x≤kπ(k∈Z)， 2 π 解②得，kπ≤x≤kπ＋ (k∈Z)． 2 故 函 数 y ＝ cos2x 的 单 调 增 区 间 、 单 调 减 区 间 分 别 为
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1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课时目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．
______时，y min ＝－1
一、选择题
1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限
2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin βB ．sin β>sin α
C ．sin α≥sin β
D ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )
A.[]－1，1
B.⎣⎡⎦
⎤－5
4，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣
⎡⎦⎤－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4
B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4
C.⎝⎛⎭⎫π，3π2
D.⎝⎛⎭
⎫3π
2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°
6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤
π4，π2上为减函数的是( )
A ．y ＝sin(2x ＋π2)
B ．y ＝cos(2x ＋π
2)
C ．y ＝sin(x ＋π)
D ．y ＝cos(x ＋π
)
7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－π
2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π
6
)的值域是________．
9．sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为__________________．
10．设|x |≤π
4
，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．
三、解答题
11．求下列函数的单调增区间．
(1)y ＝1－sin x
2；
(2)y ＝log 1
2
(cos2x )．
12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦
⎤0，π
2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．
能力提升
13．已知sin α>sin β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭
⎫π，3
2π，则( ) A ．α＋β>πB ．α＋β<π
C ．α－β≥－32π
D ．α－β≤－3
2
π
14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π
4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.3
2C ．2D ．3
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
答案
知识梳理
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π
2
＋2k π，
3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π
2
＋2k π (k ∈Z ) x ＝－π
2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )
作业设计 1．C 2.D
3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－5
4
当sin x ＝－12时，y min ＝－5
4；
当sin x ＝1时，y max ＝1.]
4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎫π，3
2π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]
5．C [∵sin168°＝sin (180°－12°)＝sin12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]
6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π
2
)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增
函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎡⎦⎤π2，π 8．[0,2]
解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π
3.
∴0≤sin(2x ＋π
3
)≤1，∴y ∈[0,2]
9．b <c <a
解析 ∵1<π
2
<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－2
2
解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x
＝－(sin x －12)2＋5
4
∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.
∴当sin x ＝－
2
2时，f (x )min ＝1－22
. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3
2π，k ∈Z ，
得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .
∴y ＝1－sin x
2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．
(2)由题意得cos2x >0且y ＝cos2x 递减．
∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π
2
，k ∈Z .
∴k π<x <k π＋π
4
，k ∈Z .
∴y ＝log 1
2
(cos2x )的增区间为⎝⎛⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤2
3π，
∴－3
2≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.
由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12－63
b ＝－23＋123
. 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.
由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－12＋63
b ＝19－123
. 13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎫π，3
2π， ∴π－β∈⎝⎛⎭
⎫－π
2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭
⎫－π
2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]
14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π
4
，
即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥3
2
或ω≥6. ∴ω的最小值为3
2
，故选B.]。