高中数学：第二章 平面向量全章小结 教案 新人教B版必修4
高中数学必修4第2章平面向量复习教案 人教版_必修
平面向量必修4 第2章 平面向量 §2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系． 考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是 ( ) A.密度 B.体积 C.重力 D.质量2下列说法中正确的是 （ ） A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等的向量 D ．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是 ( ) A. 零向量只有大小没有方向 B. 对任一向量,||>0总是成立的 C. |=|| D. |与线段BA 的长度不相等A. 与共线B. 与相等C. 与 是相反向量D. 与模相等6．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与相等的向量有 ； （2）与长度相等的向量有 ； （3）与共线的向量有 ．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与相等的向量有 ；AO OB CO OD ||AB CD AC BD AD AB BC OB DA AO（2）写出与共线的向有 ； （3）写出与的模相等的有 ； （4）向量与是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且，，，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与相等的向量有 ； （2）与相等的向量有 ； （3）与相等的向量有10．在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量共线的有 ． （2）与向量的模相等的有 ． （3）与向量相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？必修4 第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。
人教版必修四第二章平面向量教案
人教版必修四第二章平面向量教课设计教课目的：三目1、知识与技术（1）认识向量的实质背景，理解平面向量的观点和向量的几何表示；（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等观点；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系（3）经过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数目的实质差别.2、过程与方法指引发现法与议论相联合。
这是向量的第一节课，观点与知识点许多，在对学生进行适合的指引以后，应让学生清清楚楚得理解其观点，这是学生进一步获得向量知识的前提；经过学生主动地参加到讲堂教课中，提升学生学习的踊跃性。
表现了在老师的指引下，学生的的主体地位和作用。
3、感情目标与价值观经过对向量与数目的比较，培育学生认识客观事物的数学实质的能力，而且意识到数学与现实生活是密不行分的，是源于生活，用于生活的。
教课要点：理解向量、相等向量等有关的观点，向量的几何表示等是本的要点。
教课点：点是学生向量的观点和共向量的观点的理解。
学情和教材剖析：向量是近代数学中重要和基本的观点之一，有深刻的几何背景及代数意，所以向量拥有数形合的特色，是深入学数学及解决各数学的有效工具，在其余学科中也有宽泛用。
所以向量是年高考的必考内容，本是向量的第一，是新知的一个起点，所以是十分关、重要的一。
本教课内容的特色是：观点多，有向量、平行向量、相等向量、位向量等有关观点及向量的几何表示。
学生在学程中，多观点简单混杂，它之关系不易理清，些是学中的点。
教法：引启式教课学法：指学生自主学划：一教具学具：多媒体、彩笔、三角板教课程一、情形、入新1.我知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不一样与行程、量等量，他拥有什么的共同特色？⋯⋯⋯ （学生作答）2.你能出几个拥有以上特色的量？年、身高、体重、度等拥有些特色？（学生思虑作答）3.在数学上，我把拥有种特色的量称向量，（教在黑板上写，而后大屏幕展现，学生本 P74）二、推新1.定：既有大小又有方向的量叫向量。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.1平面向量基本定理》教案(4)
《平面向量基本定理》的教学设计一 教学目的：1 了解平面向量基本定理及其意义；2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 通过作图体会基底的不唯一性；二 教学重点与难点1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点：平面向量基本定理的理解3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。
4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。
使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。
三 教学过程1 复习以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。
2 新课引入在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3e e ，并画出2123e e +； 设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；教师活动：动画演示刚刚所做的图，设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。
教师活动：提出问题：“既然我们给定了212,3e e，那么很容易就可以画出1232e e a +=，如果我们给出a ，能否用21,e e 表示a 呢？”3 新课讲解教师活动：让学生在所给的方格上画出,a b ，,c d ，,f g ，并分别用21,e e 来表示，为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。
学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。
设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。
教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。
高中数学：2.2.1 平面向量基本定理 二 教案 新人教B版必修4
第二单元教学设计方案
第五学时～第六学时
（一）学习目标
11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.
13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.
14.了解平面向量的基本定理及其意义.
22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观
察,类比联想等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学
习兴趣和钻研精神.
（二）重点难点
1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用
2.难点是平面向量的基本定理及其意义.
