D3_6图形

(或 x 1)
y x2
3
1
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
f ( x) x2 又因 k lim lim 2 x x x x 2x 3
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2x 3
第三章
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 (P76 题14)
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . y C 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
L
y f (x)
思考与练习
1. 曲线 y
1 e
x2
2
1 e x
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
(A) 没有渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
1 e
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x
lim
1 e
x2
2
2 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1 为垂直渐近线. x1 x 1
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
例2. 求曲线
的渐近线 .
x3 解: y , lim y , ( x 3)(x 1) x3
笛卡儿叶形线 3at x 3 1 t t 1 2 3at y 1 t3 点击图中任意点 动画开始或暂停 参数的几何意义: t tan t (,1) ( , )
图形在第四象限
2 4

t (1, 0] ( 34 , ]
图形在第二象限 图形在第一象限
t [0 , ) [0 , ) 2
1
(极小)
(3 , )

4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
2 ( x 3)( x 1) ( x 3) , y y , y 4( x 1) ( x 1)3 4( x 1) 2
2
y 1 1 又因 lim , 即k x x 4 4 ( x 3) 2 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim ( x 3) 2 x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 2 0 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 ( x 1)3 4 4
的图形. 图形对称于 y 轴.
1 y e 2
x2 2
(1 x 2 )
令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0得 x 1
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
x y y y
M
PN
y kxb
o
x y 0 a b
无渐近线 .
y
x
有渐近线
但抛物线
o
x
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
(或 x )
有水平渐近线 y b . 有垂直渐近线 x x0 .
若
(或 x x0 )
则曲线
例1. 求曲线
解: lim (
x
的渐近线 .
1 2) 2 x 1
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
作业
P76 14 (2);
P169 2 ;
5
思考题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t 2 3a t , y t 1 x 3 3 1 t 1 t 当 x 时 t 1, 因 y 3a t 2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t 2 3a t 3 at (1t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
(极大)
1
无 定 义
(1, 3)
3
0
(极小)
(3 , )
2
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
1
0 12 3
例5. 描绘函数
解: 1) 定义域为 2) 求关键点 2 x2 1 xe , y 2
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
二、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 2. 求 的点 ; 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 并求出 及 为 0 和不存在 的定义域 , 并考察其对称性及周
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形. 无对称性及周期性.
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 , 令 y 0 , 令 y 0 ,

1
1
2
3
3)
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
2
(极大)
(0 ,1) 1 0
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 lim y 0
x
y
1 2
y
1 2
e

x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
A
B
o
x
内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行

2. 曲线 y 1 e
x2
( 1 , 的凹区间是 2
1 , ) 2
1 ) 2
,
( , 1 ) 及 ( 凸区间是 2
拐点为 提示:
,
(
1 1 ,1 e 2 ) 2
, 渐近线
y 1
.
y
x2
y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
2 4 y 8 y 4 x y 0 1 4 y y 2( x 1)
令 y 0, 得 x 1, 3 ;
3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 (1,1) y 0 y y 2
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定 义 0
4 3
(1, 2)
2 ( 2 , ) 0
2 3
(拐点）
(极小)
4)
例4. 描绘方程
的图形.
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1) 2) 求关键点 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0
x 3 2y y 2( x 1)