（三）教学过程。
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算有机的结合在一起 . 运算和运算律是向量的灵魂 , 是连接数 与形的纽带 , 教师应 该突出这一点 . 因此 , 教师在讲授时 ,
（1）关注解题方法产生的思维过程 引导学生探究如何将把问题转化为向量问题， 揭示解题方法产生的的思维过 程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用， 从而提高学生综合 运用知识分析和解决问题的能力 . （2）强化学生的应用意识 一是培养学生利用所学数学知识、 用数学的思维与观点去观察和分析现实生 活现象的习惯和意识， 强化学生的应用意识； 二是为学生提供充足的动手操作的 机会 ，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成 ，让 学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力 . （3）引导学生探究解题规律 指导学生做好解题后的反思， 总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的 思维习惯，形成对通性通法的归纳意识 .
3
AE a , AF b , 用 a,b 表示
BC, BF , EC,CF . 例 4.( 向量的应用 ) (1) 已知 ABC 中 , 引中线 AD,BE,CF,求 证 : AD BE CF 0 ; (2) 若 O 为 ABC 的 重 心 , 求 证 : OA OB OC 0. ( 根据此问让学生思考重心坐标公式 ) (3) 用向量方法证明 : 平行四边形两条对 角线长度的平方和等于平行四边形四边 长度的平方和 . (4) 已 知 向 量 OA, OB, OC 满 足
是 A,B 的_______; 若点 A( 2, 5, ), B(1, 7) , 则 M 的坐
问题, 让 后同学进 行回答, 教师进行 指导
复习向量的加减 法 , 坐标运算和 其相关的几何表 示 都 要掌 握 , 并 且要会结合在一 起使用 .
高中数学第2章平面向量章末复习课教案含解析新人教B版必修4
第2章平面向量(教师用书独具)注意大小、方向两个方面．2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等． 【例1】 如图，在△ABC 中，点M 是AB 边的中点，E 是中线CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F .MH ∥AF 交BC 于H .求证：HF →＝BH →＝FC →.[思路探究] 选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF →、BH →与FC →即可证得． [证明] 设BM →＝a ，MH →＝b ， 则BH →＝a ＋b ， HF →＝HB →＋BA →＋AF → ＝－BH →＋2BM →＋2MH → ＝－a －b ＋2a ＋2b ＝a ＋b ，FC →＝FE →＋EC →＝12HM →＋ME →＝－12MH →＋MA →＋AE →＝－12b ＋BM →＋AF →－EF →＝－12b ＋a ＋2MH →－12MH →＝－12b ＋a ＋2b －12b ＝a ＋b .综上，得HF →＝BH →＝FC →.1.如图，平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN＝13BC ，求证：M ，N ，D 三点共线． [证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2， ∵BN →＝13BC →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1，∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1，又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫13e 2－12e 1＝3MN →，∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M ，N ，D 三点共线.根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．【例2】 非零向量a ，b 满足(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求a ，b 的夹角的余弦值．[思路探究]由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )列出方程组→求出|a |2，|b |2，a ·b 的关系→利用夹角公式可求[解] 由(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，得⎩⎪⎨⎪⎧2|a |2－|b |2＋a ·b ＝0，2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝－52a ·b ，|b |2＝－4a ·b ，所以|a ||b |＝－10a ·b ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1010.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________. 18 [∵AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →) ＝AP →·BD →＋2AP →·AB →， ∵AP ⊥BD ，∴AP →·BD →＝0.∵AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos∠BAP ＝|AP →|2， ∴AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18.]化为代数运算，实现数与形的统一．2．向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．【例3】 已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值． [思路探究] (1)先求B ，D 点的坐标，再求M 点坐标； (2)由向量相等转化为y 与λ的方程求解． [解] (1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)．∵AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)． 设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(2)由已知得PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB →＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.3．已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求AD →. [解] 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，∵AD →⊥BC →，∴AD →·BC →＝0， 则有－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，①∵BD →∥BC →，则有－3(x －3)＋6(y －2)＝0，② 解由①②构成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则D 点坐标为(1,1)，所以AD →＝(－1,2).运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2．向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程． 3．在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．【例4】 已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ； (2)AP ＝AB .[证明] 如图建立直角坐标系，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .4．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标，并求矩形ABCD 的两对角线所夹的锐角的余弦值．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)， ∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AB →⊥AD →，AB →＝DC →. 设C 点的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，∴|AC →|＝25，|BD →|＝25，AC →·BD →＝8＋8＝16. 设AC →与BD →的夹角为θ， 则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝1620＝45，∴矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．【例5】 如图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC 的中点，求证：AM ⊥EF .[思路探究] 要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0.先将AM →用AB →，AC →表示，将EF →用AE →，AF →表示，然后通过向量运算得出AM →·EF →＝0.[证明] 因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0)＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC )]＝0， 所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF .5．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1D.2＋2C [∵|a|＝|b |＝1，且a·b ＝0，∴可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )． ∴c －a －b ＝(x －1，y －1)． ∵|c －a －b|＝1， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝1， 即(x －1)2＋(y －1)2＝1. 又|c |＝x 2＋y 2，如图所示．由图可知，当c 对应的点(x ，y )在点C 处时，|c |有最大值且|c |max ＝12＋12＋1＝2＋1.]。
高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念教案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学教
向量的概念教案教学目标：1. 知识与技能：理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 过程与方法： 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.【探究新知】：出示自学提纲：请同学阅读课本7271P P 后回答：1、数量与向量的定义，有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、零向量的定义5、单位向量的定义6、相等向量的定义7、平行或共线向量的定义 8、零向量与任何一向量平行吗？【讨论结果】1、数量定义：只有大小，没有方向的量。
向量定义：既有大小又有方向的量。
数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2、 向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3、有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.5、单位向量概念长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.一般用0a 表示。
高中数学必修四第二章 平面向量 章末小结导学案
高中数学必修四第二章平面向量章末小结导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二章平面向量章末小结【本章知识体系】【题型归纳】专题一、平面向量的概念及运算包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。
向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。
利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．、1.AB→＋Ac→－Bc→＋BA→化简后等于A．3AB→B.AB→c.BA→D.cA→2、在平行四边形ABcD中，oA→＝a，oB→＝b，oc→＝c，oD→＝d，则下列运算正确的是A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0c．a＋b－c－d＝0D．a－b－c＋d＝03、已知圆o的半径为3，直径AB上一点D使AB→＝3AD →，E、F为另一直径的两个端点，则DE→•DF→＝A．－3B．－4c．－8D．－64、如图，在正方形ABcD中，设AB→＝a，AD→＝b，BD →＝c，则在以a，b为基底时，Ac→可表示为________，在以a，c为基底时，Ac→可表示为________．5、下列说法正确的是A．两个单位向量的数量积为1B．若a•b＝a•c，且a≠0，则b＝cc．AB→＝oA→－oB→D．若b⊥c，则•b＝a•b专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。
若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。
6、已知向量a＝，b＝，若2a－b与b垂直，则|a|等于A．1B.2c．2D．47、设向量a＝，b＝，c＝，若表示向量4a,4b－2c,2，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d＝A．B．c．D．8、已知a＝，b＝，c满足a•c＝0，且|a|＝|c|，b•c>0，则c＝________.专题三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。
新人教版高中数学第2章平面向量教案必修四
高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4 目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．。
高中数学 第2章 平面向量教案 新人教版必修4
江苏省常州市西夏墅中学高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4目标定位：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．教材解读：向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．本章突出向量的实际背景与应用，这样有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．向量作为代数对象，可以如同数和字母一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数的运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等都是数学中的基本运算．从数的运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．“平面向量”的主背景源于前一章“三角函数”，仍然从圆周上一点的表示(r，θ)出发，导出“既要考虑大小(r)，又要考虑方向(θ)”；而自然界广泛地存在着“既要考虑大小，又要考虑方向”的现象，如力、速度．接着提出问题：用什么样的数学模型来刻画力、速度这样的量；这就明确了任务：建构这样的数学模型，同时也指明了教学起点：对向量的数学(分析)研究．另外，本章特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念．本章的章头图中，矫健的银燕连同它身后的航迹，像利箭直插天穹．它使人联想到下面的问题：怎样表示运动物体的位移和速度呢？于是建构向量的思维活动就此展开了．引言(章首语)首先说明了本章的研究课题是前一章“三角函数”研究内容的拓展．三角函数可以看成是圆周上一点P绕圆周运动的数学模型，而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型．这时，只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置．接着引言又指出，在生活中，既有大小又有方向的量是很多的，如位移、速度、力等等都是．这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景．在此基础上，引言提出了问题：用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量？这个数学模型有什么性质与应用？这就是本章的中心问题，也是本章的知识增长点．与“函数”、“三角函数”类似，本章也是对一种数学模型的研究．教材是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．这样的顺序不仅符合向量知识的发展过程，而且可以唤起学生在“函数”、“三角函数”学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动权．本章也起到了承前启后的作用，在延伸“三角函数”的同时，为“三角恒等变换”作好铺垫．例如，教材P 81就安排了这样的习题：“设向量a ，，b ，，试分别计算a b a||b|cosθ及a b x 1x2y1y2．比较两次计算的结果，你能发现什么？”在第1章“三角函数”中，我们迈出了对周期现象研究的第一步：建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型，并初步探讨了它的性质．而在第3章“三角恒等变换”中，我们又将以向量为工具来进一步探讨三角函数的性质．因此，从整体上看，“平面向量”的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行．这样可以更好地体现向量这工具价值．本章内容的处理，从具体的生活、实践问题入手，以问题为背景，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”的顺序结构，激发学生开展活动，结合实验、观察、思考、归纳、抽象、概括、运用，力求使学生对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断，数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际应用问题)．在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教学方法与教学建议：向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算．教学中应强调数学建模．所谓数学模型，是指针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表示出来的一种数学结构．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽象的数学模型，从而使数学的学术形态转化为学生易于接收的教育形态．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实地解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．在向量概念教学中，应根据学生的生活经验，创设丰富的情境．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．例如：在定义了运算以后，和数进行类比(对比)，研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律，探讨运算的应用，就都是很自然的了．向量的平行条件可以与直线平行条件的类比，这样可以加深学生对知识的理解．。
高中数学 第二章 平面向量本章概览素材 新人教B版必修4
第二章平面向量
本章概览
三维目标
1.经历平面向量基本概念的形成过程，提高应用向量解决问题的能力，培养应用意识.
2.探索平面向量的线性运算及其几何意义，感受处理向量问题的思维过程，培养应用数形结合思想解决问题的能力.
3.探索平面向量基本定理及其坐标表示，体验用向量处理问题的两种方法：向量法和坐标法，逐步认识向量的科学价值、应用价值.
4.探讨平面向量数量积的含义、应用及其意义，知道向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，体会它们之间的联系.
5.经历用向量方法解决几何问题、物理问题的过程，体会向量的工具作用，归纳用向量解决问题的思维方法，以便提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.
知识网络。
高中数学 第二章 平面向量示范教案 新人教B版必修4
第二章平面向量示范教案整体设计知识网络1．本章知识网络结构如下：2．本章知识归纳整合(1)基本概念与运算①向量既有大小，又有方向，这两者缺一不可．零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但稍不注意就会出错，所以要正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．②在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．③向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则是统一的，两种方法得到的是同一个向量．向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．④两个向量长度的和(差)不一定等于这两个向量和(差)的长度，因为向量的加(减)实施的对象是向量，而长度是数量，长度的加(减)法是数量的加(减)法．⑤向量的数乘运算，应侧重于以下几个方面：数与向量的积仍是一个向量；要特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0；向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．(2)基本定理及其坐标表示①平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1、e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的．平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1、λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．②在利用平面向量基本定理时，一定要注意不共线这个条件．③平面向量坐标表示的理论基础就是平面向量的基本定理．在引入向量的坐标表示以后，向量的运算完全化为代数运算，从而实现了“形”和“数”的紧密结合．④一定要把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等．两个向量相等时坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同．(3)平面向量的数量积①平面向量a与b的数量积a·b＝|a||b|cosθ是数量，其中θ的取值范围是0≤θ≤π.②由a≠0，且a·b＝0不能推出b＝0.③由a·b＝b·c不能推出a＝c.④平面向量的数量积不满足结合律，即(a·b)c与a(b·c)不一定相等．⑤为便于区别两向量的数量积、数乘向量、数乘数三种运算，可对照下表记忆：(4)平面向量的应用①向量是数学中证明几何命题的有效工具之一，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度等问题；利用数量积可解决长度、角度、垂直等问题．②平面向量的应用，体现在高考中主要是在几何中的应用，平面几何中的许多性质，如平移、全等、相似、长度(距离)、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来．③用向量的方法解决几何问题时，首先要用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态地演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识，提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算，数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题． 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)前面一段时间，探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，来进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课知识巩固提出问题 1回忆向量的概念：向量的表示，零向量，相等的向量，共线向量. 2回忆向量的运算：向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质. 3回忆本章学过的重要定理、公式.活动：(1)本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法：几何表示法为AB →，a (手写时为a →)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0⇔|a |＝0.单位向量：a 0为单位向量⇔|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同，a ＝b ⇔ (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 2，y 1＝y 2等等．(2)指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容．λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b a＝λb(b≠0)(3)本章的重要定理及公式：a．平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.b．两个向量平行的充要条件：a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ，使得a＝λb；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．c．两个向量垂直的充要条件：当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：(1)～(3)略．应用示例例 1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度、角度、垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么，怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)·10＋(2k ＋2)·(－4)＝0，解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解这个方程组，得k ＝－13，λ＝－13，即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b .因为λ＝－13<0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向． 点评：共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活地选择．在本例中，也可以根据向量平行充要条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－13，然后再求λ. 变式训练设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i 、j 分别是坐标平面上x 轴、y 轴正方向的单位向量，若向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，那么是否存在实数m ，使A 、B 、C 三点共线．解：方法一：假设满足条件的m 存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴存在实数λ，使AB →＝λBC →，i －2j ＝λ(i ＋m j )，{ λ＝1，λm＝－2.∴m＝－2，即当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线．方法二：假设满足条件的m 存在，根据题意可知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，∴AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，BC →＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，故1·m－1·(－2)＝0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，A 、B 、C 三点共线.例 2如图1，已知在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c .若a·b ＝b·c ＝c·a ，求证：△ABC为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识，串联方法，使学生在探究过程中掌握孤零知识，提高思维能力，提高复习效率．证法一：由题意，得a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )．又∵b·c ＝c·a ，∴c·(a －b )＝0.∴－a 2＋b 2＝0.∴|a|2＝|b |2，即|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b |，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，b ＝－a －c.∴a 2＝b 2＋c 2＋2b·c ，b 2＝a 2＋c 2＋2a·c .而b·c ＝c·a (已知)，∴a 2－b 2＝b 2－a 2.∴a 2＝b 2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b |.同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c |.∴△ABC 为正三角形．证法三：如图2，以AB 、BC 为邻边作ABCD ，则AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →，∴BD →＝a －c .图2又∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0.∴b ·BD →＝0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形．∴AB＝BC.同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．证法四：取BC →的中点E ，连接AE ，则AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AE →·a ＝12(c －b )·a ＝0.∴AE →⊥a .∴AB＝AC. 同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况，教师要引导学生善于挖掘. 变式训练若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案：A例 3已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b 且x ⊥y .试求：k ＋t 2t的最小值． 解：由已知，得|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b . ∵x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简，得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.图3课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高？对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．作业本章巩固与提高5、11、12、13、14.设计感想1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点，让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本节题目一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．备课资料备用习题1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，若向量a ＋k b 与a －b 垂直，则k 的值为… ( )A.233 B ．7 C ．－113 D ．－2332．已知向量AB →＝(1,2)，OB →＝(0,1)，则下列各点中在直线AB 上的是( )A ．(0,3)B ．(1,1)C ．(2,4)D ．(2,5)3．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 34．若|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝4，则|a －b |为( ) A.13 B ．13C.42 D ．425．已知a ＝(2,1)，与a 平行且长度为25的向量b 是( )A ．(4,2)B ．(－4，－2)C ．(2,1)或(－2，－1)D ．(4,2)或(－4，－2)6．已知向量i 、j ，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，与2i ＋j 垂直的向量是( )A ．2i －jB ．i －2jC ．2i ＋jD ．i ＋2j7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a8．向量a ＝(n,2)与b ＝(4，n)共线，则n ＝________.9．已知a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，那么实数t 的值是________．10．已知三个非零向量a ，b ，c 中每两个均不共线，若a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，求a ＋b ＋c .11．已知向量AB →＝a ，AC →＝b ，|a |＝4，|b |＝3，∠BAC＝β，(2a －3b )(2a ＋b )＝61.(1)求β的大小；(2)求△ABC 的面积．参考答案：1．A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.±2 2 9.－4510．解：∵a ＋b ，c 共线，∴a ＋b ＝m c .①又∵b ＋c ，a 共线，∴b ＋c ＝n a .②①－②，得a －c ＝m c －n a .∵a ，c 不共线，∴由平面向量的基本定理，得m ＝n ＝－1. ∴①即a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0.11．解：(1)原式展开，得4a 2－4a ·b －3b 2＝61， ∵|a |＝4，|b |＝3，∴a ·b ＝－6，∴cosβ＝a·b |a ||b |＝－12.∵0≤β≤π，∴β＝2π3.(2)S △ABC ＝12|AB|·|AC|·sinβ＝3 3.。
人教版B版高中数学必修4：第二章平面向量_本章小结_课件1(7)
MN 1 MC 3
例4 在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
PQ 的夹角为60°，求 B P C Q .
C
Q
BP CQ 2
A
B
P
例5 如图，OM//AB，点P在由射线OM、
线段OB及AB的延长线围成的区域内（不
含边界）运动，且 OP xOA .yOB （1）求x的取值范围；
平面向量 单元复习
知识结构
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表示
应
用
数量积
知识梳理
1.向量的有关概念 （1）向量： 既有大小，又有方向的量. （2）向量的模（或长度）： 表示向量的有向线段的长度. （3）零向量： 模为零的向量.
（4）单位向量： 模为1的向量.
（5）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ .
4
4
为基底表示向量M N .
MN 1b 3a
B
24
A N
M
C
例2 在△ABC中，已知点O满足:
O A O B O C 0 ，求证：点O是
△ABC的重心.
A
O
B
EC
D
例3 在平行四边形ABCD中，M是AB的 中点，点N在BD上，且BD=3BN，试推断点 M、N、C是否共线？并说明理由.
D
C
N
A
M
B
（1）共线定理：
向量a（a≠0）与b共线，当且仅当 有唯一一个实数λ ，使b=λ a.
人教版B版高中数学必修4：第二章平面向量_本章小结_课件4
坐标相等 .
即: a 那么 a
(x1, b
y1),
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
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(√ ）
6. a b a b ，则a b
(√ ）
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平面向量复习
2. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
注 : AB a , AD b
(1) a b ,则四边形是什么图形?
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
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向 量 几何表示 : 有向线段
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函数y=Asin （ωx+φ）的图像与性质
考纲要求：
了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响． 知识梳理：
1、简谐运动的相关概念：
3、函数y=Asin （ωx+φ）的图像的变换：（A>0，ω>0，φ>0）
（1）相位变换：y=sinx 的图像 得到y=sin （x+φ）的图像 （2）周期变换：y=sinx 的图像 y=Asin （ωx ）的图像 （3）振幅变换：y=sinx 的图像 y=Asinx 的图像
诊断练习：
1、函数y = sin2x 图像向右平移
12
5π个单位所得图像的函数表达式为 ？ 函数y=3cos(x+
4
π)图像向左平移
3
π个单位所得图像的函数表达式为 ？
2、函数y ＝1－2sin （x ＋π
3
）的值域是（ ） A ．[－2,2] B ．[－3,1] C ．[－1,3] D ．[0,2] 3、函数sin(2)3
y x π
=+
图像的对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ． 6
x π
=
D ． 12
x π
=
4、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )
（A ）sin ()6
y x π
=+
（B ）cos(2)6
y x π
=-
（C ）co s(4)3
y x π
=-
（D ）sin (2)
6
y x π
=-
易错点透析：
1、函数 的最小正周期为______,最大值为_____ ,最
小值为_______,相位为_________,初相为________.
2、求函数)4
3sin(2π
+=x y 的单调递增区间；
3、已知函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0, ω>0, x ∈R) 在一个周期内的图象如图所示:求函数的解析式
巩固练习：
1、求函数y = 3sin(-2x+3
π)的周期，最值，对称轴方程，对称中心，单增区间
2、活学巧用1、2、5
3、例题2及变式训练
4、考向瞻望
小结：
作业：课时作业1-6、8
5sin (2)4
y x π
=
+。